《工程弹塑性力学》PPT课件

工程弹塑性力学
(有限元、塑性力学部分)
演示稿
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第0章 平面问题的有限单元法
0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示 0.2 有限单元法的概念 0.3 位移模式与解答的收敛性 0.4 单元刚度矩阵 0.5 等效结点荷载 0.6 整体刚度矩阵 0.7 单元划分应注意的问题
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0.1 概述、基本量及基本方程的矩阵表示
y
j
(2) i
(1)
m x
▲相邻单元之间：uij(1)=uij(2)？vij(1)=vij(2) ？
ij边的方程：y=ax+b，则
uij=a1+a2 x+a3(ax+b)= cx+d
uij(1)、uij(2)均为坐标的线性函数，故可由i、j两
点的结点位移唯一确定。
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0.4 单元刚度矩阵
建立： {F}e=[k]{d}e
如 k25： • [k]的性质：
(1) 对称性： kpq= kqp (2) 奇异性；
y vj
j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
单元刚度矩阵：
[k][B]T[D ]B []dxdyt
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
结点位移 位移 应变
应力 结点力
{d}e ——{f} ——{} ——{} —— {F}e
位移模式 几何方程 物理方程 虚功方程
{f }=[N]{d}e
{}=[B]{d}e {}=[S]{d}e ，[S]= [D][B] {F}e=[k]{d }e，[k]= [B]T [D] [B]tA
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2. 单元分析
建立： {F}e=[k]{d}e
[k]：单元刚度矩阵
y vj j
vi , (Vi) i ui , (Ui)
uj
vm
m um
x
单元结点力向量{F}e=[Ui Vi Uj Vj Um Vm]T
单元结点位移向量{d}e=[ui vi uj vj um vm]T
•
体力、面力
静力等效 ——
设：u=a1+a2 x+a3 y v=a4+a5 xƴ由结点位移 ui , vi , uj , vj , um , vm确定。
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• 将位移模式写成结点位移的显式：
i
u= Niui+ Njuj +Nmum
y P
v= Nivi+ Njvj +Nmvm
j
Ni、Nj、Nm：形函数 (插值函数)
[D]
1
E
2
1
0
1
0
0
0 （平面应力问题）
1
2
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3. 虚功方程： 外力虚功=内力虚功
{ f * T { p } } d x d y { f * T { p } } d s { * T { } } d x d y
在集中力{F}作用下，虚功方程简化为
{ d*T { } F } { *T { }} td xdy
等效结点荷载
3. 整体分析
建立： {F}=[K]{d}， [K]：整体刚度矩阵
由各结点平衡{F}={R}，得有限元方程：
[K]{d}= {R}
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0.3 位移模式与解答的收敛性
1. 什么是位移模式（位移函数）
利用单元的结点位移将整个单元的位移分量表
示为坐标的函数。
y
i
2. 三结点三角形单元的位移模式 j P
必要 条件
充分 条件
• 三结点三角形单元的完备性和连续性：
(1)
反映刚体位移：ua1a2xa52a3
ya5a3
2
y
va4a6ya52a3
xa5a3
2
x
(2) 反映常量应变：x=a2， y=a6，xy=a2+a3
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• 三结点三角形单元的完备性和连续性： p
(3) 位移连续性： ▲单元内：单值连续；
Ni(x, y)
m
{f}uvN Niiuvii N Njjuvjj N Nm mvum m[N]{d}e
其中 [N]N0i
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
0 Nm
为形函数矩
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4. 位移模式应满足以下条件，才能保证有限元解
答收敛：
(1) 位移模式必须能反映单元的刚体位移 (2) 位移模式必须能反映单元的常量应变 (3) 位移模式应尽可能反映位移的连续性
m
1x y
x
1 xj
1 Ni 1
xm xi
1 xj
1 xm
yj ym , (i, j,m 轮换 ) yi yj ym
1
i j
Ni(x, y)
m
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• 形函数的性质 (1) (Ni )i=1，(Ni )j=0，(Ni )m=0 (2) 单元内任一点：Ni+Nj+Nm=1
3. 位移模式的矩阵表示
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i j
{F}=[U1 V1 U2 V2 … Un Vn]T 为结点力向量；
{d}=[u1 v1 u2 v2 … un vn]T 为结点位移向量。
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0.2 有限单元法的概念
1. 离散化 划分为有限数目、有限大小的单元。
• 平面问题的常用单元：
rg
连续体
三结点三角形单元
六结点三角形单元
矩形单元 任意四边形单元 8结点曲边 四边形单元
• 弹性力学问题的求解方法： 解析方法：函数解、级数解——少数简单问题 差分法、变分法 数值方法： 有限单元法：适应性强，概念直观
• 有限单元法的发展概况 1956年提出 1960-70年代理论基础研究 1960至今：实际工程应用、复杂问题理论研究 通用有限元软件：SAP、ADINA、NASTRAN ANSYS、ABAQUS等
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• 基本量及基本方程的矩阵表示
应力 :{}[x y xy]T, 1. 基本量：应变 :{}[x y xy]T, 位:移 {f}[uv]T，
体力 :{p}[XY]T， 面:力 {p}[XY]T
几何方程: {} [u v v u]T
x y x y
物理方程: {} [D]{}， [D]:弹性矩阵
2. 基本方程：
[krs
]
Et
4(1 2
)
A
brbs
1
2
crcs
crbs
1
2
brcs
brcs
1
2
crbs
crcs
1
2
brbs
,
(r, s i, j,m)。 bi yj ym, ci xj xm, (i, j,m 轮换)
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• [k]元素的物理意义
kpq：第q个结点位移分量为单位位移（其它结 点位移=0），所引起的第p个结点力分量。
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[B]：应变矩阵； [S]：应力矩阵；
vi , (Vi)
三结点三角形单元中，[B]、 [S] y vj i ui , (Ui)
的元素均为常数，故这种单元又称 j uj vm
常应变单元，或常应力单元。
m um x
kii kij kim
[k]
k
ji
k jj
k jm ,
kmi kmj kmm