《弹性力学》第十一章 弹性波

E (1 ) 令：c1 (1 )(1 2 )
则上式简写成
2ur 2 ur 2ur 1 2ur r 2 2 0 2 r r r r c1 t
假定
（a）
ur r
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则 (r, t ) 是位移的势函数。代入（a）式得
3 2 2 2 1 2 2 2 2 0 3 2 r r r r r c1 t r
2u E 1 e 2 ( u) 2 t 2(1 ) 1 2 x
2 E 1 e 2 ( ) 2 t 2(1 ) 1 2 y
2w E 1 e 2 ( w) 2 t 2(1 ) 1 2 z
E (1 ) 其中 c1 (1 )(1 2 )
c1 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度
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二、等容波 所谓等容波是指在弹性体内，波动所产生的变形中体积应 变为零 。即弹性体中任一部分的容积（即体积）保持不变。 假定弹性体的位移u,v,w满足体积应变为零的条件，即：
u w e 0 x y z
然后介绍弹性波的几个概念，针对不同的弹性波，对运 动微分方程进行简化，最后给出波在无限大弹性体中传 播速度公式。
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§11-1 弹性体的运动微分方程
本章仍然采用如下假设：
（1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。
上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假 设。因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程， 以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用
显然，球面波的传播速度等于 c1 (球面波是无旋波）。f 1 表示由内向外传播的球面波， f 2 表示由外向内传播的球面 波。
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练习11.1 什么是弹性波？研究弹性波有何意义？ 答：（略） 练习11.2 已知钢的弹性模量E=210GPa，密度=7950kg/m3,
混凝土的弹性模量E=30GPa， 密度=2400kg/m3 ,问在此两 种材料杆中纵波的传播速度。 解： 由纵波在一维直杆中的传播速度公式
E(1 ) d 2ur 2 dur 2 ( 2 2 2 ur ) k r 0 (1 )(1 2 ) dr r dr r
ur ur (r，而不计体力时，用径向惯性力 , t) 此时， 2u r 2 代替 kr ， t
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即得：
E(1 ) 2ur 2 ur 2ur 2u r ( 2 2 ) 2 0 (1 )(1 2 ) r r r r t
c2 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。
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对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如下结论：
在弹性体中，形变、应力以及质点速度，都将和位移以相
同的方式与速度进行传播。
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§11-3 纵波与横波
一、纵波 [定义] 弹性体的质点运动方向平行弹性波的传播方向（图示）
纵波的传播形式
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将x轴取为波的传播方向，则弹性体内任取一点的位 移分量都有：
整个通解表示朝相反两个方向传播的两个波（如图b），其 传播速度为波动方程的系数 c1 。
f1
b
a c t 1 (a)
c
x
c1t
(b)
c1t
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二、横波
[定义] 弹性体的质点运动方向垂直于弹性波的传播方向。
横波的传播形式
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仍然将x轴放在波的传播方向，y轴为质点位移方向，则 弹性体内任取一点的位移分量都有
v E
得

30
v钢 5130 m / s , v混凝土 3500 m/ s
31
u u ( x, t )
从而 而
0
w0
u e x
e 2u x x 2
2 u 2 u 2 x
e 0 y
e 0 z
0
2
2 w 0
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代入不计体力的运动微分方程，可见其第二、第三式成为
恒等式，而第一式简化为：
2 2u u 2 c1 2 t x 2
f1 ( x c1t c1t )
如果令 x1 x c1t ，则函数可写为
f1 ( x1 c1t ) ，其形式 同原函数 f1 ( x c1t ) 完全类同，只是横坐标发生平移 c1t
见图。因此
f1 ( x c1t ) 表示以速度c1 向x轴正向传播的波。
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同理
f 2 ( x c1t ) ，表示以同样速度 c1 向x轴负向传播的波。
2w 2 t
其中ρ为弹性体的密度。
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由平衡关系，并简化后得：
x yx zx 2u X 2 0 x y z t
y 2 Y 2 0 y z x t zy xy
z xz yz 2w Z 2 0 z x y t
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§11-2 无旋波与等容波
一、无旋波
所谓无旋波是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋 转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。
假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为：
u x
y
w z
其中 ( x, y, z, t ) 是位移的势函数。这种位移称为无旋位 移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波。
上式称为弹性体的运动微分方程。它同几何方程和 物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。
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注1：几何方程 u x x
y y
yz
zx
xy
w y z
u w z x
u x y
w z z
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注2：物理方程
(1 ) E 其中 c1 (1 )(1 2 )
c1 为纵波在弹性体中的传播速度。
显然纵波的传播速度与无旋波相同。事实上，纵波就是 一种无旋波。
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纵波波动方程的通解是：
u( x, t ) f1 ( x c1t ) f 2 ( x c1t )
该通解的物理意义：以其第一项为例，函数 f1 ( x c1t ) 在某 一个固定时刻将是x的函数，可以用图(a)中的曲线abc表示 （假设是这种形状），在 t 时间之后，函数变为：
u0
从而
( x, t )
2
w0
2 2 2 w0 u0 而 2 x 代入不计体力的运动微分方程，可见其第一、第三式成为恒 等式，第二式简化为：
e0
2 2 2 c2 2 t x 2
E c2 2(1 )
c2 为横波在弹性体中的传播速度。由于横波的体积应变
由于
（b）
3 2 2 2 1 2 r 3 2 2 r r r r r r r r
2 t 2 r
2 t 2 r

所以（b）式可写成
1 2 1 2 0 r 2 2 2 r r r c1 r t
1 x [ x ( y z )] E
yz
zx
2(1 ) yz E
2(1 ) zx E
1 y [ y ( z x )] E
1 z [ z ( x y )] E
xy
2(1 ) xy E
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由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹 性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移 分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令：
得：
u w e x y z
2 e u 2 u) X 2 0 x t 2 e 2 ) Y 2 0 y t 2 e w 2 w) Z 2 0 z t
于讨论动力问题的任一瞬时，所不同的仅仅在于，静力
问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。
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对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了 考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加 速度而产生的惯性力。每单位体积上的惯性力在空 间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为:
2u 2 t
2 2 t
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对r积分一次，得：
由于令F(t)=0，并不会影响位移 ur ，因此上式可简写成为：
2 2 2 r r c 1 2 2 t r
1 2 1 2 r 2 2 F t 2 r r c1 t
它的通解是：
r f1 r c1t f 2 r c1t
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E 1 ( 2(1 ) 1 2 E 1 ( 2(1 ) 1 2 E 1 ( 2(1 ) 1 2
这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称 为拉密（Lame)方程。 要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外， 由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题 还要给出初始条件。 为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运 动微分方程简化为：
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[证]：在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量
u z x y u 将 代入，可得： y x
z 0
同理
x 0
y 0
即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零。 [得证]
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在无旋位移状态下
u w e 2 x y z
从而
e 2 2 2u x x x
e 2 y
e 2w z
同理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后 得无旋波的波动方程
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2u 2 2 c u 1 2 t
2 2 2 c 1 2 t