概率论与数理统计 1-3
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第一章 概率论基础
第三节 条件概率
1 条件概率 2 乘法公式 3 事件的独立性 4 全概率公式和贝叶斯公式
1
一、条件概率
1.3条件概率
在许多实际问题中，往往需要在某些已知条件下 求事件的概率. 如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，
将此概率记作P(B|A).
引例：从1-9这9个数中任取一个，设事件A=“取得的数大于6” B=“取得的是偶数”. 此实验为古典概型，且样本空间 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. A={7,8,9}, B={2,4,6,8}
S
P( A) P( A) 0.8
9
1.3条件概率
例4 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到
一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
问：抽签先后是否影响抽到“入场券”的概率？
解: 用Ai表示“第i个人抽到入场券”，i＝1,2,3,4,5.
则 Ai 表示“第i个人未抽到入场券”若第2个人抽到了入
解 已知P( AC ) 0.95 , P( AC ) 1 P( A C ) 0.05 ,
P(C ) 0.005 , P(C ) 0.995 ,
由贝叶斯公式
P(C A)
P( AC )P(C )
0.087 .
P( AC )P(C ) P( AC )P(C )
本题结果表明, 虽然P( AC ) 0.95 , P( A C ) 0.95 , 这两个
0.01 0.03
提供元件的份额 0.15
0.80 0.05
设这三家的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地抽取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地抽取一只元件，若已知取到的是次 品，问此次品是哪个厂生产的可能性更大？
17
解 设 A=“取到的是一只次品”，
1.3条件概率
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
88 98
进而 P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) 90 89 88
2) B1B2 … Bn= S
B2
则称B1,B2,…Bn为样本空间S的一个划分。
1.3条件概率
B3 B5
A
B4
B6
B7
B8
定理1 设B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，且有P(Bi)>0，
i =1,2,…,n,则对E的任一事件A，有
n
P( A) P(Bi )P( A｜Bi ) ——全概率公式 i 1
P(B1)P( A / B1) P(B2 )P( A / B2 ) P(B3)P( A / B3)
2
3
加法公式
1 (1 2 1) 8
355
15
运用乘法公式
11
1、全概率公式:
定义1：设随机试验E的样本空间为S，
S
B1
B1,B2,…Bn是一组事件，如果满足：
1）BiBj = ,ij, i,j=1,2,…..n
P(Bi A)
P( A Bi )P(Bi )
n
,
P(A Bj)P(Bj)
j1
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes) 给出.它是在观察到事件A已发生
i 1,2,, n
S B3
B1
A
的条件下，寻找导致A发生的每 个原因Bi的概率.
B4 B2
注 该公式是条件概率公式、乘法公式、
B7
全概率公式的综合运用
3 6 15 5 28 8 28 8
133 224
13
实际中还有下面一类问题:
1.3条件概率
如例1中将问题部分改为：某人从任一箱中任摸一球，
发现是白球,求从甲袋取出的是2个白球的概率.
• 分析 所求是P(B2 |A) ——条件概率！
P(B2
/ห้องสมุดไป่ตู้
A)
P(B2 A) P( A)
P(B2 )P(A / B2 )
B5 B6
B8
15
1.3条件概率
例6 根据以往的临床记录, 某种诊断癌症的试验具有如下效果: 若以A表示“试验反应为阳性” , 以C表示事件“被诊断者患有 癌症” , 则有P( AC ) 0.95 , P( A C ) 0.95 . 现在对自然人群 进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 也就是P(C) 0.005 , 试求P(C A) .
62
算
6
二、乘法公式
1.3条件概率
由条件概率的定义： P(B | A) P( AB) , P( A)
若 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (2)
由对称性得 若 P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (3)
推广
对3个事件A1, A2 , A3,当P(A1A2 ) 0有
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某组Bi
出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算.适当确定样
本空间的一个划分是关键。
12
1.3条件概率
例5 甲袋中装有8个球，3白5红；乙袋中装有6个球，4白2 红。今从甲袋中任取两球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一 球，求此球是白球的概率。
析 记A={取得红球}，则A的发生与他从哪个箱子中取球有关，
设Bi={球取自i号箱},i=1,2,3,且P(Bi)=1/3.
因B1∪ B2 ∪ B3 = S, 且BiBj=(i,j=1,2,3)
1
A A (B1 B2 B3 ) AB1 AB2 AB3
P( A) P(B1A) P(B2 A) P(B3 A)
Bi=“所取产品由第i厂提 供”,i=1,2,3. 易知B1,B2,B3是样本空间的一个划分。
P(B1)=0.15, P(B2)=0.80, P(B3)=0.05, P(A|B1)=0.02, P(A|B2)=0.01, P(A|B3)=0.03
(1)由全概率公式
P(A)= P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) =0.02×0.15+0.01×0.80+0.03×0.05=0.0125
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
显然A、B之间有“先后”关系，即A先发生，B后发生， 故所求为P(B|A) .
依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
且B A，AB B，P(AB) P(B) 0.4
A B
P(B
|
A)
P( AB)
P(B)
0.4
0.5
• 分析 记 A=“从乙袋中取出的球是白球”，则A发生的
可能性取决于从甲袋中所取两球的情况，共三种：
从甲袋中取出了两个红球； 从甲袋中取出了两个白球； 从甲袋中取出了一个红球一个白球；
记为B1 记为B2 记为B3
3
P( A) P(Bi ) P( A / Bi ) i 1
10 1 28 2
事件A发生
新样本空间SA = {7，8，9}
在S中计算B的概率就是P(B),在SA中计算B的概率就是P(B|A)。 在上例中还注意到 P(B|A) 1 1 9 P( AB) 3 3 9 P( A) 且 P(B A) P( AB) 在古典概率场合下都是成立的。 P( A)
这就启发我们以P(AB)与P(A)之比作为条件概率的一般定义。
3
P(Bj )P(A/ Bj )
j 1
——贝叶斯公式
运用全概率公 式计算P(A)
3 6 133 18 28 8 224 133
条件同全概率公式：B1,B2, B3为样 本空间S的一个划分。
14
2、贝叶斯公式
1.3条件概率
定理2：设事件B1,B2,…Bn为样本空间S的一个划分，且
P(Bi)>0,i=1,2,….n 。另有一事件A，P(A)>0。则
i1
i1
义 三 条 件
P(.|A)满足概率所有的基本性质。
如 P(B A) 1 P(B A) P( | A) 0
P(B1 B2 A) P(B1 | A) P(B2 A) P(B1B2 | A)
3. 条件概率的计算
1) 用定义计算(在原样本空间中计算P(A),P(AB))
显然，P(A1)=1/5，P( A1 )＝4/5 场券，同时第1个人
对于第2个人，
肯定没抽到.
同理,第P3(个A2人) 要P抽(到A1“A入2 )场 P券(”A1,)P必(须A2第| A11,)2个54人都14没抽15
到. P( A3) P( A1A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
2)由题意,在缩减的样本空间中直接根据古典概型求出。 5
1.3条件概率
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之
和不小于10”的概率是多少?
解:设A={掷出点数之和不小于10}
所求为 P(A｜B)
={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)}
B={第一颗掷出6点} ={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
显然， P(B)=4/9 求P(B|A)=？ 已知事件A发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是A，
A中只有3个等可能样本点，使B发生的只有其中1个，于是 P(B|A)= 1/3.
显见 P(B) ≠P(B|A).
2
1.3条件概率
由此可见，条件概率P(B|A)的实质是样本空间起了变化。
缩成为
原样本空间S
AB={(6,4),(6,5),(6,6)}
法1: 应用定义 基本事件总数n=6*6=36, kB=6,kAB=3
P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
法2:在B发生后的缩减样本空间中计算
在B中6个样本点中只有3个在A中
在原 样本 空间 中计
31 P(A| B)
100 99 98
2）有放回抽样
P(
A1
)
90 100
,
90
P(
A2
|
A1 )
, 100
P( A1 A2
)
P( A1 )P( A2
|
A1 )
90 100
2
8
19
1.3条件概率
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到
25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能 活到25岁以上的概率是多少？
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
概率都比较高. 但若将此试验用于普查, 则有 P(C A) 0.087 ,
亦即正确性只有8.7%. 如果不注意这一点,将会得出错误的诊断. 16
1.3条件概率
例7 某电子设备制造厂所用的某种元件是由三家元件制造 厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 甲厂 乙厂 丙厂
次品率 0.02
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去会发现,每个人抽到“入场券” 的概率都是 1/5.
也就是说，抽签不必争先恐后.
10
三、全概率公式和贝叶斯公式
1.3条件概率
引例 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白 球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从任一箱 中任意摸出一球，求取得红球的概率.
(2)由贝叶斯公式
P(B1|A)=
P( A B1 )P(B1 ) 0.02 0.15 0.24
第三节 条件概率
1 条件概率 2 乘法公式 3 事件的独立性 4 全概率公式和贝叶斯公式
1
一、条件概率
1.3条件概率
在许多实际问题中，往往需要在某些已知条件下 求事件的概率. 如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率，
将此概率记作P(B|A).
引例：从1-9这9个数中任取一个，设事件A=“取得的数大于6” B=“取得的是偶数”. 此实验为古典概型，且样本空间 S={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. A={7,8,9}, B={2,4,6,8}
S
P( A) P( A) 0.8
9
1.3条件概率
例4 一场精彩的足球赛将要举行，5个球迷好不容易才搞到
一张入场券.大家都想去,只好用抽签的方法来解决.
问：抽签先后是否影响抽到“入场券”的概率？
解: 用Ai表示“第i个人抽到入场券”，i＝1,2,3,4,5.
则 Ai 表示“第i个人未抽到入场券”若第2个人抽到了入
解 已知P( AC ) 0.95 , P( AC ) 1 P( A C ) 0.05 ,
P(C ) 0.005 , P(C ) 0.995 ,
由贝叶斯公式
P(C A)
P( AC )P(C )
0.087 .
P( AC )P(C ) P( AC )P(C )
本题结果表明, 虽然P( AC ) 0.95 , P( A C ) 0.95 , 这两个
0.01 0.03
提供元件的份额 0.15
0.80 0.05
设这三家的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志。 (1)在仓库中随机地抽取一只元件，求它是次品的概率； (2)在仓库中随机地抽取一只元件，若已知取到的是次 品，问此次品是哪个厂生产的可能性更大？
17
解 设 A=“取到的是一只次品”，
1.3条件概率
解 记 Ai=“第i次取得合格品”,i=1,2,3;
1) 若不放回地抽，则
P
(
A1
)
90 100
,
P(
A2
|
A1 )
89 99
,
P(
A3
|
A1
A2
)
88 98
进而 P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A1 A2 ) 90 89 88
2) B1B2 … Bn= S
B2
则称B1,B2,…Bn为样本空间S的一个划分。
1.3条件概率
B3 B5
A
B4
B6
B7
B8
定理1 设B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分，且有P(Bi)>0，
i =1,2,…,n,则对E的任一事件A，有
n
P( A) P(Bi )P( A｜Bi ) ——全概率公式 i 1
P(B1)P( A / B1) P(B2 )P( A / B2 ) P(B3)P( A / B3)
2
3
加法公式
1 (1 2 1) 8
355
15
运用乘法公式
11
1、全概率公式:
定义1：设随机试验E的样本空间为S，
S
B1
B1,B2,…Bn是一组事件，如果满足：
1）BiBj = ,ij, i,j=1,2,…..n
P(Bi A)
P( A Bi )P(Bi )
n
,
P(A Bj)P(Bj)
j1
该公式于1763年由贝叶斯(Bayes) 给出.它是在观察到事件A已发生
i 1,2,, n
S B3
B1
A
的条件下，寻找导致A发生的每 个原因Bi的概率.
B4 B2
注 该公式是条件概率公式、乘法公式、
B7
全概率公式的综合运用
3 6 15 5 28 8 28 8
133 224
13
实际中还有下面一类问题:
1.3条件概率
如例1中将问题部分改为：某人从任一箱中任摸一球，
发现是白球,求从甲袋取出的是2个白球的概率.
• 分析 所求是P(B2 |A) ——条件概率！
P(B2
/ห้องสมุดไป่ตู้
A)
P(B2 A) P( A)
P(B2 )P(A / B2 )
B5 B6
B8
15
1.3条件概率
例6 根据以往的临床记录, 某种诊断癌症的试验具有如下效果: 若以A表示“试验反应为阳性” , 以C表示事件“被诊断者患有 癌症” , 则有P( AC ) 0.95 , P( A C ) 0.95 . 现在对自然人群 进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005, 也就是P(C) 0.005 , 试求P(C A) .
62
算
6
二、乘法公式
1.3条件概率
由条件概率的定义： P(B | A) P( AB) , P( A)
若 P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (2)
由对称性得 若 P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (3)
推广
对3个事件A1, A2 , A3,当P(A1A2 ) 0有
3
1. 条件概率的定义
设A、B是两个事件，且P(A)>0,则称 P(B | A) P( AB) (1) P( A)
为在事件A发生的条件下,事件B的条件概率.
1.3条件概率
B ABA
S
若事件A已发生, 则为使 B也发 生 , 试验结果必须是既在 B 中又在 A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道A已发生, 故A变 成了新的样本空间 , 于是 有(1).
它的理论和实用意义在于:
在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某组Bi
出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算.适当确定样
本空间的一个划分是关键。
12
1.3条件概率
例5 甲袋中装有8个球，3白5红；乙袋中装有6个球，4白2 红。今从甲袋中任取两球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一 球，求此球是白球的概率。
析 记A={取得红球}，则A的发生与他从哪个箱子中取球有关，
设Bi={球取自i号箱},i=1,2,3,且P(Bi)=1/3.
因B1∪ B2 ∪ B3 = S, 且BiBj=(i,j=1,2,3)
1
A A (B1 B2 B3 ) AB1 AB2 AB3
P( A) P(B1A) P(B2 A) P(B3 A)
Bi=“所取产品由第i厂提 供”,i=1,2,3. 易知B1,B2,B3是样本空间的一个划分。
P(B1)=0.15, P(B2)=0.80, P(B3)=0.05, P(A|B1)=0.02, P(A|B2)=0.01, P(A|B3)=0.03
(1)由全概率公式
P(A)= P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) =0.02×0.15+0.01×0.80+0.03×0.05=0.0125
解：设A={能活20年以上}，B={能活25年以上}
显然A、B之间有“先后”关系，即A先发生，B后发生， 故所求为P(B|A) .
依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4
且B A，AB B，P(AB) P(B) 0.4
A B
P(B
|
A)
P( AB)
P(B)
0.4
0.5
• 分析 记 A=“从乙袋中取出的球是白球”，则A发生的
可能性取决于从甲袋中所取两球的情况，共三种：
从甲袋中取出了两个红球； 从甲袋中取出了两个白球； 从甲袋中取出了一个红球一个白球；
记为B1 记为B2 记为B3
3
P( A) P(Bi ) P( A / Bi ) i 1
10 1 28 2
事件A发生
新样本空间SA = {7，8，9}
在S中计算B的概率就是P(B),在SA中计算B的概率就是P(B|A)。 在上例中还注意到 P(B|A) 1 1 9 P( AB) 3 3 9 P( A) 且 P(B A) P( AB) 在古典概率场合下都是成立的。 P( A)
这就启发我们以P(AB)与P(A)之比作为条件概率的一般定义。
3
P(Bj )P(A/ Bj )
j 1
——贝叶斯公式
运用全概率公 式计算P(A)
3 6 133 18 28 8 224 133
条件同全概率公式：B1,B2, B3为样 本空间S的一个划分。
14
2、贝叶斯公式
1.3条件概率
定理2：设事件B1,B2,…Bn为样本空间S的一个划分，且
P(Bi)>0,i=1,2,….n 。另有一事件A，P(A)>0。则
i1
i1
义 三 条 件
P(.|A)满足概率所有的基本性质。
如 P(B A) 1 P(B A) P( | A) 0
P(B1 B2 A) P(B1 | A) P(B2 A) P(B1B2 | A)
3. 条件概率的计算
1) 用定义计算(在原样本空间中计算P(A),P(AB))
显然，P(A1)=1/5，P( A1 )＝4/5 场券，同时第1个人
对于第2个人，
肯定没抽到.
同理,第P3(个A2人) 要P抽(到A1“A入2 )场 P券(”A1,)P必(须A2第| A11,)2个54人都14没抽15
到. P( A3) P( A1A2 A3) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2 )
注 通常， P(B|A) ≠ P(B)
4
2. 条件概率P(.|A)的性质
1.3条件概率
(1)非负性 对每一个事件B, P(B|A) ≧0 概
(2)规范性 对必然事件S, P(S|A) =1
率
定
(3)可列可加性 若B1, B2 ,是两两互不相容的事件，则有
P Bi | A P(Bi | A)
2)由题意,在缩减的样本空间中直接根据古典概型求出。 5
1.3条件概率
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之
和不小于10”的概率是多少?
解:设A={掷出点数之和不小于10}
所求为 P(A｜B)
={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)}
B={第一颗掷出6点} ={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
显然， P(B)=4/9 求P(B|A)=？ 已知事件A发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是A，
A中只有3个等可能样本点，使B发生的只有其中1个，于是 P(B|A)= 1/3.
显见 P(B) ≠P(B|A).
2
1.3条件概率
由此可见，条件概率P(B|A)的实质是样本空间起了变化。
缩成为
原样本空间S
AB={(6,4),(6,5),(6,6)}
法1: 应用定义 基本事件总数n=6*6=36, kB=6,kAB=3
P( A | B) P( AB) 3 36 1 P(B) 6 36 2
法2:在B发生后的缩减样本空间中计算
在B中6个样本点中只有3个在A中
在原 样本 空间 中计
31 P(A| B)
100 99 98
2）有放回抽样
P(
A1
)
90 100
,
90
P(
A2
|
A1 )
, 100
P( A1 A2
)
P( A1 )P( A2
|
A1 )
90 100
2
8
19
1.3条件概率
例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到
25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能 活到25岁以上的概率是多少？
3
P( Ai ) P(A1)P(A2 / A1)P(A3 / A1A2 )
i 1
※想一想： ①应如何推导此式？ ② n个事件的公式如何写呢？
7
1.3条件概率
例2 一批零件共100个，其中有10个是次品。今从这批零
件中随机抽取，每次一件，1）若不放回地抽取3次，求3次都 取得合格品的概率；2）若有放回地抽取2次，求2次都取得合 格品的概率。
概率都比较高. 但若将此试验用于普查, 则有 P(C A) 0.087 ,
亦即正确性只有8.7%. 如果不注意这一点,将会得出错误的诊断. 16
1.3条件概率
例7 某电子设备制造厂所用的某种元件是由三家元件制造 厂提供的，根据以往的记录有以下的数据：
元件制造厂 甲厂 乙厂 丙厂
次品率 0.02
＝(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去会发现,每个人抽到“入场券” 的概率都是 1/5.
也就是说，抽签不必争先恐后.
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三、全概率公式和贝叶斯公式
1.3条件概率
引例 有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有1个红球4个白 球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球.某人从任一箱 中任意摸出一球，求取得红球的概率.
(2)由贝叶斯公式
P(B1|A)=
P( A B1 )P(B1 ) 0.02 0.15 0.24