《全等模型之一线三直角模型》教学设计1
人教版九年级数学下册《相似专题“一线三等角”模型》教学设计
《相似专题——“一线三等角”模型》教学设计一、【教材分析】教学目标知识技能经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”模型的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本模型。
过程方法1、培养学生观察、分析、想象、归纳和逻辑推理的能力；2、体会由特殊到一般思想、分类讨论思想和化归思想方法。
情感态度敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题.教学重点归纳“一线三等角”模型的基本特征。
教学难点在不同的背景中识别“一线三等角”模型，以及灵活解决该模型的相关问题。
学情分析该班级学生已完成了中考第一轮基本知识点的复习，对相似的判定以及相似性质的运用较熟练。
为提升综合解决问题的能力，设计了“一线三等角”模型的专题训练。
教学内容分析《相似》一章的教学内容位于人教版九年级下册第二十七章，是中考的重要考点之一,而“一线三等角”模型也曾多次出现在中考的压轴题里面，因此有必要对“一线三等角”模型进行专题训练。
问题设计师生活动设计意图环节一·从特殊到一般【归纳1】“K字型”条件：三个直角结论：△CBE∽△EAD 学生回忆曾接触过的K字型，教师引导学生回答：K字型题目一般给出什么条件，能得到什么结论。
通过回忆K字型的条件与结论，为归纳“一线三等角”模型的基本特征作铺垫。
几何画板展示三个直角变为三个相等的锐角或钝角。
【归纳2】“一线三等角”条件：①有三个相等的角；②三等角顶点在同一直线上。
结论：△CBE∽△EAD∠B的对应角为∠C的对应角为∠BEC的对应角为BC的对应边为BE的对应边为CE的对应边为则，学生思考：当三个直角变为三个相等的锐角或钝角的时候，两三角形相似的结论是否还成立？教师引导学生得出证明两三角形相似的过程，并归纳出“一线三等角”模型的基本特征。
学生找准相似三角形的三对对应角，三对对应边，从而得出进一步推论：对应边的比相等。
通过几何画板动态展示，让学生直观感受“一线三等角”模型的几种形态。
初中数学_全等三角形AAS定理——一线三等角模型教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计全等三角形AAS定理一线三等角模型课程分析：本节课是在学生学完八年级直角坐标系和一次函数之后，全等三角形定理在函数中的应用过程，包括在坐标系中如何构造全等三角形，要求学生对AAS定理的熟练应用，能在直角坐标系中等腰直角三角形为模版，找出直角点的坐标来。
一线三等角模型在几何和函数中都有重要应用，包括两者结合的综合题，树立学生的一线三等角的数学模型思想，会让学生再解这类题时更加得心应手。
因此，本节课的复习目标是：复习目标：1.能熟练运用AAS定理证三角形全等体会“一线三等角”几何模型在解题中的作用.2.能构造出“一线三等角”模型，能提炼出“一线三等角”几何模型,提高解决问题的能力.学情分析：本班的学生学习数学的热情较高，基础挺好，思维比较活跃，研究的气氛比较浓，但需要进行适当的引导，一方面鼓励他们学习、提问的热情，一方面利用他们不同的见解，不同的看法，推进课堂进度，使问题回归知识本质从而使学生成为课堂的主人。
设计思路：本节课采用“诱思探究教学”，让学生在教师导向性信息的指引下，动用所有的感官，亲身体验，独立思考，自主探究，合作学习。
使本节课的教学任务得以顺利的完成。
充分体现“已诱达思，启智悟道”的教学精髓。
本节课采用学生动手和多媒体教学相结合的教学方法。
一方面增强了学生的动手能力，增加了学生的学习兴趣，另一方面通过演示使得导向性信息更加明确，有利于学生严密思维习惯的养成。
教学过程： 导入：构造全等三角形时，技巧性不够，缺少数学模型思想，针对以上这个问题，引出复习目标。
一：归纳篇： 1.通过做习题1:已知：如图，AB=AD,∠C=∠BAD=∠E=90,点C 、A 、E 共线。
求证：（1）∠1=∠2 （2）△ABC ≌△DAE第一个结论是应用的同角的余角相等这个结论。
第二个全等的结论运用的是AAS 定理的，（让学生 体会用AAS 定理证全等，关键是证角相等） 从而让学生观察本题特点，引出一线三直角 数学模型。
初中数学_几何模型——一线三等角教学设计学情分析教材分析课后反思
几何模型——一线三等角教学目标：1、掌握相似三角形的判定和性质，并能熟练运用其解决重要类型“一线三等角”的类型题.2、经历运用相似三角形知识解决问题的过程，体验图形运动、分类讨论、方程与函数等数学思想.3、通过问题的解决，体验探究问题成功的乐趣，积极探索，提高学习几何的兴趣.重点：相似三角形的判定性质及其应用.难点：与相似、函数有关的综合性问题的解决技巧和方法.教学方法：启发式教学方法，尝试指导教学法.一、知识梳理：（图1）（图2）（1）如图1，已知三角形ABC中，AB=AC,∠ADE=∠B，那么一定存在的相似三角形有；（2）如图2，已知三角形ABC中，AB=AC,∠DEF=∠B，那么一定存在的相似三角形有.二、【专题练习】1.如图，等边△ABC中，边长为4，D是BC上动点，∠EDF=60°，（1）求证：△BDE∽△CFD；（2）当BD=1，FC=52时，求BE.2.在边长为4的等边ABC∆中，D是BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，且保持ABCEDF∠=∠，连接EF.(1) 已知BE=1,DF=2，求DE的值； (2) 求证：∠BED=∠DEF.3.在边长为4的等边ABC ∆中，若BD =1时，当△DEF 与△AEF 相似，求BE 的值.4.如图，已知边长为3的等边ABC ∆，点F 在边BC 上，CF =1，点E 是射线BA 上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ∆，直线EG ，FG 交直线AC 于点M ，N ，（1）写出图中与BEF ∆相似的三角形；（2）证明其中一对三角形相似；（3）设BE =x ，MN =y ，，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.5.在ABC ∆中，O BC AC C ,3,4,90===∠o 是AB 上的一点，且52=AB AO ，点P 是AC 上的一个动点，OP PQ ⊥交线段BC 于点Q （不与点B ,C 重合），已知AP =2，求CQ .QC A P三、例题分析例。
全等三角形单元复习(一线三等角模型)课件 (共18张PPT)2023-2024学年人教版八年级上学期
（1）求证:CF=BE+EF；
（2）连接BF，BE=3,CF=9,
求∆BFE的面积.
感谢聆听
S∆BMC:S∆ABO.
D
图2
C
课堂小结
分层作业
必做题：1、如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、
F分别在AB、BC、AC边上，BE=CF，且∠B=∠DEF，
求证：DB=EC.
选做题：2.如图，在∆ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
P在BC靠近B处,连接AP，线段BE⊥AP于点E，线段
当AB=BC时,求证:∆ABD≌∆BCE .
A
C
D
B
E
第3关
第2关
第1关
第二关
变式1.如图，D、A、E三点都在直线m上，若
∠1=∠2=∠3，且BA=CA，求证：DE=BD+CE.
第二关
变式2.如图，在∆ABC中，∠B=∠C，BE=CF，
且∠AEF=∠B，求证：AC=EC.
第3关
第2关
第1关
第三关
全等三角形 AAS定理
一线三等角模型
学习目标
1.经历观察、分析、归纳的学习过程，归纳整理出
“一线三等角”图形的基本特征；
2.能在不同背景中提取基本模型，并运用其解决问题；
3.在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的
重要性.
创设情境，探究1.如图，AD⊥DE，CE⊥ED，∠ABC=90°，
探究2.如图，CA⊥BP，DB⊥BP，
∠DPC=90°，且CP=DP，AC=4，
BD=3，求AB的长.
明晰概念，归纳模型
应用模型，解决问题
“一线三等角”型相似优秀教案
“一线三等角”型相似教学目标：1、了解“一线三等角”型相似三角形的基本模型，建立模型解题意识；2、能熟练利用“一线三等角”型相似模型解决数学问题.教学重点：识别、构造“一线三等角”型相似模型并应用.教学难点：构造“一线三等角”型相似模型并灵活运用.教学方法：探究式教学法教学过程：1、建立模型：（1）如图，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，点B、C、D在同一直线上，则△ABC∽△CDE．（2）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．则△ABD∽△DCE．简介：两个等角的一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧。
若有第三个与之相等的角、其顶点在该直线上，角的两边（或两边所在直线）分别与两等角的非共线边（或该边所在直线）相交，此时通过证明，一般都可以得到一组相似三角形，该组相似三角形习惯上被称为“一线三等角型”相似三角形．应用1、如图，在边长为9的正方形中，为上一点，连接.过点作ABCD F AB CF F ，交于点,=3，则等于( )FE CF ⊥AD E AF AE A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5应用2、如图，点在反比例函数的图像上，点在反比例函数A 6(0)y x x =-<B 1(0)y x x=>的图像上，且，则的值为( )90AOB ∠=︒AO OBA. 6B. 3 D. 2应用3、如图，在等边中，为边上一点，且，求ABC ∆D BC 60,3,2ADE BD CE ∠=︒== 的边长.ABC ∆应用4、如图，等腰三角形OAB 的一边OB 在x 轴的正半轴上，点A 的坐标为(6，8)，OA=OB ．动点P 从原点O 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向点B 匀速运动，动点Q 从原点O 出发，沿y 轴的正半轴以每秒1个单位的速度向上匀速运动，过点Q 作x 轴的平行线，分别交OA 、AB 于E 、F ，连结PE 、PF ．设动点P 、Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也停止运动，它们运动的时间为t 秒(t ≥0)．(1)点E 的坐标为___________，F 的坐标为 ___________ ；(均用t 来表示)(2)是否存在某一时刻t ，使∠EPF 为直角?若存在，请求出此时刻t 的值：若不存在，请说明理由．应用5、如图，已知点A 是双曲线y =在第一象限的分支上的一个动点，连结AO 并延长2x 交另一分支于点B ，以AB 为边作等边△ABC ，点C 在第四象限．随着点A 的运动，点C 的位置也不断变化，但点C 始终在双曲线y =(k <0)上运动，则k 的值是 .k x4、课堂小结感悟：____________________________________________________________________________________________________________________________________________________5、练习与作业：1．如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=，则小正方形的周长为（ ）A．B．C．D．2．如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于点D，已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为（ ）A． B． C． D．OABC O A x3.如图，将一张矩形纸片放在平面直角坐标系中，为原点，点在轴的正半轴C y OCD BD C OA上，点在轴的正半轴上.在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处.若=10,=5，则点的坐标为___________ .E OA CD E4. △ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△CNE；（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．。
全等模型之一线三直角模型教学设计1
《全等模型之一线三垂直模型》----教学设计蠡县实验中学张娜一、教学目标1.学生学会利用一线三垂直模型判定两个三角形全等。
2.学生经历观看比较归纳的学习进程，归纳出一线三垂直模型的大体特点，并能够在不同的背景下熟悉和把握大体图形3.学生在学习进程中熟悉到总结几何模型对几何学习的重要性。
二、教学重点、难点1.重点：运用判定方式解决“一线三垂直”的相关计算和证明。
2.难点：在不同的背景中识别模型。
三、教学进程1.模型介绍如图，假设红色部份为等腰直角三角形，请问黄色的两个直角三角形有什么关系？设计用意：激发学生试探，学生能够结合图形判定，并结合图形说明里理由。
方式总结：K“字模型往往以等腰三角形为依托，构造一组全等的直角三角形，从而实现边与角的转移.2.模型应用如图，点A（5，2）绕点O逆时针旋转90°到A'，那么A'的坐标为____________设计用意：那个问题并无直接给学生呈现出模型图，需要学生自己在平面直角坐标系那个背景中，将一线三垂直的模型构造出来。
最后总结，只要有等腰+直角这两个条件，就能够通过做垂直把模型构造出来。
3，常见模型：问题：有无其他的方式呢？适才同窗们做了x轴的垂线，可不能够做y轴的垂线呢？然后展现常见的一线三垂直的模型。
设计用意：设计那个问题，是把k字模型进行变式，让学生增加对模型变式的了解。
目的是拓展学生的思维。
4应用提升：（1）.如图，已知直线l: 与x,y轴别离交于A,B两点，直线m通过点B且与l的夹角等于45°，求直线m的解析式。
设计用意：让学生明白等腰+直角的条件也会以不同的方式给出，比如45度。
有了45度就能够够构造等腰直角三角形。
（2）.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°取得线段PE，PE交边BC于点F．连接BE、DF。
求证：∠ADP=∠EPB；求∠CBE的度数；设计用意：将模型应用在正方形的背景中，与正方形有关知识结合起来，再次对模型进行应用，提升。
12.2三角形全等的判定-一线三等角全等模型(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与“一线三等角”全等模型相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直尺和量角器来构造满足“一线三等角”条件的三角形，并验证它们的全等关系。
3.能够运用“一线三等角”全等模型解决实际问题，如几何图形的拼接、角度的求解等。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.增强空间观念：通过“一线三等角”全等模型的探究，使学生能够把握图形的空间特征，提高空间想象力和直观感知能力。
2.提升逻辑推理能力：在学习SSA判定方法的过程中，培养学生严谨的逻辑思维，让学生学会从特殊到一般、从具体到抽象的分析和解决问题。
- SSA判定方法的应用：重点讲解在已知一边和两个角（其中一个为非夹角）的情况下，如何判定两个三角形全等，并强调在应用时需要注意角的对应关系。
-实际问题的解决：将全等知识应用于解决实际问题，如测量、建筑、艺术等领域的问题。
举例：在讲解“一线三等角”全等模型时，可以给出以下例题进行强调：
问题：在直线MN上，有∠AMN=∠BPN=∠CQO=90°，AB=BC，证明△ABC全等于△PQN。
其次，实践活动中的分组讨论环节，我发现有些学生参与度不高，可能是由于主题难度较大或者他们对讨论的主题不够感兴趣。针对这个问题，我计划在下次的活动中，提供更多元化的讨论主题，或者引入一些竞争机制，以提高学生的参与度和积极性。
在学生小组讨论环节，我发现很多学生能够提出有见地的观点，但他们的表达和逻辑推理能力还有待提高。在接下来的教学中，我将更加注重培养学生的表达能力和逻辑思维，通过提问和引导，帮助他们更好地组织语言和思考。
初中数学北师大七年级下册(2023年新编) 三角形全等三角形基本模型之一线三等角教学设计
全等三角形基本模型之一线三等角教学设计【教学目标】1、会用“一线三等角”的基本图形解决三角形全等中的相关问题2、学生经历观察、比较、归纳的学习过程，归纳出“一线三等角”图形的基本特征，并且能够在不同的背景中认识和把握基本图形。
3.学生在学习过程中感受几何直观图形对几何学习的重要性。
【教学重点】运用“一线三等角”全等型的基本图形解题。
【教学难点】“一线三等角”的基本图形的提炼、变式和运用【教学方法】合作探究、小组讨论【教具准备】三角尺，多媒体．【教学过程】引例一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉在两根柱子之间(如图所示)，这一幕恰巧被老师看见了，于是老师要求小明同学完成此图中△ADC≌△CEB的证明,请同学们小组讨论，帮助小明同学完成证明.通过实际问题引发学生思考。
在证明三角形全等的过程中，一能复习全等三角形的判定方法，二则引出本节课所讲的内容：“一线三等角”。
提出问题：请同学们帮助小明同学完成△ADC≌△CEB的证明.激发学生的思考，学生可以结合图形判断，并结合图形说明理由。
已知： . 求证：△ADC≌△CEB证明: ∵∠ACB=90°，∴∠2+ =90°∵AD⊥DE∴∠2+ =90°∴( )在△ADC和△CEB中，，，∴△ADC≌△CEB（）从实际问题出发，提升学生数学建模和数学抽象的核心素养。
几何题的步骤书写是学生的一大难题，通过填空的方式让学生熟悉和巩固全等三角形证明步骤的书写，提升学生数学抽象的核心素养抽同学展示填空结果，并纠正相关步骤书写学生学会从实际问题中提炼已知条件并用符号语言记录例1如图1，在Rt△ADC中,∠ADC=90°,点E在DC 的延长线上，且AD=CE,过C点作BC⊥AC，与DE的垂线BE相交于B. 求证：DE=AD+BE.从最特殊的“一线三直角”模型的应用出发，累积“直观经验”的量变引导学生找出“一线三直角”学生自主完成这道题，并思考图形特征变式1如图，若将例1中的三个直角改为三个相等的角，即∠ADC=∠ACB=∠BEC=α，AD=CE，求线段DE、AD、BE之间的数量关系.变式2若将例1中的直线DE绕点C旋转到图2所在的位置，即∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，AD=CE，求线段DE、AD、BE的数量关系.运用从特殊到一般的数学思想方法，逐层加深，抽象出模型特征。
初二上学期全等三角形专题之一线三等角模型教案(有答案)
一线三等角互动精讲【知识梳理】【例题精讲】题型一、一线三等角（直角）例1、已知如图1，△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于E，CE⊥AE于E．（1）证明：BD=DE+CE；（2）若直线AE绕点A点顺时针旋转，当点B、C在AE同侧且BD＜CE，其它条件不变，在图2上画出此时的图，并直接写出BD与DE、CE的关系，不须证明；（3）继续绕点A顺时针旋转，当B、C在AE同侧且BD＞CE其它条件不变，在图3上画出此时的图，并写出BD与DE、CE的关系，请加以证明．例2、已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A、B分别是x轴和y轴上的一动点。
(1) 如图1，若点C的横坐标为－4，求点B的坐标；(2) 如图2，BC交x轴于D，若点C的纵坐标为3，A(5，0)，求点D的坐标；(3) 如图3，分别以OB、AB为直角边在第三、四象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，EF交y轴于M，求S△BEM∶S△ABO。
5432215215221=⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+=OD OD S S S DCMDMB BCM △△△ ∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,54D题型二、一线三等角（一般角）例3、如图，在△ABC中，AB=AC，P、M分别在BC、AC边上，且∠APM=∠B，AP=MP，求证：△APB≌△PMC例4、已知，M是等边△ABC边BC上的点，如图，连接AM，过点M作∠AMH＝60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交于点H，过H作HD⊥BC于点D(1) 求证：MA＝MH(2) 猜想写出CB、CM、CD之间的数量关系式，并加以证明【课堂练习】1、如图，等腰Rt △ACB 中，∠ACB=90°,∠CAB=∠CBA=45°，AC=BC ，E 点为射线CB 上一动点，连接AE ，作AF ⊥AE 且AF=AE ．（1）如图1，过F 点作FG ⊥AC 交AC 于G 点，求证：△AGF ≌△ECA, AG=EC ； （2）如图2，在（1）的条件下，连接BF 交AC 于D 点，若AD=3CD ，求证：E 点为BC 中点；（3）如图3，当E 点在CB 的延长线上时，连接BF 与AC 的延长线交于D 点，若34=BE BC ，则________=CDAD2、等腰Rt△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，点A、点B分别是y轴、x轴上的两个动点。
北师大版初中数学九年级上册 总复习-一线三直角模型 教案
一线三直角模型教学设计主 题： 《一线三直角模型》 授课对象：九年级学生 一、目标确定的依据 （一）课程标准相关要求经历借助图形思考问题的过程，初步建立几何直观. 课标分解：1.从认知角度分解课标：2.从能力角度分解课标：知识分类：一线三直角基本图形提炼识别能应用或构造一线三直角解决问题题应用构造（二）模型分析《义务教育课程标准》指出：在数学课程中要培养学生的几何直观能力. 相似（全等）是初中平面几何的重要组成部分之一，一线三直角基本图形不仅是证明三角形相似（全等）的一个重要的几何模型，更是一种思想方法，是一个数学问题在剔除无关信息后的本质结构，借助该模型可以把复杂的几何问题变得简明、形象，有助于学生探索解决问题的思路，培养直观想象、类比迁移的能力，提高思维品质.（三）学情分析1. 学生的已有基础知识技能基础：九年级学生已经能够较熟练的掌握三角形相似和全等的判定方法，具备运用相似（全等）的相关知识解决问题的能力，并且具备了一定的几何说理和有条理的数学表达能力.活动经验基础：在七八年级的学习中学生已经经历了观察、归纳、总结、表达等活动过程，经历了几何图形的分析、推理过程，具有一定的作图能力，也积累了一定的合作交流能力.2.学生面临的问题（1）缺乏简洁、明了的几何说理能力；（2）直观想象、类比迁移的能力和逻辑思维的严谨性有待提高.（四）核心素养落实分析数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析是培养学生数学学科发展的核心素养.本节课通过探索、归纳、应用等过程主要落实以下核心素养：（1）通过“识模型”环节，探索两个图形的共同特征，提炼一线三直角模型，培养学生数学抽象的核心素养能力.（2）通过“用模型”环节，在不同的几何背景中应用或构造一线三直角模型解决问题，发展学生直观想象和逻辑推理的核心素养能力.依据《课程标准》，根据学生的实际情况及核心素养落实情况，确定本节课的学习目标为：1.通过探究两个引例，能找到两个图形中的共同特征，提炼并画出一线三直角基本图形；2.通过以等腰直角三角形为基本工具，能在不同的几何背景中应用或构造一线三直角模型解决问题；3.通过几何画板演示，能识别一线三直角模型的不同形式.二、学习重、难点重点：会应用一线三直角模型解决问题.难点：一线三直角模型的构造.三、评价设计（一）评价标准1.能否用规范的语言进行几何说理，依据是否述说准确.2.能否全面、准确找到两个图形的共同特征，提炼出一线三直角模型，理解一线三直角模型反映的本质问题.3.能否在不同的几何背景中应用或构造一线三直角模型解决问题.4. 能否在几何画板演示中，识别一线三直角模型的不同形式.（二）评价任务针对目标1：设计了表现式评价，通过对两个引例的探究，复习三角形相似和全等的判定方法，感知图形的共同特征，提炼一线三直角模型.针对目标2：设计了交流式评价和表现式评价，以等腰直角三角形为基本工具，在不同的背景中应用或构造一线三直角模型解决问题.针对目标3：设计了表现式评价，通过几何画板演示，识别一线三直角模型的不同形式，由“三直角”变成“三等角”，特殊到一般，引发学生思维发展.（三）评价样题 实战演练（目标2）1.（90%） 如图1，点A (5，2) 绕点O 逆时针旋转90°到点A'，则点A'的坐标为 .2.（75%）如图2，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =7,∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，EF ⊥ED 交AB 于点F ,则EF = .图1 图2四、教法与学法结合学生已有的知识和活动经验，本节课采用独立思考、探究发现、合作交流的学习方法，创设问题情境，通过观察、联想、类比迁移，鼓励学生先思考，后交流，探索解决问题的方法． 五、教学过程教学过程共设置五个环节，分别是：识模型、命模型、用模型、悟模型和延模型. （一）识模型（目标1）1. 出示两个引例，并由学生上台述说过程.引例1. 如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点（与B 、C 不重合）FDB CA∠AEF=90°，观察图形：△ABE与△ECF有什么关系？并说明理由.引例2.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线MN经过点A，且BF⊥MN于点F，CE⊥MN 于点E，观察图形：△ABF与△CAE有什么关系？并说明理由.【学习评价】关注学生是否能条理清晰的说出证明过程，依据是否表述准确.2.思考：（1）两个图形有什么共同的特征？（2）能否从两个图形中提炼出一个基本图形？【学习评价】关注学生对两个图形的共同特征表述是否全面、准确，是否在导学案上正确画出基本图形及班级达成率.【设计意图】设置两个图形结构相似的引例，便于学生在观察、对比中发现两个图形的共同特征，提炼出基本图形，在证明三角形相似（全等）中总结基本图形中蕴含的知识.（二）命模型三个直角顶点在一条直线上学生根据模型的特征给模型命名：一线三直角【设计意图】由学生用自己的语言总结图形特征并根据特征给该模型命名，避免教师的灌输，便于学生接受，从而充分调动学生的主观能动性，同时培养了学生的概括表达能力，体现学生的主体地位.（三）用模型（目标2）例1.如图，在矩形EFMN中，EF=4，FM=6，当等腰直角三角形ABC的直角顶点C在F M边上移动时，直角边AC始终经过点E，另一直角边BC交MN于点P.若设FC=x，MP=y，求y与x之间的函数关系式.变式1.如图，l1∥l2∥l3，等腰直角三角形ABC的三个顶点分别在l1，l2，l3上，AC=BC=5，相邻两PANEFBM条平行线之间的距离均为h，则h的值为 .l1l2l3变式2.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点B在原点处，且点A(2，4)，则点C的坐标为 .(B)1. 如图1，点A(5，2) 绕点O逆时针旋转90°到点A'，则点A'的坐标为.2. 如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=7,∠BAD的角平分线交BC于点E，EF⊥ED交AB 于点F ,则EF = .图1 图2【设计意图】 检测学生本节课的学习效果，第1题易于想到构造一线三直角模型，让学生获得学习的成就感，第2题在识别一线三直角时设置一些干扰，学生需要剔除无关信息找到本质结构.（五）延模型（目标3）思考：“三直角”变成“三等角”，△ABF 与△CAE 还全等吗？【设计意图】通过几何画板演示，让学生观察变中的不变，识别一线三直角的不同形式，对比加深对一线三直角的理解，由“三直角”变成“三等角”，特殊到一般，再次引发学生思考.（六）课后作业（目标2，3）1. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为矩形，点F EDBCA yxOAA'B的坐标为(1，2)，△OAB沿直线OB翻折，点A落在点D处，则点D的坐标为 .2.完成“延模型”的思考问题.【设计意图】课后作业是课堂学习的延伸，第1题类比变式2，再次巩固构造一线三直角解决问题的方法，第2题培养学生由特殊到一般思考问题的数学思想方法.六、板书设计一线三直角模型同角的余角相等相似（全等）边、角关系。
专题“一线三等角”的相似模型教学设计
相关图表素材
几何图形解析
精心设计的图表,详细展示不同类型的几何图形及其相似性关系。
建筑模型对比
对比不同尺度的建筑物模型,形象说明相似模型的长度比、面积比等特征。
机械部件分析
利用工程图纸和细节截图,深入分析机械设备内部相似零件的设计。
教学评价
为了全面评估学生的学习效果,我们将采取多元化的教学评价方式,既包括学习过程中的观察和诊断,也涵盖期末的综合考核。通过这样的评价体系,我们可以及时发现学生的掌握程度,并针对性地提供帮助与反馈。
展示交流
1
小组展示
各小组将自己设计的相似模型进行展示,详细介绍模型的特点和设计思路。
2
师生点评
师生对小组展示的相似模型进行点评,提出建设性意见和建议。
3
交流讨论
师生就相似模型的应用、设计方法等进行讨论交流,互相学习。
小结反思
总结相似模型的重要性
通过本节课的学习,我们深入了解了相似模型的概念及其在生活中的广泛应用,极大地拓宽了视野。
动手制作自己的相似模型
为了巩固学习成果,我们将安排一系列的练习活动。首先,让学生在生活中寻找并识别各种相似模型,观察它们的共同特点。接下来,通过分析相似模型的长度比、面积比等指标,深化对相似模型概念的理解。最后,鼓励学生动手设计并制作自己独特的相似模型,运用所学知识将创意付诸实践。这些练习将帮助学生更好地掌握相似模型的本质内涵。
未来展望
1
融合创新
将相似模型概念与新兴技术如虚拟仿真、3D打印等深入融合,开拓更广阔的应用前景。
2
跨学科协作
与数学、物理、艺术等相关学科联手,探索跨界整合的教学模式,提升学生的综合素养。
3
持续优化
基于教学实践和反馈,不断优化教学内容、方法和资源,持续提高相似模型教学的质量和效果。
【原创】专题一 “一线三等角”模型在全等中的应用
专题一“一线三等角”模型在全等中的应用一、学习目标1、通过观察、比较、归纳，总结“一线三等角”图形的基本特征；2、在不同的背景中认识和把握基本图形，体会抽象模型，图形变换，变式类比的思想方法.二、温馨提示学习重点：运用“一线三等角”基本模型解决全等中的相关问题.学习难点：“一线三等角”基本模型的提炼、识别、变式、运用.三、课前热身⑴如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，求证：DE=BD+CE⑵如图，将⑴中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠BAC=∠CEA=α，其中α为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？若成立，请你给出证明，若不成立，请说明理由.四、课堂探究1. 建立模型一线三等角的定义：当某条直线或线段上的依次排列着三个等角时，一组相等角的对边也相等时，首尾两个角所在的三角形全等，我们把这种特殊的全等，叫作“一线三等角”.基本图示如下：⑴已知，∠E=∠BAC=∠D,AB=AC，当点A在线段DE上时，求证：△ABE≌△CAD⑵已知，∠E=∠BDE=∠BAC,AB=AC，当点A在直线DE上时，求证：△ABD≌△CAE2.识别一线三等角模型：在一条直线上出现了三个相等的角，一组相等角的对边也相等时，可证两个三角形全等.五、典型例题1. 四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG（点D，点F在直线CE的同侧），连接BF⑴如图1，当点E与点A重合时，请直接写出BF的长；⑵如图2，当点E在线段AD上时，1AE=，①求点F到AD的距离；②求BF的长⑶若310BF=，请直接写出此时AE的长.图1 图2 备用图六、课堂练习2. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点，连接AP，直线BE垂直于直线AP，交AP于点E，直线CF垂直于直线AP，交AP于点F．⑴如图1,当点P在BD上时，求证：CF=BE+EF；⑵如图2,当点P在DC上时，CF=BE+EF还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请画出图形，并直接写出CF、BE、EF之间的关系．33，∠MBD=30°，求CP的长.⑶如图3,若直线BE的延长线交直线AD于点M，BM=3．已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M．⑴当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时，如图1，求证：AB+BE=AM；⑵当点E在边CB的延长线上，点M在边AD上时，如图2；当点E在边BC的延长线上，点M在边AD上时，请直接写出线段AB，BE，AM之间的数量关系；3，∠AFM=15°，求AM的长.⑶若BE=4. 如图1,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC,∠ACB=90°,直线l经过点C,AF⊥l于点F,BE⊥l于点E,点D是AB的中点,连接ED.(1) 求证:△ACF≌△CBE；(2) 求证:AF=BE+2DE；(3) 如图2,将直线l绕C点旋转到△ABC的外部,其他条件不变,连接DE，若AB=42,∠CBE=30°,求DE的长.图1 图2七、课后作业5. 如图1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D、E，AD=2.5，DE=1.7⑴求BE的长．⑵如图2,将CE所在直线旋转到△ABC的外部，其它条件不变，请你猜想AD、DE、BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．⑶如图3，将⑴中的条件改为：在△ABC中，AC=BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC=∠ADC=∠BCA=α，其中α为任意钝角，那么⑵中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．6．⑴如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E．求证：DE=BD+CE．⑵如图2，将⑴中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．⑶如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．。
“一线三等角”相似模型专题学习学案设计
B B §专题学习：“一线三等角”相似模型学案设计一．类比探究，问题导入：（1）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=90°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
（2）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=60°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
（3）如图，已知∠A=∠BCD=∠E=120°，图中有没有相似三角形？并说明理由。
思考：二、抽象模型，揭示实质如图，已知∠A=∠BCD=∠E=α°，图中有没有相似三角形，并写出证明过程。
总结规律：顺口溜：“一线三等角，两头对应好，外角导等角，相似轻易找。
”特别注意：在写相似三角形时，要找好对应点。
三、运用新知，看图作答E ED C B A 观察以上三个图形，同学们能否说说这三个图形的共同特点？归纳： E例1：下列每个图形中，∠1=∠2=∠3，请你快速找出“一线三等角”的基本图形所形成的相似三角形(对应顶点写在对应位置）。
四、典例解析 综合运用五、模型构造，综合提高例4：**友情提示：能不能构造“一线三等角”解题呢？六、小结收获 交流归纳七、分层作业1.（必做题）如图，在等腰Rt△ABC 和等腰Rt△ADE 中，△BAC=△DAE=90°,且点D 在BC 上，DE 与AC 相交于点F 。
（1）求证：△ABD△△DCF(2)若AB=1，BD= 22,求CF 的长。
2.（必做题）矩形ABCD 中，把DA 沿AF 对折，使D 与CB 边上的点E 重合，若AB=8, EC=4,求AD 的长。
3.（选做题）如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAB 的一个顶点在原点处,△ABO=90°,OB=AB,已知点A(2,4),求点B 的坐标。
例2：如图，在边长为9的等边三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，求AE 的长. ADB EC 友情提示：要学会从复杂的几何图形中分离出“一线三等角”.例3：如图，将矩形ABCD 沿线段AE 翻折，使得点D 落在BC 上点F 处，若AB=3，BC=5. 求CE 的长. F D B C A E 思考：你们可以有几种方法求解？A F E DBC A B O yx。
八年级全等模型第1讲一线三等角课件
中位线定理
证明角度相等方法
④角度的和差关系
⑤证明角所在的三角形全等或类似
⑥四点共圆，对角互补
⑦圆周角定理
⑧等（同）角的余（补）角相等
课堂练习
例1、已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90° ，过点A作直线l，过B，C分别作BD⊥l于点D，CE⊥l于点E．
(1)如图1，当直线l在△ABC的外部时，求证：DE= BD+CE;
CD= DE，∠CDE=45°求证：BD= BC．
【解答】已知在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°
∴∠B=45°∵CD= DE，∠CDE=45°
∴∠DCE=
180°−∠
2
= 67.5°
在△DCB中，同理∠CDB=180°-∠DCE-∠B=67.5°
∴∠DCE=∠CDB
∴BD= BC
对应边相等即可，再根据线段的和差关系不难解出答案。
课堂练习
二、等边三角形中的“一线三等角”
例1、如图，△ABC为等边三角形，D，E，F分别AB ， BC，AC上的点，∠DEF= 60°， BD=CE．求证：BE= CF．
【解答】
已知△ABC为等边三角形
∴∠B=∠C=60°
∴∠BED+∠BDE=120°
∵∠DEF=60°
∴∠BED+∠FEC=120°
∴∠BDE=∠FEC
在△BED和△FCE中
∠ = ∠ = 60°
∵ ቐ =
∠ = ∠
∴△BED≌△FCE（ASA）
∴BE=CF
【分析】本题关键在于求证△BED≌△FCE（ASA）
一线三等角
初中数学_全等三角形AAS定理——一线三等角模型教学课件设计
《全等三角形AAS定理》
一线三等角模型复习课
复习目标
1.能熟练运用AAS定理证三角形全等
体会“一线三等角”几何模型在解题中
的作用.
猜想5：…………….
αα
A
D
“一线三等角”归纳：
关键是找一组相等的衍生角，加上一组已 知角，再加上一组已知边 ，则两个三角 形全等。
【一试身手】
限时训练1：如图所示，直线a经过正方形ABCD 的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于 点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的 长为 ．
（同角的余角相等）
（2）△ABC≌△DAE
AAS
2
31
“归纳”篇
【拓展延伸】由特殊到一般
探究：
已知：如图，∠E=∠CAB= ∠D=∠α,AB=AC,E,A,D共线。
猜想一个你认为正确的结论。
B
猜想1： ∠CAE=∠B
C
猜想2： △AEC≌△BDA 猜想3：EC=AD AE=BD
α
E
猜想4：DE=BD+CE
2.再生成三等角
应用篇
【一试身手】
如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系 中，O是原点，A的坐标是 （1 ， ），则点C的坐标是（ ）
A．（﹣ ，1） B．（﹣1， ） C．（ ，1） D．（﹣ ，﹣1）
“一线三等角”在一次函数中的应用
已知：如图，在平面直角坐标系中，直线y=x上一点P
（2,2），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺
《全等模型之一线三直角模型》教学设计1
《全等模型之一线三垂直模型》----教学设计蠡县实验中学张娜一、教学目标1.学生学会利用一线三垂直模型判定两个三角形全等。
2.学生经历观察比较归纳的学习过程，归纳出一线三垂直模型的基本特征，并能够在不同的背景下认识和把握基本图形3.学生在学习过程中认识到总结几何模型对几何学习的重要性。
二、教学重点、难点1.重点：运用判定方法解决“一线三垂直”的相关计算和证明。
2.难点：在不同的背景中识别模型。
三、教学过程1.模型介绍请问黄色的两个直角三角并结合图形方法总结：K“字模型往往以等腰三角形为依托，构造一组全等的直角三角形，从而实现边与角的转移.2.模型应用如图，点A（5，2）绕点O逆时针旋转90°到A'，则A'的坐标为____________设计意图：这个问题并没有直接给学生呈现出模型图，需要学生自己在平面直角坐标系这个背景中，将一线三垂直的模型构造出来。
最后总结，只要有等腰+直角这两个条件，就能通过做垂直把模型构造出来。
3，常见模型：问题：有没有其他的方法呢？刚才同学们做了x轴的垂线，可不可以做y轴的垂线呢？然后展示常见的一线三垂直的模型。
设计意图：设计这个问题，是把k字模型进行变式，让学生增加对模型变式的了解。
目的是拓展学生的思维。
4应用提升：（1）.如图，已知直线l:与x,y轴分别交于A,B两点，直线m经过点B且与l的夹角等于45°，求直线m的解析式。
设计意图：让学生明白等腰+直角的条件也会以不同的方式给出，比如45度。
有了45度就可以构造等腰直角三角形。
（2）.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，?PE 交边BC于点F．连接BE、DF。
求证：∠ADP=∠EPB；求∠CBE的度数；设计意图：将模型应用在正方形的背景中，与正方形有关知识结合起来，再次对模型进行应用，提升。
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《全等模型之一线三垂直模型》----教学设计
蠡县实验中学张娜
一、教学目标
1.学生学会利用一线三垂直模型判定两个三角形全等。
2.学生经历观察比较归纳的学习过程，归纳出一线三垂直模型的基本特征，并能够在不同的背景下认识和把握基本图形
3.学生在学习过程中认识到总结几何模型对几何学习的重要性。
二、教学重点、难点
1.重点：运用判定方法解决“一线三垂直”的相关计算和证明。
2.难点：在不同的背景中识别模型。
三、教学过程
1.模型介绍
如图，若红色部分为等腰直角三角形，请问黄色的两个直角三角形有什么关系？
设计意图：激发学生思考，学生可以结合图形判断，并结合图形说明里理由。
方法总结：K“字模型往往以等腰三角形为依托，构造一组全等的直角三角形，从而实现边与角的转移.
2.模型应用
如图，点A（5，2）绕点O逆时针旋转90°到A'，则A'的坐标为____________
设计意图：这个问题并没有直接给学生呈现出模型图，需要学生自己在平面直角坐标系这个背景中，将一线三垂直的模型构造出来。
最后总结，只要有等腰+直角这两个条件，就能通过做垂直把模型构造出来。
3，常见模型：
问题：有没有其他的方法呢？刚才同学们做了x轴的垂线，可不可以做y轴的垂线呢？
然后展示常见的一线三垂直的模型。
设计意图：设计这个问题，是把k字模型进行变式，让学生增加对模型变式的了解。
目的是拓展学生的思维。
4应用提升：
（1）.如图，已知直线l: 与x,y轴分别交于A,B两点，直线m
经过点B且与l的夹角等于45°，求直线m的解析式。
设计意图：让学生明白等腰+直角的条件也会以不同的方式给出，比如45度。
有了45度就可以构造等腰直角三角形。
（2）.如图，点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A．B重合)，连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F．连接BE、DF。
求证：∠ADP=∠EPB；
求∠CBE的度数；
设计意图：将模型应用在正方形的背景中，与正方形有关知识结合起来，再次对模型进行应用，提升。
让学生能在不同的背景中识别出一线三垂直模型，对一线三垂
直的模型熟悉掌握。