几个重要不等式及其应用
数学分析中几个重要不等式的应用-2019年精选教育文档
数学分析中几个重要不等式的应用不等关系是数学中的基本关系，不等式在数学应用和数学研究中起着非常重要的作用，不等式在数学中是一门独立的分支，而一些不等式在数学分析中起着非常重要的作用，在证明和解决数学问题中都有重要地位，在数学研究中有许多形式优美而且具有重要应用价值的不等式，一般称其为重要不等式.利用重要不等式可以评价命题的科学性，防止产生一些科学性的错误，对研究分析问题都有一定的指导作用。
一、几种重要不等式的混合应用有些不等式的证明题目如果只使用某一种重要不等式可能不一定达到证明的目的，因此需要交叉使用多个重要不等式，以下给出一个与三角函数有关的不等式命题，该题的证明需要用到Jensen不等式和均值不等式。
例1设P为内任一点，求证：在、、中至少有一个小于或等于证明设、、；、、由正弦定理知所以在、、中必有一个角的正弦值不大于，不妨设所以有，否则，此时有或.二、重要不等式与数学思想方法相结合的应用重要不等式的许多应用，前面已经论述过，在数学分析中数学思想方法可谓是一个强有力的数学工具，许多重要不等式的证明本身或许就是这些数学思想方法成功运用的典范，当然在不等式的证明问题中如能成功运用这些思想方法将会在解题的灵活性和技巧性上收到事半功倍之效.例2（Cauchy不等式）若，（），则分析Cauchy不等式的形式具有一元二次方程根的判别式形式，于是我们想到了构造法.证明利用非负二次三项式的判别式非正的原理.构造函数分析欲证不等式较为复杂，而且不能直接运用均值不等式，所以应采用换元法加以化简变形，构建使用均值不等式的结构。
证明由已知条件原不等式即证：而上式当且仅当即时成立.本文中不等式的证法多是常用的证法，有许多证明方法都是数学思想方法成功运用的典范，现对本文中所涉及到的数学思想方法作出总结，这样可以加深我们对数学思想方法的认识和理解。
第七讲 重要不等式及其运用
第七讲 重要不等式及其运用本专题主要学习整理几个重要的不等式及其运用。
一 知识方法梳理方法：(一) 如何求AB 的最大值(四类)(二) 如何求A+B 的最小值2 n 个正数的均值不等式：3 柯西不等式：4．已知y x ,是两个变化的正数，①如果积xy 是定值p ，那么当y x =时，和y x +有最小值p 2； ②如果和y x +是定值s ，那么当y x =时，积xy 有最大值241s ． 5．用极值定理求最值的必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等”。
一正：各项或各因式必须为正数,不正要转正；二定：必须满足“和为定值”或“积为定值”，直接看不出来的,通常要通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方，或多次用均值不等式等方式,凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构；三相等：要注意取等号的条件要相同,使和积为定值两项必须相等。
如果等号不能成立，那么求出的仍不是最值,此时可用单调性等方法来求最 二 典例分析 例1 (1) 已知45>x ，求函数5414)(-+=x x x f 的最小值。
(2) 函数()()y x x x=++49有最小值吗？(3) 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
(4) 设,,+∈R b a 且,3=++ab b a 求b a 2+的最小值；点评：分式函数y=f(x)求最值，如果y=f(x)可表示成y = mg(x)+)(x g A+B 的形式，且g(x)在定义域内恒正或恒负，A>0,m>0,则可用均值不等式求最值.例2 (1)已知正数x 、y 满足811x y+=，求2x y +的最小值。
(2) 已知正数x 、y 满足2x y +3=，求yx 52+的最小值 (3) 1401,1x y x x<<=+-已知求的最小值。
(4) sin x x π2212求y=+,(0<x<)的最小值cos 2评注 (i)已知+∈R y x e d c b a ,,,,,,11111,如果满足,111c y b x a =+求ye x d 11+的最小值; ( ii)已知+∈R y x e d c b a ,,,,,,22222,如果满足222c yb x a =+求y e x d 22+的最小值;例3 (1) 设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( )(2) 已知0,0a b >>，则11a b ++ ）A ．2B．C ．4D ．5【答案】C解析因为114a b ++=≥当且仅当11a b ==即a b =时，取“=”号。
重要不等式使用条件
重要不等式使用条件一、引言在数学中，不等式是一种比较两个数或者变量关系的数学表达式。
不等式的研究对于解决各种实际问题具有重要意义。
在数学中，有许多重要的不等式被广泛应用于各个领域，如数论、代数、几何和概率论等。
本文将介绍一些常见的重要不等式及其使用条件。
二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是解析几何中的一个基本定理，它描述了内积的性质。
该不等式可以用来证明其他重要定理，如三角形不等式和均值不等式。
不等式表述对于实数集合上的内积空间V中的向量a和b，柯西-施瓦茨不等式可以表示为：|⟨a,b⟩|≤∥a∥∥b∥其中⟨a,b⟩表示向量a和b的内积，∥a∥表示向量a的模。
使用条件柯西-施瓦茨不等式成立的条件是向量空间V上定义了内积，并且满足以下性质：1.正定性：对于任意非零向量a，有⟨a,a⟩>0。
2.齐次性：对于任意标量k和向量a，有⟨k⋅a,b⟩=k⋅⟨a,b⟩。
3.加法性：对于任意向量a、b和c，有⟨a+b,c⟩=⟨a,c⟩+⟨b,c⟩。
满足以上条件的内积空间可以是实数集合上的内积空间或复数集合上的内积空间。
三、三角形不等式三角形不等式是几何学中一个基本的定理，它描述了三角形中边长之间的关系。
该不等式在计算几何学、概率论和信息论等领域得到广泛应用。
不等式表述对于任意三角形的边长a、b和c，三角形不等式可以表示为：|a−b|<c<a+b使用条件三角形不等式成立的条件是边长a、b和c满足以下条件：1.非负性：边长必须大于等于零，即a,b,c≥0。
2.两边之和大于第三边：任意两边之和必须大于第三条边，即a+b>c,a+c>b,b+c>a。
满足以上条件的三个边长可以构成一个有效的三角形。
四、均值不等式均值不等式是数论中的一个重要定理，它描述了一组数的平均值与其他函数之间的关系。
该不等式在概率论、统计学和经济学中得到广泛应用。
不等式表述对于一组实数x1,x2,…,x n，其中n≥2，均值不等式可以表示为：x1+x2+⋯+x nn ≥√x1⋅x2⋅…⋅x n n使用条件均值不等式成立的条件是实数x1,x2,…,x n满足以下条件：1.非负性：所有实数必须大于等于零，即x i≥0。
重要不等式使用条件
重要不等式使用条件1. 引言在数学中，不等式是比较两个数或者变量之间大小关系的数学表达式。
重要不等式是指那些在数学推导和证明中经常被使用的不等式。
这些不等式在各个领域都有广泛的应用，例如代数、几何、概率论等。
为了正确使用这些重要不等式，我们需要了解它们的使用条件。
本文将介绍一些常见的重要不等式，并详细说明它们的使用条件，以帮助读者更好地理解和应用这些不等式。
2. 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是线性代数中一个非常重要且广泛应用的不等式。
它表达了两个向量内积的大小关系。
柯西-施瓦茨不等式的表述如下：对于任意实数或复数向量 x 和 y，有：|x·y| ≤ ||x||·||y||其中，|x·y| 表示向量 x 和 y 的内积（点积）的绝对值，||x|| 表示向量 x 的模（长度）。
柯西-施瓦茨不等式成立的条件是：向量 x 和 y 都属于一个内积空间，且该内积空间满足柯西-施瓦茨不等式的定义。
3. 马尔可夫不等式马尔可夫不等式是概率论中一个重要的不等式，用于估计随机变量与其期望值之间的关系。
马尔可夫不等式的表述如下：对于一个非负随机变量 X 和任意正实数 a，有：P(X ≥ a) ≤ E(X)/a其中，P(X ≥ a) 表示随机变量 X 大于等于 a 的概率，E(X) 表示随机变量 X 的期望值。
马尔可夫不等式成立的条件是：随机变量 X 的概率分布必须满足一定的条件，例如非负性、有限性、单调性等。
4. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式是概率论中另一个重要的不等式，用于估计随机变量与其期望值之间的关系。
切比雪夫不等式的表述如下：对于一个具有有限方差σ² 的随机变量 X 和任意正实数 k（k > 0），有：P(|X - E(X)| ≥ k) ≤ σ²/k²其中，P(|X - E(X)| ≥ k) 表示随机变量 X 与其期望值之间的偏离程度大于等于k 的概率，σ² 表示随机变量 X 的方差。
高中重要不等式公式
高中重要不等式公式一、绝对值不等式（Absolute Value Inequality）绝对值不等式是高中数学中非常重要的一个概念，涉及到求解不等式的解集。
绝对值不等式形式简单，但涵盖的内容却非常广泛。
下面将介绍几个常见的绝对值不等式公式。
1. |x| > a ，其中a为正实数。
解集为：x < -a 或 x > a。
这个不等式表示x与原点的距离大于a。
2. |x| < a ，其中a为正实数。
解集为：-a < x < a。
这个不等式表示x与原点的距离小于a。
3. |x| ≤ a ，其中a为正实数。
解集为：-a ≤ x ≤ a。
这个不等式表示x与原点的距离小于等于a。
4. |x - a| > b ，其中a和b为正实数。
解集为：x < a - b 或 x > a + b。
这个不等式表示x与点a的距离大于b。
5. |x - a| < b ，其中a和b为正实数。
解集为：a - b < x < a + b。
这个不等式表示x与点a的距离小于b。
6. |x - a| ≤ b ，其中a和b为正实数。
解集为：a - b ≤ x ≤ a + b。
这个不等式表示x与点a的距离小于等于b。
（以上公式中的a、b、x均表示实数）绝对值不等式的应用十分广泛，例如在求解间隔、范围、距离等问题时常常会涉及到绝对值不等式。
熟练掌握这些公式能够帮助我们更加灵活地解决实际问题。
二、平均数不等式（Mean Inequality）平均数不等式是高中数学中另一个重要的概念，用于比较算术平均数、几何平均数和谐平均数的大小关系。
下面将介绍几个常见的平均数不等式公式。
1. 算术平均数与几何平均数不等式：对于任意非负实数a和b，有：(a + b) / 2 ≥ √(ab)。
这个公式表示算术平均数不小于几何平均数。
2. 几何平均数与谐平均数不等式：对于任意正实数a和b，有：2 / (1/a + 1/b) ≥ √(ab)。
概率论中几个不等式的推广及应用
概率论中几个不等式的推广及应用
1. 闵可夫斯基不等式：它是概率论中最重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）贝叶斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明贝叶斯定理，以及证明条件概率的关系。
（2）拉普拉斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明拉普拉斯定理，以及证明条件概率的关系。
（3）抽样不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明抽样定理，以及证明条件概率的关系。
（4）泰勒不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明泰勒定理，以及证明条件概率的关系。
（5）大数定律：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明大数定律，以及证明条件概率的关系。
2. 黎曼不等式：它是概率论中另一个重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）熵不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明熵定理，以及证明条件概率的关系。
（2）马尔可夫不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明马尔可夫定理，以及证明条件概率的关系。
（3）惩罚不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明惩罚定理，以及证明条件概率的关系。
（4）贝尔不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔定理，以及证明条件概率的关系。
（5）贝尔-黎曼不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔-黎曼定理，以及证明条件概率的关系。
几个重要不等式的证明及应用
［ａ，ｂ］上连续， ｘ）ｄｘ＝１，ｋ为任意实数，求证：（Ｊ＇￣ｆ（ｘ）ｃｏｓｋｘｄｘ） ＋
（ｆ：ｆ（ｘ）ｓｉｎｋｘｄｘ）‘≤１（２）
证 明 ：（２）式 左 端 第 一 项 应 用Ｓｃｈｗａｒｚ不 等 式 ，得 到 ：
）ｃｏｓｋｘｄｘ） ＝［Ｊ＇ ｂ、／ －ｘ）（ ｃｏｓｋｘ）ｄｘ］ ≤Ｊ＇ ｂｆ（ｘ）ｄｘｆ￣ｆ（ｘ）
关 键 词 ：Ｃａｕｃｈｙ－Ｔ等 式 Ｓｃｈｗａｒｚ￣ 等 式 平 均值 不等 式
（ ．）２＝（
、／ａ ＋ａ
２
） ≤
Ｉ ＿＿，（ ａｉ＋ａｉ＋１）：
１ ａ ＋ ａＩ＋Ｉ ｌ
’ ｌ
不 等 式 是 初 等 数 学 及 高 等 数 学 中一 种 应 用 广 泛 的解 题 工
具 ，在 中学 各 种 竞 赛 、高 考 、专 升本 、研 究 生 入 学 考 试 等 各 类 考
中 ，不 等 式 的教 学 更 是 一 个 难 点 ，学 生 在 学 习不 等 式 ， ∑应 用 不
等 式 解 题 时 困难 重 重 ．本 文 以 ３个 重 要 的 不 等 式 为 例 ａ，，对 其 ａ 证
明 方 法 及 推广 、应 用 技 巧 进行 总结 与归 纳 ．
＋
１．Ｃａｕｃｈｙ￣ 等 式
（２）式 成 立 ． 评 注６：本 定 理 的证 明 是 灵 活 运 用 一 致 连 续 定 义 的 典 范 ．
它在 理 论 研 究 上 具 有 一 定 的 意 义 ． ２．２一 致 连 续 函数 的 运 算 性 质 一 致 连 续 函 数 有 一 系列 的运 算 性 质 ，归结 如 下几 个 命 题 ． 命 题 １：设 中（ｘ）与 （ｘ）在 区 间 Ｉ上 一 致 连 续 ，则 ｘ）＋ｐ
几个常用不等式证明不等式方法辛
不等式是高等数学中的一个重要工具。
运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。
这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。
几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。
2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。
3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。
4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式 设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。
几个重要的不等式
几个重要的不等式不等式是数学中非常重要的概念，它们在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几个重要的不等式，包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、柯西反向不等式和霍尔德不等式。
一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中最基本的不等式之一。
它可以用于证明其他许多重要的定理和不等式。
该不等式表述为：对于任意两个实数序列a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1b1 + a2b2 + … + anbn)² ≤ (a1² + a2² + … + an²)(b1² + b2² + … + bn²)其中“=”号成立当且仅当ai/bi为常数或bi=0。
该不等式可以推广到内积空间中，即对于任意两个向量x和y，有|x·y| ≤ ||x|| ||y||其中“=”号成立当且仅当x与y线性相关。
二、均值不等式均值不等式是一类基本的算术平均值与几何平均值之间的关系。
它包括算术平均不等式、几何平均不等式和调和平均不等式。
1. 算术平均不等式对于任意n个非负实数a1, a2, …, an，有(a1 + a2 + … + an)/n ≥√(a1a2…an)其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。
该不等式表明，n个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。
2. 几何平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有(a1a2…an)^(1/n) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。
该不等式表明，n个正实数的几何平均值小于等于它们的算术平均值。
3. 调和平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n ≤ (n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an))其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。
不等式的应用
不等式的应用不等式在数学中有着广泛的应用，可以用于解决各种实际问题。
不等式是一种比较大小关系的数学表达式，通过不等号（如大于号或小于号）来表示两个数之间的大小关系。
本文将以几个不等式应用的实例来说明其在实际问题中的作用。
一、成本与收益不等式在商业领域中，成本和收益是一个重要的考虑因素。
当我们考虑某个项目或产品时，需要确定其成本和预计收益，并通过不等式来评估其可行性。
假设我们有一个生产某种产品的计划，成本为C，每个单位的收益为R，销售数量为x。
那么我们可以建立不等式C ≤ R * x，来限制生产的成本不能超过预期的收益。
二、速度与时间不等式在物理学中，速度和时间是一个常见的关系。
例如，当我们考虑一个物体的运动时，可以利用速度和时间之间的不等式来解决相关问题。
假设一个物体的速度为v，运动的时间为t，那么我们可以建立不等式v * t ≤ d，其中d为物体的位移。
这个不等式告诉我们，物体在一段时间内的位移不会超过速度与时间的乘积。
三、资源分配不等式在资源管理中，资源的有限性是一个重要的考虑因素。
假设我们有一定数量的资源，需要分配给不同的工作或项目，我们可以利用不等式来确定资源的合理分配。
设资源数量为N，需要分配给n个项目，每个项目所需的资源分别为r1、r2、...、rn。
我们可以建立不等式r1 +r2 + ... + rn ≤ N，来限制资源分配不超过总数量。
四、难度与能力不等式在教育领域中，考试和评估是一种常见的方式来衡量学生的能力。
考试的题目难度通常是不同的，我们可以利用不等式来判断学生是否具备解答某道题目的能力。
假设题目的难度为D，学生的能力为S，那么我们可以建立不等式S ≥ D，来要求学生的能力能够超过题目的难度。
总结：以上仅是不等式应用的一些实例，实际上不等式在各个领域都有着广泛的应用，包括经济学、工程学等等。
通过合理运用不等式，我们可以解决各种实际问题，做出正确的决策和评估。
因此，掌握和理解不等式的应用是数学学习的重要一环，也是我们在日常生活中需要具备的数学思维能力之一。
数学中的几个经典不等式以及其用
数学中的几个经典不等式以及其用法一,数量不等式1,基本不等式 设a1,a2……an 为n 个正数则其算术平均数大于等于几何平均数 即：(a1+a2+……+an)/n>=(a1a2……an)^(1/n)，当且仅当a1=a2=……=an 时等号成立。
当n=2时可采用几何法进行证明（直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高，相似）1， 用基本不等式证明：若a,b,c 均为正数，且有a+b+c=1证明a^2+b^2+c^2>=1/3. 2， 已知a,b,c 为不全相等的正数，证明：a+b+c>=(ab)^1/2+( bc)^1/2+(ca)^1/2 2,柯西不等式 设a1,a2……an,b1,b2……bn 为实数则有：(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)>=(a1b1+a2b2+……anbn)^2 当且仅当bi=0,i=1,2,……n 或者存在实数k 使得ai=kbi,i=1,2,……n 时取等号。
当n=2时可借助向量的内积进行解释。
1,求y=5*(x-1)^(1/2)+(10-2x)^(1/2)的最大值（当x=127/27时取最大值）.25513651252222x x x x y -=-=-+-⨯+≤ 2，求y=3sin(x)+4(1+cos2x)^(1/2)的最大值.解： 易证≤2y [)(232+]42)2cos 1sin 2(2x x ++⋅=41 上式当且仅当42cos 123sin 2x x +=成立 3，用柯西不等式证明：若a,b,c 均为正数，且有a+b+c=1证明a^2+b^2+c^2>=1/3.3，排序不等式 设a1=<a2=<……=<an,b1=<b2=<……=<bn 为两组实数， 且c1,c2……cn 为b1,b2……bn 的任一排列则有：a1bn+a2bn-1+……+anb1=<a1c1+a2c2+……+ancn=<a1b1+a2b2+……+anbn 即反序和=<乱序和=<顺序和，当且仅当a1=a2=……=an 或b1=b2=……=bn 时 反序和等于顺序和。
几个重要的不等式
几个重要的不等式以不等式为标题，写一篇文章。
一、柯西不等式柯西不等式是数学中的一条重要不等式，它可以用来描述向量内积的性质。
假设有两个n维向量a和b，柯西不等式可以表示为：|a·b| ≤ ||a|| ||b||其中，a·b表示向量a和向量b的内积，||a||和||b||表示向量a和向量b的模长。
不等式右边的乘积表示了两个向量的模长乘积，而不等式左边的内积则表示了两个向量之间的相似程度。
柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的模长的乘积。
柯西不等式在数学和物理中有广泛的应用。
例如，在信号处理中，柯西不等式可以用来判断两个信号的相关性；在几何学中，柯西不等式可以用来证明三角形的性质；在概率论中，柯西不等式可以用来推导概率的上界。
二、三角不等式三角不等式是数学中的另一条重要不等式，它可以用来描述三角函数之间的关系。
对于任意实数x和y，三角不等式可以表示为：|sin(x) + sin(y)| ≤ |sin(x)| + |sin(y)|三角不等式告诉我们，对于任意两个实数x和y，它们的正弦值之和的绝对值不会超过它们正弦值的绝对值之和。
换句话说，正弦函数的和不会超过两个正弦函数的和。
三角不等式在几何学和物理学中有广泛的应用。
例如，在几何学中，三角不等式可以用来证明三角形的性质；在物理学中，三角不等式可以用来推导物理量的上界。
三、均值不等式均值不等式是数学中的一类重要不等式，它可以用来描述数列的性质。
常见的均值不等式有算术平均值不小于几何平均值和几何平均值不小于调和平均值两种形式。
算术平均值不小于几何平均值的不等式可以表示为：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)其中，a1、a2、...、an为正实数。
这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的算术平均值不会小于它们的几何平均值。
几何平均值不小于调和平均值的不等式可以表示为：(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ≥ n/(a1 + a2 + ... + an)这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的几何平均值不会小于它们的调和平均值。
十大不等式放缩式
十大不等式放缩式
十大不等式放缩式包括以下几种：
1、均值不等式：这是最基础的不等式放缩式，用于处理一系列数值之间的关系。
2、琴生不等式：这是一个关于凸函数的不等式，用于在函数图像上寻找一些重要的性质。
3、柯西不等式：这是一个在数学分析中非常有用的不等式，可以用来处理一些复杂的不等式问题。
4、Cauchy-Schwarz不等式：这是线性代数中的一个重要不等式，可以用来处理向量之间的夹角问题。
5、切比雪夫不等式：这是一个关于随机变量的不等式，可以用来估计随机变量的范围。
6、哈代-温伯格不等式：这是一个关于概率分布的不等式，可以用来估计概率分布的性质。
7、博尔扎诺-瓦尔登不等式：这是一个关于可微函数的积分不等式，可以用来估计函数的积分范围。
8、詹森不等式：这是一个关于正态分布的不等式，可以用来估计正态分布的参数范围。
9、施瓦茨不等式：这是一个关于向量内积的不等式，可以用来估计向量内积的范围。
10、赫尔德不等式：这是一个关于函数范数的不等式，可以用来估计
函数范数的范围。
这些不等式在数学分析和应用数学中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和处理各种数值关系和函数性质。
几个重要的不等式及应用
几个重要的不等式及应用在近几年的各类试题(包括高考题)中，涉及到“柯西不等式”、“琴生不等式”、“排序不等式”、“贝努利不等式”的试题屡见不鲜、形式多样.作为高中学生和教师，对上述几个不等式有必要去了解一些基本问题.为此，下面我们将重点介绍这几个不等式及其应用，以飨读者.【柯西不等式】柯西不等式是高中数学中的选修内容，也在近几年的各类试题中频频现身.其考查重点主要放在求最值和不等式等号成立条件的应用这两个方面.1.柯西不等式及其证明设有两组实数: n a a a ,,,21 ;n b b b ,,,21 .则有，222112n 22212n 2221)()b b )(b a a (a n n b a b a b a +++≥++++++ .(当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号).证明:令),,,(),,,,(2121n n b b b b a a a a ==,则由||||||⋅≥,可得: ||a 22112222122221n n n n b a b a b a b b b a a +++≥+++⋅+++ , 从而 222112n 22212n 2221)()b b )(b a a (a n n b a b a b a +++≥++++++ .当且仅当λ=,即nn b a b a b a === 2211时取等号.说明：柯西不等式的证明方法较多，比如可构造二次函数或方程证明之.上述证明是较简单的一种证法.2.柯西不等式的应用例1.求函数y=asinx+bcosx 的最值，其中a ，b 是常数.解：∵ 22222222(sin cos )()(sin cos )y a x b x a b x x a b =+≤++=+，∴ y函数sin cos y a x b x =+有最小值−√a 2+b 2，最大值√a 2+b 2.例2.证明点到直线的距离公式：已知点P(x ，y 0)及直线l ：Ax+By+C=0(A 2+B 2≠0)，设点P到l 的距离为d. 求证：d =证明：设P1x 1，y 1)是l 上的任意一点，∴ 110Ax By C ++=.而|1PP |1010()()A x x B y y ≥-+-1010Ax Ax By By =-+-1100()Ax By Ax By =+-+=|Ax 0+By 0+C|，即 √A 2+B 2|PP 1|≥|Ax 0+By 0+C|. ∴ |1PP | 当且仅当1010y y B x x A-=-即1PP l ⊥时取等号.故得到点到直线的距离公式：d例3.设a ，b ，c 均为正实数，且a+b+c=1. 求证:3100)1()1()a 1(a 222≥+++++c c b b .证明:∵ (12+12+12)[222)1()1()a 1(a c c b b +++++]≥2)111(c c b b a a +++++=2)1111(cb a +++.又∵ (a+b+c)·)111(c b a ++≥33313abc abc ⋅=9，101111≥+++⇒cb a .∴ 3[222)1()1()a 1(a cc b b +++++]≥102,故 3100)1()1()a 1(a 222≥+++++c c b b (当且仅当a=b=c=13时取等号).例4.设a ，b ，c 均为正实数，且a+b+c=1. 求证：.3222333c b a c b a ++≥++证明：∵ (a+b+c)(a 3+b 3+c 3)=⋅++])()()[(222c b a ⋅++])()()[(232323c b a2333])()()([c c b b a a ++≥=(a 2+b 2+c 2)2， 又∵ a+b+c=1，∴(a 3+b 3+c 3)()2222a b c ≥++①.由于 2222222223()(111)()a b c a b c ++=++++1)(2=++≥c b a ，∴ (a 2+b 2+c 2)≥13②. 由①②知原不等式成立.当且仅当a=b=c ==13时等号成立.例5.设实数a ，b ，c ，d 满足：a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5. 求实数a 的最值.解：∵ a+b+c+d=3，∴ b+c+d=3-a;；又∵a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5，∴ 2b 2+3c 2+6d 2=5- a 2.由于[222)61()31()21(++][222)6()3()2(c c b ++]≥(b+c+d)2.即 2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2，∴ 5- a 2≥(3-a)2,解得 1≤a≤2. 故a max =2； a min =1.想一想①1.设a ，b ，c ，x ，y ，z>0，且a 2+b 2+c 2=10，ax+by+cz=40，则 a+b+cx+y+z =( ). A.14. B. 13. C. 12.D. 34.2.设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2+y 2+z 2=1，x+2y+3z=√14，则x+y+z= .习题(1)1.设x ，y ，z ∈R +，证明：cb a ac c b b a 111222++≥++.2.已知x+2y+3z=12，求证：x 2+2y 2+3z 2≥24.3.设a ，b ，x 1，x 2∈R 且a+b=1,求证：(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.4.已知a ，b ，c ∈R ，且a+b+c=1，求141414+++++c b a 的最大值.5.设三角形ABC 的外接圆的半径为R ，求证：(a 2+b 2+c 2)(CB A 222sin 1sin 1sin 1++)≥36R 2.6.设1,1=∈∑==+ni i i i a R a . 求证:n n a a ni i i i 2221)1()1(+≥+∑==. 7.已知a 、b 、c ∈R +，求证：23≥+++++b a c c a b c b a .8.求证：222a b c a b c b c a c a b a b c ++≥+++-+-+-，其中a ，b ，c 为∆ABC 三边.9.已知椭圆22221(0),(,),(,)x y a b P x y Q x y a b''+=>>是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式①222()a b x y +≥+；②2221111()x y a b +≥+；③224x b a y ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④221xx yy a b ''+≤. 其中不等式恒成立的序号是 .(填所有正确命题的序号).【排序不等式】排序不等式也是高中阶段的选修内容之一.对于此部分内容，要求我们对此有所了解，不作过高要求，能处理一些简单、基本的问题即可.1.排序不等式及其证明：设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211(同序)1212n j j n j a b a b a b ≥+++(乱序)1121b a b a b a n n n +++≥- (反序).其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列. 当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号(对任一排列n j j j ,,,21 )成立.证明：(调整法)考察1212k n j j k j n j a b a b a b a b +++++，若nj n b b ≠则存在，(11)k j b k n ≤≤-，使得k j n b b =，将n j b 与k j b 互换，调整后的和与调整前的和作差，()()()k n n k k n n k n j k j n j k j n j n j k j k j a b a b a b a b a b a b a b a b +-+=-+-()()()()0k n n n k j j n k n j a a b b a a b b =--=--≥.所以调整后，和是不减的，接下来若11n j n b b --≠，则继续同样的调整至多经1n -次调整就可将乱序和调整为同序和，而且每次调整后和是不减的，这说明同序和大于等于乱序和，同理可证乱序和大于等于反序和.2.排序不等式的应用例6.应用排序不等式证明切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则11221212.n n n na b a b a b a a a b b b n n n+++++++++≥⋅证明:∵ 同序和≥乱序和≥反序和，固定12,,,n a a a 的位置，让12,,,n b b b 进行轮换，轮换一周，恰好轮换1n -次，共得以下n 个式子112211112211n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b ----++++≥++++，112211121121n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b -----++++≥++++， 112211112132n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b ------++++≥++++， 1122111221143n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b -------++++≥++++，……………………………………………………112211122311n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++≥++++，将以上n 个式子相加得，11221212()()()n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++，即11221212.n nn na b a b a b a a a b b b nn n+++++++++≥⋅例7.设a ，b ，c 是三角形的三边长，且满足a+b+c=2p (定值).试求 f=a nb+c+b n c+a+c na+b ()n N +∈的最小值. 解：不妨设0a b c ≥≥>，则0n n n a b c ≥≥>，1110b c c a a b≥≥>+++. 由切比雪夫不等式 n n n a b c f b c c a a b =+++++()11113n n n a b c b c c a a b ⎛⎫≥++++ ⎪+++⎝⎭， 由幂平均不等式有a n +b n +c n 3≥(a+b+c 3)n = (2p3)n ， 又由柯西不等式有1b+c +1c+a +1a+b≥9(b+c )+(c+a )+(a+b)=94p ， 于是f ≥(2p3)n ×94p =(23)n−2×p n -1，当且仅当a=b=c 时，等号成立. ∴ f min =(23)n−2×p n -1 .例8.设a 1，a 2，⋯，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1+12+13+⋯+1n ≤a 1+a 222+a 332+⋯+a nn2.证明：设b 1，b 2，⋯，b n ，是a 1，a 2，⋯，a n 的一个排列，且b 1<b 2<⋯<b n ，则，b 1≥1，b 2≥2，⋯，b n ≥n ，又1≥12≥13≥⋯≥1n ，由排序不等式得，a 1+a 222+a 332+⋯+a n n 2≥b 1+b 222+b 32+⋯+b nn 2≥⋯≥ 1+12+13+⋯+1n .例9.在∆ABC 中，证明：π3≤aA+bB+cC a+b+c <π2.证明：不妨设a ≤b ≤c ，则A ≤B ≤C ，由排序不等式得，aA +bB +cC ≥aA +bB +cC ， aA +bB +cC ≥bA +cB +aC ， aA +bB +cC ≥cA +aB +bC ，相加得 3(aA +bB +cC)≥(a+b+c)((A+B+C)，∴aA+bB+cC a+b+c≥π3.①又由a+b>c ，b+c>a ，c+a>b ，得0<A(b+c -a)+B(c+a -b)+C(a+b -c) =a(π−2A )+ b(π−2B )+c(π−2C)=(a+b+c) π−2(aA +bB +cC )， ∴aA+bB+cC a+b+c<π2.② 综合①②知π3≤aA+bB+cC a+b+c<π2.想一想②:对任意实数a ，b ，c.求证：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac.你能给出多少种不同的方式，就尽情地给吧.习题(2)1.(清华自招理)(1)x ，y 为正实数，且x+y=1.求证：对于任意正整数n ，x n +y n ≥12.(2)a ，b ，c 为正实数，求证：a x+b y+c z≥3，其中x ，y ，z 为a ，b ，c 的一种排列. 2.设a ，b ，c 为2，3，5的任一个排列，n ∈N +.证明:a n+12n +b n+13n+c n+15n≥103.已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证(1) 1bc ≥1ca ≥1ab ； (2)a 5b 3c 3+b 5c 3a 3+c 5a 3b 3≥1a +1b +1c .【琴生不等式与函数的凸凹性】琴生不等式与函数的凸凹性之间关系密切.中学阶段的许多初等函数如二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数都与函数的凸凹性有密切关联.而且，琴生不等式的应用在各类试题中层出不穷、变化很多.因此，适当地了解和应用与琴生不等式的相关知识，来处理相关问题，就显得十分必要了.1.凸函数的定义.设定义在[a ，b]上的连续函数f(x)，对于[a ，b]上任意两点x 1，x 2，都有f(x 1+x 22)≤f (x 1)+f(x 2)2，则称f(x)为[a ，b]上的下凸(凸)函数； 反之，若有f(x 1+x22)≥f (x 1)+f(x 2)2，则称f(x)为[a ，b]上的上凸(凹)函数.2.琴生(Jensen)不等式.若f(x)是[a ，b]上的下凸(凸)函数，则f(x 1+x 2+⋯+x nn)≤f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x n )n.3.琴生(Jensen)不等式证明1)n=2时，由下凸(凸)函数性质知结论成立. 2)假设n=k 时命题成立，即f(x 1+x 2+⋯+x kk)≤f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x k )k.那么当n=k+1时，设A k+1= x 1+x 2+⋯+x k+1k+1，f(A k+1)=f((k+1)A k+1+(k−1)A k+12k)=f(x 1+x 2+⋯+x k k +x k+1+(k−1)A k+1k2)≤12[f(A k )+f(x k+1+(k−1)A k+1k)]≤12[f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x k )k+f(x k+1)+(k−1)f(A k+1)k]所以2k f(A k+1) ≤f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x k )+f(x k+1)+(k −1)f(A k+1)即(k+1) f(A k+1) ≤f (x 1)+f (x 2)++f (x k )+f(x k+1)，得证.4.加权平均琴生(Jensen)不等式若f(x)是[a ，b]上的下凸(凸)函数，且∑λi n i=1=1，λi >0 则f(∑λi x i n i=1)≤∑λi f(x i ni=1). 5.曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数.(1)如果对任意x∈I ，f ′′(x )>0，则曲线y=f(x)在I 内是下凸的； (2)如果对任意x∈I ，f ′′(x )<0，则y=f(x)在I 内是上凸的. 6.琴生不等式的应用例10.设x i >0(i=1，2，3，⋯，n )，∑x i n i=1=1，求证：1√1−x +2√1−x ⋯n√1−x ≥√x 1+√x 2+⋯+√x n√n−1.证明:设函数f(x)=√1−x，则f ′(x )=2−x 2(1−x)32，f′′(x )=(1−x)32+3(1−x)124(1−x)3>0所以f(x)在(0，1)内下凸，则有，1n (1√1−x 2√1−x +⋯n √1−x )≥x 1+x 2+⋯+x kn√1−12k n，1√1−x 2√1−x ⋯+n √1−x ≥√n√n−1. 又由√x 1+√x 2+⋯+√x nn ≤√x 1+x 2+⋯+x kn于是 √n ≥√x 1+√x 2+⋯+√x n ，故.11−x 21−x +⋯+n1−x ≥√x 1+√x 2+⋯+√x n√n−1.例11.已知a ，b ，c>0，且a+b+c=1，求证：√a 1−a b 1−b c 1−c ≤13. 证明: ∵ln √a 1−a b 1−b c 1−c =12(1-a)lna+12(1-b)lnb+12(1-c)lnc ，又∵ f(x)=lnx 在(0，+∞)上是上凸函数，且12(1-a)+12(1-b)+12(1-c)=1. 由加权平均琴生不等式，得 12(1-a)lna+12(1-b)lnb+12(1-c)lnc ≤ln [12(1−a)a +12(1−b)b +12(1−c)c] =ln[12-12(a 2+b 2+c 2)]. 而a+b+c 3≤√a 2+b 2+c 23，∴ a 2+b 2+c 2≥13，-12(a 2+b 2+c 2) ≤−16，⇒12-12(a 2+b 2+c 2) ≤12−16=13，ln[12-12(a 2+b 2+c 2)]. 而 ⇒ ln[12-12(a 2+b 2+c 2)] ≤ln 13，即ln √a 1−a b 1−b c 1−c ≤ln 13，故√1−a b 1−b c 1−c≤13.例12.应用琴生(Jensen)不等式证明幂平均不等式： 若α>β ，且α≠0，β≠0，x i >0，则(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β.分析:∵(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β⇔∑x iαn i=1n≥(∑x iβn i=1n)αβ⇔∑(x i β)αβn i=1n≥(∑x iβn i=1n)αβ，因此，可构造f(x)=x αβ来处理.证明：当α>β>0时，∵ f(x)=x αβ为下凸函数， ∴ (x 1+x 2+⋯+x nn)αβ≤x 1αβ+x 2αβ+⋯+x nαβn，⇒(x 1+x 2+⋯+x nn)1β≤(x 1αβ+x 2αβ+⋯+x n αβn)1α.在上式的两边用x i β代替x i ，可得，(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β.又当α>0>β和0>α>β时，类似地可得同样的结论. ∴ 若α>β ，且α≠0，β≠0，x i >0，则(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β.说明：(∑x iαn i=1n )1α≥(∑x iβn i=1n)1β两边同形，把x i β看成x i 是关键.由幂平均不等式还可得，√a 3+b 3+c 333≥√a 2+b 2+c 23(三个正数的立方平均数不小于三个正数的平方平均数).想一想③:1.设x 1，x 2，⋯，x n 是正实数，求证：√x 1x 2⋯x n n ≤x 1+x 2+⋯+x nn.2.设x 1，x 2，⋯，x n ∈(0，π)，则有：sin x 1sinx 2⋯sinx n ≤sin nx 1+x 2+⋯+x nn.习题 (3)1.在圆内接边形中，试证明正边形的面积最大.2.设m ≥2是实数，则在∆ABC 中，有tan A m +tan B m +tan C m ≥3tan π3m . 3.设a>0，b>0，且a+b=1，求证：√1+a 2+√1+b 2≥√5.. 4.已知函数g(x)=xlnx ，0<a<b ，证明：g(a)+g(b)>2g(a+b 2).5.若x i ≥0，且x 1+x 2+⋯+x n =100，求证：10≤√x 1+√x 2+⋯+√x n ≤10√n .6.已知x ≥3.(1)当0<t<1时，有不等式x t -(x -1)t <(x -2)t -(x -3)t . (2)当t>1时，有不等式x t -(x -1)t >(x -2)t -(x -3)t .7.设P 是∆ABC 内一点，求证：∠PAB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于300.8.设0<x i <π(i=1，2，⋯，n)，且x=x 1+x 2+⋯+x n n .证明：∏sinx i x i≤|sinx x|nn i=1. n n【贝努利不等式】1.贝努利不等式及其证明对任意整数n≥0和任意实数x≥-1，有(1+x)n ≥1+nx 成立.如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x 成立.在n = 0，1或x = 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1，x≠0，有严格不等式：(1+x)n>1+nx.贝努利不等式经常用来辅助证明其它不等式. 证法1：(数学归纳法).(1)当n=1时，不等式显然成立.当n=2时，(1+x)2=1+2x+x 2≥1+2x..(2)假设n=k(k≥2)时不等式成立，即 (1+x)k >1+kx.当n=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)k (1+x)>(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx 2>1+(k+1)x ， 即当n=k+1时不等式也成立. 综上可知贝努利不等式成立 证法2：联想到x n -y n =(x -y)(x n -1+x n -2y+x n -3y 2+⋯+xy n -2+y n -1)，∴ (1+x)n -1=x[(1+x)n -1+(1+x)n -2+⋯+1]. 当x>0时，(1+x)k >1，∴ x[(1+x)n -1+(1+x)n -2+⋯+1]>nx ，即 (1+x)n -1>nx ，∴ (1+x)n >1+nx.当-1<x<0时，有0<(1+x)k <1，可得 (1+x)n -1+(1+x)n -2+…+(1+x)+1<n ， ∴ x[(1+x)n -1+(1+x)n -2+⋯+1]>nx ，即 (1+x)n -1>nx ，∴ (1+x)n >1+nx. 证法3：当1+nx ≤0时，∵ (1+x)n >0，∴(1+x)n >1+nx ①当1+nx >0时，由(1+nx)∙1∙1∙⋯∙1⏟ n−1个<[1+nx+(n−1)n]n=(1+x)n ②由①②知，原不等式成立.证法4：欲证原不等式，只需要证1+nx (1+x)n <1即可. 设a n =1+nx(1+x)n ，∵ a n+1-a n =1+(n+1)x (1+x)n+1−1+nx (1+x)n=1+(n+1)x−(1+nx )(1+x)(1+x)n+1=−nx 2(1+x)n+1<0，∴ {a n }为单减数列，故a n <a 1=1. 故原不等式成立. 2.贝努利不等式推广到实数幂形式：若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)r ≥ 1 + rx ；若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)r ≤ 1 + rx . 这个不等式可以直接通过导数进行证明，过程如下： 证明：如果r=0，1，则结论是显然的.如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)r -(1+rx)， 那么f ′(x)=r(1+x)r-1-r ， 则f ′(x)=0等价于x=0.下面分情况讨论：(1)0<r<1，则对于x>0，f ′(x) <0. 对于− 1<x<0， f ′(x)>0. 因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)r ≤1+rx.(2) r<0或r>1，则对于x>0， f ′(x) >0.对于− 1<x<0， f ′(x)< 0. 因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)r ≥1+rx.证毕.3.贝努利不等式的应用例15.已知p 和q 是两个不相等的正整数，若q≥2，则lim n→∞(1+1n )p −1(1+1n )q −1=( ).A.0.B.1.C.pq.D. p−1q−1.解：根据贝努利不等式可知当x →0时，(1+x)m =1+mx ，故对于此题有当n →∞有(1+1n )p =1+p n ，(1+1n )q =1+q n ，∴lim n→∞(1+1n )p −1(1+1n)q −1 =lim n→∞1+pn−11+q n−1=p q 故应选C.例16.已知m ，n 为正整数，(1)用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m ≥1+mx.(2)对于n≥6，m≤n.已知(1−1n+3)n <12.求证(1−m n+3)n <(12)m，m=1，2，3，…. (3)求出满足等式3n +4n + ⋯ +(n+2)n =(n+3)n 的所有正整数n ．证明:(1)(数学归纳法).(i)当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x 2， 右边=1+2x ，因为x 2 ≥0，所以左边≥右边，原不等式成立.(ⅱ)假设当m=k 时，不等式成立，即(1+x)k ≥1+kx ，则当m=k+1时， ∵ x>-1，∴ 1+x>0，于是在不等式(1+x)k ≥1+kx 两边同乘以1+x 得，(1+x)k+1=(1+x)k (1+x)>(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx 2>1+(k+1)x ，即当m=k+1时，不等式也成立． 综合(i )(ⅱ)知，对一切正整数m ，不等式都成立． 证明:(2)当n ≥6，m ≤n 时，由(1)得(1−1n+3)m ≥1−m n+3>0，于是，(1−m n+3)n≤(1−1n+3)mn =[(1−1n+3)n ]m <(12)m，m=1，2，⋯，n.解：(3)由(2)知，当n ≥6时，(1−1n+3)n +(1−2n+3)n +(1−3n+3)n +⋯+(1−n n+3)n <12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n=1-(12)n <1，∴ (n+2n+3)n + (n+1n+3)n +⋯+ (3n+3)n<1，即 3n +4n +⋯+(n+2)n <(n+3)n . ∴当n ≥6时，不存在满足该等式的正整数n ． 故只需要讨论n=1，2,3,4,5的情形：当n=1时，3≠4，等式不成立.当n=2时，32+44=52，等式成立. 当n=3时，32+44+52=63，等式成立；当n=4时，32+44+52+62为偶数，而74为奇数，故等式不成立.当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的只有n=2，3.例17.设函数f(x)=(1+1n )x . (1) 当x =6时，(1+1n )x 求的展开式中二项式系数最大的项.(2)对任意的实数x ，证明f (2x )+f(2)2>f ′(x)( 其中f ′(x )为f (x )的导数)；解:(1)展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是C 6315(1n)3=20n 3.(2)∵ f(2x)+f(2)= (1+1n )2x +(1+1n )2≥2√(1+1n )2x∙(1+1n )2=2(1+1n )x∙(1+1n )>2(1+1n )x>2(1+1n )x∙ln (1+12)≥2(1+1n )x∙ln (1+1n)=2f ′(x).想一想④：1.已知m ，n 是正整数，且1<m <n.. 求证：(1+m)n >(1+n)m .2.设n ∈N +，n >1， t>0，则有 t n ≥nt −n +1.习题 (4)1.设a ，λ>0，n ∈N +，n>1，则a n ≥n λn -1a -(n -1) λn .2.设a ，b>0，n ∈N +，n>1，则a nb ≥na -(n -1)b.3.设a ，b 是两个不等正数，求证：a a b b >(a+b 2)a+b. 4.设α，β，γ均为锐角，且sin 2α+ sin 2β+ sin 2γ=1. 求证：sin 3α+ sin 3β+ sin 3γ≥√33.【参考答案】想一想①1.C.由柯西不等式知(x 2+y 2+z 2)(a 2+b 2+c 2)≥(ax+by+cz)2，由已知应求等号成立的条件，即 x a =y b =zc =k 代入条件式的前两个中有，k 2(a 2+b 2+c 2)=40，∴ k 2=4，k=2，故应选C.2.由柯西不等式知(12+22+32)(x 2+y 2+z 2) )≥(x+2y+3z)2，结合已知条件得x1=y2=z3，从而解得 x1=y2=z3=√1414，x+y+z=3√147. 习题 (1)1.利用[(a )2+(√b)2+(c )2][ (√ab )2+(√bc )2+(√ca )2]≥(1a +1b +1c )2.2.利用[12+(√2)2+(√3)2][x 2+(√2y )2+(√3z )2] ≥(x+2y+3z)2. 3.利用[√ax 1)2+(√bx 2)2][ (√ax 2)2+(√bx 1)2] ≥[(a+b)√x 1x 2]2=x 1x 2.3.利用(12+12+12)[ (√4a +1)2+(√4b +1)2+(√4c +1)2] ≥(√4a +1+√4b +1+√4c +1)2. 5.利用正弦定理将a 2+b 2+c 2换成4R 2(sin 2A+sin 2B+ sin 2C). 6.仿例3.7.左边=(ab+c +1)+(ba+c +1)+(ca+b +1)−3=(a+b+c)( 1b+c +1a+c +1a+b ) ≥92−3=32. 8.利用[(b+c -a)+(c+a -b)+(a+b -c)](a 2b+c−a+b 2c+a−b+c 2a+b−c) ≥(a+b+c)2.9.都正确.其中①②④由柯西不等式可得. ③可由二元均值不等式得出.想一想②:法1.求差配方.法2.利用二元均值不等式. 法3.利用柯西不等式. 法4.利用排序不等式.法5.构造函数f(a)=a 2-(b+c)a+b 2+c 2-bc ，考查其判别式∆=(b+c)2-4(b 2+c 2-bc)= -3(b -c)2≤0，∴ f(a )≥0恒成立.即可得原不等式成立.法6.构造函数f(x)=(a 2+b 2+c 2)x 2-2(ab+bc+ac)x+(a 2+b 2+c 2)=(ax-b)2+(bx-c)2+(cx-d)2≥0恒成立，∴ 由判别式∆≤0可得不等式成立.习题 (2)1. (1)法1：设x= 12+α，则y=12−α，其中α≥0.于是x n +y n =( 12+α)n +(12−α)n =2[(12)n +C n 2(12)n -2α2+C n 4(12)n -4α4+⋯+1≥2×(12)n =(12)n -1.法2：当n=1时，x n +y n =1≥(12)n -1成立. 当n ≥2时，显然函数f(x)=x n 在(0，+∞)上是下凸函数，∴f(x)+f(y)≥2f(x+y 2)= (12)n -1成立.(2)不妨设a ≥b ≥c ，则1a ≤1b ≤1c，且{1a ，1b ，1c }={1x ，1y ，1z }，由排序不等式ax +by +cz ≥ aa +bb +cc =3.2.a n+1，b n+1，c n+1，从小到大的顺序是2n+1<3n+1<5n+1.,而12n >13n >15n .所以a n+12n+b n+13n +c n+15n≥12n ∙2n+1+13n ∙3n+1+15n ∙5n+1=2+3+5=10.3.证明：(1)∵ abc>0，a ≥b ≥c 同除以abc ，∴ 1bc ≥1ac ≥1ab ，(2)由(1)1bc≥1ac≥1ab，于是由顺序和乱序和得a 5b 3c 3+b 5c 3a 3+c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3+c 5c 3a 3+a 5a 3b 3=b 2c 3+c 2a 3+a 2b 3≥c 2c 3+a 2a 3+b 2b 3=1a +1b +1c .想一想③:1.证明：∵ f(x)=lgx 在(0，+∞)是上凸函数，由琴生不等式得，1n (lgx 1+lgx 2+⋯+lgx n )≤lg (x 1+x 2+⋯+x nn)，⇒lg(x 1x 2⋯x n )1n≤lg (x 1+x 2+⋯+x nn)，又∵ lgx 在R +上是增函数，∴ (x 1x 2⋯x n )1n≤x 1+x 2+⋯+x nn.2. ∵ x 1，x 2，⋯，x n ∈(0，π)，∴ sinx i >0. ∵ g(x)=sinx 在(0，π)上是凸函数，∴ sin x 1+sinx 2+⋯+sinxn n≤sin x 1+x 2+⋯+xnn ①. 又 ∵ f(x)=lgx 在(0，+∞)是上凸函数，由琴生不等式得，∴1n(lgsinx 1+lgsinx 2+⋯+lgsinx n )≤lg (sinx 1+sinx 2+⋯+sinx nn)②.由①②得，1n (lgsinx 1+lgsinx 2+⋯+lgsinx n )≤lgsin x 1+x 2+⋯+x nn可得 sin x 1sinx 2⋯sinx n ≤sin nx 1+x 2+⋯+x nn.习题 (3)1.设圆半径为r ，内接正n 边形的面积为S ，各边所对圆心角分别为θ1，θ2，⋯，θnS=12r 2(sinθ1+sin θ2+⋯+sin θn ). 函数f(x)=sinx 在(0，π)上是上凸函数(∵ f ′′(x )=−sinx <0)，∴sin θ1+sinθ2+⋯+sinθnn≤sinθ1+θ2+⋯+θnn故S=12r 2(sinθ1+sin θ2+⋯+sin θn )≤12r 2nsin 2πn. 当θ1=θ2=⋯=θn =2πn时，正n 边形的面积最大，最大值为12r 2nsin 2πn . 2.当m ≥2时，∵ f′′(x )=2sin xm m 2cos3x m>0，∴ f(x)=tan xm 在(0，π)上是下凸函数.∴ tan Am +tan Bm +tan Cm ≥3tanA m +B m +C m3≥3tan π3m .3.∵ f(x)=√1+x 2的图像是等轴双曲线y 2-x 2=1的上支，在区间R 上是下凸函数， ∴f (a )+f(b)2≥f(a+b 2)=f(12)=√52，故√1+a 2+√1+b 2≥√5.4.∵ g ′(x )=lnx +1，g ′′(x )=1x >0，∴ g(x)=xlnx 在(0，+∞)上是下凸函数，故 原不等式成立.. 5.由y √x 为上凸函数，有√x 1+√x 1+⋯+√x nn≤√x 1+x 2+⋯+x n n=10√n ，∴ √x 1+√x 1+⋯+√x n ≤10√n .∵ (√x 1+√x 1+⋯+√x n )2=x 1+x 2+⋯+x n +2(√x 1x 2+√x 1x 3+⋯+√x n−1x n ) ≥x 1+x 2+⋯+x n =100，∴ √x 1+√x 1+⋯+√x n ≥10，故 原不等式成立.. 6.设f(x)=x t ，则 f ′(x )=tx t−1，f ′′(x )=t(t −1)x t−2则，(1)当0<t<1时，f ′′(x )=t(t −1)x t−2<0，f(x)=x t 在(0，+∞)上是上凸函数， ∴f (x )+f(x−2)2<f (x+x−22)=f(x −1).(因为，所以等号不能取).∴ f(x)-f(x -1)< f(x -1) -f(x -2)，递推得f(x -1)-f(x -2)< f(x -2) -f(x -3)， 从而有f(x)-f(x -1)< f(x -2) -f(x -3)，故x t -(x -1)t <(x -2)t -(x -3)t .(2)当t>1时，f ′′(x )=t(t −1)x t−2>0，f(x)=x t 在(0，+∞)上是下凸函数， 类似(1)可证x t -(x -1)t >(x -2)t -(x -3)t .7.如图，引进α，β，γ和α′，β′，γ′，由正弦定理，PB sinα=PA sinβ′，PC sinβ=PB sinγ′，PC sinα′=PAsinγ， ∴ sinαsinβsinγ= sinα′sinβ′sinγ′.设 f(x)=lnsinx ，则f ′(x )=cosx sinx ，f ′′(x )=−1sin 2x <0，∴ f(x)在(0，π)上是上凸函数∵ ln(sinαsinβsinγ)2=ln(sinαsinβsinγsinα′sinβ′sinγ′)=ln sinα+lnsinβ+lnsinγ+lnsinα′+lnsinβ′+lnsinγ′ ≤6lnsinα+β+γ+α′+γ′6=6ln 12=ln (12)6，∴ sinαsinβsinγ≤(12)3，于是sinα，sinβ，sinγ中必有一个不大于12，不妨设sinα≤12，当α≤300时命题成立；2x x ≠-11当α≥1500时，必有β′≤300，命题也成立.8.由0<x i <π(i=1，2，⋯，n)，得x=x 1+x 2+⋯+x n n ∈(0，π)，∴ |sinx x |=sinx x .设f(x)=ln sinx x ，x ∈(0，π)，则f(x)=lnsinx -lnx ，f′′(x )=sin 2x−x 2x 2sin 2x <0， 可得y=f(x)在(0，π)时上是上凸函数，∴ f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x n )n ≤f(x 1+x 2+⋯+x n n )， 即f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x n )≤n f(x)，∴∏sinx ix i ≤|sinx x|n n i=1. 想一想④：1.∵ 1<m<n ，n m >1 .由贝努利不等式(1+m )n m >1+n m ×m =1+n ，∴ (1+m)n >(1+n)m . 2由t n =[1+(1-t)]n ，利用贝努利不等式即可证. 习题 (4)1.∵ a n =λn (a λ)n ，由贝努利不等式可得，a n =λn (a λ)n =λn [1+(a λ)-1]n ≥λn [1+n(a λ−1]=n aλn -1-(n -1) λn . 2.由 a nb n−1=b(a b )n =b[1+(a b −1)]n ，再利用贝努利不等式可得. 3.∵ (2a a+b )a b +1= [1+(2a a+b −1)]a b +1>1+(a b +1) (2a a+b −1)= a b ， ∴ (2a a+b )a >(a b )ab a+b ①. 同理可得： (2b a+b )b >(b a )ab a+b ②.由①②可得， (2a a+b )a (2b a+b )b >1，∴ 原不等式成立. 4.由想一想④第2题的结论得(√33sinα)3≥3(√33sinα−1)+1，即 2sin 3α≥√3sin 2α−√39， 同理2sin 3β≥√3sin 2β−√39，2sin 3γ≥√3sin 2γ−√39，三式相加得， 2(sin 3α+ sin 3β+sin 3γ) ≥√3(√3sin 2α+√3sin 2β+ sin 2γ) −√39×3=2√33 ∴ 原不等式成立.。
4个重要不等式
4个重要不等式
在数学中，不等式是一个重要的概念，它描述了数值的大小关系。
不等式在解决实际问题和证明数学定理时都发挥着重要的作用。
今天我将向大家介绍四个重要的不等式。
首先是“算术平均数-几何平均数不等式”，也被称为AM-GM不等式。
这个不等式告诉我们，对于任意一组非负实数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数。
这个不等式在解决各种优化问题、证明不等式以及概率论中都有着广泛的应用。
接下来是“柯西-施瓦茨不等式”，它描述了内积空间中两个向量之间的关系。
柯西-施瓦茨不等式告诉我们，对于任意两个向量a和b，它们的内积的绝对值不大于它们的模的乘积。
这个不等式在线性代数、概率论、信号处理等领域中都有着广泛的应用。
第三个不等式是“三角不等式”。
三角不等式告诉我们，对于任意两个实数a和b，它们的绝对值之和不小于它们的差的绝对值。
这
个不等式在几何学、函数分析以及各种优化问题的求解中都有着重要的作用。
最后一个不等式是“切比雪夫不等式”，它描述了一组随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。
切比雪夫不等式告诉我们，对于任意一个非负随机变量，其概率落在它的期望值加减标准差的k倍范围内的概率至少为1-1/k^2。
这个不等式在概率论、统计学以及各种实际问题中都有着广泛的应用。
这四个不等式都是数学中非常重要的工具，它们在解决实际问题、证明数学定理以及推导其他重要不等式时发挥着重要的作用。
掌握这些不等式，不仅可以帮助我们更好地理解数学，还可以应用到各种学科和领域中。
因此，我们应该认真学习和掌握这些重要的不等式，以提升我们的数学水平和解决问题的能力。
高数里常用不等式
高数里常用不等式高等数学中常用的不等式有很多，它们在数学推导和证明中起着重要的作用。
在本文中，我们将介绍几个常见的不等式，并简要解释它们的应用。
一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是高等数学中最常用的不等式之一。
它可以用于证明两个向量的内积的绝对值不大于这两个向量的模的乘积。
具体地说，对于任意的实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，都有：|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)柯西-施瓦茨不等式在向量计算、概率论、信号处理等领域都有广泛的应用。
例如，在信号处理中，可以利用柯西-施瓦茨不等式来证明信号的相关性和功率谱密度之间的关系。
二、三角函数的不等式在高等数学中，我们经常会遇到三角函数的不等式。
其中，最常见的是正弦函数和余弦函数的不等式。
对于任意的实数x，都有以下不等式成立：-1 ≤ sin(x) ≤ 1-1 ≤ cos(x) ≤ 1这些不等式在解析几何、微积分和物理学等领域经常被使用。
例如，在解析几何中，我们可以利用正弦函数和余弦函数的不等式来证明三角形的性质。
三、均值不等式均值不等式是数学分析中常用的一类不等式，它们可以用于证明一组数的平均值与它们的其他性质之间的关系。
常见的均值不等式有算术平均-几何平均不等式、几何平均-调和平均不等式和算术平均-调和平均不等式等。
以算术平均-几何平均不等式为例，对于任意的正数a1、a2、...、an，都有：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1a2...an)这个不等式在数列极限、数论和凸函数等领域都有广泛的应用。
例如，在数列极限中，我们可以利用算术平均-几何平均不等式来证明某些数列的收敛性。
四、泰勒不等式泰勒不等式是高等数学中与泰勒级数相关的一个不等式。
它可以用于估计函数在某个点附近的误差。
几个重要不等式及其应用
几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。
1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a 是非负实数，则12nn a a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。
等号成立当且仅当nb b b === 213．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。
（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。
三个重要不等式及应用
i 1
n
1 xi 1 xi
i 1
i 1
1 xi
n
由柯西不等式，有：
i 1
1 x i ( 1 xi 1)
n
n
(1 xi ) 1
i 1 i 1
i 1 n
n
n 1 n
i 1
xi ( xi 1) xi 1 n
三个重要不等式及应用
目的要求：掌握排序不等式，平均不等式，柯 西不等式及其应用 重点：三个不等式的应用 难点：排序不等式的证明及综合应用
1 排序不等式 设有两组数 a1 , a2 ,
a1 a2
, an ; b1 , b2 , an , b1 b2 bn ，
anbn
a1 , a2 , , an 的某个排列，证明：
a1 a2 b1 b2
an n bn
证明 不妨设 b1 b2
bn ，则 1 1
b1 b2
1 an bn 1 bn bn
由排序不等式(乱序 逆序)得，
1 1 a1 a2 b1 b2 1 1 b1 b2 b1 b2 n
i 1 2 i i 1 2 i i 1
n
n
n
1 2 1 2 1 2 (n2 1) 2 求证 ： (a1 ) (a2 ) ... (an ) a1 a2 an n
1 2 (1 ak ) k 1 k 1 a k
n n
(1 n 2 ) 2 n 1 2 1 2 2 (ak ) (1 n ) k 1 ak n
经典不等式
经典不等式不等式是数学中的一个重要概念，它用来描述两个或多个量之间的关系。
经典不等式是指一些在数学中经常出现的不等式，它们有些是基本的，有些则比较复杂。
以下是一些经典不等式的介绍：1.均值不等式（均值不等式，或者AM-GM不等式）：这个不等式表明，对于两个正数a和b，它们的算术平均数(a+b)/2总不小于它们的几何平均数(ab)^(1/2)。
这个不等式在很多场合都非常有用，比如在证明一些几何和物理的问题时。
2.柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：这个不等式是关于向量和向量的点积的一个重要结果。
它表明，对于任何两个向量x和y，它们的点积的模总是小于或等于它们的模的乘积。
这个不等式的用途广泛，特别是在物理和工程领域。
3.三角不等式（Triangle Inequality）：三角不等式是用来描述三角形的边长的关系的。
它表明，对于任何三角形ABC的边a、b和c，总是有a+b>c和a-b<c。
这个不等式在几何学和解析几何学中都有重要应用。
4.排序不等式（Sorting Inequality）：排序不等式也被称为荷兰国旗定理，它描述的是三个不同数值的排序问题。
具体来说，对于任何三个不同的实数a、b和c，总有a+b>c和a+c>b+c。
这个不等式在算法设计和优化问题中非常有用。
5.贝塞尔不等式（Bessel Inequality）：贝塞尔不等式是用来描述正交多项式的的一个重要结果。
它表明，对于任何正整数n和任何实数x，总有(x^2-1)^n>=0。
这个不等式在正交多项式和特殊函数的研究中非常重要。
6.切比雪夫不等式（Chebyshev Inequality）：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要结果，它给出了一个随机变量的取值范围的概率不小于某个值的下界。
具体来说，对于任何实数x和正数k，一个随机变量X满足|X-E[X]|=p<=k的概率不小于1-1/k^2。
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几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。
1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a 是非负实数，则122.nn n a a a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.nnni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥n i ini i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a1211。
等号成立当且仅当n b b b === 213．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn+++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。
（用归纳法证明） 二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。
1. 幂均值不等式设0>>βα，),,2,1(n i R a i =∈+，则βββββαααααM n a a a n a a a M nn=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=121121 。
证：作变量代换，令i i x a =β，则β1i i x a =，则βαβαβαβαβα⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⇔≥n x x x x x x n M M n n21211① 0>>βα ，1>∴βα，又函数)1()(>=p x x f p 是()+∞,0上的凸函数，由Jensen 不等式知①式成立。
2.（切比雪夫不等式）设两个实数组n n b b b a a a ≤≤≤≤≤≤ 2121,，则()()n n ni in i i n n n b a b a b a nnbna b a b a b a n+++≤⋅≤+++∑∑==- 221111112111等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。
证：由排序不等式有：n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 221122111121， n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++- 2211132211121，……………………………………………………………………………n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a +++≤+++≤+++-- 221111211121以上n 个等式相加即得。
3. 一个基础关系式y x y x )1(1αααα-+≤-，其中]1,0[,0,∈>αy x证：若x,y 中有一个为0，则显然成立。
设x,y 均不为零，则原不等式ααα-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔1y x y x ，令t y x =，则上式)1(ααα-+≤⇔t t ，记αααt t t f --+=)1()(，则1)(--='αααt t f ，因此，当1>t 时，0)(>'t f ，当10≤<t 时，0)(<'t f ，且0)1(='f ，所以)(t f 得极小值为0)1(=f ,故0)1(≥--+αααt t ，即y x y x )1(1αααα-+≤-.4. Holder 不等式设1,),,2,1(0,≥=≥q p n k b a k k 且111=+qp ，则qnk q k pnk p k nk k k b a b a 11111⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛≤∑∑∑===等号成立当且仅当存在R t ∈使得),,2,1(n k tb a q k p k ==。
证: 在上面基础关系式中，取,,,1q k p k B y A x p ===α有q k p k k k B qA pB A 11+≤……① ① 式两边对k 求和，得：∑∑∑===+≤n k qk n k p k nk k k B q A p B A 11111,令qn k q k k k pn k p k k k b b B a a A 1111,⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==,代入上式即证。
5. 一个有用的结论设+∈R b a i i ,，则∏∏∏===+≥+ni n ini n ini ni i b a b a 111111)(，推广得设),,2,1,,,2,1(,n j n i R a ij ==∈+，则∑∏∏∑====≥n j nni ij n i nnj ij a a 111111)()(.证：原不等式1)(11121≤+++⇔∑∏==nn j ni ini i ija a a a ,而)(1)(1211121∑∏==+++≤++ni ini i ij nni in i i ija a a a n a a a a∑∑∑∏====+++≤+++∴n j ni in i i ij nnj ni ini i ija a a a n a a a a 112111121)(1)( 1111)(111121=⋅==+++=∑∑∑===n nn a a a a n n i n i n j in i i ij ,它可把含根式的积性不等式化为和式。
三、如何运用几个重要不等式例1 设+∈R c b a ,,且1=abc ，求证：333222c b a c b a ++≤++。
证：由柯西不等式有2222333)())((c b a c b a c b a ++≥++++…① 而≥++++=++))(111()(3222222222c b a c b a ≥++2)(c b a 33)(abc c b a ⋅++)(3c b a ++≥，即c b a c b a ++≥++222…②由①②有：≥++++))((333c b a c b a ))((222c b a c b a ++++,∴333222c b a c b a ++≤++方法二：由幂均值不等式有：=++≥++23222333)3(3c b a c b a )3(3222c b a ++21222)3(c b a ++ 22221322222233)(c b a c b a c b a ++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++≥。
方法三：由切比雪夫不等式和AM-GM 不等式有：不妨设c b a ≤≤，则≥++++≥++3))((222333c b a c b a c b a 222322233)(c b a abcc b a ++=⋅++ 例2 设1),,,2,1(,01==>∑=ni i i x n i x ，求证：1111-≥-∑∑==n x x x ni ini ii证：左边=∑∑∑∑====---≥---ni i ni ini ni i i x x n x x 11211111112112111212112))1(()1())1(()1(∑∑∑∑====---≥ni i ni ni i ni x x n11)11(1)1()1(1222-≥-++⋅=-=---=∑∑=n x n x n n n n n n n ni ii 。
评注：通过此例注意体会如何运用柯西不等式分离或合成变量。
例3 设1,,,,=∈+abcd R d c b a ，求证：∑≥+2)1(1b a 证：设),,,(,,,,+∈====R w z y x xwd w z c zy b yxa ，则原不等式 ∑∑∑≥+⇔≥+⇔≥+⇔21112)(2)1(1zy xz y x yzz y y x ，由Cauchy 不等式有：212121212121)11(1)1(11122=+≥+=+≥+∑∑∑∑∑∑∑∑∑xyxyxy xy xy x z y x x zy x，故原不等式成立。
评注：本题通过换元，把原不等式齐次化，再用柯西不等式。
例 4 设n 是正整数，且n k a k ,,2,1,0 =>，11=∑=nk ka，求证：n nk kn a n )22()12(1-≥+-∏= 证：原不等式22)12(11-≥+-⇔∏=n a n nk n k ，由“二，结论5” 有nk nk n nk n k a n n n n a n 11111)11212()12(+--+--≥+-⇔∏∏=-=个n nn n n n n a a a n a a a n n n n 21212121)12()12(+-=+--++--≥，又n n ni i a a a n a 211≥∑=，n ana a a ni in n=≥∴∑=1211，故n n nk kn n n a n )22()2()12(1-≥+-≥+-∏=。
评注：本例第一步放缩也可用Holder 不等式的推广。
例5 设,...,21a a 是一个无穷项的实数列，对于所有正整数i 存在一个实数c ，使得c a i ≤≤0 且ji a a j i +≥-1对所有正整数)(,j i j i ≠成立，证明：.1≥c 证： 对于2≥n ，设(1),(2),...,()n ρρρ为n ,...2,1的一个排列且满足：(1)(2)()0...n a a a c ρρρ≤<<<≤.∴()(1)()(1)()n n n c a a a a ρρρρ-≥-=-+(1)(2)()n n a a ρρ---+(2)(1)...()a a ρρ+-1()(1)n n ρρ≥++-1(1)(2)n n ρρ+-+-1...(2)(1)ρρ++…① 21(1)2()(1)()ni n i n ρρρ=-≥--∑（柯西不等式）∴2(1)(1)(1)()n c n n n ρρ-≥+--22(1)3n n n -≥+-34131+-=+-≥n n n .故.1≥c 评注：这里把i a 有序化后，①的变形是关键。