数学史

古典时期的希腊数学摘要:本节主要讲述了巧辩学派的产生和它的历史背景，并由此引出了几何作图三大问题的出现过程，以及尺规作图出现的原因，并由许许多多的前人研究得出的结论：几何三大作图问题是不能由尺规作图解出．同时，许多人由于有尺规的限制而闯入了其他的数学领域，从而发现了许许多多新的数学问题．下面我将对此做个详细介绍．一：历史背景和巧辩学派希波战争以后，希腊城邦经济进入繁荣时期，农业、手工业、商业、航海业高度发达．雅典成为经济、政治和文化的中心．在雅典，仅手工业就有数十种分工，冶金、造船、制陶和建筑业都很兴旺．随着生产力的迅速提高，海外贸易也盛极一时．雅典的昌盛是和它在希波战争之后掌握海上霸权分不开的．公元前478年，当希腊人在希波战争中稳操胜券时，以雅典为首的城邦缔结了一个共同抗击波斯的海上同盟，因盟址在提洛岛而称为提洛同盟，入盟的城邦达二百个．雅典控制了财政、军事大权，为商品生产的市场、原料和粮食提供了方便条件．在政治上，雅典实行民主政治．在历史上，雅典素有民主的传统．公元前594年，雅典由选举产生的执政官梭伦实行一系列的改革，打击了氏族贵族的势力，维护了平民的利益，为民主政治开辟了道路．公元前509年，平民领袖克利斯提尼实行民主改革，推翻贵族统治，奠定了雅典民主政治的基础．从公元前444年起，民主政治家伯利克利进一步完善民主制度．制定雅典民主宪法，加强公民大会的权力，实行公职，向全体公民开放，发展工商业，鼓励科学文化．伯利克利时代是雅典经济文化发展的极盛时代．希腊光辉灿烂的文化，是和民主制度分不开的．新思想的萌芽和成长，需要有一个自由的气氛，要允许发表不同的一件，不压制“离经叛道”的言论．这就必须要有政治上的民主．我国“五四运动”时期提出只有民主和科学才能救中国，是有深刻意义的．民主制度的精髓，是崇尚公开精神．在公开的讨论或辩论中，要想取得胜利，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等方面的知识．于是“桥边学派”应运而生．“巧辩”一次，希腊文是使人智慧的意思．也意为“诡辩学派”、“智人学派”或“哲人学派”．巧辩学派的学者经常出入群众的集会场所，发表应时的演说．他们以教授学生雄辩术、修辞学、文法、逻辑、数学、天文等科为职业．最著名的有普罗泰戈拉，高尔吉亚，希比阿及安蒂丰等人．这个学派的数学研究中心是三大问题：1化圆为方—求做一正方形，使其面积等于一已知圆；2：三等分任意角；3：倍立方——求做一立方体，使其体积等于已知立方体的2倍这些问题的难处，是作图只许用直尺和圆规．在整个数学史上很难找出像这三个问题那样具有历久衰的魅力．希腊人的巧思，阿拉伯人的学识，西方文艺复兴时期大师们的睿智，都曾倾注于此而得不到丝毫结果．实际上这三大问题都是不可能用尺规经有限次步骤来解决的．二：尺规作图的来历几何作图，规定只能用直尺圆规，为什么要这样限制呢？原来这是希腊人遗留下来的习惯．他们这样规定有下列的原因：(1)自从泰勒斯在数学中引入了逻辑证明之后，经过两三个世纪的演变，几何逐渐发展成为一门独立的、演绎的科学．这一点突出体现在欧几里得《几何原本》之中．这本书从不多的几个基本假定出发，推导出一系列的定理，这就是希腊数学的基本精神．它要求基本假定越少越好，而推出的命题则越多越好．对于作图工具，自然也相应地限制到不能再少的程度．在欧几里得之前，早已有这种思想．到欧几里得时代，才成功的建立里这样的演绎体系．《几何原本》对作图作了几条规定：1.任何两点之间可联一直线；2.直线可以任意延长；3.以任何中心，任何半径可做一圆．根据这几条共设，作图工具就只能用尺规．由于这本书的巨大影响，尺规作图边成为希腊几何学的金科玉律，一直沿用至今．(2)和希腊人一贯提倡的奥林匹克精神有关．从公元前776年开始，希腊每4 年在伊利斯的奥林匹亚举行竞技大会．吧宗教祭祀和体育竞技结合起来，认为这是神圣的、至高无上的．他们崇尚公开平等的竞赛．要做到公开平等，就一定要共同遵守某些规则，对器械也要有所限制．智力也是一样．几何学除了有实用价值之外，还有训练智力的巨大作用．这一点充分反映在帕拉图的著作中．他主张通过几何的学习达到训练逻辑思维的目的．训练逻辑思维为什么不直接学习逻辑规律而要借助几何学呢？理由是几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．逻辑的推理和结论，还可以通过实际的观测来印证，是抽象的规律和感情认识结合起来，收到想得益彰之效．两千多年来的实践证明，通过几何学习来培养逻辑思维能力的确是行之有效的办法．同样锻炼智力也应该有某种器械的限制，这种限制最好是简单可行，容易检验的．于是就想到使用最基本的作图工具直尺和圆规．(3)以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形．圆和直线是几何学最基本的研究对象．有了尺规，圆和直线已经能够作出，因此就规定作图只能使用这两种工具了．三：三大作图问题的起源(1)化圆为方问题——圆和正方形都是最常见的几何图形，自然会想到可否作一个正方形和已知圆等面积．这就是化圆为方问题．他相当于用尺规作出π的值．设圆的半径是一个单位，那么面积就是π．若能作出一个长度为π的线段，以这个线段为矩形的一边，单位线段为另一边，这个矩形的面积就和圆相等．再将这矩形改为面积相等的正方形，就达到化圆为方的目的．在历史上，也许没有任何一个几何问题像化圆为方问题那样强烈地引起人们的兴趣．化圆为方的最早研究者是安纳萨格拉斯，以后有希波克拉底．巧辩学派的代表人物安蒂丰提出一种“穷竭法”，具有划时代的意义，它是近代极限论的雏形．关于安蒂丰的生平，，各家说法不一．他大概是和苏格拉底同时代的人，在雅典以教授雄辩术为职业，积极参加政治活动，后以失败而告终．他提出用“穷竭法”解决化圆为方的问题，记在在亚里士多德《物理学》一书中．所谓穷竭法，是先做圆内接正方形，将边数加倍，得内接正八边形，在加倍的正十六变形．这样继续下去，安蒂丰深信到“最后”，正多边形必与圆周重合，也就是多边形与圆的“差”必会“穷竭”，于是便可以化圆为方了．结论虽然是错误的，但却提供了一种求圆面积的近似方法，成为阿基米德计算圆周率方法的先导．安蒂丰的说法和我国刘徽的“割圆术”不谋而合．刘徽从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，边数越多，多边形越与圆周接近．刘徽说：“割之弥细，所失越少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”意思是割的越细，正多边形与圆周的“差”也越少．最后于圆周重合，便没有差了．这和安蒂丰的说法一致．比安蒂丰稍晚的巧辩学派另一个成员是布里松提过类似的说法，他指出圆内接正多边形的面积小于圆的面积，而外切正多边形的面积大于圆的面积．因此有一个介于两者之间的多边形，恰好等于圆的面积．至于怎样找出这个多边形却没有说清楚．(2)三等分任意角——用尺规二等分一个角是轻而易举的，自然会提出三等分一个角的问题．对于某些角如90°，135°，180°，三等分并不难，是否所有的角都是这样的？比如60°，它的1/3是20°，如果尺规可以作出，那么正9边形，正18边形也都可以作出来了．在历史上，三等分角问题就是由求作多边形这一类问题引起的．(3)倍立方——埃拉托塞尼在他的《帕拉图》一书中记述一个神话故事，后来为塞翁所引用．说是鼠疫袭击提洛岛，一个先知者说已得到神的谕示，必须将立方形的祭坛的体积加倍，瘟疫方可停息．建筑师很为难，不知怎样才能使体积加倍．于是将这个“提洛问题”去请教哲学家帕拉图．帕拉图对他们说：神的真正意图不在于神坛的加倍，而是想使希腊人为忽视几何学而感到羞愧．另一个故事也是埃拉托塞尼记述的，说古代一位悲剧诗人描述克里特王谜诺斯为格劳科斯修坟．他嫌造的太小，命令说：“必须将体积加倍，但是要保持立方的形状．”接着又说：“赶快将每边的边长加倍．”埃拉托塞尼指出这样是错误的，因为边长加倍，体积就变成原来的8倍．他接着叙述了解决这问题的历史，最后给出自己的器械解法．这些内容它是用短诗的形式写成一封信，奉献给国王托勒密三世的．并郑重其事地刻在国王圣殿的大理石板上，还附有一个解决倍立方问题的器械模型．埃拉托塞尼这封信记载在欧托基奥斯为阿基米德《论球与圆柱》所作的注释中，这两个传说都表明倍立方问题起源于建筑的需要．倍立方问题的起源还有几种说话．例如说神坛的形状和大小问题见于早期的印度文献，有可能通过毕达哥拉斯等人传到欧洲去．四：三大问题的解决一个人不管力气多大，也不可能把自己高举起来．一个学科的问题，往往要借助别的学科的知识才能解决．尺规能作出那些图形？反过来，哪些图形可以用尺规作出？这个问题欧几里得几何本身不能解决．1637年笛卡儿创建解析几何以后，尺规作图的可能性才有了准则．许多几何问题可以转化为代数问题来研究．1837年，旺策尔给出三等分任意角及倍立方不可能用尺规作图的严格证明；1882年，林德曼证明了π的超越性(即π不可能是任何整系数多项式的根)，化圆为方的不可能性也得以确立．1895年，德国现代数学家兼教育家克莱因总结了前人的研究，给出三大问题不可能用尺规作图的简明证明，著《几何三大问题》一书，，彻底解决了两千多年来的悬案．除此之外，还是有很多书和文章给出不可能性的证明．虽然如此，还是有许多人不开这些证明，想独步古今中外，压倒所有前人的工作．他们宣称自己已经解决了三大问题中的某一个．实际上他们并不了解所设的条件和问题之所以不可解的道理，也分不清不可能与困难的本质区别．三大问题不能解决，关键在工具及作图共设的限制．如果不限制工具，那就根本不是什么难题，而且早已解决．五：其它解法三大问题的难处，是工具的限制．如不限制工具或不必遵守作图公设，三大问题是可以解决的，事实上早在古希腊时代已有各种各样的解法．正因为只有冲破尺规限制才能解决问题，所以常常使人闯入未知的领域里去，有所新的发现．门奈赫莫斯为了解倍立方问题而发现圆锥曲线便是最突出的例子．除此以外，还有很多出色的例子,下面再举几个：(1)割圆曲线——关于这曲线的发明人有两种说法，第一种认为是希比阿，这首先为蒙蒂克拉所提倡，以后为希思等人所采用；另一种说法认为是蒂诺斯特拉托斯，这是奥尔曼等人的主张．实际的情况可能是希比阿较早认识这种曲线，以后蒂诺斯特拉托斯在祥加研究．(2)尼科米迪斯的蚌线——尼科米迪斯描述这样一种曲线：设OY⊥OX，EF∥OX，与OX的距离是a．过O作直线OAP交EF于A，在此直线上取P，M两点，使AP=AM=b(定长)，则P及M的轨迹称为蚌线，蚌线分上线两支，P 的轨迹叫上蚌线，M的轨迹叫下蚌线．O称为极点，EF称为准线，b称为模．在笛卡尔直角坐标系中，蚌线的方程是2)2222x=-+y(y)(bay*(3)埃拉托塞尼方法——希波克拉底已将倍立方问题归结为求线段a与2a 之间的两个等比中项x，y的问题．埃拉托塞尼发明一种巧妙的器械求出这两个等比中项．制造三个相同的矩形薄片AF，MG，NH，镶嵌在两条平行的沟槽AQ、EH内．薄片可以彼此独立左右平行滑动，也可以重叠．三条对角线永远是平行的．左边第一个薄片不动，向左移动第二片，使它的一部分重叠在第一片下面，对角线MG与FM交与B点．再移动第三片，使它的一部分重叠在第二片下面，对角线NH交第二片的GN边于C．设D是HQ中点，HD=a，则EA=2a．先调整薄片的位置，使A,B,C,D在一条直线上．由于所构成的三角形的相似性，记FB=y，GC=x，则a：x=x：y=y：2ax，y就是所求的等比中项．三大问题还有多种解法，或是用特殊曲线，或是用尺规以外的特殊器械．如化圆为方问题有阿基米德的螺线解法，倍立方问题有门奈赫莫斯解法、怕波斯解法、阿尔希塔斯的圆柱解法．帝俄克利斯的蔓叶线可接倍立方问题和三分角问题．近代人研究的更多，可列出一长串名单，如韦达、笛卡尔、费马、斯吕塞、维维亚尼、惠更斯、牛顿等都提出过解法．时至今日，三大问题可以说已经彻底解决．可是仍然有人试图用尺规去解，他们不了解问题的实质和它的历史，白白浪费了许多时间和精力，这是很可惜的．理学院08数学05号房振2010-1-13Some people who against occupying seats argue that it's a bad manner to do so有些人对谁占用座位认为，这是一个糟糕的方式这样做We often see there is a table cloth, a book or something else on the desk in the classroom or library, indicating the seat is taken.我们经常看到有台布，一本书或什么就在教室或图书馆服务台否则，说明座位的意见。