博士入学数学(高等数学、数值分析)课考试大纲

博士入学数学（高等数学、数值分析）课考试大纲

高等数学部分（50分）

1. 极限与连续

数列的极限，函数及函数的极限，极限的性质及运算法则，无穷小的比较，函数的连续性。

2. 导数与微分

导数的概念，导数的基本公式，导数的四则运算及求导法则，高阶导数，微分，函数的极值。

3. 微分中值定理

微分中值定理，洛必达法则，泰勒公式。

4. 积分

原函数与不定积分，定积分的概念与性质，换元积分法，分部积分法，微积分学基本定理，定积分的应用。

5. 微分方程

微分方程的基本概念，一阶微分方程，几种可积的高阶微分方程，线性微分方程及其通解的结构，常系数齐次（非齐次）线性微分方程。

6. 多元函数微积分

多元函数，偏导数与高阶偏导数，全微分，复合函数及隐函数的求导法，多元函数的极值，二重积分。

7. 无穷级数

无穷级数的敛散性，正项级数敛散性的判别，任意项级数，绝对收敛，幂级数及幂级数的收敛半径和收敛域，函数的幂级数展开。

数值分析部分（50分）

1．非线性方程求根

简单迭代法、牛顿法、割线法及其计算效率。

2．线性代数方程组的数值解法

向量与矩阵范数，高斯列主元消去法，误差分析；雅可比迭代法、高斯—赛德尔迭代法、超松弛迭代法及其收敛性讨论。

3．插值与拟合逼近

函数的拉格朗日插值、牛顿插值、埃尔米特插值、样条插值；曲线拟合的最小二乘逼近方法；误差分析。

4．数值积分

代数精度，低阶牛顿—柯特斯求积公式及其复化，龙贝格算法；高斯积分公式；数值积分公式的稳定性。

5．常微分方程初值问题的数值解法

常用单步法和多步法及其稳定性讨论；预测—校正格式。