几何中最值问题专题复习教学设计

几何中最值问题专题复习教学设计

开江中学实验学校刘佳莉

教材分析：

几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,运用“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“二次函数最值”等知识源,实现问题的转化与解决.

教学目标：

知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源（见教学设计中的标题），明确解决最值问题的思考方向。

重点知识与命题特点

最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点,求相关线段、线段之和差、面积等最大与最小值.此类问题涉及的知识要点有以下方面: ①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④二次函数的最值问题.命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查.

核心思想方法

由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法．解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。

教学过程

一、问题导入

我们所学的知识体系中，有哪些与最大值或最小值有关联的知识？

①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④二次函数的最值问题.

师：我们把这些知识点称为求几何中最值的知识源.

二、真题讲解

真题示例1

1.（2016·福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，

若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）

A．1 B．2 C.3 D．4

【题型特征】利用轴对称求最短路线问题

【示范解读】此类利用轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景,如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图，利用轴对称性找出对应线段之间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是“小河”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2），结合其他相关知识加以解决.

（图1）

真题示例2（2016·四川内江）如图1所示，已知点C(1，0)，直线y ＝－x ＋7与两坐标轴分别交于A ，B 两点，D ，E 分别是AB ，OA 上的动点，则△CDE 周长的最小值是______．

【解题策略】

1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；

2.学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上．

真题（组）示例3

例3如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4,BC=5,P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为 .

【题型特征】利用垂线段最短求线段最小值问题

1．如图1 ，在矩形ABCD 中 ，AB=10 , BC=5 ． 若点M 、N 分别是线段ACAB 上的两个动点 ， 则BM+MN 的最小值为（ ）

A ． 10

B ． 8

C ． 53

D ． 6 真题（组）示例4

1.（2012宁波）如图2，△ABC 中，︒=∠60BAC ，︒=∠45ABC ，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 .

(图2) (图

3)

x y O (图1) C B A E D C 1 C 2 ·A 草地

河流 ·A

·A

M N (图2)

【示范解读】⊙O的大小随着AD的变化而变化,在此变化过程中,圆周角∠BAC 的度数始终保持不变,而线段EF即为⊙O中60°圆周角所对的弦,弦EF的大小随⊙O直径变化的变化而变化,当圆O的直径最小时，60度圆心角所对的弦长最短，即转化为求AD的最小值,由垂线段最短得出当AD⊥BC时,AD最短.

【解题策略】

1.观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，

2.画图转化，根据内在联系转化相关线段,应用“垂线段最短”求出相关线段的最小值.

真题（组）示例5

1．（2016江苏常州）如图6，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；

（2）长度为2的线段PQ在线段OA（不包括端点）上滑动，分别过点P、Q 作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1，求四边形PQQ1P1面积的最大值；

(图6)

【题型特征】利用二次函数的性质求最值问题

【解题策略】

此类问题中，无法通过轴对称或画草图得出何时所求线段或面积的最值，可以通过设相应点的坐标，运用函数思想，建立函数模型，最终通过二次函数的最值原理求出相应的最值.

1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度；

2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质理求出相应的最值.

三、专题总结

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．复习时既要注重对基本知识源的理解与建构，更要注重对相关知识源的综合与整合。在解决本类题型时我们要学会动中觅静，即要分析总结图形中动点在运动过程中不变元素，探寻那些隐含的、在运动变化中的不变量或不变关系．通过不变关系建立相关模型实现最值的转化。