第五章滤波器结构

2
N为奇且 h(n) 偶对称情况下的直接型结构
图5-26 N为奇数，h(n)偶对称的FIR直接型结构
位圆上的零点（第一部分）抵消。品质因数 Q
时，每一个
H
k
(
z
)

1
H(k)

W
k N
z
1
是无损滤波器(谐振器)
梳状滤波器 ＋谐振柜
频率抽样结构
级联
（因经零极点抵消后，余 H(k) 值）
此结构优点：
（1）可由所要求的频域特性进行设计（∵ H (k) 即在 2 k 处的频响）
N
（2）结构高度模块化（N同，则结构同） 此结构缺点：
五、线性相位FIR滤波器的结构 线性相位在数据及图象通信中非常重要。FIR因h(n)
有限长，在一定条件下，就可实现严格的线性相位。
当 h(n) 为 实数 ，0 n N 1，且满足下列条件之一：
h(n) h(N 1 n) ——偶对称
h(n) h( N 1 n) ——奇对称
（1）计算量大，结构复杂 （2）不够稳定
对于窄带滤波器，多数点为0，这样实现和计算上 会简单。故此结构适合窄带滤波器。
针对不够稳定的特点，在实用中进行一些修正。即 将零极点移到单位圆内的一个圆上，该圆接近单位圆。
z 1
rz 1 , r 1, r 1
此时 H(z) H(rz 1 ) 1 r N zN N1 Hr (k)
z
1
)
n
k0
n0
1 N 1
1 zN
N k0 H (k) 1 WNk z1

1 N
N 1
1 zN
k
0
H
(k
)
1

e
j
2
N
k
z
1
1 z N N 1 H(k)
N k 0 1 WNk z1
两部分的级联
并联
(5-13)
级联第二部分 是IIR系统，由N个谐振器并联组成。 由于在单位圆上有极点，临界稳定，故要用单
02


z 1
12
1 z1 0.5z2
16
8
16 20z 1
1 0.25z 1 1 z 1 0.5z 2
G0

H(z)
z0

(2) (0.25)(0.5)

16
A H(z)(1 0.25z1 ) 8 z0.25
x(n)
16
k 1
k 0
H(z)的有理函数形式对应的结构，或者说是差分方程
直接给出的，需要(N+M)个延时单元。
9
二、直接II型（典范型）
因为系统级联次序改变，系统函数不变，直接II型 的延时单元个数(Max(N,M))最少。
直接型的缺点：
(1)系数 a k 、bk 的调整对零、极点的影响不直接，
不明显
N
k
0
1

百度文库rW
k N
z
1
(5-18)
Hr (k) H(k)
r
1∴是有限Q值谐振器，谐振频率 k

2
N
k
四、快速卷积结构
因为（1）时序圆周卷积等效于频域离散频谱的乘积，
（2）当 L N1 N2 1时，x(n) L h(n) x(n) h(n)
（3）用DFT可利用FFT提高运算速度，故产生快速 卷积结构。
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(2)系数量化对频响的影响小，灵敏度低（性能好） (3)乘法次数多于卷积型
※并联型没有，因为在有限z平面无极点。
三、频率抽样型
N 1
H (k) 是 h(n)的z变换（H(z) h(n)zn）在单 n0
位圆上的抽样。
h(n) z变换 H (z) 单 位圆上抽 样 H (k )
可以用以下两种方法来实现数字滤波器： 1、软件实现：即把滤波器所要完成的运算变成程序 并让计算机执行； 2、硬件实现：设计专用的数字硬件、专用的数字信 号处理器或通用的数字信号处理器来实现。
由(5-2)式，实现一个数字滤波器需要几种基本运 算单元——加法器、比例放大器（常数乘法器）和延 时器，用符号表示基本运算单元则为：
第五章 数字滤波器的基本结构
学习DSP的一个重要方面是滤波器设计。前面 的章节讲的主要是信号分析，即分析信号频域或Z 域特性，以及时域与频域（Z域）的关系。信号分 析的作用是进一步深化信号特点、特性的认识。而 数字滤波的作用是对信号进行加工，改变其特性。
1
本章作业
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可见，数字滤波器的功能就是把输入序列通过 一定的运算，变换成输出序列。
5
对应(5-2)式可画出如下图
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
(5-2)
k 1
k 0
7
§5.2 无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的基本结构
IIR滤波器特点：
1.单位冲激响应h(n)是无限长的
2.H(z)在z平面上有极点（分母部分组成），至少
有一个 ak 0
则一定具有严格线性相位（LP-FIR）。
又由于N分为奇、偶两种情况，故组合出四种情况。
偶对称，N分为奇情况
偶对称，N为偶情况
奇对称，N分为奇情况
奇对称，N为偶情况
无论是奇对称还是偶对称，对称中心在n=(N-1)/2处。
1、 N为奇数， h(n) h(N 1 n) 偶对称
N 1
y(n)
8 Z-1 0.25
-16 Z-1
20 z-1 -0.5
图5-13 并联型信号流图
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§5.3 有限长单位冲激响应（FIR）滤波器的基本结构 为什么研究FIR
（1）h(n)有限长，故可用FFT方法快速实现 （2）有严格的线性相位 （3）只有零点，系统稳定
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FIR特点：
(1)h(n)有限长（有限个n值处不为零）
2
)
x(n)
2
z－ 1
0.2 5
－ 0.3 79
4
y(n)
z－
1
－
1.2 4
－ 0.5
z－ 1 5.2 64
21
并联: H(z) 8 4z 1 11z 2 2z 3 (1 0.25z 1 )(1 z 1 0.5z 2 )

G0

1
A 0.25z 1


五、转置定理
如果倒转系统中所有支路方向，且输入x(n) 与输出y(n) 互换，则H(z)不变。
因此又可以得到上述三种结构的转置形式。
注意：
1.转置只是比例因子乘法与延迟因子 z1 运算变换了次序
2.转置在有限字长时，有可能减少误差
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IIR滤波器结构举例
M
bk z k
H(z)
k 0 N
q
k
,
q
k

d
k
,
,
d
k

为两对共轭复根。
12
进一步： 共轭因子组成实系数的二阶因子 两个实系数的一阶因子组成实系数的二阶因子
13
故有
H(z) A
k
1 1k z1 2k z 2 1 1k z 1 2k z 2

A
Hk (z) (5-6)
3.结构上有反馈（又称递归型结构）
结构上有反馈——递归，无反馈——非递归。
注意 ：递归与否不是IIR与FIR的区别。因为IIR一 定是递归的，反之不一定。如FIR的频率抽样型就 是递归结构。
4. 相同滤波器性能下，IIR的阶数要比FIR要小，故
运算量小。
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一、直接I型
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
二、级联型 将H(z)分解成实系数二阶因子的乘积形式
N
N 1
2
H(z) h(n)zn (0k 1k z1 2k z2 )
n0
k 1
(5-12)
N为偶，有奇数个根，则必有一个实根对应一阶 N为奇，有偶数个根，则均为二阶级联
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特点：
(1)调整零点方便（改变三个系数，就改变一对实零点 或一对共轭零点。每一对共轭零点对应一个频点，离 单位圆越近，则谷点越明显）
1
ak z k
k 1
N
M
y(n) ak y(n k) bk x(n k)
k 1
k0
典范型：
H (z) 8 4z 1 11z 2 2z 3 1 5 z 1 3 z 2 1 z 3 448
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级联：
H(z)

(2

0.3799z 1 )(4 1.2402z 1 5.6244z (1 0.25z 1 )(1 z 1 0.5z 2 )
故FIR滤波器系统总是稳定的、因果的。
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一、横截型（横向滤波器） 也称卷积型、直接型
N 1
y(n) h(m) x(n m) 卷积形式（时域） m0
Y (z) X (z) H (z) 相乘（频域）
将图5-15竖画为最直观点直接型结构。
同IIR一样，此种结构不易调整零点（FIR时无极点） 26
17
M=N=3
H
(z)

G0

2 k 1
0k 1k z1 11k z1 2k
z2＝G0

01 1 11 z 1

02 12z1 112z1 22z2
奇数时有一个一阶节，注意 0k 的位置
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特点：（1）只能调整极点（因按极点展开） （2）运算次数多，有较快的速度 （3）各级并联，各子系统的误差独立，不积累。 一般说来，并联比级联误差小
k 1
M1
M2
(1 pk z 1 ) (1 qk z 1 )(1 qk z 1 )
A k1
k 1
N1
N2
(1 ck z1 )
(1

d
k
z
1
)(1

d
k
z
1
)
k 1
k 1
零极点分布表示法
极点
c 其中 M1 2M2 M ，N1 2N2 N ，pk 、 k 为实根，
(2)系数 a k 、bk 变化，极点变，频响变。有限字长
时，易不稳定。 三、级联型（串联）
把H(z)多项式（分子与分母）分解成一次多项式之积的形式。
h(n)是实数 H(z)是实系数的有理分式 零点极点必为实 数或共轭对称
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M
bk z k
H(z)
k 0 N
1 ak z k
零点
n0
m0
2
h(n) h(N 1 n)
N 11 2
h(n)[z n

z ( N 1n) ]
h(
N

1
)z

N 1 2
（5-27）
n0
2
z

N 1 2
{
N 1 2
1
h(n)[z
(
N 1 2

n)

( N 1n)
z 2 ]
h(
N
1)}
n0
(2)H(z)是 z1的多项式，全部 ak 0
全部极点在z=0处，有限z平面有N-1个零点（h(n) 为N点序列时） (3)结构上非递归（无反馈） 若出现极点则用零点抵消 频率抽样结构（增加 非递归结构） (4)有限长冲激响应h(n)，故系统必是稳定的 有限长冲激响应h(n)，若为非因果，则经过延时 成为因果。
N

M

N
MN
Gk zk
k 1
0
一般IIR，M N

M

N
G0

即N1个一阶系统，N2个二阶系统及M-N个延时系统。
16
M=N时
H(z)

G0

N1 k1
Ak 1 ck z1
N2

k1
0k 1k z1 1 1k z1 2k z2
(5-8)
N 11 2
H (z) h(n)zn h(n)zn
N 1
h(n)z n

h(
N

1
)z

N 1 2
n0
n0
n N 11
2
2
令n

N
1m
N 11 2
h(n)z n

N 11 2
h( N
1
m)z( N 1m)

h(
N

1
)z

N 1 2
N 1
H(k)
h(n)W
nk N
n0
W
nk N
j 2 nk
e N
∴可用 H(k) 表示传递函数
H(z)
N 1
h(n)z n
n0

N 1 1 [
n0 N
N 1
H
(
k
)W
N
nk
k 0
]z n

1 N
N 1
N 1
H (k )
(W
N
k
频域乘积（对应时域级联）
14
特点： 1.调整零极点方便。有些频响要限波，则用级联型调整 零点（并联型则不行，它是按极点展开的。） 2.基本二阶节组合次序可变，在有限字长时，效果不同。
排列好——冲激响应变化缓 排列不好——冲激响应激变
15
四、并联型 将H(z)展成部分分式之和的形式。
H(z)

N 1 Ak k1 1 ck z 1

N 2 Bk (1 qk z1 )
k
1
(1

d
k
z
1
)(1

d
k
z
1
)

MN
Gk zk
k 1
(5-7)
频域相加（对应时域并联）
c q 其中
Ak、Bk 、Gk
、
k
、
k
实数，d
k
、d
k
共轭复数，N1 2N 2 N

M