信号与系统作业作业1第二章答案

第二章 作业答案

2–1 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下，试求此系统的零输入响应。

(１))()(2)(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 2)0(=-y ，1)0(-='-y

解:

根据微分方程,可知特征方程为:

0)2)(1(0232=++⇒=++λλλλ

所以，其特征根为： 1,

221-=-=λλ

所以,零输入响应可设为:0)(221≥+=--t e C e C t y t

t

zi

又因为 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨

⎧-=--='=+=--31

12)0(2)0(2

1

2121C C C C y C C y 所以,03)(2≥-=--t e e t y t

t

zi

(2))(2)()(6)(5)(t e t e t y t y t y -'=+'+'' ﻩ1)0()0(=='--y y 。 解:

根据微分方程，可知特征方程为：

0)3)(2(0652=++⇒=++λλλλ

所以，其特征根为： 3,

221-=-=λλ

所以,零输入响应可设为:0)(3221≥+=--t e C e

C t y t

t

zi

又因为 ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨

⎧=--='=+=--3

4

132)0(1)0(21

2121C C C C y C C y 所以,034)(32≥-=--t e

e t y t

t zi

2–２ 某L ＴI 连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 已知1)0(=-y ,2)0(='-y ,试求： （1） 系统的零输入响应)(t y zi ;

（2） 输入)()(t t e ε=时，系统的零状态响应)(t y zs 和全响应)(t y 。 解：

（1）根据微分方程,可知特征方程为：

0)2)(1(0232=++⇒=++λλλλ

所以，其特征根为: 1,

221-=-=λλ

所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e C e C t y t

t

zi

又因为 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨

⎧=--='=+=--43

22)0(1)0(2

12121C C C C y C C y

所以,034)(2≥-=--t e e

t y t

t

zi ﻩ

（2) 可设零状态响应为:0)(221>++=--t p

e C e

C t y t x t

x zs

其中p 为特解，由激励信号和系统方程确定。

因为)()(t t e ε= 所以，p 为常数,根据系统方程可知，23=p 。 于是，零状态响应可设为为：02

3)(221>++=--t e C e C t y t x t x zs

将上式代入原方程中,比较方程两边的系数，可得到

⎪⎩⎪⎨⎧-==

2

2121C C 所以,02322

1)(2>+-=

--t e e t y t t

zs

全响应为 )()()(t y t y t y zs zi +=

0)

23221

()34()(22>+-+-=----t e e e e t y t t t t zs

0)

232

5

2()(2>+-=--t e e t y t t zs

２–3 试求下列各ＬＴI 系统的冲激响应和阶跃响应。 （１）)(2)()(3)(4)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 解：

根据 在激励信号为)(t δ的条件下,求解系统的零状态响应可得

()

)(2

1)(3t e e t h t t

ε⋅+=

-- 因为，单位阶跃响应⎰-

⋅=t

d h t g 0)()(ττ

所以，()

⎰

-⋅+=--t

d e e t g 032

1)(τττ

0),1(6

1

)1(216

12

16030>-+-=

--=-----

-

t e e e e t t t t ττ

0,6

121326>--=

--t e e t

t

(２）)(2)(2)()(2)(3)("t e t e t e t y t y t y +'+''=+'+ 解:

可先求系统 )()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+ 的冲激励响应)(0t h ，

则，原系统的冲激响应为)(2)(2)()(0'0"0

t h t h t h t h ++=。 因为)()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+的特征根为:1,221-=-=λλ 所以,可设冲激响应为:)()()(2210t e C e C t h t t ε⋅+=-- 将)(0t h 代入系统方程,并确定待定系数后,可得:

)()()(20t e e t h t t ε⋅-=--ﻩ

因为，)(2)(2)()(0'

0"0

t h t h t h t h ++= 又因为，)()2()(2'0

t e e t h t t ε⋅-=--,)()4()()(2"0t e e t t h t t εδ⋅--=-- 所

以,[]

)()(2)()2(2)()4()()(222t e e t e e t e e t t h t t t t t t εεεδ⋅-⋅+⋅-⋅+⋅--=------

)()2()(2t e e t t t εδ⋅--=--

因为,单位阶跃响应⎰-

⋅=t

d h t g 0)()(ττ

所以,[]

⎰-

⋅--=--t

t t d t e e t t g 02)()(2)()(τεδ

()

)(212t e e t t ε⋅-+=--

2–4 各信号的波形如题2–4图所示，试计算下列卷积,并画出其波形。 (1）)()(21t f t f *

（2))()(31t f t f *

(3))()(24t f t f *ﻩ（４）)()(34t f t f *