面向信息科学的离散数学(杨小帆,杨橹星编著)思维导图
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离散数学图论基础知识文稿演示
图的定义
定义8.1 一个图是一个序偶<V,E>，记为 G＝<V,E>，其中： 1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合，
vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点，V为结 点集； 2) E＝{e1,e2,e3,…,em}是一个有限的集合， ei(i＝1,2,,…,m)称为边，E为边集，E中的 每个元素都有V中的结点对与之对应。即对任 意e∈E，都有e与<u,v>∈VV或者(u,v)∈ V&V相对应。
图论
▪ 一个图就是一个离散的拓扑结构,经常用于描 述和研究许多领域中的各种问题。
▪ 随着计算机科学的飞速发展,图论组合和算法 的研究在近代也成为计算机科学和数学中发 展最快的基础学科之一,也受到国际上的学术 界和高新技术企业方面特别重视。
图论
▪ 理论计算机科学中的算法理论经典问题(图中点对之 间最短路,货郎担问题,图重抅问题,HAMILTON 问 题,P-NP问题等)，通信网络通讯(网络设计, 通讯速度 和容量, 网络可靠性和容错性等) ；
图论本身是应用数学的一部份，因此，历史上图论曾经 被好多位数学家各自独立地建立过。关于图论的文字 记载最早出现在欧拉1736年的论着中，他所考虑的原 始问题有很强的实际背景
图论
图论起源于著名的哥尼斯堡七桥 问题。
欧拉证明了这个问题没有解，并 且推广了这个问题，给出了对于 一个给定的图可以某种方式走遍 的判定法则。 这项工作使欧拉成为图论〔及拓 扑学〕的创始人。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学 的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了 100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认 为应该有一种简捷明快的书面证明方法。
离散数学课件14图的基本概念
标定图与非标定图、基图
• 将图的集合定义转化成图形表示之后，常 用ek表示无向边(vi,vj)（或有向边<vi,vj>） ，并称顶点或边用字母标定的图为标定图 ，否则称为非标定图。
• 将有向图各有向边均改成无向边后的无向 图称为原来图的基图。
• 易知标定图与非标定图是可以相互转化的 ，任何无向图G的各边均加上箭头就可以 得到以G为基图的有向图。
称NG(v)∪{v}为v的闭邻域，记做NG(v)。 称{e|e∈E∧e与v相关联}为v的关联集，记做IG(v) 。
• 设有向图D＝<V，E>，v∈V， 称{u|u∈V∧<v,u>∈E∧u≠v}为v的后继元集，记做 Г+D(v)。 称{u|u∈V∧<u,v>∈E∧u≠v}为v的先驱元集，记做 Г (v)。 -2020/7/23
2020/7/23
无序积与多重集合
• 设A，B为任意的两个集合，称 {{a,b}|a∈A∧b∈B}为A与B的无序积，记作 A&B。
可将无序积中的无序对{a,b}记为(a,b)，并且 允许a＝b。
无论a,b是否相等，均有(a,b)＝(b,a)，因而 A&B＝B&A。
• 元素可以重复出现的集合称为多重集合或者 多重集，某元素重复出现的次数称为该元素 的重复度。 2020/7/23
2020/7/23
举例
NG(v1) {v2，v5}
＝
NG(v1)
＝
{v1，v2，v5}
IG(v1) ＝ {e1，e2，e3}
Г+D(d ) ＝ {c} Г-D(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c} ND(d ) ＝ {a，c，d}
简单图与多重图
离散数学-第11章
离散数学讲义之
图 论
主讲:熊焕亮
图论简介
• 图论（graph theory）是研究节点和边组成的图 形的数学理论和方法，为离散数学的一个重要分 支。图论的基本元素是节点和边（也称线、弧、 枝），用节点表示所研究的对象，用边表示研究 对象之间的某种特定关系。因此，图论可用节点 和边组成的图形及其有关的理论和方法来描述、 分析和解决各种实际问题，已广泛地应用于物理、 化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、 控制论、网络理论、管理科学、社会科学等几乎 所有学科领域的有关问题。图论与组合数学、线 性规划、群论、矩阵论、概率论、数值分析等数 学分支有密切的关系。
均为偶数，所以 d (v)为偶数，但因中顶点度数为奇数，
vV1
vV1
d (v ) d (v )
vV2
所以 | V1 |必为偶数。
14
11.1.2 简单图、多重图和同构图
V {v1 , v2 ,., vn } 设 G V , E 为一个阶无向图， 称 d (v1 ), d (v2 )d (vn ),为 G 的度数列。对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。反之， 对于给定的非负整数列d (d1 , d 2 ,d n )，若存在以 V (v1 , v2 ,, vn ) 为顶点 集的n阶无向图G,使得 d (vi ) d i ，则称d是可图化的。特别地，若所得 的图是简单图,则称d是可简单图化的。 例11.1.2 （1）（3，5，1，4），（1，2，3，4，5）能成为图的度 数列吗？为什么？ （2）已知图G 中有15条边，2个度数为4的结点，4个度数为3的结点， 其余结点度数均小于等于2，问G 中至少有多少个结点？为什么？ 解 （1）由于给定的两个度数列中奇度顶点个数均为奇数，由上述 推论可知，他们都不能成为图的度数列。 （2）图中边数为15，由握手定理可知，G 中所有结点度数和为30。 除去2个度数为4的结点和4个度数为3的结点，还剩下10度。其余结 点度数小于等于2，假设均为2，则至少要5个结点，所以总共至少要1 1个结点。
图 论
主讲:熊焕亮
图论简介
• 图论（graph theory）是研究节点和边组成的图 形的数学理论和方法，为离散数学的一个重要分 支。图论的基本元素是节点和边（也称线、弧、 枝），用节点表示所研究的对象，用边表示研究 对象之间的某种特定关系。因此，图论可用节点 和边组成的图形及其有关的理论和方法来描述、 分析和解决各种实际问题，已广泛地应用于物理、 化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、 控制论、网络理论、管理科学、社会科学等几乎 所有学科领域的有关问题。图论与组合数学、线 性规划、群论、矩阵论、概率论、数值分析等数 学分支有密切的关系。
均为偶数，所以 d (v)为偶数，但因中顶点度数为奇数，
vV1
vV1
d (v ) d (v )
vV2
所以 | V1 |必为偶数。
14
11.1.2 简单图、多重图和同构图
V {v1 , v2 ,., vn } 设 G V , E 为一个阶无向图， 称 d (v1 ), d (v2 )d (vn ),为 G 的度数列。对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。反之， 对于给定的非负整数列d (d1 , d 2 ,d n )，若存在以 V (v1 , v2 ,, vn ) 为顶点 集的n阶无向图G,使得 d (vi ) d i ，则称d是可图化的。特别地，若所得 的图是简单图,则称d是可简单图化的。 例11.1.2 （1）（3，5，1，4），（1，2，3，4，5）能成为图的度 数列吗？为什么？ （2）已知图G 中有15条边，2个度数为4的结点，4个度数为3的结点， 其余结点度数均小于等于2，问G 中至少有多少个结点？为什么？ 解 （1）由于给定的两个度数列中奇度顶点个数均为奇数，由上述 推论可知，他们都不能成为图的度数列。 （2）图中边数为15，由握手定理可知，G 中所有结点度数和为30。 除去2个度数为4的结点和4个度数为3的结点，还剩下10度。其余结 点度数小于等于2，假设均为2，则至少要5个结点，所以总共至少要1 1个结点。
离散数学课件-绪论
离散数学课件-绪论
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学课件第一章
图的连通性
04
CHAPTER
逻辑基础
命题逻辑中的基本概念包括命题、真值和逻辑运算，通过这些基本概念可以表达和推理复杂的命题关系。
命题逻辑在计算机科学、人工智能、自动化等领域有广泛应用，是形式化方法的重要基础。
命题逻辑是研究命题之间关系的逻辑分支，主要涉及命题的否定、合取、析取、蕴含等基本运算。
命题逻辑
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等。并集是指两个或多个集合合并为一个新的集合，包含所有元素；交集是指两个或多个集合中共有的元素组成的集合；差集是指从一个集合中去掉另一个集合中的元素后剩余的元素组成的集合。这些运算在离散数学中有着广泛的应用。
总结词
集合的运算
集合的基数是指集合中元素的个数，通常用大写字母表示。
鸽巢原理
THANKS
感谢您的观看。
集合论
图论是研究图（由节点和边构成的结构）的数学分支，它广泛应用于计算机科学和工程学科。
图论
逻辑是离散数学的另一个重要分支，它研究推理的形式和规则，是计算机科学和人工智能的基础。
逻辑
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支，它在计算机科学和统计学中有重要的应用。
组合数学
离散数学的研究内容
02
CHAPTER
离散数学课件第一章
目录
绪论 集合论基础 图论基础 逻辑基础 组合数学基础
01
CHAPTER
绪论
离散数学是研究离散对象（如集合、图、树等）的数学分支，它不涉及连续的量或函数。
离散数学的定义
离散数学的起源
离散数学的特点
离散数学的起源可以追溯到古代数学，如欧几里得几何和数论。
离散数学强调结构、关系和组合，而不是连续性和微积分。
【精选文档】离散数学图论课件PPT资料
若V1 V，E1 E，则称G1是G的子图，记为G1 G；
deg(v3)＝5，deg+(v3)＝2，deg-(v3)＝3；
无自回路的线图称为简单图。
于是|V1|为偶数(因为V1中的结点v之deg(v)都为奇数)，即奇度数的结点个数为偶数。
(o)
(p)
二、度数
定义 在无向图G＝<V，E>中，与结点v(vV)关联的边的条 数，称为该结点的度数，记为deg(v)；
3) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无 向的，均称边e与结点vi和vj相关联，而vi和vj称为邻接点， 否则称为不邻接的；
4) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边； 5) 图中关联同一个结点的边称为自回路(或环)； 6) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点； 7) 仅由孤立结点组成的图称为零图； 8) 仅含一个结点的零图称为平凡图；
离散数学图论课件
（优选）离散数学图论课件
离散数学
2
图的术语
1) 若边e与结点无序偶(u，v)相对应，则称边e为无向边,记为 e＝(u，v)，这时称u，v是边e的两个端点；
2) 若边e与结点有序偶<u，v>相对应，则称边e为有向边(或 弧)，记为e＝<u，v>，这时称u是边e的始点(或弧尾)，v是 边e的终点(或弧头)，统称为e的端点；
δ(G)最小度，Δ(G)最大度
定义 在图G＝<V，E>中，对任意结点vV，若度数deg(v)为 奇数，则称此结点为奇度数结点，若度数deg(v)为偶数， 则称此结点为偶度数结点。
例：
例：
deg(v )＝3，deg (v )＝2，deg (v )＝1； 例:如下图所示，图(a)、图(b)、图(c)和图+ (d)所表示的图形实际上都是-一样的。
离散数学教学图论【共58张PPT】
一 、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一 、图的基本概念
• 有限图和无限图 设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。 （2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生 成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节 生成树、最短路径和关键路径 由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节 欧拉图和哈密顿图
第四节 特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节 树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选 欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节 图的矩阵表示 第四节 欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成 树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。 哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其 中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元 素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.
离散数学引言ppt课件
离散数学
总学时: 56 理论学时:50
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
绪论内容目录
• 离散数学概述 • 离散数学研究内容 • 教学内容 • 教材及参考书目
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
– 耿素云，离散数学，高等教育出版社 – 参考书目 – 王遇科，离散数学，北京理工大学出版
社 – 离散数学，王孝喜等译，电子工业出版
社
– Discrete Mathematical Structures, Bernard Kolman, Robert C.Busby, Sharon Ross, Prentice Hall Inc.
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
• 图论
___对于解决许多实际问题很有用处，对于 学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。 要求掌握有关图、树的基本概念，以及如 何将图论用于实际问题的解决，并培养其 使用数学工具建立模型的思维方式。
数理逻辑 齐人固善盗乎?
___<<晏子春秋 内篇杂下第六>>
论辩中的复杂问语
___<<哲学演讲录>>(二)中曾叙述了一个 复杂问语:
梅内德谟:你已停止打你父亲,是吗?
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
总学时: 56 理论学时:50
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
绪论内容目录
• 离散数学概述 • 离散数学研究内容 • 教学内容 • 教材及参考书目
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
– 耿素云，离散数学，高等教育出版社 – 参考书目 – 王遇科，离散数学，北京理工大学出版
社 – 离散数学，王孝喜等译，电子工业出版
社
– Discrete Mathematical Structures, Bernard Kolman, Robert C.Busby, Sharon Ross, Prentice Hall Inc.
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
• 图论
___对于解决许多实际问题很有用处，对于 学习数据结构、编译原理课程也很有帮助。 要求掌握有关图、树的基本概念，以及如 何将图论用于实际问题的解决，并培养其 使用数学工具建立模型的思维方式。
数理逻辑 齐人固善盗乎?
___<<晏子春秋 内篇杂下第六>>
论辩中的复杂问语
___<<哲学演讲录>>(二)中曾叙述了一个 复杂问语:
梅内德谟:你已停止打你父亲,是吗?
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
高项第四版教材知识点思维导图- 第1章信息化发展
培育先进安全的数字产业体系
构建产业数字化转型发展体系
构筑共建共治共享的数字社会治理体系
打造协同高效地数字政府服务体系
构建普惠便捷的数字民生保障体系
拓展互利共赢的数字领域国际合作体系
建立健全规范有序的数字化发展治理体系
1.2 现代化基础设施
1.5G基建
2.特高压
3.城际高速铁路和城际轨道交通
“新基建”七大领域
系统实现条件
信息系统的组成
硬件、软件、数据库、网络、存储设备、感知设备、外设、人员以及把数据处理成信息的规程等。
1.信息系统及其特征
按用途类型划分，信息系统包括
电子商务系统、事务处理系统、管理信息系统、生产制造系统、电子政务系统、支持决策系统等。
1.1.2 信息系统
1.1 信息与信息化
1.1.3 信息化
1.体系框架
车联网系统是一个“端、管、云”三层体系
2.管系统 3.云系统
解决车与车、车与路、车与网、车与人等的互联互通，实现车辆自组网 及多种异构网络之间的通信与漫游，在功能和性能上保障实时性、可服 务性与网络泛在性，同时它是公网与专网的统一体。
云架构的车辆运行信息平台，它的生态链包含ITS、物流、客货运、危 特车辆、汽修汽配、汽车租赁、企事业车辆管理、汽车制造商、4S 店、车管、保险、紧急救援、移动互联网等，是多源海量信息的汇聚， 因此需要虚拟化、安全认证、实时交互、海量存储等云计算功能，其应 用系统也是围绕车辆的数据汇聚、计算、调度、监控、管理与应用的复 合体系。
信息 泛指人类社会传播的一切内容
信息化 是指国家宏观信息政策指导下，通过信息技术发展、信息产业的发展、信息人才的配置，最大限度利用信息资源以满足社会 的信息需求，从而加速社会各个领域的共同发展以推进信息社会发展的过程。
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