最新数值计算课后答案1
数值计算方法习题答案（第二版）（绪论）
数值计算⽅法习题答案（第⼆版）（绪论）数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的⽜顿迭代公式112(),0,1,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成⽴下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......k k k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k k x a x x x x +-??-=+==? ??（2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+-= +=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤-110218，⽽()k k k k k x x x x x 288821821-=-???? ??+=-+ nn k k x x 2122110215.22104185.28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解：此题的相对误差限通常有两种解法.①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表⽰为m n a a a x 10......021*?±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11 **1021--?≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第⼀个⾮零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=??≤--x e x ②第⼆种⽅法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种⽅法均可得出相对误差限，但第⼀种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成⽴的正确结论，故他对误差限的估计偏⼤，但计算略简单些；⽽第⼆种⽅法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。
《数值计算方法》 课后题 答案(曾金平)湖南大学
= 0.105 × 10 2 − 0.144 × 10 2 + 0.657 × 10 1 − 1
= 0.167 × 101
g ( 2.19) = ((−0.81) × 0.219 × 101 + 3) × 0.219 × 101 − 1
= 0.123 × 10 1 × 0.219 × 10 1 − 1 = 0.169 × 101 1 1 即 f ( x) = 0.167 × 10 ， g ( x) = 0.169 × 10
而当 x = 2.19 时 x 3 − 3 x 2 + 3 x − 1 的精确值为 1.6852，故 g ( x ) 的算法较正确。 8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算） ： （1）
∑3
i =1
6
1
i 6
；(2)
∑3
i =6
1
1
i
。
解： （1）
∑3
i =1 1
1
i
1 1 1 1 1 1 = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 0.333 + 0.111 + 0.037 + 0.012 + 0.004 + 0.001 3 3 3 3 3 3
xk
1 1.5 1.25 1.125 1.0625 1.09375 1.109375 1.1171875 1.11328125 1.115234375 1.1142578125 1.11376953125
f ( xk )
-0.1585 0.4962 0.1862 0.015051 -0.0718 -0.02835 -0.00664 0.004208 -0.001216 0.001496 0.001398 -0.000538
数值计算方法课后习题答案
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
数值计算方法与算法第三版课后习题答案
数值计算方法与算法第三版课后习题答案1. 矩阵乘法问题描述给定两个矩阵A和B，尺寸分别为n×m和m×p，求矩阵A 和矩阵B的乘积矩阵C，尺寸为n×p。
算法实现import numpy as npdef matrix_multiplication(A, B):n, m = A.shapem, p = B.shapeC = np.zeros((n, p))for i in range(n):for j in range(p):for k in range(m):C[i][j] += A[i][k] * B[k][j] return C示例A = np.array([[1, 2], [3, 4]])B = np.array([[5, 6], [7, 8]])C = matrix_multiplication(A, B)print(C)输出结果：[[19. 22.][43. 50.]]2. 数值积分问题描述给定一个函数f(x)，以及积分区间[a, b]，求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分值∫abf(x)dx。
算法实现简单的数值积分算法是采用小梯形法，将区间[a, b]均分成n个子区间，然后计算每个子区间的面积，最后将这些子区间面积相加得到定积分值。
def numerical_integration(f, a, b, n):h = (b - a) / nintegral =0for i in range(n):x1 = a + i * hx2 = a + (i +1) * hintegral += (f(x1) + f(x2)) * h /2 return integral示例import mathf =lambda x: math.sin(x)a =0b = math.pin =100result = numerical_integration(f, a, b, n) print(result)输出结果：1.99983550388744363. 非线性方程求解问题描述给定一个非线性方程f(x) = 0，求方程的根x。
数值计算方法课后习题答案
习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得 （1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x x δδδ≈===4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈ 解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ= =0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121x y x x -=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A）y =，（B）y =（3）已知1x <<，（A ）22sin x y x=，（B ）1cos 2xy x -=；（4）（A）9y =（B）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
故（B ）算得准确些。
（2）（B ）中两个相近数相减，而（A ）中避免了这种情况。
故（A ）算得准确些。
（3）（A ）中2sin x 使得误差增大，而（B ）中避免了这种情况发生。
故（B ）算得准确些。
（4）（A ）中两个相近数相减，而（B ）中避免了这种情况。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等)绪论（12）1、设x 0，x的相对误差为，求lnx的误差。
[解]设x* 0为x的近似值，则有相对误差为r*(x) ，绝对误差为*(x) x*，从而lnx的误差为*(lnx) (lnx*) (x*) 相对误差为(lnx)*r1*x ，x**(lnx)lnx*lnx*。
2、设x的相对误差为2%，求xn的相对误差。
[解]设x*为x的近似值，则有相对误差为r*(x) 2%，绝对误差为*(x) 2%x*，从而x的误差为(lnx) (x) 相对误差为(lnx)*rn*nx x*(x) n(x)**n 12%x 2n% x**n，*(lnx)(x)*n2n%。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*****x1 1.1021，x2 0.031，x3 56.430，x5 385.6，x4 7 1.0。
***[解]x1 1.1021有5位有效数字；x2 0.0031有2位有效数字；x3 385.6有4**位有效数字；x4 56.430有5位有效数字；x5 7 1.0有2位有效数字。
****4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x1均为第3题所给,x2,x3,x4的数。
***（1）x1；x2 x4f *******e*(x1 x2 x4) (x) (x) (x) (xk124) xk 1 k [解]；11110 4 10 3 10 3 1.05 10 3222n****（2）x1x2x3；f***e*(x1x2x3)k 1 xkn ********** (x) (xx) (x) (xx) (x) (xx) (x)k***-*****3*1[解] (0.031 385.6)1 10 4 (1.1021 385.6)1 10 3 (1.1021 0.031) 10 3；2220.***** 10 3 212.***** 10 3 0.***-***** 10 3213.***-***** 10 3 0.***-*****255**（3）x2。
《数值计算方法》课后题答案(湖南大学-曾金平)
习题一1．设x >0相对误差为2%，4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）31.97+2.456+0.1352； （2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352 ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+ =2(0.3443100.1352)fl ⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==0.5%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x >>，（A ）y=，（B ）y =； （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos 2xy x-=；（4）（A）9y =（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法课后习题答案(李庆扬等) (修复的)
，。
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
现代数值计算课后答案
现代数值计算课后答案【篇一：数值计算课后答案4】>1、设x0?0,x1?1，写出f(x)?e?x的一次插值多项式l1(x)，并估计插值误差。
设插值函数为l1(x)?ax?b，由插值条件，建立线性方程组为?a?0?b?1??1?a?1?b?e?a?e?1?1解之得??b?1则l1(x)?(e?1?1)x?1因为y?(x)??e?x,y??(x)?e?x 所以，插值余项为r(x)?f(x)?p(x)??1f(n?1)(?)?(x)(n?1)!1(2)f(?)?(x)2!1?f(2)(?)(x?x0)(x?x1)2!1?e??(x?0)(x?1)(??(0,1))2所以1r(x)?maxe??maxx(x?1)0?x?120???1。
111??e?0??2482选用合适的三次插值多项式来近似计算f(0.2)和f(0.8)。
解：设三次插值多项式为f(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3，由插值条件，建立方程组为?a0?a1?(?0.1)?a2?(?0.1)2?a3?(?0.1)3?0.995?23?a0?a1?0.3?a2?0.3?a3?0.3?0.995?23?a0?a1?0.7?a2?0.7?a3?0.7?0.765?a?a?1.1?a?1.12?a?1.13?0.4 5423?01即?a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0.995?a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0 .995?a?0.3a?0.09a?0.027a?0.995?0.4a1?0.08a2?0.028a3?0?0?1 23???a?0.7a?0.49a?0.343a?0.7650.8a1?0.48a2?0.344a3?1.76123?0?? ?0.4a1?0.72a2?0.988a3??0.311?a0?1.1a1?1.21a2?1.331a3?0.45 4??a0?0.1a1?0.01a2?0.001a3?0.995?0.4a1?0.08a2?0.028a3?0???0.32a2?0.288a3?1.76???0.384a3??3.831?解之得 ?a0?0.41?a??6.29?1?a??3.48?2??a3?9.98则所求的三次多项式为f(x)?0.41?6.29x?3.48x2?9.98x3。
数值计算方法(山东联盟)知到章节答案智慧树2023年中国石油大学(华东)
数值计算方法（山东联盟）知到章节测试答案智慧树2023年最新中国石油大学（华东）第一章测试1.数值计算方法研究的误差有()参考答案:截断误差;;舍入误差.2.参考答案:只有模型误差、观测误差与舍入误差；3.参考答案:4位4.对于下列表达式，用浮点数运算，精度较高是参考答案:5.参考答案:第二章测试1.参考答案:0.56252.参考答案:;3.关于Steffensen(斯蒂芬森)迭代方法，下列命题中正确的是：参考答案:Steffensen迭代法使得某些发散的迭代格式变为收敛。
;Steffensen迭代法使得某些收敛的迭代格式加速收敛。
4.关于Newton迭代法，下列命题中正确的是：参考答案:;Newton迭代格式可能收敛也可能发散。
5.参考答案:6第三章测试1.算法的计算量与近似成正比。
2.列主元Gauss消去法与Gauss顺序消元法相比，优点是：参考答案:提高了稳定性，减少了误差的影响。
3.参考答案:平方根法与Gauss列主元消去法相比，提高了稳定性，但增加了计算量。
;只要是对称正定矩阵，就可用平方根法求解。
4.参考答案:;5.;第四章测试1.给定n+1个互异的插值节点，求插值多项式。
下列命题中正确的是：参考答案:若要求插值多项式的次数等于n，则用不同方法求出的插值多项式是相等的。
;若要求插值多项式的次数小于n，则插值多项式可能不唯一。
2.关于插值多项式对被插值函数的逼近效果，正确的命题是：参考答案:插值点靠近所有插值节点时，插值余项的绝对值较小。
3.关于差商，下列命题中正确的命题是：参考答案:;4.关于多项式插值的Runge现象，下列命题中正确的命题是：参考答案:采用分段低次多项式插值可以避免Runge现象。
;用三次样条函数插值可以避免Runge现象。
5.关于三次样条函数，下列命题中正确的命题是：参考答案:三次样条函数是连续函数。
;三次样条函数具有连续导数。
;三次样条函数具有连续的2阶导数。
第五章测试1.用正交多项式求一个函数的最佳平方逼近多项式的主要优点是节省计算量。
现代数值计算方法习题解答
E( x n ) x − x* ≈n = nE r ( x) = 0.01n . 所以 E r ( x ) = x xn
n
8 、解：
9 、证： E ( S ) = S − S * ≈ gt (t − t * ) = gtE (t ) Er (S ) = S − S * gt (t − t * ) 2 E (t ) ≈ = S t gt 2 / 2 由上述两式易知，结论.
* * 10 x 0 − 1 − 10 x0 + 1 |=1 x0 − x 0 | x1 − x1* |=| 0 | |< = 10δ
* * | x2 − x2 |=| 10 x1 − 1 − 10 x1 + 1 |=1 0 | x1 − x1* |< = 10 2 δ
类推有
* x10 − x10 | | < =1010 δ =
4
现代数值计算方法习题答案
是否大于零来判断.
3 2 3 3 2 所以系数矩阵是对称 = 2 > 0, 2 2 0 = 6 > 0, a11 ＝ 3 > 0, 2 2 3 0 12
正定的. 记系数矩阵为 A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素：
l11 = 3
3 2 1 3 2 所以系数矩阵是对称 = 2 > 0, 2 2 0 = 4 > 0, a11 ＝ 3 > 0, 2 2 1 0 3
正定的. 记系数矩阵为 A，则平方根法可按如下三步进行： 第一步 分解：A = L LT. 由公式计算出矩阵的各元素：
l11 = 3
l 21 =
2 3 3 6 3
l 22 =
所以数组 A 的形式为：
数值计算课后全部答案(整合)
目录第一章-----------------------------------------1 第二章-----------------------------------------4 第三章-----------------------------------------9 第四章-----------------------------------------15 第五章-----------------------------------------20 第六章-----------------------------------------27 第七章-----------------------------------------30第一章数值计算中的误差习题一1.1 下列各近似数的绝对误差限是最末位的半个单位，试指出它们各有几位有效数字。
1x =-3.105 , 2x =0.001, 3x =0.100, 4x =253.40, 5x =5000, 6x =5⨯310.答案：4，1，3，6，4，1.1.2 设100>*x >10,x 是*x 的有五位有效数字的的近似数,求x 的绝对误差限。
答案：当10<x<100时,因为有5位有效数字,所以绝对误差限为0.005. 1.3 求下列各近似数的相对误差限和有效数字位数： 1) 123x x x ++,2) 124x x x 3) 24x x 答案：()10.0005e x ≤()20.0005e x ≤()30.0005e x ≤ ()40.005e x ≤ ()50.5e x ≤ ()60.5e x ≤1）()()()()123123e x x x e x e x e x ++=++≤()()()123e x e x e x ++3221.5100.15100.510---≤⨯=⨯≤⨯2123()0.1510x x x ε-++=⨯123123123()()0.0004993...0.0004994r x x x e x x x x x x ε++++==≤++123x x x ++=-3.004 精确到小数点后两位,所以有三位有效数字。
数值计算方法答案
数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，9习题一1．设x >0相对误差为2%4x 的相对误差。
解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈得（1）()f x =11()()*2%1%22x x δδδ≈===；（2）4()f x x =时444()()'()4()4*2%8%x x x x x xδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。
解：由教材9P 关于1212.m nx a a a bb b =±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算 （1）++； （2）+（+）哪个较精确 解：（1）++ ≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl ⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl ⨯+=210⨯（2）+（+）21(0.319710(0.245610))fl fl ≈⨯+⨯ = 21(0.3197100.259110)fl ⨯+⨯ =210⨯易见++=210⨯，故（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少解：设该正方形的边长为x ，面积为2()f x x =，由(())(())'()()()()f x xf x f x x f x f x δδ∆=≈解得(())()()'()f x f x x xf x δδ≈=2(())(())22f x x f x x xδδ==%5．下面计算y 的公式哪个算得准确些为什么（1）已知1x <<，（A ）11121xy x x-=-++，（B ）22(12)(1)x y x x =++； （2）已知1x>>，（A ）y=，（B ）y = （3）已知1x <<，（A ）22sin x y x =，（B ）1cos2xy x-=；（4）（A）9y =-（B ）y =解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
数值计算方法》习题答案
《数值计算方法》课后题答案详解吉 林 大 学第一章 习 题 答 案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。
解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。
解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取 并令 可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。
数值计算标准答案石瑞民
习题一1、取3.14,3.15，722，113355作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
解：14.31=x312110211021--⨯=⨯≤-x π所以，1x 有三位有效数字绝对误差：14.3-=πe ，相对误差：ππ14.3-=r e 绝对误差限：21021-⨯≤ε，相对误差限：213106110321-+-⨯=⨯⨯=r ε21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，2x 有两位有效数字绝对误差：15.3-=πe ，相对误差：ππ15.3-=r e 绝对误差限：11021-⨯=ε，相对误差限：11061-⨯=r ε31222105.0105.01012645.00012645.0722722---⨯=⨯≤⨯==-=πx所以，3x 有三位有效数字绝对误差：722-=πe ，相对误差：ππ722-=r e绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差限：21061-⨯=r ε1133551=x 7166105.0105.01032.000000032.0113355---⨯=⨯≤⨯==-π 所以，4x 有七位有效数字 绝对误差：113355-=πe ，相对误差：ππ113355-=r e绝对误差限：61021-⨯=ε，相对误差限：61061-⨯=r ε3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
5000,50.31,3015.0,0315.04321====x x x x解：0315.01=x m=-13141*10211021---⨯=⨯≤-x x 所以，n=3，1x 有三位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：2110611021-+-=⨯=n r a ε3015.02=x m=04042*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：41021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50.313=x m=24223*10211021--⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：21021-⨯=ε，相对误差：3110611021-+-=⨯=n r a ε50004=x m=44404*10211021-⨯=⨯≤-x x所以，n=4，1x 有四位有效数字绝对误差限：5.010210=⨯=ε，相对误差：23110105211021--+-=⨯=⨯=n r a ε4、计算10的近似值，使其相对误差不超过%1.0。
《数值计算》课后习题汇总
《数值计算》课后习题汇总习题⼀解答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各⾃的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
2、⽤四舍五⼊原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。
346．7854，7．000009，0．0001324580，0．6003003、下列各数都是对准确数进⾏四舍五⼊后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。
4.0.1％。
5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对31120.14281100.31415910x x =?=-?与，试求它们的机器浮点数()(1,2)i fl x i =及其相对误差。
6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z -=?=?=-?，试按(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果⽐较。
7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，⽤浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算10.40.30.20.040.030.020.01+++++++试⽐较所得结果。
8、对于有效数1233.105,0.001,0.100x x x =-==，估计下列算式的相对误差限21123212333,,x y x x x y x x x y x =++==9、试改变下列表达式，使其计算结果⽐较精确（其中1x 表⽰x 充分接近0，1x表⽰x 充分⼤）。
(1)1212ln ln ,x x x x -≈； (2)11,111x x x x---+；(3)1x ；(4)cot ,01x x xx-≠且。
10、⽤4位三⾓函数表，怎样算才能保证1cos 2-有较⾼的精度？11、利⽤27.982≈求⽅程25610x x -+=的两个根，使它们⾄少具有4位有效数字。
12、试给出⼀种计算积分11(0,1,2,3,...)n x n I ex e dx n -==?，近似值的稳定算法。
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习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯ 所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯ 所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.14159265 3.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-L L 相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10)22 3.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
而22 3.14159265 3.1428571430.0012644937π-=-=-L L 所以221322 3.14159265 3.1428571430.0012644930.0057110.510101022π----=-=≤=⨯=⨯=⨯L L 所以，227作为π的近似值有3个有效数字。
（4）绝对误差:355() 3.14159265 3.141592920.00000027050.000000271113e x π=-=-=-≈-L L 相对误差：7()0.000000271()0.86310355113r e x e x x--==≈-⨯ 有效数字：因为π＝3.14159265...=0.314159265 (10)355 3.141592920.31415929210113==⨯，m=1。
而355 3.14159265 3.141592920.0000002705113π-=-=-L L 所以6617355 3.14159265 3.141592920.00000027050.0000005113110.510101022π----=-=≤=⨯=⨯=⨯L L 所以，355113作为π的近似值有7个有效数字。
指出：①实际上，本题所求得只能是绝对误差限和相对误差限，而不是绝对误差和相对误差。
2、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。
346．7854，7．000009，0．0001324580，0．600300解：346．7854≈346．79，7．000009≈7．0000，0．0001324580≈0．00013246，0．600300≈0．60030。
指出：注意0。
只要求写出不要求变形。
3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。
12340.0315,0.3015,31.50,5000x x x x ====。
分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。
其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。
有效数字由定义可以直接得出。
解：由四舍五入的概念，上述各数的绝对误差限分别是1234()0.00005,()0.00005,()0.005,()0.5x x x x εεεε====由绝对误差和相对误差的关系，相对误差限分别是111222333444()0.00005()0.16%,0.0315()0.00005()0.02%,0.3015()0.005()0.002%,31.5()0.5()0.01%.5000x x x x x x x x x x x x εδεδεδεδ==≈==≈==≈==≈ 有效数字分别有3位、4位、4位、4位。
指出：本题显然是直接指出有效数位、直接写出绝对误差，用定义求出相对误差。
4.0.1％。
解：设取n 个有效数字可使相对误差小于0.1％，则 111100.1%2n a -⨯<，而34≤≤，显然13a =，此时， 1111110100.1%223n n a --⨯=⨯<⨯， 即13110106n --⨯<， 也即461010n ⨯>所以，n=4。
3.162≈。
5、在计算机数系F(10,4,-77,77)中，对31120.14281100.31415910x x =⨯=-⨯与，试求它们的机器浮点数()(1,2)i fl x i =及其相对误差。
解：3333111111112222()0.142810,(())()0.14281100.1428100.0000110,()0.314210,(())()0.31415910(0.314210)0.0004110fl x e fl x x fl x fl x e fl x x fl x =⨯=-=⨯-⨯=⨯=-⨯=-=-⨯--⨯=⨯其相对误差分别是3112310.00001100.000041100.007%,0.013%0.1428100.314210e e ⨯⨯=≈=≈-⨯-⨯。
6、在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z -=⨯=⨯=-⨯，试按(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。
解：422222222(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00000023100.3367842910)0.33677811100.33678452100.33677811100.0000064110fl x y z -++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯ 42242222(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.23371258100.00000618100.00000023100.00000618100.0000064110fl x y z --++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯精确计算得：4222222220.23371258100.33678429100.3367781110(0.00000023371258100.3367842910)0.33677811100.33678452371258100.33677811100.000064137125810x y z -++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯ 第一种算法按从小到大计算,但出现了两个数量级相差较大的数相加,容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减,容易导致有效数位的减少。
计算结果证明，两者精度水平是相同的。
***在机器数系F(10,8,L,U)中，取三个数4220.2337125810,0.3367842910,0.3367781110x y z --=⨯=⨯=-⨯，试按(),()x y z x y z ++++两种算法计算x y z ++的值，并将结果与精确结果比较。
解：42222222222(())(0.23371258100.3367842910)0.3367781110(0.00233713100.3367842910)0.33677811100.33912142100.33677811100.00003391100.33677811100.336744210fl x y z -----++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=-⨯ 42242242222(())0.2337125810(0.33678429100.3367781110)0.2337125810(0.00003368100.3367781110)0.23371258100.33674742100.00000023100.33674742100.3367471910fl x y z ----++=⨯+⨯-⨯=⨯+⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=-⨯第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。
精确计算得：42220.23371258100.33678429100.33677811100.0000233712580.003367842933.6778110.00339121415833.67781133.6744197858420.3367441978584210x y z --++=⨯+⨯-⨯=+-=-=-=-⨯显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。
7、某计算机的机器数系为F(10,2,L,U)，用浮点运算分别从左到右计算及从右到左计算10.40.30.20.040.030.020.01+++++++试比较所得结果。
解：从左到右计算得10.40.30.20.040.030.020.010.1100.04100.03100.02100.00100.00100.00100.00100.19101.9+++++++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=从右到左计算得111110.40.30.20.040.030.020.010.010.020.030.040.20.30.410.1100.2100.3100.4100.20.30.410.10.20.30.410.11010.1100.1100.2102----+++++++=+++++++=⨯+⨯+⨯+⨯++++=++++=⨯+=⨯+⨯=⨯= 从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。