平面向量重难点解析

平面向量重难点解析-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

平面向量 重难点解析

课文目录

2．1 平面向量的实际背景及基本概念 2．2 平面向量的线性运算

2．3 平面向量的基本定理及坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例

目标：

1、理解和掌握平面向量有关的概念；

2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；

3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；

4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用； 重难点：

重点：向量的综合应用。

难点：用向量知识，实现几何与代数之间的等价转化。

【要点精讲】

1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示-----AB (几何表示法)； ②用字母a 、b 等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：

分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。任作一个向

量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得a

xi yj =+，

),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐

标，y 叫做a 在y 轴上的坐标， 特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。

2a x y =+),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x --=，

AB =

3.零向量、单位向量：

①长度为0的向量叫零向量，记为；

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.就是单位向量）

4.平行向量：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.

性质：//(0)(a b b a b λλ≠⇔=是唯一）||b a b a a b λλλ⎧⎧>⎪⎪⎨⎪

<⎪⎩⎨⎪

=⎪⎩0,与同向方向---0,与反向长度---

1221//(0)0a b b x y x y ≠⇔-= （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==）

5.相等向量和垂直向量：

①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

②垂直向量——两向量的夹角为2

πθ=

性质：0a b a b ⊥⇔=

12120a b x x y y ⊥⇔+= （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==）

6.向量的加法、减法：

①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

平行四边形法则：

AC a b =+（起点相同的两向量相加，常要构造平行四边形）

DB a b =-

三角形法则,---⎧⎨---⎩加法首尾相连

减法终点相连方向指向被减数

——加法法则的推广： 112n AB AB B B =++……1n n B B -+

即n 个向量12,,a a ……n a 首尾相连成一个封闭图形，则有12a a ++……

0n a +=

②向量的减法向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。即：a b = a + (b )； 差向量的意义： OA = a , OB =b , 则BA =a b

③平面向量的坐标运算：若11(,)a x y =，22(,)b x y =，则

a b +),(2121y y x x ++=，a b -),(2121y y x x --=，(,)a x y λλλ=。

④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+) +=+ (+) ⑤常用结论：

（1）若1

()2AD AB AC =+，则D 是AB 的中点

（2）或G 是△ABC 的重心，则0GA GB GC ++= 7．向量的模：

1、定义：向量的大小，记为 |a | 或 |AB |

2、模的求法：

若 (,)a x y =，则 |a |22x y =+若1122(,),(,)A x y B x y ， 则 |AB |222121()()x x y y =-+-3、性质：

（1）2

2||a a =； 22||(0)||a b b a b =≥⇒= （实数与向量的转化关系） （2）22||||a b a b =⇒=，反之不然

（3）三角不等式：||||||||||a b a b a b -≤±≤+ （4）||||||a b a b ≤ （当且仅当,a b 共线时取“=”）

即当,a b 同向时 ，||||a b a b =； 即当,a b 同反向时 ，||||a b a b =- （5）平行四边形四条边的平方和等于其对角线的平方和，

即22222||2||||||a b a b a b +=++-

8．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa

（1）|λa |=|λ||a

|；

（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa

=0； （3）运算定律 λ(μa )=(λμ)a ，(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa

+λb

交换律：a b b a =; 分配律：()a b c a c b c +=+ (λ)·b =λ(·b )=·(λb );

——①不满足结合律：即()()a b c a b c ≠

②向量没有除法运算。如：a b c b a c =⇒=，2

a a a

b b ⇒都是错误的

（4）已知两个非零向量,a b ，它们的夹角为θ，则

a b =||||cos a b θ

坐标运算：1122(,),(,)a x y b x y ==，则1212a b x x y y =+ （5）向量AB a =在轴l 上的投影为：

︱a ︱cos θ， （θ为a n 与的夹角，n 为l 的方向向量） 其投影的长为/

/

||

a n A B n =

（

||

n

n 为n 的单位向量） （6）a b 与的夹角θ和a b 的关系：

（1）当0θ=时，a b 与同向；当θπ=时，a b 与反向

（2）θ为锐角时，则有0,a b a b ⎧>⎪⎨⎪⎩不共线； θ为钝角时，则有0

,a b a b ⎧<⎪⎨⎪⎩不共线