湖南省-2003年-高考数学真题(理科数学)(附答案)-历年历届试题

2003年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)

-同湖南

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的. 1．已知==

-∈x tg x x 2,54

cos ),0,2

(则π

（ ）

A ．

24

7 B ．24

7-

C ．7

24

D ．7

24- 2．圆锥曲线的准线方程是θ

θ

ρ2

cos sin 8=

（ ）

A ．2cos -=θρ

B ．2cos =θρ

C ．2sin -=θρ

D ．2sin =θρ

3．设函数的取值范围是则若0021

,1)(,.

0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪

⎨⎧>≤-=- （ ）

A ．（－1，1）

B ．（－1，+∞）

C ．),0()2,(+∞⋃--∞

D ．),1()1,(+∞⋃--∞

4．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值为 （ ）

A ．21+

B ．12-

C ．2

D ．2

5．已知圆截得被当直线及直线C l y x l a x a x C .03:)0(4)2()(:2

2

=+->=-+-的弦

长为32时，则a =

A ．2

B ．22-

C ．12-

D ．12+

6．已知圆锥的底面半径为R ，高为3R ，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）

A ．2

2R π

B ．2

4

9

R π

C ．2

3

8R π

D ．2

2

3r π

7．已知方程0)2)(2(2

2

=+-+-n x x m x x 的四个根组成的一个首项为

4

1

的等差数列，则=-||n m （ ）

A ．1

B ．

4

3 C ．

2

1 D ．

8

3 8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为与其相交于直线1),0,7(-=x y F M 、N 两点，

MN 中点的横坐标为,3

2

-

则此双曲线的方程是 （ ）

A ．14

32

2=-y x B ．1342

2=-y x C ．12

52

2=-y x

D ．15

22

2=-y x 9．函数=∈=-)(]23,

2[,sin )(1x f x x x f 的反函数π

π

（ ）

A ．]1,1[,arcsin -∈-x x

B ．]1,1[,arcsin -∈--x x π

C ．]1,1[,arcsin -∈+-x x π

D ．]1,1[,arcsin -∈-x x π

10．已知长方形的四个项点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB

的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB

上的点P 2、P 3和P 4（入射解等于反射角），设P 4坐标为（θtg ,2x 1),0,44则若<

（ ）

A ．)1,31

(

B ．)3

2,31(

C ．)2

1,52(

D ．)3

2,52(

11．=++++++++∞→)(lim 11413122242322n

n

n C C C C n C C C C ΛΛ

（ ）

A ．3

B ．

3

1

C ．

6

1 D ．6

12．一个四面体的所有棱长都为2，四个项点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A ．3π

B ．4π

C ．3π3

D ．6π

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上. 13．9

2

)21(x

x -

展开式中9x 的系数是 . 14．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .

15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区 域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共 有 种.（以数字作答）

16．下列五个正方体图形中，l 是正方体的一条对角线，点M 、N 、P 分别为具所在棱的中

点，能得出l ⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.

已知复数z 的辐角为60°，且|1|-z 是||z 和|2|-z 的等比中项. 求||z .

18．(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G. （Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离. 19．（本小题满分12分）

已知.0>c 设

P ：函数x

c y =在R 上单调递减.

Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围. 20．（本小题满分12分）

在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南

)10

2arccos

(=θθ方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动. 台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？