第13讲 可靠性设计中常用分布函数
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解答
（1）安全指数系数：z F S 250 210 1.56
2 F
2 S
162 202
（2）查表可得：可靠度为94%。
课堂练习
某零件在对称循环等幅变应力Sa 600 MPa 条件下工作。根据零件的疲劳试验数据， 知其达到破坏的循环次数服从对数正态 分布，其对数均值和对数标准离差分别
三. 指数分布
1. 可靠度
t
R(t)
(t )dt
e 0
当失效率为常数时，即：(t)
t
R(t)
e
d
0
t
et
2. 失效概率密度函数
f (t) (t)R(t) et
分布均值： 1
方差：
2
1
2
3. 指数分布曲线
处于稳定工 作状态的电 子机械或电 子系统的失 效概率基本 上属于该分 布曲线。
为： N 10；.647 N 0.2。92
试求该零件工作到15800次循环时的可靠 度。
1e
0
t b
可靠度： R(t) 1 Q(t) e
失效率：
(t)
f (t)
b t
b1
R(t)
3. 韦布尔分布的曲线图
4. 韦布尔分布的特征
b越小，分布的离散程度越大；b越大，离散程 度越小。b也称为韦布尔斜率，是产品一致性 的一种度量。
b=1时，呈指数分布；
2.7 b 3.7时，呈近似正态分布；
Q(t) 1
t z2
e 2 dz
2
6. 正态分布的特征
正态分布具有对称性，曲线对称于 x 的纵
轴，并在 x 处达到极大值
1
2
。
正态分布曲线与x轴围成的面积为1。以 为中
心 区间的概率为68.27%， 2 区间的概
率为95.45%， 3 区间的概率为99.73%；
若 0, 1 时，称为标准正态分布，该
2 y
1
1 2
六. 韦布尔分布
1. 失效概率密度函数
f
(t)
b
t
b1
e
t
b
f
(t)
b
t
b1
e
t
b
三参数韦布尔分布 失效概率密度函数
两参数韦布尔分布 失效概率密度函数
b: 形状参数；θ：尺度参数；γ：位置参数。
2. 失效概率，可靠度，失效率
失效概率：Q(t)
t
f
(t)dt
t b
（接前页）
失效数：n 1000.1574 16 件
（3）由 Q(z) 0.05查表可得安全指数系数z 1.64
材料的强度：
t z 600 501.64 518MPa
五. 对数正态分布
随机变量t的对数 y ln t 服从正态分布，
则t服从对数正态分布。
1. 对数正态分布的概率密度函数
1
1 t 2
e 2
2
随机变量的均值： tf (t) d t
1
标准离差：
t
2
f
(t
)
d
t
2
2. 均值与离差的含义
随机变量的均值 决定正态分布的中心倾
向，即正态分布曲线的位置；
标准离差 决定正态分布曲线的形状，表
示分布的离散程度。
3. 失效概率，可靠度，失效率
t
失效概率：Q(t)
z F S z F S
2 F
2 S
2 F
2 S
F ：强度的分布均值；
S ：应力的分布均值；
S ：应力的标准离差； F ：强度的标准离差。
例3
已知某零件的强度 F 250Fra Baidu bibliotekMPa ，标准离 差 F 16 MPa ；零件所受应力S 210 MPa 标准离差 S 20 MPa 。求可靠度。
例1
已知某设备的失效率 510 4 h ，求 使用100h，1000h后该设备的可靠度。
解答：
可靠度：R(t) et
100h后的可靠度：
R(100) e5104100 0.95
1000h后的可靠度：
R(1000) e51041000 0.61
四. 正态分布
1. 概率密度函数
f (t)
分布对称于纵坐标轴。
7. 应用范围
正态分布是一种应用最广的重要函数； 工艺误差，测量误差； 材料特性，应力分布； 零部件的强度，寿命分析等。
例2
有100个某种材料的试件进行抗拉强度试验， 今测得试件材料的强度均值 600MPa ，标 准差 50MPa。求： （1）试件材料的强度均值等于600MPa时的 可靠度，失效概率和失效试件数； （2）强度落在（550—450）MPa区间内的失 效概率和失效试件数； （3）失效概率为0.05时材料的强度值。
1
1 t 2
e 2 dt
2
可靠度：R(t)
1
1
t
2
e 2 dt
t 2
失效率：
(t)
f (t) R(t)
4. 标准正态分布及其特征
0
1
标准正态分布
f (z) Q(z)
1
z2
e2
2
1
z z2
e 2 dz
2
5. 非标准正态→标准正态
令 z t
称联结系数，可靠性 系数或安全指数系数
解答
（1）安全指数系数：z t 600 600 0
50
查表可得失效概率：Q(z) 0.5 可靠度：R(z) 1 Q(z) 0.5
失效数：n 1000.5 50
（2） 失效概率：P(450 t 550 ) Q 550 600 Q 450 600
50 50
Q(1) Q(3) 0.1587 0.0013 0.1574
可靠性设计中常用分布函数
一. 常用分布函数分类
二项分布 泊松分布 指数分布 正态分布 对数正态分布 韦布尔分布
二. 学习内容
基本内容：掌握指数分布，正态分布， 对数正态分布以及韦布尔分布函数；
重点内容：掌握正态分布函数的特点以 及在实际设计中的应用；
难点内容：正态分布以及韦布尔分布函 数。
b=3.313时，呈正态分布。
越大，分布的离散程度越大。
韦布尔分布适合于研究许多随机现象，如寿命， 强度，磨损等。
5. 韦布尔分布应用例
失效模式的解析
b<1: 早期失效阶段 b=1: 偶然失效阶段 b>1: 耗损失效阶段
七. 机械零件可靠度方程
前提：强度，应力等设计参数均为正态分布。
安全指数系数z
f (y)
1
e
1 2
yy y
2
y 2
y ln t
z y y ：安全指数系数 y
• 适用于零部件的疲劳寿命，疲劳强度，耐 磨寿命以及描述维修时间的分布等研究。
2. 密度函数变形
f (t)
1
e
1 2
yy y
2
t y 2
y
2 y
2
分布的均值：t e
标准离差：
t
t
e
（1）安全指数系数：z F S 250 210 1.56
2 F
2 S
162 202
（2）查表可得：可靠度为94%。
课堂练习
某零件在对称循环等幅变应力Sa 600 MPa 条件下工作。根据零件的疲劳试验数据， 知其达到破坏的循环次数服从对数正态 分布，其对数均值和对数标准离差分别
三. 指数分布
1. 可靠度
t
R(t)
(t )dt
e 0
当失效率为常数时，即：(t)
t
R(t)
e
d
0
t
et
2. 失效概率密度函数
f (t) (t)R(t) et
分布均值： 1
方差：
2
1
2
3. 指数分布曲线
处于稳定工 作状态的电 子机械或电 子系统的失 效概率基本 上属于该分 布曲线。
为： N 10；.647 N 0.2。92
试求该零件工作到15800次循环时的可靠 度。
1e
0
t b
可靠度： R(t) 1 Q(t) e
失效率：
(t)
f (t)
b t
b1
R(t)
3. 韦布尔分布的曲线图
4. 韦布尔分布的特征
b越小，分布的离散程度越大；b越大，离散程 度越小。b也称为韦布尔斜率，是产品一致性 的一种度量。
b=1时，呈指数分布；
2.7 b 3.7时，呈近似正态分布；
Q(t) 1
t z2
e 2 dz
2
6. 正态分布的特征
正态分布具有对称性，曲线对称于 x 的纵
轴，并在 x 处达到极大值
1
2
。
正态分布曲线与x轴围成的面积为1。以 为中
心 区间的概率为68.27%， 2 区间的概
率为95.45%， 3 区间的概率为99.73%；
若 0, 1 时，称为标准正态分布，该
2 y
1
1 2
六. 韦布尔分布
1. 失效概率密度函数
f
(t)
b
t
b1
e
t
b
f
(t)
b
t
b1
e
t
b
三参数韦布尔分布 失效概率密度函数
两参数韦布尔分布 失效概率密度函数
b: 形状参数；θ：尺度参数；γ：位置参数。
2. 失效概率，可靠度，失效率
失效概率：Q(t)
t
f
(t)dt
t b
（接前页）
失效数：n 1000.1574 16 件
（3）由 Q(z) 0.05查表可得安全指数系数z 1.64
材料的强度：
t z 600 501.64 518MPa
五. 对数正态分布
随机变量t的对数 y ln t 服从正态分布，
则t服从对数正态分布。
1. 对数正态分布的概率密度函数
1
1 t 2
e 2
2
随机变量的均值： tf (t) d t
1
标准离差：
t
2
f
(t
)
d
t
2
2. 均值与离差的含义
随机变量的均值 决定正态分布的中心倾
向，即正态分布曲线的位置；
标准离差 决定正态分布曲线的形状，表
示分布的离散程度。
3. 失效概率，可靠度，失效率
t
失效概率：Q(t)
z F S z F S
2 F
2 S
2 F
2 S
F ：强度的分布均值；
S ：应力的分布均值；
S ：应力的标准离差； F ：强度的标准离差。
例3
已知某零件的强度 F 250Fra Baidu bibliotekMPa ，标准离 差 F 16 MPa ；零件所受应力S 210 MPa 标准离差 S 20 MPa 。求可靠度。
例1
已知某设备的失效率 510 4 h ，求 使用100h，1000h后该设备的可靠度。
解答：
可靠度：R(t) et
100h后的可靠度：
R(100) e5104100 0.95
1000h后的可靠度：
R(1000) e51041000 0.61
四. 正态分布
1. 概率密度函数
f (t)
分布对称于纵坐标轴。
7. 应用范围
正态分布是一种应用最广的重要函数； 工艺误差，测量误差； 材料特性，应力分布； 零部件的强度，寿命分析等。
例2
有100个某种材料的试件进行抗拉强度试验， 今测得试件材料的强度均值 600MPa ，标 准差 50MPa。求： （1）试件材料的强度均值等于600MPa时的 可靠度，失效概率和失效试件数； （2）强度落在（550—450）MPa区间内的失 效概率和失效试件数； （3）失效概率为0.05时材料的强度值。
1
1 t 2
e 2 dt
2
可靠度：R(t)
1
1
t
2
e 2 dt
t 2
失效率：
(t)
f (t) R(t)
4. 标准正态分布及其特征
0
1
标准正态分布
f (z) Q(z)
1
z2
e2
2
1
z z2
e 2 dz
2
5. 非标准正态→标准正态
令 z t
称联结系数，可靠性 系数或安全指数系数
解答
（1）安全指数系数：z t 600 600 0
50
查表可得失效概率：Q(z) 0.5 可靠度：R(z) 1 Q(z) 0.5
失效数：n 1000.5 50
（2） 失效概率：P(450 t 550 ) Q 550 600 Q 450 600
50 50
Q(1) Q(3) 0.1587 0.0013 0.1574
可靠性设计中常用分布函数
一. 常用分布函数分类
二项分布 泊松分布 指数分布 正态分布 对数正态分布 韦布尔分布
二. 学习内容
基本内容：掌握指数分布，正态分布， 对数正态分布以及韦布尔分布函数；
重点内容：掌握正态分布函数的特点以 及在实际设计中的应用；
难点内容：正态分布以及韦布尔分布函 数。
b=3.313时，呈正态分布。
越大，分布的离散程度越大。
韦布尔分布适合于研究许多随机现象，如寿命， 强度，磨损等。
5. 韦布尔分布应用例
失效模式的解析
b<1: 早期失效阶段 b=1: 偶然失效阶段 b>1: 耗损失效阶段
七. 机械零件可靠度方程
前提：强度，应力等设计参数均为正态分布。
安全指数系数z
f (y)
1
e
1 2
yy y
2
y 2
y ln t
z y y ：安全指数系数 y
• 适用于零部件的疲劳寿命，疲劳强度，耐 磨寿命以及描述维修时间的分布等研究。
2. 密度函数变形
f (t)
1
e
1 2
yy y
2
t y 2
y
2 y
2
分布的均值：t e
标准离差：
t
t
e