追赶法
微分方程数值解追赶法
微分方程数值解追赶法追赶法，也称为三对角矩阵算法，是一种用于求解线性微分方程的数值方法。
这种方法主要基于矩阵分解和迭代的思想，能够有效地解决微分方程的数值求解问题。
在微分方程的数值解法中，追赶法通常用于求解形如 (y' = f(x, y)) 的常微分方程。
其基本思想是将微分方程转化为差分方程，然后通过迭代的方式逐步逼近微分方程的解。
具体来说，追赶法的步骤如下：矩阵分解：首先，将微分方程 (y' = f(x, y)) 转化为差分方程的形式。
然后，将差分方程中的系数矩阵进行分解，将其分解为一个下三角矩阵 (L)、一个对角矩阵 (D) 和一个上三角矩阵 (U)。
这样，差分方程可以转化为(D^{-1}Lx = D^{-1}b) 的形式。
迭代求解：接下来，使用迭代法求解 (D^{-1}Lx = D^{-1}b)。
通常，可以选择Gauss-Seidel迭代法或者SOR（Successive Over-Relaxation）迭代法等。
在每次迭代中，先求解下三角矩阵 (L) 的部分，然后求解对角矩阵(D) 的部分，最后求解上三角矩阵 (U) 的部分。
通过不断迭代，逐步逼近差分方程的解。
收敛性判断：在迭代求解的过程中，需要判断迭代的解是否收敛。
通常，可以通过比较相邻两次迭代的解的差值来判断是否收敛。
当差值小于某个预设的阈值时，认为迭代收敛。
解的输出：当迭代收敛后，可以得到微分方程的数值解。
此时，可以将解输出到控制台或者保存到文件中。
追赶法的优点在于其算法简单、易于实现，并且对于大规模的微分方程求解问题具有较高的计算效率和精度。
然而，追赶法也存在一些局限性，例如对于某些特殊类型的微分方程可能不适用，需要进行特殊处理。
2-4 追赶法(Thomas算法)
§ 2-4 追赶法(Thomas算法)
一、对角占优矩阵
若矩阵 A (aij )nn 满足
n
|aii | |aij | j1 ji
则称A为严格对角占优矩阵.
i 1,2, ,n
若矩阵 A (aij )nn 满足
得
xi yi qi xi1
i n 1, ,2,1
作业：
P50 习题11
n
|aii | |aij | j1 ji
则称A为弱对角占优矩阵.
i 1,2, ,n
有一类方程组, 形式为:
Ax f
其中
b1 a2
A
c1 b2
c2
an 1
bn 1 an
cn 1 bn
x
x1 x2
xn
f
f1 f2
fn
A称为三对角线矩阵,并且满足
(1) |b1||c1| 0
(2) |bi||ai||ci| , ai ci 0 i 2, ,n 1 (3) |bn||an| 0
A称为对角占优的三对角线矩阵. 显然, A非奇异,即det A 0
因此A的任意k阶顺序主子式非零 ,即det Ak 0
二、解三对角线性方程组的追赶法
定理1：满足引理1条件的三对角方阵A有如下形式的 唯一的克劳特分解。
p1 2 p2
1 q1
1 q2
A
a3
=PQ
pn1
an
pn
1 qn1
1
其中
qpi1
b1 ci
pi
i 1,2, , n 1
一维水动力模型追赶法
一维水动力模型追赶法一维水动力模型追赶法研究一、一维水动力模型及其在水资源管理中的应用一维水动力模型是一种用于模拟水流运动的数学模型，它在一维空间中描述水流速度、水位、水质等参数的变化。
这种模型广泛应用于水资源管理、水文学、环境科学等领域。
通过一维水动力模型，我们可以预测在不同条件下的水流情况，从而更好地管理水资源，优化调度，减少污染，提高水资源的可持续利用。
二、追赶法原理及其在一维水动力模型中的应用追赶法是一种数值求解偏微分方程的算法，尤其适用于一维问题的求解。
在一维水动力模型中，追赶法能够有效地解决方程中的非线性问题，并且在处理边界条件和初始条件时具有很大的灵活性。
追赶法的核心思想是将偏微分方程转化为差分方程，通过迭代的方式逐步逼近真实解。
在每一步迭代中，算法会根据已知的信息，逐步求解出未知的状态变量。
具体操作过程如下：首先，将一维空间离散化，将连续的问题转化为离散的问题。
然后，将偏微分方程转化为差分方程，通过迭代的方式逐步求解。
在每一步迭代中，根据已知的信息，逐步求解出未知的状态变量。
最后，通过边界条件和初始条件对模型进行约束，得到最终的解。
三、模型应用实例下面以某河流的径流变化规律为例，介绍一维水动力模型的应用。
首先，我们需要收集该河流的历史数据，包括水位、流量、降雨量等信息。
然后，将这些数据输入到一维水动力模型中，通过追赶法进行求解。
在求解过程中，我们需要设置合适的边界条件和初始条件，以保证模型的准确性和可靠性。
通过对历史数据的模拟和预测，我们可以得到该河流的径流变化规律。
根据这些规律，我们可以更好地管理水资源，优化调度，提高水资源的可持续利用。
此外，一维水动力模型还可以应用于城市供水调度、防洪减灾等领域。
四、模型参数估计与验证在应用一维水动力模型时，我们需要估计和验证模型的参数。
这些参数包括水流速度、水容量、扩散系数等。
我们可以通过历史数据来估计这些参数，并使用当前数据进行验证。
在估计和验证过程中，我们需要考虑数据的准确性和可靠性，并采用合适的统计方法对参数进行优化和调整。
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种求解方法1.高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的一种常用方法。
该方法的基本思想是通过对方程组进行一系列简化操作，使得方程组的解易于求得。
首先将方程组表示为增广矩阵，然后通过一系列的行变换将增广矩阵化为行简化阶梯形，最后通过回代求解出方程组的解。
2.列主元高斯消元法列主元高斯消元法是在高斯消元法的基础上进行改进的方法。
在该方法中，每次选取主元时不再仅仅选择当前列的第一个非零元素，而是从当前列中选取绝对值最大的元素作为主元。
通过选取列主元，可以避免数值稳定性问题，提高计算精度。
3.LU分解法LU分解法是一种将线性方程组的系数矩阵分解为一个下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U的方法。
首先进行列主元高斯消元法得到行阶梯形矩阵，然后对行阶梯形矩阵进行进一步的操作，得到L和U。
最后通过回代求解出方程组的解。
4.追赶法（三角分解法）追赶法也称为三角分解法，适用于系数矩阵是对角占优的三对角矩阵的线性方程组。
追赶法是一种直接求解法，将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后通过简单的代数运算即可求得方程组的解。
5.雅可比迭代法雅可比迭代法是一种迭代法，适用于对称正定矩阵的线性方程组。
该方法的基本思想是通过不断迭代求解出方程组的解。
首先将方程组表示为x=Bx+f的形式，然后通过迭代计算不断逼近x的解。
6.高斯-赛德尔迭代法高斯-赛德尔迭代法是雅可比迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，使用已经更新的解来计算新的解。
相比于雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法的收敛速度更快。
7.松弛因子迭代法松弛因子迭代法是一种对高斯-赛德尔迭代法的改进方法。
该方法在每一次迭代时，通过引入松弛因子来调节新解与旧解之间的关系。
可以通过选择合适的松弛因子来加快迭代速度。
以上是一些常用的线性方程组求解方法，不同的方法适用于不同类型的线性方程组。
在实际应用中，根据问题的特点和要求选择合适的求解方法可以提高计算的效率和精度。
(完整版)2.6追赶法
第16讲 追赶法、误差分析在实际应用问题中，经常会遇到解三对角线方程组。
例如：用三次样条函数的插值问题中得到的三转弯及三弯矩方程组，当时说可用追赶法来求解。
还有用差分法解二阶线性常微分方程边值问题，若用三点插值格式也得到解三对角线方程组，本节介绍该类方程组中的特例及该种方程组的解法：追赶法。
优点：1.计算量小。
2.方法简单，存贮量小。
3.数值稳定的（对舍入误差来说）。
1 追赶法三对角线方程组的一般表示方法：可见，对A 的分解只需求i i u l ,且按n n n l u l u l u l −→−−→−−→−−→−−→−−→−−→−--112211.....的递推过程进行，形象地称为“追”的过程⎩⎨⎧=-==-),....2(/)(/1111n i l y a f y l f y i i i i⎩⎨⎧-=-==+)1,2,.....1(1n i x u y x y x i i i inn 形象地称回代求解过程为“赶”的过程追赶法的计算量为5n-4次乘除法，可用4个 一 维数组存放{}{}{}{}i i i i f c b a ,,,。
共占用4n-2个单元，在计算过程中{}{}{}i i i y u l ,,依次覆盖掉{}{}{}i i i f c b ,,最后，{}i x 覆盖掉{}i y ，所以，追赶法具有计算量小，占用内存单元少的特点。
2、误差分析⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-n n l u u u U 121....111⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nl a l a l a l L ....33221)1,...,3,2,1(-=n i ⎪⎩⎪⎨⎧+===+++11111i i i i ii i lu a b u l c l b ⎪⎩⎪⎨⎧-===+++ii i i ii i u a b l l c u b l 11111/)1,...,3,2,1(-=n i病态方程组与条件数一个线性方程组Ax=b 是由它的系数矩阵A 和它的右端项b 所确定，在实际问题中，由于各种原因，A 或b 往往有误差，从而使得解也产生误差。
追赶法(Thomas算法)
二、解三对角线性方程组的追赶法 定理1：满足引理1条件的三对角方阵A有如下形式的 唯一的克劳特分解。
p1 a2 A= pn
p2 a3 pn 1 an
1 q1 1 q2 =PQ 1 qn 1 1
其中
p1 = b1 (i = 1,2,, n 1) qi = ci pi p = b a q (i = 2,3,, n ) i i i 1 i
解三对角线方程组Ax = f可化为求解两个三角形 方程组
Py = f
Qx = y
(1) 解 Py = f
p1 a2 ( P, f ) = p2 a3 pn 1 an f1 f2 f3 pn f n
得
{
y1 = f1 / p1
yi = ( f i ai yi 1 ) / piຫໍສະໝຸດ (i = 2,3,, n )
( 2) 解 Qx = y
1 q1 1 q2 1 qn 1 1
x1 y1 x2 = y2 x y n n
得
xn = y n
xi = yi qi xi +1
i = n 1 , , 2 ,1
作业： P50 习题11
§2-4
追赶法(Thomas算法 算法) 追赶法 算法
一、对角占优矩阵
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii |> ∑|aij |
j =1 j ≠i ≠i
n
i = 1 , 2 , , n
则称A为严格对角占优矩阵.
若矩阵A = ( aij )n× n 满足
|aii | ∑|aij | ≥
j =1 j ≠i
n
i = 1 , 2 , , n
则称A为弱对角占优矩阵.
追赶法的数学理论
1、 追赶法的数学理论设系数矩阵为三对角矩阵则方程组Ax=f称为三对角方程组。
设矩阵A非奇异，A有Crout分解A=LU，其中L为下三角矩阵，U为单位上三角矩阵，记可先依次求出L，U中的元素后，令Ux=y，先求解下三角方程组Ly=f 得出y，再求解上三角方程组Ux=y。
事实上，求解三对角方程组的2追赶法将矩阵三角分解的计算与求解两个三角方程组的计算放在一起，使算法吏为紧凑。
其计算公式为：二、追赶法的算法和流程图算法:1) u(1)=r(1)/a(1),v(1)=c(1)/a(1).2)dui k=2,3,…n-1,zuo yi xia cao zuo:(1)u(k)=(r(k)-u(k-1)*b(k))/(a(k)-v(k-1)*b(k)).(2)v(k)=c(k)/(a(k)-v(k-1)*b(k)).3)u(n)=r(n)-u(n-1)*b(n))/(a(n)-v(n-1)*b(n)).4)x(n)=u(n).5)dui k=n-1,…,2,1,ji suan x(k)=u(k)-v(k)*x(k+1).三、追赶法的Matlab实现functionx=chase (a,b,c,f)chasen=length(b);ifn-1==length(a)fori=n-1:-1:1a(i+1)=a(i);endend%将a设置为n维向量c(1)=c(1)/b(1);f(1)=f(1)/b(1);fori=2:n-1b(i)=b(i)-a(i)*c(i-1);c(i)=c(i)/b(i);f(i)=(f(i)-a(i)*f(i-1))/b(i);endf(n)=(f(n)-a(n)*f(n-1))/(b(n)-a(n)*c(n-1)); fori=n-1:-1:1f(i)=f(i)-c(i)*f(i+1);endx=f;四、追赶法的算例实现clear all;a=[-4,-4,-4,-4];b=[1,1,1];c=[1,1,1];r=[1,1,1,1]; n=length(a);b=[0,b];u(1)=r(1)/a(1);v(1)=c(1)/a(1);for k=2:n-1u(k)=(r(k)-u(k-1)*b(k))/(a(k)-v(k-1)*b(k)); v(k)=c(k)/(a(k)-v(k-1)*b(k));endu(n)=(r(n)-u(n-1)*b(n))/(a(n)-v(n-1)*b(n)); x(n)=u(n);for k=n-1:-1:1x(k)=u(k)-v(k)*x(k+1);endfprintf('Èý¶Ô½Ç·½³Ì×éµÄ½âΪ\n') for k=1:nfprintf('x(%1d)=%10.8f\n',k,x(k)) end>> li10_24fun三对角方程组的解为x(1)=-0.36363636x(2)=-0.45454545x(3)=-0.45454545x(4)=-0.36363636>>。
matlab追赶法解101阶三对角方程组
在探讨MATLAB追赶法解101阶三对角方程组之前，我们首先需要了解什么是追赶法和什么是三对角方程组。
追赶法又称托马斯算法，是一种用于求解带状矩阵（即只有主对角线和两条相邻的对角线上有非零元素的矩阵）的线性方程组的方法。
而三对角矩阵就是只有主对角线和两条相邻的对角线上有非零元素的矩阵。
在实际应用中，求解带状矩阵的线性方程组是非常常见的，特别是在数值计算和科学工程领域。
现在，让我们深入探讨MATLAB追赶法解101阶三对角方程组的方法和具体步骤。
一、MATLAB追赶法解101阶三对角方程组1. 概念介绍101阶三对角方程组是一个非常大的线性方程组，通常使用传统的高斯消元法来求解会耗费大量的时间和计算资源。
而MATLAB追赶法通过利用三对角矩阵的特殊性质，可以有效地简化计算过程，并且节省大量的内存和计算资源。
2. 追赶法步骤（1）将原方程组化为追赶法所需的形式；（2）利用追赶法求解三对角线性方程组。
二、追赶法求解101阶三对角方程组的实现过程1. 将原方程组化为追赶法所需的形式对于101阶三对角方程组，我们首先需要将其化为追赶法所需的形式。
这个过程涉及到选取合适的追赶元和追赶子以及对原方程组的变形，将其化为追赶法能够直接处理的形式。
2. 利用追赶法求解线性方程组一旦将原方程组化为追赶法所需的形式，我们就可以利用追赶法对其进行求解。
追赶法的核心是通过追赶子的迭代计算，逐步求得线性方程组的解。
在MATLAB中，可以使用内置的追赶法求解函数，也可以编写自定义的追赶法算法来实现对101阶三对角方程组的求解。
三、个人观点和理解在实际工程和科学计算中，追赶法是一种非常有效的求解带状矩阵线性方程组的方法。
对于大规模的三对角方程组，特别是高阶的情况，传统的直接求解方法往往会遇到内存和计算资源的限制，而追赶法能够通过精巧的迭代计算，在保证解的精度的显著提高计算效率。
在MATLAB中，通过调用内置的追赶法函数，可以快速地求解大规模的三对角方程组，极大地方便了工程实践中的数值计算工作。
matlab追赶法
Matlab追赶法1. 简介追赶法是一种求解特殊线性方程组的数值计算方法。
在Matlab中，我们可以利用追赶法求解带有追赶矩阵的线性方程组，该方法在某些情况下比直接使用高斯消元法更加高效。
2. 追赶法原理追赶法是基于矩阵的三对角性质进行求解的。
三对角矩阵是指除主对角线外，只有上对角线和下对角线上存在非零元素的矩阵。
对于一个n阶的三对角矩阵A，我们有以下形式的线性方程组：A * x = b其中，A是一个n阶的三对角矩阵，x是未知向量，b是已知向量。
3. 算法步骤追赶法的求解过程可以分为以下步骤：3.1. 利用追赶法将矩阵化为上三角矩阵追赶法的第一步是将三对角矩阵A转化为上三角矩阵U。
这可以通过以下迭代公式实现：u[i] = a[i] (i = 1)u[i] = a[i] - c[i-1]*b[i-1]/u[i-1] (i = 2, 3, ..., n-1)3.2. 求解中间向量利用上一步得到的上三角矩阵U，我们可以通过以下迭代公式求解中间向量y：y[i] = b[i] - c[i-1]*y[i-1]/u[i-1] (i = 2, 3, ..., n)3.3. 求解未知向量最后一步是通过回代求解未知向量x。
根据回代公式，我们可以得到：x[n] = y[n]/u[n]x[i] = (y[i] - b[i]*x[i+1])/u[i] (i = n-1, n-2, ..., 1)4. Matlab代码示例以下是使用Matlab实现追赶法的示例代码：function x = tridiag_solver(a, b, c, d)n = length(d);u = zeros(n, 1);y = zeros(n, 1);x = zeros(n, 1);u(1) = a(1);for i = 2:nu(i) = a(i) - c(i-1)*b(i-1)/u(i-1);endy(1) = d(1);for i = 2:ny(i) = d(i) - c(i-1)*y(i-1)/u(i-1);endx(n) = y(n)/u(n);for i = n-1:-1:1x(i) = (y(i) - b(i)*x(i+1))/u(i);endend5. 总结追赶法是一种求解特殊线性方程组的有效方法，特别适用于三对角矩阵。
Ch3.2.3 追赶法
1 b1 （ 1 ） ， c b 1 1 1
解（7.1）的追赶法计算公式 1 r （1）分解计算公式( A LU)： 2 2 1 c1 b1 a ai i i )) , ( i 2, , n 1) i ri i 11 i ci (bii （2）求解Ly f 逆推公式
三次样条插值问题中得到的三转弯方程组(8.9)、 (8.10)、(8.11)及三弯矩方程组(8.19)或(8.20) 三对角线 方程组
用差分法解二阶线性常微分方程边值问题， 解法：追赶法 若用三点插值格式也得到三对角线方程组 本节介绍该类方程组中的特例及该种方程组的解法：追赶法。 优点： 1.计算量小（仅5n-4次乘除法运算）。 2.方法简单，存贮量小。 3.数值稳定（对舍入误差来说）。
LU
1 b1 c1 1 a b c r 2 2 2 2 2 a b c r aii bii cii rii i i an bn rn n n a l u 由矩阵乘法 ij ik kj ， 得:
b3 a 4
c3 b4
b1 c1 x1 f 1 x3 f 3 x f 与 a b x f c x 。 2 3 2 2 2 2 4 4
§7 解三对交线方程组的追赶法
k 1
1 1 2 1 i2 11 ii 11 i 1 i 1 1 n 1 1
1 b1 ， (1) b1 1 ，c1 1 1 , ( 1 c1 1 ) 1 c1 b1
追赶法_上机实验报告
一、实验目的1. 理解追赶法的原理及其在数值计算中的应用。
2. 掌握追赶法的编程实现，并能够运用追赶法求解线性方程组。
3. 通过实验，加深对追赶法计算过程的理解，提高数值计算能力。
二、实验设备、仪器及材料1. 计算机一台，安装有C/C++编译环境。
2. 需要编写的程序代码。
3. 实验指导书。
三、实验内容3.1 实验方案设计与选择本次实验选择追赶法（亦称对称高斯消去法）求解三对角线性方程组。
追赶法是一种高效且稳定的算法，特别适用于三对角线性方程组的求解。
3.2 实验原理及实验步骤原理：追赶法是一种直接方法，用于求解三对角线性方程组：\[ a_{11}x_1 + b_{11}x_2 + c_{11}x_3 = d_1 \]\[ a_{21}x_2 + b_{21}x_3 + c_{21}x_4 = d_2 \]\[ a_{31}x_3 + b_{31}x_4 + c_{31}x_5 = d_3 \]\[ \vdots \]\[ a_{n-1,1}x_{n-1} + b_{n-1,1}x_n + c_{n-1,1}x_{n+1} = d_{n-1} \]\[ a_{n1}x_n + b_{n1}x_{n+1} + c_{n1}x_{n+2} = d_n \]追赶法的基本思想是，通过迭代计算，逐步消去方程组中的未知数，直到求解出所有未知数的值。
步骤：1. 初始化系数矩阵和常数项。
2. 迭代计算，逐步消去方程组中的未知数。
3. 输出计算结果。
3.3 实验记录核心代码：```c#include <stdio.h>#include <math.h>#define N 5 // 线性方程组的未知数个数void追赶法(double a[N][N+1], double x[N], double b[N]) { double m[N], n[N];m[0] = b[0] / a[0][0];x[0] = m[0];for (int i = 1; i < N; i++) {n[i] = b[i] - a[i][i-1] m[i-1];m[i] = n[i] / a[i][i];x[i] = m[i] - a[i][i+1] m[i+1];}}int main() {double a[N][N+1] = {{2, 1, -1, 0, 0},{-1, 2, 1, -1, 0},{0, -1, 2, 1, -1},{0, 0, -1, 2, 1},{0, 0, 0, -1, 2}};double x[N], b[N] = {1, 2, 3, 4, 5};追赶法(a, x, b);printf("解为：\n");for (int i = 0; i < N; i++) {printf("x[%d] = %.2f\n", i, x[i]);}return 0;}```调试过程：1. 编译程序，确保没有语法错误。
追赶法
§2 解三对角方程组的追赶法 在实际问题中，经常遇到以下形式的方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+-------+-nn n n n n n n n n n n k k k k k k k d x b x a d x c x b x a d x c x b x a d x c x b x a d x c x b 111112111232221212111 （3.12）这种方程组的系数矩阵称为三对角矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---n nn n n k k k b a c b a c b a c b a c b A 11122211以下针对这种方程组的特点提供一种简便有效的算法—追赶法。
追赶法实际上是高斯消去法的一种简化形式，它同样分消元与回代两个过程。
先将（3.12）第一个方程中x 1的系数化为1112111b d x b c x =+记 111111b d y b c r == （3.13）有 1211y x r x =+注意到剩下的方程中，实际上只有第二个方程中含有变量x 1，因此消元手续可以简化。
利用（3.13）可将第二个方程化为2312y x r x =+这样一步一步地顺序加工（3.12）的每个方程，设第k – 1个方程已经变成111---=+k k k k y x r x（3.14）再利用（3.14）从第k 个方程中消去x k -1，得：k k k k k k k k k a y d x c x a r b 111)(-+--=+-同除()k k k a r b 1--，得n k a r b a y d x a r b c x kk k k k k k kk k kk ,,3,21111 =--=-+--+-记kk k k k k k kk k kk a r b a y d y a r b c r 111-----=-=则有 k k k k y x r x =++1 这样做n – 1步以后，便得到：111---=+n n n n y x r x将上式与（3.12）中第11个方程联立，即可解出 x n = y n 这里nn n n n n n a r b a y d y 11----=于是，通过消元过程，所给方程组（3.12）可归结为以下更为简单的形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+=++nn k k k k y x y x r x y x r x11211 （3.15）这种方程组称作二对角型方程组，其系数矩阵中的非零元素集中分步在主对角线和一条次主对角线上⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11111121n k r r r r 对加工得到的方程组（3.15）自下而上逐步回代，即可依次求出x n ，x n -1，…，x 1，计算公式为：⎩⎨⎧--=-==+1,,2,11n n k x r y x y x k k k k n n （3.16）上述算法就是追赶法，它的消元过程与回代过程分别称作“追”过程与“赶”过程。
用追赶法解方程组步骤
用追赶法解方程组步骤用追赶法解方程组的步骤追赶法是一种常用于解线性方程组的方法，也被称为托马斯算法。
它适用于系数矩阵为三对角矩阵的方程组，即只有主对角线和两个相邻的副对角线上有非零元素的方程组。
下面将介绍用追赶法解方程组的具体步骤。
1. 确定方程组的形式我们需要将线性方程组转化为矩阵形式，即AX=B，其中A是系数矩阵，X是未知数向量，B是常数向量。
在追赶法中，系数矩阵A 应为三对角矩阵。
2. 分解系数矩阵接下来，我们需要对系数矩阵A进行分解。
将系数矩阵A分解为L、D、U三个矩阵的乘积，即A=LDU分解。
其中L是下三角矩阵，D 是对角矩阵，U是上三角矩阵。
分解的目的是简化方程组的求解过程。
3. 前向追赶在前向追赶过程中，我们需要解决方程组LY=B，其中Y是辅助向量。
首先，我们可以从第一个方程开始，直接求解出Y的第一个分量。
然后，利用递推关系式，依次求解出Y的其他分量。
这个过程类似于追逐，从前往后一步步追赶。
4. 消元接下来，我们需要进行消元操作，将方程组转化为DUX=Y。
这个过程中，我们需要利用到前面分解得到的L、D和U矩阵。
通过将L矩阵与方程组相乘，可以消去X的前面分量。
然后，通过将D矩阵与方程组相乘，可以将X的分量消为1。
最后，通过将U矩阵与方程组相乘，可以将X的后面分量消去。
5. 后向追赶在后向追赶过程中，我们需要解决方程组UX=Y，即通过追逐的方式从后往前求解X的分量。
首先，我们可以从最后一个方程开始，直接求解出X的最后一个分量。
然后，利用递推关系式，依次求解出X的其他分量。
6. 检验解的正确性在求解完成后，我们需要检验解的正确性。
将求得的X代入原方程组中，验证方程组是否成立。
如果方程组成立，那么我们得到的解就是正确的。
总结：追赶法是一种有效解线性方程组的方法，它通过将系数矩阵分解为L、D、U三个矩阵，并利用前向追赶和后向追赶的方式求解未知数。
追赶法的优点是求解过程简单快速，适用于特定类型的方程组。
2.2追赶法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ M yn−1 yn y1 y2 y3
回代得
xn = yn , xi = yi − ri xi+1(i = n −1~1)
ri−1 = ci−1 li−1, li = bi − ai r−1 i , yi = (di − ai yi−1 ) li (i = 2, 3,L n)
三对角方程组
系数矩阵是一种带状的稀疏矩阵，非零元 素集中分布在主对角线及其相邻的两条次对角 线上，且系数矩阵为对角占优阵，即有下列关 系式成立：
b1 > c1 bi > ai + ci bn > an , i = 2,3, L , n − 1.
用高斯消元法解，消元后的增广矩阵 A ，为
1 r 1 1 r 2 1 r3 A= O O 1 rn−1 1
§ 2.2 解三对解方程组的追赶法
追赶法适于求解三对角方程组 Ax = b ,这里
b 1 a 2 A = [ AMb] = c1 b2 a3 c2 b3 c3 O O O an−1 bn−1 an cn−1 bn d1 d2 d3 M dn−1 dn
按照这些公式次数求解 Ax = b的方法就称 追赶法，其中算 r , li , yi 称追，回代称赶，共 i 需乘除法次数为 5n − 4 ，远比一般方程组的高 斯消去法或三角分解法节省运算量。实际问题提 出的三对角方程组往往严格对角占优，因此不用 选主元，就可保证顺利、稳定进行。
追赶法求热传导方程
追赶法求热传导方程追赶法（Crank-Nicolson法）是一种用于求解热传导方程的数值方法。
热传导方程描述了热能如何通过材料传播的过程，并在许多实际应用中具有重要的作用，例如材料的热学性能分析、建筑物的能耗计算等。
热传导方程可以写成如下形式：\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2u}{\partial x^2}其中 $u(x,t)$ 是待求的温度场，$\alpha$ 是热扩散系数。
我们将区域 $[0, L]$ 进行离散化，将时间区间 $[0, T]$ 进行离散化，得到一系列的离散点：x_i = i \Delta x, \quad i = 0, 1, 2, \ldots, N和t_k = k \Delta t, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, M其中 $\Delta x = \frac{L}{N}$ 和 $\Delta t = \frac{T}{M}$ 是空间和时间的离散步长。
我们使用中心差分近似来离散化热传导方程中的偏导数项。
假设$u_i^k \approx u(x_i, t_k)$ ，则可得到如下差分格式：\frac{u_i^{k+1} - u_i^k}{\Delta t} = \frac{\alpha}{2}\left(\frac{u_{i+1}^{k+1} - 2u_i^{k+1} + u_{i-1}^{k+1}}{\Delta x^2} + \frac{u_{i+1}^k - 2u_i^k + u_{i-1}^k}{\Delta x^2}\right)将上式整理后可得到追赶法的更新公式：-u_{i-1}^{k+1} + 2(1 + \lambda)u_i^{k+1} - u_{i+1}^{k+1} = u_{i-1}^k + 2(1 - \lambda)u_i^k + u_{i+1}^k其中 $\lambda = \frac{\alpha\Delta t}{2\Delta x^2}$。
解三对交线方程组的追赶法
VS
矩阵元素的微小变化
在三对交线方程组中，矩阵元素的微小变 化可能会导致解的巨大变化。这种敏感性 使得追赶法在面对某些问题时表现出数值 不稳定性。
提高数值稳定性和减小误差方法
选择合适的算法参数
在追赶法中，可以通过选择合适的算法参数来提高数值稳定性。例如，可以采用部分选主元策略来避免矩阵元素的微 小变化对解的影响。
优缺点分析
优点
追赶法具有计算量小、存储量低、易于编程实现等优点。对于大规模的三对角 线性方程组，追赶法通常比其他方法更加高效。
缺点
追赶法的适用范围有限，仅适用于系数矩阵为三对角矩阵的线性方程组。此外， 当系数矩阵不满足对角占优等条件时，追赶法可能无法收敛或收敛速度较慢。
Part
02
三对交线方程组数学模型建立
问题描述与定义
三对交线方程组
在二维平面上，给定三对直线，每对直线相交于一个点，这三对交线构成的方程组称为三对交线方程 组。
求解目标
通过给定的三对交线信息，求解出这三对直线的交点坐标。
数学模型构建方法
直线方程表示
在二维平面上，一条直线可以用一般式方程 $Ax + By + C = 0$ 表示，其中 $A, B$ 不同时为0。
THANKS
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回代过程
从最后一个方程开始，依次将已知量代入方程求 解，得到未知量的值。此过程称为回代过程。
关键算法实现技巧
存储优化
追赶法中的系数矩阵是三对角 的，因此可以采用一维数组进 行存储，节省存储空间。
消元技巧
在消元过程中，需要注意消元 顺序和消元系数的选择，以确 保消元过程的稳定性和效率。
回代技巧
在回代过程中，需要按照正 确的顺序将已知量代入方程 求解，避免计算错误。
追赶法解三对角方程组
追赶法解三对角方程组追赶法解三对角方程组，这个话题听起来可能有点复杂，但其实就像我们生活中的许多事情一样，慢慢来就好。
想象一下你在追一个小兔子，兔子在草地上跳来跳去，你得不断调整自己的步伐来追上它。
三对角方程组就是在数学世界里，跟兔子玩追逐游戏。
咱们一般能看到这种方程组，它们的特点就是在主对角线上有一堆数字，旁边的对角线上也有一些数值，但其它地方几乎是空空如也，就像你打麻将时，只留下了几张关键牌，剩下的都是一些废牌。
现在，追赶法就像是一个巧妙的游戏规则，帮助我们一步一步地找到答案。
想象一下，你正在和朋友们进行一场比赛，谁先找到那个隐秘的宝藏。
你得从第一个数开始，就像你起跑一样，注意，别一开始就猛冲。
我们得保持节奏，先一步一步来，找到第一个关键点，然后再往下走。
这个过程里，你可以把每一步都记下来，像是在记录比赛中的每个进展。
你想想，咱们在生活中也常常得这样做，设定目标，逐步达成，每一步都得仔细琢磨。
咱们得来点技巧。
追赶法的核心就是，把大问题分解成小问题，就像吃西瓜时，先切成小块再慢慢享受。
你可以设定一个起始值，这样在解决下一个未知数时，就能依赖上一个已知数，就像你依靠老朋友的支持一样。
不得不提，咱们在追逐的过程中，千万别心急，急了可就容易出错。
就像考试前的复习，细水长流，耐心点，结果自会水到渠成。
这个追赶法就像是打游戏，越玩越熟练。
一开始可能有些不知所措，后来你就会发现，哎呀，其实这没什么大不了的。
你可以通过逐步替换这些值，把复杂的方程组慢慢简化，就像逐步解锁一个个关卡，最终达到终点。
当你完成的时候，心里那种成就感，就像打通了所有关卡，获得了最终大奖，爽得不得了。
在实际应用中，三对角方程组其实也常常出现在工程、物理等等领域。
这就像是大厨在厨房里，调配各种材料做出一道美味佳肴，关键是每种材料的比例得掌握好。
若是调配失误，那可就大功告成后，变成了一锅糊糊。
所以，在应用追赶法时，要时刻保持清晰的思路，别让小问题影响大局。
追赶法(Thomas算法)
定理1：满足引理1条件的三对角方阵A有如下形式的 唯一的克劳特分解。
p1 a2 p2
1 q1
1 q2A Nhomakorabea
a3 pn1
an
pn
=PQ
1 qn1
1
其中
qpi1
b1 ci
pi
i 1,2,, n 1
得
xi yi qi xi1
i n 1,,2,1
作业：
P50 习题11
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yi fi ai yi1 / pi i 2,3,, n
(2) 解Qx y
1
q1 1
q2
1
qn1
1
x1 x2
y1 y2
xn yn
xn yn
pi
bi
aiqi1
i 2,3,, n
解三对角线方程组 Ax f可化为求解两个三角形 方程组
Py f Qx y
(1) 解Py f
p1
f1
a2 p2
f2
(P, f )
a3
f3
pn1 an
pn
f
n
得
y1 f1 / p1
追赶法专题知识
xn xk
yn / un ( yk ck
xk 1 )
/
uk
(k n 1, n 2,
,1)
追赶法的基本思想与Gause消去法及三角分解法相同,只
是由于系数中出现了大量的零,可使计算公式简化,减少了计
算量。可证,当系数矩阵为严格对角占优时,此方法具有良好的
数值稳定性。
3
追赶法
实际上，追赶法旳求解过程就是将系数矩阵 分解两个简朴旳二对角矩阵，从而归结为求解两 个简朴方程组旳过程。
此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线
上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。
1
追赶法（续）
定理：设三对角方程组系数矩阵满足下列条件：
b1 bi
c1 ai
0 ci
bn
an
0
则它可分解为
aici 0(i 2, 3,
, n 1)
1 l2 1
u1 c1
u2 c2
A LU
l3 1
ln 1
cn
1
un
其中ci (i 1, 2, , n 1)为已给出的，且分解是唯一的
2
追赶法旳计算公式
A LU分解公式：
uli1
b1 ai
/
ui1
(i 2,3,
, m)
ui bi ci1li
解Ly d得：
y1 d1
yk
dk
lk yk1
(k 2,3,
, n)
再解Ux y得:
追赶法
在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方 程边值问题，常常会遇到求解以下形式的方程组
b1 c1 a2 b2 c2
x1 d1
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追赶法（续）
定理：设三对角方程组系数矩阵满足下列条件： b1 c1 0 bi ai ci b a 0 n n 则它可分解为 1 u1 c1 l 1 u c 2 2 2 A LU l3 1 cn 1 ln 1 un 其中ci (i 1, 2, , n 1)为已给出的，且分解是唯一的
追赶法
在数值计算中，如三次样条插值或用差分方法解常微分方 程边值问题，常常会遇到求解以下形式的方程组 b1 c1 x1 d1 a b c x d 2 2 2 2 2 a b c i i i xi di 简记 Ax d . an 1 bn 1 cn 1 xn 1 d n 1 x d a b n n n n 此系数矩阵的非零元素集中分布在主对角线及其相邻两次对角线 上，称为三对角矩阵。方程组称为三对角方程组。
2
ai ci 0(i 2,3, , n 1)
追赶法的计算公式
u1 b1 A LU 分解公式： li ai / ui 1 (i 2,3, , m) u b c l i i i 1 i y1 d1 解Ly d 得： yk d k lk yk 1 (k 2,3, , n) xn yn / un 再解Ux y得: xk ( yk ck xk 1 ) / uk (k n 1, n 2, ,1) 追赶法的基本思想与Gause消去法及三角分解法相同,只 是由于系数中出现了大量的零,可使计算公式简化,减少了计 算量。可证,当系数矩阵为严格对角占优时,此方法具有良好的 数值稳定性。解过程就是将系数矩阵
分解两个简单的二对角矩阵，从而归结为求解两 个简单方程组的过程。
A
上述定理也表明，追赶法的原理和高斯消去
法相同，但考虑到方程组的特点，计算时会把大 量零元素撇开，从而大大节省计算量。
4
追赶法例题
例 用追赶法解下面三对角方程组
3 1 0 0 x1 10 1 4 1 0 x 11 2 0 1 6 1 x3 30 0 0 2 8 x4 48
5