2021届高三专题练习-带电粒子在电场和磁场中的运动 解析版

2021届高三专题训练
专题十一、带电粒子在电场和磁场中的运动
一、选择题
1.（仿真模拟冲刺标准练）如图所示，某空间存在正交的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，磁场方向垂直纸面水平向里．一带电微粒由a点以一定的初速度进入电磁场，刚好能沿直线ab斜向上运动，则下列说法正确的是( )
A．微粒可能带正电，也可能带负电
B．微粒的动能可能变大
C．微粒的电势能一定减少
D．微粒的机械能一定不变
解析：
C 本题考查了带电微粒在复合场中的运动，意在考查考生综合能量的相关规律处理问题的能力．
微粒受到重力、电场力和洛伦兹力作用，在复合场中做直线运动，其合力为零，根据做直线运动的条件可知微粒的受力情况如图所示，所以微粒一定带负电，A错误；微粒一定做匀速直线运动，否则速度变化，洛伦兹力大小变化，微粒将做曲线运动，因此微粒的动能保持不变．B错误；微粒由a 沿直线ab运动的过程中，电场力做正功，电势能一定减小，C正确；在微粒的运动过程中，洛伦兹
力不做功，电场力做正功，则微粒的机械能一定增加，D 错误．
2. （浙江省余姚中学2020-2021学年高二上学期10月质量检测）如图所示的虚线区域内，充满垂直于纸面向里的匀强磁场和竖直向下的匀强电场。

一带电粒子a （不计重力）以一定的初速度由左边界的O 点射入磁场、电场区域，恰好沿直线由区域右边界的O'（图中未标出）穿出．若撤去该区域内的磁场而保留电场不变，另一个同样的粒子b （不计重力）仍以相同初速度由O 点射入，从区域右边界穿出，则粒子b （ ）
A. 穿出位置一定在 0O'点下方
B.穿出位置一定在0'点上方
C.运动时，在电场中的电势能一定减小
D. 在电场中运动时，动能一定减小 【答案】C
3.（甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2020-2021学年度第一学期高三期中试卷）（多选）如图所示，在水平的匀强电场中，一个质量为m 、电荷量为+q 的小球，系在一根长为L 的绝缘细线一端，小球可以在竖直平面内绕O 点做圆周运动，AB 为圆周的水平直径，CD 为竖直直径。

已知重力加速度为 g ，电场强度E=
q
mg
，若不计空气阻力，则下列说法正确的是（ ）
A.若小球在竖直平面内绕O 点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
B.若将小球在A点由静止开始释放，它将沿着ACBD 圆弧运动
2
C.若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动过程中的最小速度为gL
D.若将小球在A点以大小为gL的速度竖直向上抛出，它将能够到达 D点
解析：
4.（2021·四川省宜宾市叙州区一中高三上学期开学考试）（多选）如图所示，粒子回旋加速器由两个D形金属盒组成，两个D形盒正中间开有一条窄缝．两个D形盒处在匀强磁场中并接有高频交变电压，使正粒子每经过窄缝都被加速．中心S处的粒子源产生初速度为零的正粒子，经狭缝电压加速后，进入D形盒中．已知正粒子的电荷量为q，质量为m，加速时电极间电压大小为U，磁场的磁感应强度为B，D形盒的半径为R．每次加速的时间很短，可以忽略不计．下列说法正确的是( )
A. 交变电压的频率为
2Bq
m π B. 交变电压的频率为
Bq m
π C. 粒子能获得的最大动能为222
2q B R m
D. 粒子能被加速的最多次数为222
2q B R mU
【答案】AC 【解析】
加速电场变化的频率与粒子在磁场中运动频率相等，则有：12qB f T m
π=
＝ ，故A 正确，B 错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动，则有2
m
m v qv B m R
＝，解得m BqR v m ＝，粒子获得的最大动能
2222
122k m m q B R E m v m ＝＝
，故C 正确；根据km nqU E =可知粒子能被加速的最多次数为22
2km E qB R n qU mU
==，选项D 错误；故选AC.
二、计算题
1.（2021·四川省泸县四中高三上学期开学考试）在如图所示的竖直平面内，水平轨道CD 和倾斜轨道GH 与半径9
m 44
r =
的光滑圆弧轨道分别相切于D 点和G 点，GH 与水平面的夹角θ =37°。

过G
点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B = 1.25T ；过D 点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E =1×104N/C 。

小物体P 1质量m =3
210kg -⨯，电荷量q = +8×10-6C ，受到水平向右的推力F = 9.98×10-3N 的作用，沿
CD 向右做匀速直线运动，到达D 点后撤去推力。

当P 1到达倾斜轨道底端G 点时，不带电的小物体P 2
在GH 顶端静止释放，经过时间t = 0.1s 与P 1相遇。

P 1和P 2与轨道CD 、GH 间的动摩擦因数均为u = 0. 5，取g = 10m /s 2，sin 37° = 0.6，cos37° = 0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力，求： (1)小物体P 1在水平轨道CD 上运动速度v 的大小； (2)求小物体P 1运动到G 点的速度v G ； (3)倾斜轨道GH 的长度s 。

【答案】(1)4 m/s ；(2)5m/s ；(3)0.56 m 【解析】
(1)设小物体P 1在匀强磁场中运动的速度为v ，受到向上的洛伦兹力为F 1，受到的摩擦力为f ，则
F 1＝qvB ① f ＝μ(mg －F 1) ②
由题意，水平方向合力为零
F －f ＝0 ③
联立①②③式，代入数据解得
v ＝4 m/s ④
(2)设P 1在G 点的速度大小为v G ，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理
22
11sin (1cos )22
G qEr mgr mv mv θθ--=
-⑤ 带入数据解得
v G =5m/s
(3)P 1在GH 上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为a 1，根据牛顿第二定律
qE cos θ－mg sin θ－μ(mg cos θ＋qE sin θ)＝ma 1⑥
P 1与P 2在GH 上相遇时，设P 1在GH 运动的距离为s 1
2111
2
G s v t a t =+⑦
设P 2质量为m 2，在GH 上运动的加速度为a 2，则
m 2g sin θ－μm 2g cos θ＝m 2a 2 ⑧
P 1与P 2在GH 上相遇时，设P 2在GH 运动距离为s 2，
2
2212
s a t =
⑨ 联立⑤～⑨式，代入数据得
s ＝s 1＋s 2⑩
s ＝0.56 m
2.（2021·四川省宜宾市四中高三上学期开学考试）如图所示，虚线MN 沿竖直方向，其左侧区域内有匀强电场（图中未画出）和方向垂直纸面向里，磁感应强度为B 的匀强磁场，虚线MN 的右侧区域有方向水平向右的匀强电场．水平线段AP 与MN 相交于O 点．在A 点有一质量为m ，电量为+q 的带电质点，以大小为v 0的速度在左侧区域垂直磁场方向射入，恰好在左侧区域内做匀速圆周运动，已知A 与O
点间的距离为
0qB ，虚线MN 右侧电场强度为q
，重力加速度为g ．求： 的
（1）MN 左侧区域内电场强度的大小和方向；
（2）带电质点在A 点的入射方向与AO 间的夹角为多大时，质点在磁场中刚好运动到O 点，并画出带电质点在磁场中运动的轨迹；
（3）带电质点从O 点进入虚线MN 右侧区域后运动到P 点时速度的大小v p ．
【答案】（1）
mg
q
，方向竖直向上；（2）；（3）013v ．
【解析】
（1）质点在左侧区域受重力、电场力和洛伦兹力作用，根据质点做匀速圆周运动可得：重力和电场力等大反向，洛伦兹力做向心力；所以，电场力qE =mg ，方向竖直向上；
所以MN 左侧区域内电场强度mg
E q
左=
，方向竖直向上； （2）质点在左侧区域做匀速圆周运动，洛伦兹力做向心力，故有：20
0mv Bv q R
=，
所以轨道半径0
mv R qB
=
； 质点经过A 、O 两点，故质点在左侧区域做匀速圆周运动的圆心在AO 的垂直平分线上，且质点从A 运动到O 的过程O 点为最右侧；所以，粒子从A 到O 的运动轨迹为劣弧；
又有0
AO d qB
=
=；根据几何关系可得：带电质点在A 点的入射方向与AO 间的夹角1260AO
d arcsin R
θ==︒
；
根据左手定则可得：质点做逆时针圆周运动，故带电质点在磁场中运动的轨迹如图所示：
；
（3）根据质点在左侧做匀速圆周运动，由几何关系可得：质点在O 点的竖直分速度
00602
y v v sin =︒=，水平分速度0
01602x v v cos v =︒=； 质点从O 运动到P 的过程受重力和电场力作用，故水平、竖直方向都做匀变速运动；
质点运动到P 点，故竖直位移为零，所以运动时间0
2y v t g
g
=
=
；
所以质点在P 点的竖直分速度0yP y v v ==
，
水平分速度001
722
xP x qE v v t v v m =+
=+=；
所以带电质点从O 点进入虚线MN 右侧区域后运动到P 点时速度0P v ==；
3.（甘肃省甘南藏族自治州卓尼县柳林中学2020-2021学年度第一学期高三期中试卷）1897年，汤姆孙根据阴极射线在电场和磁场中的偏转情况断定，它的本质是带负电的粒子流，并求出了这种粒子的比荷，他的研究装置如图所示。

真空管内的阴极K 发出的电子经加速后，穿过AB 中心的小孔沿直线进入到两块水平正对放置的平行金属板D1、D2的区域。

金属板 D1、D2之间未加电场时，射线
不偏转，射在屏上P1点。

按图示方式施加电场强度为E的电场之后，射线发生偏转并射到屏上 P2点。

为了抵消阴极射线的偏转，使它从P2点回到P1，需要在两块金属板之间的区域再施加一个大小合适、方向垂直于纸面的匀强磁场。

（1）判断匀强磁场的方向;
（2）若施加的匀强磁场磁感应强度为 B，求出阴极射线的速度v的表达式;
（3）去掉D1、D2间的电场，只保留（2）中的匀强磁场B。

由于磁场方向与射线运动方向垂直，阴极射线在D1、D2之间有磁场的区域内会形成一个半径为r的圆弧，使得阴极射线落在屏上P3点。

根据题目所给的信息推导电子比荷的表达式。

4.（2021届江苏省高三（上）新高考质量检测）如图所示，平面直角坐标系第一象限中，两个边长
均为L 的正方形与一个边长为L 的等腰直角三角形相邻排列，三个区域的底边在x 轴上，正方形区域I 和三角形区域Ⅲ存在大小相等，方向沿y 轴负向的匀强电场．质量为m 、电量为q 的带正电粒子由正方形区域I 的顶点A 以初速度v 0沿x 轴正向射入区域I ，离开电场后打在区域Ⅱ底边的中点P ．若在正方形区域Ⅱ内施加垂直坐标平面向里的匀强磁场，粒子将由区域Ⅱ右边界中点Q 离开磁场，进入区域Ⅲ中的电场．不计重力，求：
(1)正方形区域I 中电场强度E 的大小； (2)正方形区域Ⅱ中磁场磁感应强度的大小； (3)粒子离开三角形区域的位置到x 轴的距离．
【答案】（1）2
mv E qL
=； （2）02mv B qL = （3）
)
1L
【解析】 【分析】
（1）带电粒子在区域Ⅰ中做类平抛，根据平抛运动的规律列式求解场强E ；（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系求解半径，从而求解B ；（3）在Q 点进入区域Ⅲ后，若区域Ⅲ补成正方形区域，空间布满场强为E 的电场，由对称性可知，粒子将沿抛物线轨迹运动到（3L ，L ）点，离开方向水平向右，通过逆向思维，可认为粒子从（3L ，L ）点向左做类平抛运动． 【详解】（1）带电粒子在区域Ⅰ中做类平抛
0L v t =
2
12
y at =
y Eq a m
=
设离开角度为θ，则0
tan y v v θ=
离开区域Ⅰ后作直线运动
tan 2
L y
L θ-=
由以上各式得 20
mv E qL
=
45θ=
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动
0v =
2
mv qvB R
=
有几何关系可得2
R =
可求得 0
2mv B qL
=
（3）在Q 点进入区域Ⅲ后，若区域Ⅲ补成正方形区域，空间布满场强为E 的电场，由对称性可知，粒子将沿抛物线轨迹运动到（3L ，L ）点，离开方向水平向右，通过逆向思维，可认为粒子从（3L ，
L ）点向左做类平抛运动，当粒子运动到原电场边界时
0x v t ''=
2
12
y at ''=
解得(2y L '=
因此，距离x 轴距离 1)d L y L '=-=
5.（仿真模拟冲刺标准练）质量为m ＝1.0×10－3
kg 的物块b 静止放置在绝缘水平桌面上，桌面距地面的高度h ＝3 m ，在b 的左侧桌面光滑，右侧桌面长L ＝8 m ，与物块间动摩擦因数为μ＝0.1.桌子右侧空间存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E ＝20 N/C ，方向竖直向上，磁感应强度B ＝3.0 T ，方向垂直纸面向外，与b 相同的不带电物块a 以一定速度从远处滑来与b 发生正碰，碰撞时间极短，碰后粘在一起，离开桌面后一起飞入复合场中，最后以与水平面成60°角落在地面上的P 点(如图所示)，已知物块b 带电荷量q ＝1.0×10－3
C ，取g ＝10 m/s 2
，a 、b 均可看作质点．求：
(1)物块a 、b 进入复合场时的速度； (2)物块a 出发时的速度；
(3)从物块a 、b 碰撞后到落地前瞬间的过程中所经历的时间．
答案：(1)3 m/s (2)10 m/s (3)⎝
⎛⎭
⎪⎫4π9＋2 s
解析：(1)物块a 、b 进入复合场后所受电场力F ＝qE ＝2×10－2
N ＝2mg ，所以组合体在复合场中做匀速圆周运动
洛伦兹力提供向心力Bqv ＝2m v 2
r
可得r ＝2mv
qB
由几何知识有h ＝r ＋r
2
＝3 m
解得r ＝2 m ，v ＝3 m/s
(2)设物块A 出发时的速度为v 0，物块a 、b 碰撞瞬间，由动量守恒定律有mv 0＝2mv ′ 物块a 、b 碰撞后到进入复合场前由动能定理有 －μ2mgL ＝12·2mv 2－12·2mv ′2
联立解得v 0＝10 m/s ，v ′＝5 m/s
(3)物块a 、b 碰撞后到进入复合场前有v ＝v ′－at 1，a ＝μg 得t 1＝2 s 物块a 、b 进入复合场后
T ＝
2π2m qB ，t 2＝T 3＝4π9
s 所以从物块发生碰撞到落地前瞬间经历的总时间
t ＝t 1＋t 2＝⎝
⎛⎭
⎪⎫4π9＋2 s
6.（2021年河北唐山高三摸底考）两金属板 MN 平行放置，金属板右侧的矩形区域abcd 内存在垂直纸面向里的匀强磁场，P 、Q 分别为ad 边和bc 边的中点， ab=3L ，ad=2L ，金属板与矩形区域的轴线PQ 垂直，如图所示。

质量为m 、电荷量为q 的粒子在 M 板附近自由释放，经两板间电压加速后，穿过 N 板上的小孔，以速度v 沿轴线 PQ 进入磁场区域，并由b 点离开磁场。

不计粒子重力，求∶
（1）加速电压 U 的大小;
（2）矩形磁场中磁感应强度的大小;
（3）若在矩形磁场右侧，分布着另一个一条边平行于ab 边的矩形磁场区域egh （未画出），粒子经过 efgh 偏转后恰好回到出发位置，求矩形磁场 efgh 的最大磁感应强度及对应的面积。

（cos37°=0.8，sin37°=0.6）
7.（1号
卷·A10联盟2021届高三摸底考）如图，两平行金属板a 、b 的长为L 、板间距离为4
3
L ．板间存在竖直方向的匀强电场，在平行板右侧虚线c 、d 间存在垂直纸面向里的宽度为
5
4
L 、足够大的匀强磁场。

一带正电、比荷为k 的粒子以初速度0v 从两板左端中点O 垂直进入电场。

恰好从下板的右侧边缘飞出电场，粒子恰好能飞出磁场区域。

不计粒子的重力，
求∶（1）板间电场的电场强度 E; （2）匀强磁场的磁感应强度大小B 。

8.（中原名校2021届上学期第二次精英联赛）如图所示，在第一象限内存在沿y 轴负方向的匀强电场，在第二、三、四象限内存在垂直xoy 平面向外的匀强磁场，一个质子H 1
1从x 轴上的M 点以速度
0v 沿与x 轴正方向成60°角斜射入磁场，正好垂直于y 轴从N 点进入匀强电场，然后从x 轴上的P
=，质子的质量为点沿与y轴负方向成θ角再次进入匀强磁场。

已知磁场的范围足够大，OM h3
m，电荷量为e，不计重力。

求∶
（1）匀强磁场的磁感应强度 B的大小;
（2）匀强电场的电场强度E 的大小;
tan的值（计算结果保留根号）。

（3）若质子从P点再次进入磁场中刚好运动到M点，求θ
（3）4
3
35tan -=
θ
9.（决胜新高考·名校交流高三年级9月联考卷）如图甲所示，左侧两竖直平行金属板间加电压U ，右侧是间距为d 的两水平平行板P 、Q 。

内部存在垂直于纸面的匀强磁场.取垂直于纸面向里为磁感应强度B 的正方向，B 随时间t 的变化规律如图乙所示，一质量为m ，带电荷量为+q 的粒子（不计重力），由静止开始，经竖直平行板中的电场加速后，在0=t 时刻水平向右射入PQ 间的磁场，射入的位置贴近Q 板最左端，经t ∆时间，粒子恰可垂直打在P 板上（不考虑粒子的反弹.不考虑磁场变化引起的效果）上述m 、q 、d 、B 均为已知量且0
0qB m
T π=
（1）请推导出t ∆与0T 的关系式， （2）求0v 的可能值; （3）求加速电压U 的最大值.
10.（2021届河北衡水中学高三9月第一次联合考试）如图所示，在竖直平面内建立平面直角坐标系xOy，x 轴正方向水平向右;y轴正方向竖直向上，第一、二象限有沿x轴负方向的匀强电场；第三、四象限有沿y轴正方向的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，两匀强电场的电场强度大小相等。

现有一质量为m，电荷量为q的带正电小球自坐标为（L，L）的 M点由静止释放，恰好沿直线运动经过坐标原点 O，运动过程中第三次经过x轴时仍然过坐标原点O。

已知重力加速度为g。

（1）求小球第一次经过 O 点时的速度大小;
（2）求小球第二次经过x 轴时的坐标;
（3）求第三、四象限中匀强磁场的磁感应强度大小;
（4）小球第一次经过x轴时，若将第一、二象限中的匀强电场撤掉，求小球在之后运动过程中的轨迹与x 轴交点的坐标。

11.（2021届安徽省六校教育研究会高三(上)第一次素质测试）平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向外的匀强磁场，第Ⅲ象限存在沿y轴正方向的匀强电场，如图所示。

一带正电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，此时速度方向与x轴正方向成45°角，已知P点到y轴距离与Q点到y 轴距离相等。

不计粒子重力，求：
(1)粒子在电场和磁场中运动的时间之比；
(2)电场强度和磁感应强度的大小之比。

【答案】(1)1
24π
t t =；(2)0
2
v
E
B
=
【解析】
【详解】(1)不妨设OP L =，在电场中，粒子做类平抛运动，粒子在电场中运动的时间
10
L t v = 由于粒子在P 点速度方向与x 轴正方向成45°角，故粒子到达O 点时速度方向与x 轴正方向成45°角斜向上，且
0v =
由几何关系
L =
在磁场中粒子运动的时间
20
ππ4R
L t v ==
故粒子在电场和磁场中运动的时间之比
1
24π
t t =
(2)设粒子电荷量为q ，质量为m ，在O 点
0y v v =
又
1y Eq v t m
=
在磁场中 2
v qvB m R
= 联立以上各式解得
02
v E B =
12.（河北省“五个一”名校联2021届高三上学期第一次联考）如图所示，在平而直角坐标系中，第三象限内存在沿y 轴正方向的勾强电场,第一象限某区域内存在重直于坐标平面向内的翼形与强磁杨(图中没有画出)，磁场边界与y 轴相切,其他区城无电场和磁场。

一质量为m 电荷量为q 的带正
电粒子从电场中点Q (2,)t -以大小为v 0的速度平行x 轴正方向射出,粒子经坐标原点O 射入第一象限，运动一段时间后进入圆形匀强磁场，最后平行y 轴正方向射出磁场。

已知匀强磁场的磁感应强度大小B 02=mv ql
,不计粒子受到的重力。

求: (1)匀强电场的电场强度大小E:
(2)圆形匀强磁场的最小面积。

(取sin 2
15°=0.07)。