初一数学下册教案

初一数学下册教案

第一章整式

１．１整式

一、单项式

１.单项式的定义:表示数字与字母积的代数式，叫做单项式,单独一个数或一个字母也叫单项式.

练习指出下列代数式中，哪些是单项式:

通过此练习，一方面巩固刚刚学过的单项式定义，另一方面是让学生逐步学习如何应用定义去判断“是”或“不是”．

２．单项式的系数

定义：单项式中的数字因数，叫作单项式的系数．

练习指出以下单项式的系数：

注意:单项式的数字因数即为“系数”，要特别注意“系数”必须包括前面的“+”或“-”号,另外，当系数是“1”时，通常省略不写；系数是“-1”时，只写“－”就可以了.

3.单项式的次数

一下这个单项式中的字母因数,有x3,y2,z．x，y，ｚ的指数分别是3,2，１，称这几个数的和６为这个单项式的次数.

定义:一个单项式中,所有字母的指数的和，叫做这个单项式的次数。

注意:常数项的次数为零

练习指出下列单项式的次数：

二、多项式

1．多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．

2.多项式的项：多项式中，每个单项式叫做多项式的项.其中,不含字母的项叫做常数项．

比如:在多项式6ｘ2-２ｘ＋７中,6x2，－2x,7是它的项,其中7是常数项.

注意:说多项式的项,一定要带着前面的符号，比如这个多项式的第二项，不是“2x”而是“-2ｘ”.

3．多项式的次数

多项式3a2b－2ab＋ｂ2中,三个项３a2b，-2aｂ，ｂ２的次数分别是３，2,2，其中3a2ｂ这个单项式的次数最高,于是,我们就把这个次数最高的单项式的次数称为多项式的次数，所以,这个多项式的次数是3，称这个多项式为三次三项式，

定义:多项式里,次数最高的项的次数,叫做多项式的次数．

练习指出下列多项式的项数、项、常数项、最高次项、次数;

（1)２x-3xy ２＋１； (２)５a-3a 2b+b 2a-１； (3)3ｘy 2-4x 3ｙ+1２： (4）ｘ2-x 3

-１+

ｘ．

4.多项式的排列

定义:把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这

个字母的降幂排列．把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多

项式按这个字母的升幂排列.

例 把多项式3ｘ２y-4x ｙ２＋x 3-５y ３重新排列:

(1)按x 的升幂排列;(2）按ｘ的降幂排列;(3）按y 的升幂排列；(４)按y 的降幂排列.

分析:(1)多项式中含有两个或两个以上的字母时，必须指明是按哪一个字母的指数作

排列．(2)各项移动位置时,务必带着前面的符号.

5．整式:单项式和多项式统称为整式.

1.２ 整式的加减

难点:括号前是-号，去括号时，括号内的各项都要改变符号。

整式的化简,如果有括号，首先要去括号,然后合并同类项，所以去括号和合并同类项是

整式加减的基础。

练习：已知A =ａ2+b ２-c ２,B =-4a ２+2b ２+3c 2，并且A +B +C ＝0,求C .

１．３ 同底数幂的乘法

幂的运算性质：同底数幂相乘,底数不变,指数相加。

=a ｍ+n

.

注意：在进行同底数幂乘法时，当底数的系数为-１时、指数为+1时要特别注意.

ｃ=c 1, ３2·3ｍ·3≠3m +2; (-x )=（-x )1; －a 2≠（－a )２； (a -b )2＝（b -a )2.

（－3)n ，当n 为偶数时,幂的系数为正，当ｎ为奇数时，幂的系数的负．

练习：(1)x ·x 3+x 2·x 2; (2)y ３·y +y ·y ·ｙ２； (３)32·3·９-３·３４； (４)10３·10+１００·102.

1．4 幂的乘方与积的乘方

一、幂的乘方

利用乘方的意义与同底数幂的乘法法则可得(a ４)３＝a 4·a 4·a 4＝a 4+4+4＝a 12＝a 3×4.

一般地有,.mn m n m m m a n m m m a a a a a m

==⋅=+++

个个于是得(ａm )n =a ｍn (m ，n 都是正整数) 这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘.

练习 (1)［⎪⎭⎫ ⎝⎛-

31２］３; (２) (a 2)３·(a 3)４； （3）[(x-y ）2]3·（ｘ-ｙ)； （4) -(y ４）3; (５) (a m )4

二、积的乘方

一般地:（ａｂ)n =

个n ab ab ab )()()(⋅＝ 个

个n n b b b a a a )()(⋅⋅=a n b n 于是我们得到了积的乘方法则:(a ｂ）ｎ

=a n b ｎ(n 是正整数)。这就是说，积的乘方等于积

的每个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

练习：下面的计算对不对,如果不对应怎样改正： (1）(ab 2）３＝ａb 6； (2)（3xy )3=9x 3y 3； (3)(－２ａ2)２＝-４a 4

1.5 同底数幂的除法

一般地，设ｍ、n 为正整数,m >n ,a ≠0,有 a m ÷ａn =a m －n

即：同底数幂相除,底数不变，指数相减。

注意:

(１）运用法则的关键是看底数是否相同,而指数相减的是指被除式的指数减去除式的指数;

(2)因为零不能作除数,所以底数a ≠0，这是此性质成立的前提条件;

（3）注意指数“1”的情况，如a 4＋a=ａ4－1=ａ3不能把ａ的指数当做0

（4)多个同底数幂相除时,应按顺序计算．

练习： 273×９２÷312 1-m 2m 2416÷

１.6 整式的乘法

一、单项式乘以多项式

乘法单项式与多项式相乘，就是用单项式与去乘多项式的每一项,再把所得的积相加。

注意:１.单项式与多项式相乘的依据是乘法对加法的分配律;２．单项式与多项式相乘,

其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同,注意不要漏乘项;3．积的每一项的符号由原

多项式各项符号和单项式的符号来决定,注意运用去括号法则。

练习:（1)3ab ·(a 2b -ab 2+ab )－ab 2(2a ２-3ab +2a );(2）21（m +１)-

31(2m －1)+61（m -5)；(3） ｔ3-２t[t ２－2(ｔ－3)]

二、多项式乘以多项式

一般地,多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项;

再把所得的结果相加。

注意:（１)解题书写和格式的规范性;(2)注意总结不同类型题目的解题方法、步骤和结

果;（3)注意各项的符号,并要注意做到不重复、不遗漏.ﻭ 练习:(1) 5x （x 2＋２x +１)-（2ｘ＋３)(ｘ－５); (2) (3x -y )(y +3x )-(4ｘ-3ｙ)（４ｘ+３ｙ)

1.7 平方差公式 (a +b )(ａ-b ）＝a 2-ｂ2

平方差公式的基本形式是两个二项式的乘积,特点是两项式的第一项相等，第二项互为

相反数。只要满足这两个条件就可以用平方差公式进行计算。但是要注意,符号相同的项的

平方应作为被减项,而符号互为相反数的项的平方应作为减项。

例:(-４a －ｌ)(-4ａ＋ｌ）＝（－4a ）２

-ｌ＝16a 2-1

平方差公式中的字母不仅可以表示数，而且可以表示单项式、多项式．当平方差公式中

的ａ、b 代表的是整式时,可以将整式看成一个整体进行计算。

如[（a+b ）＋(c+d)][(a+ｂ)-(c+d ）]=(a+ｂ)２-（ｃ+ｄ)2,接下来的计算要结合下一节课学

习的完全平方公式进行计算。 练习：(1）(-２b -5）(２b －5); (2）(2a -b )(2a +b )-（2ｂ-3a ）(3a +2b );