目标规划的图解法
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目标规划——建模与图解法
目标规划模型一般形式
L K min Pl [ ( lk d k lk d k )] l 1 k 1 n s.t. ckj x j d k d k g k , k 1,2, , K (LGP ) j 1 n aij x j (, )bi , i 1,2,, m j 1 x j , d k , d k 0, j 1,2, , n, k 1,2, , K
目标规划问题的提出
例5.1 某公司分厂用一条生产线生产两 种产品A和B ，每周生产线运行时间为 60小时，生产一台A产品需要4小时，生 产一台B产品需要6小时．根据市场预测， A、B产品平均销售量分别为每周9、8 台，它们销售利润分别为12、18万元。 在制定生产计划时，经理考虑下述4项 目标：
首先，产量不能超过市场预测的需求；
目标函数的基本形式有三种： （1） 要求恰好达到目标值，即使相应 目标约束的正、负偏差变量都要尽可 能地小。这时取 min（d+ + d- )； （2） 要求不超过目标值，即使相应目 标约束的正偏差变量要尽可能地小。 这时取 min（d+ )； （3） 要求不低于目标值，即使相应目 标约束的负偏差变量要尽可能地小。 这时取 min （d- )；
不等式需要找到一个目标上界，这里可以估计为 252（=129 + 188），于是有
12x1 + 18x2 252； 第四个目标为: x1 9，x2 8；
目标规划模型的基本概念
（1）正、负偏差变量d+，d我们用正偏差变量d+ 表示决策值超过 目标值的部分；负偏差变量d- 表示决策 值不足目标值的部分。因决策值不可能 既超过目标值同时又末达到目标值，故 恒有 d+ d- ＝ 0 ． （2）绝对约束和目标约束 我们把所有等式、不等式约束分为两 部分：绝对约束和目标约束。
《目标规划的图解法》课件
目标规划的图解法
本课件介绍目标规划的图解法，包括其简介、基本原理、步骤、补充说明以 及结语。通过图解法帮助读者更好地理解目标规划并应用于实践中。
目标规划的定义
明确目标
目标规划是一种确定和明确组织或个人长期和短期目标的方法。
规划路径
通过目标规划，我们可以制定实现目标所需的路径和步骤。
提高执行力
目标规划有助于提高组织和个人的执行力，实现预期目标。
2
限制条件
考虑到资源、时间和其他限制条件来制定目标。
3
目标权重分配
根据目标的重要性和优先级来分配权重。
图解法的步骤
建立目标模型
明确各个目标之间的 关联，和权重。
填写限制条件
考虑资源和其他限制 条件，并将其纳入目 标规划中。
计算目标权重
根据目标的重要性和 优先级计算权重比例。
目标规划的应用领域
1 个人发展
目标规划可以帮助个人在 职业发展和个人成长方面 制定明确的目标。
2 项目管理
在项目管理中，目标规划 可以帮助规划项目的目标 和实施路径。
3 组织管理
对于组织，目标规划是制 定战略和经营目标的重要 工具。
目标规划的基本原理
1
目标分解
将长期目标分解为具体可行的短期目标。
补充说明
图解法的优点
图解法可以直观地展示目标规划的关系和权重分配，易于理解和传达。
图解法的局限性
图解法可能无法考虑到某些复杂因素和非线性关系。
图解法在实践中的应用
图解法可以应用于项目管理、战略规划、个人成长等多个领域。
结语
目标规划的重要性再强调
通过目标规划，您可以明确目标 并制定实现路径，帮助实现个人 和组织的成功。
本课件介绍目标规划的图解法，包括其简介、基本原理、步骤、补充说明以 及结语。通过图解法帮助读者更好地理解目标规划并应用于实践中。
目标规划的定义
明确目标
目标规划是一种确定和明确组织或个人长期和短期目标的方法。
规划路径
通过目标规划，我们可以制定实现目标所需的路径和步骤。
提高执行力
目标规划有助于提高组织和个人的执行力，实现预期目标。
2
限制条件
考虑到资源、时间和其他限制条件来制定目标。
3
目标权重分配
根据目标的重要性和优先级来分配权重。
图解法的步骤
建立目标模型
明确各个目标之间的 关联，和权重。
填写限制条件
考虑资源和其他限制 条件，并将其纳入目 标规划中。
计算目标权重
根据目标的重要性和 优先级计算权重比例。
目标规划的应用领域
1 个人发展
目标规划可以帮助个人在 职业发展和个人成长方面 制定明确的目标。
2 项目管理
在项目管理中，目标规划 可以帮助规划项目的目标 和实施路径。
3 组织管理
对于组织，目标规划是制 定战略和经营目标的重要 工具。
目标规划的基本原理
1
目标分解
将长期目标分解为具体可行的短期目标。
补充说明
图解法的优点
图解法可以直观地展示目标规划的关系和权重分配，易于理解和传达。
图解法的局限性
图解法可能无法考虑到某些复杂因素和非线性关系。
图解法在实践中的应用
图解法可以应用于项目管理、战略规划、个人成长等多个领域。
结语
目标规划的重要性再强调
通过目标规划，您可以明确目标 并制定实现路径，帮助实现个人 和组织的成功。
目标规划的图解法
目标规划的图解法目标规划（Goal Programming）是一种多目标规划方法，旨在解决多个冲突的目标。
它通过将多个目标转化为一个综合目标函数，通过权重分配的方式进行调整和权衡，以求得最优解。
目标规划的图解方法是通过在二维坐标系上画出各个目标函数的等高线，并找到这些等高线的交点来确定最优解。
以下是一个图解法的示例：假设有一个生产车间，共有两个目标需要考虑，分别是最大化产量和最小化成本。
生产车间有两个工人，工人A和工人B，其中工人A每小时可以生产10件产品，每小时的成本是100元；工人B每小时可以生产15件产品，每小时的成本是150元。
我们的目标是在规定的时间内（比如8小时）最大化产量，同时最小化成本。
首先，我们将产量和成本分别表示为二维坐标系的x轴和y轴。
x轴表示产量，y轴表示成本。
然后，我们在坐标系上画出两个目标函数的等高线。
对于产量目标，每个工人A每小时可以生产10件产品，工人B每小时可以生产15件产品。
因此，在8小时内，工人A最多可以生产80件产品（10 * 8 = 80），工人B最多可以生产120件产品（15 * 8 = 120）。
我们可以用两条直线分别表示工人A和工人B的产量限制。
对于成本目标，我们计算出在8小时内，分别用工人A和工人B生产的成本。
工人A的成本为100 * 8 = 800元，工人B的成本为150 * 8 = 1200元。
我们可以用两条直线分别表示工人A和工人B的成本限制。
接下来，我们需要确定产量和成本目标之间的权重。
在目标规划中，我们可以为每个目标设置权重，使其在最终的综合目标函数中起到不同的作用。
通常情况下，我们可以根据实际情况和需求来确定权重。
在这个例子中，假设我们将产量目标的权重设置为2，成本目标的权重设置为1。
最后，我们将两个目标函数的等高线综合在一起，形成一个新的目标函数的等高线。
通过找到所有等高线的交点，我们可以确定最优解的产量和成本。
在这个例子中，最优解的产量和成本交点便是最佳的制造方案。
目标规划的图解法
解 作图3-3：
(l1 ) (l 2 ) (l3 )
Min Z Pd P d P d 1 1 2 2 3 3
x1 x2 d1 d1 10 2 x1 x2 d 2 d 2 26 x 2 x d d 1 2 3 3 6 x , x 0, d , d 0, (i 1, 2,3) i i 1 2 x2
d2
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 ) 最后考虑P3 级，此时 要求目标越小越好， 由图3-2可知R3 为四 按优先级高低，首先 边形CDEF 区域， 考虑P1 级目标，要求 目标越小越好，就在 绝约束的可行解域 △OAB中进一步缩小 为△OAC，记作R1来自Bl3l4
d1
l2
C
d3
s.t
5 x1 10 x2 60 x 2 x d d 0 1 2 1 1 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 再考虑 P2 级目标， 6 x 8 x d d 48 1 2 3 3 x , x 0, d , d要求目标越小越 ( i 1, 2, 3) i i 0, 1 2 好，因而解空间 x2 R2为△OCD 区域
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 )
解
将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变 量（即 x , x ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后， 在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时 直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）．如图 32．
Min Z Pd 1 1 P 2d2 P 3d3
(l1 )
考虑P2 级目标，由于直线 l2 与R1不相 ( l3 ) 交，所以在R1 内无法使 d 2 0 因此 在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级 目标完全满足．这样R2 就缩为一点， d 因为在R1中，使 达到最小的为 A点， 所以：x* = (10 ,0), d
(l1 ) (l 2 ) (l3 )
Min Z Pd P d P d 1 1 2 2 3 3
x1 x2 d1 d1 10 2 x1 x2 d 2 d 2 26 x 2 x d d 1 2 3 3 6 x , x 0, d , d 0, (i 1, 2,3) i i 1 2 x2
d2
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 ) 最后考虑P3 级，此时 要求目标越小越好， 由图3-2可知R3 为四 按优先级高低，首先 边形CDEF 区域， 考虑P1 级目标，要求 目标越小越好，就在 绝约束的可行解域 △OAB中进一步缩小 为△OAC，记作R1来自Bl3l4
d1
l2
C
d3
s.t
5 x1 10 x2 60 x 2 x d d 0 1 2 1 1 4 x1 4 x2 d 2 d 2 36 再考虑 P2 级目标， 6 x 8 x d d 48 1 2 3 3 x , x 0, d , d要求目标越小越 ( i 1, 2, 3) i i 0, 1 2 好，因而解空间 x2 R2为△OCD 区域
(l1 ) (l2 ) (l3 ) (l4 )
解
将约束方程以直线形式画在图上，这里只使用决策变 量（即 x , x ），偏差变量在画直线时被去掉，直线画好后， 在该直线上标出目标函数中与该直线相关的偏差变量增大时 直线的平移方向（用垂直于直线的箭头来反映）．如图 32．
Min Z Pd 1 1 P 2d2 P 3d3
(l1 )
考虑P2 级目标，由于直线 l2 与R1不相 ( l3 ) 交，所以在R1 内无法使 d 2 0 因此 在不退化P1 级目标时，不可能使P2 级 目标完全满足．这样R2 就缩为一点， d 因为在R1中，使 达到最小的为 A点， 所以：x* = (10 ,0), d
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第九章_目标规划
• step • • • • • • • • • • • • •
3 目标函数值为 : 1100 变量 解 相差值 --------------------x1 166.667 0 x2 250 0 d10 0 d1+ 36666.667 0 d233.333 0 d2+ 0 15.167 d30 26 d3+ 0 26 d41100 0 d4+ 0 2
练习：某厂生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，有关数据如 表所示。试求获利最大 的生产方案？
Ⅰ 原材料 设备(台时) 2 1
Ⅱ 1 2
拥有量 11 10
单件利润
8
10
在此基础上考虑： 1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量； 2、充分利用设备有效台时，不加班； 3、利润不小于 56 元。 解: 分析 第一目标：P1d1 即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。 第二目标： P2 ( d2 d2 )
运筹学
运筹谋划
一石多鸟
第九章 目标规划
1
第七章
目标规划
• §1 目标规划问题举例 • §2 目标规划的图解法
• §3 复杂情况下的目标规划
• §4.加权目标规划
2
§1 目标规划问题举例
例1．企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业 追求最大的经济效益。但随着环境问题的 日益突出，可持续发展已经成为全社会所 必须考虑的问题。因此，企业生产就不能 再如以往那样只考虑企业利润，必须承担 起社会责任，要考虑环境污染、社会效益、 公众形象等多个方面。兼顾好这几者关系， 企业才可能过引入目标值和偏差变量，可 以将目标函数转化为目标约束。 目标值：是指预先给定的某个目标的一个 期望值。 实现值或决策值：是指当决策变量xj 选定 以后，目标函数的对应值。 偏差变量（事先无法确定的未知数）：是 指实现值和目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量：表示实现值超过目标值的部 分，记为 d＋。 负偏差变量：表示实现值未达到目标值的 部分，记为 d－。
目标规划的图解法
x1 2x2 10
d
2
D
d
2
d
3
d
3
x1
8x1 10 x2 56
例3 某厂装配黑白与彩色两种电视机，每装配一台电视机， 需占用装配线1小时，装配线每周开动40小时，预计市场每周彩 电销量为24台，每台可获利80元，黑白电视机销量为30台，每 台可获利40元，该厂的目标是：
第1优先级：充分利用装配 线每周开动40小时。 第2优先级：允许装配线加 班但每周加班时间不超过 10小时。 第3优先级：装配电视机数 量尽量满足市场需要，但
240
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0
i 1,2,3,4
d1
d
4
d
4
d1
d
3
d
3
d
2
x1
400
d
2
运筹学
min z
p1d1
p2
(d
2
d
2
)
p3
d
3
2x1 x2
11
x1
x2 d1 d1 0
x1
2 x2
d
2
d
2
10
8x1
10x2
d
3
d
3
56
x1 ,
x2
,
d
i
,
d
i
0
i 1,2,3.
x2
2x1 x2 11
x1 x2 0
d 1 d1
C
C（2，4）,D（10/3，10/3）
运筹学
目标规划的图解法
步骤：
（1）先考虑硬约束与决策变量的非负约束， 同一般线性规划作图法；
目标规划的图解法共33页
σmn+2m
（二）、单纯形法的计算步骤
1、建立初始单纯形表。
一般假定初始解在原点，即以约束条件中的所有负偏 差变量或松弛变量为初始基变量，按目标优先等级从 左至右分别计算出各列的检验数，填入表的下半部 。
2、检验是否为满意解。判别准则如下： ⑴.首先检查αk (k=1.2…K)是否全部为零？如果全部为 零，则表示目标均已全部达到，获得满意解，停止计 算转到第6步；否则转入⑵。
1×60＝60
1×58.3＝58.3 < 100 由上可知：若A、B的计划产量为60件和58.3件时，
所需甲资源数量将超过现有库存。在现有条件下，此
解为非可行解。为此，企业必须采取措施降低A、B产
品对甲资源的消耗量，由原来的100％降至78.5％
（140÷178.3＝0.785），才能使生产方案（60，
2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产
量不超过 60 件和 100 件；
3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。
试建立目标规划模型，并用图解法求解。
解：以产品 A、B 的单件利润比 2.5 ：1 为权系数，
模型如下：
min
Z
P1
d
1
P2
(
2
.5
d
3
d
4
)
P3
d
2
30 2
d
2
d
2
)
P3
d
3
d
1
⑴
x1 x1
x2
d
1
d
1
0
2 x2
d
2
d
2
10
d
1
8
x
目标规划的图解法
11x1 2x2 25 (resource2) x1, x2 0
假定重新确定这个问题的目标为：
P1: z的值应不低于1900; P2: 资源1必须全部利用. 将该问题转化为目标规划问题, 列出数学模型.
2019/5/23
3
根据题意, 以优先因子为序, 列出对应关系 优先因子
P1 : 100x1 50x2 1900 P2 : 10x1 16x2 200 约束转化：引入偏差变量
例 用图解法求如下目标规划问题
min
z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
s.t. 2x1 x2 11
x1 x2 d1 d1 0
x1
2x 2
d
2
d
2
10
8x1
10x2
d
3
d
3
56
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0, i
(1)
x1
2x2
d
2
d
2
4
x1
2x2
d
3
d
3
8
x1 ,x2 ,di ,di 0,i 1,2,3
min
z
P1d
3
P2d
2
P3 (d1
d
1
)
(2)
s.t.
6 x1 2 x2 d1 d1 24
假定重新确定这个问题的目标为：
P1: z的值应不低于1900; P2: 资源1必须全部利用. 将该问题转化为目标规划问题, 列出数学模型.
2019/5/23
3
根据题意, 以优先因子为序, 列出对应关系 优先因子
P1 : 100x1 50x2 1900 P2 : 10x1 16x2 200 约束转化：引入偏差变量
例 用图解法求如下目标规划问题
min
z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3d
3
s.t. 2x1 x2 11
x1 x2 d1 d1 0
x1
2x 2
d
2
d
2
10
8x1
10x2
d
3
d
3
56
x1
,
x
2
,
d
i
,
d
i
0, i
(1)
x1
2x2
d
2
d
2
4
x1
2x2
d
3
d
3
8
x1 ,x2 ,di ,di 0,i 1,2,3
min
z
P1d
3
P2d
2
P3 (d1
d
1
)
(2)
s.t.
6 x1 2 x2 d1 d1 24
运筹学课堂PPT4.2目标规划的图解法
x1
,
x2
,
d
j
,
d
j
d1 0
d1
80
(3)
最优解空间：ABCD
(2) C
B
x1
(1) (3)
min
Z
P1d1
P2
(d
2
d
2
)
P3
(d
3
d
3
)
P4d
4
3x1 12
(1)
x2
4 x2 16
复习：两平行直线间的距离公式
Ax By d d C（目标约束）
y
d d 0
Ax By C
d 0 ( x0 , y0 )
d
正负偏差变量中至少有一个零，如：
A2 B2
x Ax By C
Ax By d d C d 0, d 0
Ax By d C
Ax By C d C（在下半平面）
P2d4
P3d
3
P4 (2d1
d
2
)
x1 30 x2 20 / 3
x2
d1 0
d1 0
d
2
25 /
3
d2 0
d
3
680
d
3
0
d
4
0
d4 0
D
E(35/2,15)
(2)
min Z (0, 0, 680, 25 / 3)
F(30,20/3)
A
B
x1
(1)
(4) (3)
4.2 目标规划的图解法
差变量大于零的区域。
(1) (2) (3)
（平行） (4)
(2)
x1
目标规划图解法
§2目标规划的图解法和线性规划问题一样，图解法虽然只适用于两个决策变量的目标规划问题，但其操作简便，原理一目了然，并且有助于理解一般目标规划问题的求解原理和过程。
图解法解题的步骤为1．确定各约束条件的可行域，即将所有约束条件(包括目标约束和绝对约束，暂不考虑正负偏差变量)在坐标平面上表示出来；2．在目标约束所代表的边界线上，用箭头标出正、负偏差变量值增大的方向；3．求满足最高优先等级目标的解；4．转到下一个优先等级的目标，在不破坏所有较高优先等级目标的前提下，求出该优先等级目标的解；5．重复4，直到所有优先等级的目标都已审查完毕为止；6．确定最优解或满意解。
下面通过例子来说明目标规划图解法的原理和步骤。
例1 用图解法求解目标规划问题：解确定各个约束条件的可行域。
在x1O x2坐标平面上，暂不考虑每个约束方程中的正、负偏差变量，将上述每一个约束方程用一条直线表示出来，再用两个箭头分别表示上述目标约束方程中的正、负偏差变量。
如图(5-1)所示，其中，阴影区域OAB为满足条件(5.12)的可行域。
接着先考虑具有最高优先等级的目标，即。
为了实现这个目标，必须。
从图5-1可以看出，凡落在直线CD上的点都能体现。
但如果同时满足条件(5.12)，则只有线段CH上的点才能实现。
这也就是说，在线段CH上的任何一点都能使最高优先等级目标。
其次考虑第二优先等级目标。
从图5.1可以看出，直线EF与EF右上方的点均能实现。
若同时满足条件5.12，则应为三角形AEI上的点能实现。
但第二优先等级目标的实现应在不影响第一优先等级目标的前提下，显然，在三角形AEI中，只有线段CG上的点才能实现这一要求，这就是问题的解。
于是，C,G两点及CG线段上的所有点(无穷多个)均是该问题的最优解。
其中C点对应的解为：x1=0，x2=5.2083；G点对应的解为：x1=0.6250，x2=4.6875；例 2已知一个生产计划的线性规划模型为；其中目标函数为总利润，则三个约束条件均为甲、乙、丙三种资源限制。
目标规划模型的求解(NO17)
工序
产品 A 工时定额
B
生产能力
加工
10
9
210
装配
5
6
120
毛利（元/件）
400
500
23
工厂领导提出下列目标：
（1）每个作业班的毛利不少于9800元；
（2）充分利用两个工序的工时，且已知加工工时费是装配 工时费的二倍；
（3） 尽量减少加班。
问：该工厂应如何生产，才能使这些目标依序实现？试建
立其数学模型。
8
初始单纯形表
min
Z
P1d1
P2
d
2
P3
(d
3
d
3
)
s.t.
3x1 x2
d1 d1 60
x1
x2
2x3
d
2
d
2
10
x1
x2
x3
d
3
d
3
20
xi
0;
d
i
0;
d
i
0(i
1,2,3)
min z1 d1 60 3x1 x2 d1 min z2 d2 min z3 d3 d3 20 x1 x2 x3 2d3
建立模型的电 子表格模型
4x1+3x2+ d3--d3+ =30
20
优化 目标1
P1： minZ1=d1-
优化 目标2
minZ2= d2++d2-
21
优化 目标3
P3： minZ3=d3-
此表也即为最优表，最优解为 x1 4.8, x2 4.8, d2 2, d3 3.6 ：
目标的达到情况：
Z
5-2目标规划的图解法
d1 4
30
(1) (2)
x1
d3
d3
6
(3)
s.t.
2
x1
16
2x2 10
(4) (5)
6 D 4
3x1 4x2 32 x1, x2 0 dl , dl 0(l 1, 2, 3)
(6)
(7) 2
x1=5, x2=4
d
3
0
(l 1.2.3.4)
作图：
x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d
3
d
1
d1
BA
d
2
d
2
C
d
4
d
4
⑷
min
Z
P1d1
P2 (2.5d3
d
4
)
P3d
2
30
x1
2x1
12 x2 x2
d1 d1
d
2
d
2
2500 140
(1) (2)
x1
d
3
d
3
60
(3)
x2
d
4
d
4
100
(4)
x12 0, dl , dl 0 (l 1.2.3.4)
40
20
D
0 20 40 60 80 100
x1
⑴ ⑵
结论：C(60 ,58.3)为所求的满意解。
运筹学第4章
3x15x2d332
综合考虑后，得到结果
3x15x2d3 d3 32 其中 d3 , d3 0
目标规划的数学模型
产品 甲 乙 资源量
可以用同样的方式来处理其它提出的 资源
决策要求：
设备/台时 3
2
18
原料A/吨
1
0
4
（1）要求甲产品产量不大于乙产品产量。 原料B/吨 0 2 12
如：在引例中，利润的目标值为32， 可能目标值会达不到，所以加上一个
产品 资源
甲 乙 资源量
设备/台时 3
2
18
负偏差变量d3-≥0，把目标函数变成
原料A/吨
1
0
4
3x15x2d332
原料B/吨 单位赢利/
0 3
2 5
12
万元
但是同样，目标值也有可能会超出，所以减去一个正偏差变量
d3+≥0，把目标函数变成
A）恰好达到目标值 B）允许超过目标值 C）不允许超过 目标值
构造一个由优先因子和权系数相对应的偏差变量组成的，要求实 现极小化的目标函数.
用目标规划求解问题的过程：
明确问题，列出 目标的优先级和
权系数
构造目标规 划模型
N
满意否？
Y
据此制定出决策方案
目标规划的数学模型
求出满意解 分析各项目标
完成情况
p （3 3）计划利润指标32，并且尽可能达到或超过这个利润指标.
问：如何安排生产可以使得获利最大？
分析：
p（1 1）要求甲产品的产量不大于乙产品的产量；
（1）产量偏差变量
d1 , d1 0
p 2（2）尽可能充分利用设备台时，不希望加班生产；
目标规划的图解法课件
50 E D
2、先满足P1，OD线段
3、再满足P2，ED线段（满意解） O
50
E (500/11,500/11) ,
d1
d1
d
2
d
2
0
D (360/7,360/7)
,
d1
d1
d
2
0,
d
2
92 / 7
C 100 l2
150
d
2
x1 l1
d
2
l4
第一节 目旳规划旳基本概念与数学模型 一、问题旳提出 二、目旳规划旳基本概念
有关最优解：线性规划是在可行解域内寻找某一点，
使单个目旳到达最优值（最大值或最小值）．而目旳规
划是在可行域内，首先寻找到一种使P1级目旳均满足旳 区域R1，然后再在R1中寻找一种使P2级目旳均满足或尽 最大可能满足旳区域R2（R1），再在R2中寻找一种满 足P3旳各目旳旳区域R3（R2R1），…,如此下去，直 到寻找到一种区域Rk(Rk-1…R1)，满足Pk级旳各目旳， 这个Rk即为所求旳解域，假如某一种Ri (1 i k)已退化 为一点，则计算终止，这一点即为满意解，它只能满足
min
z
P1 (d1
d1 )
P2d
2
s.t 2x1 3x2 300
l1
2x1 1.5x2 180
l 2x2
x1 x2 d1 d1 0
l3
10x1
12 x2
d
2
d
2
1000
1l450
x1,x2
,di
,d
i
0
i 1,2
A
100
l3 d1
B
d1
目标规划图解法标规划单纯形法
X1 , X2 , di- , di+ 0
31
28
解:
由于P1 , P2 优先级对应的目标函数中不含 di , 所以其检验数只需取系数 分别为
0;0，0，1，0，1，0，0，0，0 和
( 0，0，0， 0，0，0，0，1，0，0)
29
x1
x2
d1-
d1+
d2-
d2+
d3-
d3+
d4-
d4+
b
P1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
P3 -12 -18 0
B
O
50
100
X1
2
X2 125 C 100
4X1+2X2 = 400
E
d+
2X1+4X2 = 500
50
目标约束满意 域BEC
B
O
50
100
X1
100X1+80X2 = 10000
3
1 绝对约束可行域OBEC (2) 目标约束满意域BEC (3) 多个可行满意解：
(60,50),10000; (70,50),11000; E(50,100),13000 (4) Zmin =0
2X1+X2 =11
X1
6
X2 11 B 10
F
5
DC
EG
5A 7 O
2X1+X2 =11
d1
X1 X2=0
可行域⊿OAB
31
28
解:
由于P1 , P2 优先级对应的目标函数中不含 di , 所以其检验数只需取系数 分别为
0;0，0，1，0，1，0，0，0，0 和
( 0，0，0， 0，0，0，0，1，0，0)
29
x1
x2
d1-
d1+
d2-
d2+
d3-
d3+
d4-
d4+
b
P1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
P3 -12 -18 0
B
O
50
100
X1
2
X2 125 C 100
4X1+2X2 = 400
E
d+
2X1+4X2 = 500
50
目标约束满意 域BEC
B
O
50
100
X1
100X1+80X2 = 10000
3
1 绝对约束可行域OBEC (2) 目标约束满意域BEC (3) 多个可行满意解：
(60,50),10000; (70,50),11000; E(50,100),13000 (4) Zmin =0
2X1+X2 =11
X1
6
X2 11 B 10
F
5
DC
EG
5A 7 O
2X1+X2 =11
d1
X1 X2=0
可行域⊿OAB
目标规划图解法
P1：厂内的储存成本不超过23000元． P2：A销售量必须完成1500单位． P3：甲、乙两工厂的设备应全力运转，避免有空闲时
间，两厂的单位运转成本当作它们的权系数．
A药 甲厂 2h 乙厂 2.5h 存贮费 8元 利润 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每月25天 7台，每天16h，每月25天
例4:已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30x1 12x2 （利润）
2 x1 x2 140 (甲 资 源)
x1
60 (乙 x1 2 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现 有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元； 2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产 量不超过 60 件和 100 件； 3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。 试建立目标规划模型，并用图解法求解。
(4.8 , 2.4)， 故满意解可表示为：
(x ,x ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . , . ) ( . , . )
其中： , i ( i , , , )
这种满足所有目标要求的情况，即：mizn0 ， 在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前 面几级目标要求．
作图： x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d
3
d
1
d
1
BA
d
2
d
2
C
d
4
⑷
d
4
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
间，两厂的单位运转成本当作它们的权系数．
A药 甲厂 2h 乙厂 2.5h 存贮费 8元 利润 20元
B药 4h 1.5h 15元 23元
12台，每天8h，每月25天 7台，每天16h，每月25天
例4:已知一个生产计划的线性规划模型为
max Z 30x1 12x2 （利润）
2 x1 x2 140 (甲 资 源)
x1
60 (乙 x1 2 0
其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。现 有下列目标：
1、要求总利润必须超过 2500 元； 2、考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产 量不超过 60 件和 100 件； 3、由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。 试建立目标规划模型，并用图解法求解。
(4.8 , 2.4)， 故满意解可表示为：
(x ,x ) ( , ) ( , ) ( , ) ( . , . ) ( . , . )
其中： , i ( i , , , )
这种满足所有目标要求的情况，即：mizn0 ， 在实际中并不多见，很多目标规划问题只能满足前 面几级目标要求．
作图： x2
140 120 100 80 60
⑶
d
3
d
3
d
1
d
1
BA
d
2
d
2
C
d
4
⑷
d
4
m in
z
P1
d
1
P2
(
2
.
5
d
3
d
4
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确定目标值偏差：min f=目标值偏差 f=目标值偏差 确定目标值偏差：
min P1d1
min P2d 2
2010-9-17 4
转化后的目标规划模型为： 转化后的目标规划模型为：
+ min f + P2 (d 2 + d 2 ) + s.t. 100x1 + 50x2 + d1 d1 = 1900 + 10 x1 + 16x2 + d 2 d 2 = 200
x2
由2x1+x2 ≤ 11, x1 ≥ 0 x2 ≥ 0 围成的区域 B 10
d1－
(1) x1-x2=0
F E 5 G D C J d3 +
d1+
最优解(满意解 最优解 满意解) 满意解 为线段GD上的点 为线段 上的点
d2 +
o
d3 － A 5
x1
( 8x1+10x2=56
作业 一、 用图解法求如下目标规划问题
min z = P1 d 1+ + P2 d 3+ + P3 d 2+ s.t. x 1 + 2 x 2 + d 1 d 1+ = 4 x 1 2 x 2 + d 2 d 2+ = 4 x 1 + 2 x 2 + d 3 d 3+ = 8 x 1 ,x 2 ,d i+ ,d i ≥ 0 ,i = 1 ,2 ,3
2010-9-17 10
2010-9-17
11
2010-9-17
12
= P1d1
11 x1 + 3 x2
+ x1 , x2 , d1 , d1 + , d2 , d2
≥ 25 ≥0
5
2010-9-17
第二节 目标规划问题的图解法
对于只具有两个决策变量的目标规划问题, 对于只具有两个决策变量的目标规划问题 可以用图解 法来分析求解. 法来分析求解 求解的步骤: 求解的步骤: 1、先在平面直解坐标系中做出各约束条件所确定的区 、 即可行域, 并标出目标约束在相应直线上的正、 域, 即可行域 并标出目标约束在相应直线上的正、负 偏差变量的方向. 偏差变量的方向 2、根据目标函数的优先因子分析求解 、根据目标函数的优先因子分析求解.
x 1 , x 2 , d i+ , d i ≥ 0 , i = 1 , 2 , 3
Step1: 在第一象限内 作各约束 绝对约束条件的作图与 在第一象限内, 作各约束. LP问题相同 作目标约束时 先令正、负偏差为 作出相 问题相同. 作目标约束时, 先令正、负偏差为0, 问题相同 应的直线, 然后在直线上标上d 的方向,表示该直线 应的直线 然后在直线上标上 i+与di－的方向 表示该直线 随着d 的变动而平行移动的方向. 随着 i+与di－的变动而平行移动的方向 Step2: 根据目标函数的优先因子分析求解
2010-9-17 2
已知某实际问题的线性规划模型为： 例：已知某实际问题的线性规划模型为：
max z = 100 x 1 + 50 x 2 s .t . 1 0x 1 + 16 x 2 ≤ 2 00 11x 1 + 2 x 2 ≥ 25 x1 , x 2 ≥ 0
假定重新确定这个问题的目标为： 假定重新确定这个问题的目标为： 的值应不低于1900; P1: z的值应不低于 的值应不低于 P2: 资源 必须全部利用 资源1必须全部利用 必须全部利用. 将该问题转化为目标规划问题, 列出数学模型. 将该问题转化为目标规划问题 列出数学模型
2010-9-17 3
(resource 1) (resource 2)
根据题意, 以优先因子为序, 根据题意, 以优先因子为序, 列出对应关系 优先因子
P : 100x1 + 50 x2 ≥ 1900 1 P2 : 10x1 + 16 x2 = 200
约束转化： 约束转化：引入偏差变量
+ 100x1 + 50x 2 + d1 d1 = 1900 + 10 x1 + 16x 2 + d 2 d 2 = 200
运筹学
2009年上学期 年上学期
天津理工大学管理学院
2010-9-17
1
目标规划建模的步骤： 目标规划建模的步骤： (1) 列出全部的约束条件； 列出全部的约束条件； (2) 把要达到的指标约束不等式加上正、负偏差变量后 把要达到的指标约束不等式加上正、负偏差变量后, 化为目标约束等式； 化为目标约束等式； (3) 对目标赋予相应的优先因子； 对目标赋予相应的优先因子； (4) 对同一级优先因子中的各偏差变量 若重要程度不同 对同一级优先因子中的各偏差变量, 可赋予不同的(根据题意 加权系数； 根据题意)加权系数 时, 可赋予不同的 根据题意 加权系数； (5) 构造一个按优先因子及加权系数和对应的目标偏差量 所要实现最小化的目标函数. 所要实现最小化的目标函数
例 用图解法求如下目标规划问题
+ + min z = P1 d 1 + P 2 ( d 2 + d 2 ) + P 3 d 3
s .t .
2x 1 + x 2 ≤ 11 x1
+ x2 + d1 d1 = 0
x 1 + 2 x 2 + d d + = 10 2 2
+ 8x 1 + 10 x 2 + d 3 d 3 = 56
+ min z = P1 d 3 + P2 d 2 + P3 ( d 1 + d 1+ )
(1)
(2)
s.t.
6 x 1 + 2 x 2 + d 1 d 1+ = 24
+ x1 + x 2 + d 2 d 2 = 4 + 5 x 2 + d 3 d 3 = 15
x 1 ,x 2 ,d i+ ,d i ≥ 0 ,i = 1 ,2 ,3