数值计算课后答案

习 题 三 解 答

1、用高斯消元法解下列方程组。

（1）1231231

22314254

27x x x x x x x x -+=⎧⎪

++=⎨⎪+=⎩①②③

解：⨯4②＋(-)①2，1

2

⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得：

1232323231425313222

x x x x x x x ⎧

⎪-+=⎪

-=⎨⎪⎪-=⎩④⑤⑥ 再由5

2)4

⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：

1232332314272184x x x x x x ⎧

⎪-+=⎪

-=⎨⎪⎪-=

⎩

回代，得：

36x =-，21x =-，19x = 所以方程组的解为

(9,1,6)T x =--

注意：

①算法要求，不能化简。化简则不是严格意义上的消元法，在算法设计上就多出了步骤。实际上，由于数值计算时用小数进行的，化简既是不必要的也是不能实现的。无论是顺序消元法还是选主元素消元法都是这样。 ②消元法要求采用一般形式,或者说是分量形式，不能用矩阵，以展示消元过程。

要通过练习熟悉消元的过程而不是矩阵变换的技术。 矩阵形式错一点就是全错，也不利于检查。 一般形式或分量形式： 1231231

22314254

27x x x x x x x x -+=⎧⎪

++=⎨⎪+=⎩①②③ 矩阵形式

123213142541207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

向量形式 123213142541207x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

③必须是方程组到方程组的变形。三元方程组的消元过程要有三个方程组，不能变形出单一的方程。

④消元顺序12x x →→L ，不能颠倒。按为支援在方程组中的排列顺序消元也是存储算法的要求。实际上，不按顺序消元是不规范的选主元素。 ⑤不能化简方程，否则系数矩阵会变化，也不利于算法设计。

（2）1231231231132323110

221x x x x x x x x x --=⎧⎪

-++=⎨⎪++=-⎩

①②③

解：⨯23②＋(

)①11，1

11

⨯③＋(-)①消去第二、三个方程的1x ，得： 123232311323523569111111252414111111x x x x x x x ⎧

--=⎪⎪

⎪

-=⎨

⎪

⎪

+=-⎪⎩④⑤⑥ 再由25

11)5211

⨯⑥＋(-⑤消去此方程组的第三个方程的2x ，得到三角方程组：

123233113235235691111111932235252x x x x x x ⎧

⎪--=⎪

⎪

-=⎨⎪

⎪

=-⎪⎩

回代，得：

32122310641

,,193193193

x x x =-

==， 所以方程组的解为 41106223(,,)193193193T

x =-

2、将矩阵

1020011120110011A ⎛⎫ ⎪

⎪= ⎪- ⎪⎝⎭

作LU 分解。 解：设

111213

1421222324313231

324142434410001020100001111000201110

000011u u u u l u u u A LU l l u u l l l u ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪

⎪=== ⎪⎪ ⎪-

⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

⎝⎭

根据矩阵乘法，先求U 的第一行，由11j j a u =，得

111213141,0,2,0u u u u ====。

再求L 的第一列，由矩阵乘法，因为1111i i a l u =，所以1

111

i i a l u =，而111u =，所以11i i l a =，所以2131410,2,0l l l ===。 再求U 的第二行，得 21122211l u u ⨯+⨯=，则

22211211001u l u =-⨯=-⨯=，

21132333101l u u u ⨯+⨯+⨯=，则 23211311021u l u =-⨯=-⨯=， 21142434441001l u u u u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 24211411001u l u =-⨯=-⨯=，

再求L 的第二列，得

3112322210000l u l u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 32311200200l l u =-⨯=-⨯=

41124222430000l u l u l ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 42411200000l l u =-⨯=-⨯=

再求U 的第三行，得

311332233311l u l u u ⨯+⨯+⨯=-，则

33311332231122015u l u l u =--⨯-⨯=--⨯+⨯=-

311432243444101l u l u u u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则 34311432241120011u l u l u =-⨯-⨯=-⨯-⨯=

再求L 的第三列，得

411342234333101l u l u l u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则

4311(10201)55l =-⨯-⨯+⨯=-

再求U 的第四行，得

4114422443344411l u l u l u u ⨯+⨯+⨯+⨯=，则

4441144224433416

110001(1)55

u l u l u l u =-⨯+⨯+⨯=-⨯-⨯--⨯=

所以，矩阵A 的LU 分解为：