2017.03北京四中九年级月考数学试题及答案
北京四中初三数学12月月考试题
数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1. 抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是( ).A ．（1，2）B ．（1，-2）C ．（-1， 2）D ．（-1，-2）2．将抛物线先向左平移3个单位, 再向上平移4个单位, 则得到的抛物线的解析式为( ).A. B. C. D.3．已知二次函数y ＝-x (x -a )，若当x ≤2时，y 随x 增大而增大，当x ＞2时，y 随x 增大而减少，则a 的值是( ). A ． 1B ．2C ．-2D ．44．下列命题错误．．的是( ). A ．经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆 B ．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等C ．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧D ．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 5.如图，在△ABC 中，∠A =90°，D 为BC 上一点，过D 作ED ⊥BC 交AC 于E ，若AB =6，AC =8，ED =3，则CD 的长为( ).A ．5B ．4C ． 3D ． 2（第5题图）（第6题图）（第7题图）6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果∠ADE =120°，那么∠B 等于( ). A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°7如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是( ). A. 6 B.5 C.4 D.322x y =4)3(22+-=x y 4)3(22++=x y 4)3(22--=x y 4)3(22-+=xy8. 如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O 的圆心在格点上，则∠AED 的余弦值是( ). A.B. 1C. 23D. 552（第8题图）（第9题图）9. 如图，P 为⊙O 外一点，P A 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，CD 切⊙O 于点E ，分别交P A 、PB 于点C 、D ，若P A =5，则△PCD 的周长为( ). A ．5 B ．7 C ．8 D ．10 10．如图，点C 是以点O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），AB =4．设弦AC 的长为x ，△ABC 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是( ).A ． B. C.D.二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.二次函数y =x 2+4x +c 的对称轴是．12.已知抛物线522+-=x x y 经过两点1(-2,)A y 和),3(2y B ，则1y 与2y 的大小关系是．13.若⊙O 半径是4，弦AB =4，则弦AB 所对的圆周角等于°.14．如图，是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题： ①a+b+c=0；②b ＞2a ；③ax 2+bx +c =0的两根分别为-3和1； ④a -2b +c ＞0．其中正确的命题是. （填写正确命题的序号）21ABAB；（3）将（1）中的圆向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得新图形的方程为.16.数学课上，F 老师问“如何作出△ABC 的外接圆？”H 同学回答“可以分别作AB 、BC 的垂直平分线l 1，l 2，设它们的交点为O ，再以点O 为圆心，OA （或者OB 、OC ）为半径便可作出△ABC 的外接圆.”F 老师肯定了H 同学的作法.请你写出H 同学这样作图的依据：.三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算 2sin 453tan 45cos60︒-︒-︒+︒．18.如图，△ABC 中，点D 在AB 上，∠ACD =∠ABC ，若AD=2，AB =6.求：AC 的长．19.已知二次函数332++-=x )k (kx y 在x =0和x =4时的函数值相等．（1）求该二次函数的表达式；（2）画出该函数的图象，并结合图象直接写出：①当y ＜0时，自变量x 的取值范围； ②当0≤x <3时，y 的取值范围是多少？A20.张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）． （2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．21．已知：如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于点E ．如果⊙O 的半径等于1tan 2CPO ∠=.求：弦CD 的长．22．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60°方向上，在A 的正东400米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 1.732，结果精确到1米）23. 已知：如图，BC 为⊙O 的直径，点A 是 BF 的中点，AD ⊥BC 于D ，连接BF 交AD 于E .求证：（1）AE =BE ；（2）BF =2AD ．24．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，经过B 、D 两点的⊙O 交AB 于点E ，交BC 于点F ，EB 为⊙O 的直径． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）当BC =2，cos ∠ABC 13=时，求⊙O25. 如图，已知：实数m是方程x 2－8x ＋16＝0的一个实数根，抛物线212y x bx c =-++交x 轴于点A （m ，0）和点B ，交y 轴于点C （0，m ）．（1）求抛物线的解析式；（2）设△AOC 的外接圆为⊙G ，若M 是⊙G 的 ACO 上的一个动点，连接AM 、OM ．在y 轴左侧的抛物线上是否存在点N ，使得∠NOB ＝∠AMO ．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．B26．已知：如图，正方形ABCD 的边长为6，点E 为BC 的中点，点F 在AB 边上，且∠EDF ＝45°．（1）利用画图工具，在右图中画出满足条件的图形； （2）猜想tan ∠ADF 的值，并写出求解过程．27．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()(0)y mx m n x n m =-++<的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧交点为点B ，若45ABO ∠=︒，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式； （3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．A B CD28．已知，△GAB，△GDC为等腰三角形，其中GA=GB，GD=GC，∠AGB= ∠DGC，过点G分别作AB、CD的垂线垂足点E、F.（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求ADEF的值；（4）如图3，在(3)的条件下，若AD、BC所在直线相交于点P，BD=6，∠BGD=60°，设△BGD的外心为O，在BG和DG的长度发生变化的过程中，OP的最小值为．（图1）（图2）（图3）A BA29. 在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P 关于⊙C 的反演点的定义如下：若在射线．．CP 上存在一点P '，满足2r 'CP CP =⋅，则称P '为点P 关于⊙C 的反演点，图1为点P 及其关于⊙C 的反演点P '的示意图.(1)当点C 在原点O 且半径为1时，①求1,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，),(B 2321关于⊙O 的反演点A B ''、的坐标及A B ''的长度；②点P 在直线2y x =-+上，若点P 关于⊙O 的反演点为P '存在,求点P '的横坐标的取值范围；(2)当⊙C 的圆心在x 轴上，半径为1，直线y x =+x 轴，y 轴分别交于点A 、B ，若线段AB 上存在点P ，使得点P 关于⊙C 的反演点P '在⊙C 的外部，求圆心C 的横坐标的取值范围．（图1）（备用图）x。
北京初三初中数学月考试卷带答案解析
北京初三初中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是（ ） A ．B ．C ．D ．2.若是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3.下列计算中，正确的是（ ） A ． B ． C ．D ．4.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO=30º，则∠ACB 的大小为（ ）A ．50ºB ．45ºC ．30ºD ．60º5.下列一元二次方程中没有实数根的是（ ）A ．B ．C ．D ．6.已知点A 的坐标为，O 为坐标原点，连结OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°得OA 1，则点A 1的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．7.如图，每个正方形网格的边长为1个单位长度，将△ABC 的三边分别扩大一倍得到△（顶点均在格点上），若它们是以点P 为位似中心的位似图形，则点P 的坐标是（ ）A ．B ．C ．D ．8.如图，AC、BD为圆O的两条垂直的直径，动点P从圆心O出发，沿线段线段DO的路线作匀速运动．设运动时间为t秒，∠APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t的函数关系最恰当的是（）A．B．C．D．二、填空题1.函数中，自变量的取值范围是．2.关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为．3.如图，在△ABC中，DE AB分别交AC，BC于点D，E，若AD=2，CD=3，则△CDE与△CAB的周长比为．4.如图，在平面直角坐标系中，已知点，对△AOB连续作旋转变换，依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第(7)个三角形的直角顶点的坐标是；第(2013)个三角形的直角顶点的坐标是．三、计算题计算：．四、解答题1.解方程：．2.如图，在中，AB是的直径，与AC交于点D，求的度数．3.已知，，求的值.4.如图，等腰直角△ABC绕直角顶点A按逆时针方向旋转60°后得到△ADE，且BC=2，求EC的长．5.如图，有一块矩形纸板，长为20cm，宽为14cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为160cm2，那么纸板各角应切去边长为多大的正方形？6.已知a,b为实数，且，求的值．7.已知关于x的一元二次方程.（1）若此方程有实数根，求m的取值范围；（2）若x=－1是这个方程的一个根，求的值．8.已知：如图，在△ABC中，AB="AC=" 5，BC= 8，D，E分别为BC，AB边上一点，∠ADE=∠C．（1）求证：△BDE∽△CAD；（2）若CD=2，求BE的长．9.如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8,CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．10.已知关于的一元二次方程.（1）若是该方程的一个根，求的值；（2）无论取任何值，该方程的根不可能为，写出的值，并证明；（3）若为正整数，且该方程存在正整数解，求所有正整数的值．11.在△ABC中，AB=AC，∠BAC＜60°，把线段BC绕点B逆时针旋转60°至BP；如图所示位置有∠ABQ=60°，∠BCQ=150°．（1）若∠BAC=30°，则∠ABP= 度；若∠BAC=α，则∠ABP= （用α表示）；（2）求证：△ABQ为等边三角形；（3）四边形CBPQ的面积为1，求△ABC的面积．12.点P在图形M上, 点Q在图形N上,记为线段PQ长度的最大值，为线段PQ长度的最小值，图形M，N的平均距离．（1）在平面直角坐标系中，⊙O是以O为圆心，2的半径的圆，且A，B，求及；(直接写出答案即可)（2）半径为1的⊙C的圆心C与坐标原点O重合，直线与轴交于点D，与轴交于点F，记线段DF为图形G，求；（3）在（2）的条件下，如果⊙C的圆心C从原点沿轴向右移动，⊙C的半径不变，且，求圆心C的横坐标．北京初三初中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.下面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】根据中心对称图形的概念中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，因此，上面四张扑克牌中，图案属于中心对称的是B. 故选B.【考点】中心对称图形.2.若是关于的一元二次方程，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A.【解析】∵此方程是关于x的一元二次方程，∴≠0，即．故选A.【考点】一元二次方程定义.3.下列计算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】根据二次根式运算法则逐一分析计算作出判断：A.，选项错误；B.，选项正确；C.，选项错误；D.和不是同类根式，不可合并，选项错误.故选B.【考点】二次根式计算.4.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠ABO=30º，则∠ACB 的大小为（ ）A ．50ºB ．45ºC ．30ºD ．60º【答案】D.【解析】∵OA=OB ，∠ABO ＝30°，∴∠BAO=∠ABO=30°（等边对等角）. ∴∠AOB=120°（三角形内角和定理）。
2016-2017学年北京市第四中学初三下学期3月月考数学试卷(无答案)
2017年北京四中初三三月月考试卷一、选择题：本大题共10小题，共30分．把你的选项前的字母填入答题纸中相应的表格内． 1．38的值是（ ）．A ．2B ．2-C ．2±D ．22±2．下列运算正确的是（ ）．A ．2323a a a +=B ．236a a a ⋅=C ．325()a a =D ．624a a a ÷=3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）．A ．圆柱B ．圆锥C ．长方D ．三棱柱4．将抛物线22y x =向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的抛物线表达式是（ ）．A ．22(1)3y x =--B ．22(1)3y x =++C ．22(1)3y x =-+D ．22(1)3y x =+-5．同时投掷两枚硬币每次出现反面都向上的概率为（ ）．A ．14 B ．13C ．12D ．346．抛物线2(0)y x x P P =++≠与x 轴相交，其中一个交点的横坐标是P ．那么该抛物线的顶点坐标是（ ）．A ．(0,2)-B ．19(,)24-C ．19(,)24-D ．19(,)24--7．如图，已知PA ，PB 分别切⊙O 于点A 、B ，60P ∠=︒，8PA =，那么弦AB 的长是（ ）．A ．4B ．8C ．43D ．838．甲、乙、丙、丁四位选手各射击10次，每人的平均成绩都是9.8环，方差如表：选手甲 乙丙 丁 方差（环2） 0.035 0.016 0.0220.025则这四位选手中，成绩发挥最稳定的是（ ）．A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,2)-，与y 轴交于(0,2)点，且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<．下列结论①420a b c -+<，②20a b -<，③1a <-，④284b a ac +>其中正确的有（ ）． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10．如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，120BOC ∠=︒，3AB =，一动点P 以1cm s 的速度沿折线OB BA →运动，那么点P 的运动时间(s)x 与点C 、O 、P 围成的三角形的面积y 之间的函数图象为（ ）．A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，共18分11．若2-是方程260x mx -+=的一个根，则m =_________．12．分解因式：2218m -=_________．13．如果22110y y x y ++++-=，那么xy 的值等于_________．14．若关于x 的一元二次方程2210kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是_________．15．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且1tan 2ABC ∠=，D 是⊙O 上的一个动点（C ，D 两点位于直径AB 的两侧），连接CD ，C 作CE CD ⊥交DB 的延长线于点E ，若25AB =，则AC =_________，线段CE 长度的最大值是_________．16．如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =，连接CF 交BD 于点G ，连接BE交AG 于点H ，若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是_________．三、解答题：（共72分）．17．计算：2112()312sin603-+---︒．18．先化简，再求值：222211()2111x x x x x x +÷+-++-，其中2x =．19．解方程：233x x=-．20．如图，ABC △中，AD BC ⊥，垂足是D ，若14BC =，12AD =，3tan 4BAD ∠=，求sin C 的值．21．已知：一次函数2y x =+与反比例函数ky x=相交于A 、B 两点且点A 的纵坐标为4． （1）求反比例函数的解析式； （2）求ABC △的面积．22．如图，Rt ABC △的三个顶点分别是(3,2)A -，(0,4)B ，(0,2)C ．（1）将ABC △以点C 为旋转中心旋转180︒，画出旋转后对应的111A B C △； 平移ABC △，若点A 的对应点2A 的坐标为(0,4)-，画出平移后对应的222A B C △； （2）若将111A B C △绕某一点旋转可以得到222A B C △；请直接写出旋转中心的坐标； （3）在x 轴上有一点P ，使得PA PB +的值最小，请直接写出点P 的坐标．23．如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，BF 平分ABC ∠，交AD 于点F ，AE与BF 交于点P ，连接EF ，PD ．（1）求证：四边形ABEF 是菱形；（2）若4AB =，6AD =，60ABC ∠=︒，求PD ．24．小明为了了解本班全体同学在阅读方面的情况，采取全面调查的方法，从喜欢阅读“科普常识、小说、漫画、营养美食”等四类图书中调查了全班学生的阅读情况（要求每位学生只能选择一种自己喜欢阅读的图书类型）根据调查的结果绘制了下面两幅不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）该班的学生人数为______人，并把条形统计图补充完整；（2）在扇形统计图中，表示“漫画”类所对圆心角是______度，喜欢阅读“营养美食”类图书的人数占全班人数的百分比为______；（3）如果喜欢阅读“营养美食”类图书的4名学生中有3名男学生和1名女学生，现在打算从中随机选出2名学生参加学校组织的“营养美食”知识大赛，请用列表或画树状图的方法，求选出的2名学生中恰好有1名男生和1名女生的概率．25．如图，AB是⊙O的直径，C是 AB的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．=；（1）求证：AC CD（2）若25OB=，求BH的长．26．阅读下面材料：小腾遇到这样一个问题：如图1，在ABC △中，点D 在线段BC 上，75BAD ∠=︒，30CAD ∠=︒，2AD =，2BD DC =，求AC 的长．小腾发现，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，通过构造ACE △，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．请回答：ACE ∠的度数为_________，AC 的长为_________．参考小腾思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD 中，90BAC ∠=︒，30CAD ∠=︒，75ADC ∠=︒，AC 与BD 交于点E ，2AE =，2BE ED =，求BC 的长．27．抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB OC =．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若点1(,)P x b 与点2(,)Q x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ n =． ①求2124263x x n n -++的值；28．（1）如图1，在四边形ABCD 中，90B C ∠=∠=︒，E 为BC 上一点，且CE AB =，BE CD =，连接AE 、DE 、AD ，则ADE △的形状是_________．（2）如图2，在ABC △中，90A ∠=︒，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，连接BE 、CD ，两线交于点P ．①当BD AC =，CE AD =时，在图中补全图形，猜想BPD ∠的度数并给予证明．②当3BD CEAC AD==时，BPD ∠的度数_________．29．平面上两条直线AB 、CD 相交于点O ，且150BOD ∠=︒（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：（1）点O 的“距离坐标”为(0,0)；（2）在直线CD 上，且到直线AB 的距离为(0)p p >的点的“距离坐标”为(,0)p ； 在直线AB 上，且到直线CD 的距离为(0)q q >的点的“距离坐标”为(0,)q ；（3）到直线AB 、CD 的距离分别为p 、(0,0)q p q >>的点的“距离坐标”为(,)p q ．设M 为此平面上的点，其“距离坐标”为(,)m n ，根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）： ①满足1m =且0n =的点的集合； ②满足m n =的点的集合；（2）若点M 在过点O 且与直线CD 垂直的直线l 上，求m 与n 所满足的关系式。
2024北京四中初三3月月考数学试卷和答案
2024北京四中初三3月月考数 学学生须知：1．本练习卷共8页，共28道小题，满分100分．练习时间120分钟．2．在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号．3．答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效．4．选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．一、选择题（共16分，每题2分）1. 下面的四个图形中，是圆柱的侧面展开图的是（ ）A. B. C. D.2. 北京故宫博物院成立于1925年10月10日，它是在明清皇宫及其收藏基础上建立起来的集古代建筑群、宫廷收藏、历代文化艺术为一体的大型综合性博物馆，也是中国最大的古代文化艺术博物馆．馆内约有180万余件藏品，将1800000用科学记数法表示为（ ）A. 51.810⨯B. 61.810⨯C. 51810⨯D. 418010⨯3. 如图，点O 在直线AB 上，OC OD ⊥．若150AOD ∠=︒，则BOC ∠的大小为（ ）A. 60︒B. 50︒C. 45︒D. 30︒4. 一个正多边形的内角和是1440°，那么这个正多边形的每个外角是（ ）A. 30°B. 36°C. 40°D. 45°5. 实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如下图所示，下列结论中正确的是（ ）A. a b <B. 0a b +>C. 0ab >D. 0b a ->6. 如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 边上，DE BC ∥，若8AE =，:2:3DE BC =，则AC 等于（ ）A. 9B. 10C. 12D. 167. 如图，O 的直径AB ⊥弦CD ，垂足为点E ，连接CO 并延长交O 于点F ，连接FD ，70F ∠=︒，则A ∠的度数为（ ）A. 25︒B. 30︒C. 35︒D. 40︒8. 炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道，某商店统计了一款冰激凌6月份前6天每天的供应量和销售量，结果如下表：1日2日3日4日5日6日供应量（个）901009010090100销售量（个）809085809085记()V t 为6月t 日冰激凌的供应量，()W t 为6月t 日冰激凌的销售量，其中1t =，2，…，30．用销售指数()(1)(1)(,)100%()(1)(1)W t W t W t n P t n V t V t V t n +++⋅⋅⋅++-=⨯+++⋅⋅⋅++-（1n ≥，n N ∈）来评价从6月t 日开始连续n 天的冰激凌的销售情况．当1n =时，(),1P t 表示6月t 日的日销售指数．给出下列四个结论：①在6月1日至6日的日销售指数中，()4,1P 最小，()5,1P 最大；②在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大；③()()1,34,3P P =；④如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量分别与6月1日至6日每天的供应量和销售量对应相等，则对任意1t =，2，3，4，5，6，7，都有()(),61,12P t P =其中所有正确结论的序号是（ ）．A. ①②B. ②③C. ①④D. ①③④二、填空题（共16分，每题2分）9. 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是______．10. 分解因式：32312m mn -=______．11. 方程512x x-=-的解为______．12. 在平面直角坐标系中，若反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点()3,5A -和点()15,B m ，则m 的值为______．13. 如图，PA ，PB 是O 的切线，A ，B 是切点．若60P ∠=︒，OA =PA =______．．14. 若22330a b +-=，则代数式()()2421a a b a b ---+的值为______．15. 端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．端午节那天，超市的粽子打9折出售，小阳同学买粽子花了54元钱，比平时多买了3个，则平时每个粽子卖______元．16. 有这样一个数字游戏，将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字分别填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右的数字逐渐增大，每一列从上到下的数字也逐渐增大．当数字3和4固定在图中所示的位置时，x 代表的数字是_______，此时按游戏规则填写空格，所有可能出现的结果共有_______种．三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24-27题每题6分，第28题7分）17.计算：236sin 602-+︒--18. 解不等式组：453532x x x x -≤+⎧⎪⎨->⎪⎩19. 小区里有个圆形花坛，春季改造，小区物业想扩大该花坛的面积，他们在图纸上设计了以下施工方案：①在O 中作直径AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧在直径AB 上方交于点C ，作射线OC 交O 于点D ；②连接BD ，以O 为圆心BD长为半径画圆；③大O 即为所求．（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成如下证明：证明：连接CA ，CB ．在ABC 中，CA CB = ，O 是AB 的中点，CO AB ∴⊥（____________）（填推理的依据）．OB OD = ，90DOB ∠=︒，BD ∴=______OB ，O S ∴= 大______O S 小．20. 已知关于x 的一元二次方程()222120x m x m -++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当m 取满足条件的最小整数时，求方程的根．21. 如图，在AOC 中，OA OC =，OD 是AC 边上的中线．延长AO 至点B ，作COB ∠的角平分线OH ，过点C 作CF OH ⊥于点F ．（1）求证：四边形CDOF 是矩形；（2）连接DF ，若4sin 5A =，9AC =，求DF 的长．22. 平面直角坐标系xOy 中，点(1,)A m 在反比例函数6y x =的图象上．一次函数y kx b =+的图象过点A 和x 轴上的一点(),0B n ，与反比例函数的另一交点为点C ．（1）当0n <且3AB BC =时，求m 的值和点B 的坐标；（2）在x 轴上移动点B ，若23BC AB BC ≤≤，直接写出n 的取值范围．23. 海淀外国语有两个校区，其中初三年级京北校区有200名学生，海淀校区有300名学生，两个校区所有学生都参加了一次环保知识竞赛，为了解两个校区学生的答题情况，进行了抽样调查，从京北、海淀两个校区各随机抽取20名学生，对他们本次环保知识竞赛的成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a ．京北校区成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤）；b ．京北校区成绩在7080x ≤<这一组的是_______：74 74 75 77 77 77 77 78 79 79c ．京北、海淀两校区成绩的平均数、中位数如下：平均数中位数京北校区79.5m 海淀校区7781.5根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m 的值：（2）两个校区分别对本次抽取的学生的成绩进行等级赋分，超过本校区的平均分就可以赋予等级A ，判断在本次抽取的学生中哪个校区赋予等级A 的学生更多，直接写出结果并说明理由；（3）估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为____．24. 如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD 与O 相切，AD BC ∥，连结OD AC ，．（1）求证：B DCA ∠=∠；（2）若tan B =OD = 求O 的半径长．25. 如图1，长度为6千米的国道AB 两侧有M ，N 两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C 和D ，其中A 、C 之间的距离为2千米，C 、D 之间的距离为1千米，N 、D 之间的乡镇公路长度为2.3千米，M 、C 之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB 上修建一个物流基地T ．设A 、T 之间的距离为x 千米，物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和为y 千米．以下是对函数y 随自变量x 的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x 与y 的几组值，如下表：x （千米）0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0y （千米）10.58.5a 6.5b 10.512.5表中a 的值为＿＿＿，b 的值为＿＿＿；（2）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；（3）结合函数图象，解决以下问题：①若要使物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和最小，请直接写出x 的取值范围；②如图3，有四个城镇M 、N 、P 、Q 分别位于国道A C D E B ----两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S ，使得S 沿公路到M 、N 、P 、Q 的距离之和最小，则物流基地T 应该修建在何处？26. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线21:1C y x =-，将1C 向右平移，得到抛物线2C ，抛物线2C 与1C 交点的横坐标为2．（1）求抛物线2C 的表达式；（2）过点(),0P p 作x 轴的垂线，交1C 于点M ，交2C 于点N ，q 为M 与N 的纵坐标中的较小值（若二者相等则任取其一），将所有这样的点(),p q 组成的图形记为图形T ．①若直线y n =与图形T 恰好有2个公共点，直接写出n 的取值范围；②若()1,a y ，()22,a y +，()35,a y +三点均在图形T 上，且满足312y y y >>，直接写出a 的取值范围．27. 如图，在ABC 中，30B ∠=︒，点D 为BC 边上任意一点，将线段BA 绕点B 顺时针旋转60︒得到线段BF ，连接AF ，作FE BD ∥且FE BD =（点E 在点F 的右侧），连接AD 、ED 、EC ．（1）依题意补全图形，若2AF =，请直接写出DE 的长度；（2）若对于BC 边上任意一点D ，始终有CE AD =，请写出BC 与AF 的数量关系，并证明．28. 对于平面内的点P 和图形M ，给出如下定义：以点P 为圆心，r 为半径作圆．若P 与图形M 有交点，且半径r 存在最大值与最小值，则将半径r 的最大值与最小值的差称为点P 视角下图形M 的“宽度M d ”．（1）如图1，点()4,3A ，()0,3B ．①在点O 视角下，线段AB 的“宽度AB d ”为______；②若B 半径为2，在点A 视角下，B 的“宽度B d ”为______；（2）如图2，O 半径为2．点P 为直线1y x =-+上一点．求点P 视角下O “宽度O d ”的取值范围；（3）已知点(,0)C m ，1CK =，直线3y x =+与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ．若随着点C 位置的变化，使得在所有点K 的视角下，线段DE 的“宽度”均满足06DE d <<，请直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）1. 【答案】A【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案．【详解】】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上，得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形；又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形．故选：A ．【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，需要对圆柱有充分的理解；难度不大．2. 【答案】B【分析】用移动小数点的方法确定a 值，根据整数位数减一原则确定n 值，最后写成10n a ⨯的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ，运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键．【详解】61800000 1.810=⨯，故选B ．3. 【答案】A【分析】根据150AOD ∠=︒得到180********BOD AOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，结合OC OD ⊥，得90BOD BOC ∠+∠=︒，代入计算即可，本题考查了垂直的应用，邻补角，余角，熟练掌握邻补角，余角是解题的关键．【详解】∵150AOD ∠=︒，∴180********BOD AOD ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵OC OD ⊥，∴90BOD BOC ∠+∠=︒，∴60BOC ∠=︒．故选A ．4. 【答案】B【分析】首先设此多边形为n 边形，根据题意得：()21801440n -⋅︒=︒，即可求得10n =，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．【详解】设此多边形为n 边形，根据题意得：()21801440n -⋅︒=︒，解得：10n =，∴这个正多边形的每一个外角等于：360°÷10=36°．故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：()2180n -⋅︒，外角和等于360°．5. 【答案】D【分析】本题考查实数与数轴，利用数轴比较实数的大小，实数的加法、减法、乘法运算的理解，掌握“数轴上右边的数大于左边的数”是解本题的关键．根据数轴上右边的数总比左边的大，结合绝对值的几何意义和实数的运算法则逐一分析判定即可．【详解】解：观察数轴可得：0a b <<，a b >，A ． a b b >=，错误，该选项不符合题意；B ． 0a b +<，错误，该选项不符合题意；C ． 0ab <，错误，该选项不符合题意；D ． ()0b a b a -=+->，正确，该选项符合题意；故选：D ．6. 【答案】C【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．利用平行线的性质可证明ADE ABC △△∽，根据对应边成比例求解即可．【详解】解：∵DE BC ∥，∴,ADE B AED C ∠=∠∠=∠，∴ADE ABC △△∽，∴DE AE BC AC=，∵8AE =，:2:3DE BC =，∴283AC=，∴12AC =，故选：C ．7. 【答案】C【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，圆周角定理，先由直径所对的圆周角是直角得到90D Ð=°，进而得到20DCF ∠=︒，进一步求出70COE ∠=︒，则由圆周角定理可得1352A COE ==︒∠．【详解】解：∵CF 是O 的直径，∴90D Ð=°，∵70F ∠=︒，∴20DCF ∠=︒，∵直径AB ⊥弦CD ，∴90CEO ∠=︒，∴70COE ∠=︒，∴1352A COE ==︒∠，故选：C ．8. 【答案】C【分析】根据题意，()(),1100%()W t P t V t =⨯，()905,1100%=190P =⨯最大，()804,1100%=0.810P =⨯，最小，故①正确；6月2日销售指数小于6月5日，但是两天的销售量却相等，故②错误；(1)(2)(3)255(1,3)100%=100%(1)(2)(3)280W W W P V V V ++=⨯⨯++；(4)(5)(6)255(4,3)100%=100%(4)(5)(6)290W W W P V V V ++=⨯⨯++，()()1,34,3P P ≠，故③错误；根据题意，(1)(2)(6)(1,6)100%(1)(2)(6)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，[][]2(1)(2)(6)(1)(2)(12)(1,12)100%=100%=(1,6)(1)(2)(12)2(1)(2)(6)W W W W W W P P V V V V V V ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯⨯++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(2)(3)(7)(2,6)100%(2)(4)(7)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，∵(1)(7),(1)(7)W W V V ==，∴(2)(3)(1)(2,6)100%=(1,6)(2)(4)(1)W W W P P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，对任意1t =，2，3，4，5，6，7，都有()(),61,12P t P =正确，解答即可．本题考查了函数模型的选择和应用，正确理解题意是解题的关键．【详解】根据题意，()(),1100%()W t P t V t =⨯，()905,1100%=190P =⨯最大，()804,1100%=0.8100P =⨯，最小，故①正确；6月2日销售指数小于6月5日，但是两天的销售量却相等，故②错误；(1)(2)(3)255(1,3)100%=100%(1)(2)(3)280W W W P V V V ++=⨯⨯++；(4)(5)(6)255(4,3)100%=100%(4)(5)(6)290W W W P V V V ++=⨯⨯++，()()1,34,3P P ≠，故③错误；根据题意，(1)(2)(6)(1,6)100%(1)(2)(6)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，[][]2(1)(2)(6)(1)(2)(12)(1,12)100%=100%=(1,6)(1)(2)(12)2(1)(2)(6)W W W W W W P P V V V V V V ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=⨯⨯++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+(2)(3)(7)(2,6)100%(2)(4)(7)W W W P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，∵(1)(7),(1)(7)W W V V ==，∴(2)(3)(1)(2,6)100%=(1,6)(2)(4)(1)W W W P P V V V ++⋅⋅⋅+=⨯++⋅⋅⋅+，对任意1t =，2，3，4，5，6，7，都有()(),61,12P t P =正确，故选：C ．二、填空题（共16分，每题2分）9. 【答案】5x ≥-【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：根据题意得：50x +≥，∴5x ≥-，∴实数x 的取值范围是5x ≥-．故答案为：5x ≥-．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．10. 【答案】()()322m m n m n +-【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再套用公式是解题的关键．提取公因式，得()()()322231234322m mn m m nm m n m n -=-=+-，解答即可．【详解】()()()322231234322m mn m m nm m n m n -=-=+-，故答案为：()()322m m n m n +-．11. 【答案】13【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．解分式方程的一般步骤是：去分母转化为整式方程，解整式方程，检验得分式方程的解，据此求解即可．【详解】解：512x x-=-，去分母，得52x x =-+，解得：13x =，经检验，13x =是原方程的解，故答案为：13．12.【答案】1-【分析】根据反比例函数图象上的点的两个坐标的积等于定值k ，得3515m -⨯=，解答即可，本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握性质，并列出等式是解题的关键．【详解】反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点()3,5A -和点()15,B m ，故3515m -⨯=，解得1m =-，故答案为：1-．13. 【答案】3【分析】连接OP ，根据PA ，PB 是O 的切线，A ，B 是切点，得到90OAP OBP ∠=∠=︒，结合,OA OB OP OP ==证明OAP OBP △≌△，继而得到1302APO BPO APB ∠=∠=∠=︒，利用三角函数计算即可．本题考查了切线长定理，三角函数，熟练掌握定理，三角函数是解题的关键 ．【详解】连接OP ，∵PA ，PB 是O 的切线，A ，B 是切点，60APB ∠=︒，∴90OAP OBP ∠=∠=︒，∵,OA OB OP OP ==，∴OAP OBP △≌△，∴1302APO BPO APB ∠=∠=∠=︒，∵tan tan 30OA APO PA ∠=︒===,∴3PA =，故答案为：3．14. 【答案】2-【分析】根据22330a b +-=得2233a b +=，化简()()22224214441a a b a b a ab a ab b ---+=--+-+()22223131a b a b =--+=-++，代入计算即可，本题考查了整体代入法求代数式的值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键．【详解】∵22330a b +-=，∴2233a b +=，∴()()2421a a b a b ---+2224441a ab a ab b =--+-+()22223131a b a b =--+=-++31=-+2=-，故答案为：2-．15.【答案】2【分析】设平时每个粽子卖x 元，端午节这天每个粽子卖0.9x 元，根据题意，得545430.9x x -=，解方程即可，本题考查了分式方程的应用，正确确定等量关系是解题的关键．【详解】设平时每个粽子卖x 元，端午节这天每个粽子卖0.9x 元，根据题意，得545430.9x x-=，解得2x =，经检验，2x =是原方程的根，故答案为：2．16. 【答案】 ①. 2 ②. 6【详解】根据题意知，x <4且x ≠3，则x =2或x =1，∵x 前面的数要比x 小，∴x =2，∵每一行从左到右、每一列从上到下分别依次增大，∴9只能填在右下角，5只能填右上角或左下角，5之后与之相邻的空格可填6、7、8任意一个，余下的两个数字按从小到大只有一种方法，∴共有2×3=6种结果，故答案为2，6.点睛：本题主要考查数字的变化规律，数字问题时排列计数原理中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解决问题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏.三、解答题（共68分，第17-20题每题5分，第21-22题每题6分，第23题5分，第24-27题每题6分，第28题7分）17.【答案】7-【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，二次根式的加减，掌握相关的运算法则是解题的关键．先算乘方、特殊角的三角函数值，同时化简绝对值和二次根式，再算加减．【详解】解：236sin 602-+︒-962=-++92=-++-7=--18. 【答案】813x ＜≤【分析】先求出每一个不等式的解集，后确定不等式组的解集．本题考查了解不等式组，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．【详解】∵453532x x x x -≤+⎧⎪⎨->⎪⎩①②∴解不等式①，得83x ≤，解不等式,②，得1x >， ∴不等式组的解集为813x <≤．19. 【答案】（1）见解析 （2；2【分析】（1）根据垂线的尺规作图，规范作图即可．（2）等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，计算解答即可，本题主要考查了线段垂直平分线的性质与尺规作图，三线合一定理，勾股定理，圆的尺规作图等等，正确理解题意作出图形是解题的关键．【小问1详解】根据题意，完善作图如下：故大O 即为所求．【小问2详解】证明：连接CA ，CB ．在ABC 中，CA CB = ，O 是AB 的中点，CO AB ∴⊥（等腰三角形三线合一）．OB OD = ，90DOB ∠=︒，BD ∴=，)22222O O S BD OB S πππ∴==== 小大．；2．20. 【答案】（1）94m -＞ （2）121,2x x =-=-【分析】（1）根据方程的根的判别式()()2224214120b ac m m ∆=-=-+-⨯⨯-⎡⎤⎣⎦＞，解答即可．（2）根据根的判别式，结合根的整数性质，解答即可本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【小问1详解】∵方程()222120x m x m -++-=，()21,21,2a b m c m ==-+=-，且方程有两个不相等的实数根，∴()()2224214120b ac m m ∆=-=-+-⨯⨯-⎡⎤⎣⎦＞，∴490m +＞，解得94m -＞．【小问2详解】∵94m -＞且取最小整数，∴2m =-，∴2320x x ++=，解得121,2x x =-=-．21. 【答案】（1）见解析 （2）152【分析】（1）根据OA OC =，OD 是AC 边上的中线，得1,,2OD AC AD CD AC AOD COD ⊥==∠=∠，结合COB ∠的角平分线OH ，得到BOF COF ∠=∠，由此得到()1902DOC COF AOC BOC ∠+∠=∠+∠=︒，结合CF OH ⊥即可判定四边形CDOF 是矩形．（2）根据OA OC =，OD 是AC 边上的中线，得19,22OD AC AD CD AC ⊥===，结合4sin 5O D A O A ==，设4,5O D k O A k ==，根据勾股定理得3A D k ==，继而得到932k =，得到32k =，求得152OA OC ==，根据四边形CDOF 是矩形，得152DF OC OA ===．本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定，勾股定理，三角函数的应用，熟练掌握三角函数的应用和矩形的判定是解题的关键．【小问1详解】∵OA OC =，OD 是AC 边上的中线，∴1,,2OD AC AD CD AC AOD COD ⊥==∠=∠，∵COB ∠的角平分线OH ，∴BOF COF ∠=∠，∴()1902DOC COF AOC BOC ∠+∠=∠+∠=︒，∵CF OH⊥∴四边形CDOF 是矩形．【小问2详解】∵OA OC =，OD 是AC 边上的中线，9AC =，∴19,22OD AC AD CD AC ⊥===，∵4sin 5O D A O A ==，设4,5O D k O A k ==，根据勾股定理得3A D k ==，∴932k =，∴32k =，∴1552OA OC k ===，∵四边形CDOF 是矩形，∴152DF OC OA ===．22. 【答案】（1）6m =，（2）21n -≤≤-【分析】（1）过点作AE x ⊥轴于E ，过点C 作CD AE ⊥，交AE 延长线于D ，把(1,)A m 代入6y x =，求得6m =，再证明ABE ACD ∽△△， 34AE BE AB AD CD AC ===，则6134n AD CD -==，求得8AD =，()413CD n =-，2DE AD AE =-=，即可得41,233C n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后把41,233C n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入6y x =，得412633n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：2n =-，即可得出点B 坐标；（2）由（1）知：AEBEABAD CD AC ==，所以mABDE BC =，再根据23BC AB BC ≤≤，求得23DE ≤≤，设6,C p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1CD p =-，6DE p =-，所以有623p ≤-≤，解得32p -≤≤-，再根据AE BE AD CD =，得61616np p-=--，解得1p n =-，则312n -≤-≤-，求解即可．【小问1详解】解：过点作AE x ⊥轴于E ，过点C 作CD AE ⊥，交AE 延长线于D ，如图，把(1,)A m 代入6y x =，得6m =，∴()1,6A ，∴6AE =，1OE =，∵AE x ⊥，CD AE ⊥，∴CD x ∥，∴ABE ACD ∽△△，∴AEBE ABAD CD AC ==，∵3AB BC =，∴34AE BE AB AD CD AC ===，∴6134n AD CD -==，∴8AD =，()413CD n =-，∴2DE AD AE =-=，∴41,233C n ⎛⎫--⎪⎝⎭，把41,233C n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入6y x =，得412633n ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得：2n =-，∴()2,0B -．【小问2详解】解：由（1）知：AE BE AB AD CD AC ==，∴m AB DE BC=，∵23BC AB BC ≤≤，∴263DE DE ≤≤，∴23DE ≤≤，设6,C p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴1CD p =-，6DE p =-，∴623p≤-≤，∴32p -≤≤-，∵AE BE AD CD=，∴61616np p-=--，∴1p n =-，∴312n -≤-≤-，∴21n -≤≤-；【点睛】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数图象，相似三角形的判定与性质，坐标与图形等知识．熟练掌握性质是银题的关键．23. 【答案】（1）78.5（2）海淀校区赋予等级A 的学生更多，理由见解析（3）78【分析】本题考查抽样调查的相关知识，熟练掌握平均数、中位数的定义以及利用样本估计总体的思想是解决问题的关键．（1）根据中位数的定义，将京北校区同学的成绩按从小到大顺序排序，找到第10、第11位的成绩，取平均值即可；（2）根据两个校区成绩的中位数和平均数，求出成绩超过平均数的人数，进行比较即可；（3）利用抽样调查学生的平均数估计总体学生的平均数即可求出答案．【小问1详解】解：京北校区成绩的中位数787978.52m +==．【小问2详解】解：海淀校区赋予等级A 的学生更多，理由如下：京北校区成绩的平均数是79.5，第12位的成绩是79，8090x ≤<之间有7人，90100x ≤≤之间有1人，可知成绩超过平均数的学生有8人，即赋予等级A 的学生有8人；海淀校区成绩的平均数是77，中位数是81.5，可知成绩超过平均数的学生至少有10人，即赋予等级A 的学生至少有10人；所以海淀校区赋予等级A 的学生更多．【小问3详解】解：估计京北校区200名学生成绩的平均数为79.5，海淀校区300名学生成绩的平均数为77，因此估计该校初三年级所有学生本次环保知识竞赛的平均分为79.52007730078200300⨯+⨯=+，故答案为：78．24. 【答案】（1）见解析；（2）3r =【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质可得2390∠+∠=︒，根据直径所对的圆周角为直角可得190B ∠+∠=︒，根据OA OC =可得12∠=∠，从而得出3B ∠=∠；（2）根据角度的关系得出ABC 和DCA △相似，根据B ∠的正切值，设AC =，可以得到BC AB ，与k 的关系，根据Rt OCD △的勾股定理求出k 的值.【小问1详解】解：证明：连结OC ．∵CD 与O 相切，OC 为半径，∴2390∠+∠=︒∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴190B ∠+∠=︒，又∵OA OC =，∴12∠=∠，∴3B ∠=∠．【小问2详解】解：∵AB 是O 的直径，AD BC ∥，∴90DAC ACB ∠=∠=︒，∵190239012B ∠+∠=︒∠+∠=︒∠=∠，，，∴3B ∠=∠，∴ABC DCA ∽ ∴AC BC DC AB=∴B ∠，设AC =，2BC k =，则23=∴DC =在ODC 中，OD =，OC k =∴222k +=解得2k =，∴36AB k ==∴O 的半径长为3，【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解直角三角形、切线的性质和判定、切线的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．25. 【答案】（1）6.5m ；8.5m（2）见解析 （3）①结合图象，在C 处与D 处之间，包括两地即23x ≤≤；②D 处【分析】（1）把6m AB =六等分即11m 6AE EC CD DF FG GB AB =======，当 2.0x =时，点T 位于C 处，，此时 2.31 3.2 6.5m y NC CD DM =++=++=，当 4.0x =时，点T 位于F 处，此时8.5m y FD DM FC NC =+++=，计算即可．（2）根据列表，描点，画图三步骤画出图像即可．（3）①结合图象，在C 处与D 处之间，包括两地即23x ≤≤时，物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和最小．②当S 建在CD 上时，S 到M ，N 的两个城镇的距离之和最小；当S 建在DE 上时，S 到P ，Q 的两个城镇的距离之和最小；综上所述，S 建在D 处，使得S 沿公路到M 、N 、P 、Q 的距离之和最小．【小问1详解】把6m AB =六等分即11m 6AE EC CD DF FG GB AB =======，当 2.0x =时，点T 位于C 处，此时 2.31 3.2 6.5m y ND CD CM =++=++=，故 6.5m a =；当 4.0x =时，点T 位于F 处，此时1 2.32 3.28.5m y FD DN FC CM =+++=+++=，故8.5m b =；故答案为：6.5m ；8.5m【小问2详解】根据题意，画图如下：【小问3详解】①结合图象，在C 处与D 处之间，包括两地即23x ≤≤时，物流基地T 沿公路到M 、N 两个城镇的距离之和最小．②当S 建在CD 上时，S 到M ，N 的两个城镇的距离之和最小；当S 建在DE 上时，S 到P ，Q 的两个城镇的距离之和最小；综上所述，S 建在D 处，使得S 沿公路到M 、N 、P 、Q 的距离之和最小．26. 【答案】（1）()241y x =--（2）①1n =-或3n >；②12a <<或23a <<【分析】(1)设抛物线1C 向右平移h 个单位，则2()1y x h =--，将点()2,3代入求出h 即可求函数的解析式；(2)①由题意画出函数的T 的图象，再用数形结合求解即可；②分三大类：5a ≤-时，4a ≥时，54a -<<时，先确定、、A B C 所在的图象，计算出123,,y y y 的值，再分小类比较大小即可．【小问1详解】解：设抛物线1C 向右平移h 个单位，∴抛物线2C 的解析式为2()1y x h =--，∵抛物线2C 与1C 交点的横坐标为2，∴交点坐标为()2,3，∴()2321h =--，解得4h =，∴抛物线2C 的解析式为()241y x =--；【小问2详解】∵抛物线2C 与 1C 交点为()2,3，∴图形T 如图所示：∵21y x =-，∴抛物线的顶点为(0,)1-，∵直线y m =与图形T 恰好有2个公共点，∴1n =-或3n >时，图形T 与y m =有两个交点；②∵设 1(,)A a y ，2(2,)B a y +， 3)5, (C a y +，∵抛物线1C 的对称轴为0x =，∴50a +≤，即5a ≤-时，、、A B C 三点在抛物线1C 对称轴的左侧，此时123y y y >>，不符合题意；∵抛物线2C 的对称轴为 4x =，∴4a ≥时，、、A B C 三点在抛物线2C 对称轴的右侧，此时321y y y >>，不符合题意；∴54a -<<之间时存在312y y y >>的情况；∵()2²141x x -=--，∴2x =，此时抛物线1C 抛物线 2C 交于点()2,3，当52a +=时，3a =-，∴53a -<≤-时，A B C 、、三点在抛物线 1C 上，∵()12221,21y a y a =-=+-，()2351y a =+-，∴1y 的值最大，不符合题意；当22a +=时， 0a =，∴当30a -<≤时，A B 、两点在抛物线1C 上，C 点在抛物线2C 上，∴211y a =-，()2221y a =+-， ()2311y a =+-，当23y y =时，()()222111a a +-=+-， 解得 32a =-，当332a -<<-时， 132y y y >>，不符合题意；当12y y =时，()22121a a -=+-，解得 1a =-，当13y y =时，()22111a a -=+-，解得12a =-， 当112a -<<-，时，213y y y >>，不符合题意；当102a -<<时， 231y y y >>，不符合题意；当02a <<时，A 点在抛物线1C 上，B C 、点在抛物线2C 上，∴211y a =-，()2221y a =--， ()2311y a =+-，当23y y =时，()()222111a a --=+-，解得 12a =，当12y y =时，()22121a a -=--，解得 1a =，当102a <<时， 231y y y >>，不符合题意；当112a <<时，321y y y >>，不符合题意；当12a <<时，312y y y >>，符合题意；当2a <时，、、A B C 三点在抛物线2C 上，∴()2141y a =--，()2221y a =--，()2311y a =+-，当21y y =时，()()222141a a --=--，解得3a =，当23a <<时，312y y y >>，符合题意；当34a <<时，321y y y >>，不符合题意；综上所述：12a <<或23a <<时，312y y y >>．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键．27. 【答案】（1）2 （2）BC =，证明见解析【分析】（1）先证明ABF △是等边三角形，得2BF AF ==，再证明四边形BDEF 是平行四边形，得2DE BF ==．（2）过点E 作EM BC ⊥于M ，设AF 交BC 于N ，分两种情况：当点D 在线段BN 上时，当点D 在线段CN 上时，分别求解即可．【小问1详解】解：如图，∵线段BA 绕点B 顺时针旋转60︒得到线段BF ，∴BF BA =，60ABF ∠=︒，∴ABF △是等边三角形，∴2BF AF ==，∵FE BD ∥且FE BD =，∴四边形BDEF 是平行四边形，∴2DE BF ==．【小问2详解】解：BC =，证明：过点E 作EM BC ⊥于M ，设AF 交BC 于N ，当点D 在线段BN 上时，如图，∵60ABF ∠=︒，30ABC ∠=︒，∴ABC FBC ∠=∠，∵ABF △是等边三角形，∴AF BC ⊥，22AF FN AN ==，∴90FNB FNC ∠=∠=︒，∵FB AF =，∴2FB FN =，在Rt FNB △中，由勾股定理，得BN ===，∵AF BC ⊥，EM BC ⊥，∴EM FN ∥，∵FE BD ∥，∴四边形FEMN 是平行四边形，∵90FNC ∠=︒，∴四边形FEMN 是矩形，∴EF MN =，EM FN =，∴AN EM =，∵FE BD =，∴BD MN =，在ANM 与FMC 中，AD ECAND FMC AN EM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ANM FMC ≌，∴CM DN =，∴BD DN MN CM +=+即BN CN =，∴2BC BN =，∴BC ==；当点D 在线段CN 上时，如图，同理可得，BC =，∴对于BC 边上任意一点D ，始终有CE AD =，则BC =．【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．本题综合性较强，属中考常考试题．熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．28. 【答案】（1）①2；②3（24O d ≤≤（3）2m <--或1m >-+【分析】（1）①②点P 视角下图形M 的“宽度M d ”的定义解决问题即可．（2）当点P 在O 外时，点P 视角下O “宽度O d ” 4=，可得O d 的最大值为4，当OP ⊥直线1y x =-+时，O d 的最小值2OP ==，由此即可解决问题．（3）如图3中，观察图象可知当C 与直线的交点在线段DE （不包括点D ，)E 上或与直线DE 没有交点，满足条件．求出几种特殊位置点C 的坐标，即可得出结论．【小问1详解】解：①如图1中，(4,3)A ，(0,3)B ，3OB ∴=，4AB =，90∠=︒ABO ，5OA ∴===，∴点O 视角下，则线段AB 的“宽度AB d ”为532-=．②设直线AB 交B 于E ，H ．则在点A 视角下，B 的“宽度B d ” 5.5 2.53AH AE =-=-=，【小问2详解】解：如图2中，当点P 在O 外时，点P 视角下O “宽度O d ” 4=，O d ∴ 的最大值为4，当OP ⊥直线1y x =-+时，O d 的最小值2OP ==∴4O d ≤≤ ．【小问3详解】解：如图3中，观察图象可知当C 与直线的交点在线段DE （不包括点D ，)E 上或与直线DE 没有交点，满足条件．3y =+ 与x 轴，y 轴分别交于点D ，E ，(0,3)E ∴，(D -，0)，当C 在直线的左侧与直线相切时，(2C --，0)，当C 经过点D 时，(1C -+，0)，观察图象可知满足条件的m 的值为：2m <--1m >-+．【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会性质特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题(含答案)
数学练习班级________姓名________学号________学生须知1.本练习卷共6页，共26道小题，满分100分.练习时间120分钟.2.在练习卷和答题卡上准确填写班级、姓名和学号.3.答案一律填写在答题纸上，在练习卷上作答无效.4.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答.一.选择题（每题2分，共16分）1.下列关系式中，属于二次函数的是（）.A. B. C. D.2.抛物线的顶点坐标是（ ）.A. B. C. D.3.一元二次方程的解为（ ）.A.，B.，C.，D.，4.二次函数与轴的公共点个数是（ ）.A.0个B.1个C.2个D.3个5.如果在二次函数的表达式中，，，，那么这个二次函数的图象可能是（）.A.B. C. D.6.关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ）.A.且 B.且 C. D.7.已知二次函数，分别取，，，那么对应的函数值为，，中，最大的为（ ）.A. B. C. D.不能确定8.如图，直线与轴交于点，与直线交于点，以线段为边向左作菱形，点恰与原点重合，抛物线的顶点在直线移动.若抛物线与菱形的边、都23x y =y =213y x =-3y x =-()2314y x =++()1,4-()1,4--()1,4()1,4-2430x x -+=11x =-23x =11x =23x =11x =-23x =-11x =23x =-223y x x =++x 2y ax bx c =++0a >0b <0c >x ()()2212110k x k x -+++=k 14k >1k ≠14k ≥1k ≠14k >14k ≥22y x x c =-++11x =-212x =32x =1y 2y 3y 1y 2y 3y 122y x =-+y A 12y x =D AD ABCD C O ()2y x h k =-+12y x =AD CD有公共点，则的取值范围是（）.A. B. C. D.二.填空题（每题2分，共16分）9.用配方法解方程，配方后所得的方程是________.10.关于的方程的一个解是，则值为________.11.已知关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是________.12.某学校开展的课外阅读活动中，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字.设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意，可列方程________.13.已知函数.若，则________.14.如图，点、在的图象上.已知、的横坐标分别为、4，连接、.若函数的图象上存在点，使的面积等于的面积的一半，则这样的点共有________个.15.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤方程的两个根是和1.其中结论正确的是________.16.如图，网格（每个小正方形的边长为1）中有、、、、、、、、九个格点，抛物线的解析式为（为整数）.h 122h -≤≤12h -≤≤312h -≤≤112h -≤≤2650x x -+=x 22424x kx k ++=2-k x 2210x x m +-+=m x 2,0122,1x x y x x ⎧≤<=⎨-≥⎩2y =x =A B 214y x =A B 2-OA OB 214y x =P PAB △AOB △P ()20y ax bx c a =++≠0abc <20a b ->0a b c ++=80a c +>20ax bx c ++=3-22⨯A B C D E F G H O l ()21ny x bx c =-++n（1）若为偶数，且抛物线经过点和，则抛物线还经过网格上的________点；（2）若经过这九个格点中的三个，则所有满足这样条件的抛物线共有________条.三.解答题（共68分，第17、20题每题8分，第18、19、21、24题每题6分，第22、23、25、26题每题7分）17.解方程：（1）；（2）.18.小马与小郭两位同学解方程的过程如下表：小马：两边同除以，得，则.小郭：移项，得，提取公因式，得.则或，解得，.（1）你认为他们的解法是否正确？若正确，请在对应的括号内打“√”；若错误，请在对应的括号内打“×”；（2）请写出你的解答过程.19.已知关于的一元二次方程.（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值.20.已知抛物线经过点和.（1）求和的值；（2）列表并画出函数图象；（3）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式.n l ()1,0A ()2,0B l l 2450x x --=2310x x -+=()()2333x x -=-()3x -33x =-6x =()()23330x x ---=()()3330x x ---=30x -=330x --=13x =20x =x 22430x mx m -+=0m >m ()21y a x k =-+()0,3-()3,0a k21.如图，已知过原点的抛物线与轴交于另一点.（1）求的值和抛物线顶点的坐标；（2）根据图象，直接写出不等式的解集.22.某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现，这种双肩包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：.设这种双肩包每天的销售利润为元.（1）求与之间的函数表达式；（2）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？（3）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23.某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为.（1）求雕塑高；（2）求落水点、之间的距离；（3）若需要在上的点处竖立一尊高3米的雕塑，且，那么雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明.22y x mx =+x ()2,0A m M 2224x mx x +>-y x ()603060y x x =-+≤≤w w x O OA A x O A y x C D ()21566y x =--+OA C D OD E EF 9m OE =F24.已知关于的二次函数（实数，为常数）.（1）若二次函数的图象经过点，对称轴为，求此二次函数的表达式；（2）若，当时，二次函数的最小值为21，求的值；（3）记关于的二次函数，若在（1）的条件下，当时，总有，请直接写出实数的最小值.25.已知，点在直线上，以为边作等边（要求点、、为逆时针顺序），过点作于点.请解答下列问题：（1）当点在图①位置时，求证：；（2）当点在图②位置时，请直接写出线段，，的数量关系；（3）当点在图③位置时，补全图形并直接写出线段，，的数量关系.26.在平面直角坐标系中，对于点和点，给出如下定义：若，则称点为点的勤学点.例如：点的勤学点的坐标是，点的勤学点的坐标是.（1）①点的勤学点的坐标是________；②点是函数图象上某一个点的勤学点，则的值为________；（2）若点在函数（，）的图象上，求其勤学点的纵坐标的取值范围（结果可用含的代数式表示）；（3）若点在关于的二次函数的图象上，其勤学点的纵坐标的取值范围是或，其中.令，直接写出关于的函数解析式及的取值范围.x 21y x bx c =++b c ()0,41x =20b c -=3b x b -≤≤b x 222y x x m =++01x ≤≤21y y ≥m 60ABC ∠=︒F BC AF AFE △A F E E ED AB ⊥D F AD BF BD +=F AD BF BD F AB BF BD xOy (),P a b (),Q a b '1,1,1b a b b a +≥⎧=⎨-<'⎩QP ()2,3()2,4()2,5-()2,5--()()2,A a 4y x =a P 2y x =+3k x ≤<73k -<<Q b 'k P x 222y x tx t t =-+-+Q b 'b m'>b n '≤m n >s m n =-s t t北京四中10月参考答案一、选择1-8 A A B A C D B A8.提示：将与联立得：，解得：.点的坐标为.由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为.将，，代入得得：，解得，抛物线的解析式为.当抛物线经过点时.将代入得：，解得：（舍去），.当抛物线经过点时.将代入得：，整理得：，解得：，（舍去）.综上所述，的范围是.二、填空9.10.0或411.12.13.214.4个15.①③④⑤16.点，8条16.提示：（1）为偶数时，，经过点和，122y x =-+12y x =12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩21x y =⎧⎨=⎩∴D ()2,1(),h k x h =y k =12y x =12h k =12k h =∴()212y x h h =-+C ()0,0C ()212y x h h =-+2102h h +=10h =212h =-D ()2,1D 21()2y x h h =-+()21212h h -+=22760h h -+=12h =232h =h 122h -≤≤()234x -=2m ≤()21001121x +=F n 2y x bx c =++l ()1,0A ()2,0B，解得，抛物线解析式为，当时，，点在抛物线上，抛物线还经过网格上的点；（2）所有满足条件的抛物线共有8条.当为奇数时，由（1）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-1所示；当为偶数时，由（2）中的抛物线平移又得到3条抛物线，如答图3-2所示.三、解答题17.（1）5，（218.小马×，小郭×，，619.（1）证明：，，，.无论取何值时，，即，原方程总有两个实数根.（2）解：，即，，.，且该方程的两个实数根的差为2，，.20.（1），；（2）略；（3）21.（1），；（2）或22.解：（1），与之间的函数解析式；（2）当时，，解得，，10420b c b c ++=⎧∴⎨++=⎩32b c =-⎧⎨=⎩∴232y x x =-+0x =2y =∴()0,2F ∴F n n 1-3x =1a =Q 4b m =-23c m =()2222444134b ac m m m ∴∆=-=--⨯⨯=Q m 240m ≥0∆≥∴22430x mx m -+=Q ()()30x m x m --=1x m ∴=23x m =0m >Q 32m m ∴-=1m ∴=1a =4k =-()222y x =--4m =-()1,2M -1x <2x >()()()2230603030601800901800w x y x x x x x x x =-⋅=-+-=-++-=-+-w x ()29018003060w x x x =-+-≤≤200w =2901800200x x -+-=140x =250x =，不符合题意，舍，答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元；（3）根据题意得：，当时，有最大值，最大值是225.23.（1）；（2）；（3）不会碰水.24.解：（1）二次函数的图象经过点，；对称轴为直线：，，此二次函数的表达式为：.（2）当时，，此时函数的表达式为：，根据题意可知，需要分三种情况：①当，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；②，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得，（舍去）；③，即时，二次函数的最小值在处取到；，解得.综上所述，的值为或4.（3）由（1）知，二次函数的表达式为：，对称轴为直线：，当时，随的增大而减小，且最大值为4；二次函数的对称轴为直线：，且，当时，随的增大而增大，且最小值为，当时，总有，，即的最小值为4.25.（1）如图，证，，则；5048>Q 250x =()2290180045225w x x x =-+-=--+45x =w 116OA =22CD =109,3F ⎛⎫⎪⎝⎭()0,44c ∴=12bx =-=2b ∴=-∴2124y x x =-+20b c -=2b c =221y x bx b =++2bb <-0b <x b =22221b b b ∴++=1b =2b =32bb ->-2b >3x b =-()()223321b b b b ∴-+-+=34b =41b =-32b b b -≤-≤02b ≤≤2bx =-222122b b b b ⎛⎫⎛⎫∴-+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b =±b 2124y x x =-+1x =∴01x ≤≤y x 222y x x m =++14x =-20>∴01x ≤≤y x m 01x ≤≤21y y ≥4m ∴≥m ADE FHE △≌△BDE BHE △≌△BD BH FH BF AD BF ==+=+（2）；（3）.26.（1）①；②9（2）当时，；当时，或；当时，.（3），.BD AD BF =-2AB BD BF +=()1-13k ≤<36k b +≤'<61k -<<32b k -<≤--'46b ≤'<76k -<≤-36b -<'<24s t t =-4t >。
北京四中2016-2017学年度初三上期中考试数学试卷含答案
6．如图，在网格中，小正方形的边长均为 1， 点 A，B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是（ ）
A．2B．2 5 5
C．
55
D．21
7． 如 图 ， 将 线 段 AB 绕 点 O 顺 时 针 旋 转 90° 得到线段 A′B′，则 A（﹣2，5）的对应点 A′的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2） 8．某 抛 物 线 的 顶 点 为 （ 2， ﹣ 1 ） ， 与 x 轴 相 交 于 P、 Q 两 点 ， 若 此 抛 物 线 通 过 （ 1， a） 、 （ 3， b） 、 （ ﹣1， c） 、 （ ﹣3， d） 四 点 ， 则 a、
点为点 A，与 y 轴的交点为点 B，一次函数 y3 kx m ( k，m 为常数， k≠0)的图象经过 A，B 两点，当 y2 y3 时，直接写出 x 的取值范围．
5 / 15
22
（3）在 x 轴上存在一点 P，满足点 P 到 A1 与点 A 距离之和最小，
2
请直接写出 P 点的坐标．
4 / 15
北京四中 2016-2017 学年度第一学期初三年级期中考试数学学科
22．已知：如图，四边形 ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°， AD 5 3 ， AB＝3，求 BC的长．
24.
设二次函数
y
1
x2
4x
3
的图象为
C
．二次函数
1
y
ax2 bx c(a 0) 的图象
2
与 C 关于 y 轴对称．
1
（1）求二次函数 y2 ax2 bx c 的解析式；
（2）当 3 x ≤0 时，直接写出 y2 的取值范 围；
2016-2017年北京四中九年级(下)第一次月考数学试卷(解析版)
2016-2017学年北京四中九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米．将6700 000用科学记数法表示应为（）A．67×106B．6.7×106C．6.7×106D．0.67×106 2．（3分）如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（）A．p B．q C．m D．n3．（3分）如图是一个几何体的三视图，那么这几何体的展开图可以是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1＝35°，则∠B的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．65°5．（3分）已知＝3，则的值为（）A．12B．9C．6D．36．（3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．7．（3分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数可估计为（）A．3000条B．2200条C．1200条D．600条8．（3分）若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．（3分）李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用P点表示李阿姨家的位置）（）A．B．C．D．10．（3分）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝．12．（3分）分式有意义的条件是．13．（3分）写出一个过点（1，﹣1），且当自变量x＞0时y随x的增大而增大的函数表达式．14．（3分）如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC ＝50cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为cm．15．（3分）居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为元．16．（3分）在数学课上，老师提出如下问题：小云的作法如下：老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：．18．（5分）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式（x+2）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，且BD＝AC，过点D 作DE⊥AB于点E，过点B作CB的垂线，交DE的延长线于点F．求证：AB＝DF．20．（5分）已知关于x的方程x2+3x+＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．21．（5分）如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点B的坐标为（2m，﹣m）．（1）求出m值并确定反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．22．（5分）为了把通州区打造成宜居的北京城市副中心，区政府对地下污水排放设施进行改造．某施工队承担铺设地下排污管道任务共2200米，为了减少施工对周边交通环境的影响，施工队进行技术革新，使实际平均每天铺设管道的长度比原计划多10%，结果提前两天完成任务．求原计划平均每天铺设排污管道的长度．23．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求tan∠EAD的值．24．（5分）“世界那么大，我想去看看”是现代很多人追求的生活方式之一．根据北京市旅游发展委员会发布的信息显示，2012﹣﹣2015年连续四年，我市国内旅游市场保持了稳定向好的态势.2012年，旅游总人数约2.31亿人次，同比增长8.1%；2013年，旅游总人数约2.52亿人次，同比增长9%；2014年，旅游总人数约 2.61亿人次，同比增长3.8%；2015年，旅游总人数2.73亿人次，同比增长4.3%；预计2016年旅游总人数与2015年同比增长5%．旅游不仅是亲近自然的好时机，同时也是和家人朋友沟通的好时机，调查显示，中秋国庆黄金假期成为人们选择旅游最佳时期，《2015年中秋国庆长假出游趋势报告》显示，人们出行的方式可以归纳为四种，即乘火车、乘汽车、坐飞机、其他．其中选择乘火车出行的人数约占47%，选择乘汽车出行的人数约占28%，选择坐飞机出行的人数约占17%．根据以上信息解答下列问题：（1）预计2016年北京市旅游总人数约亿人次（保留两位小数）；（2）选择其他出行方式的人数约占；（3）请用统计图或统计表，将2012﹣﹣2015年北京市旅游总人数表示出来．25．（5分）如图，CE是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交CE延长线于点A，连接DE，过点O作OB∥ED，交AD的延长线于点B，连接BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AE＝2，tan∠DEO＝，求AO的长．26．（5分）探究活动：利用函数y＝（x﹣1）（x﹣2）的图象（如图1）和性质，探究函数y＝的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是；（2）如图2，他列表描点画出了函数y＝图象的一部分，请补全函数图象；解决问题：设方程﹣x﹣b＝0的两根为x1、x2，且x1＜x2，方程x2﹣3x+2＝x+B的两根为x3、x4，且x3＜x4．若1＜b＜，则x1、x2、x3、x4的大小关系为（用“＜”连接）．27．（7分）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1＝0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y＝x+b （b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．28．（7分）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）29．（8分）我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣d．（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A（﹣1，0）的距离跨度；B（，﹣）的距离跨度；C（﹣3，2）的距离跨度；②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y＝k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OA：y＝x（x≥0），圆C是以3为半径的圆，且圆心C在x轴上运动，若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，直接写出圆心C的横坐标x c的取值范围．2016-2017学年北京四中九年级（下）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．（3分）长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米．将6700 000用科学记数法表示应为（）A．67×106B．6.7×106C．6.7×106D．0.67×106【解答】解：将6700 000用科学记数法表示为6.7×106．故选：B．2．（3分）如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q＝0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（）A．p B．q C．m D．n【解答】解：∵n+q＝0，∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的点P表示的数p，故选：A．3．（3分）如图是一个几何体的三视图，那么这几何体的展开图可以是（）A．B．C．D．【解答】解：根据几何体三视图可知，该几何体是圆柱体，圆柱体的展开图是两个圆和一个矩形，故选：A．4．（3分）如图，△ABC中，∠A＝90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1＝35°，则∠B的度数为（）A．25°B．35°C．55°D．65°【解答】解：∵DE∥BC，∠1＝35°，∴∠C＝∠1＝35°．∵∠A＝90°，∴∠B＝90°﹣35°＝55°．故选：C．5．（3分）已知＝3，则的值为（）A．12B．9C．6D．3【解答】解：由于，∴x＝3y，∴原式＝＝12故选：A．6．（3分）在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：C．7．（3分）为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘．再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的条数可估计为（）A．3000条B．2200条C．1200条D．600条【解答】解：∵×100%＝2.5%∴30÷2.5%＝1200．故选：C．8．（3分）若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（）A．30°B．60°C．90°D．120°【解答】解：∵正多边形的一个外角为60°，∴正多边形的边数为＝6，其中心角为＝60°．故选：B．9．（3分）李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y（单位：米）与时间t（单位：分）的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是（用P点表示李阿姨家的位置）（）A．B．C．D．【解答】解：由函数图象的变化趋势，得路程变远，路程不变，路程变近，故D符合题意；故选：D．10．（3分）为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如图图形，其中AB⊥BE，EF⊥BE，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有（）A．1组B．2组C．3组D．4组【解答】解：此题比较综合，要多方面考虑，①因为知道∠ACB和BC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；②可利用∠ACB和∠ADB的正切求出AB；③，因为△ABD∽△EFD可利用＝，求出AB；④无法求出A，B间距离．故共有3组可以求出A，B间距离．故选：C．二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．（3分）分解因式：2x3﹣8x＝2x（x﹣2）（x+2）．【解答】解：2x3﹣8x，＝2x（x2﹣4），＝2x（x+2）（x﹣2）．12．（3分）分式有意义的条件是x≠﹣1．【解答】解：由题意得：x+1≠0，解得：x≠﹣1，故答案为：x≠﹣1．13．（3分）写出一个过点（1，﹣1），且当自变量x＞0时y随x的增大而增大的函数表达式y＝﹣．【解答】解：设函数解析式为y＝，∵过点（1，﹣1），∴﹣1＝，k＝﹣1，∴函数解析式为y＝﹣．故答案为：y＝﹣．14．（3分）如图，O为跷跷板AB的中点，支柱OC与地面MN垂直，垂足为点C，且OC ＝50cm，当跷跷板的一端B着地时，另一端A离地面的高度为100cm．【解答】解：如图，过点A作AD⊥MN于点D，则AD∥OC．∵O是AB的中点，∴OC是△ABD的中位线，∴AD＝2OC＝2×50＝100（cm）．故答案是：100．15．（3分）居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为1446元．【解答】解：根据题意得：2880×0.48+（3000﹣2880）×0.53＝1446（元），则2014年小敏家电费为1446元．故答案为：1446．16．（3分）在数学课上，老师提出如下问题：小云的作法如下：老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．【解答】解：根据作图可得，AB＝BC＝AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形），∴AD∥BC（菱形的对边平行），即AD∥l，故答案为：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．（5分）计算：．【解答】解：＝1+×﹣3+2＝1+1﹣3+2＝118．（5分）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式（x+2）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2的值．【解答】解：（x+2）2﹣（x+2）（x﹣2）+x2＝x2+4x+4﹣x2+4+x2＝x2+4x+8，∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x＝1∴原式1+8＝919．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC上，且BD＝AC，过点D 作DE⊥AB于点E，过点B作CB的垂线，交DE的延长线于点F．求证：AB＝DF．【解答】证明：∵∠ACB＝∠FBD＝∠90°，∵DE⊥AB，∴∠A+∠ABC＝∠ABC+∠BDE＝90°，∴∠A＝∠BDE．在△ABC与△BDF中，，∴△ABC≌△BDF，∴AB＝DF．20．（5分）已知关于x的方程x2+3x+＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+3x+＝0有两个不相等的实数根，∴△＝32﹣4×1×＝9﹣3m＞0，∴m＜3；（2）∵m＜3，∴符合条件的最大整数是2，∴原方程为x2+3x+＝0，解得：x1＝，x2＝．21．（5分）如图，一次函数y1＝﹣x+2的图象与反比例函数y2＝的图象相交于A，B两点，点B的坐标为（2m，﹣m）．（1）求出m值并确定反比例函数的表达式；（2）请直接写出当x＜m时，y2的取值范围．【解答】解：（1）∵据题意，点B的坐标为（2m，﹣m）且在一次函数y1＝﹣x+2的图象上，代入得﹣m＝﹣2m+2．∴m＝2．∴B点坐标为（4，﹣2），把B（4，﹣2）代入y2＝得k＝4×（﹣2）＝﹣8，∴反比例函数表达式为y2＝﹣；（2）当0＜x＜2时，y2的取值范围是y2＜﹣4，当x＜0时，y2＞0．22．（5分）为了把通州区打造成宜居的北京城市副中心，区政府对地下污水排放设施进行改造．某施工队承担铺设地下排污管道任务共2200米，为了减少施工对周边交通环境的影响，施工队进行技术革新，使实际平均每天铺设管道的长度比原计划多10%，结果提前两天完成任务．求原计划平均每天铺设排污管道的长度．【解答】解：设原计划平均每天铺设排污管道x米，依题意得，解这个方程得：x＝100，经检验，x＝100是这个分式方程的解，故这个方程的解是x＝100．答：原计划平均每天铺设排污管道的长度是100米．23．（5分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求tan∠EAD的值．【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形ODEC是平行四边形．又∵菱形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．∴四边形ODEC是矩形．（2）如图，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于F．∵AC⊥BD，∠ADB＝60°，AD＝2，∴OD＝，AO＝OC＝3．∵四边形ODEC是矩形，∴DE＝OC＝3，∠ODE＝90°．又∵∠ADO+∠ODE+∠EDF＝180°，∴∠EDF＝30°．在Rt△DEF中，∠F＝90°，∠EDF＝30°．∴EF＝．∴DF＝．在Rt△AFE中，∠DFE＝90°，∴tan∠EAD＝．24．（5分）“世界那么大，我想去看看”是现代很多人追求的生活方式之一．根据北京市旅游发展委员会发布的信息显示，2012﹣﹣2015年连续四年，我市国内旅游市场保持了稳定向好的态势.2012年，旅游总人数约2.31亿人次，同比增长8.1%；2013年，旅游总人数约2.52亿人次，同比增长9%；2014年，旅游总人数约 2.61亿人次，同比增长3.8%；2015年，旅游总人数2.73亿人次，同比增长4.3%；预计2016年旅游总人数与2015年同比增长5%．旅游不仅是亲近自然的好时机，同时也是和家人朋友沟通的好时机，调查显示，中秋国庆黄金假期成为人们选择旅游最佳时期，《2015年中秋国庆长假出游趋势报告》显示，人们出行的方式可以归纳为四种，即乘火车、乘汽车、坐飞机、其他．其中选择乘火车出行的人数约占47%，选择乘汽车出行的人数约占28%，选择坐飞机出行的人数约占17%．根据以上信息解答下列问题：（1）预计2016年北京市旅游总人数约 2.87亿人次（保留两位小数）；（2）选择其他出行方式的人数约占8%；（3）请用统计图或统计表，将2012﹣﹣2015年北京市旅游总人数表示出来．【解答】解：（1）由题意可得：预计2016年北京市旅游总人数约：2.73（1+5%）≈2.87；故答案为：2.87；（2）选择其他出行方式的人数约占：1﹣47%﹣17%﹣28%＝8%；故答案为：8%；（3）统计表如下图所示：2012﹣﹣2015年北京市旅游总人数25．（5分）如图，CE 是⊙O 的直径，D 为⊙O 上一点，过点D 作⊙O 的切线，交CE 延长线于点A ，连接DE ，过点O 作OB ∥ED ，交AD 的延长线于点B ，连接BC ．（1）求证：直线BC 是⊙O 的切线；（2）若AE ＝2，tan ∠DEO ＝，求AO 的长．【解答】解：（1）连接OD ，∵DE ∥BO ，∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∵OD ＝OE ，∴∠3＝∠4，∴∠1＝∠2，在△DOB 与△COB 中，，∴△DOB ≌△COB ，∴∠OCB＝∠ODB，∵BD切⊙O于点D，∴∠ODB＝90°，∴∠OCB＝90°，∴AC⊥BC，∴直线BC是⊙O的切线；（2）∵∠DEO＝∠2，∴tan∠DEO＝tan∠2＝，设OC＝r，BC＝r，由（1）证得△DOB≌△COB，∴BD＝BC＝r，由切割线定理得：AD2＝AE•AC＝2（2+r），∴AD＝2，∵DE∥BO，∴，∴，∴r＝1，∴AO＝3．26．（5分）探究活动：利用函数y＝（x﹣1）（x﹣2）的图象（如图1）和性质，探究函数y＝的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y＝的自变量x的取值范围是x≤1或x≥2；（2）如图2，他列表描点画出了函数y＝图象的一部分，请补全函数图象；解决问题：设方程﹣x﹣b＝0的两根为x1、x2，且x1＜x2，方程x2﹣3x+2＝x+B的两根为x3、x4，且x3＜x4．若1＜b＜，则x1、x2、x3、x4的大小关系为x1＜x3＜x4＜x2（用“＜”连接）．【解答】解：（1）∵（x﹣1）（x﹣2）≥0，∴x≤1或x≥2；（2）根据自变量x的取值范围可知，当x≥2时也有对应的函数图象，补全后的函数图象如下图所示：（3）方程﹣x﹣b＝0等价于方程＝x+b，方程的两根x1、x2相当于函数y＝与函数y＝x+b图象的两个交点的横坐标，方程x2﹣3x+2＝x+b的两根为x3、x4，相当于函数y＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）与函数y＝x+b图象的两个交点的横坐标，又∵1＜b＜，所以，在同一平面直角从标系中，画出函数图象，如图所示：故x1＜x3＜x4＜x2．27．（7分）已知关于x的一元二次方程2x2+4x+k﹣1＝0有实数根，k为正整数．（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y＝2x2+4x+k﹣1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y＝x+b （b＜k）与此图象有两个公共点时，b的取值范围．【解答】解：（1）由题意得，△＝16﹣8（k﹣1）≥0．∴k≤3．∵k为正整数，∴k＝1，2，3；（2）设方程2x2+4x+k﹣1＝0的两根为x1，x2，则x1+x2＝﹣2，x1•x2＝．当k＝1时，方程2x2+4x+k﹣1＝0有一个根为零；当k＝2时，x1•x2＝，方程2x2+4x+k﹣1＝0没有两个不同的非零整数根；当k＝3时，方程2x2+4x+k﹣1＝0有两个相同的非零实数根﹣1．综上所述，k＝1和k＝2不合题意，舍去，k＝3符合题意．当k＝3时，二次函数为y＝2x2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y＝2x2+4x﹣6；（3）设二次函数y＝2x2+4x﹣6的图象与x轴交于A、B两点，则A（﹣3，0），B（1，0）．依题意翻折后的图象如图所示．当直线y＝x+b经过A点时，可得b＝；当直线y＝x+b经过B点时，可得b＝﹣．由图象可知，符合题意的b（b＜3）的取值范围为＜b＜．（3）依图象得，要图象y＝x+b（b小于k）与二次函数图象有两个公共点时，显然有两段．而因式分解得y＝2x2+4x﹣6＝2（x﹣1）（x+3），第一段，当y＝x+b过（1，0）时，有一个交点，此时b＝﹣．当y＝x+b过（﹣3，0）时，有三个交点，此时b＝．而在此中间即为两个交点，此时﹣＜b＜．第二段，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折后，开口向下的部分的函数解析式为y＝﹣2（x﹣1）（x+3）．显然，当y＝x+b与y＝﹣2（x﹣1）（x+3）（﹣3＜x＜1）相切时，y＝x+b与这个二次函数图象有三个交点，若直线再向上移，则只有两个交点．因为b＜3，而y＝x+b（b小于k，k＝3），所以当b＝3时，将y＝x+3代入二次函数y ＝﹣2（x﹣1）（x+3）整理得，4x2+9x﹣6＝0，△＞0，所以方程有两根，那么肯定不将有直线与两截结合的二次函数图象相交只有两个公共点．这种情况故舍去．综上，﹣＜b＜．28．（7分）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．特殊发现：如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．问题探究：把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）【解答】解：（1）如图2，过点P作PM⊥CE于点M，，PC＝PE成立，理由如下：∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB，∴，∵点P是BF的中点，∴EM＝MC，又∵PM⊥CE，∴PC＝PE．（2）如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，，PC＝PE成立，理由如下：∵∠DAF＝∠EAF，∠FDA＝∠FEA＝90°，在△DAF和△EAF中，，∴△DAF≌△EAF（AAS），∴AD＝AE，在△DAP和△EAP中，，∴△DAP≌△EAP（SAS），∴PD＝PE，∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，∴FD∥BC∥PM，∴，∵点P是BF的中点，∴DM＝MC，又∵PM⊥AC，∴PC＝PD，又∵PD＝PE，∴PC＝PE．（3）如图4，，∵△CPE总是等边三角形，∴将△AEF绕着点A顺时针旋转180°，△CPE仍是等边三角形，∵∠BCF＝∠BEF＝90°，点P是BF的中点，∴点C、E在以点P为圆心，BF为直径的圆上，∵△CPE是等边三角形，∴∠CPE＝60°，根据圆周角定理，可得∠CBE＝∠CPE＝60°＝30°，即∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，∵＝k，＝tan30°，∴k＝tan30°＝，∴当k为时，△CPE总是等边三角形．29．（8分）我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣d．（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：A（﹣1，0）的距离跨度；B（，﹣）的距离跨度；C（﹣3，2）的距离跨度；②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是圆．（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y＝k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OA：y＝x（x≥0），圆C是以3为半径的圆，且圆心C在x轴上运动，若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，直接写出圆心C的横坐标x c的取值范围．【解答】解：（1）如图1，①∵图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，∴直径为4，∵A（﹣1，0），OA＝1，∴点A到⊙O的最小距离d＝MA＝OM﹣OA＝1，点A到⊙O的最大距离D＝AN＝ON+OM＝2+1＝3，∴点A到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝3﹣1＝2；∵B（，﹣），∴OB＝＝1，∴点B到⊙O的最小距离d＝BG＝OG﹣OB＝1，点B到⊙O的最大距离D＝BF＝FO+OB＝2+1＝3，∴点B到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝3﹣1＝2；∵C（﹣3，2），∴OC＝＝，∴点C到⊙O的最小距离d＝CD＝OC﹣OD＝﹣2，点C到⊙O的最大距离D＝CE＝OC+OE＝2+∴点C到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝2+﹣（﹣2）＝4；∴圆，理由：①设⊙O内一点P的坐标为（x，y），∴OP＝，∴点P到⊙O的最小距离d＝2﹣OP，点P到⊙O的最大距离D＝2+OP，∴点P到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝2+OP﹣（2﹣OP）＝2OP；∵图形G1的距离跨度为2，∴2OP＝2，∴OP＝1，∴＝1，∴x2+y2＝1，即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．②设⊙O外一点Q的坐标为（x，y），∴OQ＝，∴点Q到⊙O的最小距离d＝OQ﹣2，点P到⊙O的最大距离D＝OQ+2，∴点P到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝OQ+2﹣（OQ﹣2）＝4；∵图形G1的距离跨度为2，∴此种情况不存在，所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．故答案为：圆；（2）设直线y＝k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m+1）），∴CP＝，由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，∵图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，到G2的距离跨度为2的点，∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4，∴点P在图形G2⊙C内部，∴R＝2CP＝2，∵直线y＝k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P，∴2＝2，∴（k2+1）m2+2（k2﹣1）m+k2＝0①，∵存在点P，∴方程①有实数根，∴△＝4（k2﹣1）2﹣4×（k2+1）k2＝﹣12k2+4≥0，∴﹣≤k≤，（3）同（2）的方法得出，射线OA上存在点P到圆C的距离跨度为2时，点P在圆内，设点P（n，n），（n＞0），∵圆心C（x2，0），∴PC＝＝×2＝1，∴n2﹣2x2n+x22﹣1＝0，∴射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，∴，∴﹣1≤x2≤2．。
北京四中九年级(上)第二次月考数学试卷
九年级（上）第二次月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.抛物线y=（x-1）2+2的对称轴为（）A. 直线x=1B. 直线x=−1C. 直线x=2D. 直线x=−22.在Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=5，则tan A的值为（）A. 55B. 255C. 12D. 23.如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A. (−4,−3)B. (−3,−3)C. (−4,−4)D. (−3,−4)4.如图，AC是⊙O的直径，B，D是圆上两点，连接AB，BC，AD，BD．若∠CAB=55°，则∠ADB的度数为（）A. 55∘B. 45∘C. 35∘D. 25∘5.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB=8，OC=5，则CD的长是（）A. 3B. 2.5C. 2D. 16.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A. B. C. D.7.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系p=at2+bt+c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟8.如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（-2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A. −1B. −3C. −5D. −7二、填空题（本大题共9小题，共21.0分）9.已知锐角α满足tanα=33，则α=______°．10.如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，如果∠DCE=75°，那么∠BAD的度数是______．11.请写出一个图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，-1）的二次函数表达式______．12.利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为______．13.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为______．14.已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么当y＞0时，x的取值范围是______．15.垂足分别为M、N．如果MN=2.5，那么BC=______．16.如图，⊙O的半径为3，A，P两点在⊙O上，点B在⊙O内，tan∠APB=43，AB⊥AP．如果OB⊥OP，那么OB的长为______．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别为A（2，6），B（4，2），C（6，2）．（1）在第一象限内，以原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△DEF，请画出△DEF．（2）在（1）的条件下，点A的对应点D的坐标为______，点B的对应点E的坐标为______．三、计算题（本大题共1小题，共7.0分）18.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B、C（点B在点C左侧）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求点B的坐标；（3）若抛物线C2：y=a（x-1）2-1（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．四、解答题（本大题共10小题，共56.0分）19.计算：2sin60°-4cos230°+sin45°•tan60°．20.如图，△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，求tan C的值．21.已知二次函数的解析式是y=x2-2x-3．（1）与y轴的交点坐标是______，顶点坐标是______．（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；（）结合图象回答：当＜＜时，函数值的取值范围是______．22.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代语言表述为：如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=1寸，CD=10寸，求直径AB的长．请你解答这个问题．23.如图，在△ABC中，点D在BC边上，∠DAC=∠B．点E在AD边上，CD=CE．（1）求证：△ABD∽△CAE；（2）若AB=6，AC=92，BD=2，求AE的长．24.奥林匹克公园观光塔由五座高度不等、错落有致的独立塔组成．在综合实践活动课中，某小组的同学决定利用测角仪测量这五座塔中最高塔的高度（测角仪高度忽略不计）．他们的操作方法如下：如图，他们先在B处测得最高塔塔顶A的仰角为45°，然后向最高塔的塔基直行90米到达C处，再次测得最高塔塔顶A的仰角为58°．请帮助他们计算出最高塔的高度AD约为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）25.一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度AB=8m，隧道的最高点C到公路的距离为6m．（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）现有一辆货车的高度是4.4m，货车的宽度是2m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少0.5m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．26.如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．PC是⊙O的切线，C为切点，PD⊥AB于点D，交AC于点E．（1）求证：∠PCE=∠PEC；（2）若AB=10，ED=32，sin A=35，求PC的长．27.在△ABC中，BA=BC，∠ABC=α（0°＜α＜180°），点P为直线BC上一动点（不与点B，C重合），连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转α度得到线段PQ，连接CQ．（1）当α=90°，且点P在线段BC上时，过P作PF∥AC交直线AB于点F，如图1，图中与△APF全等的一个三角形是______，∠ACQ=______°．（2）当点P在BC延长线上，AB：AC=m：n时，如图2，试求线段BP与CQ的比值；（3）当点P在直线BC上，α=60°，∠APB=30°，CP=4时，请直接写出线段CQ的长．28.在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点．（1）已知点A的坐标为（-3，1），①在点R（0，4），S（2，2），T（2，-3）中，为点A的同族点的是______；②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为______；（2）直线l：y=x-3，与x轴交于点C，与y轴交于点D，①M为线段CD上一点，若在直线x=n上存在点N，使得M，N两点为同族点，求n的取值范围；②M为直线l上的一个动点，若以（m，0）为圆心，2为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵y=（x-1）2+2，∴对称轴为直线x=1，故选：A．由抛物线解析式可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．2.【答案】C【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，若BC=1，AB=，∴AC==2；∴tanA==；故选：C．首先根据勾股定理求得直角边AC的长度；然后由锐角三角函数的定义求得tanA的值．本题综合考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、勾股定理．掌握相应的锐角三角函数值的求法是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：由图中可知，点P的坐标为（-4，-3），故选A．作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．4.【答案】C【解析】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵∠CAB=55°，∴∠ACB=35°，∴∠ADB=∠ACB=35°．故选：C．根据直径得出∠ABC=90°，求出∠ACB的度数，由圆周角定理即可推出∠ADB 的度数．本题主要考查了圆周角的有关定理，关键作好辅助线，构建直角三角形，找到同弧所对的圆周角．5.【答案】C【解析】解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5-x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5-x）2∴x=2，∴CD=2，故选：C．根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．6.【答案】C【解析】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：C．根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．7.【答案】B【解析】解：根据题意，将（3，0.7）、（4，0.8）、（5，0.5）代入p=at2+bt+c，得：，解得：，即p=-0.2t2+1.5t-2，当t=-=3.75时，p取得最大值，故选：B．根据题目数据求出函数解析式，根据二次函数的性质可得．本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的图象和性质求最值问题是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（-2，0），当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（-5，0），故点M的横坐标的最小值为-5，故选：C．根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（-2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．9.【答案】30【解析】解：∵tanα=，∴α=30°．故答案为：30．直接利用特殊角的三角函数值得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．10.【答案】75°【解析】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠DCE=75°，∴∠BAD=∠DCE=75°，故答案为：75°．直接利用圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角求解可得．本题主要考查圆内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质：①圆内接四边形的对角互补．②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．11.【答案】y=-x2+2x-1（答案不唯一）【解析】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，-1），∴a＜0，c=-1，∴二次函数表达式为：y=-x2+2x-1（答案不唯一）．故答案为：y=-x2+2x-1（答案不唯一）．根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式．此题主要考查了二次函数的性质，得出a的符号和c=-1是解题关键．12.【答案】1：16【解析】解：因为原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，所以放大前后的两个三角形的面积比为1：16，故答案为：1：16．根据等边三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答即可．本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，关键是根据等边三角形面积的比是三角形边长的比的平方解答．13.【答案】103【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=•AC=×5=．故答案为：．根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=•AC，即可求出CF的长．本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．14.【答案】-3＜x＜1【解析】解：从表格看出，函数的对称轴为x=1，图象开口向下，函数与x轴的一个交点式（-1，0），由对称轴x=1，推出函数与x轴另外一个交点为（3，0），当y＞0时，x的取值范围是为-3＜x＜1，故答案是-3＜x＜1．从表格看出，函数的对称轴为x=1，图象开口向下，函数与x轴的一个交点式（-1，0），由对称轴x=1，推出函数与x轴另外一个交点为（3，0）即可求解．本题考查的是函数与坐标轴的交点，此类题目首先要找到对称轴的位置，再找到与x轴的交点，即可求解．15.【答案】5【解析】解：∵AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，∴N、M分别为AC、AB的中点，即MN为△ABC的中位线，∵MN=2.5，∴BC=2MN=5．故答案为5．只要证明MN为三角形ABC中位线，利用中位线定理求出BC的长即可．此题考查了垂径定理，以及三角形中位线定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．16.【答案】1【解析】解：如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．∵∠POB=∠PAB=90°，∴P、O、B、A四点共圆，∴∠AOB=∠APB，∴tan∠AOM=tan∠APB==，设AM=4k，OM=3k，在Rt△OMA中，（4k）2+（3k）2=32，解得k=（负根已经舍弃），∴AM=，OM=，AN=MN-AM=∵∠MAB+∠ABM=90°，∠MAB+∠PAN=90°，∴∠ABM=∠PAN，∵∠AMB=∠PNA=90°，∴△AMB∽△PNA，∴=，∴=，∴BM=，∴OB=OM-BM=1．故答案为1如图，连接OA，作AM⊥OB交OB的延长线于M，作PN⊥MA交MA的延长线于N．则四边形POMN是矩形．想办法求出OM、BM即可解决问题；本题考查点与圆的位置关系，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形，特殊四边形解决问题．17.【答案】（1，3）（2，1）【解析】解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；（2）由（1）得：点A的对应点D的坐标为：（1，3），点B的对应点E的坐标为：（2，1）．故答案为：（1，3），（2，1）．（1）直接利用位似图形的性质得出答案；（2）利用（1）中所画图形得出答案．此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．18.【答案】解：（1）把A（0，3）代入y=mx2-2mx+m+4得m+4=3，解得m=-1，所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；（2）当y=0时，-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，所以B（-1，0）；（3）抛物线C2：y=a（x-1）2-1（a≠0）的顶点坐标为（1，-1），因为抛物线C2与线段AB恰有一个公共点，则开口向上，当抛物线C2与线段AB的公共点为B点时，a最小，把B（-1，0）代入y=a（x-1）2-1得4a-1=0，解得a=14；当抛物线C2与线段AB的公共点为A点时，a最大，把A（0，3）代入y=a（x-1）2-1得a-1=3，解得a=4，所以a的取值范围为14≤a≤4．【解析】（1）直接把点A的坐标代入y=mx2-2mx+m+4得m+4=3，然后求出m的值即可得到抛物线的解析式；（2）利用抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x2+2x+3=0可得到B点坐标；（3）抛物线y=a（x-1）2-1（a≠0）的顶点坐标为（1，-1），则开口向上，根据二次函数的性质，抛物线C2与线段AB的公共点为B点时，a最小；当抛物线C2与线段AB的公共点为A点时，a最大，然后把A、B两点的坐标分别代入计算出对应的a的值，从而可确定a的取值范围．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．19.【答案】解：原式=2×32-4×（32）2+22×3=62-3+62=6−3．【解析】将特殊角的三角函数值代入，然后合并运算即可．本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是要求同学们熟练记忆的内容．20.【答案】解：∵△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，∴∠ADB=∠ADC=90°，∴AB=2BD，∴BD=6，∴CD=BC-BD=15-6=9，∴AD=AB2−BD2=122−62=63，∴tan C=ADCD=639=233．即tan C的值是233．【解析】根据在△ABC中，AB=12，BC=15，AD⊥BC于点D，∠BAD=30°，可以求得BD、AD、CD的长，从而可以求得tanC的值．本题考查解直角三角形，解题的关键是计算出题目中各边的长，找出所求问题需要的条件．21.【答案】（0，-3）（1，-4）当-2＜x＜1时，-4＜y＜5；当1＜x＜2时，-4＜y＜-3【解析】解：（1）令x=0，则y=-3．所以抛物线y=x2-2x-3与y轴交点的坐标为（0，-3），y=x2-2x-3=（x-1）x2-4，所以它的顶点坐标为（1，-4）；故答案为（0，-3），（1，-4）；图象如图所示：；（3）当-2＜x＜1时，-4＜y＜5；当1＜x＜2时，-4＜y＜-3．故答案为：当-2＜x＜1时，-4＜y＜5；当1＜x＜2时，-4＜y＜-3．（1）令x=0，根据y=x2-2x-3，可以求得抛物线与y轴的交点，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；（2）根据第一问中的三个坐标和二次函数图象具有对称性，在表格中填入合适的数据，然后再描点作图即可；（3）根据第二问中的函数图象结合对称轴可以直接写出答案．本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与y轴的交点、求顶点坐标，画二次函数的图象，关键是可以根据图象得出所求问题的答案．22.【答案】解：如图所示，连接OC．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD=10寸，∴CE=DE=12CD=5寸，设OC=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得：OE2+CE2=OC2，即（x-1）2+52=x2，解得：x=13，∴AB=26寸，即直径AB的长为26寸．【解析】连接OC，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，设OC=OA=x寸，则AB=2x寸，OE=（x-1）寸，由勾股定理得出方程，解方程求出半径，即可得出直径AB的长．此题考查了垂径定理，勾股定理；解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．23.【答案】（1）证明：∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED．∵∠AEC+∠CED=180°=∠BDA+∠CDE，∴∠AEC=∠BDA．又∵∠DAC=∠B，∴△ABD∽△CAE．（2）∵△ABD∽△CAE，∴AEBD=ACBA，∴AE=ACBA•BD=926×2=32．【解析】（1）根据等腰三角形的性质可得出∠CDE=∠CED，由等角的补角相等可得出∠AEC=∠BDA，结合∠DAC=∠B，即可证出△ABD∽△CAE；（2）根据相似三角形的性质可得出=，代入AB、AC、BD的值即可求出AE的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ABD∽△CAE是解题的关键．24.【答案】解：∵∠B=45°，AD⊥DB，∴∠DAB=45°，∴BD=AD，设DC=x，则BD=BC+DC=90+x，∴AD=90+x，∴tan58°=ADDC=90+xx=1.60，解得：x=150，∴AD=90+150=240（米），答：最高塔的高度AD约为240米．【解析】根据已知条件求出BD=AD，设DC=x，得出AD=90+x，再根据tan58°=，求出x的值，即可得出AD的值．本题考查了解直角三角形的应用，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意方程思想的运用．25.【答案】解：（1）本题答案不唯一，如：以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，∴A（-4，0），B（4，0），C（0，6），设这条抛物线的表达式为y=a（x-4）（x+4），∵抛物线经过点C，∴-16a=6．∴a=-38，∴抛物线的表达式为y=-38x2+6，（-4≤x≤4）.（2）当x=1时，y=458，∵4.4+0.5=4.9＜458，∴这辆货车能安全通过这条隧道．【解析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式，平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会构建平面直角坐标系，掌握待定系数法解决问题，属于中考常考题型．（1）以AB所在直线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系xOy，如图所示，利用待定系数法即可解决问题．（1）求出x=1时的y的值，与4.4+0.5比较即可解决问题．26.【答案】解：（1）∵PC是圆O的切线，∴∠PCA=∠B．∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．∵PD⊥AB，∴∠A+∠AED=90°．∴∠AED=∠B．∵∠PEC=∠AED，∴∠PCE=∠PEC．（2）如图所示，过点P作PF⊥AC，垂足为F．∵AB=10，sin A=35，∴BC=AB•35=6．∴AC=AB2−BC2=8．∵DE=32，sin A=35，∴AE=52．∴EC=AC-AE=8-52=112．∵PC=PE，PF⊥EC，∴EF=12EC=114．∵∠AED=∠PEF，∠EDA=∠EFP，∴△AED∽△PEF．∴AEED=PEEF，5232=EP114．解得：EP=5512．∴PC=5512．【解析】（1）由弦切角定理可知∠PCA=∠B，由直角所对的圆周角等于90°可知∠ACB=90°．由同角的余角相等可知∠AED=∠B，结合对顶角的性质可知∠PCE=∠PEC；（2）过点P作PF⊥AC，垂足为F．由锐角三角函数的定义和勾股定理可求得AC=8，AE=，由等腰三角形三线合一的性质可知EF=，然后证明△AED∽△PEF，由相似三角形的性质可求得PE的长，从而得到PC的长．本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质，证得△AED∽△PEF是解题的关键．27.【答案】△PQC90【解析】解：（1）如图①，∵∠ABC=90°，AB=CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∵PF∥AC，∴∠BPF=∠BFP=45°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF=BP，∴AF=CP，由旋转可得，AP=PQ，∠APQ=90°，而∠BPF=45°，∴∠QPC=45°-∠APF，又∵∠PAF=∠PFB-∠APF=45°-∠APF，∴∠PAF=∠QPC，∴△APF≌△PQC（SAS）∴∠PCQ=∠AFP=135°，又∵∠ACB=45°，∴∠ACQ=90°，故答案为：△PQC，90；（2）如图②，过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，则，又∵AB=BC，∴AF=CP，又∵∠FAP=∠ABC+∠APB=α+∠APB，∠CPQ=∠APQ+∠APB=α+∠APB，∴∠FAP=∠CPQ，由旋转可得，PA=PQ，∴△AFP≌△PCQ（SAS），∴FP=CQ，∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP，∴∴；（3）如图，当P在CB的延长线上时，∵∠CPQ=∠APQ-∠APB=60°-30°=30°，∴∠APC=∠QPC，又∵AP=QP，PC=PC，∴△APC≌△QPC（SAS），∴CQ=AC，又∵BA=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∠BAP=∠ABC-∠APB=30°，∴BP=AB=BC=PC=2，∴QC=AC=BC=2；如图，当P在BC的延长线上时，连接AQ，由旋转可得，AP=QP，∠APQ=∠ABC=60°，∴△APQ是等边三角形，∴AQ=PQ，∠APQ=60°=∠AQP，又∵∠APB=30°，∠ACB=60°，∴∠CAP=30°，∠CPQ=90°，∴∠CAP=∠APA，∴AC=PC，且AQ=PQ，CQ=CQ∴△ACQ≌△PCQ（SSS）∴∠AQC=∠PQC=∠AQP=30°，∴Rt△PCQ中，CQ=2CP=8．综上所述，线段CQ的长为2或8．（1）依据条件判定△APF≌△PQC，可得∠PCQ=∠AFP=135°，依据∠ACB=45°，可得∠ACQ=90°；（2）过P作PF∥AC，交BA的延长线于F，判定△AFP≌△PCQ，可得FP=CQ，再根据△ABC∽△FBP，可得，进而得出；（3）分两种情况进行讨论：点P在CB的延长线上，点P在BC的延长线上，分别依据全等三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，即可得到线段CQ的长．本题考查了三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例进行推算．28.【答案】R，S（-4，0）或（4，0）【解析】解：（1）①∵点A的坐标为（-3，1），∴3+1=4，点R（0，4），S（2，2），T（2，-3）中，0+4=4，2+2=4，2+3=5，∴点A的同族点的是R，S；故答案为：R，S；②∵点B在x轴上，∴点B的纵坐标为0，设B（x，0），则|x|=4，∴x=±4，∴B（-4，0）或（4，0）；故答案为：（-4，0）或（4，0）；（2）①由题意，直线y=x-3与x轴交于C（3，0），与y轴交于D（0，-3）．点M在线段CD上，设其坐标为（x，y），则有：x≥0，y≤0，且y=x-3．点M到x轴的距离为|y|，点M到y轴的距离为|x|，则|x|+|y|=x-y=3．∴点M的同族点N满足横纵坐标的绝对值之和为3．即点N在右图中所示的正方形CDEF上．∵点E的坐标为（-3，0），点N在直线x=n上，∴-3≤n≤3．②如图，设P（m，0）为圆心，为半径的圆与直线y=x-3相切，∵PN=，∠PCN=∠CPN=45°，∴PC=2，∴OP=1，观察图形可知，当m≥1时，若以（m，0）为圆心，为半径的圆上存在点N，使得M，N两点为同族点，再根据对称性可知，m≤-1也满足条件，∴满足条件的m的范围：m≤-1或m≥1．（1）①把各点的横纵坐标的绝对值相加，得4，则是A的同族点；②因为点B在x轴上，所以设B（x，0），则|x|=4，可得结论；（2）①首先证明点M的横坐标与纵坐标的绝对值之和为定值3，然后画出图形即可解决问题；②如图，设P（m，0）为圆心，为半径的圆与直线y=x-3相切，求出此时P的坐标，即可判断；本题考查一次函数综合题、同族点的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．。
北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题
北京市第四中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列四种图案中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．如图，正方形ABCD 内接于O ，点P 在 AB 上，则P ∠的度数为（）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3．下列事件中，为必然事件的是（）A ．任意画一个三角形，其内角和是180°B ．明天会下雪C ．郑一枚骰子，向上一面的点数是7D ．足球运动员射门一次，未射进4．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的两点．若∠CAB=65︒，则∠ADC 的度数为（）A ．65︒B ．35︒C ．32.5︒D ．25︒5．如图，AC 是O 的切线，B 为切点，连接OA OC ，．若30A ∠=︒，AB =3BC =，则OC 的长度是（）A ．3B ．CD ．66．一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t （秒）时球距离地面的高度h （米）适用公式2105h t t =-，那么球弹起后又回到地面所花的时间t （秒）是（）A ．5B ．10C ．1D ．27．在平面直角坐标系中，已知点A （0，1），B （0，﹣5），若在x 轴正半轴上有一点C ，使∠ACB ＝30°，则点C 的横坐标是（）A ．+B ．12C ．D ．8．如图，边长为a 的六角螺帽在桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心O 点所经过的路径长为（）A ．5aB ．6a CπD ．2a π二、填空题9．如图，在⊙O 内接四边形ABCD 中，若100ABC ∠=︒，则ADC ∠=︒．10．关于x 的一元二次方程()222310x m x m --++=若m 是方程的一个实数根，则m 的值为．11．某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为．12．写出一个二次函数，其图像满足：①开口向下；②当0x <时，y 随x 的增大而增大．这个二次函数的表达式可以是．13．如图，四边形ABCD 是平行四边形，O 经过点A ，C ，D 与BC 交于点E ，连接AE ，若72D ∠=︒，则BAE ∠=．14．将二次函数2245y x x =-+化成2y a x h k =-+（）的形式为．15．如图，抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与x 轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：②0abc >；②20b c +>；③若图象经过点()()123,,3,y y -，则12y y >；④关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根一个在0和1之间，一个在2-和1-之间；⑤若关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，则3m <．其中正确的结论是．16．如图，在ABC 中，4AC BC ==，90ACB D ∠=︒，为AC 上一动点（与点A ，点C 不重合），连接BD ，过点A 作AE BD ⊥的延长线于E ．若H 为BE 中点，则线段CH 的最小值是．三、解答题17．解方程：22430x x --=．18．下面是小东设计的“作圆的一个内接矩形，并使其对角线的夹角为60︒”的尺规作图过程．已知：O ．求作：矩形ABCD ，使得矩形ABCD 内接于O ，且其对角线,AC BD 的夹角为60 ．作法：如图，①作O 的直径AC ；②以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，交直线AC 上方的圆弧于点B ；③连接BO 并延长交O 于点D ；④连接,,,AB BC CD DA ．所以四边形ABCD 就是所求作的矩形．根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；(2)完成下面的证明．证明： 点,A C 都在O 上，OA OC ∴=．同理OB OD =．∴四边形ABCD 是平行四边形．AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒（）∴四边形ABCD 是矩形．AB = ______BO =，60AOB ∴∠=︒．∴四边形ABCD 是所求作的矩形．19．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，ABO 的三个顶点坐标分别为()()()1,3,4,3,0,0A B O --．(1)画出ABO 关于x 轴对称的11A B O ，并写出点1A 的坐标；(2)画出ABO 绕点O 顺时针旋转90 后得到的22A B O V ，并写出点2A 的坐标；(3)在（2）的条件下，求线段OA 旋转到2OA 所扫过的面积（结果保留π）．20．已知抛物线242y x x =-+．(1)此抛物线与y 轴的交点坐标是______，顶点坐标是______；(2)在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x ⋯⋯y⋯⋯(3)结合图象回答：①垂直于y 轴的直线l 与抛物线242y x x =-+相交于点()11,P x y ，()22,Q x y ，则12x x +=______；②若点()5,A t 和点(),B m n 都在抛物线242y x x =-+上，且n t <，则m 的取值范围是______．21．如图，AB 是O 的弦，C 是 AB 的中点，OC 交AB 于点D ．若10AB =，3CD =，求O 的半径．22．一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球．（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜．这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由．23．已知：关于x 的方程x 2+（m ﹣2）x ﹣2m ＝0．（1）求证：方程总有实数根；（2）若方程有一根小于2，求m 的取值范围．24．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在BC 边上，以CD 为直径的⊙O 与直线AB 相切于点E ，且E 是AB 中点，连接OA（1）求证：OA ＝OB ；（2）连接AD ，若AD O 的半径．25．某广场内有一个小型喷泉，水柱从垂直于地面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x 米时水柱距离地面高度为y 米，则y 与x 近似的满足函数关系()()20=-+≠y a x h k a ．现测量出x 与y 的几组数据如下：x （米）01234⋯y （米） 1.75 3.0 3.75 4.0 3.75⋯请解决以下问题：(1)求出满足条件的函数关系式；(2)设身高为1.75米的小明到水枪的水平距离为m 米()0m ≠．若小明被水枪淋到，请直接写出m 的取值范围．26．已知二次函数()2430y ax ax a =-+≠．(1)求该二次函数的图象与y 轴交点的坐标及对称轴．(2)已知点()()()()12343,1,12,,,,,y y y y --都在该二次函数图象上，①请判断1y 与2y 的大小关系：1y 2y （用“>”“=”“<”填空）；②若1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值中有且只有一个小于零，求a 的取值范围．27．已知等边ABC 和等边,CDE AD BE △、相交于点M ．(1)求DME ∠的度数；(2)延长AD 至点K ，使DK AD =，连接KE ．将线段KE 绕点E 逆时针旋转60度得到线段EH ，近接,,BD BH HD ．①依题意补全图形；②判断BDH △的形状并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点1P 关于y 轴对称，点1P 和点2P 关于直线l 对称，则称点2P 是点P 关于y 轴，直线l 的二次对称点．(1)已知点()2,0A -．①若点B 是点A 关于y 轴，直线1:3I x =的二次对称点，则点B 的坐标为______；②若点()6,0C -是点A 关于y 轴，直线2:l x a =的二次对称点，则a 的值为______；③若点()3,1D 是点A 关于y 轴，直线3l 的二次对称点，则直线3l 的表达式为______；(2)O 的半径为1．若O 上存在点M ，使得点M '是点M 关于y 轴，直线4:l x b =的二次对称点，且点M '在射线()0y x =≥上，b 的取值范围为______；(3)(),0E t 是x 轴上的动点，E 的半径为2，若E 上存在点N ，使得点N '是点N 关于y 轴，直线5:13l y x =+的二次对称点，且点N '在y 轴上，直接写出t 的取值范围．参考答案：1．B【分析】根据中心对称图形的定义，逐个进行判断即可，中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．【详解】解：根据题意可得：是中心对称图形的只有B ，故选：B ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180︒，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．2．B【分析】连接OB ，OC ，由正方形ABCD 的性质得90BOC ∠=︒，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论．【详解】解：连接OB ，OC ，如图，∵正方形ABCD 内接于O ，∴90BOC ∠=︒∴11904522BPC BOC ∠=∠=⨯︒=︒故选：B ．【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．3．A【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可【详解】解：A 、任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，故选项符合题意；B 、明天会下雪是随机事件，故选项不符合题意；C 、郑一枚骰子，向上一面的点数是7是不可能事件，故选项不符合题意；D 、足球运动员射门一次，未射进是随机事件，故选项不符合题意．故选：A ．【点睛】此题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，解题关键是熟记其有关概念．4．D【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，然后根据∠CAB=65°求得∠ABC 的度数，利用同弧所对的圆周角相等即可得到答案．【详解】解：∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=65°，∴∠ABC=∠ACB -∠CAB=90°-65°=25°，∵∠ADC 和∠ABC 所对的弧相同∴∠ADC=∠ABC=25°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角的知识，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为直角．5．C【分析】根据切线的性质及正切的定义得到2OB =，再根据勾股定理得到OC =【详解】解：连接OB ，∵AC 是O 的切线，B 为切点，∴OB AC ⊥，∵30A ∠=︒，AB =∴在Rt OAB 中，tan 2OB AB A =⋅∠=，∵3BC =，∴在Rt OBC 中，OC =，故选C ．【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握切线的性质是解题的关键．6．D【分析】根据球弹起后又回到地面时0h =，得到20105t t =-，解方程即可得到答案．【详解】解：球弹起后又回到地面时0h =，即20105t t =-，解得10t =（不合题意，舍去），22t =，∴球弹起后又回到地面所花的时间t （秒）是2，故选：D【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键．7．A【分析】如图，作ABC 的外接圆,D 连接,,,DA DB DC 过D 作DH x ⊥轴于,H 作DG y ⊥轴于,G 则四边形DGOH 是矩形，再证明ABD △是等边三角形，再分别求解,OH CH 即可得到答案.【详解】解：如图，作ABC 的外接圆,D 连接,,,DA DB DC 过D 作DH x ⊥轴于,H 作DG y ⊥轴于,G 则四边形DGOH 是矩形，()()0,1,0,5,30,A B ACB -∠=︒ 6,60,,AB ADB DA DB ∴=∠=︒=ABD ∴ 是等边三角形，3,AG BG DG ∴===2,OH DG DH OG AG AO ∴====-=CH ∴=OC OH CH ∴=+=().C ∴故选：.A【点睛】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.8．D【分析】本题考查的是正六边形的性质及正六边形中心的运动轨迹长．首先求得从B 到B '时，圆心O 的运动路线与点F 运动的路线相同，即是 FF'的长，又由正六边形的内角为120︒，求得 FF '所对的圆心角为60︒，根据弧长公式180n R l π=计算即可．【详解】解：∵正六边形的内角为120︒，∴120BAF ∠=︒，∴60FAF '∠=︒，∴ 601803a FF a ππ'⋅==，∴正六边形在桌子上滚动(没有滑动)一周，则它的中心O 点所经过的路径长为：623a a ππ⨯=，故选：D ．9．80【分析】根据圆内接四边形的性质计算出18080ADC ABC ∠∠=︒-=︒即可．【详解】解：∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠ABC ＝100°，∴∠ABC +∠ADC =180°，∴180********ADC ABC ∠∠=︒-=︒-︒=︒．故答案为80．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质．10．13-【分析】本题考查一元二次方程解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值），解题的关键是根据方程解的定义，将m 代入方程得到关于m 的方程，求解即可．【详解】解：∵m 是方程()222310x m x m --++=的一个实数根，∴()222310m m m m --⨯++=，解得：13m =-，故答案为：13-．11．()2150111815x +=【分析】设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意列出一元二次方程，即可求解．【详解】解：设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x ，根据题意得，()2150111815x +=，故答案为：()2150111815x +=．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．12．221y x x =-+-（答案不唯一）【分析】首先由①得到0＜a ；由②得到02b a-≤；只要举出满足以上两个条件的a b c 、、的值即可得出所填答案．【详解】解：二次函数2y ax bx c =++，①开口向下，<0a ∴；②当0x <时，y 随着x 的增大而增大，02b a -≥，即0b >；∴只要满足以上两个条件就行，如=1=2=1a b c --，，时，二次函数的解析式是221y x x =-+-．故答案为：221y x x =-+-．（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质进行计算是解此题的关键．此题是一道开放型的题目．13．36︒【分析】由圆的内接四边形内对角互补性质，解得108AEC ∠=︒，进而由邻补角性质解得72AEB ∠=︒，再由平行四边形对角相等性质，解得72B D ∠=∠=︒，最后由三角形内角和180°解题即可．【详解】四边形ABCD 是O 的内接四边形180D AEC ∴∠+∠=︒72D ∠=︒18072108AEC ∴∠=︒-︒=︒，18010872AEB ∴∠=︒-︒=︒四边形ABCD 是平行四边形，72B D ∴∠=∠=︒18027236BAE ∴∠=︒-⨯︒=︒故答案为：36︒【点睛】本题考查圆内接四边形性质、平行四边形性质、邻补角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．14．2y 2(x 1)3=-+【分析】利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【详解】解∶()222245221152(1)3y x x x x x =-+=-+-+=-+，故筦案为∶2y 2(x 1)3=-+．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键．15．①③④⑤【分析】本题考查了二次函数2y ax bx c =++的图象与系数的关系，开口向上，则0a >；反之，a<0．对称轴在y 轴左侧，则,a b 同号；反之，则,a b 异号；图象与y 轴交点在x 轴上方，则0c >；反之，则0c <．二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，当0y =时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与x 轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解，据此即可求解．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++的顶点A 的坐标为1,2m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴122b a -=-，a b =∴0ab >由图象可知：抛物线开口向下，故a<0，∴0b <当0x =时，0y c =>∴0abc >，故①正确；由图象可知：当1x =时，0y a b c =++<，又a b =，∴20b c +<，故②错误；∵抛物线的对称轴为直线12x =-，开口向下，且()15173,32222⎛⎫---=--= ⎪⎝⎭，∴12y y >，故③正确；∵抛物线与x 轴的一个交点位于0和1之间，且对称轴为直线12x =-，∴抛物线与x 轴的另一个交点位于2-和1-之间，故关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根一个在0和1之间，一个在2-和1-之间，故④正确；∵关于x 的一元二次方程230ax bx c ++-=无实数根，∴()2Δ430b ac =--<即：24120b ac a -+<∴2412ac b a->∵2412344ac b a m a a-=<=∴3m <，故⑤正确；故答案为：①③④⑤16+【分析】本题考查了中位线定理、斜中半定理、勾股定理等知识点，根据中点进行联想是解题关键．取AB 的中点F ，取BF 的中点L ，连接FH LH 、，可求得HL ；连接CL ，作LK BC ⊥，可求得CL ；再由CH HL CL +≥即可求解.【详解】解：取AB 的中点F ，取BF 的中点L ，连接FH LH 、，如图所示：∵4AC BC ==，90,ACB ∠=∴AB =45CAB ABC ∠=∠=︒∴12BF AF AB ===∵H 为BE 中点，AE BD ⊥，∴90HF AE FHB ∠=︒，∴12HL BF BL FL ===连接CL ，作LK BC ⊥，如图所示：则45LBK BLK ∠=∠=︒∴BK LK=∵222BL BK LK =+∴1BK LK ==∴3,CK BC BK CL =-===∵CH HL CL+≥∴CH ≥∴CH ≥∴线段CH17．122x =，2x 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点，利用公式法求解即可．【详解】解：2a = ，4b =-，3c =-，∴1642(3)400∆=-⨯⨯-=>，则4242x ±==，解得：1x =，2x =．18．(1)见解析(2)直径所对的圆周角等于90︒，AO【分析】本题考查了圆周角定理和矩形的判定，熟记定理内容是解题关键．（1）根据提示即可完成作图；（2）根据推理过程，先证明四边形是平行四边形，再证明是矩形，最后证明等边三角形即可．【详解】（1）解：如图所示：矩形ABCD 即为所求：（2）证明： 点,A C 都在O 上，OA OC ∴=．同理OB OD =．∴四边形ABCD 是平行四边形．AC 是O 的直径，90ABC ∴∠=︒（直径所对的圆周角等于90︒）∴四边形ABCD 是矩形．AB = ___AO ___BO =，60AOB ∴∠=︒．∴四边形ABCD 是所求作的矩形．19．(1)见解析，()11,3A --(2)见解析，()23,1A(3)52π【分析】本题考查了轴对称以及旋转作图，扇形的面积等知识点，找到对应点是作图关键．（1）关于x 轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变．据此即可求解；（2）确定ABO 各顶点绕点O 顺时针旋转90 后的对应点，即可作图；（3）确定扫过的扇形的半径和圆心角度数即可求解；【详解】（1）解：11A B O 如图所示：由图可知：()11,3A --（2）解：22A B O V 如图所示：由图可知：()23,1A （3）解：∵()2221310OA =-+=，∴线段OA 旋转到2OA 所扫过的面积29053602OA ππ=⨯⨯=20．(1)()()0222-，，，(2)见解析(3)①4；②15m -<<【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，掌握数形结合的数学思想是解题关键．（1）令0x =可得抛物线与y 轴的交点坐标；将一般式写成顶点式可得顶点坐标；（2）列表求出抛物线上的点的坐标，即可描点作图；（3）①根据抛物线的对称轴即可求解；②求出()5,A t 关于直线2x =的对称点即可求解；【详解】（1）解：令0x =，则2y =；∴抛物线与y 轴的交点坐标是()02，()224222y x x x =-+=--，∴顶点坐标是()22-，故答案为：()()0222-，，，（2）解：如图所示：（3）解：①结合图象可知：抛物线的对称轴为直线2x =，∴若垂直于y 轴的直线l 与抛物线242y x x =-+相交于点()11,P x y ，()22,Q x y ，则124x x +=，故答案为：4②点()5,A t 关于直线2x =的对称点为()1,t -，∴若点()5,A t 和点(),B m n 都在抛物线242y x x =-+上，且n t <，则m 的取值范围是:15m -<<故答案为：15m -<<21．173【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，连接OA ，设O 的半径为r ，在Rt AOD 中，根据()22253r r =+-即可求解【详解】解：连接OA ，如图所示：设O 的半径为r ，∵C 是 AB 的中点，∴152OD AB AD AB ⊥==，在Rt AOD 中，()22253r r =+-，解得：173r =22．（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高【分析】（1）列表格列出所有可能性；（2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比较大小即可．【详解】（1）所有可能性如下表：甲乙红1红2白1白2红1（红，红）（白，红）（白，红）红2（红，红）（白，红）（白，红）白1（红，白）（红，白）（白，白）白2（红，白）（红，白）（白，白）总共12种情况．（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种∴甲获胜概率=41123=，乙获胜概率=82123=∴这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高．【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（1）见解析；（2）m ＞﹣2．【分析】（1）先求出方程的根的判别式，再判断出根的判别式不小于0，即可得出结论；（2）先利用因式分解法求出方程的两根，由一根小于2建立不等式求解，即可得出结论．【详解】（1）关于x 的方程2(2)20x m x m +--=的根的判别式为2(2)41(2)m m ∆=--⨯⋅-整理得：2(2)m ∆=+∵2(2)0m +≥∴0∆≥故关于x 的方程2(2)20x m x m +--=总有实数根；（2）2(2)20x m x m +--=因式分解得：(2)()0x x m -+=解得122,x x m==-∵方程有一根小于2∴2m -<解得2m >-故m 的取值范围为2m >-．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的根的判别式与解法是解题关键．24．（1）见解析；（2）1【分析】（1）根据切线的性质可得OE ⊥AB ，再依据题中已知条件E 是AB 中点，根据等腰三角形的判定即可证明线段相等；（2）根据等腰三角形的性质及切线长定理可得OAE OAC ∠=∠，再由三个角之间的等量关系可得：30OAC ∠=︒，设⊙O 的半径为r ，则2CD r =，在Rt AOC △和Rt ACD 中，两次应用勾股定理，求解方程即可得出圆的半径．【详解】解：（1）证明：在⊙O 中，连接OE ，∵直线AB 与⊙O 相切于点E ，∴OE ⊥AB ．∵E 是AB 中点，∴OA OB =；（2）解：∵OA OB =，∴OAE B ∠=∠．∵90ACB ∠=︒，∴AE ，AC 是⊙O 的切线，∴OAE OAC ∠=∠，（切线长定理）∴OAE OAC B ∠=∠=∠，∵90OAE OAC B ∠+∠+∠=︒，∴30OAC ∠=︒，设⊙O 的半径为r ，则2CD r =，在Rt AOC △中，22AO OC r ==，∴AC ==，在Rt ACD 中，∵222AC CD AD +=，AD =∴)()2227r +=，解得1r =，∴⊙O 的半径为1．【点睛】题目主要考查切线的性质、等腰三角形的判定和性质、切线长定理、勾股定理等，理解题意，作出辅助线，综合运用各个性质和定理是解题关键．25．(1)()21344y x =--+(2)67m ≤≤【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键．（1）由表格数据可知：3,4h k ==，将点()1,3代入即可求解；（2）根据对称轴确定点()0,1.75的对称点为()6,1.75；令0y =，求出对应的自变量的值，即可求解；【详解】（1）解：由表格数据可知：3,4h k ==，∴()234y a x =-+，将点()1,3代入()234y a x =-+得：()23134a =-+，解得：14a =-，∴()21344y x =--+（2）解：由（1）可知：抛物线的对称轴为直线3x =，∴点()0,1.75的对称点为()6,1.75令0y =，则()213404x --+=解得：127,1x x ==-（舍去）∴若小明被水枪淋到，则67m ≤≤26．(1)抛物线与y 轴交点的坐标为()0,3，对称轴2x =(2)①=；②3154a -≤<-【分析】（1）0x =，可得抛物线与y 轴交点的坐标，再根据抛物线对称轴公式解答，即可求解；（2）①根据题意可得点()()12,3,1,y y 关于直线2x =对称，即可求解；②根据题意可得点()()()2341,,,1,2,y y y --在对称轴的左侧，点()13,y 在对称轴的右侧，然后分两种情况：当0a >时，当a<0时，即可求解．【详解】（1）解：令0x =，则3y =，∴抛物线与y 轴交点的坐标为()0,3．对称轴422a x a-=-=．（2）解：①∵函数图象的对称轴为直线2x =，∴点()()12,3,1,y y 关于直线2x =对称，∴12y y =，故答案为：=；②∵函数图象的对称轴为直线2x =，3112>>->-，∴点()()()2341,,,1,2,y y y --在对称轴的左侧，点()13,y 在对称轴的右侧．当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，∴1234y y y y =<<，不合题意．当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，则1234y y y y =>>，1y ，2y ，3y ，4y 四个函数值可以满足12340y y y y >=≥>，∴340,0y y ≥<，即当=1x -时，3430y a a =++≥，当2x =-时，44830y a a =++<．解得3154a -≤<-．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．27．(1)60︒(2)①见解析②BDH △是等边三角形，理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟记相关定理内容是解题关键．（1）证≌ACD BCE V V 得ADC BEC ∠∠=即可求解；（2）①根据提示即可作图；②连接CH ，证KED HEC V V ≌，结合由（1）BE AD =再证DCH DEB V V ≌即可求解；【详解】（1）解：由题意得：,,60AC BC CD CE ACB DCE==∠=︒=∠∴ACB BCD DCE BCD∠+∠=∠+∠即：ACD BCE∠=∠∴≌ACD BCEV V ∴ADC BEC∠∠=∴60DME DCE ∠=∠=︒（2）解：①补全图形如下：②BDH △是等边三角形，理由如下：连接CH ，如图所示：由题意得：,60EK EH KEH DEC=∠=︒=∠∴KEH DEH DEC DEH∠-∠=∠-∠即：KED HEC∠=∠∵DE CE=∴KED HECV V ≌∴,DK CH KDE HCE=∠=∠∵60DEB KDE DME KDE ∠=∠-∠=∠-︒,60DCH HCE DCE HCE ∠=∠-∠=∠-︒∴DEB DCH∠=∠∵DK AD=∴CH AD=由（1）得BE AD=∴CH BE=∴DCH DEBV V ≌∴,DH DB HDC BDE=∠=∠∴HDC BDC BDE BDC∠-∠=∠-∠即：60HDB CDE ∠=∠=︒∴BDH △是等边三角形28．(1)①()4,0；②3-；③3y x =-+；(2)12b -≤≤(3)44t --≤-【分析】（1）①②③根据二次对称点的定义，分别画出图形，即可解决问题；（2）根据二次对称点的定义，画出图形，求出b 的最大值以及最小值即可解决问题；（3）设点E 关于y 轴的对称点为1E ，1E 关于直线13y x =+的对称点为E '，易知当点N 在E 上运动时，点N '在E ' 上运动，由此可见当E ' 与y 轴相切或相交时满足条件．想办法求出点E '的坐标即可解决问题．【详解】（1）解：①∵点()2,0A -关于y 轴的对称点()12,0A ，∴点()12,0A 关于直线3x =的对称点()4,0B ，故答案为：()4,0；②∵点()2,0A -关于y 轴的对称点()12,0A ，又∵点()6,0C -是点A 关于y 轴，直线2:l x a =的二次对称点，∴()12,0A 、()6,0C -关于直线x a =对称，∴()16232a =-+=-，故答案为：3-；③如图，∵点()2,0A -关于y 轴的对称点()12,0A ，又∵点()3,1D 是点()2,0A -关于y 轴，直线3l 的二次对称点，∴直线3l 是1A D 的垂直平分线，∴点E 为线段1A D 的中点，1CA D C =，∴点E 的坐标为231,22+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即51,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，设(),0C m ，∴12CA m =-，()()222310CD m =-+-，即()()()2223102m m -+-=-，∴3m =，∴()3,0C ，设直线1A D 的解析式为y kx b =+，过点()12,0A ，()3,1D ，∴2031k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12k b ⎧⎨⎩==-，∴直线1A D 的解析式为2y x =-，设直线3l 的解析式为11y k x b =+，过点()3,0C ，51,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴305122k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线3l 的解析式为3y x =-+，故答案为：3y x =-+；（2）如图，∵O 的半径为1．若O 上存在点M ，使得点M '是点M 关于y 轴，直线4:l x b =的二次对称点，且点M '在射线()0y x =≥上，∴12b MM '=，由此可知，当MM '的值最大时，可得b 的最大值，∵直线OM '的解析式为y ，当1x =时，y =，∴tan 1M OD ∠'==∴60MM O M OD ∠'=∠'=︒，∵1OM =，∴OM OM '⊥时，MM '的值最大，最大值为1sin sin 60OM MM MM O '===='∠︒∴b的最大值为3；如图，当点M 在x 轴的正半轴上时，可得b 的最小值，最小值为12-；综上所述，满足条件的b取值范围为123b -≤≤故答案为：12b -≤≤（3）如图，设点E 关于y 轴的对称点为1E ，1E于直线1y =+的对称点为E '，∴当点N 在E 上运动时，点N '在E ' 上运动，由此可见当E ' 与y 轴相切或相交时满足条件，连接1E E '交直线1y =+于K ，设直线1y =+交x 轴于点G ，交y 轴于点H ，过点K 作KL x ⊥轴于点L ，对于直线1y x =+，当0x =时，得1y =；当0y =时，得x =∴1OH =，OG =∴tan 3HGO ∠==，∴30HGO ∠=︒，∵GK 是1E E '的垂直平分线，∴190GKE ∠=︒，1E K E K ='，∴1190903060KE G GKE ∠=︒-∠=︒-︒=︒，∵(),0E t ，∴()1,0E t -，∴1GE t =-，∴(111122KE GE t ==-，∴(111sin 2KL KE KE G t t =⋅∠=-+=-，∴(3tan 4t KL GL t HGO -==-∠，∴((31344OL GL OG t t =-=-=-，∴3344t K ⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭，∵1E K E K ='，由中点坐标公式得：2E t x '+=-，当E ' 与y轴相切时，2=，解得：4t =±，综上所述，满足条件的t的取值范围为44t --≤-答案第23页，共23页【点睛】本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换，垂直平分线的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，中点坐标及两点间距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题．。
北京XX中学2017届九年级上第二次月考数学试题(含答案)
小关系是 b1 __________b2 ． 【答案】 【解析】∵反比例函数 y x2 中， k 2 0 ，
yx ∴此函数图象在二、四象限，在第一象限内 随 的增大而增大， ∵ a1 a2 0 ， ∴ A(a 1,b 1) ， B(a 2,b 2) 均在第二象限， b1 b2 ．
A． (1,5) 【答案】C
B． (1,5)
C． (1,5)
【解析】抛物线 y 2(x 1)2 5 的顶点坐标为 (1,5) ．
D． (1,5)
6．已知 y (m 2)x m 2 是 y 关于 x 的二次函数，那么 m 的值（ ）．
A． 2
B． 2
C． 2
D． 0
∴∠ACD 90 20 70 ，
∴ ∠∠AOD 2 ACD 2 70 140 ．
C．150
D．160
8．在圆内接四边形 ABCD 中，若∠A∠:∠B : C 2 : 3 : 6 ，则∠D 等于（
）．
A． 67.5
B．135
C．112.5
D． 45
【答案】C
2
∴ S△△APQ S矩形BEFM
S
S ABP
△ AMP
S梯形PEFQ
10 ． 故选 A．
M
G QF
A
D
B
CP E
图2
二、填空题： 11．两个相似三角形的面积比是9 : 4 ，那么它们的周长比是__________． 【答案】3 : 2 【解析】因为两个相似三角形的面积比是9 : 4 ，所以两个相似三角形的相似比是3 : 2 ，故周长比是 3: 2 ．
北京四中2014-2015学年九年级上10月月考数学试卷含答案
A．y＝－x2 B．y＝－x2＋1
C．y＝x2－1
D．y＝－x2－1
6．二次函数 y=x2+bx+c，若 b+c=0，则它的图象一定过点（ ）
A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（1，1）
7.二次函数 y ax2 bx 的图象如图，若一元二次方程 ax2 bx m 0 有实数根，
A.y＝3(x＋3)2－2 B.y＝3(x＋3)2＋2 C.y＝3(x－3)2－2 D.y＝3(x－3)2＋2
4.抛物线 y＝ax，b＞0，c＞0
B．a＜0，b＜0，c＞0
C．a＜0，b＞0，c＜0
D．a＜0，b＜0，c＜0
5．将抛物线 y＝x2＋1 绕其顶点旋转 180°，则旋转后抛物线的解析式为( )
图1
图2
则 m 的最大值为（ ） A． 3 B．3 C． 6
D．9
第 4 题第 7 题第 8 题第 9 题
8.已知二次函数 y1=x2-x-2 和一次函数 y =x+1 的两个交点分别为 A(-1，0)，
2
B(3，4)，当 y1＞y2 时，自变量 x 的取值范围是（）
A．x＜-1 或 x＞3
B．-1＜x＜3 C．x＜-1 D．x＞3
C．m、n 是常数，且 n≠0
D．m、n 可以为任意实数
2.已知抛物线 y=ax2+bx+c，经过 A(4，0),B(12,0)两点，那么它的对称轴是（）
A.直线 x＝7
B.直线 x＝8 C.直线 x＝9 D.无法确定
3.把抛物线 y=3x2
（）
先向上平移 2 个单位再向右平移 3 个单位，所得的抛物线是
北京四中 2014-2015学年上学期九年级 10月月考数学试卷
北京市九年级上学期数学第四次月考试卷
北京市九年级上学期数学第四次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）四张背面完全相同的卡片，正面分别画有平行四边形、菱形、等腰梯形、圆，现从中任意抽取一张，卡片上所画图形恰好是轴对称图形的概率为（）A . 1B .C .D .2. （2分）(2017·泰安模拟) 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为（）A .B .C .D .3. （2分） (2016九上·萧山月考) 下列命题中，其中正确的命题个数有（）（ 1 ）已知⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，AB= ，则弦AB所对圆周角的度数为60度；（2）已知⊙O 的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）平分弦的直径垂直于弦；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB=1，AP= ．A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个4. （2分）(2019·潮南模拟) 将一图形绕着点顺时针方向旋转后，再绕着点逆时针方向旋转，这时如果要使图形回到原来的位置，需要将图形绕着点什么方向旋转多少度?（）A . 逆时针方向，B . 顺时针方向，C . 顺时针方向，D . 逆时针方向，5. （2分） (2019九上·通州期末) 下列各点中，在函数y＝﹣图象上的是（）A . (﹣3，﹣2)B . (﹣2，3)C . (3，2)D . (﹣3，3)6. （2分）(2019·抚顺模拟) 如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点的对应点落在上，且，则的长为（）A .B .C . 8D . 107. （2分） (2019九上·灵石期中) 如图，A 、 B是曲线上的点，经过A、 B两点向x 轴、y轴作垂线段，若S阴影＝1 则 S1+S2 =（）A . 4B . 5C . 6D . 88. （2分）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a-b+c＞0．其中正确的个数是（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个9. （2分）如图，已知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．下列结论不正确的是（）A . ∠BAD=∠CAEB . △ABD≌△ACEC . AB=BCD . BD=CE10. （2分）(2019·自贡) 关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、解答题 (共8题；共103分)11. （10分）解下列方程（1） x2﹣2x+1=0（2） x2+3x+1=0（3） x2﹣6x﹣18=0（配方法）（4） x（5x+4）=5x+4．12. （16分）(2018·长春) 某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：202119162718312921222520192235331917182918352215181831311922整理上面数据，得到条形统计图：样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：统计量平均数众数中位数数值23m21根据以上信息，解答下列问题：（1）上表中众数m的值为________；（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据________来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．13. （15分）(2017·盐城模拟) 抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB= ，求点M的坐标．14. （6分）(2018·义乌) 小敏思考解决如下问题：原题：如图1，点，分别在菱形的边，上，，求证： .（1）小敏进行探索，若将点，的位置特殊化：把绕点旋转得到，使，点，分别在边，上，如图2，此时她证明了 .请你证明.（2）受以上（1）的启发，在原题中，添加辅助线：如图3，作，，垂足分别为， .请你继续完成原题的证明.（3）如果在原题中添加条件：，，如图1.请你编制一个计算题（不标注新的字母），并直接给出答案（根据编出的问题层次，给不同的得分）.15. （15分） (2016九上·山西期末) 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，AE垂直x轴于E点，已知，OE=3AE，点B的坐标为(m， )。
北京市第四中九年级下学期3月月考数学试题
北京市第四中学2018-2019学年九年级下学期3月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．北京城市副中心生态文明建设在2016年取得突出成果，通过大力推进能源结构调整，热电替代供热面积为17960000平方米．将17960000用科学记数法表示应为（）A．1.796×106B．17.96×106C．1.796×107D．0.1796×107【答案】C【解析】【分析】利用科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】17960000用科学记数法表示为：1.796×107．故选C．【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D 、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）．A ．||a b >B ．b a <C ．a a -<D ．b a -<【答案】A【解析】 分析：根据数轴上点的位置,利用相反数,绝对值的性质判断即可.详解：根据数轴上点的位置得:a=-2,, 则,,,,故选A.点睛：本题考查了实数与数轴，弄清实数a 、b 在数轴上的对应点的位置是解答本题的关键.4．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆锥B ．四棱锥C ．圆柱D ．四棱柱【答案】B【分析】 由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状【详解】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是长方形可判断出这个几何体应该是四棱柱．故选B.【点睛】本题考查了由三视图找到几何体图形,属于简单题,熟悉三视图概念是解题关键. 5．以方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为坐标的点（x ，y ）在平面直角坐标系中的位置是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】先求出方程组的解，然后即可判断点的位置．【详解】 解：解方程组21x y x y +=⎧⎨-=⎩，得 1.50.5x y =⎧⎨=⎩， ∴点（1.5，0.5）在第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和坐标系中点的坐标特点，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题关键．6．若一个多边形的内角和等于外角和的2倍，则这个多边形的边数为（ ） A ．8B ．6C ．5D ．4【答案】B【分析】设边数为x ，根据题意可列出方程进行求解.【详解】设边数为x ，根据题意得（x-2）×180°=2×360° 解得x=6故选B.【点睛】此题主要考查多边形的内角和，解题的关键是熟知多边形的外角和为360°. 7．如果2220m m +-=，那么代数式2442m m m m m +⎛⎫+⋅ ⎪+⎝⎭的值是（ ） A ．2-B ．1-C ．2D ．4【答案】C【分析】 首先将已知等式变换形式，然后化简所求代数式，即可得解.∵2220 m m+-=∴222m m+=∵()222222244442222mm m m m m mm m m m m m m m m++++⎛⎫+⋅=⋅=⋅=+⎪+++⎝⎭∴上式=2故选：C.【点睛】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握，即可解题.8．小明和小亮组成团队参加某科学比赛．该比赛的规则是：每轮比赛一名选手参加，若第一轮比赛得分满60则另一名选手晋级第二轮，第二轮比赛得分最高的选手所在团队取得胜利．为了在比赛中取得更好的成绩，两人在赛前分别作了九次测试，如图为二人测试成绩折线统计图，下列说法合理的是（）①小亮测试成绩的平均数比小明的高；②小亮测试成绩比小明的稳定；③小亮测试成绩的中位数比小明的高；④小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】D【分析】结合折线统计图，利用数据逐一分析解答即可．【详解】①由折线统计图知小明的成绩有5次高于小亮的成绩且幅度较大，有1次和小亮相等，故小明的测试成绩的平均数比小亮的高，故①错误；②由折线统计图知小亮测试成绩波动小，故小亮测试成绩比小明的稳定，故②正确；③∵小亮测试成绩的中位数大约是69，小明测试成绩的中位数大约是90，故③错误；④∵小亮测试成绩比小明的稳定，小明的测试成绩比小亮高，∴小亮参加第一轮比赛，小明参加第二轮比赛，比较合理．故④正确；【点睛】本题考查了平均数和方差以及读折线图的能力和利用统计图获取信息的能力．二、填空题9x 的取值范围是______．【答案】4x ≥-【分析】根据被开数40x +≥即可求解.【详解】40x +≥，∴4x ≥-；故答案为4x ≥-.【点睛】本题考查二次根式的意义：熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键.10．分解因式：a 2b+4ab+4b=______．【答案】b （a+2）2【分析】根据公式法和提公因式法综合运算即可【详解】a 2b+4ab+4b=22(44)(2)b a a b a ++=+.故本题正确答案为2(2)b a +.【点睛】本题主要考查因式分解.11．已知18°的圆心角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是_____cm ． 【答案】2【分析】设此弧所在圆的半径为Rcm ，根据弧长公式列式计算即可．【详解】解：设此弧所在圆的半径为Rcm ，则18R 180π⨯＝5π， 解得，R ＝2（cm ），故答案为2．【点睛】本题考查弧长的计算，掌握弧长的公式l=180n r π 是解题的关键． 12．小刚身高180cm ，他站立在阳光下的影子长为90cm ，他把手臂竖直举起，此时影子长为115cm ，那么小刚的手臂超出头顶______cm ．【答案】50【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x ，即可列方程解出x 的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．【详解】设手臂竖直举起时总高度xm ，则180********x +=，解得50x cm =． 故答案为：50．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时物体的高度和影长成正比是解答此题的关键．13．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，如果∠BOC =70°，那么∠BAD =______．【答案】35°【分析】先根据垂径定理得到BC BD =，，然后根据圆周角定理得∠BAD=12∠BOC=35°． 【详解】解：∵弦CD ⊥直径AB ，∴BC BD =，∴∠BAD=12∠BOC=12×70°=35°．故答案为35°．【点睛】本题考查了圆周角定理和垂弦定理，熟练掌握是解题的关键．14．请你写出一个二次函数，其图像满足条件：①开口向上；②与y轴的交点坐标为()0,2-．此二次函数的解析式可以是_______．【答案】答案不唯一，y=x2-2．【分析】二次函数的解析式是y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0），根据开口向上得出a为正数，根据与y轴的交点坐标为（0，-2）得出c=-2，写出一个符合的二次函数即可．【详解】答案不唯一，如：y=x2-2，故答案为：y=x2-2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质内容是解此题的关键．15．一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是______ ．【答案】3 16【解析】分析：根据概率公式可得答案．详解：由表可知，当天上午九年级的课表中听一节课有16种等可能结果，其中听数学课的有3种可能，∴听数学课的可能性是3 16，故答案为3 16.点睛：考查概率的计算，明确概率的意义时解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.16．如图，在每个边长为1的小正方形的网格中，△ABC的顶点A，B，C在格点上，P是BC边上任意一点，以A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P 的对应点为点P'，当CP'最短时，画出点P'，并说明CP'最短的理由是______．【答案】垂线段最短．【分析】连CF，根据已知条件得到A、C、F共线，求得AF=5=AB，根据相似三角形的想知道的∠GFC=∠B，求得∠TCA=∠TAC，得到CP′⊥GF，于是得到结论．【详解】解：作图过程如下：取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G：取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求证明：连CF ，∵AC ，CF 为正方形网格对角线∴A 、C 、F 共线∴=AB ，由图形可知： ，∵，，∴△ACB ∽△GCF ，∴∠GFC=∠B ，∵=AB ，∴当BC 边绕点A 逆时针旋转∠CAB 时，点B 与点F 重合，点C 在射线FG 上． 由作图可知T 为AB 中点，∴∠TCA=∠TAC ，∴∠F+∠P′CF=∠B+∠TCA=∠B+∠TAC=90°，∴CP′⊥GF ，此时，CP′最短，故答案为垂线段最短．【点睛】本题考查了直角三角形的证明、图形的旋转、三角形相似和最短距离的证明，熟练掌握是解题的关键.三、解答题17．计算：（12）-1+2cos45°（3.14-π）0．【答案】【分析】根据负数指数幂、三角函数、绝对值和零指数幂的运算法则进行计算即可解答. 【详解】解：（12）-1+2cos45°-1|-（3.14-π）0=2+2×2-1-1-2【点睛】本题考查了幂的运算、三角函数和绝对值，准确计算是解题的关键.18．解不等式组：312(2)952x xxx->+⎧⎪⎨+<⎪⎩【答案】x＞5．【分析】根据解不等式得一般步骤去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化为一解题,注意当不等号两边同时乘除同一个负数时要改变不等号方向.【详解】解：() 312219522x xxx，（），（）⎧->+⎪⎨+<⎪⎩解不等式（1）得，x＞5；解不等式（2）得，x＞1；∴不等式组的解集为x＞5．【点睛】本题考查求解一元一次不等式组,属于简单题,熟悉不等式组的解题方法是解题关键. 19．如图，点A，C，B，D在同一条直线上，BE∥DF，∠A=∠F，AB=FD，求证：AE=FC．【答案】证明见解析. 【详解】由已知条件BE ∥DF ，可得出∠ABE=∠D ，再利用ASA 证明△ABE ≌△FDC 即可． 证明：∵BE ∥DF ，∴∠ABE=∠D ， 在△ABE 和△FDC 中， ∠ABE=∠D ，AB=FD ，∠A=∠F ∴△ABE ≌△FDC （ASA ）， ∴AE=FC ．“点睛”此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质等知识点的理解和掌握，此题的关键是利用平行线的性质求证△ABC 和△FDC 全等．20．关于x 的一元二次方程mx 2﹣（2m ﹣3）x+（m ﹣1）＝0有两个实数根． （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此方程的根． 【答案】（1）98m ≤且0m ≠；（2）10x =，21x =-． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且()()22341m m m =----⎡⎤⎣⎦≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可；（2）利用m 的范围可确定m=1，则原方程化为x 2+x=0，然后利用因式分解法解方程． 【详解】（1）∵2=[(23)]4(1)m m m ∆----=89m -+．解得98m ≤且0m ≠． （2）∵m 为正整数，∴1m =．∴原方程为20x x +=． 解得10x =，21x =-． 【点睛】考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-，当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根. 当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.21．如图，点F 在平行四边形ABCD 的对角线AC 上，过点F 、B 分别作AB 、AC 的平行线相交于点E ，连接BF ，ABF FBC FCB ∠=∠+∠．（1）求证：四边形ABEF 是菱形； （2）若5BE =，8AD =，1sin 2CBE ∠=，求AC 的长．【答案】（1）见解析 （2）【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB=∠FBC+∠FCB ，又因为∠ABF=∠FBC+∠FCB ，易得AB=AF ，由菱形的判定定理可得结论；（2）作DH ⊥AC 于点H ，由特殊角的三角函数可得∠CBE=30°，由平行线的性质可得∠2=∠CBE=30°，利用锐角三角函数可得AH ，DH ，由菱形的性质和勾股定理得CH ，得AC ． 【详解】(1)证明：∵EF ∥AB,BE ∥AF ， ∴四边形ABEF 是平行四边形。
北京市第四中学2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题
北京市第四中学2024-—2025学年上学期10月月考九年级数学试题一、单选题1．一元二次方程220x x +=的解为（ ） A ．2x =-B ．2x =C ．10x =，22x =D ．10x =，22x =-2．抛物线()212y x =-+的顶点坐标是（ ） A ．()1,2B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2--3．若关于x 的方程260x x c ++=有两个相等的实数根，则c 的值是（ ） A ．36B ．36-C ．9D ．9-4．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线()21y x =-+上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ） A ．123y y y >> B ．132y y y >> C ．321y y y >>D ．213y y y >>5．已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则当y ＞0时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜3B ．x ＞﹣1C ．﹣1＜x ＜3D ．x ＜﹣1 或 x ＞36．已知AB=10cm ， 以AB 为直径作圆，那么在此圆上到AB 的距离等于5cm 的点共有( ). A ．无数个 B ．1个 C ．2个 D ．4个7．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x ＝1，下列结论正确的是（ ）A ．a ＞0B ．b ＝2aC ．b 2＜4acD ．8a+c ＜08．若二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴有两个交点，坐标分别为()1,0x ，()2,0x ，且12x x <，图像上有一点()00,M x y 在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ） A ．0a > B ．()()01020x x x x --< C ．102x x x <<D ．()()01020a x x x x --<二、填空题9．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则点C 的坐标为． 10．如图，已知O e 的半径5OA =，弦AB 的弦心距3OC =，那么AB =．11．若m 是关于x 的方程x 2﹣2x ﹣1＝0的解，则代数式6m ﹣3m 2＋2的值是．12．若抛物线y ＝2x ﹣2x +m 与x 轴的一个交点是（﹣2，0），则另一交点坐标是．13．如图，一次函数()10y kx n k =+≠与二次函数()220y ax bx c a =++≠的图象相交于()1,4A -，()6,2B 两点，则关于x 的不等式2kx n ax bx c +>++的解集为．14．平面上一点P 到⊙O 上一点的距离最长为6cm ，最短为2cm ，则⊙O 的半径为． 15．二次函数2y ax bx =+的图象如图所示，若关于x 的一元二次方程20ax bx m +-=有实数根，则m 的取值范围是．16．如图，一条抛物线与x 轴相交于M ，N 点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动，点A ，B 的坐标分别为()2,3-，()1,3，点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为．三、解答题17．用适当的方法解方程 (1)228=0x x --(2)()()23530x x x ---=．18．如图所示，在O e 中，直径AB ⊥弦CD ，E 为垂足，4AE =，6CE =，求O e 的半径.19．已知二次函数222y x x -=-+．(1)填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；(2)结合函数图象，直接写出方程2220x x --+=的近似解（精确到0.1）．20．已知关于x 的方程()22120kx k x +++=．()1求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根；()2当抛物线()2212y kx k x =+++（k 为正整数）图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，求此抛物线的解析式；(3)已知抛物线()2212y kx k x =+++恒过定点，求出定点坐标．21．已知：二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，其中A 点坐标为()3,0-，与y 轴交于点C ，点()2,3D --在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA PD +的最小值；(3)若抛物线上有一动点Q ，使三角形ABQ 的面积为24，求Q 点坐标．22．掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y (单位：m)与水平距离x (单位：m)近似满足函数关系2()y a x h k =-+(0)a <．某位同学进行了两次投掷．(1)第一次投掷时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出实心球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()y a x h k =-+(0)a <；(2)第二次投掷时，实心球的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.09( 3.8) 2.97y x =--+．记实心球第一次着地点到原点的距离为1d ，第二次着地点到原点的距离为2d ，则1d _____ 2d (填“＞”“＝”或“＜”)． 23．阅读以下材料：利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如()22224211415a a a a a +-=++--=+-∵()210a +≥，∴()2224155a a a +-=+-≥-， 因此，代数式224a a +-有最小值5- 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式222a a -+的最小值为 ；(2)试比较2211a b ++与62a b -的大小关系，并说明理由； (3)已知：22450a b ab c c -=+-+=，，求代数式a b c ++的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，()p A p y ，，()q B q y ，和23t C t y ⎛⎫⎪⎝⎭，是抛物线223y x tx =--上三个不同的点．(1)当1t =，p q y y =时，求抛物线对称轴，以及p ，q 之间的等量关系；(2)当1p =-时，若对于任意的32t q t -≤≤-，都有p q t y y y >>，求t 的取值范围． 25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，BE CF =，AE ，BF 交于点G ．(1)在线段AG 上截取MG BG =，连接DM ，AGF ∠的角平分线交DM 于点N ． ①依题意补全图形；②用等式表示线段MN 与ND 的数量关系，并证明；(2)在（1）条件下，若正方形ABCD 边长为1，求线段DN 的最小值． 26．【阅读材料】①抛物线上的任意一点都具有如下性质：抛物线C 上任意一点A 到抛物线对称轴上一点F的距离和到垂直于抛物线对称轴的一条直线l 的距离相等．例如：已知抛物线2y x =，点10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线1:4l y =-，抛物线上一点()2,Q a a ．作QP l ⊥于点P ，连结QF ．则214QP a =+，214QF a QP ==+=．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．②抛物线上两点连成的线段叫做抛物线的弦，过焦点的弦叫做焦点弦．与抛物线对称轴垂直的焦点弦叫做通径． 【解决问题】请你仿照①中的方法，解决以下问题：(1)已知抛物线213y x =，焦点30,4⎛⎫⎪⎝⎭，请计算出准线的解析式；(2)已知抛物线218y x =，准线2y =-，请计算出焦点坐标；(3)综合以上几问的结果，请直接写出抛物线212y x p =的焦点坐标与准线解析式（用含p 的式子表示）。
2017.03北京四中九年级月考数学试题及答案
1E DBA初三数学统练试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1. 长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米.将6700 000用科学记数法表示应为（ ）A. 610×67B. 610×7.6C. 710×7.6D. 610×67.02. 如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n 与q 互为相反数，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n3. 如左图是一个几何体的三视图，那么这几何体的展开图可以是（ ）4. 如图，△ABC 中，∠A =90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠1=35°，则∠B 的度数为（ ）A . 25° B. 35° C. 55° D. 65°5.已知y x =3,则22yxyx 的值为（ ） A.12 B.9 C.6 D.3 6. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）7. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的可估计为（ ）A ．3000条B ．2200条C ．1200条D ．600条A B CD正 视 图 左 视 图俯 视 图A ．B ．C ．D ．8. 若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（ ） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120° 9. 李阿姨每天早晨从家慢跑到小区公园，锻炼一阵后，再慢跑回家．表示李阿姨离开家的距离y (单位：米)与时间t (单位：分)的函数关系的图象大致如上图所示，则李阿姨跑步的路线可能是(用P 点表示李阿姨家的位置) （ ）A ．B ．C ．D ．10. 为了测量被池塘隔开的A , B 两点之间的距离, 根据实际情况, 作出如图图形, 其中AB ⊥BE , EF ⊥BE , AF 交BE 于D , C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：① BC , ∠ACB ； ② CD , ∠ACB , ∠ADB ； ③ EF ,DE , BD ； ④ DE , DC , BC ．能根据所测数据, 求出A , B 间距离的有（ ） A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.分解因式：2 x 3-8 x = ．12．分式有意义的条件是___________.13．写出一个过点（1，-1），且当自变量0x 时y 随x 的增大而增大的函数表达式 _____．14．如图，O 为跷跷板AB 的中点，支柱OC 与地面MN 垂直，垂足为点C ，且OC =50cm ，当跷跷板的一端B 着地时，另一端A 离地面的高度为 cm.15．居民用电计费实行“一户一表”政策，以年为周期执行阶梯电价，即：一户居民全年不超过2880度的电量，执行第一档电价标准为0.48元/度；全年用电量在2880度到4800度之间（含4800），超过2880度的部分，执行第二档电价标准为0.53元/度；全年用电量超过4800度，超过4800度的部分，执行第三档电价标准为0.78元/度．小敏家2014年用电量为3000度，则2014年小敏家电费为 元．分16. 在数学课上，老师提出如下问题：小云的作法如下：请回答：小云的作图依据是__三、解答题（本题共72 分，第17—26 题，每小题5 分，第27 题7 分，第28 题7 分，第29 题8 分）17. 计算：10)21(345cos 2)5(-+--︒+-π．18．已知2410x x +-=，求代数式22(2)(2)(2)x x x x +-+-+的值.19．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，点D 在BC 上，且BD =AC ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，过点B 作CB 的垂线，交DE 的延长线于点F ．求证：AB =DF ．EDB OCA 20．已知关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.21.如图，一次函数y 1=﹣x +2的图象与反比例函数y 2=xk的图象相交于A ，B 两点，点B 的坐标为（2m ，-m ）．（1）求出m 值并确定反比例函数的表达式； （2）请直接写出当x ＜m 时，y 2的取值范围．22. 列方程（组）解应用题：为了把通州区打造成宜居的北京城市副中心，区政府对地下污水排放设施进 行改造．某施工队承担铺设地下排污管道任务共2200米，为了减少施工对周边交通环境的影响，施工队进行技术革新，使实际平均每天铺设管道的长度比原计划多10%，结果提前两天完成任务．求原计划平均每天铺设排污管道的长度．23.如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 和DE 交于点E . （1）求证：四边形ODEC 是矩形；（2）当∠ADB =60°，AD=时，求tan ∠EAD 的值.24. “世界那么大，我想去看看”是现代很多人追求的生活方式之一．根据北京市旅游发展委员会发布的信息显示，2012——2015年连续四年，我市国内旅游市场保持了稳定向好的态势.2012年，旅游总人数约2.31亿人次，同比增长8.1%；2013年，旅游总人数约 2.52亿人次，同比增长9%；2014年，旅游总人数约 2.61亿人次，同比增长3.8%；2015年，旅游总人数2.73亿人次，同比增长4.3%；预计2016年旅游总人数与2015年同比增长5%.旅游不仅是亲近自然的好时机，同时也是和家人朋友沟通的好时机，调查显示，中秋国庆黄金假期成为人们选择旅游最佳时期，《2015年中秋国庆长假出游趋势报告》显示，人们出行的方式可以归纳为四种，即乘火车、乘汽车、坐飞机、其他.其中选择乘火车出行的人数约占47%，选择乘汽车出行的人数约占28%，选择坐飞机出行的人数约占17%.根据以上信息解答下列问题：（1）预计2016年北京市旅游总人数约亿人次（保留两位小数）；（2）选择其他出行方式的人数约占；（3）请用统计图或统计表，将2012——2015年北京市旅游总人数表示出来.25．如图，CE是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交CE延长线于点A，连接DE，过点O作OB ED∥，交AD的延长线于点B，连接BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若2AE，tan∠DEOAO的长．-1 O 1 2 3 4 x y21图226．探究活动：利用函数(1)(2)y xx =--的图象(如图1)和性质，探究函数y=的图象与性质．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数y =x 的取值范围是___________；（2）如图2，小东列表描出了函数y =（3104x b -=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <．若1b <<1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为 （用“<”连接）．27．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持 不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图 象回答：当直线1(2y x b b k =+＜)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．28.在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC、PE．如图1，若点E、F分别落在边AB、AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记ACBC＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）29. 我们规定：平面内点到图形上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离，点到图形上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离，定义点到图形的距离跨度为R。
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2017.03北京四中九年级月考数学试题及答案1E DCBA初三数学统练试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1. 长城、故宫等是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700 000米.将6700 000用科学记数法表示应为（ ）A. 610×67B. 610×7.6C. 710×7.6D. 610×67.02. 如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若n 与q 互为相反数，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）A ．pB ．qC ．mD ．n3. 如左图是一个几何体的三视图，那么这几何体的展开图可以是（ ）4. 如图，△ABC 中，∠A =90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠1=35°，则∠B 的度数为（ ）A . 25° B. 35° C. 55° D. 65°5.已知y x =3,则22yxyx 的值为（ ） A.12 B.9 C.6 D.3 6. 在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）7. 为了估计水塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中捕获30条鱼，在每条鱼身上做好记号后，把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞200条鱼，如果在这200条鱼中有5条鱼是有记号的，则鱼塘中鱼的可估计为（ ）A ．3000条B ．2200条C ．1200条D ．600条A B CD正 视 图 左 视 图俯 视 图A ．B ．C ．D ．16. 在数学课上，老师提出如下问题：小云的作法如下：请回答：小云的作图依据是__三、解答题（本题共72 分，第17—26 题，每小题5 分，第27 题7 分，第28 题7 分，第29 题8 分）17. 计算：10)21(345cos2)5(-+--︒+-π．18．已知2410x x+-=，求代数式22(2)(2)(2)x x x x+-+-+的值.19．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90︒，点D在BC上，且BD=AC，过点D作DE⊥AB于点E，过点B作CB的垂线，交DE的延长线于点F．求证：AB=DF．尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点C；（2）分别以A，C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；（3）作直线AD．EDB OCA20．已知关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若m 为符合条件的最大整数，求此时方程的根.21.如图，一次函数y 1=﹣x +2的图象与反比例函数y 2=xk的图象相交于A ，B 两点，点B 的坐标为（2m ，-m ）．（1）求出m 值并确定反比例函数的表达式； （2）请直接写出当x ＜m 时，y 2的取值范围．22. 列方程（组）解应用题：为了把通州区打造成宜居的北京城市副中心，区政府对地下污水排放设施进行改造．某施工队承担铺设地下排污管道任务共2200米，为了减少施工对周边交通环境的影响，施工队进行技术革新，使实际平均每天铺设管道的长度比原计划多10%，结果提前两天完成任务．求原计划平均每天铺设排污管道的长度．23.如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，分别过点C 、D 作CE ∥BD ，DE ∥AC ，CE 和DE 交于点E . （1）求证：四边形ODEC 是矩形；（2）当∠ADB =60°，AD =23时，求tan ∠EAD 的值.24. “世界那么大，我想去看看”是现代很多人追求的生活方式之一．根据北京市旅游发展委员会发布的信息显示，2012——2015年连续四年，我市国内旅游市场保持了稳定向好的态势.2012年，旅游总人数约2.31亿人次，同比增长8.1%；2013年，旅游总人数约 2.52亿人次，同比增长9%；2014年，旅游总人数约 2.61亿人次，同比增长3.8%；2015年，旅游总人数2.73亿人次，同比增长4.3%；预计2016年旅游总人数与2015年同比增长5%.旅游不仅是亲近自然的好时机，同时也是和家人朋友沟通的好时机，调查显示，中秋国庆黄金假期成为人们选择旅游最佳时期，《2015年中秋国庆长假出游趋势报告》显示，人们出行的方式可以归纳为四种，即乘火车、乘汽车、坐飞机、其他.其中选择乘火车出行的人数约占47%，选择乘汽车出行的人数约占28%，选择坐飞机出行的人数约占17%.根据以上信息解答下列问题：（1）预计2016年北京市旅游总人数约亿人次（保留两位小数）；（2）选择其他出行方式的人数约占；（3）请用统计图或统计表，将2012——2015年北京市旅游总人数表示出来.25．如图，CE是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过点D作⊙O的切线，交CE延长线于点A，连接DE，过点O作OB ED∥，交AD的延长线于点B，连接BC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；A （2）若2AE，tan∠DEO2，求AO的长．EDO-1 O 1 2 3 4 x y21图2O1212y x26．探究活动：利用函数(1)(2)y x x =--的图象(如图1)和性质，探究函数(1)(2)y x x =--．下面是小东的探究过程，请补充完整：（1）函数(1)(2)y x x =--x 的取值范围是___________；（2）如图2，小东列表描出了函数(1)(2)y x x =--（31(1)(2)04x x x b ---=的两根为1x 、2x ，且12x x <，方程21324x x x b -+=+的两根为3x 、4x ，且34x x <．若12b <<则1x 、2x 、3x 、4x 的大小关系为 （用“<”连接）．27．已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数．（1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线1(2y x b b k =+＜)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．28.在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC、PE．如图1，若点E、F分别落在边AB、AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．（1）如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）记ACBC＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出k的值，不必说明理由）29. 我们规定：平面内点到图形上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离，点到图形上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离，定义点到图形的距离跨度为R。
（1）①如图1，在平面直角坐标系中，图形为以为圆心，为半径的圆，直接写出以下各点到图形的距离跨度：(1,0)A -的距离跨度 ； 13,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的距离跨度 ； (3,2)C -的距离跨度 ；②根据①中的结果，猜想到图形的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是 。
（2）如图2，在平面直角坐标系中，图形为以为圆心，为半径的圆，直线上存在到的距离跨度为的点，求的取值范围。
（3）如图3，在平面直角坐标系中，射线3:3OA y x=，是以3为半径的圆，且圆心在轴上运动，若射线上存在点到的距离跨度为2，直接写出圆心的横坐标的取值范围 图3参 考 答 案图1图一、选择题 BAACA CCBDC 二、填空题11．12.13. 答案不唯一 14. 8015. 1446 16. 四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行 三、解答题17. 解：原式=232221+-⨯+ ………………………4分 =2311+-+=1． ………………………5分 18．原式=…………………4分∵2410x x +-=∴241x x +=∴原式=9……………5分19．证明：∵ AB DE BC BF ⊥⊥,，90ACB ∠=︒， ∴90DBF BEF ACB ∠=∠=∠=︒．∴ ︒=∠+∠︒=∠+∠9029021F ，． ∴ F ∠=∠1．.………………………2分 在中和△△DFB ABC ，1F ACB DBF AC BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴ ABC △≌DFB △.………………………4分 ∴DF AB =．.………………………5分20．解：（1）∵关于x 的方程04332=++mx x 有两个不相等的实数根， ∴∆930m =->. …………………………1分 ∴3m <. .…………………………2分 （2）∵m 为符合条件的最大整数， ∴2m =. .…………………………3分EFD AB12∴23302x x ++=.. 233()24x +=.2331-=x ，2332--=x . ∴方程的根为2331-=x ，2332--=x . 21.解：（1）∵据题意，点B 的坐标为（2m ，-m ）且在一次函数y 1=﹣x +2的图象上，代入得-m=-2m+2.∴m=2. ……………………………………………………… 1分 ∴B 点坐标为（4，-2）………………………………………… 2分 把B （4，﹣2）代入y 2=xk得k =4×（﹣2）=﹣8， ∴反比例函数表达式为y 2=﹣x8；…………………………………………………… （2）当x ＜4，y 2的取值范围为y 2＞0或y 2＜﹣2．……………………………… 5分 22. 解：设原计划平均每天铺设排污管道x 米，依题意得2%)101(22002200=+-xx ………………………………..(2分) 解这个方程得：x ＝100（米） …………………………..(3分)经检验，x ＝100是这个分式方程的解， ………………..(4分) ∴这个方程的解是x ＝100答：原计划平均每天修绿道100米． ………………..(5分)23（1）证明：∵ CE ∥BD ，DE ∥AC ，∴ 四边形ODEC 是平行四边形. ……………………………………1分 又 ∵菱形ABCD ，∴ AC ⊥BD ，∴ ∠DOC =90°.∴ 四边形ODEC 是矩形.………………………………………………2分（2）如图，过点E 作EF ⊥AD ，交AD 的延长线于F .∵ AC ⊥BD ，∠ADB =60°，AD =23，∴ OD 3AO =OC =3.……………3分 ∵ 四边形ODEC 是矩形， ∴ DE =OC =3，∠ODE =90°. 又∵ ∠ADO +∠ODE +∠EDF =180°， ∴ ∠EDF =30°.在Rt △DEF 中，∠F =90°，∠EDF =30°. ∴ EF =1322DE =. ∴ D F =332.……………………………………………………………4分 在Rt△AFE 中，∠DFE =90°， ∴t a n ∠E A D =33232332EF EF AF AD DF ===+.………………………5分24．解：（1）2.87； (1)（2）8%；.............................................................................................2 （3）统计表如下图所示 (5)人数年份总人数（万人）2012年 2.31 2013年 2.52 2014年 2.61 2015年2.7325．（1） 证明：连结OD .∵DE ∥BO ，∴∠2=∠3，∠1=∠4. ∵OD OE =，∴∠3=∠4 . ∴∠1=∠2.FEDBOCA2012——2015年北京∵OD OC =，∠1=∠2，OB OB =，∴△BDO ≌△BCO ∴BDO BCO ∠=∠ ……….1分 ∵BD 为切线，∴OD ⊥AB ∴90BDO ∠=︒ ∴90BCO ∠=︒.又∵点C 在圆上，∴直线BC 是⊙O 的切线 ..……. 2分（2）∵∠2=∠3 ，tan ∠DEO =2，∴tan ∠2=2.∵t R OBC 在△中，∠C =90°，tan ∠2=2， ∴可设OC k =， 2BC k =，得3OB k = …… 3分 由切线长定理得2BD BC k ==， ∵DE ∥BO ∴AD AEDB EO =.即22k k =∴22AD = …………4分在Rt △ADO 中由勾股定理得：222(22)(2)k k +=+解方程得：1k = ∴OA =3 …………5分26．解：（1）1x ≤或2x ≥； （2）如图所示：1342x x x x <<<（3）.4321BEO D27.解：（1）由题意得，．∴．∵为正整数，∴．（2）当时，方程有一个根为零；当时，方程无整数根；当时，方程有两个非零的整数根．综上所述，和不合题意，舍去；符合题意．当时，二次函数为，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为．（3）设二次函数的图象与轴交于两点，则，．依题意翻折后的图象如图所示．当直线经过点时，可得；当直线经过点时，可得．由图象可知，符合题意的的取值范围为．28. （1）PC＝PE成立作PM⊥CE于M∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB∴EMMC＝FPPB∵P为FB中点，∴EM＝MC∴PC＝PE（2）作FG⊥BC于G，FH⊥AC于H，连接GP 则四边形FGCH是矩形，∴FH＝CG由旋转知，∠1＝∠2，∴AF平分∠CAE∴FH＝EF，∴EF＝CG∵P是Rt△FGB的斜边BF的中点∴GP＝FP＝BP，∴∠B＝∠4∵∠3＝∠B，∴∠3＝∠4∴∠EFP＝∠CGP，∴△EFP≌△CGP∴PC＝PE（3）k＝3 329. （1）①2,2,4②圆（2）所有跨度为2的点的集合是以为圆心，1为半径的圆当直线与该圆相交即可过点向圆作切线，可求出两切线与轴的夹角为所以，（3）。