导数的概念及运算(基础+复习+习题+练习)

导数的概念及运算

一，导数的概念

1.设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数

()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比

x

y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即

x

y

∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()

()lim x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆

在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因

此，导数的定义式可写成

000000

()()()()

()lim

lim x o

x x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆

()2求平均变化率

x

x f x x f x y ∆-∆+=

∆∆)()(；()3取极限，得导数y '=()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 3.导数的几何意义：

导数0000()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 处的瞬时变化率，它

反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．

的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果

)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='-

4.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一

个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作y '，即()f x '＝y '＝x

x f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

00

函数)(x f y =在0x 处的导数0

x x y ='

就是函数)(x f y =在开区间),(b a ))

,((b a x ∈

上导数()f x '在0x 处的函数值，即0

x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也

记作0()f x '

1．用导数的定义求下列函数的导数：()1 2

()y f x x ==；()2 24()y f x x

==

2．()1已知000

(2)()

lim 13x f x x f x x

→--=△△△，求0()f x '

()2若(3)2f '=，则1

(3)(12)

lim 1

x f f x x →-+=-

二，导数的四则计算

常用的导数公式及求导法则： （1）公式

①0'

=C ，（C 是常数） ②x x cos )(sin '

= ③x x sin )(cos '

-=

④1

'

)(-=n n nx

x

⑤a a a x x ln )('

= ⑥x

x e e ='

)( ⑦a

x x a ln 1

)(log '

=

⑧x

x 1)(ln '

=

⑨x x 2'

cos 1)(tan =

⑩（x

x 2'

sin 1)cot -= （2）法则：'

'')]([)]([)]()([x g x f x g x f ±=±，

)()()()()]()(['''x f x g x g x f x g x f +=

)

()()()()(])()([2'''x g x f x g x g x f x g x f -=

2，复合函数的求导法则：复合函数(())y f g x =的导数和函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅.

题型1， 导数的四则计算 1，求下列函数的导数：

()1 ln x

y e x =⋅ ()2 1

1

x x e y e +=-

()3sin 1cos x

y x

=

+ ()4()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅

()532x x x y e e =⋅-+ ()

6()()33421y x x x =-⋅-

2，求导数

（1）()

324y x x =- （2）sin x

y x

=

（3）3cos 4sin y x x =- （4）()2

23y x =+

（5）()ln 2y x =+

三，复合函数的导数 链式法则

若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则

x y '=)()(x u f ϕ''

若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则

x y '=)()()(x v u f ψϕ'''

说明：复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，

且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。 1，函数4

)

31(1

x y -=的导数.