概率论与数理统计(浙大版)第五章第六章课件
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概率论与数理统计(浙江大学版本)
A1 : “至少有一人命中目标 ” :
ABC A6 : “三人均未命中目标” : B C A
A5 : “三人均命中目标” :
1.2 概率的定义及其运算
从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 发生的可能性大小的量 P（A）应具有何种性质？
* 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1；
(2) fn(S)＝1； fn( )=0
(3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率
1.3.2. 概率的公理化定义
A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
N ( A) 7 P( A) N () 8
二、古典概型的几类基本问题 复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法。 （也可推广到分若干步）
i 1
Ai
n
3.积事件(p4) :事件A与事件B同时发生， 记作 AB＝AB
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
4.差事件(5) ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发 生而事件B不发生
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互斥的事件（也称互不相容事件）(p4) 即事件与事件不可能同时发生。AB＝
P p m
n m n
某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天
ABC A6 : “三人均未命中目标” : B C A
A5 : “三人均命中目标” :
1.2 概率的定义及其运算
从直观上来看，事件A的概率是描绘事件A 发生的可能性大小的量 P（A）应具有何种性质？
* 抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ * 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ * 向目标射击，命中目标的概率有多大？
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1；
(2) fn(S)＝1； fn( )=0
(3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件A的概率
1.3.2. 概率的公理化定义
A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
N ( A) 7 P( A) N () 8
二、古典概型的几类基本问题 复习：排列与组合的基本概念 乘法公式：设完成一件事需分两步， 第一步有n1种方法,第二步有n2种方法， 则完成这件事共有n1n2种方法。 （也可推广到分若干步）
i 1
Ai
n
3.积事件(p4) :事件A与事件B同时发生， 记作 AB＝AB
3’n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作 A1A2…An
4.差事件(5) ：A－B称为A与B的差事件,表示事件A发 生而事件B不发生
思考：何时A-B=?何时A-B=A？
5.互斥的事件（也称互不相容事件）(p4) 即事件与事件不可能同时发生。AB＝
P p m
n m n
某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天
概率论与数理统计(浙大版)第五章第六章课件大数定律和中心极限定理
n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
在实用上，n≥30
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
关键词： 总体 个体 样本 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
23
引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信 息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。
24
§1 总体和样本
总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn), n为样本容量 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
在实用上，n≥30
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
n i 1
Xi
b)
(b n ) ( a n ).
n
n
答案：N (, 2 )
关键词： 总体 个体 样本 统计量
2 分布 t 分布 F 分布
23
引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析 和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者 为次 品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信 息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。
24
§1 总体和样本
总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn), n为样本容量 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8 查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969
概率论与数理统计(浙大版)第五章第六章课件资料.
5
随机变量序列依概率收敛的定义
定义5.1：设随机变量序列X1, X2, X3, ,若存在某常数，
使得 0,均有：lim P n
Xn
0,
则称随机变量序列 X n 依概率收敛于常数，
记为：Xn p 。
性质：已知Xn p ，并知函数g(x)在x=处连续，
则g Xn p g
6
定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形：
,
, Xn,
相互独立同分布,Xi ~ b(1, p).
由于nA X1 X 2 X n ,
Pa nA b
( b np ) np(1 p)
( a np ) np(1 p)
由定理5.4,
lim
n
P
nA np np(1 p)
x
x
1
t2
e 2 dt
2
即:nA (近似) ~ N (np源自 np(1 p)). 二项分布和正态分布的关14 系
设随机变量序列X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立，
且具有相同的数学期望和相同的方差 2，
作前n个随机变量的算术平均：Yn
1 n
n k 1
Xk
则 0，有：
lim P
n
Yn
lim
n
P
1 n
n
Xk
k 1
1
证明：由于E
Yn
E
1 n
n k 1
Xk
1 n
n
,
D
Yn
D
1 n
n k 1
则对于任意 0,都有：P
X EX
2 2
定理的等价形式为：P
X
概率论与数理统计(浙大版)第五章第六章课件
2
x
x
2
2
f x dx
12
x f x dx
2 2
D X
2
例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A 出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估 计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不 小于0.90。
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式
大数定律 中心极限定理
1
§1 大数定律
背景
本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
2
定理5.1 契比雪夫不等式： 设随机变量X 具有数学期望E X , 方差D X 2
1 n 证明：由于E Yn E X k 1 n , n k 1 n
n
1 n 1 n 1 n 2 2 D Yn D X k 2 D X k 2 n n n k 1 n k 1
定理5.4 独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1 , X 2 , , X n , 相互独立同分布， E X i , D X i 2 0, i 1, 2, 则前n个变量的和的标准化变量为：Yn
思考题：
X
i 1
n
i
n
n
1 n X Xi的近似 n i=1 分布是什么？
证明： 仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为f x ,
则 P X
f ( x)
x
f x dx
x
x
2
2
f x dx
12
x f x dx
2 2
D X
2
例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A 出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估 计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不 小于0.90。
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式
大数定律 中心极限定理
1
§1 大数定律
背景
本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
2
定理5.1 契比雪夫不等式： 设随机变量X 具有数学期望E X , 方差D X 2
1 n 证明：由于E Yn E X k 1 n , n k 1 n
n
1 n 1 n 1 n 2 2 D Yn D X k 2 D X k 2 n n n k 1 n k 1
定理5.4 独立同分布的中心极限定理
设随机变量X1 , X 2 , , X n , 相互独立同分布， E X i , D X i 2 0, i 1, 2, 则前n个变量的和的标准化变量为：Yn
思考题：
X
i 1
n
i
n
n
1 n X Xi的近似 n i=1 分布是什么？
证明： 仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为f x ,
则 P X
f ( x)
x
f x dx
第五章 大数定律与中心极限定理 《概率论》PPT课件
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
2）中 心极限 定理表明，若 随 机 变 量 序 列
X 1 , X 2 , , X n 独立同分布，且它们的数学期
望及方差存在，则当n充分大时，其和的分布,
n
即 X k 都近似服从正态分布. (注意:不一定是 k 1
标准正态分布）
3）中心定理还表明：无论每一个随机变量 X k ,
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
定理1（Chebyshev切比雪夫大数定律）
假设{ Xn}是两两不相关的随机
变量序列，EXn , DXn , n 1,2, 存在，
其方差一致有界，即 D(Xi) ≤L，
i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
lim P{|
n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi ) | } 1.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
现在我们就来研究独立随机变量之和所 特有的规律性问题.
在概率论中，习惯于把和的分布 收敛于正态分布这一类定理都叫做中心 极限定理.
下面给出的独立同分布随机变量序 列的中心极限定理, 也称列维——林德 伯格（Levy－Lindberg）定理.
概率论与数理统计
§5.2 中心极限定理
大量的随机现象平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
概率论与数理统计
§5.1 大数定律
一、大数定律
阐明大量的随机现象平均结果的稳定性的一系
列定理统称为大数定律。
定义1 如果对于任意 0, 当n趋向无穷时，事件
" Xn X " 的概率收敛到1，即
《概率论与数理统计》浙大内部课件(全套).PPT
S
“和”、“交”关系式
n i 1
A
n
A
Ai＝A1 A2 An；
Ai
n i 1
Ai A1
A2
An；
Ai
n i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则： A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来} A B AB {甲、乙都不来} A B AB {甲、乙至少有一人不来}
16
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
4
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理 和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率 论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的 发展。 法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进， 他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了 更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。 他还证明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”.拉普拉斯于 1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继 往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会 有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术 发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫 提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联 数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理有极重要的地位，现 今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研 究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的 基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极 限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界 许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同 的身高、体重。大批生产的产品，其质量指标各 有差异 。看来毫无规则，但它们在总体上服从正 态分布。这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在， 提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不 少重大的贡献，但在德国10马克的有高斯图像的 钞票上，单只画出了正态曲线，以此可以看出人 们对他这一贡献评价之高。
“和”、“交”关系式
n i 1
A
n
A
Ai＝A1 A2 An；
Ai
n i 1
Ai A1
A2
An；
Ai
n i 1
i 1
例：设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则： A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来} A B AB {甲、乙都不来} A B AB {甲、乙至少有一人不来}
16
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
4
随着18、19世纪科学的发展，人们注意到某些生物、物理 和社会现象与机会游戏相似，从而由机会游戏起源的概率 论被应用到这些领域中，同时也大大推动了概率论本身的 发展。 法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进， 他首先明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了 更有力的数学分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。 他还证明了“煤莫弗——拉普拉斯定理”.拉普拉斯于 1812年出版了他的著作《分析的概率理论》，这是一部继 往开来的作品。这时候人们最想知道的就是概率论是否会 有更大的应用价值？是否能有更大的发展成为严谨的学科 概率论在20世纪再度迅速地发展起来，则是由于科学技术 发展的迫切需要而产生的。1906年，俄国数学家马尔科夫 提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年，前苏联 数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理有极重要的地位，现 今仍在常用的许多统计方法，就是建立在“所研 究的量具有或近似地具有正态分布”这个假定的 基础上，而经验和理论（概率论中所谓“中心极 限定理”）都表明这个假定的现实性，现实世界 许多现象看来是杂乱无章的，如不同的人有不同 的身高、体重。大批生产的产品，其质量指标各 有差异 。看来毫无规则，但它们在总体上服从正 态分布。这一点，显示在纷乱中有一种秩序存在， 提出正态分布的高斯，一生在多个领域里面有不 少重大的贡献，但在德国10马克的有高斯图像的 钞票上，单只画出了正态曲线，以此可以看出人 们对他这一贡献评价之高。
《概率论与数理统计》第六章
所以，X是一个随机变量!
既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。
我们把X的分布称为总体分布。
总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常 把总体和总体分布视为同义语。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
例2
在例1中，假定物体真实长度为(未知)。一般 说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一 些，而离 越远的值被取到的概率就越小。
k=1,2,…
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
它反映了总体k 阶矩的信息
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
统计量的观察值
1 n
x n i1 xi;
s2
1 n 1
n i1
(xi
x )2
s
1 n 1
n i1
(xi
x
)2
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个
体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指 标。
如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温， 加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也
将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全
体。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是： 从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检
样本X1,X2,…,Xn 既被看成数值，又被看成随机变量， 这就是所谓的样本的二重性。
随机样本
例 4 (例2续） 在前面测量物体长度的例子中，如果我们 在完全相同的条件下，独立地测量了n 次，把这 n 次测 量结果，即样本记为
X1,X2,…,Xn .
既然总体是随机变量X，自然就有其概率分布。
我们把X的分布称为总体分布。
总体的特性是由总体分布来刻画的。因此，常 把总体和总体分布视为同义语。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
例2
在例1中，假定物体真实长度为(未知)。一般 说来，测量值X就是总体，取 附近值的概率要大一 些，而离 越远的值被取到的概率就越小。
k=1,2,…
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
它反映了总体k 阶矩的信息
样本k阶中心矩
Bk
1 n
n i 1
(Xi
X )k
它反映了总体k 阶 中心矩的信息
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
统计量的观察值
1 n
x n i1 xi;
s2
1 n 1
n i1
(xi
x )2
s
1 n 1
n i1
(xi
x
)2
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
实际上，我们真正关心的并不一定是总体或个
体本身，而真正关心的是总体或个体的某项数量指 标。
如：某电子产品的使用寿命，某天的最高气温， 加工出来的某零件的长度等数量指标。因此，有时也
将总体理解为那些研究对象的某项数量指标的全
体。
第六章 样本及抽样分布 ‹#›
为评价某种产品质量的好坏，通常的做法是： 从全部产品中随机(任意)地抽取一些样品进行观测(检
样本X1,X2,…,Xn 既被看成数值，又被看成随机变量， 这就是所谓的样本的二重性。
随机样本
例 4 (例2续） 在前面测量物体长度的例子中，如果我们 在完全相同的条件下，独立地测量了n 次，把这 n 次测 量结果，即样本记为
X1,X2,…,Xn .
浙江大学概率论与数理统计(免费)ppt课件
12
(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）
1 A B ： 事 件 A 发 生 一 定 导 致 B 发 生
AB 2A ＝ B BA
B A
S
例： BA 记A={明天天晴}，B={明天无雨}
BA 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
15
§3 频率与概率
(一)频率 n A； f ( A ) 定义：记 n n 其中 n A —A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称f n ( A ) 为A在这n次试验中发生的频率。 例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 1 n；
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
9
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 AB
A与B的积事件，记为 A B ,A B ,A B
A B A B { x | x A 且 x B } ： A 与 B 同 时 发 生 。
n i 1 n i 1
S A B
A B { x | x A 或 x B } ： A 与 B 至 少 有 一 发 生 。
(三) 事件的关系及运算 事件的关系（包含、相等）
1 A B ： 事 件 A 发 生 一 定 导 致 B 发 生
AB 2A ＝ B BA
B A
S
例： BA 记A={明天天晴}，B={明天无雨}
BA 记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车}
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
15
§3 频率与概率
(一)频率 n A； f ( A ) 定义：记 n n 其中 n A —A发生的次数(频数)；n—总试验次 数。称f n ( A ) 为A在这n次试验中发生的频率。 例：
中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频率为 1 n；
不确定性现象
确定性现象：结果确定 不确定性现象：结果不确定
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定 明天天气状况 ——不确定 买了彩票会中奖
9
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性： 1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
BA
13
事件的运算
A与B的和事件，记为 AB
A与B的积事件，记为 A B ,A B ,A B
A B A B { x | x A 且 x B } ： A 与 B 同 时 发 生 。
n i 1 n i 1
S A B
A B { x | x A 或 x B } ： A 与 B 至 少 有 一 发 生 。
概率论与数理统计(浙江大学版本)
随机事件
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所 组成的集合称为样本空间，记为={e}； 2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(10-13) (1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件， 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的 情形；
(3) 互补性：P(A)＝1－ P(A);
(5) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .
某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分 别占全体市民人数的 30%, 其中有 10% 的人同 时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙 报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸 的概率.
随机现象：不确定性与统计规律性
二、样本空间(p2)
1、样本空间：试验的所有可能结果所 组成的集合称为样本空间，记为={e}； 2、样本点: 试验的单个结果或样本空间 的单元素称为样本点,记为e. 3.由样本点组成的单点集称为基本事件, 也记为e.
幻灯片 6
随机事件
1.定义 样本空间的任意一个子集称为随机事件, 简称“ 事件”.记作A、B、C等
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(10-13) (1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件， 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
(4) 加法公式：对任意两事件A、B，有 P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(AB) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，…，An的 情形；
(3) 互补性：P(A)＝1－ P(A);
(5) 可分性：对任意两事件A、B，有 P(A)＝P(AB)＋P(AB ) .
某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分 别占全体市民人数的 30%, 其中有 10% 的人同 时定甲,乙两种报纸.没有人同时订甲乙或乙丙 报纸.求从该市任选一人,他至少订有一种报纸 的概率.
随机现象：不确定性与统计规律性
《概率论与数理统计》课件第五章大数定律及中心极限定理
有极其重要的地位？
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
4.大样本统计推断的理论基础
是什么？
大数定律中心极限定理
随机现象中平均结果的稳定性
大数定律的客观背景
大量抛掷硬币正面出现频率
字母使用频率
生产过程中的废品率
§5.1 大数定律
背景：1. 频率稳定性2. 大量测量结果算术平均值的稳定性
回顾
随机现象的主要研究方法
概率分布
01
证：_x001A__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B_,⋯, _x001A__x001B__x001B_, ⋯相互独立同分布，则_x001A__x001B__x001B__x001B_,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯,_x001A__x001B__x001B__x001B_, ⋯也相互独立同分布,由辛钦大数定律得证.
第五章 大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律§5.2 中心极限定理
要点：用切比雪夫不等式估算概率独立同分布,用中心极限定理计算对于二项分布，当n很大时，计算
本章要解决的问题
1.为何能以某事件发生的频率
作为该事件的概率的估计？
2.为何能以样本均值作为总体
期望的估计？
3.为何正态分布在概率论中占
解：(1)设X表示一年内死亡的人数，则~(, )，其中=，=.%. 设Y表示保险公司一年的利润，=×−.需要求的是_x001A_<_x001B_.
由中心极限定理
_x001A_<_x001B_=_x001A_×−<_x001B_ =_x001A_>_x001B_=−_x001A_≤_x001B_
且，
由中心极限定理
解：设为第i个螺丝钉的重量， 相互独立同分布. 于是，一盒螺丝钉的重量为
概率论与数理统计第五章ppt课件
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8
定理1 (切贝谢夫定理)设1,2,...,是相互独立的随机 变量序列，各有数学期望E1,E2,...及方差D1,D2,... 并且对于所有i=1,2,...Di M,M与i无关，则任给0
limP n
1 n
n i1
i
1 n
n i1
Ei
1
此 定 理 表 明 n 个 独 立 随 机 变 量 的 平 均 值 n 1i n 1 i 依 概 率 收 敛 于 其 数 学 期 望 n 1i n1Ei
E
E (x E 2 )2 (x )d x E (x E 2 )2 (x )d x
(xE)2 2
(x)dx
D 2
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3
例 1设 是 掷 一 颗 骰 子 所 出 现 的 点 数 ， 若 给 定 ＝ 1， 2， 实 际 计 算 P(|-E|),并 验 证 切 贝 谢 夫 不 等 式 成 立 。
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23
例7 每颗炮弹命中飞机的概率为0.01，求500发炮弹 中命中5发的概率。
解 ： 5 0 0 发 炮 弹 中 命 中 飞 机 的 数 目 服 从 二 项 分 布
n=500 p=0.01
np 5
npq 2.225
(1)直接计算
P ( 5 ) C 5 5 0 00 .0 1 5 0 .0 9 4 9 5＝0.17635
第五章 大数定律与中心极限定理
§1 切贝谢夫不等式
研究随机变量的离差与方差的关系。
切贝谢夫不等式： 设 随 机 变 量 有 期 望 值 E 与 方 差 D 。 对 任 给 >0,有 P(|E|)D 2 P(|E|)1D 2
证 ： 若 是 离 散 型 随 机 变 量 ,
概率论与数理统计课件(完整)
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次 试验中实际上几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次试验中竟然发生了，因此有理由 怀疑假设的正确性，从而推断接待站不是每天都接待来访者， 即认为其接待时间是有规定的。
1.3 频率与概率
某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（ A） =？ 定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(8-9) (1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件， 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
种取法.
1、抽球问题
例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
N () C
2 5
1 1 N ( A) C3 C2
CC 3 P( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白 球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有
1.3 频率与概率
某人向目标射击， 以A表示事件“命中目标”， P（ A） =？ 定义:(p8) 事件A在n次重复试验中出现nA次，则 比值nA/n称为事件A在n次重复试验中
(1) P(A) ≥0；
(2) P()＝1；
(3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不 相容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。 (1.1)
2.概率的性质 P(8-9) (1) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An); (2) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) (3)事件差 A、B是两个事件， 则 P(A-B)=P(A)-P(AB)
种取法.
1、抽球问题
例1:设合中有3个白球，2个红球，现从合中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。 解:设A-----取到一红一白
N () C
2 5
1 1 N ( A) C3 C2
CC 3 P( A) 2 C5 5
1 3
1 2
答:取到一红一白的概率为3/5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白 球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有
浙江大学概率论与数理统计第六章
第一节
随机样本
一、总体与个体 二、随机样本的定义 三、小结
一、总体与个体
1. 总体
试验的全部可能的观察值称为总体.
2. 个体
总体中的每个可能观察值称为个体.
实例1 在研究2000名学生的 年龄时, 这些学生的年龄的全 体就构成一个总体, 每个学生 的年龄就是个体.
3. 有限总体和无限总体
实例2 某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的 总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿 命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生 产和今后生产的灯泡寿命. 当有限总体包含的个体的 总数很大时, 可近似地将它看 成是无限总体.
i 1 n
又若 X 具有概率密度 f ,
则 X1 , X 2 ,, X n 的联合概率密度为
f * ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi ).
i 1 n
例4 设总体 X 服从参数为 ( 0) 的指数分
布, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自总体的样本 , 求样本
4. 总体分布
实例3 在2000名大学一年级学生的年龄中, 年 龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”， “19”，“20” 的依次有9，21，132，1207， 588，43 名, 它们在总体中所占比率依次为
9 , 2000 21 132 , , 2000 2000 1207 588 43 , , , 2000 2000 2000
第二节
抽样分布
一、基本概念 二、常见分布
三、小结
一、基本概念
1. 统计量的定义
设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的一个样本, g( X 1 , X 2 ,, X n )是 X 1 , X 2 ,, X n 的函数 , 若 g中 不含未知参数 , 则称 g( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个统 计量.
随机样本
一、总体与个体 二、随机样本的定义 三、小结
一、总体与个体
1. 总体
试验的全部可能的观察值称为总体.
2. 个体
总体中的每个可能观察值称为个体.
实例1 在研究2000名学生的 年龄时, 这些学生的年龄的全 体就构成一个总体, 每个学生 的年龄就是个体.
3. 有限总体和无限总体
实例2 某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的 总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿 命所组成的总体是一个无限总体, 它包括以往生 产和今后生产的灯泡寿命. 当有限总体包含的个体的 总数很大时, 可近似地将它看 成是无限总体.
i 1 n
又若 X 具有概率密度 f ,
则 X1 , X 2 ,, X n 的联合概率密度为
f * ( x1 , x2 , , xn ) f ( xi ).
i 1 n
例4 设总体 X 服从参数为 ( 0) 的指数分
布, ( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自总体的样本 , 求样本
4. 总体分布
实例3 在2000名大学一年级学生的年龄中, 年 龄指标值为“15”，“16”，“17”，“18”， “19”，“20” 的依次有9，21，132，1207， 588，43 名, 它们在总体中所占比率依次为
9 , 2000 21 132 , , 2000 2000 1207 588 43 , , , 2000 2000 2000
第二节
抽样分布
一、基本概念 二、常见分布
三、小结
一、基本概念
1. 统计量的定义
设 X 1 , X 2 ,, X n 是来自总体 X 的一个样本, g( X 1 , X 2 ,, X n )是 X 1 , X 2 ,, X n 的函数 , 若 g中 不含未知参数 , 则称 g( X 1 , X 2 ,, X n ) 是一个统 计量.
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1 n 证明：由于E Yn E X k 1 n , n k 1 n
n
1 n 1 n 1 n 2 2 D Yn D X k 2 D X k 2 n n n k 1 n k 1
大数定律的重要意义： 贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频 率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意 义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的 方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我 们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相 应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估 计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。
1 n 证明：由于E Yn E X k 1 n , n k 1 n
n
1 n 1 n 1 n 2 2 D Yn D X k 2 D X k 2 n n n k 1 n k 1
证明： 仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为f x ,
则 P X
f ( x)
x
f x dx
2
x
x
2
2
f x dx
12
x f x dx
2 2
21
D X
2
定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形 ： 设随机变量序列X1 , X 2 , , X n , 相互独立， 且具有相同的数学期望 和相同的方差 2， 作前n个随机变量的算术平均：Yn 1 X k n k 1 则 0，有： 1 n lim P Yn lim P X k 1 n n n k 1
答案： 0.937
17
例4：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机 器出故障的台数不小于2的概率。
解：设机器出故障的台数为X, 则X b 400,0.02，分别用三种方法计算：
1. 用二项分布计算
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.98400 400 0.02 0.98399 0.9972
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式
大数定律 中心极限定理
1
§1 大数定律
背景
本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
2
定理5.1 契比雪夫不等式： 设随机变量X 具有数学期望E X , 方差D X 2
解：设在n重贝努里试验中，事件A出现的次数为X，
则X b n,0.75 , E X np 0.75n, D X npq 0.1875n, 又 f n A X n 而P 0.74 X 0.76 P X 0.75n 0.01n n 1 0.1875n 1 1875 0.90 2 n 0.01n
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8
3. 用正态分布近似计算
查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969
npq 400 0.02 0.98 2.8 1 np P X 2 1 P( X 1) 1 npq 7 0.9938 2.8
1 n 2 n 由契比雪夫不等式得：P X k 1 2 n k 1
1 n lim P X k 1 n n k 1
[辛钦大数定理（弱大数定理）] 设X1,X2,…, Xn…为独立、同分布的随机变量，且有相同 的数学期望E（Xi）= （i=1,2,…）， 则对>0，有
1 lim P X i 1 n n i 1
n
1 n 或者， 序列 X X i 以概率收敛于 n i=1
即 X
P
03,3,4分
9
定理5.3 贝努里大数定理 设事件A在每次试验中发生的概率为p，记nA为n次独立重复试验 n 中A发生的次数, 则 0, 有： P A p 1 lim n n
n 18750
5
随机变量序列依概率收敛的定义
定义5.1：设随机变量序列X1 , X 2 , X 3 ,, 若存在某常数， 使得 0, 均有： P X n 0, lim 则称随机变量序列 X n 依概率收敛于常数， p 记为：X 。 n
2
x
x
2
2
f x dx
12
x f x dx
2 2
D X
2
例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A 出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估 计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不 小于0.90。
§2 中心极限定理
背景：
有许多随机变量，它们是由大量的相互 独立的随机变量的综合影响所形成的，而其 中每个个别的因素作用都很小，这种随机变 量往往服从或近似服从正态分布，或者说它 的极限分布是正态分布，中心极限定理正是 从数学上论证了这一现象，它在长达两个世 纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。
11
18
作业题
• P95 ：19
19
第五章复习
20
定理5.1 契比雪夫不等式： 设随机变量X 具有数学期望E X , 方差D X 2
2 则对于任意 0, 都有：P X E X 2 2 定理的等价形式为：P X E X 1 2
2 则对于任意 0, 都有：P X E X 2 2 定理的等价形式为：P X E X 1 2
证明： 仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为f x ,
则 P X
f ( x)
x
f x dx
P a nA b b np ( ) np (1 p ) a np ( ) np (1 p )
由于nA X1 X 2 X n ,
2 nA np x t 1 e 2 dt 由定理5.4, lim P x n np(1 p) 2
即： Xi （近似）～N (n , n 2 ),
i＝1
n
答案：N ( ,
2
n
)
从而，P(a X i . n n
02，4，3分
定理5.5 德莫佛--拉普拉斯定理
设nA为n次贝努里试验中A发生的次数，P A p 0 p 1 ,
2 nA np x t 1 e 2 dt ( x), 则对任意x，有： P lim x n np(1 p) 2
1 第i次试验时A发生 证明：令Xi 0 第i次试验时A未发生
则X1 , X 2 ,, X n ,相互独立同分布,Xi ~ b(1, p).
证明：利用契比雪夫不等式，因nA b n, p , 故： n E A 1 E nA 1 np p, D nA 1 D n 1 npq pq A n n2 n n n n n2 n pq 于是， 0, 有P A p 1 2 n n n 即得： P A p 1 lim n n
n X i n 2 x t 1 e 2 dt x R, 有： lim P Yn x lim P i 1 x n n n 2 在实用上，n≥30 证明略。 此定理表明，当n充分大时，Yn 近似服从N 0,1 .
即:nA (近似) ~ N (np, np(1 p)). 二项分布和正态分布的关系 14
示意例图
例2：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互 独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率。
解：记16只电器元件的寿命分别为X1 , X 2 ,, X16 ,
则16只电器元件的寿命总和为X X i ,
2
i 1 16
由题设E X i 100, D X i 100
根据独立同分布的中心极限定理: X 1600 近似服从N 0,1 4 100 400 P X 1920 1 P X 1920 1 1920 1600 400 Y
n
p 性质：已知X ， 并知函数g ( x)在x=处连续， n p 则g X n g
6
定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形 ： 设随机变量序列X1 , X 2 , , X n , 相互独立， 且具有相同的数学期望 和相同的方差 2， 作前n个随机变量的算术平均：Yn 1 X k n k 1 则 0，有： 1 n lim P Yn lim P X k 1 n n n k 1
i 1 i
X
16
16 100
1 0.8 0.2119
16
例3：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元, 若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡 率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。
n
1 n 1 n 1 n 2 2 D Yn D X k 2 D X k 2 n n n k 1 n k 1
大数定律的重要意义： 贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频 率的稳定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意 义，贝努里大数定律还提供了通过试验来确定事件概率的 方法，既然频率nA/n与概率p有较大偏差的可能性很小，我 们便可以通过做试验确定某事件发生的频率并把它作为相 应的概率估计，这种方法即是在第7章将要介绍的参数估 计法，参数估计的重要理论基础之一就是大数定理。
1 n 证明：由于E Yn E X k 1 n , n k 1 n
n
1 n 1 n 1 n 2 2 D Yn D X k 2 D X k 2 n n n k 1 n k 1
证明： 仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为f x ,
则 P X
f ( x)
x
f x dx
2
x
x
2
2
f x dx
12
x f x dx
2 2
21
D X
2
定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形 ： 设随机变量序列X1 , X 2 , , X n , 相互独立， 且具有相同的数学期望 和相同的方差 2， 作前n个随机变量的算术平均：Yn 1 X k n k 1 则 0，有： 1 n lim P Yn lim P X k 1 n n n k 1
答案： 0.937
17
例4：设某工厂有400台同类机器，各台机器发生故障的概 率都是0.02，各台机器工作是相互独立的，试求机 器出故障的台数不小于2的概率。
解：设机器出故障的台数为X, 则X b 400,0.02，分别用三种方法计算：
1. 用二项分布计算
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.98400 400 0.02 0.98399 0.9972
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式
大数定律 中心极限定理
1
§1 大数定律
背景
本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
2
定理5.1 契比雪夫不等式： 设随机变量X 具有数学期望E X , 方差D X 2
解：设在n重贝努里试验中，事件A出现的次数为X，
则X b n,0.75 , E X np 0.75n, D X npq 0.1875n, 又 f n A X n 而P 0.74 X 0.76 P X 0.75n 0.01n n 1 0.1875n 1 1875 0.90 2 n 0.01n
2. 用泊松分布近似计算
np 400 0.02 8
3. 用正态分布近似计算
查表得
P X 2 1 P X 0 P X 1 1 0.000335 0.002684 0.9969
npq 400 0.02 0.98 2.8 1 np P X 2 1 P( X 1) 1 npq 7 0.9938 2.8
1 n 2 n 由契比雪夫不等式得：P X k 1 2 n k 1
1 n lim P X k 1 n n k 1
[辛钦大数定理（弱大数定理）] 设X1,X2,…, Xn…为独立、同分布的随机变量，且有相同 的数学期望E（Xi）= （i=1,2,…）， 则对>0，有
1 lim P X i 1 n n i 1
n
1 n 或者， 序列 X X i 以概率收敛于 n i=1
即 X
P
03,3,4分
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定理5.3 贝努里大数定理 设事件A在每次试验中发生的概率为p，记nA为n次独立重复试验 n 中A发生的次数, 则 0, 有： P A p 1 lim n n
n 18750
5
随机变量序列依概率收敛的定义
定义5.1：设随机变量序列X1 , X 2 , X 3 ,, 若存在某常数， 使得 0, 均有： P X n 0, lim 则称随机变量序列 X n 依概率收敛于常数， p 记为：X 。 n
2
x
x
2
2
f x dx
12
x f x dx
2 2
D X
2
例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A 出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估 计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不 小于0.90。
§2 中心极限定理
背景：
有许多随机变量，它们是由大量的相互 独立的随机变量的综合影响所形成的，而其 中每个个别的因素作用都很小，这种随机变 量往往服从或近似服从正态分布，或者说它 的极限分布是正态分布，中心极限定理正是 从数学上论证了这一现象，它在长达两个世 纪的时期内曾是概率论研究的中心课题。
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作业题
• P95 ：19
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第五章复习
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定理5.1 契比雪夫不等式： 设随机变量X 具有数学期望E X , 方差D X 2
2 则对于任意 0, 都有：P X E X 2 2 定理的等价形式为：P X E X 1 2
2 则对于任意 0, 都有：P X E X 2 2 定理的等价形式为：P X E X 1 2
证明： 仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为f x ,
则 P X
f ( x)
x
f x dx
P a nA b b np ( ) np (1 p ) a np ( ) np (1 p )
由于nA X1 X 2 X n ,
2 nA np x t 1 e 2 dt 由定理5.4, lim P x n np(1 p) 2
即： Xi （近似）～N (n , n 2 ),
i＝1
n
答案：N ( ,
2
n
)
从而，P(a X i . n n
02，4，3分
定理5.5 德莫佛--拉普拉斯定理
设nA为n次贝努里试验中A发生的次数，P A p 0 p 1 ,
2 nA np x t 1 e 2 dt ( x), 则对任意x，有： P lim x n np(1 p) 2
1 第i次试验时A发生 证明：令Xi 0 第i次试验时A未发生
则X1 , X 2 ,, X n ,相互独立同分布,Xi ~ b(1, p).
证明：利用契比雪夫不等式，因nA b n, p , 故： n E A 1 E nA 1 np p, D nA 1 D n 1 npq pq A n n2 n n n n n2 n pq 于是， 0, 有P A p 1 2 n n n 即得： P A p 1 lim n n
n X i n 2 x t 1 e 2 dt x R, 有： lim P Yn x lim P i 1 x n n n 2 在实用上，n≥30 证明略。 此定理表明，当n充分大时，Yn 近似服从N 0,1 .
即:nA (近似) ~ N (np, np(1 p)). 二项分布和正态分布的关系 14
示意例图
例2：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互 独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率。
解：记16只电器元件的寿命分别为X1 , X 2 ,, X16 ,
则16只电器元件的寿命总和为X X i ,
2
i 1 16
由题设E X i 100, D X i 100
根据独立同分布的中心极限定理: X 1600 近似服从N 0,1 4 100 400 P X 1920 1 P X 1920 1 1920 1600 400 Y
n
p 性质：已知X ， 并知函数g ( x)在x=处连续， n p 则g X n g
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定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形 ： 设随机变量序列X1 , X 2 , , X n , 相互独立， 且具有相同的数学期望 和相同的方差 2， 作前n个随机变量的算术平均：Yn 1 X k n k 1 则 0，有： 1 n lim P Yn lim P X k 1 n n n k 1
i 1 i
X
16
16 100
1 0.8 0.2119
16
例3：某保险公司的老年人寿保险有1万人参加，每人每年交200元, 若老人在该年内死亡，公司付给受益人1万元。设老年人死亡 率为0.017，试求保险公司在一年内这项保险亏本的概率。