相似三角形常见模型(总结)

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1、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FC FB FD ⋅=2

．

2、已知：AD 是Rt △ABC 中∠A 的平分线，∠C=90°，EF 是AD 的垂直平分线交AD 于M ，EF 、BC 的延长线交于一点N 。

求证：(1)△AME ∽△NMD; (2)ND 2

=NC ·NB

3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 上一点，

CF ⊥BE 于F 。

求证：EB ·DF=AE ·DB

4.在∆ABC 中，AB=AC ，高AD 与BE 交于H ，EF BC ⊥，垂足为F ，延长AD 到G ，使DG=EF ，M 是AH 的中点。求证：∠=︒GBM 90

5．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）、（3）小题满分各5分）

已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设

A 、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ．

A C

D

E

B

P

G

M

F E

H

D

C

B

A

D （1）求证：A

E =2PE ；

（2）求y 关于

x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP 与△ABC 相似时，求△BEP 的面积．

双垂型

1、如图，在△ABC 中，∠A=60°，BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高

求证：（1）△ABD ∽△ACE ；（2）△ADE ∽△ABC ；(3)BC=2ED

2、如图，已知锐角△ABC ，AD 、CE 分别是BC 、AB 边上的高，△ABC 和△BDE DE=62，求：点B 到直线AC 的距离。

C

共享型相似三角形

1、△ABC 是等边三角形,D 、B 、C 、E 在一条直线上,∠DAE=︒120，已知BD=1，CE=3，,求等边三角形的边长.

2、已知：如图，在Rt △ABC 中，AB =AC ，∠DAE =45°．

求证：（1）△ABE ∽△ACD ；（2）CD BE BC ⋅=22．

一线三等角型相似三角形

例1：如图，等边△ABC 中，边长为6，D 是BC 上动点，∠EDF =60（1）求证：△BDE ∽△CFD （2）当BD =1，FC =3时，求BE

例2：（1）在ABC ∆中，5==AC AB ，8=BC ，点P 、Q 线

CB 、AC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持ABC APQ ∠=∠.

①若点P 在线段CB 上（如图），且6=BP ，求线段CQ 的长；

②若x BP =，y CQ =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（2）正方形

ABCD 的边

长为5（如下图），点P 、Q 分别在直．

线．CB 、DC 上（点P 不与点C 、点B 重合），且保持︒=∠90APQ .当1=CQ 时，求出线段BP 的长.

知在梯形ABCD 中，AD ∥

例3：已

BC ，

AD ＜BC ，且AD ＝5，AB ＝DC ＝2．

（1）如图8，P 为AD 上的一点，满

BPC ＝∠A ．

足

∠求证；△ABP ∽△DPC

①

②求AP 的长．

（2）如果点P 在AD 边上移动（点P 与点A 、D 不重合），且满足∠BPE ＝∠A ，PE 交直线BC 于点E ，同时交直线DC 于点Q ，那么

①当点Q 在线段DC 的延长线上时，设AP ＝x ，CQ ＝y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域；

②当CE ＝1时，写出AP 的长．

C

B

A

D

C

B

A D

例4：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，6AB CD BC ===，3AD =．点M 为边BC 的中点，以M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交腰AB 于点E ，射线MF 交腰CD 于点F ，联结EF ．（1）求证：△MEF ∽△BEM ；

（2）若△BEM 是以BM 为腰的等腰三角形，求EF 的长；（3）若EF CD ⊥，求BE 的长．