导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

合集下载

导数概念及练习题

2. 求双曲线
y 1在点 x
1 2
,
2
处的切线的斜率，并写出曲
线在该点处的切线方程和法线方程。
解根据导数的几何意义，所求切线的斜率为
k1
y
x1 2
1 x2
x1 4 2
所以，所求切线方程为 y 2 4(x 1) 即 4x y 4 0 2
所求法线的斜率为
k2
1 k1
1 4
所求法线方程为 y 2 1 (x 1) 即 2x 8y 15 0 42
思考题解答
由导数的定义知， f ( x0 )是一个具体的数值， f ( x)是由于 f ( x) 在某区间I 上每一点都可导而定义在I 上的一个新函数，即 x I ，有唯一值 f ( x) 与之对应，所以两
者的区别是：一个是数值，另一个是函数．两
者的联系是：在某点x0 处的导数 f ( x0 )即是导函数 f ( x)在x0 处的函数值．
此时对x D,有唯一的f (x)与之对应,从而形成了函数关系,
称此函数为f (x)在D上的导函数,简称为导数,记作
f (x), y, df (x) , dy
dx
dx
根据导数定义有
f (x) lim f (x x) f (x) lim f (x h) f (x)
x0
x
h0
h
f (x0 ) f (x) xx0
f (x0 ) x0
0
当x x0时,有f (x) f (x0 ) 0,即f (x) f (x0 )
当x x0时,有f (x) f (x0 ) 0,即f (x) f (x0 )
导数的概念练习题
1. 已知
f
(x)
sin

导数的概念及运算【题集】-讲义(教师版)

导数的概念及运算【题集】1. 函数的平均变化率A. B. C. D.1.如图，函数在，两点间的平均变化率是（）．【答案】B 【解析】由图可知，，所以，所以函数在，两点间的平均变化率是．故选B ．【标注】【知识点】求平均变化率（1）（2）2.求下列函数在区间和上的平均变化率．．．【答案】（1）（2）在区间和上的平均变化率均为．在区间上的平均变化率，在区间上的平均变化率．【解析】（1）（2）在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．在区间上的平均变化率为，在区间上的平均变化率为．【标注】【知识点】函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率【素养】数学运算A.B.C.D.3.在函数的图象上取一点及邻近一点，则等于（）．【答案】C【解析】，．【标注】【知识点】求平均变化率A. B. C. D.4.函数的图象如图，则函数在下列区间上平均变化率最大的是（）．【答案】C【解析】函数在区间上的平均变化率为，由函数图象可得，在区间上，，即函数在区间上的平均变化率小于；在区间、、上时，且相同，由图象可知函数在区间上的最大，所以函数在区间上的平均变化率最大．故选：．【标注】【知识点】求平均变化率2. 瞬时变化率与导数（1）（2）5.利用导数的定义求下列函数的导数．．．【答案】（1）（2）．．【解析】（1）（2）．从而，当时，，∴．∵∴，∴当时，，∴．【标注】【知识点】导数的定义A.B.C.D.6.若，则（）．【答案】D 【解析】．故选：．【标注】【知识点】导数的定义A. B. C. D.7.设是可导函数，且，则（）．【答案】C【解析】，故选 C．【标注】【知识点】导数的定义；导数的几何意义的实际应用；函数的极限A. B.C. D.8.若函数在区间内可导，且，则的值为（）．【答案】C【解析】因为在可导，所以，．【标注】【知识点】导数的定义；函数的平均变化率、瞬时速度与瞬时变化率3. 基本初等函数的导数A.B.C.D.9.下列求导数运算正确的是（）．【答案】C【解析】根据导数的四则运算以及基本初等函数运算法则，故有选项，故错误．选项，故错误．选项，故正确．选项，故错误．故选．【标注】【素养】数学运算【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.10.下列导数运算错误的是（）．【答案】C 【解析】选项：．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导11.如果函数，那么．【答案】【解析】由题意可知，∴，，∴．故答案为：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导；计算任意角的三角函数值A. B.C.D.12.已知，则的值为（）．【答案】A 【解析】，【标注】【知识点】复合函数的求导法则4.导数的四则运算13.函数的导数是．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A.B.C.D.14.函数在处的导数等于（）．【答案】A 【解析】∵，∴．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导15.的导数．【答案】【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导（1）16.求下列函数的导数：．（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）．．．．先使用三角公式进行化简．∴．【标注】【素养】数学运算A. B. C. D.17.已知函数的导数为，且满足，则（）．【答案】C【解析】由函数，∴，∴当时，则有，解得．故选：．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.18.已知，则（）．【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B.C. D.19.已知函数的导函数为且满足，则（）．【答案】B【解析】，．故选．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导A. B. C. D.20.已知函数的导函数为，且满足，则（）．【答案】B 【解析】，令，即，解得．【标注】【知识点】利用公式和四则运算法则求导5. 复合函数求导法则（1）（2）（3）（4）（5）（6）21.求下列函数的导数．．．．．．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）．．．．．．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）22.求下列函数的导数．．．．．．．．．（9）（10）．．【答案】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）．．．．．．．．．．【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）略．略．略．略．略．略．略．略．略．略．【标注】【知识点】复合函数的求导法则；利用公式和四则运算法则求导23.已知函数，且，则的值为．【答案】【解析】，．【标注】【知识点】复合函数的求导法则A.B.C. D.24.已知函数，是函数的导函数，则函数的部分图象是（）．【答案】D 【解析】因为，所以，可知为奇函数，故排除，；又因为，，排除选，故选．【标注】【知识点】函数图象的识别问题；根据奇偶性确定图象；利用公式和四则运算法则求导6. 导数的几何意义A. B.C.D.25.曲线在点处的切线的斜率为（）．【答案】B【解析】∵，∴，∴．故选．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B.C.D.26.设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为（）．【答案】B【标注】【知识点】导数的几何意义；导数的几何意义的实际应用（1）（2）（3）27.导数等于切线斜率．如图，直线是曲线在处的切线，则．如图，曲线在点处的切线方程是，．设是偶函数．若曲线在点处的切线的斜率为，则该曲线在点处的切线的斜率为．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）（3）直线的斜率为，所以．时，，∵的斜率为，故，∴．由偶函数的图象关于轴对称知，在对称点处的切线也关于轴对称，故所求切线的斜率为．也可由特殊函数得到此题答案．【标注】【知识点】导数的几何意义的实际应用；已知切线方程求参数；导数的几何意义；斜率计算28.若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是．【答案】【解析】函数的定义域为，函数的导数为，直线的斜率，∵曲线上点处的切线平行与直线，∴，即，解得，此时，故点的坐标是，故答案为：．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义29.曲线在点处的切线方程为．【答案】【解析】因为，所以，所以该切线方程为，即．故答案为：．【标注】【知识点】导数的几何意义A.B. C. D.30.曲线在点处的切线方程是（）．【答案】A【解析】，故，所以曲线在处的切线斜率为，切线方程为，化简整理得，故选．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程31.已知函数，求过点的切线方程．【答案】和．【解析】，因为点在曲线上．①若点为切点，则此时切线斜率为，则切线方程为，即；②若点不是切点，则设切点为，有，切线方程满足，（*）整理得，因为点满足方程（*），则是方程的一个根，即，即，所以或（舍，因为切点不为），即，，则此时切线的方程为，即，综上所述，过点的切线方程为和．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；求在某点处的切线方程；导数的几何意义A. B.C.或D.或32.过点的切线方程是( )．【答案】C【解析】设切点坐标为，，切线斜率，则，解得或，∴所求切线方程为或．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义（1）（2）33.已知曲线．求曲线在点处的切线方程．求曲线过点的切线方程．【答案】（1）（2）或【解析】方法一：方法二：（1）（2）∵，∴在点处的切线的斜率，∴曲线在点处的切线方程为，即．∵点在曲线上，且，∴在点处的切线的斜率为，∴曲线在点处的切线方程为，即．设曲线与过点的切线相切于点，则切线的斜率为，∴切线方程为，即，∵点在切线上，∴，即，∴，即，∴，解得或，故所求的切线方程为或．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；求过某点的切线方程34.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】方法一：方法二：设直线与曲线和曲线的切点分别为和．由导数的几何意义可得，即，由切点也在各自的曲线上，可得，解得，从而，则．由，得，由，得．设直线与曲线相切于点，则①，②，设直线与曲线相切于点，则③，④，由①得，代入②得，即⑤，由③得，代入④得，即⑥，⑤⑥得，，代入⑤得，故答案为．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义的实际应用；导数的几何意义35.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．【答案】【解析】设与曲线的切线，曲线的切点分别为，，∵，曲线，∴，，∴，①切线方程分别为，即为，或，即为，解得，②由①②解得，，可得：，则有，．故答案为：．【标注】【知识点】求过某点的切线方程；导数的几何意义。

高中数学《导数的概念及其运算》练习题

§3.1 导数的概念及运算1．下列求导运算正确的是( )A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．(2021·安徽江南十校联考)曲线f (x )＝1－2ln x x在点P (1，f (1))处的切线l 的方程为( ) A ．x ＋y －2＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．3x ＋y ＋2＝0 D ．3x ＋y －4＝03．(2020·广元模拟)已知函数f (x )＝14x 2＋cos x ，则其导函数f ′(x )的图象大致是( )4．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，则曲线在点P 处切线的倾斜角α的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C.⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 5.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2)6．(多选)已知函数f (x )及其导函数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －xC ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x7．已知函数y ＝f (x )的图象在x ＝2处的切线方程是y ＝3x ＋1，则f (2)＋f ′(2)＝ .8．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ . 9．我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝ln(1＋x )，则曲线y ＝f (x )在点(0,0)处的切线方程为________，用此结论计算ln 2 022－ln 2 021≈________.10．(2021·山东省实验中学四校联考)曲线y ＝x 2－ln x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离是．11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．12．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明曲线f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．13．(2020·青岛模拟)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x14．已知函数f (x )＝x ＋a 2x，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1,0)点的切线，则a 的取值范围是．15．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为． 16．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求在曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．§3.2 导数与函数的单调性课时精练1．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )A ．f (x )＝sin 2xB ．g (x )＝x 3－xC ．h (x )＝x e xD ．m (x )＝－x ＋ln x3．(2020·甘肃静宁一中模拟)已知函数f (x )＝x 2＋a x ，若函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，8)B ．(－∞，16]C ．(－∞，－8)∪(8，＋∞)D ．(－∞，－16]∪[16，＋∞)4．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x －2x ，a ＝f (－π)，b ＝f (2e )，c ＝f (ln 2)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．c >b >a5．(多选)若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x ＋1恰好有三个单调区间，则实数a 的取值可以是( )A ．－3B ．－1C ．0D ．26．(多选)若函数 g (x )＝e x f (x )(e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质．下列函数不具有M 性质的为( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝x 2＋1C ．f (x )＝sin xD ．f (x )＝x7．函数y ＝2ln x －3x 2的单调递增区间为________．8．若函数f (x )＝ln x ＋e x －sin x ，则不等式f (x －1)≤f (1)的解集为________．9．若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值范围是________． 10．(2020·济南质检)若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．11．函数f (x )＝(x 2＋ax ＋b )e －x ，若f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为6x －y －5＝0.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间．12．讨论函数f (x )＝(a －1)ln x ＋ax 2＋1的单调性．13．(多选)若0<x 1<x 2<1，则( )A ．x 1＋ln x 2>x 2＋ln x 1B ．x 1＋ln x 2<x 2＋ln x 1C ．1221e e x x x x >D ．1221e e x xx x < 14．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (1)＝1，f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2)<x 22＋12的解集为____________．15．已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝⎛⎭⎫ln 1x <2f (1)的解集为________． 16．已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎡⎦⎤f ′(x )＋m 2在区间(t ,3)上总不是单调函数，求实数m 的取值范围．§3.3 导数与函数的极值、最值课时精练1．函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝1或－1或0D ．x ＝02．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是( ) A.1e B.2e 2 C ．0 D.12e3．已知函数f (x )＝2ln x ＋ax 2－3x 在x ＝2处取得极小值，则f (x )的极大值为( )A ．2B ．－52C ．3＋ln 2D ．－2＋2ln 24．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A.23B.43C.83D.1635．(多选)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则以下命题错误的是( )A ．－3是函数y ＝f (x )的极值点B ．－1是函数y ＝f (x )的最小值点C ．y ＝f (x )在区间(－3,1)上单调递增D ．y ＝f (x )在x ＝0处切线的斜率小于零6．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f (x )＝x 2＋x －1e x，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )存在两个不同的零点B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e<k ≤0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝5e2，则t 的最小值为2 7．函数f (x )＝2x －ln x 的最小值为________．8．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有两个极值点，则实数c 的取值范围为______________．9．已知函数f (x )＝sin x －13x ，x ∈[0，π]，cos x 0＝13，x 0∈[0，π]． ①f (x )的最大值为f (x 0)； ②f (x )的最小值为f (x 0)；③f (x )在[0，x 0]上是减函数； ④f (x 0)为f (x )的极大值．那么上面命题中真命题的序号是________．10．已知不等式e x －1≥kx ＋ln x 对于任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则k 的最大值为________．11．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值； (2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．12．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数g (x )＝f (x )－a (x －1)，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间(0，e]上的最小值(其中e 为自然对数的底数)．13．已知函数f (x )＝x ＋2sin x ，x ∈[0,2π]，则f (x )的值域为( )A.⎣⎡⎦⎤4π3－3，2π3＋3 B.⎣⎡⎦⎤0，4π3－3 C.⎣⎡⎦⎤2π3＋3，2π D ．[0,2π]14．(2020·邢台模拟)若函数f (x )＝12x 2＋(a －1)x －a ln x 存在唯一的极值，且此极值不小于1，则实数a 的取值范围为________．15．已知函数f (x )＝x ln x ＋m e x (e 为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m 的取值范围是__________．16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f (x )＝2x 3－ax 2＋2.(1)讨论f (x )的单调性；(2)当0<a <3时，记f (x )在区间[0,1]的最大值为M ，最小值为m ，求M －m 的取值范围．高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题1．设函数f (x )＝ln x ＋a x(a 为常数)．(1)讨论函数f (x )的单调性； (2)不等式f (x )≥1在x ∈(0,1]上恒成立，求实数a 的取值范围．2．已知函数f (x )＝x ln x (x >0)．(1)求函数f (x )的极值；(2)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≤－x 2＋mx －32成立，求实数m 的最小值．3．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋1)x －ln x ，g (x )＝x 2＋x ＋2a ＋1.(1)若f (x )在(1，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)当x ∈[1，e]时，f (x )<g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．4．已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R )，g (x )＝12x 2＋e x －x e x . (1)当x ∈[1，e]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－2,0]，f (x 1)<g (x 2)成立，求a 的取值范围．5．(2020·衡水中学检测)设函数f (x )＝1－a 2x 2＋ax －ln x (a ∈R )． (1)当a ＝1时，求函数f (x )的极值；(2)若对任意a ∈(4,5)及任意x 1，x 2∈[1,2]，恒有a －12m ＋ln 2>|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．第2课时利用导函数研究函数的零点1．已知函数f(x)＝e x(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－3e x－m有两个零点，求实数m的取值范围．2．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2ln x.(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[1，e]上有两个不相等的解，求a的取值范围．3．已知函数f(x)＝e x＋ax－a(a∈R且a≠0)．(1)若函数f(x)在x＝0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2,1]上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围．4．(2020·潍坊检测)已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R.(1)证明：ln x≤x－1；(2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数．5．已知函数f(x)＝e x＋1－kx－2k(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当函数f(x)有两个零点x1，x2时，证明x1＋x2>－2.第3课时利用导数证明不等式1．(2021·莆田模拟)已知函数f(x)＝x e x－1－ax＋1，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线l的斜率为3e－2.(1)求a的值及切线l的方程；(2)证明：f(x)≥0.2．(2021·沧州七校联考)设a为实数，函数f(x)＝e x－2x＋2a，x∈R.(1)求f(x)的单调区间与极值；(2)求证：当a>ln 2－1且x>0时，e x>x2－2ax＋1.3．已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－e x＋2e x≤0.4．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)讨论函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性；(2)证明：e x －e 2ln x >0恒成立．5．(2018·全国Ⅰ)已知函数f (x )＝1x－x ＋a ln x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )存在两个极值点x 1，x 2，证明：f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<a －2.。

高等数学基础概念解读及例题演练-导数与积分

x
、‘，，f
在
x
处的
(A）左、右导数都存在 (C）左导数不存在、右导数存在
(B）左导数存在、右导数不存在 (D）左、右导数都不存在
［答案］ B
2.导数的几何意义
）（））） y =f(x
’
在Xo处的导数／
x。）就是曲线 y = f(x
在点（布， f(xo
的切线斜率k，则：
L二．（（切线方程是y-f 与1J =f＇与）（x一与）
f｝忡忡忡）
n
可 si十巾子），
忡忡忡）］伊） =anc十仙子）；
[ln(ax+b)](n)
={-If-
,,
a
(n-1)!
（αx+b)"
机）
（�）
=(-If an
(ax+nb!）川
·
［例6］设y=(l+sinxY，则dy= _
［答案J -mix
e lr-0 ＝［例7］设叫树脚＋川确定则主＝二
5.隐函数求导法
）设y=y(x 由方程 F(x扑＝ 0确定，为求y’ ，可在方程 F(x,y)=O 两端直接对X求导，
解出y
’ ．
6.参数方程求导法
7.高阶导数
，（叫 (u 士νt) =u(n) ±v(n)
n) =ku("),(uv
k=O
注z
几个常用函数的高阶导数
） γ (eax+b 伊＞＝a
＋b ;
（（法线方程是 y-f(x。）＝二� f’ x。一） x-x0 )
(f’ （与）=t:O).
y x ［例 3] (2010数二）曲线 = 2 与曲线 y = a In x （α:;c O）相叨，则 a ＝一一－－

高中数学高考总复习导数的概念及运算习题及详解

高中数学高考总复习导数的概念及运算习题及详解一、选择题1．(文)2010·瑞安中学)函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋Δx 2[答案] C[解析] Δy Δx ＝[(1＋Δx )2＋1]－(12＋1)Δx＝Δx ＋2.(理)二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且它的导函数y ＝f ′(x )的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y ＝f (x )的图象的顶点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] C[解析] 由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a >0，b >0，则f (x )＝a (x ＋b 2a )2－b 24a ，顶点(－b 2a ，－b 24a )在第三象限，故选C.2．(2010·江西文，4)若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0[答案] B[解析] f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )，f ′(1)＝4a ＋2b ，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2要善于观察，故选B.[点评] 由f ′(x )＝4ax 3＋2bx 知，f ′(x )为奇函数， ∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．(2010·金华十校)曲线y ＝x 3上一点B 处的切线l 交x 轴于点A ，△OAB (O 是原点)是以A 为顶点的等腰三角形，则切线l 的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 解法一：设B (x 0，x 03)，则k OB ＝tan ∠AOB ＝x 02，∵AB ＝AO ，∴∠BAx ＝2∠BOA ，曲线y ＝x 3在B 处切线斜率k AB ＝3x 02＝tan ∠BAx ＝tan2∠BOA ＝2x 021－x 04，∴x 02＝33，∴k AB ＝3，∴切线l 倾斜角为60°. 解法二：设B (x 0，x 03)，由于y ′＝3x 2，故曲线l 的方程为y －x 03＝3x 02(x －x 0)，令y ＝0得点A ⎝⎛⎭⎫2x 03，0，由|OA |＝|AB |得⎝⎛⎭⎫2x 032＝⎝⎛⎭⎫x 0－2x 032＋(x 03－0)2，当x 0＝0时，题目中的三角形不存在，故得x 04＝13，故x 02＝33，直线l 的斜率k ＝3x 02＝3，故直线l 的倾斜角为60°.4．已知f (x )＝log a x (a >1)的导函数是f ′(x )，记A ＝f ′(a )，B ＝f (a ＋1)－f (a )，C ＝f ′(a ＋1)，则( )A ．A >B >C B ．A >C >B C ．B >A >CD ．C >B >A[答案] A[解析] 记M (a ，f (a ))，N (a ＋1，f (a ＋1))，则由于B ＝f (a ＋1)－f (a )＝f (a ＋1)－f (a )(a ＋1)－a ，表示直线MN 的斜率，A ＝f ′(a )表示函数f (x )＝log a x 在点M 处的切线斜率；C ＝f ′(a ＋1)表示函数f (x )＝log a x 在点N 处的切线斜率．所以，A >B >C .5．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6－1(ω>0)的导函数f ′(x )的最大值为3，则f (x )图象的一条对称轴方程是( )A ．x ＝π9B ．x ＝π6C ．x ＝π3D ．x ＝π2[答案] A[解析] f ′(x )＝ωcos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的最大值为3，即ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6－1. 由3x ＋π6＝π2＋k π得，x ＝π9＋k π3 (k ∈Z )．故A 正确．6．(文)(2010·深圳市九校)下图是函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象，则下面判断正确的是( )A ．在区间(－2,1)上f (x )是增函数B ．在区间(1,3)上f (x )是减函数C ．在区间(4,5)上f (x )是增函数D ．当x ＝4时，f (x )取极大值 [答案] C[解析] 由图象可知，在区间(4,5)上，f ′(x )>0， ∴f (x )在(4,5)上是增函数，故选C.(理)(2010·厦门三中，2011·吉林省实验中学模拟)如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (5，f (5))处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )A.12B ．1C ．2D ．0[答案] C[解析] 由条件知f ′(5)＝－1，又在点P 处切线方程为y －f (5)＝－(x －5)，∴y ＝－x ＋5＋f (5)，即y ＝－x ＋8，∴5＋f (5)＝8，∴f (5)＝3，∴f (5)＋f ′(5)＝2.7．(文)(2010·广东汕头一中)函数f (x )＝e 2x 的图象上的点到直线2x －y －4＝0的距离的最小值是( )A. 3B. 5C.322D.355[答案] B[解析] 设l 为与直线2x －y －4＝0平行的函数f (x )＝e 2x 的图象的切线，切点为(x 0，y 0)，则k l ＝f ′(x 0)＝2e 2x 0＝2，∴x 0＝0，y 0＝1，∴切点(0,1)到直线2x －y －4＝0的距离d ＝55＝5即为所求．(理)(2010·海南五校联考)点P 是曲线x 2－y －2ln x ＝0上任意一点，则点P 到直线4x ＋4y ＋1＝0的最小距离是( )A.22(1－ln2) B.22(1＋ln2) C.22(12＋ln2)D.12(1＋ln2)[答案] B[解析] 将直线4x ＋4y ＋1＝0作平移后得直线l ：4x ＋4y ＋b ＝0，直线l 与曲线切于点P (x 0，y 0)，由x 2－y －2ln x ＝0得y ′＝2x －1x ，∴直线l 的斜率k ＝2x 0－1x 0＝－1⇒x 0＝12或x 0＝－1(舍去)，∴P (12，14＋ln2)，所求的最小距离即为点P (12，14＋ln2)到直线4x ＋4y ＋1＝0的距离：d ＝|2＋(1＋4ln2)＋1|42＝22(1＋ln2)．8．(文)(2010·广东检测)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a <－1 B ．a >－1 C ．a >－1eD ．a <－1e[答案] A[解析] 由y ′＝(e x ＋ax )′＝e x ＋a ＝0得，e x ＝－a ，即x ＝ln(－a )>0⇒－a >1⇒a <－1.(理)若函数f (x )＝x 3－3bx ＋b 在区间(0,1)内有极小值，则b 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1) C ．(1，＋∞)D ．(－1,0)[答案] B[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－3b .令f ′(x )＝0，得x ＝±b ，易知f (x )在(－∞，－b )和(b ，＋∞)上单调增，在(－b ，b )上单调减，因此函数f (x )在区间(0,1)内有极小值即b ∈(0,1)，所以b ∈(0,1)．[点评] 函数和导数的复合问题能有效实现函数性质与导函数结构之间的相互转化，导函数在分析函数的单调性及单调区间、极值和最值方面有较强的优势；同时导数也可以在解释函数性质的基础上，解决诸如不等式的恒成立问题、实际问题的最优解问题、函数零点的判定问题等等；因此，导数与函数性质的结合始终是高考命题的重点．9．(文)(2010·黑龙江省哈三中)已知y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，当y ′＝2时，x 等于( ) A.π3 B.23π C.π4D.π6[答案] C[解析] y ′＝(tan x )′＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x ＝2，∴cos 2x ＝12，∴cos x ＝±22， ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴x ＝π4. (理)(2010·东北师大附中模拟)定义方程f (x )＝f ′(x )的实数根x 0叫做函数f (x )的“新驻点”，若函数g (x )＝x ，h (x )＝ln(x ＋1)，φ(x )＝x 3－1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为( )A ．α>β>γB ．β>α>γC ．γ>α>βD ．β>γ>α[答案] C[解析] 由g (x )＝g ′(x )得，x ＝1，∴α＝1，由h (x )＝h ′(x )得，ln(x ＋1)＝1x ＋1，故知1<x ＋1<2，∴0<x <1，即0<β<1，由φ(x )＝φ′(x )得，x 3－1＝3x 2，∴x 2(x －3)＝1， ∴x >3，故γ>3，∴γ>α>β. [点评] 对于ln(x ＋1)＝1x ＋1，假如0<x ＋1<1，则ln(x ＋1)<0，1x ＋1>1矛盾；假如x ＋1≥2，则1x ＋1≤12，即ln(x ＋1)≤12，∴x ＋1≤e ，∴x ≤e －1与x ≥1矛盾．10．(文)函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵f (x )＝x cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －x sin x ，∴f ′(－x )＝f ′(x )，∴f ′(x )为偶函数，排除C ； ∵f ′(0)＝1，排除D ；由f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－π2<0，f ′(2π)＝1>0，排除B ，故选A. (理)(2010·胶州三中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4D ．f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 [答案] A[解析] f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，由f ′(x )的图象知，Aω＝2，设周期为T ，则T 2＝3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝2π，∴T ＝2πω＝4π，∴ω＝12，∴A ＝4，∵f ′(x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π2，0，∴2cos ⎝⎛⎭⎫12×π2＋φ＝0，∴π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，∴φ＝π4.故选A.二、填空题11．(文)若曲线f (x )＝x 4－x 在点P 处的切线平行于直线3x －y ＝0，则点P 的坐标为________．[答案] (1,0)[解析] ∵f ′(x )＝4x 3－1，由题意4x 3－1＝3， ∴x ＝1.故切点P (1,0)．(理)(2010·广东实华梧州联考)已知曲线y ＝x 2－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3在x ＝x 0处的切线互相平行，则x 0的值为________．[答案] 0或－23[解析] 由条件知， 2x 0＝－3x 02，∴x 0＝0或－23.12．(文)(2010·湖北黄冈模拟)已知函数f (x )的导数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________.[答案] 6[解析] f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，令x ＝2得， f ′(2)＝12＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝－12，∴f (x )＝3x 2－24x ，∴f ′(x )＝6x －24，∴f ′(5)＝6.(理)(2010·山东省实验中学模拟)若f (x )在R 上可导，f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，则⎠⎛03f (x )d x＝________.[答案] －18[解析] ∵f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋3，∴f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)，∴f ′(2)＝4＋2f ′(2)， ∴f ′(2)＝－4，∴f (x )＝x 2－8x ＋3， ∴⎠⎛03f (x )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－4x 2＋3x 03＝－18. [点评] 注意f ′(2)是一个常数．13．曲线y ＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 所围成的三角形的面积为16，则a ＝________. [答案] ±1[解析] 因为y ′＝3x 2，所以曲线在(a ，a 3)处切线斜率为3a 2，切线方程为：y －a 3＝3a 2(x －a )所围成三角形如右图所示的阴影部分．设切线与x 轴交于A 点，则A ⎝⎛⎭⎫23a ，0；x ＝a 与x 轴交于点B (a,0)；设切线与x ＝a 交于M (a ，a 3)，S △ABM ＝12⎝⎛⎭⎫a －2a 3·a 3＝16，得a ＝±1. 14．(文)已知f (x )＝x ＋ln x ，g (x )＝x 3＋x 2－x (x >0)，h (x )＝e x －x ，p (x )＝cos2x,0<x <π的导函数f ′(x )，g ′(x )，h ′(x )，p ′(x )的零点依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则将x 1，x 2，x 3，x 4按从小到大用“<”连接起来为________．[答案] x 1<x 3<x 2<x 4[解析] 由f ′(x )＝1＋1x ＝0得x ＝－1；由g ′(x )＝3x 2＋2x －1＝0得x ＝－1或x ＝13，∵x >0，∴x ＝13；由h ′(x )＝e x －1＝0得，x ＝0；由p ′(x )＝－2sin2x ＝0得，2x ＝k π，k ∈Z ，∴x ＝k π2，∵0<x <π，∴x ＝π2，∴x 1＝－1，x 2＝13，x 3＝0，x 4＝π2，故有x 1<x 3<x 2<x 4.(理)设函数f (x )＝cos(3x ＋φ)(0<φ<π)，若f (x )＋f ′(x )为奇函数，则φ＝________. [答案] π6[解析] f ′(x )＝－3sin(3x ＋φ)，由条件知cos(3x ＋φ)－3sin(3x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6－3x －φ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋φ－π6为奇函数，且0<φ<π，∴φ＝π6. 三、解答题15．(文)(2010·吉林市质检)定义在R 上的函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋3同时满足以下条件：①f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数； ②f (x )的导函数是偶函数；③f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直．求函数y ＝f (x )的解析式． [解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，∵f (x )在(－∞，－1)上是增函数，在(－1,0)上是减函数， ∴f ′(－1)＝3a －2b ＋c ＝0① 由f (x )的导函数是偶函数得：b ＝0②又f (x )在x ＝0处的切线与第一、三象限的角平分线垂直， ∴f ′(0)＝c ＝－1③由①②③得：a ＝13，b ＝0，c ＝－1，即f (x )＝13x 3－x ＋3.(理)(2010·湖南考试院调研)已知函数f (x )＝1－m ＋ln xx ，m ∈R .(1)求f (x )的极值；(2)若ln x －ax <0在(0，＋∞)上恒成立，求a 的取值范围． [解析] (1)由导数运算法则知，f ′(x )＝m －ln xx 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e m .当x ∈(0，e m )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当x ∈(e m ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．故当x ＝e m 时，f (x )有极大值，且极大值为f (e m )＝e －m .(2)欲使ln x －ax <0在(0，＋∞)上恒成立，只需ln xx <a 在(0，＋∞)上恒成立，等价于只需ln xx在(0，＋∞)上的最大值小于a . 设g (x )＝ln x x (x >0)，由(1)知，g (x )在x ＝e 处取得极大值1e .所以a >1e，即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. 16．(2010·北京市延庆县模考)已知函数f (x )＝x 3－(a ＋b )x 2＋abx ，(0<a <b )． (1)若函数f (x )在点(1,0)处的切线的倾斜角为3π4，求a ，b 的值；(2)在(1)的条件下，求f (x )在区间[0,3]上的最值； (3)设f (x )在x ＝s 与x ＝t 处取得极值，其中s <t ，求证：0<s <a <t <b .[解析] (1)f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，tan 3π4＝－1.由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝0f ′(1)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧1－(a ＋b )＋ab ＝03－2(a ＋b )＋ab ＝－1，解得a ＝1，b ＝2或a ＝2，b ＝1，因为a <b ，所以a ＝1，b ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，f ′(x )＝3x 2－6x ＋2，令f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0，解得x 1＝1－33，x 2＝1＋33. 在区间[0,3]上，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：(3)证明：f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b )x ＋ab ，依据题意知s ，t 为二次方程f ′(x )＝0的两根． ∵f ′(0)＝ab >0，f ′(a )＝a 2－ab ＝a (a －b )<0， f ′(b )＝b 2－ab ＝b (b －a )>0，∴f ′(x )＝0在区间(0，a )与(a ，b )内分别有一个根． ∵s <t ，∴0<s <a <t <b .17．(文)(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值；(2)判断函数y ＝f (x )的单调性并求出单调区间． [解析] (1)因为函数f (x )＝ax 2＋b ln x ，所以f ′(x )＝2ax ＋bx.又函数f (x )在x ＝1处有极值12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0f (1)＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0a ＝12，可得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x ，其定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x －1x ＝(x ＋1)(x －1)x.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以函数y ＝f (x )的单调减区间是(0,1)，单调增区间是(1，＋∞)．(理)(2010·北京东城区)已知函数f (x )＝a ln(x ＋1)＋(x ＋1)2在x ＝1处有极值． (1)求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)令g (x )＝f ′(x )，若曲线g (x )在(1，g (1))处的切线与两坐标轴分别交于A 、B 两点(O 为坐标原点)，求△AOB 的面积．[解析] (1)因为f (x )＝a ln(x ＋1)＋(x ＋1)2，所以f ′(x )＝ax ＋1＋2x ＋2.由f ′(1)＝0，可得a2＋2＋2＝0，∴a ＝－8.经检验a ＝－8时，函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝－8.(2)f (x )＝－8ln(x ＋1)＋(x ＋1)2， f ′(x )＝－8x ＋1＋2x ＋2＝2(x －1)(x ＋3)x ＋1.而函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，f (x )的单调减区间为(－1,1)单调增区间为(1，＋∞)． (3)由于g (x )＝f ′(x )＝－8x ＋1＋2x ＋2，所以g ′(x )＝8(x ＋1)2＋2，当x ＝1时，g ′(1)＝4，g (1)＝0. 所以切线斜率为4，切点为(1,0)，所以切线方程为y ＝4(x －1)，即4x －y －4＝0.高考总复习含详解答案令x ＝0，得y ＝－4，令y ＝0，得x ＝1.所以△AOB 的面积S ＝12×|－4|×1＝2.。

导数概念练习题

导数概念练习题导数是微积分的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率，即函数在该点处的斜率。

导数的概念在许多学科中都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等。

下面是一些导数概念的练习题，帮助大家更好地理解这个概念。

已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f'(x)。

已知函数f(x) = sin(x)，求f'(x)。

已知函数f(x) = log(x)，求f'(x)。

已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。

已知函数f(x) = x^n，求f'(x)。

已知函数f(x) = x/ln(x)，求f'(x)。

解：f'(x) = (ln(x)-1)/(ln(x))^2已知函数f(x) = arctan(x)，求f'(x)。

已知函数f(x) = e^(arctan(x))，求f'(x)。

解：f'(x) = e^(arctan(x))*(1/(1+x^2))已知函数f(x) = sin(e^x)，求f'(x)。

解：f'(x) = cos(e^x)*e^x已知函数f(x) = x^sin(x)，求f'(x)。

解：f'(x) = sin(x)x^(sin(x)-1)(cos(x)-1)以上练习题可以帮助大家理解导数的概念，并掌握一些常见的导数计算方法。

导数是数学中一个非常重要的概念，它描述了一个函数在某一点处的变化率。

求导数是数学分析中的一个基本技能，也是解决许多实际问题中必不可少的工具。

下面是一些求导数的练习题，供大家参考。

(1)θ=sinx,y=cosx。

(x)=3xx=0为函数的极值点。

随着素质教育的不断推进，高中数学课程中引入了越来越多的抽象概念，其中导数概念便是之一。

导数概念作为微积分的核心概念之一，对于高中生而言，是一个极具挑战性的知识点。

因此，本文旨在探讨高中学生对导数概念的理解情况，为教师提供有益的教学参考，从而提高学生对导数概念的理解和掌握程度。

2023届全国高考数学复习：专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)

2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导；具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导．【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________．答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝．答案－74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案－4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝．11．答案 1＋e 解析因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。

第01讲导数的概念及其意义、导数的运算(十二大题型)2025年高考数学一轮复习讲练测

（
(0 +ℎ)−(0 −ℎ)
(, )，则 lim
ℎ
ℎ→0
）
A．′ 0
B．2′ 0
C．−2 ′ 0
D．0
【答案】B
0 +ℎ − 0 −ℎ
【解析】由题意知， lim
ℎ
ℎ→0
0 +ℎ − 0 −ℎ
ℎ→0 0 +ℎ − 0 −ℎ
= 2lim
故选：B
= 2′ 0 ．
变化率为（）
3
A．
300
cm/s
6π
3
B．
3
300
cm/s
5π
C．
150
cm/s
3π
3
D．
150
cm/s
2π
【答案】C
2
1
1
【解析】设注入溶液的时间为（单位：s）时，溶液的高为ℎcm，则 π ⋅ ℎ
3
5
因为ℎ′ =
1 3 150
，所以当
3 π 2
= π时，ℎ′ =
1 3 150
3
π3
即圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为
1
【解析】() = ′(1) −1 − (0) + 2 2 ⇒ ′() = ′(1) −1 − (0) +
令 = 1得： (0) = 1
() =
′(1) −1
−+
1 2

2
⇒ (0) = ′(1) −1 = 1 ⇔ ′(1) =
1
得：() = − + 2 2
则 ′ (0) = 1且(0) = 0，即切线的斜率为 = 1，切点坐标为(0,0)，
所以切线方程为 = ．

导数练习题及答案

导数练习题及答案导数是微积分中的重要概念，它描述了函数在某一点的变化率。

掌握导数的概念和计算方法对于解决实际问题和理解数学原理都至关重要。

在学习导数的过程中，练习题是必不可少的一环。

本文将介绍一些常见的导数练习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握导数的概念和计算方法。

一、基本函数的导数1. 常数函数的导数常数函数f(x) = c的导数为0，其中c为常数。

这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0，即斜率为0。

2. 幂函数的导数幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = nx^(n-1)，其中n为正整数。

这是根据导数的定义和幂函数的性质得出的。

3. 指数函数的导数指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中a为正实数，ln(a)为以e为底的对数。

这是根据指数函数和对数函数的性质以及导数的定义得出的。

4. 对数函数的导数对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1/x，其中x为正实数。

这是根据对数函数和指数函数的性质以及导数的定义得出的。

二、基本运算法则1. 和差法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)和差函数(f-g)(x)也可导，并且有以下公式：(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)(f-g)'(x) = f'(x) - g'(x)2. 积法则如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，并且有以下公式：(f*g)'(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)3. 商法则如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不为0，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，并且有以下公式：(f/g)'(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2三、常见函数的导数1. 正弦函数和余弦函数的导数正弦函数f(x) = sin(x)的导数为f'(x) = cos(x)。

2022版高考数学一轮复习第4章第1讲导数的概念及运算训练含解析

第四章第1讲[A 级基础达标]1．若f (x )＝x cos x ，则函数f (x )的导函数f ′(x )＝( ) A ．1－sin x B ．x －sin x C ．sin x ＋x cos x D ．cos x －x sin x【答案】D2．(2020年某某月考)设函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝e x ln x ＋1x －1，则f ′(1)＝( )A ．e －3B ．e －2C ．e －1D ．e 【答案】C3．(2020年某某一中模拟)曲线f (x )＝2e x sin x 在点(0，f (0))处的切线方程为( ) A ．y ＝0 B ．y ＝2x C ．y ＝x D ．y ＝－2x 【答案】B4．一质点沿直线运动，如果由始点出发经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0秒B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末【答案】D5．(多选)下列求导数的运算正确的有( ) A ．(sin x )′＝cos x B ．⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x 2 C ．(log 3x )′＝13ln xD ．(ln x )′＝1x【答案】AD6．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．2B ．－2C ．94D ．－94【答案】D 【解析】因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x .令x＝2，则f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12，所以f ′(2)＝－94.7．已知曲线y ＝1x ＋a ln x ＋ln a 在x ＝1处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则实数a 的值为________．【答案】4 【解析】根据题意，曲线y ＝1x ＋a ln x ＋ln a ，则y ′＝－1x 2＋ax，则有y ′|x＝1＝ax ＝1处的切线的斜率k ＝ax ＝1处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则k ＝a －1＝3，解得a ＝4.8．(2020年某某模拟)函数f (x )＝x e x 的图象在点P (1，e)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．【答案】e4【解析】f ′(x )＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝2e ，所以曲线y＝f (x )在(1，e)处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e xy ＝2e x －e 与坐标轴交于点(0，－e)，⎝⎛⎭⎫12，0，所以y ＝2e x －e 与坐标轴围成的三角形面积S ＝12×e ×12＝e 4. 9．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2的最大值； (2)若f (x 0)＝2f ′(x 0)，求1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0的值．解：(1)已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，则f ′(x )＝cos x －sin x ，代入F (x )＝f (x )f ′(x )＋[f (x )]2，得F (x )＝cos 2x ＋sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1. 当2x ＋π4＝2k π＋π2⇒x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝2＋1.(2)由f (x 0)＝2f ′(x 0)，得sin x 0＋cos x 0＝2(cos x 0－sin x 0)，所以cos x 0＝3sin x 0，则tan x 0＝13. 所以1＋sin 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2sin 2x 0＋cos 2x 0cos 2x 0－sin x 0cos x 0＝2tan 2x 0＋11－tan x 0＝116.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4.(1)求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)．因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)．又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.[B 级能力提升]11．已知函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12【答案】A 【解析】f ′(x )＝g ′(x )＋2x .因为y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，所以g ′f ′(1)＝g ′(1)＋2×y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为4.12．点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上的任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B ．32C ．52D ． 2【答案】D 【解析】点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，当过点P 的切线和直线y ＝x －2平行时，点P 到直线y ＝x －2的距离最小，直线y ＝xy ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x ＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，故曲线y ＝x 2－ln x 上和直线y ＝x －2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y ＝x －2的距离等于2，故点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 2.13．若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B ．⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)【答案】D 【解析】f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x (x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值X围为[0，＋∞)．14．(多选)已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数，其中有“巧值点”的函数是( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝e －x C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝tan x【答案】AC 【解析】对于A ，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故A 符合要求；对于B ，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e－x ，此方程无解，B不符合要求；对于C ，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，C 符合要求；对于D ，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x，令f (x )＝f ′(x )，可得sin x cos x ＝1，即sin 2x ＝2，无解，D 不符合要求． 15．已知函数f (x )＝1x ，g (x )＝x 2.若直线l 与曲线f (x )，g (x )都相切，则直线l 的斜率为________．【答案】－4 【解析】因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，设曲线f (x )与l 切于点⎝⎛⎭⎫x 1，1x 1，则切线斜率k ＝－1x 21，故切线方程为y －1x 1＝－1x 21(x －x 1)，即y ＝－1x 21x ＋2x 1.与g (x )＝x 2联立，得x 2＋1x 21x －2x 1l 与曲线g (x )相切，所以⎝⎛⎭⎫1x 212－4⎝⎛⎭⎫－2x 1＝0，解得x 1＝－12，故斜率k ＝－1x 21＝－4.16．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0.(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知，得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，因为f ′(－1)＝0，所以3a －6－6a ＝0. 所以a ＝－2.(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0,9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0,3x 20＋6x 0＋12)．因为g ′(x 0)＝6x 0＋6，所以切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)．将(0,9)代入切线方程，解得x 0＝±1.当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9. 由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11. ①由f ′(x )＝0，得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2.在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线是y ＝9. ②由f ′(x )＝12，得－6x 2＋6x ＋12＝12，解得x ＝0或x ＝1.在x ＝0处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －11；在x ＝1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝12x －10. 所以y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线不是y ＝12x ＋9.综上所述，存在k ＝0，使直线m ：y ＝9是y ＝f (x )与y ＝g (x )的公切线．[C 级创新突破]17. 曲线y ＝－1x (x ＜0)与曲线y ＝ln x 的公切线的条数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】设(x 1，y 1)是公切线和曲线y ＝－1x 的切点，则切线斜率k 1＝1x 21，切线方程为y ＋1x 1＝1x 21(x －x 1)，整理得y ＝1x 21·x －2x 1.设(x 2，y 2)是公切线和曲线y ＝ln x 的切点，则切线斜率k 2＝1x 2，切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，整理得y ＝1x 2·x ＋ln x 21x 21＝1x 2，－2x 1＝ln x 2－1，消去x 2，得－2x 1＝ln x 21－1，设t ＝－x 1＞0，即2ln t －2t －1＝0，只需探究此方程解的个数．易知f (x )＝2ln x －2x －1在(0，＋∞)上单调递增，f (1)＝－3＜0，f (e)＝1－2e ＞0，于是f (x )＝0有唯一解，于是已知两曲线的公切线的条数为1.18．(2020年凉山州模拟)已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)．(1)设函数g (x )＝f (x )－x 2在点(1，g (1))处的切线方程为x －y －2＝0，求a 的值； (2)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x 2至少有一条公切线，求a 的取值X 围．解：(1)因为g (x )＝f (x )－x 2，所以g (x )＝a ln x －x 2，g ′(x )＝ax－2x (x >0)．又g (x )在(1，g (1))处的切线方程为x －y －2＝0，所以g ′(1)＝1，即a －2＝1，即a ＝3. (2)设公切线l 与f (x )＝a ln x 相切于点(x 0，a ln x 0)，则由f ′(x )＝a x ，得f ′(x 0)＝ax 0，所以公切线l 为y －a ln x 0＝ax 0(x －x 0) ，即y ＝axx 0－a ＋a ln x 0(x 0>0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax x 0－a ＋a ln x 0，y ＝x 2，得x 2－ax x 0＋a －a ln x ＝0.因为直线l 与曲线y ＝x 2相切，所以Δ＝a 2x 20－4(a －a ln x 0)＝0，即a ＝4x 20－4x 20ln x 0(x 0>0，a >0)，设h (x )＝4x 2－4x 2ln x (x >0)，则h ′(x )＝4x (1－2ln x )．由h ′(x )>0，得0<x <e ；又由h ′(x )<0，得x > e.所以h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减，所以h (x )max ＝h (e)＝2e ，所以0<a ≤2e.所以y ＝f (x ) 与曲线y ＝x 2至少有一条公切线时，a 的取值X 围为(0,2e]．。

第01讲导数的概念及其意义、导数的运算(十二大题型)(练习)-1

第01讲导数的概念及其意义、导数的运算目录模拟基础练题型一：导数的定义及变化率问题题型二：导数的运算题型三：在点P 处的切线题型四：过点P 的切线题型五：公切线问题题型六：已知切线或切点求参数问题题型七：切线的条数问题题型八：利用导数的几何意义求最值问题题型九：牛顿迭代法题型十：切线平行、垂直、重合问题题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题题型十二：切线斜率的取值范围问题重难创新练真题实战练题型一：导数的定义及变化率问题1．设()f x 是定义在R 上的可导函数，若()()000lim2h f x h f x h a h®+--=（a 为常数），则0()f x ¢=（）A ．2a-B ．a-C ．aD ．2a2．对于函数()f x ，若()0f x ¢存在，求：(1)()()000()limh f x h f x h®+---；(2)()()000lim h f x h f x h h®+--．题型二：导数的运算3．求下列函数的导数：(1)()2133ex y x x +=++(2)cos(21)x y x+=(3)ln12x y x=+(4)1()23()()y x x x =+++(5)2ln 2y x x x x =+-+(6)31ln 2e e xxy x =++-4．求下列函数的导数：(1)22()2f x a ax x =+-；(2)sin ()ln x xf x x=.(3)()2(34)21y x x x =-+；(4)2sin 12cos 24x x y æö=-ç÷èø；(5)y ＝2ln 1xx +.(6)221()(31)y x x =-+；(7)sin 2cos 2y x x x =-；(8)e cos x y x =；(9)y ＝ln(21)x x+.(10)n 1l y x x=+(11)sin x y x=(12)22(1e )2x y x x -=+-.5．已知函数()e 2(0)1x f x f x ¢=++，则()2f ¢的值为．（2024·河南·一模）6．已知函数()f x 的导函数为()f x ¢，且23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---，则()f x 的极值点为（）A ．32或12B ．12C ．12-或32D ．32题型三：在点P 处的切线7．曲线e x y =在点(0,1)处的切线方程为（）A ．210x y -+=B ．10x y --=C ．10x y -+=D ．210x y -+=（2024·黑龙江·二模）8．函数()31f x x =+在1x =-处的切线方程为（）A ．46y x =+B ．26y x =-+C ．33y x =--D ．31y x =--（2024·全国·模拟预测）9．函数()()2e 22xf x x x =-+的图象在点()()1,1f --处的切线方程为（）A ．e 40x y +-=B ．e 60x y -+=C ．e 60x y -+=D ．5e e 0ex y -++=10．下列函数的图象与直线y x =相切于点()0,0的是（）A ．3y x =B ．sin y x=C ．e xy =D ．()ln 2y x =+题型四：过点P 的切线11．过原点的直线l 与e x y =相切，则切点的坐标是 .12．已知直线l 为曲线314()33f x x =+过点(2,4)P 的切线. 则直线l 的方程为 .13．已知函数()ln f x x =，过点()0,0P 作曲线()f x 的切线，则其切线方程为 .14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线ln y x =上，且该曲线在点A 处的切线经过点()e,1--（e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是，切线方程为题型五：公切线问题15．经过曲线37y x x =-与353y x x =--+的公共点，且与曲线e 1x y =+和1e x y +=的公切线l 垂直的直线方程为（）A ．8870x y ++=B ．8870x y +-=C ．8810x y -+=D ．8810x y --=16．已知直线(R,0)y ax b a b =+Î>是曲线()e xf x =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，则a b +=（）A ．2B ．12C ．eD ．1e17．过原点的直线l 与曲线()e ,ln xy y x a ==+都相切，则实数a =（）A ．12B ．14C ．1eD ．2e18．若曲线ln y x =与曲线22(0)y x x a x =++<有公切线，则实数a 的取值范围是（）A ．(ln 21,)--+¥B ．[ln 21,)--+¥C ．(ln 21,)-++¥D ．[ln 21,)-++¥19．已知曲线e x y =在点()11,x y 处的切线与曲线ln y x =在点()22,x y 处的切线相同，则()()1211x x +-=（）A ．－1B ．－2C ．1D ．220．设曲线()e xf x a b =+和曲线()πcos2xg x c =+在它们的公共点()02P ，处有相同的切线，则+a b c 的值为（）A ．0B ．πC ．2D ．3题型六：已知切线或切点求参数问题（2024·山东临沂·二模）21．若直线1y ax =+与曲线ln y b x =+相切，则ab 的取值范围为 .（2024·高三·云南楚雄·期末）22．若直线y x m =+与曲线()320y x x x =-<相切，则切点的横坐标为 .（2024·湖北·二模）23．y kx b =+是2ln xy x =在(1,0)处的切线方程，则b = ．（2024·高三·安徽亳州·期末）24．已知直线l 的斜率为2，且与曲线2e x y =相切，则l 的方程为.（2024·全国·模拟预测）25．若直线y kx b =+与函数()e xf x =的图象相切，则k b -的最小值为（）A ．eB ．e-C ．1e-D ．1e（2024·四川绵阳·一模）26．设函数()e x f x x -=-，直线y ax b =+是曲线()y f x =的切线，则2a b +的最小值为（）A ．12e-B ．211e -C ．212e -D ．212e +题型七：切线的条数问题27．若过点()2,t 可以作曲线ln y x =的两条切线，则（）A ．2e t <B ．0e t <<C ．ln 2t <D ．ln 2t >（2024·全国·模拟预测）28．过坐标原点作曲线()()2e 22xf x x x =-+的切线，则切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条29．已知函数()1ex x f x +=，若过()1,P t -可做两条直线与函数()f x 的图象相切，则t 的取值范围为（）A ．4,e æö+¥ç÷èøB ．4e ìüíýîþC ．40,e æöç÷èøD ．{}40,0e æöÈç÷èø（2024·宁夏银川·二模）30．已知点()1,P m 不在函数3()3=-f x x mx 的图象上，且过点P 仅有一条直线与()f x 的图象相切，则实数m 的取值范围为（）A ．1110,,442æöæöç÷ç÷èøèøU B ．1(,0)(,)4-¥+¥U C ．110,,44æöæö+¥ç÷ç÷èøèøU D ．11(,)(,)42-¥È+¥题型八：利用导数的几何意义求最值问题（2024·陕西西安·二模）31．若1112ln 30x x y --+=，2250x y -+=，则()()221212x x y y -+-的最小值为（）A ．B ．6C ．8D ．12（2024·广东·一模）32．设点P 在曲线e x y =上，点Q 在直线1ey x =上，则PQ 的最小值为（）A BC D 33．已知点P 是曲线()ln f x x x =上任意一点，点Q 是直线3y x =-上任一点，则PQ 的最小值为（）A B C ．1D ．e（2024·高三·四川成都·期末）34．已知(,)P x y 为函数12e 24x y x x -=+-（）A B C ．1D )e 5+35．设点P 在曲线e x y =上，点Q 在直线ln y x =上，则PQ 的最小值为（）A ．1B ．2C D参考答案：1．C【分析】根据导数的定义即可求解.【详解】0()f x ¢=()()0001lim222h f x h f x h a a h®+--=´=.故选：C.2．(1)()0f x ¢(2)()02f x ¢【分析】（1）利用导数的定义求解即可；（2）利用导数的定义求解即可；【详解】（1）0h ®Q 时，0h -®()()()()()000000()()limlimh h f x h f x f x h f x f x hh®-®+--+--¢=-\=-（2）[][]000000()()()()()()f x h f x h f x h f x f x f x h +--=+-+--Q 又0000()()lim()h f x h f x f x h ®+-¢=()()()()()0000000limlimh h f x f x h f x h f x f x h h®-®---=-¢-\=0000()()lim 2()h f x h f x h f x h®+--¢\=3．(1)()12e 56x y xx +=++¢(2)22sin(21)cos(21)x x x y x -+-+¢=(3)(12)1y x x =+¢(4)231211y x x =++¢(5)y ¢ln 2x x=+(6)213e e xxy x ¢=++【分析】（1）—（6）根据导数的运算法则及基本初等函数函数的导数公式计算可得.【详解】（1）因为()2133e x y x x +=++，所以()()()212133e 33e x x y x x x x ++¢¢¢=++×+++×()121(23)e 33e x x x x x ++=++++()12e 56x x x +=++.（2）因为cos(21)x y x+=，所以2[cos(21)]cos(21)x x x x y x ¢¢+-+×¢=22sin(21)cos(21)x x x x -+-+=.（3）因为ln 12xy x=+，所以1212x x y x x ¢+æö¢=×ç÷+èø2122(12)(12)121x x x x x x x +-=+×=++.（4）因为1()23()()y x x x =+++326116x x x =+++，所以231211y x x =++¢.（5）因为2ln 2y x x x x =+-+，所以1ln 21y x x x x¢=+×+-ln 2x x =+.（6）因为31ln 2e exx y x =++-，所以213e exx y x ¢=++.4．(1)()22f x a x ¢=-(2)2sin ln cos ln sin ()ln x x x x x xf x x+-¢=(3)218104y x x -¢=-(4)1cos 2y x¢=-(5)()222212ln 1x x x y x x +-¢=+(6)21843y x x ¢=+-(7)12cos 4y x¢=-(8)()e cos sin ¢=-xy x x (9)22(21)ln(21)(21)x x x x x -+++(10)211x x =-(11)2cos sin x x xy x -¢=(12)22)3e (-¢=+-xy x 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）直接利用导数的运算法则及基本初等函数的求导公式分别对函数求导即可得出答案.【详解】（1）解：因为22()2f x a ax x =+-，所以()22f x a x ¢=-；（2）解：因为sin ()ln x xf x x=，所以22(sin )ln sin (ln )sin ln cos ln sin ()(ln )ln x x x x x x x x x x x xf x x x ¢¢×-×+-¢==；（3）解：因为()2325(3)42164y x x x x x x =-+=--，所以218104y x x ¢=--；（4）解：因为21sin 12cos sin cos sin 24222x x x x y x æöæö=-=-=-ç÷ç÷èøèø，所以1cos 2y x ¢=-；（5）解：因为2ln 1xy x =+，所以()()()()2222ln 11ln 1x x x xy x ¢¢+-+¢=+()()()2222222112ln 12ln 11x x x x x x x x x x +-+-==++；（6）解：因为232()()21316231y x x x x x =-+=+--，所以21843y x x ¢=+-；（7）解：因为sin 2cos 2y x x x =-1sin 42x x =-，所以114cos 412cos 42y x x ¢=-´=-；（8）解：因为cos x y e x =，所以()cos sin cos sin x x xy e x e x e x x ¢=-=-；（9）解：因为ln(21)x y x+=，所以[]2ln(21)ln(21)x x x x y x ¢¢+-+¢=＝22ln(21)21xx x x -++＝22(21)ln(21)(21)x x x x x -+++；（10）解：因为n 1l y x x=+，所以()2111ln y x x x x ¢æö¢¢=+=-ç÷èø；（11）解：因为sin xy x=，所以22(sin )sin cos sin x x x x x x xy x x ¢¢-×-¢==；（12）解：因为22(1e )2x y x x -=+-，所以22222(2)()()2213x x x y x e x x e x e ---¢=+-++--=.5．2e 2-【分析】先求出()0f ¢的值，进而求出()2f ¢即可.【详解】由题意知：()()e 20xf x f =¢+¢，所以()()0120f f =+¢¢，所以()01f ¢=-，所以()e 2xf x ¢=-，所以()22e 2f ¢=-.故答案为:2e 2-.6．D【分析】先对函数求导，先后代入3x =和1x =，确定函数()f x 的解析式，再通过导函数的符号确定函数的极小值点即可.【详解】对23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---进行求导，可得31()(3)2(1)47f x f f x x¢=-×¢--，将3x =代入整理，4(3)21(1)140f f ¢++=①将 1x =代入23()(3)ln (1)47f x f x f x x ¢=---可得(1)(1)4f f =--，即(1)2f =-，将其代入① ，解得：(3)7f ¢=，故得2()3ln 24f x x x x =-+-.于是3()44f x x x¢=-+-，由()0f x ¢=可得12x =-或32x =，因0x >，故当302x <<时，()0f x ¢<，当32x >时，()0f x ¢> ，即32是函数()f x 的极小值点，函数没有极大值.故选：D.7．C【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程即可求解.【详解】()e xy f x ==Q ，()'e x f x \=，()'01f \=，\曲线e x y =在点()01，处的切线方程为：1y x =+，即10x y -+=，故选：C ．8．D【分析】当0x <时()31f x x =-+，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.【详解】因为()31f x x =+，则()()31112f -=-+=，当0x <时()31f x x =-+，则()23f x x ¢=-，所以()()21313f ¢-=-´-=-，所以切点为()1,2-，切线的斜率为3-，所以切线方程为()231y x -=-+，即31y x =--.故选：D 9．B【分析】根据导数的几何意义，即可求解.【详解】由()()2e 22x f x x x =-+，可得()2e xf x x ¢=，则()11e f ¢-=，又()()()2151e 1212e f -éù-=--´-+=ëû，则所求切线方程为()511e ey x -=+，即e 60x y -+=．故选：B ．10．B【分析】利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，并由切点进行逐一判断即可得出结论.【详解】A ．323y x y x ¢==，，在()0,0的切线斜率为0，不符合；B ．sin cos y x y x ¢==，，在()0,0的切线斜率为1，所以切线为01(0)y x -=-，成立；C ．D ．两个函数均不经过()0,0，不符合.故选:B ．11．(1,e)【分析】设切点坐标为00(,e )x x ，根据导数的几何意义求出切线方程，将(0,0)代入，即可求得答案.【详解】由题意设切点坐标为00(,e )x x ，由e x y =，得e x y ¢=，故直线l 的斜率为0e x ，则直线l 的方程为00e e ()x x y x x -=-，将(0,0)代入，得0001e e ,x x x x -=-\=，则切点的坐标为(1,e)，故答案为：(1,e)12．20x y -+=或440x y --=【分析】设切点为00(,)M x y ，由导数的几何意义求得切线方程，代入P 点坐标求出0x ，再回代得切线方程．【详解】∵314()33f x x =+，∴2()f x x ¢=. 设直线l 与曲线()f x 相切于点00(,)M x y ，则直线l 的斜率为200()k f x x ¢==，∴过点00(,)M x y 的切线方程为000()()()y f x f x x x ¢-=-，即3200014()()33-+=-y x x x x ，又点(2,4)P 在切线上，∴32000144()(2)33x x x -+=-，整理得3200340x x -+=，∴200(1)(2)0x x +-=，解得01x =-或02x =；∴所求的切线方程为20x y -+=或440x y --=.故答案为：20x y -+=或440x y --=.13．1ey x =【分析】设切点为()00,ln x x ，利用导数的几何意义求出切线方程，再由切线过点()0,0P ，代入求出0x ，即可求出切线方程.【详解】设切点为()00,ln x x ，由()ln f x x =，则()1f x x¢=，则()001f x x ¢=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过点()0,0P ，所以0ln 1x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =.故答案为：1ey x =14．(e,1)ex y =【分析】求导，根据点斜式得切线方程，代入()e,1--可得00ln e x x =，构造函数()ln H x x x =，求导，根据函数的单调性结合()e =e H ，可得0e x =，即可求解.【详解】设点A (x 0,y 0)，则00ln y x =.又1y x¢=，当0x x =时，01y x ¢=，曲线ln y x =在点A 处的切线方程为0001()y y x x x -=-，即00ln 1x y x x -=-，代入点()e,1--，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，记()ln H x x x =，当x ∈(0,1)时，()0H x <，当x ∈(1,+∞)时，()0H x >，且()ln 1H x x =¢+，当1x >时，()()0,H x H x ¢>单调递增，注意到()e =e H ，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =，故点A 的坐标为()e,1，切线方程为ex y =，故答案为：()e,1，ex y =15．B【分析】首先联立37y x x =-与353y x x =--+得到方程组，求出方程组的解，即可求出交点坐标，再设l 与()e 1x f x =+和()1e x g x +=分别相切于()111,e x x +，()212,e x x +，利用导数的几何意义得到方程，求出1x ，即可得到切线的斜率，再由点斜式求出所求直线方程.【详解】由33753y x xy x x ì=-í=--+î，消去y 整理得38430x x +-=，令()3843F x x x =+-，则()22440F x x ¢=+>，所以()3843F x x x =+-在R 上单调递增，又31118430222F æöæö=´+´-=ç÷ç÷èøèø，所以方程组33753y x x y x x ì=-í=--+î的解为1238x y ì=ïïíï=ïî，即曲线37y x x =-与353y x x =--+的公共点的坐标为13,28æöç÷èø，设l 与()e 1x f x =+和()1e x g x +=分别相切于()111,e x x +，()212,e x x +，而()e x f x ¢=，1()e x g x +¢=，11()e x f x ¢\=，212()e x g x +¢=，\122111121e e e e 1e x x x x x x x++ì=ïí--=ï-î，解得1201x x =ìí=-î，0(0)e 1f ¢\==，即公切线l 的斜率为1，故与l 垂直的直线的斜率为1-，所以所求直线方程为3182y x æö-=--ç÷èø，整理得8870x y +-=．故选：B ．16．A【分析】设(),e tt 是()f x 图象上的切点，利用导数的几何意义求出曲线()ln 2g x x =+上的切点，继而求出t 的值，结合切线方程，即可求得答案.【详解】由题意知直线(R,0)y ax b a b =+Î>是曲线()e xf x =与曲线()ln 2g x x =+的公切线，设(),e tt 是()f x 图象上的切点，()e x f x ¢=，所以()f x 在点(),e tt 处的切线方程为()e e t t y x t -=-，即()e 1e t t y x t =+-①令()1e t g x x=¢=，解得()e ,e lne 22t t t x g t ---==+=-，即直线(R,0)y ax b a b =+Î>与曲线()ln 2g x x =+的切点为()e ,2tt --，所以2e e e t t t t t ---=-，即()11e tt t -=-，解得0t =或1t =，当1t =时，①为e ,0y x b ==，不符合题意，舍去，所以0t =，此时①可化为1y x =+，所以112a b +=+=，故选：A 17．D【分析】设出切点，利用导数的几何意义结合两点式斜率公式列式，即可求解.【详解】由e x y =得e x y ¢=，由()ln y x a =+得1y x a¢=+，设过原点的直线l 分别与曲线()e ,ln xy y x a ==+相切于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则由导数的几何意义得111e x y x =，且11e x y =，故11x =，所以直线l 的斜率为e ，所以2221e y x x a ==+，所以()22ln e x a x +=，所以2e 1x =-，即21e x =-，代入21e x a =+得2e a =.故选：D 18．A【分析】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得21212122ln 1x x x a x ì=+ïíï-=-î，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数()ln f x x =切于点111(,ln )(0)A x x x >，由()ln f x x =，得1()f x x¢=，所以公切线的斜率为11x ，所以公切线方程为1111ln ()-=-y x x x x ，化简得111(ln 1)y x x x =×+-，设公切线与函数2()2(0)g x x x a x =++<切于点22222(,2)(0)B x x x a x ++<，由2()2(0)g x x x a x =++<，得()22g x x ¢=+，则公切线的斜率为222x +，所以公切线方程为22222(2)(22)()y x x a x x x -++=+-，化简得2222(1)y x x x a =+-+，所以21212122ln 1x x x a x ì=+ïíï-=-î，消去1x ，得222ln(22)1a x x =-+-，由1>0x ，得210x -<<，令2()ln(22)1(10)F x x x x =-+--<<，则1()201F x x x ¢=-<+，所以()F x 在(1,0)-上递减，所以()(0)ln 21F x F >=--，所以由题意得ln 21a >--，即实数a 的取值范围是(ln 21,)--+¥，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.19．B【分析】利用导数的几何意义计算即可.【详解】根据常用函数的导数可知：e e x x y y ¢=Þ=，1ln y x y x¢=Þ=，则两函数在点()11,x y 和()22,x y 处的切线分别为：()()1112221e,x y y x x y y x x x -=--=-，化简得()111221e 1e ,ln 1x x y x x y x x x =+-=+-由题意可得：()112121e 1e ln 1x x xx x ì=ïíï-=-î，化简得()()12211210112x x x x x x +-+=Þ+-=-.故选：B 20．C【分析】根据两曲线在()02P ，有公切线，则P 是公共点，该点处的导数值相同，列出方程求出,,a b c 的值，则答案可求【详解】由已知得(0)2(0)12f a b g c =+=ìí=+=î，解得1,2c b a ==-，又()()ππ,e sin 22xf x ag x x ¢¢==-，所以(0)(0)f g ¢¢=得0a =，所以0,2,1a b c ===，所以0212a b c +=+=.故选：C.21．31,e éö-+¥÷êëø【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得2ln b a =+，则()2ln 0ab a a a a =+>，构造()2ln g a a a a =+并研究单调性，进而求值域即可.【详解】函数ln y b x =+的导数为1y x¢=，设切点为()00,1x ax +，所以01a x =，则01ax =，即01x a=又因为()00,1x ax +在ln y b x =+上，所以001ln ax b x +=+，所以0ln 2b x +=，即ln 2b a -=，所以2ln b a =+，所以()()2ln 2ln 0ab a a a a a a =+=+>，令()2ln g a a a a =+，1()2ln ln 3g a a a a a=++×=+¢，令()0g a ¢>，可得31e a >，令()0g a ¢<，可得310e a <<，所以()g a 在310,e æöç÷èø上单调递减，在31,e æö+¥ç÷èø上单调递增，所以min 33333331211231()ln e e e e e e e g a g æö==+=-=-ç÷èø.当a 趋近正无穷时，()g a 趋近正无穷.所以ab 的取值范围为：31,e éö-+¥÷êëø.故答案为：31,e éö-+¥÷êëø.22．1-【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由()320y x x x =-<求导得()2320y x x ¢=-<，直线y x m =+斜率为1，代入导函数有：()23210x x -=<，解得=1x -.故答案为：1-23．1-【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再求切线方程即可.【详解】令2ln ()x y f x x==，42ln ()x x xy f x x -¢¢==，则(1)1k f ¢==，则方程为y x b =+，将(1,0)代入方程，得01b =+，解得1b =-，故答案为：1-24．22y x =+【分析】由题意令()2e 2xf x =¢=，解方程可得切点横坐标，进一步得到切点坐标即可得解.【详解】设()2e x f x =，令()2e 2xf x =¢=，得0x =，则切点为(0,2)，故所求l 的方程为22y x =+.故答案为：22y x =+.25．C【分析】由题意，设出切点，利用导数求出函数()e xf x =在该点的切线方程，对照已知的切线方程，得到k b -的解析式，故构造函数，利用导数知识求解其最小值即得.【详解】由()e xf x =可得()e x f x ¢=，设切点为()00,e x x ，则切线方程为()000e e x x y x x -=-，即()000e 1e ,x xy x x =+-依题意，()000e ,1e x x k b x ==-，故00e xk b x -=．设()e xg x x =，则()()1e xg x x +¢=，当1x <-时，()0g x ¢<，()g x 单调递减，当1x >-时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，故()g x 的极小值为()11e g -=-，也是最小值，即k b -的最小值为1e -．故选：C.26．C【分析】先设切点写出切线方程，再求2a b +的解析式，最后通过求导判断单调性求出最小值.【详解】令()f x 的切点为()000,e xx x --，因为()1e x f x -¢=+，所以过切点的切线方程为()()()000e 1e x x y x x x ----=+-，即()()001ee1x x y x x --=+-+，所以()0001e e 1x x a b x --ì=+ïí=-+ïî，所以002e e 2x x a b x --+=-++，令()e e 2x x g x x --=-++，则()()e e e e 2x x x xg x x x ----¢=-+-=-，所以当(),2x Î-¥时()0g x ¢<恒成立，此时()g x 单调递减，当()2,x Î+¥时()0g x ¢>恒成立，此时()g x 单调递增，所以()()2min 22e g x g -==-，所以()22min 122e 2e a b -+=-=-，故选：C 27．D【分析】设出切点000(,ln ),(0)x x x >，写出切线方程，依题转化成000(1)ln 20t x x x +--=有两个不同得实数根.设()(1)ln 2,(0)g x t x x x x =+-->，求得()g x 的单调区间和最大值即可得解.【详解】设切点为000(,ln ),(0)x x x >，由题得：1y x¢=，故切线斜率为01x ，切线方程为：0001ln ()y x x x x -=-，因切线经过点()2,t ，则0001ln (2)t x x x-=-，故000(1)ln 20t x x x +--=有两个不同得实数根.不妨设()(1)ln 2,(0)g x t x x x x =+-->，则()ln ,g x t x ¢=-当0e t x <<时，()0g x ¢>，()g x 单调递增；当e t x >时，()0g x ¢<，()g x 单调递减.故max ()(e )e 2t tg x g ==-，则e 20t ->，即ln 2t >.故选：D.28．A【分析】利用导数求出斜率，结合斜率公式列方程求出切点坐标即可得解.【详解】设切点为()()02000,e 22x x x x -+，由()()2e 22x f x x x =-+可得()2e xf x x ¢=，则过坐标原点的切线的斜率()0020020e 22ex x x x k x x -+==，故()32000210x x x -+-=，即()()200120x x -+=，解得01x =，故过坐标原点的切线共有1条．故选：A ．29．B【分析】根据导数几何意义求出切线方程，依题意，过点()1,P t -的直线与函数()1e xx f x +=的图象相切的切线条数即为直线y t =与曲线()2(1)e a a g a +=的图象的公共点的个数，根据导数研究函数()g a 的图象可得结果.【详解】设过点()1,P t -的直线与函数()1e xx f x +=的图象相切时的切点为(),a b ，则1e aa b +=，因为()()()2e 1e 1,e e ex x x xx x x xf x f x -++==-¢=，所以切线方程为()1e ea a a ay x a +-=--，又()1,P t -在切线上，所以()11e e a a a a t a +-=---，整理得2(1)e aa t +=，则过点()1,P t -的直线与函数()1ex x f x +=的图象相切的切线条数即为直线y t =与曲线()2(1)e aa g a +=的图象的公共点的个数，因为()()()()2221e (1)e 11e e a a a aa a a a g a ¢+-+-+-==，令()0g a ¢=，得1a =±，所以，当1a <-时，()()0,g a g a ¢<单调递减；当11a -<<时，()()0,g a g a ¢>单调递增；当1a >时，()()0,g a g a ¢<单调递减，因为()()410,1eg g -==，当a ®+¥时()0g a ®，所以，函数()g a 的图象大致如图：所以当4et =时，图像有两个交点，切线有两条.故选：B.【点睛】关键点点睛：依题意求出切线方程，本题关键是将过点()1,P t -的直线与函数()1e x x f x +=的图象相切的切线条数转化为直线y t =与曲线()2(1)e a a g a +=的图象的公共点的个数，在利用导数研究函数()g a 的图象.30．B【分析】根据直线和曲线相切得到322340t t m -+=，结合导数及函数零点的个数可得答案.【详解】点()1,P m 不在函数()33f x x mx =-的图象上，则()113f m m =-¹，即14m ¹，设过点P 的直线与()33f x x mx =-的图象相切于()3,3Q t t mt -，则切线的斜率()323331t mt mk f t t m t --¢==-=-，整理可得322340t t m -+=，则问题可转化为()32234g t t t m =-+只有一个零点，且()266g t t t ¢=-，令()0g t ¢=，可得0t =或1t =，当(),0t Î-¥时，()0g t ¢>，则()g t 单调递增，当()0,1t Î时，()0g t ¢<，则()g t 单调递减，当()1,t Î+¥时，()0g t ¢>，则()g t 单调递增，即当0t =时，()g t 有极大值，当1t =时，()g t 有极小值，要使()32234g t t t m =-+仅有一个零点，(0)(1)00g g m ×>Þ<或14m >故选：B31．C【分析】设函数()2ln 3,0f x x x x =-+>和5y x =+，转化为切点P 到直线50x y -+=的距离为平方，根据导数的几何意义，求得切点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，设函数()2ln 3,0f x x x x =-+>，直线5y x =+，设直线y x b =+与函数()y f x =的切点为00(,)P x y 可得()21f x x¢=-，可得()00211f x x ¢=-=，解得01x =，可得02y =，即切点坐标为(1,2)P ，则切点到直线50x y -+=的距离为d ，又因为()()221212x x y y -+-表示点P 到直线50x y -+=的距离为平方，所以()()221212x x y y -+-的最小值为28d =.故选：C.32．B【分析】利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.【详解】令e e 1xy ¢==，得1x =-，代入曲线11e e y -==，所以PQ 的最小值即为点11,e æö-ç÷èø到直线1e y x =的距离d =.故选：B.33．A【分析】利用导数的几何意义求出曲线的切线，利用数形结合进行求解即可.【详解】函数()ln f x x x =的定义域为全体正实数，()()ln ln 1f x x x f x x ¢=Þ=+，当1ex >时，()()0,f x f x ¢>单调递增，当10ex <<时，()()0,f x f x ¢<单调递减，函数图象如下图：过点()00,P x y 的曲线()ln f x x x =的切线与直线3y x =-平行时，PQ 最小，即有()()000ln 11101,0f x x x y P ¢=+=Þ=Þ=Þ，所以min PQ ==故选：A34．A【分析】先观察出函数关于1x =对称，在根据所求的式子可以判断1x >时比1x <的值要大，所以只需研究1x >的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数问题，其中一个内层函数又是两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求出最值.【详解】由函数解析式可知函数y 关于1x =对称，设z ()1x n n =<则z =()21x n n =-<，z =>即当1x >时z 的值要大于1x <时z 的值，所以只需研究1x >的情况即可，当1x >时，12e 24x y x x -=+-，设1,4x a y b -=+=，b t a=则22222222111a ab b z b a a b t a b t++==+=++++，根据复合函数单调性可知：()0,1t Î时，2z 递增，当(1,)t Î+¥，2z 递减.41b y t a x +==-，所以t 的几何意义是函数12e 24x y x x -=+-上一点与点()1,4-的斜率，设过点()1,4-的切线与函数12e 24x y x x -=+-的交点坐标（即切点）为()12,e24m m m m-+-(1)>m ，1e 44x y x -¢=+-，所以切线的斜率1e 44m k m -=+-，切线方程为()()()121e 24e 44m m y m m m x m ---+-=+--，把点()1,4-代入切线方程整理得：()()1e220m m m -+-=，所以2m =或1e 20m m -+=，设()1e 2mf m m -=+，()1e 20m f m -+¢=>，所以()f m 在(1,+∞)单调递增，所以()()13f m f >=，即1e 20m m -+=不合题意，所以2m =，此时切线的斜率1e 44e 4m k m -=+-=+，如图：[)e4,¥++，所以当e 4t =+时，2z 最大，此时z ==.故选：A【点睛】方法点睛：式子较为复杂的最值问题需要经过适当的变形求解，求函数的最值或值域常用方法有：（1）换元法；（2）函数单调性法；（3）复合函数法；（4）数形结合；（5）导数法；（6）基本不等式.35．C【分析】求|PQ |的最小值转化为求P 到直线y x =的最小距离，然后求曲线上斜率为1的切线方程式.进一步解析即可得出答案.【详解】e x y = 和ln y x =互为反函数，问题可以转化为直线y x =到e x y =距离的两倍.e x y ¢=，令e 1x =，得0,x =故切点为（0,1），min故选：C.。

导数专升本练习题

导数专升本练习题### 导数专升本练习题#### 一、基础概念题1. 定义题：给定函数 $ f(x) = x^2 + 3x - 2 $，请说明什么是导数，并求出该函数在 $ x = 1 $ 处的导数。

2. 几何意义题：若 $ y = f(x) $，解释导数的几何意义，并求出$ y = x^3 $ 在 $ x = 2 $ 处的切线斜率。

#### 二、基本导数公式应用题1. 直接应用题：求下列函数的导数：- $ g(x) = 5x^4 - 2x^2 + 7 $- $ h(x) = \sin(x) + 2\cos(x) $2. 复合函数题：求下列复合函数的导数：- $ k(x) = (\ln(x))^2 $- $ m(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x} $#### 三、导数的运算法则应用题1. 和差法则题：求函数 $ n(x) = (x^2 - 1) + 3x $ 的导数。

2. 乘积法则题：求函数 $ p(x) = x^3 \cdot e^x $ 的导数。

3. 商法则题：求函数 $ q(x) = \frac{\sin(x)}{x} $ 的导数。

#### 四、高阶导数题1. 一阶导数题：已知 $ r(x) = x^5 $，求 $ r'(x) $。

2. 二阶导数题：求 $ r''(x) $。

#### 五、应用题1. 速度与加速度题：若物体的位移函数为 $ s(t) = 3t^3 - 2t^2 + t $，求物体在 $ t = 1 $ 秒时的速度和加速度。

2. 最值问题题：求函数 $ u(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 1 $ 的极值点。

#### 六、综合题1. 函数图像题：给定函数 $ v(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 $，求导数，并讨论函数的单调性与极值。

同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案

同步练习】基本初等函数的导数公式及运算法则基础练习题及答案1.函数$y=x^2$在点$x=1$处的导数是2.2.函数$f(x)=(2x+1)^2(4x-2x+1)$的导数是$24x^2-1$。

3.函数$f(x)=(x+2a)(x-a)^2$的导数为$f'(x)=2(x^2-a^2)+2(x-a)\cdot 2x=2(3x^2-2ax-a^2)$。

4.函数$f(x)=1+\sin x$，其导函数为$f'(x)=\cos x$，则$f'(\pi/3)=1/2$。

5.已知函数$f(x)=3x^2$，则$f'(3)=18$。

6.函数$f(x)=(2e^x)+\sin x$的导数是$f'(x)=2e^x+\cos x$。

7.已知$f(x)=\sin x+\cos x+\pi/2$，则$f'(\pi/2)=-1$。

8.已知函数$f(x)=2\sin x+\cos x$，则$f'(\pi)=-2$。

9.已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2$，则$f(x)=\frac{1}{2}x^2+C$，其中$C$为常数。

10.某物体的瞬时速度为0时，$t=2$。

11.已知函数$f(x)=ax^2+b$的图像开口向下，$\lim\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}=4$，则$a=-2$。

12.已知函数$f(x)=x^4+ax^2-bx$，且$f'(-1)=-13$，$f'(-1)=-27$，则$a+b=-18$。

13.已知函数$f(x)=x\sin x+\cos x$，则$f'(\frac{\pi}{2})=-1$。

14.函数$f(x)=x\mathrm{e}^x$的导函数为$f'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x$，所以$f'(x)>0$的解集为$(0,+\infty)$。

导数概念公式知识点总结+习题含详细讲解

．《导数及其应用》知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --。

2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ∆无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。

函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。

3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x+∆-∆；（3）取极限，当x ∆无限趋近与0时，00()()f x x f x x+∆-∆无限趋近与一个常数A ，则0()f x A '=.4. 导数的几何意义：函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。

由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：（1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。

当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。

特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。

5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。

导数的概念及运算练习含答案

第1讲导数的概念及运算一、选择题1．设y＝x2e x，则y′＝() A．x2e x＋2x B．2x e xC．(2x＋x2)e x D．(x＋x2)e x解析y′＝2x e x＋x2e x＝(2x＋x2)e x.答案 C2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋ln x，则f′(1)等于() A．－e B．－1C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是() A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0解析y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y ＋1＝0.答案 C4．(2017·成都诊断)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为()A．e B．－e C.1e D．－1e解析y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝1x，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝1x0，切线方程为y－ln x0＝1x0(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为1 e.答案 C5．(2017·昆明诊断)设曲线y＝1＋cos xsin x在点⎝⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于()A．－1 B.1 2C．－2 D．2解析∵y′＝－1－cos xsin2x，∴＝－1.由条件知1a＝－1，∴a＝－1.答案 A二、填空题6．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.解析因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝1 2.答案1 27.(2017·长沙一中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.解析由图形可知：f (3)＝1，f ′(3)＝－13，∵g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0. 答案 08．(2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0， ∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案 8 三、解答题9．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l 的倾斜角α的取值范围．解 (1)y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，所以当x ＝2时，y ′＝－1，y ＝53，所以斜率最小的切线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1，所以切线方程为x ＋y －113＝0. (2)由(1)得k ≥－1，所以tan α≥－1，所以α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.10．已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限． (1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解 (1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1，由已知令3x 2＋1＝4，解之得x ＝±1. 当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又∵点P 0在第三象限，∴切点P 0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，∴直线l 的斜率为－14.∵l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)，∴直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0. 11．(2016·山东卷)若函数y ＝f (x )的图像上存在两点，使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直，则称y ＝f (x )具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝ln xC ．y ＝e xD ．y ＝x 3解析若y ＝f (x )的图像上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图像在这两点处的切线互相垂直，则f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于A ：y ′＝cos x ，若有cos x 1·cos x 2＝－1，则当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于B ：y ′＝1x ，若有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x 1＞0，x 2>0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于C ：y ′＝e x ，若有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2＝－1.显然不存在这样的x 1，x2；对于D：y′＝3x2，若有3x21·3x22＝－1，即9x21x22＝－1，显然不存在这样的x1，x2.答案 A12．(2017·合肥模拟)点P是曲线x2－y－ln x＝0上的任意一点，则点P到直线y ＝x－2的最小距离为()A．1 B.32 C.52 D. 2解析点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－ln x，得y′＝2x－1x＝1，解得x＝1或x＝－12(舍去)，故曲线y＝x2－ln x上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于2，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为 2.答案 D13．若函数f(x)＝12x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．解析∵f(x)＝12x2－ax＋ln x，∴f′(x)＝x－a＋1x(x>0)．∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，即x＋1x－a＝0有解，∴a＝x＋1x≥2(当且仅当x＝1时取等号)．答案[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－ln x)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解根据题意有f′(x)＝1＋2x2，g′(x)＝－ax.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.。