目标规划单纯形法
用单纯形法求解目标规划
P3 -56 －8 －10 0 0 0 0 0 1 0
Cj
0
0
0 P1 P2 P2 P3 0 0
CB XB b x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
x3
0
d
1
5 3/2 0
1 －1 1/2 -1/2 0
0 0 0 -2/5 2/5 1
0 1 0 -3/10 3/10 0
00 01 0 0
00 00 0 0
00 00 0 0
P2 P3 0
d
2
d
3
d
3
000
000
-1 0 0
0 1 -1
0 0 0单
1 0 0纯 0 0 1形 0 -1 1 表 0 1/10 -1/101
-1 -3/5 3/5
0 1/20 -1/20
cj
CB XB b
0 x3 60
0 x1 0
0
d
2
36
P3
d
3
48
P1 j c j z j P2
P3
0 x3 12
0 x1 24/5
0
d
2
36/5
0 x2
j cj zj
12/5
P1 P2 P
单纯形表1
00 x1 x2
0 P1 x3 d1
00
d1
d
2Байду номын сангаас
0 20 1 -5 5 0
1 -2 0 1 -1 0
运筹学第5章 单纯形法
0 0 1
在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或为由单位矩阵的 各列向量所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基 本可行解。如果找不到单位矩阵或由单位矩阵的各列向量组成的基作 为初始可行基，我们将构造初始可行基，具体做法在以后详细讲述。
8Leabharlann §1 单纯形法的基本思路和原理
二、 最优性检验 所谓最优性检验就是判断已求得的基本可行解是否是最优解。
5
§1 单纯形法的基本思路和原理
线性规划解之间的关系：
1.可行解与最优解： 最优解一定是可行解，但可行解不一定是最优解。
2. 可行解与基本解： 基本解不一定是可行解，可行解也不一定是基本解。
3. 可行解与基本可行解： 基本可行解一定是可行解，但可行解不一定是基本可行解。
4. 基本解与基本可行解： 基本可行解一定是基本解， 但基本解不一定是基本可行解。
9
§1 单纯形法的基本思路和原理
2.最优解判别定理
对于求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如
果所有检验数 j≤0，则这个基本可行解是最优解。 下面我
们用通俗的说法来解释最优解判别定理。设用非基变量表示
的目标函数为: z z0 j xj jJ 由于所有的xj的取值范围为大于等于零，当所有的 j都小
由线性代数的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找
到一个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就
可得到唯一的解了，这个解我们称之为线性规划的基本解。
在此例中我们不妨找到
1 1 0 B3 1 0 0
为A的一个基，令这个基的非
1 0 1
基变量x１，s2为零。这时约束方程就变为基变量的约束方程：
第五章 单 纯 形 法
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
目标规划的单纯形法
Ch4 Goal Programming
2020年5月14日星期四 Page 2 of 6
【解】用单纯形法求解目标规划问题的具体步骤如下：
第１步：列出初始单纯形表。由于目标规划中的目标函数一定是求极小， 为方便起见不转换成求极大。又由于各目标约束中的负偏差变量其系数均为 单位向量，全部负偏差变量的系数列向量构成一个基。因此本例中以d1－、d2 －、d3－作为基变量，列出初始单纯形表见表4－1。
1
§4.3 单纯形法 Simplex Method
Ch4 Goal Programming
2020年5月14日星期四 Page 5 of 6
这里需要说明两点： 1．对目标函数的优化是先按优先顺序逐步进行的。当P1行的
所有检验数均为非负时，说明第一级已得到优化，可转入下一 级，再考察P2行的检验数是否存在负值，依此类推。
因为目标函数中各偏差变量分别乘以不同的优先因子，因此表中检验
数（cj－zj）按优先因子Ｐ1、Ｐ2分成两行，分别计算。
第２步：确定换入变量。在表4－１中按优先级顺序依次检查Ｐ1,P2,Ｐ 3,…，Ｐk行的（cj－zj）值是否有负的。因表中Ｐ1行存在负检验数，说明目 标函数中第一优先级可进一步优化，选取Ｐ 行中最小检验数，其对应变量
第五章 整数规划 Exit
b
0
x1 1 ½
1/2 －1/2
20
0
d1+
[1/2] －1 1 1/2 －1/2
10
P2
d3－
1/2
－3/2 3/2 1 －1 40
Cj－Zj
P1
1
1
P2
－½
－3/2
1
0
x1 1
1 －1
解目标规划的单纯形法
(5) 当k=K时，计算结束. 表中的解即为满意解.否则置 k=k+1，返回到(2).
【例4--4】 用单纯形法求解目标规划问题
min
z
P1
d
1
P2
(
d
_ 2
d
2
)
P3
d
3
2 x1 x2 xs 11
cj-zj
P2
P3
3/2 3/2 1/2 1
3
-3
1 1
-1/2 1/2 -1 1/2 -1/2
1/2 -1/2 -5 5 1 1 11 5 -5
4 10/3 10 -1 6/3
1
依此类推，直至得到最终表为止。见表4-3.
表4-3
cj CB XB b
P1 P2 P3 P4 x1 x2 xs d1- d1+ d2- d2+ d3- d3+ θ
P2 d2-1 6 1/3 1/3
1
P3 d2+ 1 -6 -1/3 -1/3
1
表4-4
P4 d3- d3+ -1 1
1
θ
表4-3所示的解x1*=2，x2*=4为例1的满意解. 此解相当于图4-1的G点。由表4-4得到解x1*=10/3， x2*=10/3，此解相当于图4-1的D点，G、D两点的凸线 性组合都是例1的满意解.
解目标规划问题的单纯形法的计算步骤:
(1) 建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子 个数分别列成K行，置k=1.
此表(解中2相 的当解) 于即检图为满4-查1意的解G.点该。 行中是否存在负数，且对应的前k-1行的系 数是零。若有负数取其中最小者对应的变量为换入 ③ 因k(=1)＜K(=3)，置k=k+1=2，返回到(2)。
2-线性规划的单纯形法6_两阶段法
-M
-1
x6
x3 sacj impj
0
-2 2 1
1
0 -M
M-1
0
1 -1 0
0
0 0 0
-1
0 M -M
1
0 -M 0
-2
1
2M-1
-3M-1
1
1
1
— η=-M-1
0
-1
x4
x2
3
0
0
1
0
0
1
0
-2
-1
2
1
-5
-2
12
1
4
-
-1
x3
sacj impj
-2
2 1
0
-1
0
1
-1 0
0
0 0
Page 7
x5 0 b 2 Ө 2
-1
x5
sacj impj
3
-3
3
4
-4
4
0
0
0
-1
1
-1
1
-1
0
12
η=-12 2 4 η=-4
3
0 -1
x2 x5 sacj impj
2 -5
5 -5
1 0 0
0
1 -4 4 -4
Page 22
0 -1
0 1
-1 0
1
-1
得到最优解（0，2，0，0，4），此时 x 依然在基中，所以原问题没有最优解。
Page 24
cj
CB 0 xB x4
0
x1 1
0
x2 -2
0
x3 1
0
x4 1
目标规划模型的求解(NO17)
工序
产品 A 工时定额
B
生产能力
加工
10
9
210
装配
5
6
120
毛利（元/件）
400
500
23
工厂领导提出下列目标：
（1）每个作业班的毛利不少于9800元；
（2）充分利用两个工序的工时，且已知加工工时费是装配 工时费的二倍；
（3） 尽量减少加班。
问：该工厂应如何生产，才能使这些目标依序实现？试建
立其数学模型。
8
初始单纯形表
min
Z
P1d1
P2
d
2
P3
(d
3
d
3
)
s.t.
3x1 x2
d1 d1 60
x1
x2
2x3
d
2
d
2
10
x1
x2
x3
d
3
d
3
20
xi
0;
d
i
0;
d
i
0(i
1,2,3)
min z1 d1 60 3x1 x2 d1 min z2 d2 min z3 d3 d3 20 x1 x2 x3 2d3
建立模型的电 子表格模型
4x1+3x2+ d3--d3+ =30
20
优化 目标1
P1： minZ1=d1-
优化 目标2
minZ2= d2++d2-
21
优化 目标3
P3： minZ3=d3-
此表也即为最优表，最优解为 x1 4.8, x2 4.8, d2 2, d3 3.6 ：
目标的达到情况：
Z
线性规划-单纯形法
选x2为入基变量。
2. 出基变量的确定
要在原来的3个基变量s1，s2，s3中确定一个出基变量 如果把s3作为出基变量，则新的基变量为x2，s1，s2，
x2 +s1=300，
bj 350 125 350 125
s3
zj
0
2
-2M
1
-M
0
M
0
M
1
0
0
600
300
0 -M -M
σj=cj-zj
-2+2M -3+M -3+M -M 0
0
0
-475M
cB a1 1 x1 -M -2
x1
x2
s1
s2
s3
a1
a2
-2
0 1
-3
1 0
0
-1 0
0
1 -1
0
0 0
-M -M
1 0 -1 1
x1 10
3 5 5 10
x2 9
2 5 6 9
x3 4
4 1 3 4
x4 6
2 3 1 6
x5 0
1 0 0 0
x6 0
0 1 0 0
x7 0
0 0 1 0
bj
bj/aj1
70 70/3 60 60/5 25 25/5
0
σj=cj-zj
cB x5 x6 x1 0 0 10
x1 10
0 0 1 0
z1 z0 j x j
jJ
x j≥ 0 j ≤0
单纯形法
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2 ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn =bm x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0.
巨斯特石油公司混合问题
巨斯特石油公司要生产两种汽油产品, 一种是 一般的汽油, 另一种是特殊的汽油, 公司炼油 厂希望通过合成4类石油成份来生产这两种汽 油产品; 这些汽油的售价不同,4种石油成份成 本也不同; 公司希望确定一种混合这4类石油 成份以生产两种汽油产品的方案来获取最大 的利润.
巨斯特石油公司混合问题
单纯形法
例红星重型机械厂的产品组合问题的线性规 划问题引入松弛变量化为如下标准形式：
max
Z 4 x1 3 x2
x3 6 x1 2 x2 x4 8 s.t 2 x1 3 x2 x5 18 x , x , x , x , x 0 1 2 3 4 5
线性规划在不同领域的应用
线性规划在很多领域都有应用, 除前面的经典 应用模型外, 本章继续举例研究一些较为复杂 应用案例: 如航线安排问题P80, 水力发电问题P82, 用来 进一步说明线性规划建模技术与用Excel求解 方法. 这里不再一一列举.
基阵（ P1 P2 P4,）基本可行解(6,2,0,4,0)对应可行区域顶点B(6,2) 基阵（ P1 P3, P4,）, 基本解(9,0,-3,8,0)对应顶点A(9,0) ………………. 另外，A的另外两个m=3阶子矩阵（ P2,P4,P5 ）和（ P1,P3,P5 ）不可逆， 不能构成基阵.
单纯形法
多目标规划的解法主要有单纯形法和图解法。
图解法一般只适用于两个决策变量的情形。
单纯形法对于求解多目标规划有普遍意义。
多目标规划单纯形表的结构如表1。
表中V j———变量，X1，X2，…，Xn是决策变量，其余 n-n'个是偏差变量；C———价值系数，因多目标规划目标函数不包含决策变量，所以j；b———目标约束常数；iθi———θ判据；BV———基变量名；iC———基变量价值系数；BVia———作业系数；ijQ———单纯形判据矩阵元素；ijP———目标优先权排序；jZ———第 j个优先级目标的目标函数值。
j表1与线性规划单纯形表相比，最大的不同是单纯形判据是一个 N×n矩阵，而不是列向量，且有。
目标优先权排序P1,P2，…，P N给出了单纯形迭代过程中实现目标的顺序。
在实现某一优先级目标后，应依顺序考虑一个优先级能否实现。
但是，不能为实现较低目标而使较高级目标的实现受到影响。
案例一：纺织厂的多目标规划某纺织厂生产窗帘布和衣料两种布料，该厂对这两种布料的生产能力均是1000m/h，工厂正常生产能力每周 80h，根据市场预测，下周最大销售量窗帘布70000m、衣料45000m，窗帘布每米获利 2.50元，衣料每料获利 1.50元。
该厂定出的经营目标是：P：保证生产均衡稳定，避免开工不足；1P：每周加班时间不超过10h；2P：努力实现最大销售量；3P：尽可能减少加班时间。
4本案例多目标规划模型的决策变量为；x1———周内窗帘布生产的小时数；x———周内衣料生产的小时数。
2每周正常生产能力约束：式中和分别表示每周开工低于正常生产能力的负偏差及超出正常生产能力的正偏差。
销售目标约束：x+ y2− = 70000 / 1000 = 701x+ y3− = 45000 / 1000 = 452因产量不能超过最大销售量，所以加班时间限制目标约束：式中取自每周正常生产能力约束的正偏差，即加班小时数，与分别表示加班时间不足 10h的负偏差和超过10h的正偏差。
第一章线性规划及单纯形法
第一章线性规划及单纯形法6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsareplotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8，x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5)即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,12)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/360101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0)T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。
②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
单纯形法求解线性规划的步骤
单纯形法求解线性规划的步骤1>初始化将给定的线性规划问题化成标准形式,并建立一个初始表格,它最右边的单元格都是非负的(否则无解),接下来的m列组成一个m*m的单元矩阵(目标行的单元格则不必满足这一条件),这m列确定了初始的基本可行解的基本变量,而表格中行用基本变量来表示2>最优化测试如果目标行的所有单元格都是非负的(除了最右列中代表目标函数值的那个单元格),就可以停止了,该表格代表了一个最优解,它的基本变量的值在最右列中,而剩下的非基本变量都为03>确定输入变量从目标行的前n个单元格中选择一个负的单元格(选择绝对值最大的那个)该单元格所在的列确定的输入变量及主元列4>确定分离变量对于主元列的每个正单元格,求出θ比率(如果主元格的单元格为负或为0,说明该问题是无解的,算法终止),找出θ比率最小的列,改行确定了分离变量和主元行5>建立下一张表格将主元行的所有单元格除以主元得到新的主元行,包括主元行在内的每一行,要减去改行主元列单元格和新主元行的成绩(除主元行为1外,这一步将主元列的所有单元格变成0).把主元列的变量名进行代换,得到新的单纯形表,返回第一步为求简单在本程序中,需要自己建立标准矩阵(比如加入松弛变量等工作需要用户自己完成),程序的输入有两种方式:1:指定行和列,由用户自行输入每一个元素SimpleMatrix(introw=0,int col=0);2:直接在主程序中初始化一个二维数组,然后利用构造函数SimpleMatrix(introw,int col,double **M) 来初始化和处理(本程序所用的实例用的是这种方法)程序中主要的函数以及说明~SimpleMatrix();销毁动态分配的数组.用于很难预先估计矩阵的行和列,所以在程序中才了动态的内存分配.需要重载析构函数bool Is_objectLine_All_Positive();其中row2为主元所在的行,col为主元所在的列,row1为要处理的行void PrintAnswer();数不合法"<<endl;}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col){init(row,col);for(int i=0;i<rowLen;i++)cout<<"请输入矩阵中第"<<i+1<<"行的系数"<<endl; for(int j=0;j<colLen;j++)cin>>data[i][j];}？}SimpleMatrix::SimpleMatrix(int row,int col,double **M) {rowLen=row;colLen=col;init(row,col);for (int i=0;i<row;i++)for(int j=0;j<col;j++){data[i][j]=*((double*)M+col*i+j); ;}}SimpleMatrix::~SimpleMatrix(){if(colLen*rowLen != 0 ){for(int i=rowLen-1;i>=0;i--){if (data[i]!=NULL)delete[] data[i];}if (data!=NULL)delete[] data;}？}bool SimpleMatrix::Is_objectLine_All_Positive(){for(int i=0;i<colLen-1;i++)if(data[rowLen-1][i]<0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_MainCol_All_Negative(int col) {for(int i=0;i<rowLen;i++)if(data[i][col]>0)return false;return true;}bool SimpleMatrix::Is_column_all_Positive(int col){for(int i=0;i<rowLen-1;i++){return false;}return true;}int SimpleMatrix::InColumn(){int count=0;for(int i=0;i<colLen-1;i++){int temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp>=0){count++;}elsebreak;}double maxItem=fabs(GetItem(rowLen-1,count));int index_col;for(i=0;i<colLen-1;i++){double temp=GetItem(rowLen-1,i);if(temp<0){if(maxItem<=fabs(temp)){maxItem=fabs(temp);index_col=i;}}}return index_col;}int SimpleMatrix::DepartRow(int col){int index_row;int count=0;for(int i=0;i<rowLen;i++){if(data[i][col]<0)count++;elsebreak;}double minItem=data[count][colLen-1]/data[count][col]; index_row=count;double temp;for(i=0;i<rowLen-1;i++)temp=data[i][col];if(temp>0){temp=data[i][colLen-1]/temp;if(temp<minItem){minItem=temp;index_row=i;}}}return index_row;}void SimpleMatrix::MainItem_To_1(int row,int col){double temp=GetItem(row,col);pp#include <iostream>#include ""using namespace std;int main(){double M[4][7]={{5,3,1,1,0,0,9},{-5,6,15,0,1,0,15},{2,-1,1,0,0,-1,5},{-10,-15,-12,0,0,0,}}; SimpleMatrix Matrix(4,7,(double **)M);if(5))//判断是否存在最优解{bool p=();//判断主元列是否全部为正,确定是否已经取得最优解while(!p){int col=();//确定主元所在的行if(col))//确定线性规划的解是否为无解的{cout<<"线性规划问题是无界的,没有最优解"<<endl;exit(EXIT_FAILURE);}else{int mainRow=(col);//确定主元所在的行(mainRow,col);//将主元所在的行做变换,使主元变成1int i=0;while(i<()){if(i!=mainRow){(i,mainRow,col);//处理矩阵中其他的行,使主元列的元素为0i++;}elsei++;}}}for(int i=0;i<();i++)//输出变换以后的矩阵,判断是否正确处理{for (int j=0;j<();j++){cout<<(i,j)<<" ";}cout<<endl;}p=();}();}elsecout<<"线性规划无解"<<endl;return0;}。
单纯形法的计算方法
第4章 单纯形法的计算方法单纯形法求解线性规划的思路: 一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数, 这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形, 每一个单纯形可以求得一组解, 然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小, 决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代, 直到目标函数实现最大值或最小值为止。
4.1 初始基可行解的确定为了确定初始基可行解, 要首先找出初始可行基, 其方法如下。
（1）第一种情况：若线性规划问题 max z =nj j j=1c x ∑1,1,2,...,0,1,2,...nij j i j ja xb i mx j n =⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑从Pj ( j = 1 , 2 , ⋯ , n )中一般能直接观察到存在一个初始可行基121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭（2）第二种情况：对所有约束条件是“ ≤”形式的不等式, 可以利用化为标准型的方法, 在每个约束条件的左端加上一个松弛变量。
经过整理, 重新对j x 及ij a ( i = 1 , 2 , ⋯ , m ; j = 1 , 2 , ⋯ , n )进行编号, 则可得下列方程组11,111122,1122,1112.........,,...,0m m n n m m n n m m m m nn n nn x a x a x b x a x a x b x ax a x b x x x +++++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥⎩显然得到一个m ×m 单位矩阵121(,,...,)n B P P P 0 0⎛⎫ ⎪0 1 0 ⎪== ⎪ ⎪0 0 1⎝⎭ 以B 作为可行基。
将上面方程组的每个等式移项得111,111222,112,11.........m m n nm m n nm m m m m mn n x b a x a x x b a x a x x b a x a x ++++++=---⎧⎪=---⎪⎨ ⎪⎪=---⎩令12...0,m m n x x x ++====由上式得(1,2,...,)i i x b i m == 又因i b ≥0, 所以得到一个初始基可行解12()12()(,,...,,0,...,0)(,,...,,0,...,0)Tm n m Tm n m X x x x b b b --= =个个（3）第三种情况：对所有约束条件是“ ≥”形式的不等式及等式约束情况, 若不存在单位矩阵时, 就采用人造基方法。
目标规划单纯形法
目标规划单纯形法目标规划单纯形法是一种求解目标规划问题的数学优化方法。
与传统的线性规划问题不同，目标规划问题在目标函数中引入了目标规划变量，旨在寻找最优的解使得目标值达到目标要求的最小或最大值。
目标规划单纯形法是在单纯形法的基础上进行改进得到的，并且与传统的单纯形法相比，具有较好的全局搜索能力，能够找到更多的可行解。
其基本思想是通过逐步逼近目标约束的可行解集合，并优化目标函数的值。
目标规划单纯形法的求解过程主要包括初始化、选择进入变量、选择离开变量、更新基向量和目标函数的计算。
其中初始化阶段包括确定初始状态的可能可行解和基向量，并计算初等单纯形法的迭代顺序。
之后，进入变量的选择基于目标改善度强度来进行，即选择目标改善度最大的变量作为进入变量。
离开变量的选择基于伴随约束最不符合度（MAD）来进行，即选择MAD值最小的变量作为离开变量。
更新基向量采用类似单纯形法的迭代过程，最终通过不断迭代来优化目标函数的值，直到达到目标要求或无法继续优化为止。
目标规划单纯形法的求解步骤如下：1. 初始化阶段，包括确定初始状态的可能可行解和基向量，并计算初等单纯形法的迭代顺序；2. 进入变量的选择，根据目标改善度强度选择目标改善度最大的变量作为进入变量；3. 离开变量的选择，根据MAD值选择MAD最小的变量作为离开变量；4. 更新基向量，进行基向量的变换，并更新对应的目标改善度和MAD值；5. 判断是否达到目标要求或无法继续优化，如果是，则输出最优解；否则，回到步骤2继续迭代。
目标规划单纯形法在求解目标规划问题时，能够有效地处理目标函数中引入的目标规划变量，能够更好地找到最优解。
然而，由于目标规划问题的复杂性，目标规划单纯形法在实际应用中可能会面临问题过多时求解困难的挑战。
因此，在使用时需要注意对问题进行合理化简和约束条件的设置，以提高求解效率和准确性。
目标规划图解法标规划单纯形法
31
28
解:
由于P1 , P2 优先级对应的目标函数中不含 di , 所以其检验数只需取系数 分别为
0;0，0，1，0，1，0，0，0，0 和
( 0，0，0， 0，0，0，0，1，0，0)
29
x1
x2
d1-
d1+
d2-
d2+
d3-
d3+
d4-
d4+
b
P1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
P3 -12 -18 0
B
O
50
100
X1
2
X2 125 C 100
4X1+2X2 = 400
E
d+
2X1+4X2 = 500
50
目标约束满意 域BEC
B
O
50
100
X1
100X1+80X2 = 10000
3
1 绝对约束可行域OBEC (2) 目标约束满意域BEC (3) 多个可行满意解：
(60,50),10000; (70,50),11000; E(50,100),13000 (4) Zmin =0
2X1+X2 =11
X1
6
X2 11 B 10
F
5
DC
EG
5A 7 O
2X1+X2 =11
d1
X1 X2=0
可行域⊿OAB
2.2目标规划的单纯形法
例2-1
某电视机厂生产46厘米和51厘米两种电视机，平均生产 能力1台/小时，工厂的正常生产能力是每日两班、每周 80小时。根据市场预测，下周的最大销售量是46厘米70 台，51厘米35台。已知每出售一台46厘米的可获利250 元，51厘米的可获利150元，试决定最优生产计划。经 理按重要程度确定以下目标：
x3 x1 , x3 x2
2x3 x1 x2 0
x4 x7 x4 x7 0
2 x5 x1 x2 0 x6 x7 0
模型求解（LINGO） 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其他为0；6门课程，总学分21.
x8 x5 0
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开.
min Y 1Z 2W 0.7Z 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
x1 d 2 300
目标规划单纯形法的步骤：
（1）建立初始单纯形表，其中负偏差变量 起松弛变量的作用，作为基变量； （2）求检验数，检验数行是4X7矩阵； （3）换入变量：最大的正的检验数对应的 为换入变量，从下往上逐级寻找，若全部 非正，则最优； （4）换出变量：主列正数除右项，选择比 值小的换出； （5）经过行变换得新解，重复以上步骤。
2x9 x1 x2 0
讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？
课程最少
学分最多
min Z xi
i 1
9
max W 5x1 4 x2 4 x3 3x4 4 x5 3x6 2 x7 2 x8 3x9
《管理运筹学》求解线性规划的单纯形法
– 基变量在目标函数中的系数为0
– 非基变量在目标函数中的系数<=0.
（注意：目标函数形式 z = 2x1 + 3x2）
– 若目标函数为方程形式：
检验数
z - 2x1 - 3x2=0，则需非基变量的系数>=0
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤1：确定移动的方向
确定进基变量
例：z = 2x1 + 3x2 – 选择 x1 ？Z的增长率=2 – 选择 x2 ？Z的增长率=3 – 3＞2，选择x2！
• 进基变量的选择：
检验数的 绝对值哦
~~~
– 选择非基变量的系数最大的！
求解线性规划的单纯形法
Q3：如何找下一个相邻的基本可行解
• 迭代步骤2：确定在何处停下 – 增加x2 的值， x1 =0
• 选择单元阵作为初始基：
1 1 1 0
A 1
2
0
1
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
)
1 0
B
0
1
(a3
,
a4
)
令非基变量 x1= x2 = 0得：X0 = ( 0，0，3，4)T
求解线性规划的单纯形法
Q2：最优性检验
• 非最优：增加非基变量的值，可以使 得目标函数Z值增加
x1,
x2,
x3,
=1 +x4 =2 x4 ≥0
然后确定初始基本可行解
X0 = (0, 0, 1, 2)T z0 = 0
最优性检验：一切σj ≥ 0 ？
当前解 X0 非优； 须由X0 转化为另一个基本可行解 X1。 思路：让X0 中的一个非基变量进基，去替换原来的一个基变量（离基）。
目标规划及其单纯形求解方法
，返回(2)
(2) 检查发现检验数 p2 行中有 -1 ,-2 ，因为
有 min{1,2} 2 ，所以 x2 为换入变量，转入 (3)。
11 10 56 10 ， (3按 规则计算： min , ,
所以 d 2为换出变量，转入(4)。
1 2 10
2
(4)进行换基运算，得到表6.3.2。
8635要求要求恰好达到目标值恰好达到目标值就是就是正正负偏差变量都要尽可能小负偏差变量都要尽可能小即minddfz636要求不超过目标值即不超过目标值即允许达不到允许达不到目标值目标值但是正偏差变量要尽可能小正偏差变量要尽可能小即mindfz637要求超过目标值超过目标值也就是超过超过量不限量不限但负偏差变量要尽可能小但负偏差变量要尽可能小即mindfz638在实际问题中可以根据决策者的要求引入正负偏差变量和目标约束并给不同目标赋予相应的优先因子和权系数构造目标函数建立模型
(i 1,2,3)
பைடு நூலகம்
（三）目标规划模型的一般形式
假定有 L 个目标， K 个优先级 (K≤L) ， n 个 变量。在同一优先级 Pk 中不同目标的正、负偏 kl 差变量的权系数分别为 kl 、 ，则多目标规划 问题可以表示为
min Z Pk ( kl d l kl dl ) K L
目标规划的目标函数只能是
min Z f (d , d )
(6.3.5）
基本形式有3种：
① 要求恰好达到目标值，就是正、负
偏差变量都要尽可能小,即
min Z f (d , d )
（6.3.6）
② 要求不超过目标值，即允许达不到
目标值，但是正偏差变量要尽可能小，即
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0 2.5P2 0 P2
d
3
d
3
d
4
d
4
0
0
00
0
0
00
1 －1 0 0
0
0
1 －1
0 0 00
0 2.5 0 1
0 0 00
为d 3换出变量。11
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
CB XB b
P1
d
1
7000d2200 x1 60
0
d
4
100
0 0 P1 0 0
x x 1
2
d
1
2.2.3 目标规划的图解法
• 例某企业生产两种产品，在单件利润等有关数据 已知条件下，要求制定一个获利最大的生产计划：
• 目标，第一级：允许加班，加班时间每周不超过 10小时；第二级：产品产量满足市场需求
产品
销量（kg/ 件）
时间（h/ 件）
利润（元/ 件）
Ⅰ
Ⅱ
24
30
1
1
8
10
ppt课件
限量 40
1
2.2.3 目标规划的图解法
• 例，某电视机厂装配黑白和彩色电视，每装配一 台占用装配线1小时，装配线每周计划开动40小时。 预计市场每周彩色电视机的销售量为24台，每台 获利80元，黑白电视机销售量30台，每台可获利 40元，该厂目标为：
• 第一级：充分利用装配线每周开动40小时
• 第二级：允许装配加班，但每周尽量不超过10小 时
• 第三级：允许装配电视机的数量尽量满足市需要， 因彩色利润高，故其权系数为2
ppt课件
2
2.2.4 目标规划的基本概念
① 线性规划目标 ② 可行解 ③ 可接受解与不可接受解 ④ 达成函数 ⑤ 最优解 ⑥ 多重最优解 ⑦ 无界解
ppt课件
3
2.2.5 目标规划的单纯形法
一般形式：
cj
c1
c2
CB
d
1
d
2
0 12 1 －1 0
0 1 00 1
1 0 00 0
0 1 00 0
P3
0 2.5P2 0
P2
d
2
d
3
d
3
0 －30 30
d
4
d
4
00
－1 －2 2 0 0
0 1 －1 0 0
0
0
0
1 －1
P1
0 －12 0 1 0
0 30 －30 0
0
σj
P2
0
0
00 0
0
0 2.5 0
1
0
0
2.5P2
d
3
10
0 1/2 0
0 1/2 -1/2 -1
1
0 x1 70
1 1/2 0
0 1/2 -1/2 0
0
0
d
4
100
0
1
0
0
0
0
0
0
00 00 00 1 -1
P1
0
3
0
1 15 -15 0
0
0
0
σj
P2
0 -5/4 0
0 -5/4 5/4 5/2 0
0
1
P3 0
0
0
0
0
1
00
0
0
θ= min｛400/15,－,－, －｝=10 ,故 d为1换出变量。
• 单纯形法的计算步骤 • 1、建立初始单纯形表 • 一般假定初始解在原点，即以约束条件中
的所有负偏差变量或松弛变量为初始基变 量，按目标优先等级从左至右分别计算出 各列的检验数，填入表下半部的K行中，置 k=1 。
ppt课件
5
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 2、检验是否为满意解 • 若Pk这一行某些负检验数的同列上面（较
验数中，选绝对值最大者，对应的变量xs就 是进基变量。若Pk行中有几个相同的绝对 值最大者，则依次比较它们各列下部的检 验数，取其绝对值最大的负检验数的所在 列的xs为进基变量。假如仍无法确定，则选 最左边的变量（变量下标小者）为进基变 量，转第4步。否则，转第6步。
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7
2.2.5 目标规划的单纯形法
P3
0
0 00 0
1
0
0
0
0
θ= min｛700/30,20/2,－, －｝=10 ,故 d为2 换出变量。
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12
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
0
0 P1 0
0
P3
0 2.5P2 0 P2
CB XB
b
x1
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
d
3
d
3
d
4
d
4
P1
d
1
400
0
-3
1
-1 -15 15
• 4、确定出基变量 • 其方法同线性规划，即依据最小比值法则
minbeissi/eis 0beorsr
• 故确定xr为出基变量，ers为主元素。若有几个 相同的行可供选择时，选最上面那一行所对应 得变量为xr 。
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8
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 5、旋转变换（变量迭代）
• 以ers为主元素进行变换，得到新的单纯形 表，获得一组新解，返回到第2步。
高优先等级）没有正检验数，说明未得到 满意解，应继续改进，转到第3步；若Pk这 一行全部负检验数的同列上面（较高优先 等级）都有正检验数，说明目标虽没达到， 但已不能改进，故得满意解，转到第6步。
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6
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 3、确定进基变量 • 在Pk行，从那些上面没有正检验数的负检
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13
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
0
CB XB
P3
d
2
2.5P2
d
3
b x1
80/3 0
70/3 0
0
x1 250/3
1
0
d
4
100
0
0
P1
0
0 P3
x2
d
1
d
1
d
2
d
2
-1/5 1/15 -1/15 -1 1
2/5 1/30 -1/30 0 0
2
d
1
d
1
d
2
d
2
P1
d
1
2500
30
12
1 －1 0
0
0
d
2
140
2
1
0 0 1 －1
0
d
3
60
1
0
00 0
0
0
d
4
100
0
1
00 0
0
P1 －30 －12 0 1 0
0
σj
P2
0
0
00 0
0
P3
0
0
00 0
1
θ= min｛2500/30,140/2,60pp/t1课｝件 =60 ,故
d
2
3
0
x1
2 x1
12
x2 x2
d
1
d
2
d
1
d
2
2500 140
s .t .
x1
d
3
d
3
60
x2
d
4
d
4
100
x1 2
0
,
d
l
,
d
l
0
(l 1.2.3.4)
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10
2.2.5 目标规划的单纯形法
cj
0 0 P1 0 0 P3
x x CB XB b
1
XB
b
x1
x2
cj1
xj1
bo1
e11
e12
cj2
xj2
bo2
e21
e22
cn+2m xn+2m e1n+2m e2n+2m
cjm
xjm
bom
em1
em2
P1
σ11
σ12
σj
P2
σ21
σ22
emn+2m σ1n+2m σ2n+2m
PK
σppt课m件1
σm2
σmn+2m 4
2.2.5 目标规划的单纯形法
• 6、对求得的解进行分析
• 当k=K时，计算结束，停止运算；表中的解 即为最终解。若不满意，需修改模型，即 调整目标优先等级和权系数，或者改变目 标值，重新进行第1步。否则置k=k+1，返 回第2步。
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9
例 用单纯形法求解下列目标规划问题
m in Z
P1
d
1
2
.
5
P2
d
3
P2
d
4
P3