第13讲 可靠性设计中常用分布函数

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失效数：n 1000.1574 16 件
（3）由 Q(z) 0.05查表可得安全指数系数z 1.64
材料的强度：
t z 600 501.64 518MPa
五. 对数正态分布
随机变量t的对数 y ln t 服从正态分布，
则t服从对数正态分布。
1. 对数正态分布的概率密度函数
2 y
1
1 2
六. 韦布尔分布
1. 失效概率密度函数
f
(t)
b
t
b1
e
t
b
f
(t)
b
t
b1eຫໍສະໝຸດ tb 三参数韦布尔分布 失效概率密度函数
两参数韦布尔分布 失效概率密度函数
b: 形状参数；θ：尺度参数；γ：位置参数。
2. 失效概率，可靠度，失效率
失效概率：Q(t)
t
f
(t)dt
t b
解答
（1）安全指数系数：z F S 250 210 1.56
2 F
2 S
162 202
（2）查表可得：可靠度为94%。
课堂练习
某零件在对称循环等幅变应力Sa 600 MPa 条件下工作。根据零件的疲劳试验数据， 知其达到破坏的循环次数服从对数正态 分布，其对数均值和对数标准离差分别
f (y)
1
e
1 2
yy y
2
y 2
y ln t
z y y ：安全指数系数 y
• 适用于零部件的疲劳寿命，疲劳强度，耐 磨寿命以及描述维修时间的分布等研究。
2. 密度函数变形
f (t)
1
e
1 2
yy y
2
t y 2
y
2 y
2
分布的均值：t e
标准离差：
t
t
e
Q(t) 1
t z2
e 2 dz
2
6. 正态分布的特征
正态分布具有对称性，曲线对称于 x 的纵
轴，并在 x 处达到极大值
1
2
。
正态分布曲线与x轴围成的面积为1。以 为中
心 区间的概率为68.27%， 2 区间的概
率为95.45%， 3 区间的概率为99.73%；
若 0, 1 时，称为标准正态分布，该
为： N 10；.647 N 0.2。92
试求该零件工作到15800次循环时的可靠 度。
分布对称于纵坐标轴。
7. 应用范围
正态分布是一种应用最广的重要函数； 工艺误差，测量误差； 材料特性，应力分布； 零部件的强度，寿命分析等。
例2
有100个某种材料的试件进行抗拉强度试验， 今测得试件材料的强度均值 600MPa ，标 准差 50MPa。求： （1）试件材料的强度均值等于600MPa时的 可靠度，失效概率和失效试件数； （2）强度落在（550—450）MPa区间内的失 效概率和失效试件数； （3）失效概率为0.05时材料的强度值。
可靠性设计中常用分布函数
一. 常用分布函数分类
二项分布 泊松分布 指数分布 正态分布 对数正态分布 韦布尔分布
二. 学习内容
基本内容：掌握指数分布，正态分布， 对数正态分布以及韦布尔分布函数；
重点内容：掌握正态分布函数的特点以 及在实际设计中的应用；
难点内容：正态分布以及韦布尔分布函 数。
解答
（1）安全指数系数：z t 600 600 0
50
查表可得失效概率：Q(z) 0.5 可靠度：R(z) 1 Q(z) 0.5
失效数：n 1000.5 50
（2） 失效概率：P(450 t 550 ) Q 550 600 Q 450 600
50 50
Q(1) Q(3) 0.1587 0.0013 0.1574
1
1 t 2
e 2
2
随机变量的均值： tf (t) d t
1
标准离差：
t
2
f
(t
)
d
t
2
2. 均值与离差的含义
随机变量的均值 决定正态分布的中心倾
向，即正态分布曲线的位置；
标准离差 决定正态分布曲线的形状，表
示分布的离散程度。
3. 失效概率，可靠度，失效率
t
失效概率：Q(t)
1
1 t 2
e 2 dt
2
可靠度：R(t)
1
1
t
2
e 2 dt
t 2
失效率：
(t)
f (t) R(t)
4. 标准正态分布及其特征
0
1
标准正态分布
f (z) Q(z)
1
z2
e2
2
1
z z2
e 2 dz
2
5. 非标准正态→标准正态
令 z t
称联结系数，可靠性 系数或安全指数系数
三. 指数分布
1. 可靠度
t
R(t)
(t )dt
e 0
当失效率为常数时，即：(t)
t
R(t)
e
d
0
t
et
2. 失效概率密度函数
f (t) (t)R(t) et
分布均值： 1
方差：
2
1
2
3. 指数分布曲线
处于稳定工 作状态的电 子机械或电 子系统的失 效概率基本 上属于该分 布曲线。
z F S z F S
2 F
2 S
2 F
2 S
F ：强度的分布均值；
S ：应力的分布均值；
S ：应力的标准离差； F ：强度的标准离差。
例3
已知某零件的强度 F 250 MPa ，标准离 差 F 16 MPa ；零件所受应力S 210 MPa 标准离差 S 20 MPa 。求可靠度。
1e
0
t b
可靠度： R(t) 1 Q(t) e
失效率：
(t)
f (t)
b t
b1
R(t)
3. 韦布尔分布的曲线图
4. 韦布尔分布的特征
b越小，分布的离散程度越大；b越大，离散程 度越小。b也称为韦布尔斜率，是产品一致性 的一种度量。
b=1时，呈指数分布；
2.7 b 3.7时，呈近似正态分布；
b=3.313时，呈正态分布。
越大，分布的离散程度越大。
韦布尔分布适合于研究许多随机现象，如寿命， 强度，磨损等。
5. 韦布尔分布应用例
失效模式的解析
b<1: 早期失效阶段 b=1: 偶然失效阶段 b>1: 耗损失效阶段
七. 机械零件可靠度方程
前提：强度，应力等设计参数均为正态分布。
安全指数系数z
例1
已知某设备的失效率 510 4 h ，求 使用100h，1000h后该设备的可靠度。
解答：
可靠度：R(t) et
100h后的可靠度：
R(100) e5104100 0.95
1000h后的可靠度：
R(1000) e51041000 0.61
四. 正态分布
1. 概率密度函数
f (t)