机械振动6连续系统的振动1弦的横向振动

(0 x L)
（6.1 5）
弦的横向强迫 振动方程
如果f (x,t) 0，则弦的自由振动微分方程：
2 y t 2
a2
2 y x2
（6.1 6）
波动方程
其中：a
T/
弹性波沿弦向 的传播速度
7
2 y t 2
a2
2 y x2
y(0,t) y(L,t) 0
y
弦存在着同步运动的特征： T
弦位移的形状不随时间改变
这就是边界条件。
（6.1 3）
y( x, t )
f (x,t) T (L,t)
x
dx
x
（6.1 3）与（6.1 4）构成了偏微分方程的边界值问题。
若弦的线密度(x) 为常数，设横向位移y(x,t)为小量，
弦的张力T可以视为常数，则方程（6.1 3）简化为：
2 y t 2
T
2 y x2
f
( x, t )
• 在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差 别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系 统是完全类似的。
2
教学内容
• 弦的横向振动 • 杆的纵向振动 • 轴的扭转振动 • 梁的弯曲振动 • 振型函数的正交性 • 连续系统的响应·振型叠加法
3
说明
（1）本章讨论的连续体都假定为线性弹性 体，即在弹性范围内服从虎克定律。
o x
y( x, t ) f (x,t)
dx
T
x
但弦位移形状的幅度随时间改变，弦上各点同时达到最大幅值， 又同时通过平衡位置。 数学上讲，就是位移函数在时间和空
间上是分离的， 即位移函数可以写成：
y(x,t) Y (x)F(t) （6.18）
Y (x)表示弦的振动位形，只取决于x， F (t)表示弦的振动规律，只取决于t，
2 y t 2
T x
y x
f
( x, t )
(0 x L)
此为弦的横向振动的偏微分方程
式中： (x), T T (x,t), y y(x,t)
6
2 y t 2
T x
y x
f
( x, t )
(0 x L)
y
从图上看出，在两端：
T (0,t)
y(0,t) y(L,t) 0 （6.1 4） o
x
建立坐标系 xoy
y(x,t)
弦上距原点 x 处的横截面在 t 时刻的横向位移 T(x,t)
dx
2 t
y
2
微段受力情况 达朗贝尔原理：
dx
2 y t 2
T (x,t)
T x
dx sin(
x
dx) T
s in
f
( x, t )dx
微振：
sin tan y
x
5
dx
2 y t 2
T (x,t)
Y (x) dx2
= 2
上式左端只依赖于t，右端只依赖于x. 要使等号两端对任意的
x和t都相等，必须都等于常数， 该常数用 2表示，得
d
2F (t dt 2
)
2
F
(t
)
0
d 2Y (x) 2
dx2 a2 Y (x) 0
9
2 y t 2
a2
2 y x2
y(0,t) y(L,t) 0
令：y(x,t) Y (x)F(t)
8
2 y t 2
a2
2 y x2
y(0,t) y(L,t) 0
弦存在着同步运动的特征： y(x,t) Y (x)F(t)
（6.1 8）
代入上式： Y (x) d 2F (t) a2 d 2Y (x) F (t)
dt 2
dx2
移项得：
1 d 2F (t) a2 1 d 2Y (x)
F (t) dt2
连续系统的振动
• 实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量 与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。
• 由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标， 因此连续体是具有无限多自由度的系统。
• 连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运 动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组 ，它是偏微分方程。
T x
dx sin(
x
dx) T
s in
f
( x, t )dx
sin tan y
x
dx
2 t
y
2
T
y x
2 y x2
dx
T x
y x
dx
T x
2 y x2
(dx)
2
T
y x
f
( x, t )dx
不计dx的二次项， 同除以dx：
2 y t 2
T
2 y x 2
T x
y x
f
( x, t )
式中A, B或C,为积分常数，由初始条件y(x,0), y(x,0)确定。
10
d 2Y (x) 2Y (x) 0
dx2
(0 x L) （6.111）
a
而(6.1-11)的解应该是：
Y (x) Dsin x E cos x 振型函数 （6.113）
式中D, E为积分常数，由边界条件y(0,t), y(L,t)确定。
（6.1 8）
d
2F (t) dt 2
2
F
(t
)
0
（6.110）
d
2Y (x) dx2
2Y
(
x)
0
a
(0 x L) （6.111）
这样，偏微分方程就变成两个二阶常微分方程，x, t.
而(6.1-10)的解应该是简谐的：
F(t) Asint B cost C sin(t )
（6.112）
y(0,t) y(L,t) 0
（6.1 4）
Y (0) Y (L) 0
（6.114）
代入(6.1-13)得：
Y (0) E 0，Y (L) Dsin L 0
D 0 sin L 0
即，sin L 0
a
11
Y (x) Dsin x E cos x
（6.113）
sin L 0 这就是弦振动的特征方程。（6.115）
（2）材料均匀连续；各向同性。 （3）振动满足微振动的前提 。
4
6.1 弦的横向振动
y
y( x, t )
T (0,t)
弦两端固定，以张力 T 拉紧
o
在分布力作用下作横向振动
x
f (x,t)
dx
T (L,t) x
单位长度弦的质量
f (x,t) 单位长度弦上分布的作用力
dx T T dx
f dx
x dx
12
i
ia
L
i
L
T
(i 1,2,)
Yi
(
x)
sin
i
a
x
sin i
L
x
(i 1,2)
FFi ((tt)) AAi ssiinntitBBci ocosst it
y(x,t) Y (x)F(t)
a
由此得无穷多个固有频率：
L i ,
a
i
ia
L
i
L
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(i 1,2,) （6.116）
频率ω1称为基频或基谐波，较高次频率称为高次谐波。
高次谐波是基频的整数倍。对应无穷多个固有频率，就有无
穷多个固有振型函数：
Yi (x)
sin i
a
x
sin
i
L
x
(i 1,2)
（6.117）
此处D 省略，因为Y表示系统各点振幅的相对比值（振型）。