耶鲁大学公开课博弈论课习题

耶鲁大学公开课：博弈论
习题集1（第1-3讲内容）
Ben Polak, Econ 159a/MGT522a.
由人人影视博弈论制作组Darrencui翻译
1.严格劣势策略与弱劣势策略：严格劣势策略的定义是什么？弱劣势策略的定义是什么？请用
一个包含两个参与人的博弈矩阵来举例说明，要求其中一个参与人有三个策略且三者之一为严格
劣势策略；另一个参与人有三个策略但三者之一为弱劣势策略。

请指出你所举例子中的劣势策略。

2.迭代剔除（弱）劣势策略：请看下面的博弈
2
(a). 这个博弈中是否存在严格劣势策略和弱劣势策略？如果存在，请指出并说明。

(b). 剔除掉严格劣势策略和弱劣势策略之后，在简化的博弈中是否还有劣势策略呢？如果是，请指出并说明。

最后哪些策略不会被剔除呢？
(c). 回顾你第一次剔除劣势策略时哪些策略是劣势策略并给出解释。

把它与第二次剔除的劣势策略作比较。

从中你能得出关于迭代剔除劣势策略的何种结论？
3. 霍特林的选址博弈（也称霍特林模型）：回顾一下课堂中所讲的选票博弈。

其中有两个参与人，每个参与人都从集合* +中选出自己的立场。

这十个立场均分全部的选票。

选民把选票投给与自己立场最接近的候选人。

如果两个候选人站在同一个立场上，那么持该立场选民
的选票平均分给每个候选人。

候选人想要最大化自己的得票率。

举例来说，()。

而
() [提示：回答这道题时不必画出整个矩阵]
(a).课堂中我们指出立场2严格优于立场1，而实际上还有其它的立场也是严格优于立场1的，请找出所有优于立场1的立场并作出解释。

(b).假设现在有三名候选人。

举例来说，()而()。

此时立场2是否严格优于立场1？立场3呢？请作出解释。

另外，假设我们剔除了立场1和10，但是该立场的选票依然存在。

在简化的博弈中，立场2是否严格劣于或弱劣于其它（纯）策略？请作出解释。

4. “到底谁的话语权更重”：由三人组成的评审委员会要决出一场全国艺术大赛的冠军。

经过激烈的讨论之后，有三名选手进入最后的获奖候选人名单，分别是：一名画城市中的羚羊的女画家、一名做铅盒的男工匠、一名做根雕的男雕塑家。

不妨称这三个选手分别为a、d、c，三名评审委
员为1、2、3。

评审委员有如下偏好：评审委员1认为a优于b，b优于c；评审委员2认为c优
于a，a优于b。

委员3认为b优于c，c优于a。

比赛规则规定，如果评审委员意见不统一时，需要进行保密投票，每位评审委员只能投一票。

如果仍出现平局，评审委员1的投票将决定哪位选
手能够获奖。

咋一看，评审委员1似乎掌握了更多的话语权。

(a).仔细分析一下这个投票博弈。

每位评审委员都有3个策略：a、b、c。

对于每一位评审委员来说，有严格劣势策略或是弱劣势策略吗？[提示：在讨论评审委员1的时候请仔细考虑。

想要回答本题，并不需要知道确切的收益，任何符合评审委员偏好顺序的收益都满足题意，并且你也不需
要画出整个矩阵]
(b).假设我们剔除了所有的劣势策略。

请指出这种情况下，对于每位评审委员来说哪些策略是弱
劣势策略和严格劣势策略？请预测一下投票的结果，然后把它和评审委员1的偏好进行比较，你
会发现什么？请作答。

耶鲁大学公开课：博弈论
习题集2（第4-5讲内容）
Ben Polak, Econ 159a/MGT522a.
由人人影视博弈论制作组Darrencui翻译
1.回顾罚球的案例：裁判判罚给参与人1一次点球的机会，参与人1即将执行判罚。

她有三种射门路径：左路、中路、右路。

参与人2是门将。

他可以选择防守左路、中路或者右路。

两名参与人的行为同时发出。

收益（以达成目概率的十倍计算）如下：
2
(a). 对于每一个参与人来说，有哪个策略严格劣于另一个（纯）策略吗？
(b). 在对参与人1的策略存在何种信念下，参与人2会觉得策略m是最佳对策？在对参与人2的策略存在何种信念下，参与人1会觉得策略M是最佳对策？[提示：本题不需要绘制三维图像！]
(c). 假设参与人2站在参与人1的立场上思考后发现，无论参与人1存在何种信念，她都会选择改信念下的最佳对策。

在这种情况下，参与人2是否应该选择策略m呢？
(d). 这个博弈是否存在（纯策略）纳什均衡？
2.回顾合伙人案例（Watson书中习题）：回顾一下我们在第四讲中提到的商业合伙人的案例。

两名律师合伙开了一家律师事务所并且平分收益。

每名律师都要各自打算一下自己要为事务所付出多少劳动。

事务所的收入按照如下公式计算：，其中、分别表示律师1和律师2付出的劳动量。

参数反映了两人的协同效果：一名律师付出越多的辛劳，合伙人就会获得越多的收益。

假设并且。

两名律师的收益分别是：
其中表示劳动的成本（注意：边际成本递增）。

假设这家律师事务所没有其它的开销。

在课堂上我们论证了，理性策略（即迭代剔除非最佳对策后剩余的策略）是
(a). 假设两名律师达成一致，决定两个人都付出一样多的劳动，并通过合同的形式规定了劳动量的指标。

如果他们想要最大化净收益（即收益减去劳动成本），他们应该在合同中规定各自付出多大的劳动量呢？这与课堂上得出的理性策略的劳动量相比有什么不同？[提示：为了解题方便，可以暂时考虑b=0的特殊情况]
(b). 假设第(a)题中的合同只对合伙人2有约束力，即合伙人2需要按照要求中的付出等量的劳动，而合伙人1可以任意在[0,4]的劳动量中自由选择。

合伙人1会选择付出多少劳动呢？这与
和有什么不同吗？请给出简明的解释。

(c). 回到最开始的博弈状态，假设现在，即合伙人的辛勤劳动起到了反协同效果。

求出这种情况下的最佳对策函数，并绘制相应的函数图像，找出这种情况下对应的理性策略。

把它与(a)中的指标作比较。

[提示：并不需要重做(a)的全部过程]
3. 纳什均衡与迭代剔除（Gibbons教科书上的习题）：请看下面的这个博弈：
(a). 哪些策略不会被迭代剔除严格劣势策略的过程剔除？
(b). 找出此博弈的（纯策略）纳什均衡
(c). 请尽可能详尽地解释说明，通常情况下（并不要局限于此博弈），组成纳什均衡的策略是否无法被迭代剔除严格劣势策略的过程剔除？
4. 分钱计划（Gibbons教科书中习题）：参与人1和参与人2因为如何分配10美元的问题争执不休。

每个参与人都说出了一个自己预期金额，该金额在0到10之间且允许出现小数。

两人需要同时做出选择。

参与人的收益就是她分得的钱款。

这个博弈有两条规则。

无论按哪条规则来分钱，如果出现的情况，每人获得自己的预期金额，剩余的钱款被销毁。

(a).第一条规则是，如果，那么每个参与人都一无所获并且钱会被销毁。

这种情况下的（纯策略）纳什均衡是什么？
(b).第二条规则是，如果，并且每个人的预期金额是不同的，那么预期金额最小的参与人分得等值的钱款而剩余的钱款归另一个参与人。

如果，并且，那么每个人都分得5美元。

这种情况下的（纯策略）纳什均衡是什么？
(c).假如我们为前两条规则增加一个限制条件，即预期金额必须是整数。

这是否会改变前两条规则下的（纯策略）纳什均衡？
耶鲁大学公开课：博弈论
习题集3（第6-7讲内容）
Ben Polak, Econ 159a/MGT522a.
由人人影视博弈论制作组Darrencui翻译
线性城市模型：差异产品的价格竞争：
在课堂中我们学到了两种双寡头垄断竞争模型：古诺（产量）竞争模型和伯川德（价格）竞争模型。

把企业间的竞争考成价格竞争的情况似乎更合情合理一些，然而古诺的结论却比伯川德的结论更令人信服。

在这次习题集中我们来探讨一下第三种寡头竞争模型。

和伯川德模型类似，这个模型中两家公司会进行价格竞争而非产能竞争。

但与伯川德模型的不同之处在于，本模型中两家公司的产品并不是同质产品。

用经济学的行话来说，产品之间是存在差异的。

这次我就不在板书上给大家讲解如何分析这个模型了，各位不妨独自求索。

大家也不必惊慌，本次习题集采用循序渐进的模式。

请各位按照顺序依次回答每个问题。

首先介绍博弈
∙模型中我们假设一座城市是一条街道（一条线段）
∙有两家公司：公司1和公司2。

他们分别位于街道（线段）的两端
- 两家公司同时分别制定产品价格和
- 两家公司的边际成本是一个常数
- 每家公司都追求利润最大化
∙潜在顾客平均分布在这条街道上，在每一点上都有一个潜在顾客
- 顾客总数为1（或者可以把它理解成整个市场份额）
∙每位顾客都只购买1单位的产品，要么买公司1的，要么买公司2的。

也就是说总需求是1单位产品。

∙处于位置的顾客她与公司1的距离是而与公司2的距离是
- 当且仅当满足下列条件时，她会选择公司1的产品
（a）
当且仅当满足下列条件时，她会选择公司2的产品
（b）
如果恰好位于两家公司正中间时，她就抛硬币决定买哪家公司的产品
对于模型的解读：顾客需要同时考虑价格和与公司的距离这两个因素。

如果把线段想象成现实中的道路的话，我们可以用距离来表示到该公司的交通成本。

或者，如果把线段想象成产品某方面的质量（比如冰激凌中的脂肪含量），那么此时差异就表示产品实际体验与顾客最佳预期之间的差异。

从顾客的角度上看，参数越大，那么两家公司生产的产品的差异也就越大。

如果，那么这两种产品就是完全替代品。

下面我们需要考虑什么呢？
1．公司会不会按照来给产品定价，为什么呢？
2．如果公司2定价为。

公司1如何定价才能垄断整个市场（也就是说给定一个，为何值时所有顾客都从公司1购买产品）？
假设公司1通过定价高于问题2的答案能获得更多的收益，那么坏消息是这样做公司1必须放弃一部分市场份额；好消息是每一位公司1的顾客都会付更多的钱。

3．假如和非常接近，导致两家公司分摊市场份额（不一定是平均分摊）。

通过表达式（a）和（b）我们可以找到一个对于购买公司1还是公司2产品完全中立的顾客。

用你的答案来说明一下，在两家公司分摊市场情况下，市场对于公司1产品的需求是：
（c）
由此我们就得到了当公司2定价为时，计算公司1的最佳对策所需的全部数据了。

市场被分摊时，公司1的利润如下：
（d）
其中表示收入，表示成本
4．通过表达式(c)和(d)，运用简单的微积分知识即可发现，在不取极端值时：
5．绘制公司1和公司2的最佳对策图线。

在图像中指出当和时会发生什么样的变化？[提示：运用一下问题1和问题2的答案]并在同一个图像中绘制出的图像。

6．通过算术方法找出纳什均衡。

7．当时纳什均衡是什么？请给出你的答案。

有人认为：“当产品相似度叫小而差异较大时竞争的激烈程度就会减弱。

”这一点在本模型中是如何体现出来的呢？
几个博弈论结论：
(A). 公司希望产品存在差异。

这样公司可以定更高的价格和获得更高的利润。

这个想法很简单，因为新进入市场的公司会终结这种高利润的情况。

(B). 考虑问题时“现实一点”就可以得出更有说服力的结论。

当我们排除了完全替代品这一个极端假设后，这个模型就更具有现实意义了。

(C). 我们研究模型的方法是很典型的。

这个模型是一个足够复杂的模型，因为初次遇到这个模型的时候大家并不知道结果会是怎样的。

然而通过按照我们在课堂上讲的方法（找出最佳对策，然后求出交点在哪里等）进行分析后，这次习题集是不是就很容易解答了呢？。