第六章 广义逆矩阵

1 第六章 广义逆 广义逆矩阵的概念是方阵逆矩阵概念的推广，广义逆矩阵的基本知识是矩阵理论的重要组成部分，其在数理统计、数值分析、博弈论、控制论、计量经济、电网理论等中有重要的应用。本章首先给出各种广义逆矩阵的概念，重点介绍矩阵1-逆及矩阵Moore-Penrose逆的性质、计算方法及这两种广义逆矩阵在线性方程组求解中的应用，最后给出方阵的群逆与Drazin逆的基本性质。 §6.1 广义逆矩阵的概述 广义逆矩阵的概念渊源于线性方程组的求解问题。设nC为复n维向量空间，mnC为复mn矩阵全体。设矩阵mnAC，考虑线性方程组

Axb （6-1） 其中，mbC为给定的m维向量，nxC为待定的n维向量。 定义1 若存在向量nxC满足线性方程组（6-1），则称线性方程组（6-1）是相容的；否则称线性方程组（6-1）是不相容的。 众所周知，当A为可逆矩阵时，线性方程组（6-1）有唯一解1xAb，其中1A是A的逆矩阵。当A为不可逆矩阵或长方矩阵时，相容线性方程组（6-1）有

无数解；不相容线性方程组（6-1）无解，但它有最小二乘解，即求nxC，使得 ()minyRAAxbyb （6-2）

成立，其中代表任意一种向量范数，(),mnRAyCyAxxC。上述两种情况的解是否也能表示成一种紧凑的形式xGb，其中，G是某个nm矩阵？ 这个矩阵G是通常逆矩阵的推广。 1920年，E.H. Moore 首先提出广义逆矩阵的概念，由于Moore的方程过于抽象，并未引起人们的重视。1955年，R. Penrose 给出如下比较直观和实用的广义逆矩阵的概念。 定义2 设矩阵mnAC，若存在矩阵nmXC满足下列Penrose方程 （1）AXAA； （2）XAXX； （3）()HAXAX； 2

（4）()HXAXA 则称X为A的Moore-Penrose 逆，记为A。 例1 由Moore-Penrose逆的定义不难验证

（1） 若1100A，则102102A；

（2） 若naC，则2Haaa，其中2Haaa； （3） 若nmCOOOBA，其中rrCB是可逆矩阵，则 1BOAOO





mnC；

（4） 若A是可逆矩阵，则1AA。 定理1 对于任意矩阵mnAC，其Moore-Penrose逆存在并且唯一。 证明 存在性。设矩阵mnAC有奇异值分解

HOAPQOO





，

其中mmPC，nnQC为酉矩阵，1diag(,,)r，A的正奇异值为1,,r，rank()Ar。容易验证 1HOXQPOO







满足定义2中的四个Penrose方程，所以，A总是存在的。 唯一性。设,XY均满足定义2中的四个Penrose方程，则 ()()()HHHHHHHHHXXAXXXAXXAYAXAXAY ()()=()HHHHHHHHHXAXAYXAYXAYAYXAYAYAXAYYAYYYAYYAYY

所以A是唯一的。 更一般的，为了不同的目的，人们定义了满足Penrose方程中任意若干个方 程的广义逆。 3

定义3 设矩阵mnAC，若矩阵nmXC满足Penrose方程中的（i），（j）， ，（l）等方程，则称X为A的,,,ijl-逆，记为(,,,)ijlA。 由定义3与定义1可知，(1,2,3,4)AA。因为对于任意,,,1,2,3,4ijl都 有A为A的,,,ijl-逆，所以利用定理1可知(,,,)ijlA总是存在的。但是除了A



是唯一确定的之外，其余各种,,,ijl-逆矩阵都不是唯一确定的，因此将A的,,,ijl-逆全体记为,,,Aijl。如果按照满足Penrose方程个数进行分类，

,,,ijl-逆矩阵共有1234444415CCCC种。但应用较多的是以下5种：

{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3,4}AAAAA， 其中，(1){1}AAA最为基本，{1,2,3,4}AA最为重要。(1,2){1,2}rAAA称为自反广义逆，(1,3){1,3}lAAA称为最小二乘广义逆，(1,4){1,4}mAAA为极小范数广义逆。

例2 设矩阵11122122AAAAA，其中11A为可逆矩阵，且122211112AAAA，则容

易验证1111AOAOO。 例3 设矩阵mnAC。 （1）若rank()Am，此时HmmAAC为可逆矩阵，容易验证 1(){1,2,3}HHXAAAA;

（2）若rank()An，此时HnnAAC为可逆矩阵，容易验证 1(){1,2,4}HHXAAAA。

除了以上,,,ijl广义逆矩阵之外，还有群逆、Drazin逆等另外一些广义逆矩阵。1967年，Erdelyi给出如下群逆的概念。 定义4 设矩阵nnAC，若矩阵nnXC满足 （1）AXAA； （2）XAXX； （3）AXXA； 则称X为A的群逆，记为#A。 4

从定义4可以看出，群逆#A是一个特殊的(1,2)A，虽然(1,2)A总是存在的，但是这种群逆未必存在。 为了介绍Drazin逆的定义，下面先给出方阵指标的概念。 定义5 设矩阵nnAC，称满足 1rank()rank()kkAA

的最小非负整数k为A的指标，记作Ind()Ak。 若矩阵A是非奇异的，则Ind()0A，若矩阵A是奇异的，则Ind()1A。 1958年，Drazin给出如下Drazin逆的概念。 定义6 设矩阵nnAC，其指标为k，若存在矩阵nnXC满足 （1）kkAXAA； （2）XAXX； （3）AXXA； 则称X为A的Drazin逆，记作DA。 易见，若矩阵A的指标为1，则A的Drazin逆就是群逆。 §6.2 1-逆的性质与计算

由于1-逆是最基本、最重要的一种广义逆，本节将给出1-逆的基本性质与计算方法。 6.2.1 1-逆的存在性 定理1设矩阵mnAC，其秩为r。若矩阵A的等价标准形为 rEOPAQOO



，

其中,PQ分别为m阶和n阶可逆矩阵，则矩阵A的所有1-逆的集合为 12(1)()()()()1221222122{1},,rrmrnrrnrmrEBAAQPBCBCBCBB







。

证明 设矩阵X为A的任意一个1-逆，则其满足 AXAA。 于是， 5

111111rrrEOEOEOPQXPQPQOOOOOO



。

因为,PQ分别为m阶和n阶可逆矩阵，上式等价于 11rrrEOEOEOQXPOOOOOO



。

令1112112122BBQXPBB，则由上式可以推出11rBE，而122122,,BBB是任意的，故 12112122rEBQXPBB



，

即 122122rEBXQPBB



。

因此，此定理结论成立。 由此定理的证明过程可知矩阵A的1-逆一定存在，但由于122122,,BBB的任意性得矩阵A的1-逆不唯一。 6.2.2 1-逆的基本性质 关于1-逆的基本性质，有如下定理。 定理2 设矩阵mnAC，R，则 （1）(1)(1)(1)(1)()(),()()TTHHAAAA； （2）若矩阵nnnAC，则(1)1AA，并且A的1-逆是唯一的；

（3）(1)(1)()AA，其中1000； （4）设,PQ分别为m阶和n阶可逆矩阵，则 (1)1(1)1()PAQQAP；

（5）(1)rank()rank()AA； （6）(1)AA与(1)AA都是幂等矩阵，且 (1)(1)rank()rank()rank()AAAAA。 6

证明 利用6.1节定义3，可以直接验证此定理的（1）-（4）成立。 （5） 由于 (1)(1)(1)rank()rank()rank()rank()AAAAAAA，

所以结论成立。 （6） 由于 (1)2(1)(1)(1)()AAAAAAAA，

(1)2(1)(1)(1)()AAAAAAAA，

所以，(1)AA与(1)AA都是幂等矩阵。 又由于 (1)(1)rank()rank()rank()rank()AAAAAAA，

所以 (1)rank()rank()AAA，

同理 (1)rank()rank()AAA，

因此，结论成立。 6.2.3 1-逆的计算 定理1给出利用等价标准形求1-逆的方法。

例1 已知矩阵0130241545710A，求{1}A，并具体给出一个(1)A。 解答 由于

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01301002415010457100011000000010000000100000001000AEEO











