三角函数及解三角形高考模拟考试题精选含详细答案

三角函数与解三角形高考试题精选
一．解答题（共31小题）
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=
（a2﹣b2﹣c2）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
3．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；
（2）若a=，求△ABC的面积．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
8．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
9．设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．
10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．
14．△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
15．△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．
16．四边形ABCD的角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．
（1）求C和BD；
（2）求四边形ABCD的面积．
17．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；
（2）若cosB=，求cosC的值．
19．设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值围．
20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．
21．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．
22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．
23．已知a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．
（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．
26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．
（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．
（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．
28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值
（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．
29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．
30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求c的值．
三角函数与解三角形高考试题精选
参考答案与试题解析
一．解答题（共31小题）
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=+．（Ⅰ）证明：a+b=2c；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：由得：
；
∴两边同乘以cosAcosB得，2（sinAcosB+cosAsinB）=sinA+sinB；
∴2sin（A+B）=sinA+sinB；
即sinA+sinB=2sinC（1）；
根据正弦定理，；
∴，带入（1）得：；
∴a+b=2c；
（Ⅱ）a+b=2c；
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=4c2；
∴a2+b2=4c2﹣2ab，且4c2≥4ab，当且仅当a=b时取等号；
又a，b＞0；
∴；
∴由余弦定理，=；
∴cosC的最小值为．
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知asinA=4bsinB，ac=
（a2﹣b2﹣c2）．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．
【解答】（Ⅰ）解：由，得asinB=bsinA，
又asinA=4bsinB，得4bsinB=asinA，
两式作比得：，∴a=2b．
由，得，
由余弦定理，得；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入asinA=4bsinB，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，
∴．
于是，，
故．
3．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜π，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，
即2cosCsin（π﹣（A+B））=sinC
2cosCsinC=sinC
∴cosC=，
∴C=；
（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，
∴（a+b）2﹣3ab=7，
∵S=absinC=ab=，
∴ab=6，
∴（a+b）2﹣18=7，
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为5+．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知cosA=，sinB=C．（1）求tanC的值；
（2）若a=，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵A为三角形的角，cosA=，
∴sinA==，
又cosC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=cosC+sinC，
整理得：cosC=sinC，
则tanC=；
（2）由tanC=得：cosC====，
∴sinC==，
∴sinB=cosC=，
∵a=，∴由正弦定理=得：c===，
则S△ABC=acsinB=×××=．
5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；
（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．
【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，
∴由正弦定理得：，
∴=，
∵sin（A+B）=sinC．
∴整理可得：sinAsinB=sinC，
（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．
sinA=，=
+==1，=，
tanB=4．
6．在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．
（1）求BC的长；
（2）求sin2C的值．
【解答】解：（1）由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA=4+9﹣2×2×3
×=7，
所以BC=．
（2）由正弦定理可得：，则sinC===，
∵AB＜BC，BC=，AB=2，角A=60°，在三角形ABC中，大角对大边，大边对大角，＞2，
∴角C＜角A，角C为锐角．sinC＞0，cosC＞0则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．
（Ⅰ）求a和sinC的值；
（Ⅱ）求cos（2A+）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在三角形ABC中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC的面积为3，可得：，
可得bc=24，又b﹣c=2，解得b=6，c=4，由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得a=8，，解得sinC=；
（Ⅱ）cos（2A+）=cos2Acos﹣sin2Asin==．
8．△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行，
所以asinB﹣=0，由正弦定理可知：sinAsinB﹣sinBcosA=0，因为sinB ≠0，
所以tanA=，可得A=；
（Ⅱ）a=，b=2，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得7=4+c2﹣2c，解得c=3，
△ABC的面积为：=．
9．设△ABC的角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且b=3，c=1，△ABC的面积为，求cosA与a的值．
【解答】解：∵b=3，c=1，△ABC的面积为，
∴=，
∴sinA=，
又∵sin2A+cos2A=1
∴cosA=±，
由余弦定理可得a==2或2．
10．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=，EA=2，∠ADC=，∠BEC=．
（Ⅰ）求sin∠CED的值；
（Ⅱ）求BE的长．
【解答】解：（Ⅰ）设α=∠CED，
在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+ED2﹣2CD•DEcos∠CDE，
即7=CD2+1+CD，则CD2+CD﹣6=0，
解得CD=2或CD=﹣3，（舍去），
在△CDE中，由正弦定理得，
则sinα=，
即sin∠CED=．
（Ⅱ）由题设知0＜α＜，由（Ⅰ）知cosα=，
而∠AEB=，
∴cos∠AEB=cos（）=cos cosα+sin sinα=，
在Rt△EAB中，cos∠AEB=，
故BE=．
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=，求角A的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∴sinB+sin（A+B）=2sinAcosB
∴sinB+sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B）
∵A，B是三角形中的角，
∴B=A﹣B，
∴A=2B；
（Ⅱ）解：∵△ABC的面积S=，
∴bcsinA=，
∴2bcsinA=a2，
∴2sinBsinC=sinA=sin2B，
∴sinC=cosB，
∴B+C=90°，或C=B+90°，
∴A=90°或A=45°．
12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．（1）求tanC的值；
（2）若△ABC的面积为3，求b的值．
【解答】解：（1）∵A=，∴由余弦定理可得：，∴b2﹣a2=bc﹣c2，
又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，
∴a2=b2﹣=，即a=．
∴cosC===．
∵C∈（0，π），
∴sinC==．
∴tanC==2．
或由A=，b2﹣a2=c2．
可得：sin2B﹣sin2A=sin2C，
∴sin2B﹣=sin2C，
∴﹣cos2B=sin2C，
∴﹣sin=sin2C，
∴﹣sin=sin2C，
∴sin2C=sin2C，
∴tanC=2．
（2）∵=×=3，
解得c=2．
∴=3．
13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．
（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；
（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，
∴c=8﹣（a+b）=，
∴由余弦定理得：cosC===﹣；
（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，
∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，
∴sinA+sinB=3sinC，
利用正弦定理化简得：a+b=3c，
∵a+b+c=8，
∴a+b=6①，
∵S=absinC=sinC，
∴ab=9②，
联立①②解得：a=b=3．
14．△ABC的角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
利用正弦定理化简得：2sinB=sinA+sinC，
∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），
∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
∴cosB==≥=，
当且仅当a=c时等号成立，
∴cosB的最小值为．
15．△ABC的角A、B、C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）若a，b，c成等差数列，证明：sinA+sinC=2sin（A+C）；（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，且c=2a，求cosB的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵a，b，c成等差数列，
∴a+c=2b，
由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB，
∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），
则sinA+sinC=2sin（A+C）；
（Ⅱ）∵a，b，c成等比数列，
∴b2=ac，
将c=2a代入得：b2=2a2，即b=a，
∴由余弦定理得：cosB===．
16．四边形ABCD的角A与C互补，AB=1，BC=3，CD=DA=2．（1）求C和BD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【解答】解：（1）在△BCD中，BC=3，CD=2，
由余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC•CDcosC=13﹣12cosC①，在△ABD中，AB=1，DA=2，A+C=π，
由余弦定理得：BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA=5﹣4cosA=5+4cosC②，
由①②得：cosC=，
则C=60°，BD=；
（2）∵cosC=，cosA=﹣，
∴sinC=sinA=，
则S=AB•DAsinA+BC•CDsinC=×1×2×+×3×2×=2．
17．△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB=；
（2）由（1）可知sinB=，
∵S△ABC=ac•sinB=2，
∴ac=，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．
18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b+c=2acosB．（1）证明：A=2B；
（2）若cosB=，求cosC的值．
【解答】（1）证明：∵b+c=2acosB，
∴sinB+sinC=2sinAcosB，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinB=sinAcosB﹣cosAsinB=sin（A﹣B），由A，B∈（0，π），
∴0＜A﹣B＜π，∴B=A﹣B，或B=π﹣（A﹣B），化为A=2B，或A=π（舍去）．∴A=2B．
（II）解：cosB=，∴sinB==．
cosA=cos2B=2cos2B﹣1=，sinA==．
∴cosC=﹣cos（A+B）=﹣cosAcosB+sinAsinB=+×=．
19．设△ABC的角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；
（Ⅱ）求sinA+sinC的取值围．
【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，
∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）
又B为钝角，∴+A∈（，π），
∴B=+A，∴B﹣A=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，
∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A
=﹣2（sinA﹣）2+，
∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，
∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤
∴sinA+sinC的取值围为（，]
20．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．
【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，
所以sinA+cosA=①，结合平方关系sin2A+cos2A=1②，
由①②解得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，
解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；
②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，
所以a=2c，又ac=2，所以c=1．
21．设△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a=btanA．
∴=tanA，
∵由正弦定理：，又tanA=，
∴=，
∵sinA≠0，
∴sinB=cosA．得证．
（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由（1）sinB=cosA，
∴sin2B=，
∵0＜B＜π，
∴sinB=，
∵B为钝角，
∴B=，
又∵cosA=sinB=，
∴A=，
∴C=π﹣A﹣B=，
综上，A=C=，B=．
22．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．
（1）求；
（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．
【解答】解：（1）如图，过A作AE⊥BC于E，
∵==2
∴BD=2DC，
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAC
在△ABD中，=，∴sin∠B=
在△ADC中，=，∴sin∠C=；∴==．…6分
（2）由（1）知，BD=2DC=2×=．
过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
∵AD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∴==2，
∴AB=2AC，
令AC=x，则AB=2x，
∵∠BAD=∠DAC，
∴cos∠BAD=cos∠DAC，
∴由余弦定理可得：=，
∴x=1，
∴AC=1，
∴BD的长为，AC的长为1．
23．已知a，b，c分别是△ABC角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．（Ⅰ）若a=b，求cosB；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．
【解答】解：（I）∵sin2B=2sinAsinC，
由正弦定理可得：＞0，
代入可得（bk）2=2ak•ck，
∴b2=2ac，
∵a=b，∴a=2c，
由余弦定理可得：cosB===．
（II）由（I）可得：b2=2ac，
∵B=90°，且a=，
∴a2+c2=b2=2ac，解得a=c=．
∴S△ABC==1．
24．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC
（Ⅰ）求．
（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．
【解答】解：（Ⅰ）如图，
由正弦定理得：
，
∵AD平分∠BAC，BD=2DC，
∴；
（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，
∴，
由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，
∴tan∠B=，即∠B=30°．
25．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．
【解答】解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，
代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，
∴cosA===；
（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形角，
∴sinA==，
∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=，
则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=．
26．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a=3，cosA=，B=A+．（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵cosA=，
∴sinA==，
∵B=A+．
∴sinB=sin（A+）=cosA=，
由正弦定理知=，
∴b=•sinB=×=3．
（Ⅱ）∵sinB=，B=A+＞
∴cosB=﹣=﹣，
sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×（﹣）+×=，∴S=a•b•sinC=×3×3×=．
27．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．
（1）若sin（A+）=2cosA，求A的值．
（2）若cosA=，b=3c，求sinC的值．
【解答】解：（1）因为，
所以sinA=，
所以tanA=，
所以A=60°
（2）由
及a2=b2+c2﹣2bccosA
得a2=b2﹣c2
故△ABC是直角三角形且B=
所以sinC=cosA=
28．在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC （1）求cosA的值
（2）若a=1，cosB+cosC=，求边c的值．
【解答】解：（1）由余弦定理可知2accosB=a2+c2﹣b2；2abcosc=a2+b2﹣c2；代入3acosA=ccosB+bcosC；
得cosA=；
（2）∵cosA=
∴sinA=
cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC=﹣cosC+sinC ③
又已知cosB+cosC=代入③
cosC+sinC=，与cos2C+sin2C=1联立
解得sinC=
已知a=1
正弦定理：c===
29．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；
（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．
【解答】解：（1）∵bsinA=a•cosB，由正弦定理可得：sinBsinA=sinAcosB，∵sinA≠0，∴sinB=cosB，
B∈（0，π），
可知：cosB≠0，否则矛盾．
∴tanB=，∴B=．
（2）∵sinC=2sinA，∴c=2a，
由余弦定理可得：b2=a2+c2﹣2accosB，
∴9=a2+c2﹣ac，
把c=2a代入上式化为：a2=3，解得a=，
∴．
30．在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．
（Ⅰ）求cosA的值；
（Ⅱ）求c的值．
【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，
利用正弦定理可得，即=．
解得cosA=．
（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即9=+c2﹣2×2×c×，
即c2﹣8c+15=0．
解方程求得c=5，或c=3．
当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，
△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．
当c=5时，求得cosB==，cosA==，
∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．
综上，c=5．。