广义逆矩阵
三矩阵相乘的广义逆
广义逆矩阵是线性代数中的一个重要概念，它可以用来解决线性方程组的求解等问题。
在这里，我将介绍广义逆矩阵的基本概念和性质，并讨论三矩阵相乘的广义逆的计算方法。
广义逆矩阵的定义：设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB=BA=I，其中 I 是 n 阶单位矩阵，那么 B 就称为 A 的广义逆矩阵，记作 B=A^{-1}。
广义逆矩阵的性质：1. 如果 A 是可逆的，那么 A 的广义逆矩阵就是 A 的逆矩阵，即 A^{-1}=A^{-1}。
2. 如果 A 是非奇异的，那么 A 的广义逆矩阵就是 A 的伪逆矩阵，即 A^{-1}=A^+。
3. 如果 A 是奇异的，那么 A 的广义逆矩阵就是 A 的指数矩阵，即 A^{-1}=e^A。
4. 如果 A 是对称矩阵，那么 A 的广义逆矩阵也是对称矩阵，即 A^{-1}=A^{T}。
三矩阵相乘的广义逆的计算方法：设 A、B、C 是三个 n 阶方阵，那么它们的广义逆矩阵可以通过以下公式计算：(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}其中 C^{-1}、B^{-1}、A^{-1} 分别是 C、B、A 的广义逆矩阵。
这个公式可以通过矩阵运算的性质来证明，也可以通过计算 A、B、C 的指数矩阵来得到。
例如，如果 A、B、C 都是可逆的，那么它们的广义逆矩阵就是它们的逆矩阵，即(ABC)^{-1}=A^{-1}B^{-1}C^{-1}如果 A、B、C 都是非奇异的，那么它们的广义逆矩阵就是它们的伪逆矩阵，即(ABC)^{-1}=A^+B^+C^+如果 A、B、C 都是奇异的，那么它们的广义逆矩阵就是它们的指数矩阵，即(ABC)^{-1}=e^Ae^Be^C如果 A 是对称矩阵，B、C 是对称矩阵，那么它们的广义逆矩阵也是对称矩阵，即(ABC)^{-1}=(B^TA^TC^T)^{-1}=(C^TA^TB^T)^{-1}需要注意的是，三矩阵相乘的广义逆矩阵并不一定存在，例如如果 A、B、C 中有一个是零矩阵，那么它们的广义逆矩阵就不存在。
第4章 矩阵的广义逆
定义 3 设 A 为一个 m n 复矩阵，若有一个 n m 复矩阵 G 存在， 使（ 1 ）成立，即 AGA A ，则称 G 为 A 的一个 {1}-广义逆，记为
G A{1} 或 G A{1} ，也称 G 为 A 的一个减号广义逆，记为 G A ， 即有 AA A A ． （5）
A为列满秩
7
推论 设 A C mn , 则
(1) A左可逆的充要条件是 N ( A) {0};
( 2) A右可逆的充要条件是 R( A) C m .
证 充分性：N ( A) {0}
rank ( A) n
必要性： A左可逆
Ax 0只有零解
A为列满秩
1 ALபைடு நூலகம்A En
x N ( A)
由于 M-P 的 4 个方程都各有一定的解释，并且应用起来各有方 便之处，所以出于不同的目的，常常考虑满足部分方程的 G ，总之， 按照定义 2 可推得，满足 1 个，2 个，3 个，4 个 M-P 方程的广义逆 矩阵共有 15 类，即
1 2 3 4 C4 C4 C4 C4 15 ．
使得
AGb b ( b R( A))
m n
则称G为A的广义逆矩阵 , 记为G A .
定理1设 A C
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
充要条件是存在 G C nm , 使其满足AGA A
14
定理1 设 A C
m n
, 则A 存在广义逆矩阵A 的
nm
充要条件是存在 G C
15
由AGA A可得： AGAx0 Ax0 b 即，AGb b, 说明x Gb是方程 Ax b 的解. G是A的减号逆 , G A . m n nm 设 A C , 且 A C 是A的一个广义 推论 1 逆矩阵A , 则
矩阵论广义逆矩阵
解（1）例4．9已求得
于是
（2）
由于 的惟一性，它所具有的一些性质与通常逆矩阵的性质相仿，归纳如下．
定理6．12设 ，则
(1) ；
(2) ，
(3) ，其中λ∈C，且 如式(6．3)；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ， ；
(8)当U和V分别是m阶与n阶酉矩阵时，有
(9) 的充分必要条件是rankA=m；
则对任意 矩阵
是A的{1}-逆；当L=O时，X是A的{1，2}-逆．
证因为
容易验证，由式(6.1)给出的矩阵X满足AXA=A．所以X∈A{1}．
当L=O时，易知式(6.1)的矩阵X还满足XAX=A，故X∈A{1，2}．
证毕
需要指出的是，式(6.1)中矩阵L任意变化时，所得到的矩阵X并非是满足AXA=A的所有矩阵，即只是A{1}的一个子集．
则有
A=( )=AB( )=ABW
证毕
在式(6．1)中取L=O，即有X∈A{1，2}，此时rankX=r=rankA．这个结论具有一般性．
定理6．8设 ，则 的充分必要条件是rankX=rankA．
证若X∈A{1，2}，则有
rankA=rank(AXA)≤rankX=rank(XAX)≤rankA
即rankX=rankA．
第六章广义逆矩阵
当A是n阶方阵，且detA≠0时，A的逆矩阵 才存在，此时线性方程组Ax=b的解可以简洁地表示为x= ．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述．
矩阵的广义逆及其应用.ppt
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
(6) 若F是列满秩矩阵，则 F (F H F )1 F H
(7) 若G是行满秩矩阵，则 G GH (GGH )1
(8) 若矩阵A的满秩分解为A FG，则有 A G F ；
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵 一、矩阵的广义逆
设A Rnn，对于线性方程组 Ax b，当A可逆时， 方程组有唯一解：x A1b.
若矩阵 A不可逆时，如何求解方程组 Ax b?
更一般，当矩阵 A Rmn不是方阵时，如何讨论 方程组 Ax b的解， 其中x Rn，b Rm ? 为了分析和解决上述问题，引入广义逆的概念.
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
定理2：设A Rmn，b Rm，x Rn，若性方程组 Ax b 是相容的，即方程组Ax b 有解，则其
通解为： x Ab (In A A)t，t是任意n 1向量. 证明：首先证明t Rn，x Ab (In A A)t是 方程组的解，然后证明方程组的任一解x，均可 表示成x Ab (In A A)t的形式.
A
1
1
1
2
(3)(1)3
0
3 3 2 4
0
1 2 4
0
1
2
0 4 8
高等工程数学 理学院 杨文强
第五章 矩阵的广义逆
§1 广义逆矩阵
1
A
0
0
1 2 4 (1)(2)2 1 1 0 0
工程矩阵理论(第6章-矩阵的广义逆)
矩阵的广义逆可以用于求解线性方程组，特别是当系数矩阵奇异或接近奇异时，广义逆提供了有效的 解决方案。
最小二乘解
在最小二乘问题中，广义逆可以找到使得残差平方和最小的解，这在数据分析和统计中非常有用。
在控制论中的应用
系统稳定性分析
在控制系统中，广义逆可以用于分析 系统的稳定性，通过计算系统的极点 来评估系统的动态行为。
04
矩阵的广义逆的存在性条件
存在性条件
矩阵A的秩为n
矩阵A的秩必须等于其维数n，即 $rank(A) = n$，以保证存在一个广义逆 矩阵。
VS
线性方程组有解
矩阵A所对应的线性方程组必须有解，即 系数矩阵A的行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$。
唯一性条件
要点一
矩阵A为非奇异矩阵
矩阵A必须是非奇异矩阵，即其行列式值不为零，即 $det(A) neq 0$，以保证广义逆矩阵的唯一性。
程实际需求。
工程实例三：最优化问题求解
总结词
最优化问题求解是矩阵广义逆的一个重要应用方向。
详细描述
在工程领域中，经常需要解决各种最优化问题，如线 性规划、二次规划、非线性规划等。这些问题的数学 模型通常可以转化为矩阵形式。通过利用矩阵的广义 逆，可以高效地求解这些最优化问题，为工程实践提 供更好的解决方案。
最小二乘法的优点是简单易行，适用于大规模数据的计算。 但是，它只能找到一个近似解，而不是精确解。
迭代法
迭代法是一种通过不断迭代来逼近解的方法。在矩阵的广 义逆中，迭代法可以用来求解线性方程组的迭代解。通过 不断迭代更新解向量，最终逼近方程组的解。
迭代法的优点是适用于大规模数据的计算，且可以找到精 确解。但是，迭代法的收敛速度较慢，需要多次迭代才能 得到满意的结果。
广义逆矩阵作用
广义逆矩阵作用广义逆矩阵，也叫伪逆矩阵，是矩阵理论中的一个重要概念。
在线性代数和应用数学中，矩阵的逆矩阵是一个很常见的概念，但是有些矩阵并不存在逆矩阵。
为了解决这个问题，广义逆矩阵应运而生。
广义逆矩阵是对非方阵进行求逆运算的一种方法。
一般来说，如果一个矩阵存在逆矩阵，那么它的逆矩阵一定是唯一的。
但是对于非方阵，它们并没有逆矩阵，只能求得广义逆矩阵。
那么广义逆矩阵有什么作用呢？首先，广义逆矩阵可以用来求解线性方程组的最小二乘解。
在实际问题中，经常会遇到超定线性方程组，即方程的个数大于未知数的个数。
这时候，线性方程组一般是无解的，但是可以使用广义逆矩阵来求解最小二乘解，使得方程组的残差最小化。
广义逆矩阵还可以用于解决矩阵方程。
矩阵方程是指形如AX=B的方程，其中A是一个矩阵，X和B是向量或矩阵。
如果A存在逆矩阵，那么方程可以直接求解，即X=A^(-1)B。
但是如果A不存在逆矩阵，就需要使用广义逆矩阵来求解。
广义逆矩阵的求解方法有很多种，其中最常用的方法是Moore-Penrose广义逆矩阵。
Moore-Penrose广义逆矩阵是广义逆矩阵的一种特殊形式，它具有很多良好的性质。
对于任意一个矩阵A，它的Moore-Penrose广义逆矩阵可以通过以下方法求得：首先计算A的转置矩阵A^T，然后计算A^TA的逆矩阵(A^TA)^(-1)，最后再将结果与A^T相乘，即可得到A的Moore-Penrose广义逆矩阵。
广义逆矩阵在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在信号处理领域中，广义逆矩阵可以用于解决信号重构问题，通过最小二乘法使得信号的重构误差最小。
在机器学习和数据挖掘中，广义逆矩阵可以用于降维和特征选择，帮助提取数据中的关键特征。
广义逆矩阵还在控制理论和系统工程中扮演重要角色。
在控制系统设计中，经常需要求解线性方程组，而广义逆矩阵可以用于求解最优控制器的增益矩阵。
在系统工程中，广义逆矩阵可以用于求解线性约束问题，例如最小二乘估计以及线性规划等。
广义逆的性质与应用
广义逆的性质与应用广义逆是矩阵理论中的重要概念，广义逆的性质与应用涵盖了多个领域，包括线性代数、最小二乘法、控制论、信号处理等。
本文将介绍广义逆的定义、性质及其在不同领域中的应用。
一、定义与性质1.1 定义广义逆也被称为伪逆或摩尔－彭若斯广义逆，是对于非方阵的矩阵而言的一种逆。
对于任意的m x n矩阵A，它的广义逆记作A^+ ，满足以下条件：1) AA^+A = A2) A^+AA^+ = A^+3) (AA^+)^T = AA^+4) (A^+A)^T = A^+A1.2 性质广义逆具有以下一些重要性质：1) 如果A是可逆矩阵，则A的广义逆等于A的逆。
2) A的广义逆是唯一的。
3) 两个矩阵的广义逆的乘积等于它们各自广义逆的乘积。
4) 广义逆具有非负性：如果A的元素都是非负的，则A的广义逆的元素也都是非负的。
5) 当A是满秩矩阵时，AA^+ = I，即A乘以它的广义逆等于单位矩阵。
二、应用领域2.1 最小二乘法最小二乘法是一种常用于解决拟合问题的数学方法，广义逆在最小二乘法中起着重要作用。
对于线性方程组Ax=b，其中A是一个非方阵，x和b是两个向量，如果该方程组无解，我们可以通过广义逆来寻找一个最优解，即使得Ax尽量接近b的解x^* = A^+b。
2.2 控制论广义逆在控制论中的应用主要是在系统建模和控制器设计中。
在一些复杂的系统中，往往无法直接求解系统的解析解。
通过广义逆，我们可以得到一种近似解，在控制器设计中，可以利用广义逆来求解动态系统的逆动力学问题。
2.3 信号处理广义逆在信号处理中也起着重要作用，特别是在图像恢复、压缩感知以及信号降噪等方面的应用。
通过广义逆，可以对噪声干扰下的信号进行恢复和重构，提高信号的质量和准确性。
2.4 数据挖掘在数据挖掘中，广义逆被广泛应用于矩阵分解、推荐系统和聚类分析等领域。
通过广义逆，可以对大量的数据进行降维处理，提取有效的特征，并用于分类和预测任务。
三、总结广义逆作为矩阵理论的重要内容，具有广泛的应用价值。
广义逆矩阵
第六章 广义逆广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。
本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵{}1-逆及矩阵Moore-Penrose 逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin 逆的基本性质。
§ 广义逆矩阵的概述广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。
设n C 为复n 维向量空间，m n C ⨯为复m n ⨯矩阵全体。
设矩阵m n A C ⨯∈，考虑线性方程组Ax b = （6-1） 其中，m b C ∈为给定的m 维向量，n x C ∈为待定的n 维向量。
定义1 若存在向量n x C ∈满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。
众所周知，当A 为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解1x A b -=，其中1A -是A 的逆矩阵。
当A 为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求n x C ∈，使得()min y R A Ax b y b ∈-=- （6-2）成立，其中代表任意一种向量范数，{}(),m n R A y C y Ax x C =∈=∀∈。
上述两种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式x Gb =，其中，G 是某个n m ⨯矩阵？ 这个矩阵G 是通常逆矩阵的推广。
1920年，. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore 的方程过于抽象，并未引起人们的重视。
1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。
定义2 设矩阵m n A C ⨯∈，若存在矩阵n m X C ⨯∈满足下列Penrose 方程（1）AXA A =； （2）XAX X =； （3）()H AX AX =； （4）()H XA XA =则称X 为A 的Moore-Penrose 逆，记为A +。
广义逆矩阵求法例题
广义逆矩阵求法例题广义逆矩阵，也称为伪逆矩阵，是对于非方阵或奇异矩阵的一种逆的推广。
在数学和工程领域中，广义逆矩阵有着广泛的应用。
下面我将通过一个例题来说明如何求解广义逆矩阵。
假设我们有一个矩阵A：A = [1 2。
3 4。
5 6]我们知道A不是一个方阵，因此它没有标准的逆矩阵。
但我们可以使用广义逆矩阵来表示它的逆。
广义逆矩阵的一个常见求法是使用Moore-Penrose广义逆矩阵公式：A⁺ = (A^T A)^(-1) A^T.首先，我们计算A的转置矩阵A^T：A^T = [1 3 5。
2 4 6]然后，计算A^T A：A^T A = [1 3 5 [1 2。
2 4 6]3 4。
5 6]A^T A = [35 44。
44 56]接下来，计算(A^T A)^(-1)。
我们可以使用矩阵求逆的方法来得到(A^T A)^(-1)：(A^T A)^(-1) = 1/(3556 4444) [56 -44。
-44 35](A^T A)^(-1) = 1/12 [56 -44。
-44 35]最后，将(A^T A)^(-1)与A^T相乘，得到广义逆矩阵A⁺： A⁺ = (A^T A)^(-1) A^T.= 1/12 [56 -44。
-44 35] [1 3 5。
2 4 6]经过计算，得到广义逆矩阵A⁺的结果为：A⁺ = [0.1 -0.2 0.5。
-0.8 0.6 -0.1]因此，对于给定的矩阵A，我们使用Moore-Penrose广义逆矩阵公式成功求得了其广义逆矩阵A⁺。
总结起来，广义逆矩阵的求法涉及到矩阵的转置、矩阵相乘、矩阵求逆等操作，通过这些步骤我们可以得到非方阵或奇异矩阵的逆的推广，从而在实际问题中得到应用。
第8章广义逆矩阵及其应用
同理可证（2）．
这里要特别指出的是，对于行或列满秩的矩阵 A ， AR1 与 AL1 是不可能同时存在的，当且仅当 A 为满秩矩阵时 AR1 与 AL1 才同时存在，并且都等于逆矩阵 A1 ，另外，由右逆与左逆的定
义不难看出右逆与左逆满足 M-P 方程（8.1.1），（8.1.2），从而有 下面结论．
( AG) H AG ，
（8.1.4）
4 个方程的全部或一部分，则称 G 为 A 的一个广义逆矩阵，并把上
面 4 个方程叫做穆尔-彭诺斯（M-P）方程．进一步，如果 G 满足
M-P 的 4 个方程式，则称 G 为 A 的穆尔-彭诺斯广义逆，记为
G A{1,2,3,4} ，一般地，如果 G 满足 4 个 M-P 方程式中的第
在，使（8.1.1）与（8.1.2）都成立，即
AGA A GAG G
则称 G 为 A 的一个{1,2}-广义逆，记为 G A{1, 2} 或 G A{1,2} ，也称 G
为 A 的一个自反减号广义逆，记为 G Ar ，即有
AAr A A ， Ar AAr Ar ．
（8.1.10）
显 然 ， 自 反 减 号 逆 Ar 是 一 种 特 殊 的 减 号 逆 A ， 它 满 足 自 反 性
P C mm , Q C nn 使得
PA
Q
Er 0
00 ，
则 A 的减号逆矩阵存在，且可表示为
（8.1.7）
A
Q
Er G21
G12 G22
P
，
（8.1.8）
其中 G12,G21,G22 分别是 r (m r) ，(n r) r ，(n r) (m r) 的任意
矩阵．
第六章 广义逆矩阵
100
= 0 1 0 .
000
由 例 6.1.3 可知, α 在 L 上的正交投影向量为
100
1
1
PLα = 0 1 0 0 = 0 .
000
1
0
(实际上 PLα 无需计算即可“猜”到, 为什么?)
定义 6.1.1 设矩阵 A ∈ Cm×n, 若矩阵 X ∈ Cn×m 满足 Penrose 方程组 (6.0.4), 则称 X 为 A 的一个 Penrose 广义逆 (矩阵).
x = R−1U ∗b
(6.0.1)
(或者由原方程的正规化方程 A∗Ax = A∗b 求得, 因为此时系数矩阵 A∗A 可逆.) 如果记 A = R−1U ∗, 则有 A A = In, 因此, 如果 A 是方阵, 则 A 确为 A 的逆矩阵. 但若 n < m, 则有
AA =
In 0 0 0 m×m
第一节 投影矩阵与 Moore-Penrose 广义逆矩阵
本节我们将证明 Moore 方程组与 Penrose 方程组是等价的, 因此矩阵的 Moore 广义逆 与 Penrose 广义逆实际上是相同的. 为此需要研究 Moore 方程组中的投影矩阵 PR(A) 与 PR(X). 回顾第二章, 若 C 上 n 阶方阵 A 满足 A2 = A, 则有
55Eliakim Hastings Moore(1862-1932), 美国数学家, 是二十世纪初美国数学的奠基人, 曾任美国数学会主席. 56Sir Roger Penrose(1931-), 著名英国数学家, 物理学家, 哲学家. 1988 年 Wolf 奖得主. 与 Stephen Hawking (霍 金) 合作证明了广义相对论的奇点存在性.
广义逆矩阵
广义逆矩阵广义逆矩阵是研究线性代数和数值分析的非常重要的概念，它可以用来求解线性方程组和计算数值解。
本文介绍了广义逆矩阵的基本概念，具体的求解方法和一些相关的典型应用。
1.什么是广义逆矩阵广义逆矩阵（generalized inverse matrix）是一个矩阵的另一种特殊的逆矩阵，它被广泛应用于线性代数和数值分析中。
它是一种概念比较抽象的概念，定义如下：设A是一个n阶矩阵，它具有n个线性无关的列向量，若能够找到一个n阶矩阵G，使其能够满足： GA = AG = A则G称作A的广义逆矩阵。
2.广义逆矩阵的求解广义逆矩阵的求解方法有很多种，其中最常用的方法是Moore-Penrose伪逆矩阵法。
该法是采用矩阵分解的方法，将A分解为三个矩阵：A=L+D+U，其中L为下三角矩阵，D为对角矩阵，U为上三角矩阵，令P=L+D，Q=U+D，则G近似地可求得为：G = P-1Q-1；借助矩阵分解法，可将广义逆矩阵求解问题转化为求普通逆矩阵的问题，可大大简化求解步骤，成为一种非常有效的求解方法。
3.广义逆矩阵的应用广义逆矩阵的应用非常广泛，可以用来求解线性方程组，计算最小二乘法的数值解，解决数据压缩问题等。
（1）求解线性方程组广义逆矩阵可以用来求解线性方程组，若Ax=b，求x，则x=Gb，其中G是A的广义逆矩阵，这就是线性方程组的求解方法。
（2）计算最小二乘法的数值解对于最小二乘问题，若想求解精确的数值最优解，可以采用广义逆矩阵。
先将矩阵A进行矩阵分解，得G，然后将G代入，可以求出相应的数值最优解。
（3）数据压缩广义逆矩阵还可以应用在数据压缩中，可以采用广义逆矩阵加不完全正定矩阵取近似值来压缩数据，这样可以有效减少存储空间，提高计算效率。
综上所述，广义逆矩阵是研究线性代数和数值分析的一个重要概念，求解过程可以采用矩阵分解和不完全正定矩阵等方法，可以用来求解线性方程组，计算最小二乘法的数值解和进行数据压缩等。
矩阵理论课件-第三章 矩阵的广义逆
注2：由定理2知
A In
I
m
初等变换
PAQ Q
P
Ir 0 Q
0 0
P
1 0 -1 1
例：设A=
0
2
2
2 ，求A{1}.
-1 4 5 3
解：由
A I4
I3 0
初等变换
I2 0 Q
0 0
P ，这里
0
1 0 1 1
1 0
P=
0
1/ 2
1 2
0 0 1
,
这里只是给出了A{1}的一个构造性描述,在使用上并不直接， 因为还要求出一个A(1).
推论2：方程组(1)相容的充要条件是AA(1)b b,且其通解为 x=A(1)b+(I-A(1)A) y, y Cn任意.
证明：定理1中，取D=b Cm,B=1即得.
注1:因为A+ A{1},故Ax=b相容时，通解为 x=A+b+(I-A+A) y, y Cn.
证明：由A的奇异值分解(r(A)=r),有A=V
Sr 0
0 0
U
H，其中
Sr diag{1, , r},i 0,U和V是酉阵.
令G=U
Sr1 0
AGA=V
Sr 0
0 0
VH
,
可以验证G满足方程1）-4）.如第1)3)方程
0 0
U
H
U
Sr1 0
0 0
VH
V
Sr 0
X=A(1) DB(1) +Y-A(1)AYBB(1).(2) 其中Y Cnq为任意.
证明：：若AA(1)DB(1)B D,令X=A(1)DB(1)则满足AXB=D. :若AXB=D有解,则D=AXB=AA(1) AXBB(1) B=AA(1) DB(1) B.
广义逆矩阵
广义逆矩阵
广义逆矩阵是线性代数中非常有用的概念，它能够解决复杂的数学问题。
本文将对它的定义、性质及其应用进行详细的介绍，以帮助读者更好地理解这一概念。
广义逆矩阵（Generalized Inverse Matrix），也称为
Moore-Penrose逆矩阵，它是矩阵A的可逆矩阵，用A+表示。
它是A 满足四个基本性质（Moore-Penrose性质）时的矩阵，即：
1、AA+A=A；
2、A+AA+ =A+；
3、(A+A)T=A+A；
4、(AA+)T=AA+。
由定义可知，广义逆矩阵的存在与矩阵A可逆有关。
如果A可逆，则A+就是A的逆矩阵；如果A不可逆，则A+是A的广义逆矩阵。
因此，广义逆矩阵是一个更广泛的概念，它正是由于A不可逆，才能够定义，它可以应用于A不可逆的情况。
广义逆矩阵在很多实际应用中扮演了重要的角色。
例如，在统计学中，可以通过广义逆矩阵来求解非方阵（不可逆）的最小二乘问题，以此解决非线性回归问题。
此外，广义逆矩阵可以应用于图像处理方面。
在传感器校准领域，广义逆矩阵可以用于消除传感器矩阵中的非线性影响，从而使图像获得更高的质量。
此外，广义逆矩阵还可以用于控制理论中的MPC（Model
Predictive Control）方法，这种方法将控制系统中的非线性因素表示为一个矩阵，并利用广义逆矩阵来计算系统未来一段时间的状态。
综上所述，广义逆矩阵在解决复杂数学问题中显示出了强大的能力。
它不仅可以用于统计学，还可以用于图像处理和控制理论，通过广义逆矩阵来解决非线性问题，以更好地表示系统的特征。
广义逆的四个定义
广义逆的四个定义
广义逆是线性代数中的一个重要概念，它有四个不同但等价的定义。
以下是对
这四个定义的详细描述：
1. 非奇异广义逆：设A是一个m×n的矩阵，若存在一个n×m的矩阵B，使得ABA=A，且BAB=B，则称矩阵B是矩阵A的非奇异广义逆。
2. Moore-Penrose广义逆：给定一个m×n的矩阵A，它的Moore-Penrose广义
逆是一个n×m的矩阵，记为A⁺。
满足下列四个性质：
- A⁺A A⁺ = A⁺ (良定义性)
- AA⁺ A = A (右逆性)
- (AB)⁺ = B⁺A⁺ (分配性)
- (A⁺A)⁺ = A⁺A (对称性)
3. Drazin广义逆：对于一个方阵A，如果存在正整数k和一个矩阵B，满足ABA=A^kBA=A^(k-1)B，则称矩阵B是矩阵A的Drazin广义逆。
4. 右逆广义逆：对于一个m×n的矩阵A，如果存在一个n×m的矩阵B，使得
AB是一个n×n的单位矩阵，则称矩阵B是矩阵A的右逆广义逆。
这些定义提供了不同的角度来理解广义逆的含义和性质。
在线性代数和应用中，广义逆在求解线性方程组、最小二乘法、矩阵分解等方面有着广泛的应用。
在实际问题中，选择合适的广义逆定义可以更好地解决各种问题。
因此，理解这四个定义的含义和特性对于广义逆的研究和应用至关重要。
矩阵的广义逆
A–1 = A + ；
A–1L = （AHA）–1AH=A +；
A
–1 R
=AH（AAH）–1=A
+
；
若
A
+
，则A
+
是
A{1}
。
2、M-P 广义逆的惟一性
定理4.9 (P . 98)如果A有M-P广义逆，则A的
M-P广义逆是惟一的。
3、M-P广义逆的存在性及其求法
定理4.8（P . 99）任何矩阵都有M-P广义逆。 求法：
4. 矩阵AH A可逆。
1 0
例题2 求矩阵A =
0
1
的左逆。
2 1
矩阵右逆的存在性
定理4 . 2 (P . 94)A C m n ，则下列条件等价：
1. 矩阵A右可逆。
2. A的列空间R（A）=Cm
3. n m ，秩（A）=m，A是行满秩的。
4. 矩阵A AH 可逆
A1 R
=AH（AAH）–1
( x0 ) x0 y x0 y W
含义：点（x0）是空间 W 中与点x 0距离最近的点。
4、A + A与AA +的性质
定理4.15（P . 104）
A + A的性质：
• （A + A）2 = A + A，（A + A）H = A + A • C n =R（A + ） N（A） • R （A + ）= N（A）
Y=f（X），使得误差最小。
例题1（P . 107，eg9） 一组实验数据（1，2），（2，
3），（3，5），（4，7）的分布呈直线趋势，求最佳 拟合直线。
方法：将误差向量表示为 e =A –b，求方程组
矩阵的广义逆与伪逆
矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
而矩阵的广义逆和伪逆则是矩阵理论中的两个重要概念。
广义逆和伪逆提供了解决线性方程组无解、矩阵非满秩等问题的方法，对于矩阵求逆计算和最小二乘法等问题都具有重要的意义。
首先，我们来讨论矩阵的广义逆。
对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵A+，使得AA+A=A+AA=A，那么A+就是A的广义逆。
广义逆的存在性是有条件的，对于满秩矩阵而言，它的广义逆就是它的逆矩阵；而对于非满秩矩阵，它不存在逆矩阵，但仍然可能存在广义逆。
广义逆的计算方法有很多种，例如Moore-Penrose广义逆、Drazin广义逆等。
广义逆的应用非常广泛，例如在最小二乘法中，求解具有多个解的线性方程组，求解线性回归等问题都可以通过广义逆得到解析解。
接下来，我们来讨论矩阵的伪逆。
对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵A+，使得AA+A=A+AA=A，并且A+A+A+=A+，那么A+就是A的伪逆。
伪逆与广义逆的定义是有所区别的，伪逆要求除了满足广义逆的条件外，还要求伪逆自身也是广义逆。
伪逆的计算方法与广义逆类似，但是计算过程中要额外考虑伪逆自身的广义逆性质。
伪逆的应用非常多样化，它可以用于在矩阵不可逆的情况下解决线性方程组的问题，还可以用于用最小二乘法拟合非线性关系等。
对于机器学习和人工智能等领域来说，矩阵的伪逆是一个重要的工具，能够帮助我们处理各种复杂问题。
矩阵的广义逆和伪逆在实际问题中发挥了重要作用，它们能够帮助我们解决线性方程组无解、矩阵非满秩等问题。
广义逆的存在性是有条件的，对于满秩矩阵而言，它的广义逆就是它的逆矩阵；而对于非满秩矩阵，它不存在逆矩阵，但仍然可能存在广义逆。
广义逆的计算方法有很多种，例如Moore-Penrose广义逆、Drazin广义逆等。
通过广义逆，我们可以得到线性方程组的解析解，也可以用于最小二乘法的计算等。
而伪逆则是广义逆的更严格的要求，除了满足广义逆的条件外，它还要求伪逆自身也是广义逆。
广义逆矩阵
广义逆矩阵广义逆矩阵，又称广义反矩阵，是一种在线性代数理论中研究基于多维向量空间的矩阵反置、求解方法。
它也可以把多维空间中多个向量组成的矩阵反置成一个单独的向量，并对多维空间中的变量进行分析及处理。
本文将介绍广义逆矩阵的定义、原理、应用以及实际计算方法。
首先，什么是广义逆矩阵？一般情况下，矩阵反置是指给定一个n×n矩阵A，求出另一个n×n矩阵B，使得 AB=I，其中I是单位矩阵，称矩阵B为矩阵A的逆矩阵。
而广义逆矩阵则是把上面的定义进行拓展，把n×n矩阵A拓展为m×n矩阵C，其中m>n，求出另一个n×m矩阵D，使得CD=I，而矩阵D则就是广义逆矩阵。
其次，广义逆矩阵的原理是什么？首先要知道，无论是矩阵反置还是广义逆矩阵，它们都需要满足输入与输出之间的一致性。
这也是矩阵反置和广义逆矩阵最主要的原理，即：根据输入的信息，找到一组输出的信息，使得它们组合在一起，能够恢复到原来的输入信息。
第三，广义逆矩阵的应用。
广义逆矩阵在多项式模型参数估计、统计模型中均有应用。
在多项式模型参数估计中，首先要得到输入数据的特征矩阵，然后用广义逆矩阵求取未知参数的传播矩阵。
在统计模型中，广义逆矩阵通常用于拟合样本点，解决参数估计问题。
另外，广义逆矩阵还能够用于求解线性方程组，尤其是非方阵的情况；可以用于分析多维数据，以及解决信息处理中的大型线性系统等问题。
第四，实际计算方法。
在实际中计算广义逆矩阵主要有两种方法，一种是线性规划方法，另一种是最小二乘法。
线性规划方法是通过线性规划模型，把问题转化为线性规划问题进行求解；使用最小二乘法则是通过求解几何分布最小二乘法，可以用广义逆矩阵求解出最优解。
总之，广义逆矩阵的定义、原理、应用及实际计算方法有着十分重要的作用。
它不仅能够用于多项式模型参数估计及统计模型，而且可以用于求解线性方程组，以及分析多维数据及信息处理中的大型线性系统等问题。
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AXA A
(P1)
XAX X
AX H AX
(P2 ) ( P3 )
XAH XA (P4 )
如果矩阵G仅满足其中的一个或几个时，可以定义 不同的广义逆矩阵。
因此，共可定义 C41 C42 C43 C44 15 类不同的广义逆。
由A+的存在性可知，15类广义逆都存在，除A+是唯一确定的外， 其余各类广义逆矩阵都不唯一确定。
存在性证明
设 rankA r, 若 r 0, 则A是 m n 阶零矩阵，可以 验证 n m阶零矩阵满足四个方程。
设r 0,由满秩分解定理知，存在B Crmr ,C Crrn , 使得A BC
令X C H (CC H )1(BH B)1 BH
可以验证X满足广义逆矩阵方程
对于矩阵方程
几类弱逆
G A Y A AYAA
此定理表明：只要求出 A中1 的一个元素，就可得到 A1 中所有的元素。
广义逆矩阵A+的计算：方法一 利用满秩分解
如果矩阵A有满秩分解A=BC，则有A+的表达式，即
A C H (CC H )1(BH B)1 BH
如果A是非奇异矩阵，则 A1 C并1B且1 由上面的公式 计算出 A ，C从1B而1
方程 AXA A
(P1 )
XAX X
AX H AX
(P2 ) (P3 )
---广义逆矩阵方程
XAH XA (P4 )
则称X为A的Moor –Penrose逆，记为A+
例：容易由定义直接验算：
若 A 1 1,
0 0
则
1 0
A
2 1
2
0
定理 设 A C mn，A+存在且唯一，即广义矩阵方程组 有唯一解 X C nm
2）A的减号逆A-不唯一。
例：设
A
1 1
0 0,
1 0
容易验证B 1 0 0, C 1 0 0
0 1 0 0 0 1
均满足 ABA A, ACA A, 故B，C都是A的减号逆.
3)矩阵A有唯一的A-充分必要条件是A为非奇异矩阵，
此时
A-=A-1
定理 A{1}的表示通式
设A Crmn，A A{1}是一个给定的广义逆， Y C nm是任意矩阵 , 则A{1}的通式为
A A1
因此广义逆A+是通常逆矩阵概念的一种推广。 广义逆矩阵A+与通常逆矩阵有许多类似的性质，但也有一些不 同。
如果矩阵A是行满秩的，A有满秩分解A = Im A，
则A+的表达式为 A AH ( AAH )1
如果矩阵A是列满秩的，A有满秩分解A = A I n， 则A+的表达式为
A ( AH A)1 AH
广义逆矩阵方程
设A是n阶非奇异矩阵，则存在唯一的逆矩阵A-1， 它具有如下性质：
AA1 I
A1 A I
AA1 A A
A1 AA1 A1
或者说， A-1是下述矩阵方程组的解
AXA A
(P1 )
XAX X
AX H AX
(P2 ) (P3 )
XAH XA (P4 )
设 A C mn , 若矩阵 X C nm 满足如下四个（Penrose)
几种常用的广义逆矩阵
A{1},它的形式记为 A
A{1,2},它的形式记为
Ar --自反广义逆
A{1,3},它的形式记为
Al --最小二乘广义逆
A{1,4},它的形式记为
Am 最小范数广义逆
广义逆A-
A{1}是指仅满足第一个Penrose方程的广义逆，即若
AA-1A=A, 则记 A A{1}
说明： 1)利用初等行变换，可以求得A-
则容易验证： A VDU H .
其中
D
1 0
0 0
广义逆集合 对于矩阵 A C mn ，记
A{i} ={ G Cnm |G满足第i个Penrose方程} A{i,j} ={ G Cnm |G满足第i,j个Penrose方程}
A{i ,j ,k} ={ G Cnm |G满足第i,j,k个Penrose方程}
各类广义逆的关系
{A} A{1,2,3,4} A{i, j,k} A{i, j} A{i}
把逆矩阵推广到不可逆方阵或长方矩阵上，这就是所谓的 广义逆矩阵。
广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆 时，它与通常的逆矩阵一致，而且广义逆矩阵可以给出线性 方程组（包括相容的和矛盾方程组）各种解的统一形式。
主要内容： 1·广义逆矩阵及其分类 2·A+的计算 3·几类弱逆 4·广义逆矩阵与线性方程组的解1Biblioteka 2 010
101
6 1
11 6
2 3
3
1
2
6 1
1 1
2
1 1
1 4
33
1 1
1 2 5 6
1 2 6 5
广义逆矩阵A+的计算：方法二－－奇异值法
设矩阵 A C的rmn奇异值分解为A=UDVH 其中U , V 分别是m阶、n阶酉矩阵，
D
0
00, diag(1, 2, , r )
特别地，设 为n维列向量，且 0, 则 ( H)1 H
设 为n维行向量，且 0, 则 H ( H )1
例１：
求广义逆
1 A 1
0 1
0 0
解 由于A是行满秩的，故
A AH ( AAH ) 1
1 0
0
1 0
0
1
1 1
1 0
[11
0 1
0 0
0 0
1]1 1
1 1 0
第七章 广义逆矩阵
广义逆矩阵是逆矩阵的推广，与线性方程组的求解有密切 联系。给定一个线性方程组 Ax=b，当矩阵A可逆时，线性 方程组的解可表示为x=A-1 b
当矩阵A是奇异矩阵或不是方阵时，线性方程组的解应如何表 示呢？当线性方程组是矛盾方程，或者说是不相容方程时，线 性方程组能否有其它意义下的解，这种解又应当如何表示呢？
矩阵A中分别有两行、两列对应成比例，因此A既不是行 满秩也不是列满秩
首先利用初等行变换求出A的Hermite标准型H为：
1 2 0 1 H 0 0 1 1,
0
设A的满秩分解为 A
0
0
BC
0
，则
B
2 1
1 1 ,
C 1 2 0
1
1 2
0 0 1 1
于是
A C H (CC H )1(BH B)1 BH
11
1 1 2
1 1 0
0 1 0
例２：设
1 A 2,
3
求 A
由A为列向量，即为列满秩，则 A ( AH A)1 AH
从而 A 1 1 2 3
14 若A既不是行满秩也不是列满秩，则需首先对A进行满秩
分解，再求 A
例３：已知
2 A 1
4 2
1 1
1 2,
求 A
1 2 2 1