江苏省高等数学竞赛试题
江苏省第九届(2008年)高等数学竞赛(本科三级、民办本科)真题
江苏省第九届（2008年）高等数学竞赛本科三级竞赛试题一、 填空题（每小题5分，共40分）1、若2arctan 2lim x ax x x bx x π→∞+=--，则=a ________________；=b ________________.2、()=+∑=∞→n k n k k 131lim ________________. 3、()()()()10021---=x x x x x f ，则()=100'f ________________.4、常数=a ______,=b ______时，()bxx x ax x f +++=12在0→x 时，关于x 的无穷小的阶数最高.5、=⋅⎰2032cos sin πxdx x ________________. 6、()⎰∞=+12221dx x x ________________.7、设y x x z -=，则()=∂∂1,2n n yz ________________. 8、 设D ：由0,==x x y ，1=y 所围，则⎰⎰=Dydxdy arctan ________________.二、（8分）设数列{}n x 为：n n x x x +==+6,111 ；求证：数列{}n x 收敛，并求极限。
三、（8分）设()x f 在区间[]b a ,上连续，()⎰=ba dx x f 0. 证明：存在()b a ,∈ξ,使得()()ξξξf dx x f a =⎰。
四、（8分）将xoy 平面上的曲线()()b a a y b x <<=+-0,222绕直线b x 3= 旋转一周所得立体的体积。
五、（8分）设()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+++=0,0,00,0,,24222y x y x y x y x y x y x f 讨论()y x f ,在()0,0处的连续性，可偏导性，可微性。
六、（10分）已知曲面144222=-+z y x 与平面0=--y x z 的交线在xoy 面上的投影曲线为一椭圆，求该椭圆的面积.七、（8分）在平面∏：202=-+z y x 内作直线Γ，使Γ过另一直线L ：⎩⎨⎧=-+=+-343122z y x z y x 与平面∏的交点，且Γ垂直于L .求直线Γ的参数方程.八、（10分）设D 为,222x y x ≤+x y ≤≤0，求⎰⎰-+D dxdy y x 122。
江苏省高等数学竞赛试题汇总
江苏省⾼等数学竞赛试题汇总2010年江苏省《⾼等数学》竞赛试题（本科⼆级）⼀填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.1y x =+/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=? 5.4211dx x +∞=-?6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=??++--+≤的⾯积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为. ⼆.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =??，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ三．（10分）已知正⽅体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧⾯正⽅形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平⾯与底⾯ABCD 所成⼆⾯⾓的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平⾯截正⽅体所得到的截⾯的⾯积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转⼀周所得旋转体的体积最⼤。
五（12分）求⼆重积分()22cos sin Dx y dxdy +??，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++?，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ?≤≤?+=≤≤?从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L()2,3,,n =L 记1n nx a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《⾼等数学》竞赛试题（本科三级）⼀填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x -=?6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y+=8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D⼆.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对⼀切正数x 成⽴，求常数a 的最⼩值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =??，求证：存在点()0,1ξ∈，使得()0f x dx ξ=?.四.（12分）求⼴义积分4211dx x+∞-?五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转⼀周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转⼀周所得旋转体的体积最⼤。
十二届江苏省高等数学竞赛本科一级解答
y2 = 1 沿逆时针方向. b2 ∫∫ 2. 求曲面积分 xdydz + xzdzdx,
Σ
其中， Σ : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ 0) 取上侧.
x−y x+y dx+ 2 dy . x2 + y 2 x + y2 2′ 2′ 2′
1. 解
L
(b2 x2
a2 b2 (x − y ) a2 b2 (x + y ) dx+ 2 2 dy = 2 2 2 2 + a y )(x + y ) (b x + a2 y 2 )(x2 + y 2 )
L
∂P y 2 − x2 − 2xy ∂Q = = (x, y ) ̸= (0, 0) 时， ， 由Green 公式知 ∂x ∂y x2 + y 2 ∫ 2π x−y x+y x−y x+y 原式 = dx + 2 dy = dx + 2 dy = dθ = 2π. 2 2 2 2 x + y2 x + y2 L x +y x2 +y 2 =ε2 x + y 0 ∫∫ 2. 解
(x4 + sec2 x − 1)dx
3′ 3′
2. 解 设切点为 (a, a2 ), 切线为 y − a2 = 2a(x − a), 将 (2, 3) 代入得 a = 1, 3, 于是切线
为 y = 2x − 1, y = 6x − 9. ∫ 2 ∫ 3 2 2 所求面积为： S = (x − 2x + 1)dx + (x2 − 6x + 9)dx = . 3 1 2 三、 （每小题
江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)
江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准是一项重要的数学技能评估活动。
在本次竞赛中，评分标准起着至关重要的作用。
评分标准不仅决定了考试成绩的计算方式，而且也体现了竞赛评分者对学生数学水平的认知。
本文将详细介绍江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准，以便于竞赛参与者更好地了解竞赛并备战。
试题分析江苏省高等数学竞赛本科级试题旨在考察参赛学生的数学思维能力和素质。
试题难度逐级提高，分别从选择题、填空题、证明题和应用题四个方面进行测试。
选择题和填空题主要考察学生的数学基础知识和解决问题的能力，证明题则更偏重于学生的推理和论证能力。
应用题则结合实际问题进行考察，需要学生将抽象理论与实践相结合，丰富其数学思维。
评分标准江苏省高等数学竞赛本科级评分标准主要分为两个部分：试题得分和满分。
试题得分根据学生对不同难度级别试题的答案正确率进行加权。
满分则是指总分，也就是学生在所有试题中可获得的最大分数。
对于选择题，每个题目的实际得分有三种情况。
如果参赛选手回答正确，则该题得分为该题分值；如果回答错误，则得分为0；未作答则计为0分。
填空题亦是如此。
对于证明题，如果参赛选手证明正确，则该题得分为该题分值，反之则为0分。
对于应用题，情况稍有不同。
应用题的得分计算方式为：学生需要先完成所有题目，获得所有的解题思路和计算方式。
如果该题是否定回答，则该题得分为该题分值的一半；如果回答错误，再回答正确情况下得分的一半；如果回答正确，则该题得分为该题分值。
如果参赛选手未能完成所有题目，则该题记为0分。
本文介绍了江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准。
试题难度分层，主要考察参赛选手的数学思维能力和素质。
评分标准则以得分和满分为主，通过对不同难度测试题的答对记录和正确率进行加权，最终得出学生成绩。
通过本文，相信参赛学生可以对江苏省高等数学竞赛本科级有更全面的认识，并更加有效地备战竞赛。
江苏高等数学竞赛试题汇总定稿版
江苏高等数学竞赛试题汇总HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x =5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
2016年江苏省第十三届高等数学竞赛试题（本科一级）讲解
2016年江苏省第⼗三届⾼等数学竞赛试题（本科⼀级）讲解江西省南昌市2015-2016学年度第⼀学期期末试卷（江西师⼤附中使⽤）⾼三理科数学分析⼀、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考⽣熟悉的基础知识⼊⼿，多⾓度、多层次地考查了学⽣的数学理性思维能⼒及对数学本质的理解能⼒，⽴⾜基础，先易后难，难易适中，强调应⽤，不偏不怪，达到了“考基础、考能⼒、考素质”的⽬标。
试卷所涉及的知识内容都在考试⼤纲的范围内，⼏乎覆盖了⾼中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的⼤部分知识点均有涉及，其中应⽤题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学⽣感受到了数学的育才价值，所有这些题⽬的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题⽬难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较⼤，学⽣不仅要有较强的分析问题和解决问题的能⼒，以及扎实深厚的数学基本功，⽽且还要掌握必须的数学思想与⽅法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全⾯，着重数学⽅法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选⼀问题中，试卷均对⾼中数学中的重点内容进⾏了反复考查。
包括函数，三⾓函数，数列、⽴体⼏何、概率统计、解析⼏何、导数等⼏⼤版块问题。
这些问题都是以知识为载体，⽴意于能⼒，让数学思想⽅法和数学思维⽅式贯穿于整个试题的解答过程之中。
⼆、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满⾜AB AC →→=，则A BA C →→的最⼩值为（）A ．14- B ．12-C ．34-D ．1-【考查⽅向】本题主要考查了平⾯向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三⾓的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确⽤OA ，OB，OC 表⽰其它向量。
江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）
江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim4x x x2. =+++∞→433321limn n n 3. =?→xx tdtt x x 3230sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=?xdx x arctan 26.=211arccosdx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311zy x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求21)1(cos limxx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。
（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" 0时，)(x="" f="" p="" 严格减少，)(lim="">x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。
（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。
四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。
五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。
（1）求切线L 的方程。
2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科)
2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分） 1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ 2. ()23001lim 1x t x e dt x -→-=⎰3. )lim 0x ax b →+∞+=，则,a b = 4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值.7.交换二次积分的次序()211,x e e x dx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则D= 二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x c x f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤， 求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞五（8分）求()120arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,2f x y x y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值.八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos D x y dxdy +⎰⎰。
江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与n x 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--x tdt et 102所确定的隐函数，则==022t dtx d 。
7.已知微分方程()yyy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a 、的夹角为____________。
10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使⎰=++ba c x c x 0)cos()(，其中ab >。
四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中,,a b c 为正实数）。
江苏省高等数学竞赛试题汇总
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰5.4211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-L()2,3,,n =L 记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分）1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x =5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂ 8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且110()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
江苏省第十一届高等数学竞赛题(本一)试卷评分标准
2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题（本科一级）评分标准一、填空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上）1、x→2、()()2ln 1,ny x y =−=则 3、820sin d x x π=∫ 4、1∫5、函数 ()()(),,,x x f x y ϕψ皆可微，设()()(),,z f x y x y ϕψ=+则z z x y∂∂−∂∂ =6、()2222,d d d x y z z x y z x y z ΩΩ++≤++=∫∫∫设：则 7、到直线 (213−点，，)13122x y z−+==−的距离为 8、级数()()211k nnn n n ∞=−+−∑为条件收敛，则常数 k二、（每小题6分，共12分）（1）求 ()11231lim n n nn→∞+−+−+−⋅""（2）设在处三阶可导，且)(x f 0=x (0)0,(0)3f f ′′′==，求 30(e 1)()lim .x x f f x x→−−三、（每小题6分，共12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明.（1）函数()f x 在处可导，但在0x =0x =的某去心邻域内处处不可导.（2）函数()f x 在(),δδ−上一阶可导()0δ>，()0f 为极值，且()()0,0f 为曲线的拐点.()y f x =四、（10分）设函数(,)f x y 在平面区域D 上可微，线段位于PQ D 内，点 的坐标分别为,P Q (),P a b ，,求证：在线段上存在点(,Q x y )PQ (),M ,ξη使得()()()()()(),,,,x y .f x y f a b f x a f y b ξηξη′′=+−+−五、（12分）计算曲线积分222222222()d ()d ()d x y z x y z x y z x y Γ+−++−++−∫v z , 其中 2226x y z y Γ++=为与 224x y y +=(0)z ≥ 的交线，从轴正向看去为逆时针方向..z六、（12分）点()()1,2,1,5,2,3A B −−在平面:223x y z Π−−=的两侧，过点,A B 作球面使其在平面ΣΠ上截得的圆Γ最小，（1）求球面的球心坐标与该球面的方程； Σ（2）证明: 直线与平面的交点是圆AB ΠΓ的圆心.七、（10分）求级数()()21112nnnn nn∞=++−∑ 的和.。
2018年江苏省高等数学竞赛本科二级试题与评分标准
因为 f x 在 x 1 处连续,所以 f 1 f 1 f 1 ,故 f 1 a b c d 0, (2 分)
(本二评分标准) 第3页
cos x x 0 ; 2 因为 f x b 2cx 3dx 0 x 1 ; 2 x 1 1 x2
.
(1) 求定积分
02 cos x cos 2 x
2
2
d x;
(2) 求极限 x lim
y
x y sin x 2 xy y 2 . 2 x xy y
解
(1) 原式 2 cos 2 x cos 2 2 x 2cos x cos 2 x d x
(2) 应用不等式的性质得 x2 xy y 2 x 2 y 2 xy 2 xy xy xy , （1 分）所以
0
x y x y 1 1 sin x 2 xy y 2 ， （2 分） 2 xy y x x xy y
2
1 1 因为 x lim 0, 应用夹逼准则得 x y y
f 0 xlim 0
1 sin x 1 1, x
f 0 xlim 0
1 bx cx 2 dx3 1 b, x
即得 b 1; (3 分) 因 f x 在 x 1 处可导,所以 f 1 f 1 , 因
yn ( 2 分) yn xn
y lim n n xn 0, 0 n 1 因为 n yn xn
f 0 0 f 0 ( 2 分)
2017江苏省高等数学竞赛试题(本科四级)
(1) 求单调区间与极值;
4. (8 分) 已知 xn = ln2 (1 + n) + 2 ln(1 + n) − 2n, 试判别数列 {xn } 的单调性.
∫
5. (10 分) 设 n 为正整数,In =
0
π 2
sin 2nx dx, sin x (2) 试求定积分 I3 =
(1) 求 In − In−1 (n ≥ 2);
x →2
一
二
三
分
次积分的值. 2. (10 分) 判断下列命题是否成立? 若判断成立, 给出证明; 若判断不成立, 举一反例, 证明命题不成立. 命题 1. 若函数 f (x), g(x) 在 x = a 处皆不连续 (a ∈ R), 则 f (x) + g(x) 在 x = a 处不连续; 命题 2. 若函数 f (x), g(x) 在 x = a 处皆连续 (a ∈ R), 但不可导, 则 f (x) + g(x) 在 x = a 处不可导. 3. (13 分) 已知曲线 y = x2 , 2(1 − x) (2) 求凹凸区间; (3) 求渐近线; (4) 画出此曲线的简图.
2017 年江苏省普通高等学校第十四届
高等数学竞赛试题 (本科四级)
题号 得分 1. 解答下列各题 (每小题 5 分, 共 25 分). (1) (5 分 ×2) 求极限: ( 1 2 n ) + 2 +···+ 2 ; lim 2 n→∞ n + 1 n +2 n +n ( 1 2 n ) lim 2 ; + 2 + · · · + n→∞ n + 1 n + 22 n2 + n2 f (x) − x = 4, 试证 f (x) 在 x = 2 处可导, 并求 f ′ (2). x−2 ∫ 4 [x] (3) (5 分) 设 [x] 表示实数 x 的整数部分, 试求定积分 dx. 2 1 x √ ∫ 1 ∫ 1+√1−y2 2x − x2 , 1 ≤ x ≤ 2 交换二次积分 dy f (x)dx 的次序, 并求此二 (4) (5 分) 设 f (x) = 0 y x ,0 ≤ x ≤ 1 (2) (5 分) 已知函数 f (x) 在 x = 2 处连续, 且 lim
2017年江苏省高等数学竞赛试卷解析(专科)
（专）
(专科评分标准) 第 2 页
(专)
二. (10 分) 判断下列命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例,证明命题
不成立. 命题 1：若函数 f x, g x 在 x a 处皆连续 a R ，则 f x g x 在 x a 处连续;
命题 2：若函数 f x, g x 在 x a 处皆不连续 a R ，则 f x g x 在 x a 处不连续. (专)
2017 专科试题
一． 解下列各题 （每小题 5 分，共 25 分）
1.(5 分×2)
求极限: 1)
lim
n
n2
1
2 n n2
n
n
n2
n
;
2)
lim
n
n2
1
2 n n2 2
n
n n2 n
n .
(专科)
2.（5 分）
已知函数 f x 在 x 2 处连续,
f x 4
lim
5,
试证 f x 在 x 2 处可导,并求
x2 x 2
f 2.
（专）
3. （5 分） 设 nN, 试求极限
cos2n 1 x
lim
.
(专)
x /2 cos x
2
4. （5 分） 试求定积分 x dx. 1
I0
/2 cos x dx , （2 分）所以 0 cos x 2
I3
I2
I1
I0
2
（2
分）
六．（10 分）设曲线
y
2018年江苏省高等数学竞赛本科二级试题
2018年江苏省高等数学竞赛(本二)试题一、填空题（ 每小题4分，共20分）1、()1432lim 1234n n n n n n →∞+++= .2、设0a >，则()lim ln 1e ln 1ax x a x →+∞⎛⎫ +-= ⎝⎭ . 3、12ln ()arctan ,(),(())1x f u x y f x u x ϕϕ+===+，则1d d x y x == . 4、()302d 1x x x +∞=+⎰ . 5、已知函数(),F u v 可微，(0,0)1,(0,0)2u v F F ''==，函数(),z f x y =由方程()22223,40F x y z x y z -+-+=确定，满足(1,2)0f =，则(1,2)x f '= .二、解答下列各题（ 每小题5分，共10分） (1) 求定积分220(cos cos 2)d x x x π+⎰； (2) 求极限()2222lim sin .x y x yx xy y x xy y →∞→∞+-+-+ 三、（10分）已知函数()f x 在0x =处可导，数列{}{},n n x y 满足：()(,0),(0,)0n n x y δδδ∈-∈>，且lim 0,lim 0n n n n x y →∞→∞==，试求： ()()lim .n n n n n n nx f y y f x y x →∞-- 四、（10分）已知22111sin cos ,1001()0,0x x x f x x x x x ⎧⎪⎪--≤<<≤⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩或试判别： (1) ()f x 在区间1,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是否连续？若有间断点，判断其类型；(2) ()f x 在区间1,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是否存在原函数？若存在，写出一个原函数；若不存在，写出理由；(3) ()f x 在区间1,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是否可积？若可积，求出()11d f x x -⎰；若不可积，说明理由.五、（12分）已知函数231sin ,0,(),01,2arctan ,12x x f x a bx cx dx x x x ⎧⎪⎪+<⎪⎪⎪⎪⎪=+++≤≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪->⎪⎪⎩在(,)-∞+∞上可导，试求常数,,,d.a b c六、（12分）设{}22(,)|2(),0D x y x y x y y =+≤-≥. (1)试求区域D 的面积；(2) 试求区域D 绕x 轴旋转一周生成的旋转体的体积.七、（14分）已知曲线22:324x y xy Γ++=是xOy 平面上的椭圆. (1)试求椭圆Γ的四个顶点的坐标，并求Γ所围平面图形的面积；(2)试求椭圆Γ上纵坐标最大与最小的点的坐标.八、（12分）已试求二次积分()()12||||331d e sin d .x y x x x y y --+⎰⎰。
江苏省高等数学竞赛试题
2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分） 1.()()3sin sin limsin x x x x →-=2.设函数,f ϕ可导，()()arctan tan y f x x ϕ=+，则y '=3. 2cos y x =，则()n y =4.21x xdx x e +=⎰5. 4211dx x +∞=-⎰ 6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 7.设2,,x f x y f y ⎛⎫- ⎪⎝⎭可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()(),2,1x y dz==8.级数()()1111!2!nnn n n ∞=+--∑的和为 二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈， 使得()()()()()30212cc c f x dx f f c f ξ''=+-⎰三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1D x y +≤六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑++⎰⎰，（,,a b c 为常数）其中222:2x y y z ∑++=.七.（12分）已知数列{}n a ，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x +∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
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2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分） 1.()()3sin sin limsin x x x x →-=2.设函数,f ϕ可导，()()arctan tan y f x x ϕ=+，则y '=3. 2cos y x =，则()ny =4.21xxdx x e +=⎰5. 4211dx x +∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 7.设2,,x f x y f y ⎛⎫- ⎪⎝⎭可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()(),2,1x y dz==8.级数()()1111!2!nnn n n ∞=+--∑的和为 二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈， 使得()()()()()30212cc c f x dx f f c f ξ''=+-⎰三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1D x y +≤六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑++⎰⎰，（,,a b c 为常数）其中222:2x y y z ∑++=.七.（12分）已知数列{}n a ，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.1y x =+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x +∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n nx a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分4211dx x+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（民办本科）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰ 6.214arctan 1x x dx x =+⎰7.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 8.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.五．（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
七（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（专科）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰ 6.214arctan 1x x dx x=+⎰7.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 8. 级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四. （12分）求广义积分4211dx x+∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六.（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 七（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n nx a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2008年江苏省高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分） 1.a ，b 时，2limarctan 2xax xxbxx2. a，b时()ln(1)1xf x ax bx在0x 时关于x 的无穷小的阶数最高。
3.2420sin cos x xdx4.通过点1,1,1与直线,2,2x t yzt 的平面方程为5.设222,x zxy则(2,1)nnzy=6.设D 为,0,1y x x y 围成区域，则arctan Dydxdy7.设为222(0)x y x y上从(0,0)O 到(2,0)A 的一段弧，则()()xxye x dxe xy dy =8.幂级数1n n nx 的和函数为 ，收敛域为 。
二．（8分）设数列n x 为1223,33,,33(1,2,)nn x x x x n证明：数列n x 收敛，并求其极限三．（8分）设()f x 在,a b 上具有连续的导数，求证/1max ()()()b b a x baaf x f x dxf x dx b a四．（8分）1）证明曲面:(cos )cos ,sin ,(cos )sin xba ya zba02,020a b 为旋转曲面2）求旋转曲面所围成立体的体积五．（10分）函数(,)u x y 具有连续的二阶偏导数，算子A 定义为(),u u A u x y xy1）求(())A uA u ；2)利用结论1）以,y x y x为新的自变量改变方程222222220u u u xxyyx x yy 的形式六．（8分）求2601lim sin()t t xt dxxy dy t七．（9分）设222:1(0)x y z z的外侧，连续函数222(,)2()()()((,)2)z z z f x y xy x z e dydz y z e dzdx zf x y e dxdy求(,)f x y八．（9分）求23(3)()(1)(13)x x f x x x 的关于x 的幂级数展开式2008年江苏省高等数学竞赛题（专科）一．填空题（每题5分，共40分） 1.a，b时，2limarctan 2xax xxbx x2. 11lim2nnk k k 。