欧拉临界应力 屈曲计算

2 EI 2.推导： Pcr 2 3.两端铰支压杆的临界力(欧拉公式)： L
4.注意： （1）弯矩以最终平衡位置
（2）I 应为压杆横截面的最小惯性矩
x Pcr x Pcr M(x)=Py y x x y 失 稳 模 式 如 图
挠曲线微分方程： EIy " M( x ) Py 引用记号： k 2 P ，得：y" k 2 y 0 EI 该微分方程的通解为： y Asinkx Bcoskx 式中A、B为积分常数 x 0 y 0 杆的边界条件： x L y 0 B 0 代入通解得： AsinkL 0 sinkL 0
L
P L n (n 0， 1， 2) EI 2 2 P n 2 EI (n 0， 1， 2) L 临界力为最小压力： 2 Pcr EI — 欧拉公式 L2 kL
§11-3 不同杆端约束下细长压杆临界力的 欧拉公式. 压杆的长度系数
欧拉公式的统一形式
2 EI Pcr ( L ) 2
(2)确定许用压力： 由表11-2查得硅钢：a=578MPa，b=3.744MPa， ss=353MPa，计算有关的p和0为：
2E 2 2.1 10 5 p 93 s 240 p a s s 578 353 60 b 3.744 0
L
y
0.7L
x A
利用系数行列式值为零 ，解得： tgkL kL Pcr P kL cr L 4.4 P EI 0.7 2 EI 一端固定一端铰支压杆 临界力的欧拉公式为： Pcr ( 0.7L) 2
QA MA
y
相当于0.7L长两端铰支压杆的临界力
x
Pcr 两端M均不为零。 M 失 x 0：y 0，y ' 0 边界条件： 稳 x L：y 0，y ' 0 模 将边界条件代入统一微 分方程的通解得： 式 1 0 1 C1 0 如 k 0 1 0 C2 图 0 coskL L 1 C 3 sinkL y k coskL k sinkL 1 0 C 4 M 1 coskL 0 利用系数行列式值为零 ，解得： Pcr sinkL 0 P kL cr L 2 EI 2 两端固定压杆临界力的 欧拉公式为： Pcr EI 2 ( 0.5L) 相当于0.5L长两端铰支压杆的临界力 L 0.5L
0
—粗短杆(小柔度杆)
§12-5 压杆的稳定条件 . 提高稳定性的措施
一、安全系数法作稳定校核
1.压杆稳定条件：
N s cr s [s ]st A nst
三方面工作 ：确定许可载荷、稳定性校核、截面尺寸设计
(逼近法)；
确定nst，除考虑确定安全系数的一般原则外，还应考虑压 杆初挠度、荷载偏心等因素影响，故 nst >n。 2 、稳定条件可写成： s [sst]—稳定许用应力；
s cr
[nst ]
[s st ] [s ] 即 s [s ]
[s]—许用压应力；
<1— 折减系数，与柔度和材料有关，可查规范。
例124 确定图示
连杆的许用压力 [Pcr] 。已知连杆横截面面 积 A=720mm2 ， 惯 性 矩 Iz=6.5×104mm4 ， Iy=3.8×104mm4 ， sp=240MPa ， E=2.1×105MPa 。 连 杆用硅钢制成，稳定 安全系数nst=2.5。
x Pcr P cr B B d 相当于2L长两端铰支压杆的临界力
x QB Pcr B 失 稳 模 式 如 图 A端QA、MA及B端QB不为零。 边界条件： x 0：y 0，y ' 0 M(L) x L ： y 0 ， y " 0 EI 将边界条件代入统一微 分方程的通解得： 0 1 0 1 C1 k 0 1 0 C 2 0 coskL L 1 C 3 sinkL 2 2 k sinkL k coskL 0 0 C 4
二、提高稳定性的措施
（一）、从材料方面考虑 1.细长压杆：提高弹性模量E
2.中粗压杆和粗短压杆：提高屈服强度ss
（二）、从柔度方面考虑 1.采用合理的截面形状： ①各方向约束相同时： 1)各方向惯性矩I相等—采用正方形、圆形截面； 2)增大惯性矩I—采用空心截面； ②压杆两方向约束不同时：使两方向柔度接近相等，可 采用两个主惯性矩不同的截面，如矩形、工字形等。
x
P
x P
580 700
580 L
y
y z
z P
P
解：(1)失稳形式判断：
1 700 若在xy面内失稳，=1， z L L 73.7 4 i Iz / A 6.5 10 / 720 柔度为：
若 在 x-z 平 面 内 失 稳 ， y L L 0.5 580 39.9 4 / 720 i I / A 3 . 8 10 y =0.5，柔度为： 所以连杆将在x—y平面内失稳，其许用压力应由z决定。
②柔度(细长比)：
L
i
2E ③欧拉临界应力公式： s cr 2
2.欧拉公式应用范围：
2E ≤ s ①线弹性状态：scr≤sp，即 p 2
2E 2E ∴ ≥ s p ，则 p s p
②≥p—细长杆(大柔度杆)，欧拉公式的适用范围；
③对于A3钢，E=200GPa，sp=200MPa：
L：相当长度 称为长度系数
表111 压杆的长度系数
压杆约束条件 两端铰支 一端固定，另一端自由 一端固定，另一端铰支 两端固定 长度系数 =1 =2 =0.7 =0.5
3.例题： 例121 一端固定，另一端 自由的细长压杆如图所示。试导 出其临界力的欧拉公式。 例122 导出一端固定、另 一端铰支压杆临界力的 欧拉公 式。 2 EI Pcr ( 0.7L ) 2
2. 临界载荷 Pcr ：描述压杆的稳定能力，压杆临界状 态所受到的轴向压力。
P<Pcr
பைடு நூலகம்
P=Pcr
P>Pcr
QQ Q
Q QQ
Q QQ
a)直线稳态
b)微弯平衡
c)失稳
干扰力去除，恢复直线 干扰力去除，保持微弯 干扰力去除，继续 变形，直至倒塌
§12-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 一、两端铰支压杆的临界力 1.思路 ：求 Pcr→临界状态 (微弯)→弯曲变形 →挠曲线微分方程；
2 20010 9 p 100 6 20010
④用柔度表示的临界压力：
2 EA Pcr 2
二、中柔度杆临界应力的经验公式
1.ss>scr>sp时采用经验公式：
s cr ①直线公式：
a b
1)∵scr<ss，∴ s s a b
a s s ，得到： 0 b
2)p≥≥0—中粗杆(中柔度杆)； a s s 304 240 3)对于A3钢： 0 60 b 1.12 2 s a b ②抛物线公式： cr 1 1
a 1和b 1是与材料有关的常数。
2.scr=sS时: 强度破坏，采用强度公式。
三、临界应力总图
scr scr=ss scr=ab B C
第十二章 压杆稳定
§12-1 压杆稳定性的概念
一、稳定与失稳
1.压杆稳定性：压杆维持其自身平衡状态的能力； 2.压杆失稳：压杆丧失其自身平衡状态，不能稳定地工作。
3.压杆失稳原因： ①杆轴线本身不直(初曲率)； ②加载偏心； ③压杆材质不均匀； ④外界干扰力。
二、中心受压直杆稳定性分析
1.临界状态：由稳定平衡向微弯平衡(不稳平衡)过渡的状态；
2.减少压杆支承长度： ①直接减少压杆长度； ②增加中间支承； ③整体稳定性与局部稳定性 相近；
P P L
P
角钢
a
y 缀条 x
3.加固杆端约束： 尽可能做到使压杆两端部接近刚性固接。
粗 短 杆 中 粗 杆
2 s cr 2E
scr ss scr=a1b12
ss A sp
0.57ss
2 s cr 2E
细长杆
D
O
o
p 采用直线经验公式 的临界应力总图
O
c 采用抛物线经验公 式的临界应力总图

2.压杆按柔度分类：
p —细长杆(大柔度杆) p 0 —中粗杆(中柔度杆)
§12-4 欧拉公式的应用范围 . 临界应力总图
一、欧拉临界应力公式及使用范围
1.临界应力：临界力除以压杆横截面面积得到的压应力， 用scr表示； 2 2
Pcr EI E s cr 2 A ( L) A ( L / i) 2
I ① i —横截面对微弯中性轴的惯性半径； A
可见连杆为中柔度杆。其临界载荷为：
Pcr A(a b ) 218kN
由此得连杆的许用压力为： Pcr 218 [ Pcr ] 87.3kN [n w ] 2.5 (3)讨论：在此连杆中：z=73.7，y=39.9，两者相差较大 。最理想的设计是y= z，以达到材尽其用的目的。
Bd
Pcr
L A Pcr
B
L A
例123 试导出两端固定压杆 的欧拉公式。
Pcr
L
边界条件： M A Pcr d 2 x 0 ： y 0 ， y ' 0 ， y " k d EI EI x L：y d，y" M ( L ) 0 失 EI 稳 将边界条件代入统一微 分方程的通解得： L 模 0 1 0 1 0 C L 式 1 k 0 1 0 0 如 A C 2 图 0 k 2 0 0 k 2 C 3 0 C sin kL cos kL L 1 1 y A 4 2 2 d k sinkL k coskL 0 0 0 L MA=Pcrd P 有非零解的充要条件为 ：系数行列式值为零； cr 解得压杆失稳特征方程 为：coskL 0 C P kL cr L n ( n 0， 1， 2) EI 2 2 取n 1，得一端固定一端自由 压杆临界力的欧拉公式 为：Pcr EI ( 2L) 2