数理方程参考答案4第四章 积分变换法

三、典型例题
例1 设 a 是正的实常数，证明
证明
a eiω x dω . 2 a +ω 利用傅里叶变换与逆变换的定义，有 e − a|x| =
π∫
1
∞
−∞
2
F [e − a|x| ] = ∫ e − a|x|e − iω x dx
−∞
∞
和
e − a|x| =
而
∞
1 2π
∫
∞
−∞
F [e − a|x| ]eiω x dω .
0
∞
= 2 Re
{∫ e
∞ 0
− a ( x +iω ) x
dx
}
1 = 2 Re a + iω 2a ， = 2 a + ω2
将以上结果代入①式可得
e − a|x| =
例 2 求解热传导方程
π∫
1
∞
−∞
a eiω x dω . 2 a +ω
2
∂u ∂ 2u − a2 = 0 ( −∞ < x < ∞, t > 0) ∂t ∂x 2 的初值问题，已知初始温度为 u |t =0 = sin x 。 解 对方程和初始条件关于 作傅里叶变换，记
上分段连续，则 ， 其中 是函数 的 在 上分段
的拉普拉斯变换变换存在， 且对 Re λ > α ， 有 增长阶。一般地，如果 , ,…, 连续，则 在
上连续且不超过指数增长，
的拉普拉斯变换变换存在，且有
5
.
性质 5（积分性质）
性质 6（乘多项式性质） 性质 7 （延迟性质） 数 其中 是以下所定义的阶梯函
的解为
，…………………………. ② 其中
3
称为热核，也称为一维热传导方程初值问题的基本解。 定理 如果函数 在 时， 关于 上连续且有界，则由②给出的函数 无穷次连续可微。 是初值问题①
的古典解，且当
无限长杆上的热传导问题 ∂u ∂ 2u a 2 2 f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0), = − ………………………③ ∂x ∂t u | = ϕ ( x). t =0 的解为 u ( x, t ) 定理 1 2a π t
都收敛，则称该积分为 与 的卷积。记为 .
性质 8（卷积性质） 或者 性质 9（像函数的卷积性质） 或者 性质 10（Parseval 等式） .
傅里叶变换的应用 一维热传导方程的初值问题
2 ∂u 2 ∂ u 0 (−∞ < x < +∞, t > 0), −a = …………………………① ∂x 2 ∂t u | = ϕ ( x). t =0
4
拉普拉斯变换及其逆变换的定义 定义 设函数 定义在 上，对于复数 ，如果含参变量 的广义积分
收敛，则称该积分为函数 的像函数。 定理 若函数 使得 数 的增长阶。 如果 原函数。它的形式是 在 ，则
的拉普拉斯变换，记为
，或
。也称 是
上分段连续且不超过指数型增长，即存在常数
和
，
的拉普拉斯变换对于满足 Re λ > α 的所有 都存在。 称常数 为函
其中 ， 是任意常数。 性质 2（相似性质） 对于任意实常数 ，有 . 性质 3（位移性质）对于任意实常数 ，有 , 性质 4（微分性质）设 ， 的傅里叶变换存在，则 . 一般地，若 , ,…, 的傅里叶变换存在，则 . 性质 5（乘多项式性质）设 的傅里叶变换存在，则
2
.
. 性质 6 (积分性质) . 性质 7 (对称性质) . 定义 于所有的 设函数 和 是 上定义的函数。 如果广义积分 对
2 2
∫
∞
−∞
e
−
s2 4 a 2t
sin( x − s )ds
2
s ∞ − s2 ∞ − 2 4a t 4a t sin cos d cos x sin sds e x s s e = − ∫−∞ ∫ −∞ 2a π t
2
sin x ∞ − 4 a 2t cos sds e = a π t ∫0 sin x 1 − a 2t 4π a 2t e = a πt 2 = e − a t sin x .

p

1
例 4 解常微分方程的初值问题
8
n 2π 2a 2 + T '' t T (t ) = f ( t )， ( ) l2 T ( 0 ) 0, = = T ' ( 0) 0 . 解 对 t 进行拉普拉斯变换 , 设 F (λ ) L = = f ( t ) , T ( λ ) L [T (t )] ，则
ˆ 利用傅里叶变 F [sin x ] = ϕ
换的微分性质，有
7
ˆ du 2 2 ˆ =0, t > 0, +a ω u dt ˆ. ˆ |t =0 = ϕ u
求解以上带参数 的常微分方程，得
对上式作傅里叶逆变换，并运用卷积性质得到
ˆ (ω, t )] u ( x , t ) = F −1 [ u = sin x * F −1[e − a ω t ] = 1 2a π t 1
∫
∞
−∞
ϕ (ξ ) e
在
−
( x −ξ )2 4a t
2
1 dξ + 2a π
∫ dτ ∫
0
t
∞
−∞
f (ξ ,τ ) − 4 a2 (t −τ ) e dξ ………..……④ t −τ 在 上连续且
( x −ξ )2
如果函数
上连续且有界， 是初值问题③的古典解。
有界。则由④给出的函数 一维波方程的初值问题
∫
b
a
K ( s, x ) f
( x )dx = F ( s )
定义了一个从 f ( x ) 到 F (s ) 的变换，称为积分变换, K (s, x ) 为变换的核。 在具体的变换中， K (s, x ) 具有不同的表现形式，对 f ( x ) 有具体的要求。常用的积分变 换有傅里叶变换和拉普拉斯变换。 定理（傅里叶积分定理） 若函数 f ( x) 在 (−∞, +∞) 上的任意有限区间上满足狄利克雷条 件，即满足： （1） 在区间上连续或只有有限个第一类间断点, （2） 在区间上至多有有限个极值点， 且在 (−∞, +∞) 上绝对可积，那么对任意 x ∈ (−∞, +∞) 有
二、知识总结
傅里叶变换及其逆变换的定义 定义 假设 I 是数集(实数或者复数)，K (s, x ) 为 I × [a, b] 上的函数,这里 [a, b] 为任意区间。
如果函数 f (x ) 在区间 [a, b] 有定义并且对任意 s ∈ I , K ( s, x ) 和f ( x ) 为 [a, b] 上可积函数, 则 含参变量积分
性质 8（初值定理） 性质 9（终值定理） 性质 10（卷积性质）称 或者 拉普拉斯变换及其逆变换的应用 半无界热传导方程的定解问题
2 ∂u 2 ∂ u − = 0 ( x > 0, t > 0), a ∂t ∂x 2 u | = 0, t =0 u x =0 = f (t ).
解
(方法一) 拉普拉斯变换法。取
，记
，
，对于方程和
边值条件关于 作拉普拉斯变换，得 ˆ − ϕ ( x) − a 2 λu 即 ˆ λ d 2u 1 ˆ] = ˆ + 2 [ϕ ( x ) + f 0, − 2u 2 dx a a
9
ˆ ˆ d 2u = f , 2 dx
把 看作是参数，利用常数变异法, 得到它的通解是 ˆ( x, λ ) u = 1 2a λ x − ∫−∞ ϕ (ξ )e
故对 T ( λ ) 取拉普拉斯逆变换得
T ( t ) = L −1 T ( λ ) nπ a l t = nπ a ∫0 = l
(
)
f ( t ) ∗ sin
nπ a t l nπ a f (τ ) sin (t − τ )dτ . l
例5
求解下列无限长杆上的热传导问题
2 ∂u 2 ∂ u a f ( x, t ) (−∞ < x < +∞, t > 0), = − ∂x 2 ∂t u | = ϕ ( x). t =0
..................................... ①
F [e − a|x| ] = ∫ e − a|x|e − iω x dx
−∞ ∞
=
∫
−∞
e − a|x| cos ω xdx − i ∫ e − a|x| sin ω xdx
−∞
∞
= 2 ∫ e − ax cos ω xdx
λ ( x −ξ )
a
dξ + ∫ ϕ (ξ )e
x a ∞ ^
∞
λ ( x −ξ )
a
dξ
λ ( x −ξ )
a
− 1 x ^ + ∫−∞ f (ξdξ + ∫ f (ξ , λ )e
x
dξ .
由拉普拉斯变换表知 1 − L e λ
第四章 积分变换法
一、重点难点分析
分变换法是求解无界区域上定解问题的有效方法，其基本思想是通过函数的积分变换， 把微分运算转化为代数运算，从而减少偏微分方程中自变量的个数，将线性偏微分方程变为 含有较少变量的线性偏微分方程、常微分方程或代数方程，最终使问题得到简化。 学习本章应以下列两个方面为重点：一是两种积分变换——傅里叶变换和拉普拉斯变换 的定义、性质；二是两种积分变换法在求解无界区域上定解问题的应用。 本章的难点是傅里叶逆变换和拉普拉斯逆变换的计算，需要掌握相关的性质和一些基本 函数的积分变换。