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九年级数学《三角形综合》

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备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(五)

备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(五)

备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》（五）1．在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：（1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是，此时BD和CE的数量关系是；（2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC ＝∠DAE＝90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）如图3，已知△ABC，请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD 和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数．2．如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别是边AB、BC所在直线上的动点，若点D、E以相同的速度，同时从点A、点B出发，分别延AB、BC方向运动，直线AE、CD交于点O．（1）如图1，求证：△ABE≌△CAD；（2）在点D、点E运动过程中，∠COE＝°；（3）如图2，点P为边AC中点，连接BO，PO，当点D、E分别在线段AB、BC上运动时，判断BO与PO的数量关系，并证明你的结论．3．如图，△ABC是等边三角形，△ADC与△ABC关于直线AC对称，AE与CD垂直交BC的延长线于点E，∠EAF＝45°，且AF与AB在AE的两侧，EF⊥AF．（1）依题意补全图形．（2）①在AE上找一点P，使点P到点B，点C的距离和最短；②求证：点D到AF，EF的距离相等．4．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝40°，则∠ACE＝，∠DCE＝，BC、DC、CE之间的数量关系为；（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β．①当点D在BC延长线上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上（不与B，C两点重合）移动时，α与β之间有什么数量关系？请直接写出你的结论．（3）当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，试探究∠ACB的度数（直接写出结果，无需写出求解过程）．5．在学习了“等边对等角”定理后．某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：“在同一个三角形中，较长的边所对的角较大”．简称：“在同一个三角形中，大边对大角”．即，如图：当AB＞AC时，∠C＞∠B．该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”性质的一般情况，继续进行了深入的探究，请你补充完整：（1）在△ABC中，AD是BC边上的高线．①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；②如图2，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．∵AB＞AC，∴（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD∠CAD．（2）在△ABC中，AD是BC边上的中线．①如图1，若AB＝AC，则∠BAD＝∠CAD；②如图3，若AB≠AC，当AB＞AC时，∠BAD∠CAD．（填“＞”，“＜”，“＝”）证明：6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A出发沿线段AB以每秒3个单位长的速度运动至点B，过点P作PQ⊥AB射线AC于点Q．设点P 的运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CQ的长为（用含t的代数式表示）（2）当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，求t的值．（3）设△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，直接写出t的值．7．已知△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，连接AB'，交直线l于点D（点D与点C不重合）．（1）如图1，若∠ACB＝40°，∠1＝30°，求∠2的度数；（2）若∠ACB＝40°，且0°＜∠BCD＜110°，求∠2的度数；（3）如图2，若∠ACB＝60°，0°＜∠BCD＜120°，求证：BD＝AD+CD．8．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．9．思维启迪：（1）如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC＝4，AE＝DE＝，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图②，当△ADE在起始位置时，求证：PC⊥PE，PC＝PE．②如图③，当α＝90°时，点D落在AB边上，PC与PE的数量关系和位置关系分别为．③当α＝135°时，直接写出PC的值．10．如图1，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，A（0，3），B（﹣，0），点M（m，0）为x轴上的一个动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN．（1）当M点在B点的左方时，连接CN，求证：△BAM≌△CAN；（2）如图2，当M点在边BC上时，过点N作ND∥AC交x轴于点D，连接MN，若S＝S△MND，试求D点的坐标；四边形ACDN（3）如图3，是否存在点M，使得点N恰好在抛物线y＝﹣2x2+4x+3上，如果存在，请求出m的值，如果不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）因为∠DAE＝∠BAC，所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．所以∠DAB＝∠EAC，在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS），所以BD＝CE，故答案为：△AEC，BD＝CE；（2）BD＝CE且BD⊥CE；理由如下：因为∠DAE＝∠BAC＝90°，所以∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE．所以∠DAB＝∠EAC．在△DAB和△EAC中，，所以△DAB≌△EAC（SAS），所以BD＝CE，∠DBA＝∠ECA，因为∠ECA+∠ECB+∠ABC＝90°，所以∠DBA+∠ECB+∠ABC＝90°，即∠DBC+∠ECB＝90°，所以∠BPC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝90°，所以BD⊥CE，综上所述：BD＝CE且BD⊥CE；（3）如图3所示，BE＝CD，∠PBC+∠PCB＝60°；因为△ABD和△ACE是等边三角形，所以AD＝AB，AC＝AE，∠ADB＝∠ABD＝∠BAD＝∠CAE＝60°，所以∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，所以∠CAD＝∠EAB，在△ACD和△AEB中，，所以△ACD≌△AEB（SAS），所以CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，所以∠BPD＝180°﹣∠PBD﹣∠BDP＝180°﹣∠ABE﹣∠ABD﹣∠BDP＝180°﹣∠ABD﹣（∠ABE+∠BDP）＝180°﹣∠ABD﹣（∠ADC+∠BDP）＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝60°，所以∠PBC+∠PCB＝∠BPD＝60°．2．（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝CA，∠ABE＝∠CAD＝60°，∵点D、E以相同的速度，同时从点A、点B出发，分别延AB、BC方向运动，∴BE＝AD，在△ABE和△CAD中，，∴△ABE≌△CAD（SAS）；（2）解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵△ABE≌△CAD，∴∠BAE＝∠ACD，∵∠COE是△ACO的外角，∴∠COE＝∠ACD+∠EAC＝∠BAE+∠EAC＝∠BAC＝60°，故答案为60；（3）解：BO与PO的数量关系为BO＝2PO，理由如下：延长OP到F，使PF＝OP，连接CF，以OC为边作等边△COG，连接BG，如图2所示：∵∠COE＝60°，∴O、E、G三点共线，∵点P为边AC中点，∴AP＝CP，在△APO和△CPF中，，∴△APO≌△CPF（SAS），∴AO＝CF，∠AOP＝∠F，∴CF∥AO，∴∠FCO＝∠COE＝60°，∵△COG是等边三角形，∴CO＝OG＝CG，∠COG＝∠GCO＝∠CGO＝60°，∴∠AOC＝180°﹣60°＝120°，∵∠ACB＝∠OCG＝60°，∴∠ACO＝∠BCG，在△ACO和△BCG中，，∴△ACO≌△BCG（SAS），∴∠BGC＝∠AOC＝120°，AO＝BG，∴CF＝BG，∠BGO＝∠BGC﹣∠CGO＝120°﹣60°＝60°，∴∠FCO＝∠BGO，在△FCO和△BGO中，，∴△FCO≌△BGO（SAS），∴BO＝OF，∵PF＝OP，∴BO＝2PO．3．（1）解：补全图形，如图1所示：（2）①解：如图2，连接BD，P为BD与AE的交点．点P即为所求；②证明：连接DE，DF．如图3所示：∵△ABC，△ADC是等边三角形，∴AC＝AD，∠ACB＝∠CAD＝60°．∵AE⊥CD，∴∠CAE＝∠CAD＝30°．∴∠CEA＝∠ACB﹣∠CAE＝30°．∴∠CAE＝∠CEA．∴CA＝CE．∴CD垂直平分AE．∴DA＝DE．∴∠DAE＝∠DEA，∵EF⊥AF，∠EAF＝45°，∴∠FEA＝45°．∴∠FEA＝∠EAF．∴FA＝FE，∠FAD＝∠FED，在△FAD和△FED中，，∴△FAD≌△FED（SAS）．∴∠AFD＝∠EFD．∴点D到AF，EF的距离相等．4．解：（1）如图1所示：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝（180°﹣40°）＝70°，BD＝CE，∴BC+DC＝CE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝40°，∴∠DCE＝40°，故答案为：70°；40°；BC+DC＝CE；（2）①当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，理由如下：∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠B＝∠ACE，∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；②分三种情况：（Ⅰ）当D在线段BC上时，α+β＝180°，如图2所示，理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ADB＝∠AEC，∠ABC＝∠ACE，∵∠ADC+∠ADB＝180°，∴∠ADC+∠AEC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∵∠BAC＝∠DAE＝α，∠DCE＝β，（Ⅱ）当点D在线段BC反向延长线上时，α＝β，如图3所示，理由如下：同理可证明：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ACE＝∠ACD+∠DCE，∠ABD＝∠ACD+∠BAC，∴∠ACD+∠DCE＝∠ACD+∠BAC，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，∴α＝β；（Ⅲ）当点D在线段BC的延长线上时，如图1所示，α＝β；综上所述，当点D在BC上移动时，α＝β或α+β＝180°；（3）∠ACB＝60°，理由如下：∵当点D在线段BC的延长线上或在线段BC反向延长线上移动时，α＝β，即∠BAC＝∠DCE，∵CE∥AB，∴∠ABC＝∠DCE，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°；∵当D在线段BC上时，α+β＝180°，即∠BAC+∠DCE＝180°，∵CE∥AB，∴∠ABC+∠DCE＝180°，∴∠ABC＝∠BAC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形，综上所述，当CE∥AB时，若△ABD中最小角为15°，∠ACB的度数为60°．5．（1）①证明：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠BAD＝∠CAD．②解：∵AD是BC边上的高线，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∴∠BAD＝90°﹣∠B，∠CAD＝90°﹣∠C．∵AB＞AC，∴∠C＞∠B（在同一个三角形中，大边对大角）．∴∠BAD＞∠CAD．故答案为：∠C＞∠B，＞；（2）①证明：延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，如图1所示：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴∠BAD＝∠E，AB＝EC，∵AB＝AC，∴EC＝AC，∴∠CAD＝∠E，∴∠BAD＝∠CAD；②解：延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，如图3所示：同①得：△ABD≌△ECD（SAS），∴∠BAD＝∠E，AB＝EC，∵AB＞AC，∴EC＞AC，∴∠CAD＞∠E，∴∠BAD＜∠CAD，故答案为：＜．6．解：（1）在Rt△ABC中，tan A＝＝＝，由题意得，AP＝3t，在Rt△APQ中，tan A＝＝，∴PQ＝AP＝4t，根据勾股定理得，AQ＝＝＝5t．当0＜t≤时，如图1所示：CQ＝AC﹣AQ＝6﹣5t；当＜t≤时，如图2所示：CQ＝AQ﹣AC＝5t﹣6；故答案为：6﹣5t或5t﹣6；（2）∵PQ⊥AB，∴∠APQ＝90°＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APQ∽△ACB，∴＝＝，即＝，解得：t＝，即当△APQ与△ABC的周长的比为1：4时，t为秒．（3）分两种情况：①当0＜t≤时，如图1所示：△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积＝×3t×4t＝6t2；即S＝6t2（0＜t≤）；②当＜t≤时，如图2所示：由（1）得：PQ＝3t，PQ＝4t，AQ＝5t，同（2）得：△CDQ∽△PAQ，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝（5t﹣6），∴△APQ与△ABC重叠部分图形的面积为S＝△APQ的面积﹣△CDQ的面积＝×3t ×4t﹣×（5t﹣6）×（5t﹣6）＝﹣t2+t﹣；即S＝﹣t2+t﹣（＜t≤）；（4）由（1）知，AQ＝5t，PQ＝4t，CQ＝6﹣5t或CQ＝5t﹣6，当CQ＝PQ时，四边形BCQP是轴对称图形，则4t＝6﹣5t，∴t＝；当＜t≤时，设PQ和BC相交于D，当AC＝AP时，四边形ACDP是轴对称图形，则6＝3t，∴t＝2．综上所述，当直线PQ把△ABC分成的两部分图形中有一个是轴对称图形时，t的值为秒或2秒．7．解：（1）∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠1＝∠CB'D＝30°，∴∠ACB'＝120°，∵∠ACB＝40°，∴∠BCB'＝80°，∴∠BCD＝40°，∴∠2＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝70°；（2）若点D在点C下方时，∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠1＝∠CB'D＝＝70°﹣∠BCD，∴∠2＝∠CB'D+∠DCB'＝70°，若点D在点C上方时，同理可求∠2＝110°；（3）如图2，在BD上截取DH＝CD，连接CH，∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，其中CA＝CB，∴AC＝CB＝A'C＝B'C，∠BCD＝∠B'CD，∴∠1＝∠CB'D＝＝60°﹣∠BCD，∴∠2＝∠CB'D+∠DCB'＝60°，又∵CD＝DH，∴△CDH是等边三角形，∴CH＝CD，∵∠BCA＝∠HCD＝60°，∴∠BCH＝∠ACD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（SAS），∴AD＝BH，∴BD＝BH+DH＝AD+CD．8．（1）证明：∵∠DFA＝∠CFB，∠DAF＝∠CBF，∴∠D＝∠C，在△DAB和△CBA中，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AD＝BC；（2）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图2所示：由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°，∴∠BEC＝45°，∵∠C＝45°，∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE＝2，∠EBC＝90°，∴EC＝BE＝2，∵AC＝4，∴AE＝AC﹣EC＝4﹣2，∴BD＝AE＝4﹣2．（3）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图3所示：由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝1，DB＝AE，∠BEA＝∠BDA＝108°，∠DBA＝∠EAB＝18°，∴∠BEC＝72°＝∠C，∠EFB＝∠DBA+∠EAB＝36°，∴BC＝BE＝1，∠EBC＝36°，∴∠C＝∠BEA﹣∠EBC＝72°，∴∠FBC＝72°，∴∠C＝∠FBC，∠EFB＝∠EBF＝36°，∴EF＝EB＝1，FB＝FC，∵∠DBA＝∠CAB，∴AF＝FB＝FC＝1+EC，∵∠EBC＝∠EFB，∠∠C＝∠C，∴△CBE～△CFB，∴，∴BC2＝CE•CF，∴CE•CF＝1，∴CE（CE+1）＝1，即CE2+CE﹣1＝0，解得：（负值已舍去），∴，∴，∴．9．（1）解：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠C，∵P是BC的中点，∴PB＝PC，在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（ASA），∴AB＝CD＝200米；故答案为：200；（2）①证明：延长EP交BC于F，如图②所示：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDP＝∠FBP，∠DEP＝∠BFP，∵点P是线段BD的中点，∴PB＝PD，在△FBP和△EDP中，，∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵PE＝PF，∴PC⊥EF，PC＝EF＝PE；②解：PC⊥PE，PC＝PE；理由如下：延长ED交BC于H，如图③所示：由旋转的性质得：∠CAE＝90°，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴四边形ACHE是矩形，∴∠BHE＝∠CHE＝90°，AE＝CH，∵AE＝DE，∴CH＝DE，∠ADE＝45°，∴∠EDP＝135°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠BHE＝90°，点P是线段BD的中点，∴PH⊥BD，PH＝BD＝PD，△BPH是等腰直角三角形，∴∠BHP＝45°，∴∠CHP＝135°＝∠EDP，在△CPH和△EPD中，，∴△CPH≌△EPD（SAS），∴PC＝PE，∠CPH＝∠EPD，∴∠CPE＝∠HPD＝90°，∴PC⊥PE；故答案为：PC⊥PE，PC＝PE；③解：当α＝135°时，AD⊥AC，延长CP，交AD延长线于点H，则AH∥BC，∴△BCP∽△DHP，∴＝＝，∵P是BD的中点，∴PD＝PB，∴DH＝BC＝4，PH＝PC，∵AD＝AE＝2，∴AH＝DH+AD＝6，∴CH＝＝＝2，∴PC＝CH＝．10．解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN，∴AM＝AN，∠MAN＝60°＝∠BAC，即∠CAN+∠BAN＝∠MAB+∠BAN，∴∠CAN＝∠MAB，∴△BAM≌△CAN（SAS）；（2）如图1，连接CN，由（1）可知△BAM≌△CAN，∴∠B＝∠ACN＝60°，∵DN∥AC，∴∠NDC＝∠ACB＝60°，∴∠NCD＝60°，∴△CDN是等边三角形，∴CN＝DN，∠CND＝60°，∵AM＝AN，∠MAN＝60°，∴△AMN是等边三角形，∴AN＝MN，∠ANM＝60°，∴∠ANC＝∠MND，∴△ANC≌△MND（SAS），∴S△ACN＝S△MND，∵S四边形ACDN＝S△MND＝S△ACN+S△CDN，∴，∴CD＝AB，∵A（0，3），B（﹣，0），∴OA＝3，OB＝，∴AB＝＝2，∴CD＝，∴OD＝OC+CD＝＝，∴D（，0）；（3）如图2，过点C作CE∥AB交y轴于点E，由（1），（2）可知点N在直线CE 上，CE与抛物线交于点N1，N2，∴∠ABC＝∠OCE＝60°，OC＝OB＝，∴OE＝3，∴E（0，﹣3），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式为y＝x﹣3，∴，解得：，，∴N1（2，3），N2（﹣，﹣），若AM绕点A逆时针旋转60°得到AN1时，M（m，0），∴AM＝AN1＝2，∵AB＝2，AN1∥x轴，∴点M与点C重合，即m＝，若AM绕点A逆时针旋转60°得到AN2时，M（m，0），∵C（0，），∴CN 2＝＝3，由（1）可知BM 2＝CN2＝3，∴OM2＝OB+BM2＝＝4，∴m＝﹣4．综合以上可得，m＝或﹣4．。

2020年中考数学九年级三轮冲刺：《三角形综合》(四)

2020年中考数学九年级三轮冲刺：《三角形综合》(四)

三轮冲刺：《三角形综合》（四）1．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．2．在等边△ABC中，点E，F分别在边AB，BC上．（1）如图1，若AE＝BF，以AC为边作等边△ACD，AF交CE于点O，连接OD．求证：①AF＝CE；②OD平分∠AOC；（2）如图2，若AE＝2CF，作∠BCP＝∠AEC，CP交AF的延长线于点P，求证：CE＝CP．3．如图（1），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，点D，E分别是AB，AC的中点，过点B作直线DE的垂线段BM，垂足为M，点F是直线ED上一动点，作Rt△BFG，使∠BFG ＝90°，∠FGB＝30°，连接GD．【观察猜想】如图（2），当点F与点D重合时，则的值为．【问题探究】如图（1），当点F与点D不重合时，请求出的值及两直线GD、ED夹角锐角的度数，并说明理由．【问题解决】如图（3），当点F、G、A在同一直线上时，请直接写出的值．4．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的高与中线．（1）如图1，求证：AE＝AD；（2）如图2，点F在AD的延长线上，连接BF，CF，若BE＝CF，求证：∠AEB＝∠AFB；（3）在（2）的条件下，如图3，过点A作BF的平行线交CF于点G，若FG＝6，求BE 的长．5．如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD为斜边BC上的高线．（1）求证：AD2＝BD⋅CD；（2）如图2，过A分别作∠BAD，∠DAC的角平分线，交BC于E，M两点，过E作AE的垂线，交AM于F．①当tan C＝时，求的值；②如图3，过C作AF的垂线CG，过G点作GN∥AD交AC于M点，连接MN．若∠EAD＝15°，AB＝1，直接写出MN的长度．6．已知等边△ABC和等腰△CDE，CD＝DE，∠CDE＝120°．（1）如图1，点D在BC上，点E在AB上，P是BE的中点，连接AD，PD，则线段AD与PD之间的数量关系为；（2）如图2，点D在△ABC内部，点E在△ABC外部，P是BE的中点，连接AD，PD，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点D在△ABC内部，点E和点B重合，点P在BC下方，且PB+PC为定值，当PD最大时，∠BPC的度数为．7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．动点P从点A出发，沿AB以每秒5个单位长度的速度向终点B运动．当点P不与点A重合时，过点P作PD⊥AC于点D、PE ∥AC，过点D作DE∥AB，DE与PE交于点E．设点P的运动时间为t秒．（1）线段AD的长为．（用含t的代数式表示）．（2）当点E落在BC边上时，求t的值．（3）设△DPE与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式．（4）若线段PE的中点为Q，当点Q落在△ABC一边垂直平分线上时，直接写出t的值．8．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB 于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上9．已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB+∠ACB＝180°．提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由．综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长．10．如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D．（1）点E、F分别在DA、DC的延长线上，且AE＝CF，连接BE、AF，猜想线段BE和AF 的数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，连接EF，将△DEF绕点D顺时针旋转角α（0°＜α＜90°），连接AE、CE，若四边形ABCE恰为平行四边形，求DA与DE的数量关系；（3）如图3，连接EF，将△DEF绕点D逆时针旋转，当点A落在线段EF上时，设DE与AB交于点G，若AE：AF＝3：4，求的值．参考答案1．（1）证明：如图1中，∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴EC＝BD．（2）解：如图2中，连接BD．∵AE＝AD，∠EAD＝60°，∴△AED是等边三角形，∴∠DEA＝∠CDE＝60°，∵EF⊥AD，∴∠FEA＝∠DEA＝30°∵∠DAE＝∠BAC，∴∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴∠BDA＝∠AEC＝30°，EC＝BD，∴∠EDB＝90°，∵AE＝4，AF＝2，AC＝，∠EFA＝∠AFC＝90°，∴EF＝＝＝2，CF＝＝＝，∴EC＝BD＝3，∴BE＝＝＝．（3）解：如图3中，作CM⊥CA，使得CM＝CA，连接AM，BM．∵CA＝CM，∠ACM＝90°，∴∠CAM＝45°，∵∠CAB＝45°，∴∠MAB＝45°+45°＝90°，设AB＝AC＝m，则AM＝m，BM＝＝m，∵∠ACM＝∠BCD＝90°，∴∠BCM＝∠ACD，∵CA＝CM，CB＝CD，∴△ACD≌△MCB（SAS），∴AD＝BM＝m，∴＝＝．2．（1）证明：①如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝60°，∵AE＝BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝EC．②如图1中，∵△ABF≌△CAE，∴∠BAF＝∠ACE，∵∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝∠OCA+∠BAF＝∠BAC＝60°，又∵△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠AOE＝∠ADC，∵∠AOE+∠AOC＝180°，∴∠ADC+∠AOC＝180°，∴A，D，C，O四点共圆，∴∠AOD＝∠ACD＝60°，∠COD＝∠CAD＝60°，∴∠AOD＝∠COD，∴OD平分∠AOC．（2）证明：如图2中，取AE的中点M，连接CM．∵AE＝2CF，AM＝ME，∴AM＝CF，∵∠CAM＝∠ACF＝60°，AC＝CA，∴△ACM≌△CAF（SAS），∴∠ACM＝∠CAF，∵∠CME＝∠CAM+∠ACM＝60°+∠ACM，∠CFP＝∠ACF+∠CAF＝60°+∠CAF，∴∠CME＝∠CFP，∵EM＝CF，∠PCF＝∠CEM，∴△CME≌△PFC（ASA），∴CE＝PC．3．解：【观察猜想】如图（2）中，结论：当点F与点D重合时，则的值为2．理由：设BM＝a．∵AE＝EC，AD＝DB，∴DE∥BC，∴∠BDM＝∠ABC＝30°，∵BM⊥EM，∴∠BMD＝90°，∴BD＝2BM＝2a，DM＝BM＝a，在Rt△GDB中，∵∠GDB＝90°，∠G＝30°，∴GD＝BD＝2a，∴＝＝2．故答案为2．【问题探究】如图（1）中，结论：的值为2，两直线GD、ED夹角锐角的度数为60°．理由：延长GD交BF的延长线于P．在Rt△BDM中，设BM＝a，则BD＝2a，DM＝a，在Rt△BGF中，设BF＝b，则BG＝2b，FG＝，在△BGD与△BFM中，∵BG：BF＝2b：b＝2a：a＝BF：BM，∠DBG＝60°﹣∠FBD＝∠FBM，∴△BGD∽△BFM，∴DG：FM＝BD：BM＝2a：a＝2：1，即的值为2，∵△BGD∽△BFM，∴∠PFD＝∠MFB＝∠BGD，则在△PDF与△PBG中，∠PDF＝∠PBG＝60°．故的值为2，两直线GD、ED夹角锐角的度数为60°．【问题解决】结论：的值为4+或4﹣．如图（3）﹣1中，当点G在线段AF上时，∵△BDG∽△BMF，∴∠BDG＝∠BMF＝90°，∴GD⊥AB，∵AD＝BD，∴GD垂直平分线段AB，∴GA＝GB，设BF＝x，则BG＝2x＝AG，FG＝，∴BG：AF＝2x：＝4﹣．如图（3）﹣2中，当点G在线段AF的延长线上时，设BF＝x，同法可得：BG＝AG＝2x，GF＝x，∴AF＝2x﹣x，∴BG：AF＝2x：（2x﹣x）＝4+．∴的值为4+或4﹣．4．（1）证明：如图1中，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD＝AC，∵BE是△ABC的中线，∴AE＝EC＝AC，∴AD＝AE．（2）证明：如图2中，作BP⊥CA交CA的延长线于P．∵∠P＝90°，∠BCP＝30°，∴BP＝BC＝CD，∵∠FDC＝∠P＝90°，BE＝CF，BP＝CD，∴Rt△BPE≌Rt△CDF（HL），∴∠BEP＝∠CFD，∵DF⊥BC，CD＝DB，∴FB＝FC，∴∠BFD＝∠CFD，∴∠AEB＝∠AFB．（3）解：如图3中，设AG交BE于H，交BC于M，作CN∥AD交AM的延长线于G．∵AG∥BF，∴∠GAF＝∠AFB，∵∠FAB＝∠AFC，∴∠GAF＝∠AFG，∴GA＝GF＝6，∵CN∥AF，∴∠N＝∠FAG，∠GCN＝∠AFG，∴∠N＝∠GCN，∴CG＝GN，∴CF＝AN＝BE，∵∠ACB＝30°，∠DCN＝90°，∴∠BAE＝∠ACN＝120°，∵∠AEB＝∠AFC＝∠N，∴△BAE≌△ACN（AAS），∴AE＝CN＝AD，∵∠ADM＝∠MCN＝90°，AMD＝∠CMN，∴△ADM≌△NCM（AAS），∴AM＝MN，∵∠N+∠NMG＝90∠NCG+∠MCG＝90°，∴∠GMC＝∠GCM，∴CG＝GM＝GN，∴AG＝3GN＝6，∴CG＝GN＝2，∴BE＝CF＝FG+CG＝6+2＝8．5．（1）证明：如图1中，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∵∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠C，∴△BAD∽△ACD，∴＝，∴AD2＝BD•CD．（2）①解：如图2中，作EH⊥AB于H，MG⊥AC于G．∵AD⊥BC，∴∠tan C＝＝，∴可以假设AD＝3k，CD＝4k，则AC＝5k，BD＝k，AB＝k，∵MA平分∠CAD，MD⊥AD，MG⊥AC，∴DM＝MG，∵∠ADM＝∠AGM＝90°，AM＝AM，∴Rt△MAD≌Rt△MAG（HL）∴AD＝AG＝3k，设MD＝MG＝x，则CG＝2k，CM＝4k﹣x，在Rt△CMG中，∵CM2＝MG2+CG2，∴（4k﹣x）2＝x2+（2k）2，∴x＝k，∴DM＝k，同法可得DE＝k，∴＝＝．②如图3中，∵AE平分∠BAD，∠EAD＝15°，∴∠BAD＝30°，∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠DAC＝60°，∠C＝30°，∵MA平分∠CAD，∴∠MAC＝∠MAD＝30°，∴∠MAC＝∠MCA＝30°，∴∠AMB＝∠MAC+∠MCA＝60°＝∠B＝∠BAM，∴MA＝MC，△ABM是等边三角形，∴AM＝BM，∵GN∥AD，∴∠GNC＝∠DAC＝60°，∵CG⊥AG，∴∠AGC＝90°，∴∠ACG＝60°＝∠CNG，∴△CGN是等边三角形，∴NC＝CG，∵AC＝2CG，∴AN＝CN，∵BM＝MC，∴MN＝AB＝．6．解：（1）结论：AD＝2PD．理由：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠EDC＝120°，∴∠EDB＝180°﹣120°＝60°，∴∠B＝∠EDB＝∠BED＝60°，∴△BDE是等边三角形，∵BP＝PE，∴DP⊥AB，∴∠APD＝90°，∵DE＝DC，DE＝DB，∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠PAD＝∠BAC＝30°，∴AD＝2PD．（2）结论成立．理由：延长DP到N，使得PN＝PD，连接BN，EN，延长ED到M，使得DM＝DE，连接BD，BM，CM．∵DE＝DC＝DM，∠MDC＝180°﹣∠EDC＝60°，∴△DCM是等边三角形，∵CA＝CB，CM＝CD，∠DCM＝∠ACB＝60°，∴∠BCM＝∠ACD，∴△BCM≌△ACD（SAS），∴AD＝BM，∵PB＝PE，PD＝PN，∴四边形BNED是平行四边形，∴BN∥DE，BN＝DE，∵DE＝DM，∴BN＝DM，BN∥DM，∴四边形BNDM是平行四边形，∴BM＝DN＝2PD，∴AD＝2PD．（3）如图3中，作∠PDK＝∠BDC＝120°，且PD＝PK，连接PK，CK．∵DB＝DC，DP＝DK，∠BDC＝∠PDK，∴∠BDP＝∠CDK，∴△PDB≌△KDC（SAS），∴PB＝CK，∵PB+PC＝PC+CK＝定值，∴P，C，K共线时，PK定值最大，此时PD的值最大，此时，∠DPB＝∠DKP＝∠DPK＝30°，∠BPC＝∠DPB+∠DPK＝60°．故答案为60°．7．解：（1）如图1中，在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵PD⊥AC，∴cos A＝＝，∴＝，∴AD＝4t，故答案为4t．（2）如图2中，当点E落在BC上时，∵DE∥AB，PE∥AD，∴四边形APED是平行四边形，∴DE＝AP＝5t，AD＝PE＝4t，∴＝，∴＝，解得t＝1，∴当点E落在BC边上时，t的值为1．（3）①如图1中，当0＜t≤1时，重叠部分是△PDE，∵PE∥AD，∴∠DPE＝∠ADP＝90°，∵DE＝5t，PE＝4t，∴PD＝3t，∴S＝•PD•PE＝×3t×4t＝6t2．②如图3中，当1＜t≤2时，S＝•（MN+PD）•PN＝[3t+3t﹣（10﹣5t）]•（10﹣5t）＝﹣18t2+48t﹣24．综上所述，S＝．（4）①如图4﹣1中，当点Q落在线段AC的垂直平分线MN上时，由题意：＝，可得＝，解得t＝．②如图4﹣2中，当点Q落在线段AB的垂直平分线MN上时，由题意：＝，可得＝，解得t＝③如图4﹣3中，当点Q落在线段BC的垂直平分线上时，AP＝PB，此时t＝1，综上所述，满足条件的t的值为或或1．8．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．9．提出问题：解：在△DBA和△CAB中，∵．∴△DBA≌△CAB（AAS），∴AD＝BC；类比探究：结论仍然成立．理由：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．∵∠ADB+∠ACB＝∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠ADB＝∠AEB．∵∠CAB＝∠DBA，AB＝BA，∴△DBA≌△EAB（AAS），∴BE＝AD，∵∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴AD＝BC．综合运用：作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E．由（2）得，AD＝BC＝BE＝1．在Rt△ACB中，∠CAB＝18°，∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°．由∠CFB＝∠CAB+∠DBA＝36°，∴∠EBF＝∠CEB﹣∠CFB＝36°，∴EF＝BE＝1．在△BCF中，∠FBC＝180°﹣∠BFC﹣∠C＝72°，∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C，∴△CBE∽△CFB．∴＝，令CE＝x，∴1＝x（x+1）．解得，x＝，∴CF＝．由∠FBC＝∠C，∴BF＝CF．又AF＝BF，∴AC＝2CF＝+1．10．解：（1）BE＝AF，BE⊥AF，理由如下：延长FA交BE于H，∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠ACD＝45°，AB＝AC，∴∠BAE＝∠ACF＝135°，又∵AB＝AC，AE＝CF，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠EBA＝∠FAC，∵∠BAF＝∠ABE+∠BHA＝∠BAC+∠CAF，∴∠BAC＝∠BHA＝90°，∴BE⊥AF；（2）∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BC，∵四边形ABCE恰为平行四边形，∴AE＝BC＝2AD，AE∥BC，∴∠EAD＝∠ADB＝90°，∴DE＝＝＝AD；（3）如图3，连接BE，过点E作EH⊥AB于H，DN⊥AB于N，由图1可得：∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，AD⊥CD，又∵AE＝CF，∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∴∠DFE＝∠DEF＝45°由图3可得：∠EDF＝∠BDA＝90°，∴∠ADF＝∠BDE，又∵AD＝BD，DE＝DF，∴△ADF ≌△BDE （SAS ）， ∴BE ＝AF ，∠DFE ＝∠BED ＝45°， ∴∠AEB ＝90°， ∵AE ：AF ＝3：4，∴设AE ＝3a ，AF ＝BE ＝4a ， ∴AB ＝＝＝5a ，∵AD ＝BD ，∠ADB ＝90°，DN ⊥AB ， ∴DN ＝BN ＝AN ＝a ，∵S △ABE ＝AE ×BE ＝AB ×EH ， ∴EH ＝＝a ，∴AH ＝＝a ，∵∠BED ＝∠AED ＝45°， ∴， ∴BG ＝，AG ＝，∴GH ＝a ，GN ＝a ，∴EG ＝＝a ，DG ＝＝a ，∴＝＝．1、在最软入的时候，你会想起谁。

中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案

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中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中直线y=−x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．−2D．−142．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．如图，在Rt△ABC中AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E．若BC=8cm,BD=5cm则DE的长为（）A．2√3cm B．3cm C．4cm D．5cm4．如图，矩形纸片ABCD中AD=8cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=10cm，则AB的长为（）A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm5．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．15°6．如图，锐角∠ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为()A．20°B．40°C．60°D．70°7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，28．如图，在∠ABC中AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．若点O是等腰∠ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则∠ABC的面积为() A．2＋√3B．2√3C．2＋√3或2－√3D．4＋2√3或2－√3310．如图，等边ΔABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．如图，在△ABC中∠A=30°，∠ABC=100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°12．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（）A．5厘米B．6厘米C．2厘米D．12厘米二、填空题13．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线段BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为20米，则河宽AB长为米．14．如图1，点P从△ABC的项点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向匀速运动到点A.图2是点P运动时线段AP的长度y随时间t（s）变化的关系图象，其中点M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是.15．如图，在正方形ABCD中AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，BE的延长线交AD于点F，∠BED=120∘，则∠EFD的度数为.16．如图，△ABC中∠A=40°，D、E是AC边上的点，把△ABD沿BD对折得到△A′BD，再把△BCE沿BE对折得到△BC′E，若C′恰好落在BD上，且此时∠C′EB=80°，则∠ABC=．17．如图，测量三角形中线段AB的长度为cm.判断大小关系：AB+AC BC（填“ >”，“ =”或“ <”）．18．如图，已知AB是∠O的弦，AB=8，C是∠O上的一个动点，且∠ACB=45°．若M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN长度的最大值是三、综合题19．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为∠ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断∠ABC的形状，并说明理由；（2）如果∠ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．如图，在Rt∠OAB中∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1．（1）线段OA1的长是，∠AOB1的度数是；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．21．已知一次函数y=2x−2的图像为l1，函数y=12x−1的图像为l2．按要求完成下列问题：（1）求直线l1与y轴交点A的坐标；求直线l2与y轴的交点B的坐标；（2）求一次函数y=2x−2的图象l1与y=12x−1的图象l2的交点P的坐标；（3）求由三点P、A、B围成的三角形的面积．22．在图中利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）图中AC与A′C′的关系怎样？（3）记网格的边长为1，则△A′B′C′的面积为多少？23．如图，在∠ABC中点D在AB上，且CD=CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD 于点M，连接AM.（1）求证：EF= 12AC；（2）若EF∠AC，求证：AM+DM=CB.24．如图①，Rt△ABC中∠C=90°，AC=6cm.动点P以acm/s的速度由B出发沿线段BA 向A运动，动点Q以1cm/s的速度由A出发沿射线AC运动.当点Q运动2s时，点P开始运动；P点到达终点时，P、Q一起停止.设点P运动的时间为ts，△APQ的面积为ycm2，y与t的函数关系图像如图②所示.（1）点P运动的速度a=cm/s，AB=cm；（2）当t为何值时，△APQ的面积为12cm2；（3）是否存在t，使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】D13．【答案】2014．【答案】1215．【答案】105º16．【答案】60°17．【答案】2.0；>18．【答案】4√219．【答案】（1）解：ΔABC是等腰三角形；理由：把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以ΔABC为等腰三角形（2）解：∵ΔABC为等边三角形∴a=b=c∴方程化为x2+x=0解得x1=0，x2=−1．20．【答案】（1）6；135°（2）证明：∵∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1∴∠AOA1＝90°，∠OA1B1＝90°，OA1＝A1 B1＝OA＝6∴∠AO A1＝∠O A1B1∴OA∠A1B1∵A1B1＝OA∴四边形OAA1B1是平行四边形．21．【答案】（1）解：当x =0时，y= -2，即直线l 1与y 轴交点A 的坐标为(0，−2)当x =0时，y= -1，即直线l 2与y 轴交点B 的坐标为(0，−1)；（2）解：∵一次函数y =2x −2的图象l 1与y =12x −1的图象l 2相交∴2x −2=12x −1∴x =23∴y =2×23−2=−23∴交点P 的坐标为(23，−23)；（3）解：三点P 、A 、B 围成的三角形，如下图，作PD ⊥AB 交y 轴于点DAB =|−1−(−2)|=1△ABP 的高DP 为：23∴S △ABP =12AB ×DP =12×1×23=13即由三点P 、A 、B 围成的三角形的面积：13．22．【答案】（1）解：如图，∠A′B′C′为所作；（2）解：线段AC 与A′C′的位置关系是平行，数量关系是相等 （3）解：∠A′B′C′的面积＝12×4×4＝8．23．【答案】（1）证明：连接CE∵CD=CB，点E为BD的中点∴CE⊥BD∵点F为AC的中点∴EF=12AC；（2）解：∵点F是AC中点∴AF=FC，又EF⊥AC∴∠AFM=∠CFM，且AF=FC∴ΔAFM≅ΔCFM(SAS)∴AM=CM∵BC=CD=DM+CM=DM+AM.24．【答案】（1）1；10（2）解：当运动时间为t时，AQ=t+2，BP=t，AP=10−t 如图，作PH⊥AC，则△APH∽△ABC∴PH=APAB·BC=4(10−t)5∴S△APQ=12AQ·PH=12(t+2)4(10−t)5=2(t+2)(10−t)5∴△APQ的面积为12cm2时，解方程12=2(t+2)(10−t)5，得t1=4+√6∴当t=4+√6或4−√6时，△APQ的面积为12cm2；（3）解：∵S△ABC=24cm2，C△ABC=6+8+10=24cm∴12S△ABC=12cm2①当0<t≤4时由（2）可知，当t=4−√6时，△APQ的面积为12cm2此时，AQ=4−√6+2=6−√6∴AP+AQ=6+√6+6−√6=12，即AP+AQ=12C△ABC∴t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；②当4<t≤10时设PQ与BC交于点N，作PM⊥BC则有：△PBM∽△ABC∴PM AC=BPBA=BMBC，∴PM=3t5，BM=4t5，MC=8−4t5∵PM QC=MNCN，∴MN=3t2−30t25−10t当BN+BP=12时，解方程4t5+3t2−30t25−10t+t=12，得t=5或t=4（舍去）此时，PM=3，BM=4，BP=5∴BN=4+3=7∴当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；∴综上，当t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分.第11页共11页。

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--三角形综合

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--三角形综合

2023年中考九年级数学高频考点专题训练--三角形综合1．如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，CE△AB，AF△BC，（1）求证：CF=EF；（2）求△EFB的度数.2．如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=8，BC=10，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC匀速运动，点Q到达点C后，立即以每秒4个单位的速度沿CB返回，当点Q返回到点B时，P、Q两点都停止运动，设点Q运动时间为t秒．（1）当t=3时，BQ=，当t=7时，BQ=．（2）如图，当点P运动到AB的中点时，猜想PQ与AB的位置关系，并证明你的结论．（3）在点P、Q运动过程中，若△BPQ是等边三角形时，求t的值．3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．动点P以2cm/s的速度沿射线BC运动，同时，点Q从点C出发，以acm/s的速度向终点A运动，当Q点停止运动时，P点也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．（1）用含t的代数式表示PC的长；（2）若点Q的运动速度为1cm/s，当△CQP是以△C为顶角的等腰三角形时，求t的值；（3）当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP在某一时刻全等．4．如图，在ΔABC中，∠C=90°，将ΔACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处．（1）当∠B=28°时，求∠CAE的度数；（2）当AC=6，AB=10时，求线段DE的长．5．如图，△ABC由两个全等的含45°的直角板拼成，其中，∠ACB=90°，AC=BC，AB= 8，点D是AB边长的中点，点E时AB边上一动点（点E不与点A、B重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于F，交射线CD于点G．（1）当点E在点D的左侧运动时，（图）．求证：△ACE≌△CBG；（2）当点E在点D的右侧运动时（图）（1）中的结论是否成立？请说明理由：（3）当点E运动到何处时，BG=5，试求出此时AE的长．6．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=120°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD= AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为；（2）探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由．7．如图，△ABC 中，AB=AC，△BAC ＜60°，将线段AB 绕点A逆时针旋转60°得到点D，点 E 与点D 关于直线BC 对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE 的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PA - PB =CD 成立？若存在，请用文字描述出点P 的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．8．如图，点M是△ABC的边AB上一点，连接CM，过A作AD⊥CM于点D，过B作BE⊥CM于点E．（1）如图①，若点M为AB的中点时，连接AE，BD，求证：四边形ADBE是平行四边形；（2）如图②，若点M不是AB的中点，点O是AB上不与M重合的一点，连接DO，EO，已知点O在DE的垂直平分线上，求证：AO=BO．9．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE△DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，△B+△D=180°，CB=CD，△BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明.10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=mx+m交x轴于点A，交y轴的正半轴于点B，点C在x轴的正半轴上，连接BC，tan∠BAO=3tan∠BCO．（1）求点A，C的坐标；（2）如图1，点P在第一象限内，横坐标为t．PD⊥y轴于点D，PA⊥BC于点E，AP= BC，求m与t之间的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）（3）如图2，在（2）的条件下，设BC交DP于点F，当BF=PE时，求m的值．11．综合与实践问题情境：在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在△ABC中AB=AC=6，∠BAC=30°，求BC的长．（1）探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，BE，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求BC的长；（2）探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把△ABC绕点A顺时针旋转120°后得到△ADE，连接BD，CE交于点F，交AB于点G，请你判断四边形ADFC的形状并证明；（3）奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF，发现AF的长度在不断变化，直接写出AF的最大值和最小值．12．综合与实践．特例感知．两块三角板△ADB与△EFC全等，△ADB＝△EFC＝90°，△B＝45°，AB＝6．（1）将直角边AD和EF重合摆放．点P、Q分别为BE、AF的中点，连接PQ，如图1．则△APQ的形状为．（2）操作探究若将△EFC绕点C顺时针旋转45°，点P恰好落在AD上，BE与AC交于点G，连接PF，如图2．①FG：GA＝▲ ；②PF与DC的位置关系为▲ ；③求PQ的长；（3）开放拓展若△EFC绕点C旋转一周，当AC△CF时，△AEC为．13．在Rt△ABC中，△ACB＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB 上，连接BD，过点D作DF△AC于点F．（1）如图1，当点F与点A重合时，求△ABC的度数；（2）若△DAF＝△DBA，①如图2，当点F在线段CA上时，求△ABC的度数；②当点F在线段CA的延长线上，且BC＝7时，请直接写出△ABD的面积．14．在△ABC中，AB=AC，△BAC=90，BD平分△ABC交AC于点D.（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E.若AB=BF，求证：BD垂直平分AF.（2）如图2，CE△BD，垂足E在BD的延长线上.试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由.（3）如图3，点F为BC上一点，△EFC= 12△ABC，CE△EF，垂足为E，EF与AC交于点M.直接写出线段CE与线段FM的数量关系.15．如图，在菱形ABCD中，△ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．（1）当AE△BC，△EAF＝△ABC时，①求证：AE＝AF；②连结BD，EF，若EFBD=25，求S△AEFS菱形ABCD的值；（2）当△EAF＝12△BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．16．已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD 的数量关系是．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若∠COD=60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∵CE△AB，∴△ACE是等腰直角三角形，△BEC=90°，∵AB=AC，AF△BC，∴BF=CF，即F是BC的中点，∴Rt△BCE中，EF= 12BC=CF；（2）解：由（1）得：△ACE是等腰直角三角形，∴△BAC=△ACE=45°，又∵AB=AC，∴△ABC=△ACB= 12(180°−45°)=67.5°，∴△BCE=△ACB-△ACE=67.5°-45°=22.5°，∵CF=EF，∴△CEF=△BCE=22.5°，∵△EFB是△CEF的外角，∴△EFB=△CEF+△BCE=22.5°+22.5°=45°. 2．【答案】（1）6；2（2）解：PQ⊥AB，理由如下：在BQ上截取BE=BP，∵点P运动到AB的中点，∴AP=PB=4，∴t=41=4s，∴BQ=4×2=8，∵PB=BE=4，∠B=60°，∴△PEB是等边三角形，∴PE=BE=4，∠EPB=∠PEB=60°，∴QE=PE=4，∴∠EPQ=∠EQP，∵∠EPQ+∠EQP=∠PEB=60°，∴∠QPE=30°，∴∠QPE+∠EPB=90°=∠QPB，∴PQ⊥AB；（3）解：当0≤t≤5，BQ=2t，当5<t≤152，BQ=10−4(t−5)=30−4t，∵△BPQ是等边三角形，∴BP=BQ，∴8−t=2t或8−t=30−4t，∴t=83或t=223．3．【答案】（1）解：∵点P的运动速度为2cm/s，∴BP=2t，∴PC=10−2t；（2）解：△CQP以∠C为顶角的等腰三角形，则PC=CQ，PC=10−2t，CQ=t，即10−2t=t，解得：t=10 3，∴当t=103s时，△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形；（3）解：①当BP=CQ时，BD=CP，此时△BPD≅△CQP，根据题意可得：BP=2t，CQ=at，BD=13AB=6，PC=10−2t，∴2t=at，6=10−2t，解得：a =2，t =2， ②当BP ≠CQ 时，∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ，∴BP =CP =12BC =5，BD =CQ =6，∴t =52s ，∴a =CQ t =125cm/s ， 综上可得：当Q 的速度为2cm/s 或125cm/s 时，△BPD 与△CQP 在某一时刻全等．4．【答案】（1）∵∠C =90° ， ∠B =28°∴∠CAB =90−∠B =90°−28°=62°由折叠的性质可知 ∠CAE =∠EAB∴∠CAE =12∠CAB =31° （2）∵∠C =90° ， AC =6 ， AB =10 ∴BC =√AB 2−AC 2=√102−62=8由折叠的性质可知 AC =AD,CE =DE,∠EDA =∠C =90°∴∠EDB =180°−∠EDA =180°−90°=90°设 DE =x ，则 BE =8−x,DB =10−6=4 在 Rt △EDB 中, ED 2+DB 2=EB 2 ∴x 2+42=(8−x)2 解得 x =3 ∴DE =35．【答案】（1）证明：在 Rt △ABC 中，∵AC =BC ，∴∠A =∠ABC =45° ．∵点 D 是 AB 的中点，∴∠BCG =12∠ACB =45° ，∴∠A =∠BCG ．∵BF ⊥CE ，∴∠CBG +∠BCF =90° ． ∵∠ACE +∠BCF =90° ， ∴∠CBG =∠ACE ， 在 △ACE 和 △CBG 中，{∠ACE =∠CBGAC =BC ∠A =∠BCG，∴△ACE ≌△CBG (ASA) （2）解：结论仍然成立，即△ACE△△CBG ． 理由如下：在Rt△ABC 中， ∵AC=BC ，∴△A=△ABC=45°．∵点D 是AB 的中点，∴△BCG= 12 △ACB=45°，∴△A=△BCG ．∵BF△CE ，∴△CBG+△BCF=90°． ∵△ACE+△BCF=90°， ∴△CBG=△ACE ， 在 △ACE 和 △CBG 中，{∠ACE =∠CBGAC =BC ∠A =∠BCG，∴△ACE ≌△CBG (ASA) （3）解：在Rt△ABC 中， ∵AC=BC ，点D 是AB 的中点， ∴CD△AB ，CD=AD=BD= 12AB=4，在Rt△BDG 中， DG =√BG 2−BD 2=√52−42=3 ， 点E 在运动的过程中，分两种情况讨论： ①当点E 在点D 的左侧运动时，CG=CD-DG=1， ∵△ACE△△CBG ， ∴AE=CG=1；②当点E 在点D 的右侧运动时，CG=CD+DG=7， ∵△ACE△△CBG ， ∴AE=CG=7． 故答案为：1或7．6．【答案】（1）NM ＝NP ；60°（2）解：△MNP 是等边三角形．理由如下：由旋转可得，△BAD ＝△CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD△△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，△ABD ＝△ACE ，∵点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．∴MN ＝12BD ，PN ＝12CE ，MN△BD ，PN△CE ，∴MN ＝PN ，△ENM ＝△EBD ，△BPN ＝△BCE，∴△ENP＝△NBP＋△NPB＝△NBP＋△ECB，∵△EBD＝△ABD＋△ABE＝△ACE＋△ABE，∴△MNP＝△MNE＋△ENP＝△ACE＋△ABE＋△EBC＋△EBC＋△ECB＝180°−△BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形．7．【答案】（1）解：如图即为所求，（2）解：△CDE是等边三角形.如图，连接BD、CE，由点D与点E关于直线BC对称可知BF垂直平分DE，∴CD=CE,BD=BE由旋转可知AB=AD,∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形∴AB=BD=AD,∠BAD=∠ABD=60°∴∠CAD=60°−∠BAC∵AB=AC∴∠ABC=180°−∠BAC2=90°−∠BAC2,BE=BD=AB=AC∴∠FBD=∠ABC−∠ABD=90°−∠BAC2−60°=30°−∠BAC2∴∠EBD=2∠FBD=60°−∠BAC∴∠CAD=∠FBD在△ACD和△BED中，{AD=BD ∠CAD=∠EBD AC=BE∴△ACD≅△BED(SAS)∴CD=ED∴CD=ED=CE∴△CDE是等边三角形；（3）解：存在，如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△ABC′，延长AC′交直线CE于点P，连接BP，由（2）得△CDE是等边三角形，∴∠DCE=60°∴∠DCF=∠ECF=30°∴∠BCD=150°由旋转可得CD=C′A,∠C′BC=60°,∠BC′A=∠BCD=150°，∴∠BC′P=30°∵PA−PB=CD,PA−PC′=C′A=CD∴PB=PC′∴∠C′BP=∠BC′P=30°∴∠PBC=30°∵∠BCP=∠ECF=30°∴∠PBC=∠BCP∴BP=CP所以直线CE上存在点P，使得PA - PB =CD 成立，点P在点C左边距离为CE长的位置. 8．【答案】（1）证明：证法一：∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴AD∥BE，∴∠ADM=∠BEM=90°（或∠DAM=∠EBM）∵点M为AB的中点，∴AM=BM∵∠AMD=∠BME，∴△ADM≌△BEM∴AD=BE∴四边形ADBE是平行四边形证法二：∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴∠ADM=∠BEM=90°∵点M为AB的中点，∴AM=BM∵∠AMD=∠BME，∴△ADM≌△BEM∴DM=EM∴四边形ADBE是平行四边形（2）证明：延长DO交BE于F，∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴AD∥BE，∠BEM=90°∴∠DAO=∠EBO，∠ODE+∠OFE=∠DEO+∠FEO=90°∵点O在DE的垂直平分线上，∴DO=EO∴∠ODE=∠DEO∴∠OFE=∠FEO∴FO=EO∴DO=FO∵∠AOD=∠BOF∴△ADO≌△BFO∴AO=BO．9．【答案】（1）2＜AD＜6（2）解：如图2，延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM同（1）得：△BMD≅△CFD(SAS)∴BM=CF∵DE⊥DF，DM=DF∴DE是MF的垂直平分线∴EM=EF在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM∴BE+CF>EF；（3）解：BE+DF=EF；证明如下：如图3，延长AB至点N，使BN=DF，连接CN∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°∴∠NBC=∠D在△NBC和△FDC中，{BN=DF ∠NBC=∠D CB=CD∴△NBC≅△FDC(SAS)∴CN=CF，∠NCB=∠FCD ∵∠BCD=140°，∠ECF=70°∴∠BCE+∠FCD=70°∴∠BCE+∠NCB=70°∴∠ECN=70°=∠ECF在△NCE和△FCE中，{CN=CF ∠ECN=∠ECF CE=CE∴△NCE≌△FCE(SAS)∴EN=EF∵BE+BN=EN∴BE+DF=EF.10．【答案】（1）解：∵直线y=mx+m交x轴于点A，交y轴的正半轴于点B，当x=0时，y=m,∴B（0，m）当y=0时，mx+m=0，解得x=-1∴A（-1,0）∴OA=1,OB=m∵tan∠BAO=OBOA=m1=m,tan∠BCO=OBOC=mOC又tan∠BAO=3tan∠BCO∴3mOC=m∴OC=3∴C（3，0）（2）解：过点P作PH△x轴于点H，则△PHA=90°=△BOC∴△PAH+△APH=90°∵AP△BC∴△AEC=90°∴△PAH+△BCO=90°∴△APH =△BCO∵AP=BC∴△APH△△BCO，∴PH=OC=3,AH=BO，∴t-(-1)=m，则m=t+1；（3）解：过点E作EM△x轴于点M，延长ME交BD于N，则△NMO=90°∵△APH△△BCO，PH=3=OC，BD=m-3∴△DBF =△PAH,∵PD△y轴∴△PDO =△PHO=△DOH =△NMO=90°∴△NPE =△PAH=△DBF∵BF=PE∴△BDF△△PNE，∴BD=NP= m-3=MH，∵OH=t∴OM=OH-MH=OH-MH=t-（m-3）=t-m+3又OC=3∴CM=OC-OM=3-（t-m+3）=m-t∵m=t+1∴CM=m-t=1∴AM=AH-MH=（1+t）- （m-3）=1+t-m+3=3∵△CEM =△EAM∴1EM=EM3故EM= √3∴tan△EAM= tan△CBO∴EM AM=√33=3m，∴m=3 √3．11．【答案】（1）解：如图4，延长CB、DE交于点H.∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE∴△ABC≌△ADE，∠CAE=∠BAD=90°，△H=90°，∴AB=AD=6，AC=AE=6，∠DAE=∠BAC，DE=BC ∵AB=AC=6，∠BAC=30°∴△ABC是等腰三角形，∠BAE=∠CAE−∠BAC=60°∴∠ABC=180°−∠BAC2=75°，∵AE=AB=6∴△AEB是等边三角形∴BE=AB=6，∠ABE=60°∴∠EBH=180°−∠ABE−∠ABC=45°∴△EBH是等腰直角三角形∴HE=HB．∵AD=AB，∠DAB=90°．∴△ABD是等腰直角三角形，∠BDA=45°．在Rt△EBH中，由勾股定理，得HE2+HB2=BE2．∴HE2+HB2=62=36．∴HE2=HB2=18∴HE=HB=√18=3√2．在△BDH中，∠H=90°，∠BDH=∠EDA−∠BDA=∠ABC−∠BDA=30°．在Rt△BDH中，BH=12BD=3√2．∴BD=6√2．在Rt△BDH中，tan∠BDH=BH DH，∴3√2 DH=√3 3，∴DH=3√6．∴DE=DH−EH=3√6−3√2．∵DE=BC，∴BC的长是3√6−3√2．（2）解：四边形ADFC是菱形．理由如下：∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，AB=AC，∠BAC=30°，∴△ABC≌△ADE，∠BAD=∠CAE=120°．∴AC=AE，AB=AD，∠BAC=∠DAE=30°．∴AC=AE=AB=AD．∴△ACE是等腰三角形∴∠ACE=∠AEC=180°−∠CAE2=30°．同理可得：∠ABD=∠ADB=30°．∵∠ACB=180°−∠BAC2=75°．∴∠BCG=∠ACB−∠ACE=45°，∠FBC=∠ABC+∠ABF=105°．∴在△BFC中，∠BFG=180°−∠FBC−∠BCG=30°．∴∠BFG=∠ACF，∠BFG=∠ADB．∴DB∥AC，FC∥AD．∴四边形ADFC是平行四边形．∵AD=AC，∴四边形ADFC是菱形．（3）解：如图5，作AH△BD于点H，则∠AHB=90°∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∠BAD=120°∴AB=AD=6∴△ABD是等腰三角形∴BH=DH=12BD∴∠ABD=∠ADB=180°−∠BAD2=30°．在Rt△ABH中，△AHB=90°，△ABH=30°，AB=6∵BHAB=cos∠ABH=cos30°∴BH=3√3∴BD=2 BH=6√3由（2）知四边形ADFC是菱形∴DF=AD=6∴BF=BD-DF=6√3－6当△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，当旋转到A、B、F第一次三点共线时，如图6，△BGF≌△BG″F″，∴BF=BF″此时AF有最小值，此时AF=AF″=AB-BF″=AB-BF=6-（6√3－6）=12－6√3当旋转到A、B、F第二次三点共线时，如图7，△BGF≌△BG′F′，∴BF=BF′此时AF有最大值，此时AF=AB+BF′=AB+BF=6+6√3－6=6√3故AF的最大值是6√3，AF的最小值是12−6√3 12．【答案】（1）等腰直角三角形（2）①∵AB=6，△B=45°，△ADB=90°，∴√AD2+BD2=AB，∴AD=BD= 3√2，∴EF= 3√2，∵△BFC=△BAC=90°，∴△GFE=△BAG，∵△AGP=△EGF，∴△ABQ=△GBF，∴△EGF△△BGA，∴FGAG=EFAB，∴FGAG=EFAB=3√26=√22=1√2故答案为：1:√2；②如图，过P作PM//BC交CE与点M，∴EMCM=EPBP=11，∴EM=CM∴FM//BC，∴F在PM上，∴PF△CD，故答案为：平行；③∵BP=PE，BD=CD，∴DP为△BCE的中位线，∴PD//CE，∵CE△BC，∴PD△BC，又∵AD△BC，∴P在AD上，△APF=△ADC=90°，∵Q 为AF 的中点， ∴PQ= 12AF ，又∵△B=45°，△ADB=90°，∴EF =√22AB =3√2 ，∴FC=EF= 3√2 ， ∴AF=AC-CF=6- 3√2 ，∴PQ= 12AF = 3−3√22；（3）22.5°或67.5°13．【答案】（1）解：由旋转的性质可得△ABC△△ADE∴△BAC=△DAE∵DF△AC ，点F 与点A 重合， ∴△CAD=90° ∴△BAC=△DAE=45° ∵△ACB=90°∴△ABC=90°-△CAB=45°；（2）①∵△ABC△△ADE ，则△BAC=△DAE=12△DAF∵△DAF=△DBA ， ∴△DAE=12△DAF=12△DBA∵△ABC△△ADE ∴AB=AD∴△DBA=△BDA ，设△BAC=△BAD-x ，则△DBA=△BDA-2x ∵△BAD+△ABD+△ADB=180° ∴x+2x+2x=180°解得：x=36° ∴△BAC=36°∴△ABC=90°-△BAC=54°； ②493√3 14．【答案】（1）证明：∵BD 平分△ABC ，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE△△FBE（SAS），∴AE=FE，△AEB=△FEB= 12× 180°=90°，∴BD垂直平分AF.（2）解：BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，∵CE△BD，△ABE=△FBE，∴GE=2CE=2GE，∵△CED=90°=△BAD，△ADB=△EDC，∴△ABD=△GCA，又AB=AC，△BAD=△CAG，∴△BAD△△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）解：FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH= 12FM，∴△NMH=△NBH，∵△EFC= 12△ABC=22.5°，∴△MNC=2△NFH=2× 12△ABC=△ABC，∵AB=AC，△BAC=90，∴△ABC=△ACB=△MNC=45°，∵△EMC=△MFC+△MCF=22.5°+45°=67.5°，∴△ECM=90°-△EMC=22.5°，∴△NFH=△MCE，又∵△FHN=△E=90°，∴△FNH△△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE.15．【答案】（1）解：①∵菱形ABCD，∴AB=AD，△ABC=△ADC，AD△BC，∵AE△BC，∴AE△AD，∴△EAF+△DAF=△BAE+△ABE=90°，∵△EAF＝△ABC，∴△DAF=△BAE，在△ABE和△ADF中{∠ABC=∠ADC AB=AD ∠DAF=∠BAE∴△ABE△△ADF（ASA）∴AE=AF.②连接AC，∵菱形ABCD，∴AB=BC=CD，AC△BD，∵△ABE△△ADF，∴BE=CF ， ∴CE=CF ∵AE=AF ∴AC△EF ∴BD△FE ， ∴△CEF△△CBD ， ∴EC BC =EF BD =25设EC=2a ，则AB=BC=5x ，BE=3a ， ∴AE =√25a 2−9a 2=4a ， ∵AE AB =AF BC ，△EAF=△ABC ， ∴△AEF△△BAC ，S △AEF S △ABC =(AEAB)2=(4a 5a)2=1625S △AEFS 菱形ABCD=S △AEF 2S △ABC=12×1625=825.（2）解：∵菱形ABCD ， ∴△BAC=12△BAD ，∵△EAF=12△BAD ，∴△BAC=△EAF ， ∴△BAE=△CAM ， ∵AB△CD ， ∴△BAE=△ANC ，同理可知：△AMC=△NAC ， ∴△MAC△△ANC ， ∴AC CN =AM NA； 当△AMN 时等腰三角形， 当AM=AN 时，在△ANC和△MAC中{∠ANC=∠CAM AM=AN ∠AMC=∠NAC∴△ANC△△MAC（ASA）∴CN=AC=2，∵AB△CN，∴△CEN△△BEA，∴CEBE=CNAB=24=12∵AB=BC=4∴CE4−CE=12解之：CE=43；当NA=MN时△NMA=△NAM，∵AB=BC，∴△BAC=△BCA，∵△BAC=△EAF，∴△NMA=△NAM=△BAC=△BCA，∴△ANM△△ABC，∴AMAN=ACAB=12∴AC CN =AM NA =12 ∴CN=2AC=4=AB 解之：AC=2∵△CEN△△BEA （AAS ） ∴CE=BE=2； 当MA=MN 时，易证△MNA=△MAN=△BAC=△BCA ， ∴△AMN△△ABC ∴AM AN =AB AC =42=2 ∴CN=12AC=1∵△CEN△△BEA ， ∴CE BE =CN AB =14 ∴CE 4−CE =14 解之：CE =45;∴当CE 为43或2或45时，△AMN 是等腰三角形.16．【答案】（1）OC =OD（2）解：数量关系依然成立．证明（方法一）：过点O 作直线 EF//CD ，交BD 于点F ，延长AC 交EF 于点E ．∵EF//CD∴∠DCE=∠E=∠CDF=90°∴四边形CEFD为矩形．∴∠OFD=90°，CE=DF由（1）知，OE=OF∴△COE≌△DOF(SAS)，∴OC=OD．证明（方法二）：延长CO交BD于点E，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC//BD，∴∠A=∠B，∵点O为AB的中点，∴AO=BO，又∵∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE(ASA)，∴OC=OE，∵∠CDE=90°，∴OD=OC．（3）解：①数量关系依然成立．证明（方法一）：过点O作直线EF//CD，交BD于点F，延长CA交EF于点E．∵EF//CD∴∠DCE=∠E=∠CDF=90°∴四边形CEFD为矩形．∴∠OFD=90°，CE=DF由（1）知，OE=OF∴△COE≌△DOF(SAS)，∴OC=OD.10分证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC//BD，∴∠ACO=∠E，∴点O为AB的中点，∴AO=BO，又∵∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE(AAS)，∴OC=OE，∵∠CDE=90°，∴OD=OC．②AC+BD=√3OC。

备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(一)

备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(一)

备战2021年九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》（一）1．已知：等边△ABC中．（1）如图1，点M是BC的中点，点N在AB边上，满足∠AMN＝60°，求的值；（2）如图2，点M在AB边上（M为非中点，不与A、B重合），点N在CB的延长线上且∠MNB＝∠MCB，求证：AM＝BN．（3）如图3，点P为AC边的中点，点E在AB的延长线上，点F在BC的延长线上，满足∠AEP＝∠PFC，求的值．2．（1）发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．填空：①∠DCE的度数是；②线段CA、CE、CD之间的数量关系是．（2）探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC 边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．（3）应用如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6．若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长．3．（1）问题发现：如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC的延长线上，连接CE，求证：△ABD≌△ACE．（2）类比探究：如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，D点在边BC的延长线上，连接CE．请判断：①∠ACE的度数为．②线段BC，CD，CE之间的数量关系是．（3）问题解决：在（2）中，如果AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．4．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC＝8，BC＝6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM＝，当N在F→C路径上时，CN＝．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．5．已知在△ABC中，AB＝AC，过点B引一条射线BM，D是BM上一点．（1）如图1，∠ABC＝60°，射线BM在∠ABC内，∠ADB＝60°，求证：∠BDC ＝60°．请根据以下思维框图，写出证明过程．（2）如图2，已知∠ABC＝∠ADB＝30°．①当射线BM在∠ABC内，求∠BDC的度数．②当射线BM在BC下方，请问∠BDC的度数会变吗？若不变，请说明理由；若改变，请直接写出∠BDC的度数．（3）在第（2）题的条件下，作AF⊥BD于点F，连结CF，已知BD＝6，CD＝2，求△CDF的面积．6．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝45°，点E是线段AC上一动点，连接DE．填空：①则的值为；②∠EAD的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，点E是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC＝4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在△ABC内，BD＝BC，∠DBC＝60°，点E 在△ABC外，∠CBE＝150°，∠ACE＝60°．（1）求∠ADC的度数．（2）判断△ACE的形状并加以证明．（3）连接DE，若DE⊥CD，AD＝3，求DE的长．8．在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线BC上任意一点，在射线CM上截取CE＝BD，连接AD、DE、AE．（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，直接写出∠ADE的度数；（2）如图2，当点D落在线段BC（不含边界）上时，AC与DE交于点F，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图2，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC，垂足为G，连接HG，判断△GHC 的形状，并说明理由．9．如图，已知在ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点E与点M在AC所在直线的两侧，AE⊥AB，AE＝BC，点N在AC边上，CN＝AM，连接ME、BN；（1）根据题意，补全图形；（2）ME与BN有何数量关系，判断并说明理由；（3）点M在何处时BM+BN取得最小值？请确定此时点M的位置，并求出此时BM+BN 的最小值．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，以AB为一边向上作等边三角形ABD，点E在BC垂直平分线上，且EB⊥AB，连接CE，AE，CD．（1）判断△CBE的形状，并说明理由；（2）求证：AE＝DC；（3）填空：①若AE，CD相交于点F，则∠AFD的度数为．②在射线AB上有一动点P，若△PBC为等腰三角形，则∠ACP的度数为．参考答案1．解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝AC，∵点M是BC的中点，∴∠MAN＝30°，∠AMB＝90°，∵∠AMN＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，AB＝2BM，设BN＝x，则BM＝2x，AB＝4x，∴AN＝3x，∴；（2）证明：如图2，过点M作MG∥NC交AC于点G，∴∠A＝∠AMG＝∠AGM＝60°，∴△AMG为等边三角形，∴AM＝AG，∴BM＝CG，∵∠AGM＝∠ABC＝60°，∴∠MGC＝∠NBM＝120°，∵MG∥BC，∴∠GMC＝∠MCB，∵∠MNB＝∠MCB，∴∠GMC＝∠MNB，∴△MGC≌△NBM（AAS），∴MG＝BN，∵△AMG为等边三角形，∴AM＝MG，∴AM＝BN；（3）如图3，过点P作PM∥BC交AB于点M，∴△AMP为等边三角形，∴AP＝MP，∠AMP＝60°，∵P为AC的中点，∴AP＝PC，∴MP＝PC，∵∠ACB＝60°，∴∠EMP＝∠PCF＝120°，∵∠AEP＝∠PFC，∴△PCF≌△PME（AAS），∴CF＝ME，∴BF﹣BE＝BC+CF﹣ME+MB，又∵P为AC的中点，MP∥BC，∴MB＝，∴BF﹣BE＝BC+BC＝，∴．2．（1）发现解：①∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；故答案为：120°，②∵△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴CA＝BC＝CE+CD；故答案为：CA＝CE+CD．（2）探究∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°．∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，∵CB＝CD+DB＝CD+CE，∴CA＝CD+CE．（3）应用DA＝5或．作DE⊥AB于E，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝2，∵∠BDC＝90°，DB＝DC，∴DB＝DC＝，∠BCD＝∠CBD＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，∴∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴BE＝6﹣DE，∵BE2+DE2＝BD2，∴DE2+（6﹣DE）2＝26，∴DE＝1，DE＝5，∴AD＝或AD＝5．3．（1）问题发现：证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE＝60°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）类比探究：①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，在△ACE与△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠ACE＝∠B＝45°，故答案为：45°；②∵△ACE≌△ABD，∴BD＝CE，∴BC+CD＝CE，故答案为：BC+CD＝CE；（3）问题解决：解：在（2）中，同（1）的方法可证：△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，在Rt△BAC中，，∴，又∵CD＝1，由（2）得CE＝BC+CD＝3，在Rt△BAC中，，则线段DE的长是．4．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t．故答案为：8﹣t；6﹣3t．②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，8﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣1（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，8﹣t═3t﹣6，解得，t＝3.5，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，8﹣t＝18﹣3t，解得，t＝5，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，8﹣t＝3t﹣18，解得，t＝6.5，综上所述，当t＝3.5秒或5秒或6.5秒时，△MDC与△CEN全等．5．（1）证明：在BM上取一点E，使AE＝AD．∵∠ADB＝60°，∴△ADE是等边三角形．∵AB＝AC，∠ABC＝60°，∴△ABC是正三角形，∴∠BAE＝60°﹣∠EAC＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝120°，∴∠BDC＝120°﹣60°＝60°．（2）①在BD上取一点E，AE＝AD，如图2，∵∠ABC＝∠ADB＝30°，且AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∠AED＝∠ADE＝30°，∴∠BAC＝∠EAD＝120°，∴∠BAE＝∠CAD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴∠ADC＝∠AEB＝180°﹣30°＝150°，∴∠BDC＝150°﹣30°＝120°．②会变．如图3．在DB延长线上取一点E，使得AE＝AD，同理可得：△BAE≌△CAD，∴∠ADC＝∠E＝30°，∴∠BDC＝∠ADE+∠ADC＝30°+30°＝60°．（3）如图，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，且AE＝AD，AF⊥DE，∴，作CH⊥BM，如图4，∵∠BDC＝120°，∴∠CDH＝60°，∴∠DCH＝30°，∴，∴，∴如图5，∵△BAE≌△CAD，∴BE＝CD，且AE＝AD，AF⊥DE，∴，，∴．6．解：（1）∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE即∠CBE＝∠ABD，∵∠ACB＝∠BED＝45°，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∠BED＝∠BDE＝45°，∴AB＝BC，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠DAB＝∠ECB＝45°，∴＝1，∠EAD＝45°+45°＝90°．故答案为：1，90°．（2），∠EAD＝90°．理由如下：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，∠BAC＝∠BDE＝30°，∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan60°＝，在Rt△DBE中，tan∠BED＝＝tan60°＝，∴＝，又∵∠ABD＝∠EBC，∴△ABD∽△∠CBE，∴＝＝，∠BAD＝∠ACB＝60°．∵∠BAC＝30°，∴∠EAD＝∠BAD+∠BAC＝60°+30°＝90°．（3）如图，由（2）知：＝＝，∠EAD＝90°，∴AD＝CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝4，∴AC＝8，AB＝4，∵∠EAD＝∠EBD＝90°，且点M是DE的中点，∴AM＝BM＝DE，∵△ABM为直角三角形，∴AM2+BM2＝AB2＝（4）2＝48，∴AM＝BM＝2，∴DE＝4，设EC＝x，则AD＝x，AE＝8﹣x，Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，∴（8﹣x）2+（x）2＝（4）2，解之得：x＝2+2（负值舍去）．∴EC＝2+2．∴AD＝CE＝2+6．∴线段AD的长为（2+6）．7．（1）解：∵BD＝BC，∠DBC＝60°，∴△DBC是等边三角形．∴DB＝DC，∠BDC＝∠DBC＝∠DCB＝60°．在△ADB和△ADC中，∵，∴△ADC≌△ADB（SSS）．∴∠ADC＝∠ADB．∴∠ADC＝（360°﹣60°）＝150°．（2）解：△ACE是等边三角形．理由如下：∵∠ACE＝∠DCB＝60°，∴∠ACD＝∠ECB．∵∠CBE＝150°，∠ADC═150°，∴∠ADC＝∠EBC．在△ACD和△ECB中，∵，∴△ACD≌△ECB（ASA）．∴AC＝CE．∵∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形．（3）解：连接DE．∵DE⊥CD，∴∠EDC＝90°．∵∠BDC＝60°，∴∠EDB＝30°．∵∠CBE＝150°，∠DBC＝60°，∴∠DBE＝90°．∴EB＝DE．∵△ACD≌△ECB，AD＝3，∴EB＝AD＝3．∴DE＝2EB＝6．8．（1）解：∠ADE＝45°．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵∠ACM＝∠ACB，∴∠ACM＝∠ABC，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠CAE＝∠BAD，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠ADE＝45°；（2）（1）中的结论成立证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵∠ACM＝∠ACB，∴∠B＝∠ACM＝45°．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝90°．即∠DAE＝90°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝45°．（3）△CGH为等腰直角三角形．理由如下：∵∠BCA＝∠ACE＝45°，∴∠GCH＝90°，又∵AH⊥BC，AG⊥CE，∴AG＝AH，∵∠ACG＝∠AGC＝45°，∴AG＝CG，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠HCA＝∠HAC＝45°，∴AH＝HC，∴CH＝CG，∴△CGH为等腰直角三角形．9．解：（1）如图1所示：（2）ME＝BN．证明：延长AM交BC于点F，如图．∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM．∵AE⊥AB，∴∠MAE+∠BAM＝90°．∴∠MAE+∠CAM＝90°∵AB＝AC，AM平分∠BAC，∴AF⊥BC．∴∠C+∠CAM＝90°．∴∠MAE＝∠C．又∵AM＝CN，AE＝BC，∴△AME≌△CNB（SAS）．∴ME＝BN．（3）由（2）知ME＝BN，则当B，M，E三点共线时，此时BM+BN取得最小值，点M的位置如图2，∵AB＝5，BC＝6，∴AE＝BC＝6，∴BE＝＝＝．∴BM+BN的最小值是．10．解：（1）△CBE是等边三角形．理由如下：∵点E在BC垂直平分线上，∴EC＝EB，∵EB⊥AB，∴∠ABE＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠CBE＝60°，∴△CBE是等边三角形．（2）∵△ABD是等边三角形，∴AB＝DB，∠ABD＝60°，∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝90°，∵EB⊥AB，∴∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠DBC，由（1）可知：△CBE是等边三角形，∴EB＝CB，∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC；（3）①设AB与CD交于点G，∴∠EAB＝∠CDB，又∵∠AGC＝∠BGD，∴∠AFD＝∠ABD＝60°．故答案为：60°．②∵△BCP为等腰三角形，当BC＝BP时，如图2，∠ABC＝∠BCP+∠BPC＝30°，∴∠BCP＝15°，∴∠ACP＝90°+15°＝105°；当PC＝PB时，如图3，∴∠PCB＝30°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACP＝60°；当BP＝BC时，如图4，∵∠ABC＝30°，∴∠PCB＝∠CPB＝（180°﹣30°）＝75°，∴∠ACP＝90°﹣75°＝15°．综合上述可得∠ACP的度数为15°或60°或105°．故答案为：15°或60°或105°．。

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷及答案

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷及答案

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A.85°B.75°C.65°D.60°（第1题图）（第2题图）2.如图，平行线AB，CD 被直线EF 所截，过点B 作BG⊥EF 于点G，已知∠1=50°，则∠B=（）A.20°B.30°C.40°D.50°3.如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（）A．米B．2sin70°米C．米D． 2.2cos70°米（第3题图）（第5题图）4.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（）A．B．3C．D．5.如图，每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）A.1B.2C.3D.46.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（）A.2B.3C.5D.137.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．（第7题图）（第8题图）8.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9.如图，在△ABC 外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（）A．△ABC 与△DEF 是位似图形B．△ABC 与△DEF 是相似图形C．△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2D．△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1（第9题图）（第10题图）10.如图，在数轴上有A，B，C，D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A，D 两点表示的数分别为-5和6，且AC 的中点为E，BD 的中点为M，BC 之间距点B 的距离为BC 的点为N，则该数轴的原点为（）A．点EB．点FC．点MD.点N 11.如图，将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）（第11题图）（第12题图）12.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C，将△ABC 绕点B。

2020年数学中考复习专题：《三角形综合》(后附解析)

2020年数学中考复习专题：《三角形综合》(后附解析)

中考复习冲刺：《三角形综合》1．如图，在三角形ABC 中，AB ＝8，BC ＝16，AC ＝12．点P 从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →＞B →C →A 的方向运动，点Q 从点B 沿B →C →A 的方向与点P 同时出发；当点P 第一次回到A 点时，点P ，Q 同时停止运动；用t （秒）表示运动时间．（1）当t ＝ 秒时，P 是AB 的中点．（2）若点Q 的运动速度是23个单位长度/秒，是否存在t 的值，使得BP ＝2BQ ． （3）若点Q 的运动速度是a 个单位长度/秒，当点P ，Q 是AC 边上的三等分点时，求a 的值．2．如图，在△ABC 中，BC ＝7cm ，AC ＝24cm ，AB ＝25cm ，P 点在BC 上，从B 点到C 点运动（不包括C 点），点P 运动的速度为2cm /s ；Q 点在AC 上从C 点运动到A 点（不包括A 点），速度为5cm /s ．若点P 、Q 分别从B 、C 同时运动，请解答下面的问题，并写出探索主要过程：（1）经过多少时间后，P 、Q 两点的距离为5cm ？（2）经过多少时间后，S △PCQ 的面积为15cm 2？（3）用含t 的代数式表示△PCQ 的面积，并用配方法说明t 为何值时△PCQ 的面积最大，最大面积是多少？3．定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，求证：△ABC是倍角三角形；（2）若△ABC是倍角三角形，∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，AC＝4 2 ，求△ABC面积；（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得AE＝AB，若AB+AC＝BD，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．4．如图，如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB 平移至线段CD，使点A的对应点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限．（1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）；（2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值；（3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD 之间的一个等量关系，并说明理由．5．如图1，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE．（1）求证：S△ABD ＝S△ACE；（2）如图2，AM是△ACE的中线，MA的延长线交BD于N，求证：MN⊥BD．6．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC＝3MC，请直接写出的值．7．定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“和美三角形”，这条边称为“和美边”，这条中线称为“和美中线”．理解：（1）请你在图①中画一个以AB为和美边的和美三角形，使第三个顶点C落在格点上；（2）如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝．求证：△ABC是“和美三角形”．运用：（3）已知，等腰△ABC是“和美三角形”，AB＝AC＝20，求底边BC的长（画图解答）．8．【问题提出】在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC ＝α，∠DBC＝β，且α+β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．（不必解答）【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时，利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题．请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：△D′BC的形状是三角形；∠ADB的度数为．【问题解决】在原问题中，当∠DBC＜∠ABC（如图1）时，请计算∠ADB的度数；【拓展应用】在原问题中，过点A作直线AE⊥BD，交直线BD于E，其他条件不变若BC ＝7，AD＝2．请直接写出线段BE的长为．9．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．10．问题原型：如图①，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，使DE＝CD，连结BE．求证：BE＝AC．问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM ＝EF，连结CM．（1）判断线段AC与CM的大小关系，并说明理由．（2）若AC＝，直接写出A、M两点之间的距离．11．如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C 不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q 不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；（2）证明：在运动过程中，点D是线段PQ的中点；（3）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．12．如图，AC平分钝角∠BAE交过B点的直线于点C，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠BAD+∠ABD＝90°．（1）求证：AE∥BC；（2）点F是射线BC上一动点（点F不与点B，C重合），连接AF，与射线BD相交于点P．（ⅰ）如图1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，试探究线段BF与CF之间满足的数量关系；＝30，∠CAF＝∠ABD，求线段BP的长．（ⅱ）如图2，若AB＝10，S△ABC13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数，若不可以，请说明理由．14．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC的中点，过点C作CG⊥AD于点G，过点B作FB⊥CB于点B，交CG的延长线于点F，连接DF交AB于点E．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）求证：AB垂直平分DF；（3）连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．15．【阅读理解】截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE易证得△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而探寻线段DA、DB、DC之间的数量关系．根据上述解题思路，请直接写出DA、DB、DC之间的数量关系是；【拓展延伸】（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．若点D是边BC下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系，并说明理由；【知识应用】（3）如图3，两块斜边长都为14cm的三角板，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角板的直角顶点之间的距离PQ的长分别为cm．16．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，D在边AC上，AE⊥BD于E．（1）如图1，作CF⊥BD于F，求证：CF﹣AE＝EF；（2）如图2，若BC＝CD，求证：BD＝2AE；（3）如图3，作BM⊥BE，且BM＝BE，AE＝2，EN＝4，连接CM交BE于N，请直接写出△BCM的面积为．17．已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，M为CE中点．（1）如图1，若D点在BA延长线上，直接写出BM与DM的数量关系与位置关系不必证明．（2）如图2，当C，E，D在同直线上，连BE，探究BE与AB的的数量关系，并加以证明．（3）在（2）的条件下，若AB＝AE＝2．求BD的长．18．如图1，点C在线段AB上，（点C不与A、B重合），分别以AC、BC为边在AB同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE、BD交于点P（1）观察猜想：①线段AE与BD的数量关系为．②∠APC的度数为．（2）数学思考：如图2，当点C在线段AB外时，（1）中的结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展应用：如图3，分别以AC、BC为边在AB同侧作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，连接AE＝BD交于点P，则线段AE与BD的关系为．19．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C 重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．20．思维启迪：（1）如图①，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，他出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC＝4，AE＝DE＝，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．①如图②，当△ADE在起始位置时，求证：PC⊥PE，PC＝PE．②如图③，当α＝90°时，点D落在AB边上，PC与PE的数量关系和位置关系分别为．③当α＝135°时，直接写出PC的值．参考答案1．解：（1）∵AB＝8，点P的运动速度为2个单位长度/秒，∴当P为AB中点时，即4÷2＝2（秒）；故答案为：2．（2）由题意可得：当BP＝2BQ时，P，Q分别在AB，BC上，∵点Q的运动速度为个单位长度/秒，∴点Q只能在BC上运动，∴BP＝8﹣2t，BQ＝t，则8﹣2t＝2×t，解得t＝，当点P运动到BC和AC上时，不存在BP＝2BQ；（3）当点P为靠近点A的三等分点时，如图1，AB+BC+CP＝8+16+8＝32，此时t＝32÷2＝16，∵BC+CQ＝16+4＝20，∴a＝20÷16＝，当点P为靠近点C的三等分点时，如图2，AB +BC +CP ＝8+16+4＝28，此时t ＝28÷2＝14，∵BC +CQ ＝16+8＝24，∴a ＝24÷14＝．综上可得：a 的值为或．2．解：（1）连接PQ ，设经过ts 后，P 、Q 两点的距离为5cm ，ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，根据勾股定理可知PC 2+CQ 2＝PQ 2，代入数据（7﹣2t ）2+（5t ）2＝（5）2； 解得t ＝1或t ＝﹣（不合题意舍去）；（2）设经过ts 后，S △PCQ 的面积为15cm 2 ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，S △PCQ ＝×PC ×CQ ＝×（7﹣2t ）×5t ＝15解得t 1＝2，t 2＝1.5，经过2或1.5s 后，S △PCQ 的面积为15cm 2．（3）设经过ts 后，△PCQ 的面积最大，ts 后，PC ＝7﹣2tcm ，CQ ＝5tcm ，S △PCQ ＝×PC ×CQ ＝×（7﹣2t ）×5t ＝×（﹣2t 2+7t ）．＝﹣5．∴当t＝s时，△PCQ的面积最大，最大值为cm2．3．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝36°，∴∠B＝∠C＝72°，∴∠A＝2∠C，即△ABC是倍角三角形，（2）解：∵∠A＞∠B＞∠C，∠B＝30°，①当∠B＝2∠C，得∠C＝15°，过C作CH⊥直线AB，垂足为H，可得∠CAH＝45°，∴AH＝CH＝AC＝4．∴BH＝，∴AB＝BH﹣AH＝﹣4，∴S＝．②当∠A＝2∠B或∠A＝2∠C时，与∠A＞∠B＞∠C矛盾，故不存在．综上所述，△ABC面积为．（3）△ADC和△ABC是倍角三角形，证明如下：∵AD平分∠BAE，∴∠BAD＝∠EAD，∵AB＝AE，AD＝AD，∴△ABD≌△AED（SAS），∴∠ADE＝∠ADB，BD＝DE．又∵AB +AC ＝BD ，∴AE +AC ＝BD ，即CE ＝BD ．∴CE ＝DE ．∴∠C ＝∠BDE ＝2∠ADC ．∴△ADC 是倍角三角形．∵△ABD ≌△AED ，∴∠E ＝∠ABD ，∴∠E ＝180°﹣∠ABC ，∵∠E ＝180°﹣2∠C ，∴∠ABC ＝2∠C ．∴△ABC 是倍角三角形．4．解：（1）∵点A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），C （k ，0），将线段AB 平移至线段CD ， ∴点B 向上平移一个单位，向右平移（k +4）个单位到点D ，∴D （k +2，2）；（2）如图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，∵A （﹣4，﹣1）、B （﹣2，1），C （k ，0），D （k +2，2），∴BE ＝1，CE ＝k +2，DF ＝2，EF ＝k +4，CF ＝2，∵S 四边形BEFD ＝S △BEC +S △DCF +S △BCD ， ∴＝+，解得：k ＝2．（3）∠BPD ＝∠BCD +∠A ；理由如下：过点P 作PE ∥AB ，如图2所示：∴∠PBA＝∠EPB，∵线段AB平移至线段CD，∴AB∥CD，∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD，∴∠EPD＝∠PDC，∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC，∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠PBA＝∠ABC，∠PDC＝∠ADC，∴∠BPD＝∠ABC+∠ADC＝∠BCD+∠A．5．证明：（1）过B作BM⊥DA于M，过C作CN⊥EA交EA的延长线于N，如图，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝180°，∵∠CAN+∠CAE＝180°，∴∠BAD＝∠CAN∵sin∠BAD＝，sin∠CAN＝，又∵AB＝AC，∴BM＝CN，∵DA＝AE，S△ABD ＝DN×BM，S△ACE＝AE×CN，∴S△ADB ＝S△ACE．（2）延长AM到Q使AM＝QM，连接CQ、EQ，如图，∵AM是△ACE中线，∴CM＝EM，∴四边形ACQE是平行四边形，∴AC＝EQ＝AB，AE＝CQ＝AD，AC∥EQ，∴∠CAE+∠AEQ＝180°，∵∠BAD+∠CAE＝180°，∴∠BAD＝∠AEQ，∵在△BAD和△QEA中∴△BAD≌△QEA，∴∠BDA＝∠EAM，∵∠DAE＝90°，∴∠NAD+∠QAE＝90°，∴∠BDA+∠NAD＝90°，∴∠DNA＝180°﹣90°＝90°，∴MN⊥BD．6．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC ＝∠AEH ，∵AD ＝AE ，∴△ACD ≌△EHA ，∴CD ＝AH ，EH ＝AC ＝BC ，∵CB ＝CA ，∴BD ＝CH ，∵∠EHF ＝∠BCF ＝90°，∠EFH ＝∠BFC ，EH ＝BC ，∴△EHF ≌△BCF ，∴FH ＝CF ，∴BD ＝CH ＝2CF ．（3）如图3中，同法可证BD ＝2CM ．∵AC ＝3CM ，设CM ＝a ，则AC ＝CB ＝3a ，BD ＝2a ， ∴＝＝．7．解：（1）如图①中，△ABC 1，△ABC 2即为所求．（2）证明：如图②，根据定义Rt △ABC 中，和美中线一定是较长直角边上的中线． 理由：取AC 的中点D ，连结BD ，设AC ＝2x ，则CD ＝AD ＝x ，∵，∴，∴，在Rt△BCD中，∴BD＝AC，∴△ABC是“和美三角形：．（3）分两种情况：如图③，当腰上的中线BD＝AC时，则AB＝BD，过B作BE⊥AD于E，∵AB＝AC＝20，∴BD＝20，，∴CE＝10+5＝15，∴Rt△BDE中，BE2＝BD2﹣DE2＝375，∴Rt△BCE中，；如图④，当底边上的中线AD＝BC时，则AD⊥BC，且AD＝2BD，设BD＝x，则x2+（2x）2＝202，∴x2＝80，又∵x＞0，∴，∴．综上所述，底边BC的长为或．8．解：【特例探究】①如图2中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∵∠DBC＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝15°，在△ABD和△ABD′中，∴△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝15°，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝60°，∵BD＝BD′，BD＝BC，∴BD′＝BC，∴△D′BC是等边三角形，②∵△D′BC是等边三角形，∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，在△AD′B和△AD′C中，∴△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．故答案为：等边，30°；【问题解决】解：∵∠DBC＜∠ABC，∴60°＜α≤120°，如图3中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝α，∴∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝90°﹣α﹣β，同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝90°﹣α﹣β，BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝90°﹣α﹣β+90°﹣α＝180°﹣（α+β），∵α+β＝120°，∴∠D′BC＝60°，由（1）②可知，△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∴∠AD′B＝∠BD′C＝30°，∴∠ADB＝30°．【拓展应用】第①情况：当60°＜α＜120°时，如图3﹣1，由（2）知，∠ADB＝30°，作AE⊥BD，在Rt△ADE中，∠ADB＝30°，AD＝2，∴DE＝，∵△BCD'是等边三角形，∴BD'＝BC＝7，∴BD＝BD'＝7，∴BE＝BD﹣DE＝7﹣；第②情况：当0°＜α＜60°时，如图4中，作∠ABD′＝∠ABD，BD′＝BD，连接CD′，AD′．同理可得：∠ABC＝（180°﹣α）＝90°﹣α，∴∠ABD＝∠DBC﹣∠ABC＝β﹣（90°﹣α），同（1）①可证△ABD≌△ABD′，∴∠ABD＝∠ABD′＝β﹣（90°﹣α），BD＝BD′，∠ADB＝∠AD′B，∴∠D′BC＝∠ABC﹣∠ABD′＝90°﹣α﹣[β﹣（90°﹣α）]＝180°﹣（α+β），∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°．同（1）②可证△AD′B≌△AD′C，∴∠AD′B＝∠AD′C，∵∠AD′B+∠AD′C+∠BD′C＝360°，∴∠ADB＝∠AD′B＝150°，在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴DE＝，∴BE＝BD+DE＝7+，故答案为：7+或7﹣．9．解：（1）作CH⊥y轴于H，则∠BCH+∠CBH＝90°，∵AB⊥BC，∴∠ABO+∠CBH＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，在△ABO和△BCH中，，∴△ABO≌△BCH，∴BH＝OA＝3，CH＝OB＝1，∴OH＝OB+BH＝4，∴C点坐标为（1，﹣4）；（2）∵∠PBQ＝∠ABC＝90°，∴∠PBQ﹣∠ABQ＝∠ABC﹣∠ABQ，即∠PBA＝∠QBC，在△PBA和△QBC中，，∴△PBA≌△QBC，∴PA＝CQ；（3）∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BQP＝45°，当C、P，Q三点共线时，∠BQC＝135°，由（2）可知，△PBA≌△QBC，∴∠BPA＝∠BQC＝135°，∴∠OPB＝45°，∴OP＝OB＝1，∴P点坐标为（1，0）．10．解：问题原型：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴∠BAD＝45°，∴∠ABC＝∠BAD，∴AD＝BD，在△BDE和△ADC中，∵，∴△BDE≌△ADC（SAS），∴BE＝AC，问题拓展：（1）AC＝CM，理由：∵点F是BC中点，∴BF＝CF，在△BEF和△CMF中，∵，∴△BEF≌△CMF（SAS），∴BE＝CM，由（1）知，BE＝AC，∴AC＝CM；（2）如图②，连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，∴∠BED＝∠ACD，由（2）知，△BEF≌△CMF，∴∠EBF＝∠BCM，∴∠ACM＝∠ACD+∠BCM＝∠BED+∠EBF＝90°，∵AC＝CM，∴AM＝AC＝．11．（1）解：设AP＝x，则BQ＝x，∵∠BQD＝30°，∠C＝60°，∴∠QPC＝90°，∴QC＝2PC，即x+6＝2（6﹣x），解得x＝2，即AP＝2．（2）证明：如图，过P点作PF∥BC，交AB于F，∵PF∥BC，∴∠PFA＝∠FPA＝∠A＝60°，∴PF＝AP＝AF，∴PF＝BQ，又∵∠BDQ＝∠PDF，∠DBQ＝∠DFP，∴△DQB≌△DPF，∴DQ＝DP即D为PQ中点，（3）运动过程中线段ED的长不发生变化，是定值为3，理由：∵PF＝AP＝AF，PE⊥AF，∴，又∵△DQB≌△DPF，∴，∴．12．（1）证明：∵AC平分钝角∠BAE，BD平分∠ABC，∴∠BAE＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABD，∴∠BAE+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABD）＝2×90°＝180°，∴AE∥BC；（2）解：（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由如下：∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴BD⊥AC，∴∠CBD+∠BCD＝90°，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC，过点A作AH⊥BC于H，如图1所示：∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，∴△ABH、△BAF是等腰直角三角形，∴AH＝BH＝HF，BC＝AB＝BH，BF＝AB＝×BH＝2BH，∴CF＝BF﹣BC＝2BH﹣BH＝（2﹣）BH，∴BH＝＝（1+）CF，∴BF＝2（1+）CF＝（2+）CF；（ⅱ）当点F在点C的左侧时，如图2所示：同（ⅰ）得：∠BAD＝∠BCD，∴AB＝BC＝10，∵∠CAF＝∠ABD，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠BCD+∠CAF＝90°，∴∠AFC＝90°，∴AF⊥BC，＝BC•AF＝×10×AF＝30，则S△ABC∴AF＝6，∴BF＝＝8，∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，∴AC＝＝2，＝AC•BD＝×2×BD＝30，∵S△ABC∴BD＝3，作PG⊥AB于G，则PG＝PF，在Rt△BPG和Rt△BPF中，，∴Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），∴BG＝BF＝8，∴AG＝AB﹣BG＝2，∵AB＝CB，BD⊥AC，∴AD＝CD＝AC＝，设AP＝x，则PG＝PF＝6﹣x，在Rt△APG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴AP＝，∴PD＝＝＝，∴BP＝BD﹣PD＝3﹣＝；当点F在点C的右侧时，则∠CAF＝∠ACF'，∵BD⊥AC，∴∠APD＝∠AP'D，∴AP＝AP'，PD＝P'D＝，∴BP＝+2×＝；综上所述，线段BP的长为或．13．解：（1）∵∠ADB+∠ADE+∠EDC＝180°，且∠ADE＝40°，∠BDA＝110°，∴∠EDC＝30°，∵∠AED＝∠EDC+∠ACB＝30°+40°＝70°∴∠EDC＝180°﹣∠AED＝110°，故答案为：30，110，∵∠BDA+∠B+∠BAD＝180°，∴∠BDA＝140°﹣∠BAD∵点D从B向C的运动过程中，∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小，故答案为：小（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，且AB＝CD＝2，∠B＝∠C＝40°，∴△ABD≌△DCE（ASA）（3）若AD＝DE时，∵AD＝DE，∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时，∵AE＝DE，∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°，∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°综上所述：当∠BDA＝80°或110°时，△ADE的形状可以是等腰三角形14．证明：（1）∵CG⊥AD，∴∠AGC＝90°，∴∠GCA+∠CAD＝90°，∵∠GCA+∠FCB＝90°，∴∠CAD＝∠FCB，∵FB⊥BC，∴∠CBF＝90°，∵Rt△ABC是等腰三角形，∠ACB＝90°，∴AC＝BC，∠CBF＝∠ACB，在△ACD和△CBF中，∴△ACD≌△CBF（ASA）；（2）∵△ACD≌△CBF，∴CD＝BF，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∴BD＝BF，∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠DBE＝45°，∵∠CBF＝90°，∴∠DBE＝∠FBE＝45°，在△DBE和△FBE中，∴△DBE≌△FBE（SAS），∴DE＝FE，∠DEB＝∠FEB＝90°，∴AB垂直平分DF；（3）△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF＝AD，由（2）知：AB垂直平分DF，∴AF＝AD，∵CF＝AD，∴CF＝AF，∴△ACF是等腰三角形．15．解：（1）如图1，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵∠BDC＝120°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，又∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠ABC＝60°，即∠BAD+∠DAC＝60°，∴∠DAC+∠CAE═60°，即∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DA＝DE＝DC+CE＝DC+DB，即DA＝DC+DB，故答案为：DA＝DC+DB；（2）DA＝DB+DC，如图2，延长DC到点E，使CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，CE＝BD，∴△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴DA2+AE2＝DE2，∴2DA2＝（DB+DC）2，∴DA＝DB+DC；（3）如图3，连接PQ，∵MN＝14，∠QMN＝30°，∴QN＝MN＝7，∴MQ＝＝＝7，由（2）知PQ＝QN+QM＝7+7，∴PQ＝＝，故答案为：．16．（1）证明：∵CF⊥BD于点F，AE⊥BD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°，∴∠ABE+∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∴CF﹣AE＝BE﹣BF＝EF；（2）证明：如图1，过点C作CF⊥BD于点F，∵BC＝CD，∴BF＝DF，由（1）得AE＝BF，∴AE＝DF，∴BD＝2AE；（3）解：如图2，过点C作CG⊥MB，交MB的延长线于点G，过点C作CH⊥BE，交BE于点H，∵BM⊥BE，CH⊥BE，CG⊥MB，∴∠NBG＝∠CHB＝∠CGB＝90°，∴四边形BGCH为矩形，∴BG＝HC，BH＝GC，由（1）得△AEB≌△BHC，∴AE＝BH，BE＝CH，∵BM＝BE，∴BM＝CH，∵∠MBN＝∠CHN＝90°，∠MNB＝∠CNH，∴△BMN≌△HCN（AAS），∴BM＝CH，BN＝HN，∵AE＝BH＝2，∴BN＝1，∴BE＝BM＝BN+EN＝1+4＝5，∴＝．故答案为：5．17．解：（1）BM＝DM，BM⊥DM；如图1，连接AM，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠CAE＝90°，∵M为CE中点．∴CM＝AM，∵BM＝BM，BC＝BA，∴△BCM≌△BAM（SSS），∴∠CBM＝∠MBA＝45°，同理可得∠MDA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM，BM⊥DM；（2）如图2，延长BM到N，使BM＝MN，连EN，DN，BD，BE，∵∠CMB＝∠EMN，CM＝ME，∴△CBM≌△ENM（SAS），∴BC＝EN，∠BCM＝∠MEN，∴EN＝AB，∵∠CBA＝∠ADE＝90°，∴∠BCM+∠BAD＝180°，∵∠NED+∠MEN＝180°，∴∠NED＝∠BAD，又∵AD＝DE，∴△END≌△ABD（SAS），∴DB＝DN，∠NDE＝∠BDA，∴∠NDE+∠BDE＝90°，∴∠NDB＝90°，∴DB⊥DN，∴DM⊥BN，∴BE＝EN＝BC＝AB；（3）如图3，连BE，BD交AE于N，在（2）的条件下，CM＝ME，DM⊥BM，∴BE＝BC＝AE＝AB＝2，DE＝DA＝2，∴BD为AE的垂直平分线，∴EN＝DN＝AN＝，∴BN＝＝，∴BD＝+．18．解：（1）观察猜想：①如图1，设AE交CD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAO＝∠ODP，S△ACE ＝S△BCD，∴∠DPO＝∠ACO＝60°，∴∠APB＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴CP平分∠APB，∴∠APC＝60°，故答案为AE＝BD，60°．（2）数学思考：：①成立，②不成立，理由：设AC交BD于点O．过点C作CH⊥AE，CG⊥BD，∵△ADC，△ECB都是等边三角形，∴CA＝CD，∠ACD＝∠ECB＝60°，CE＝CB，∴∠ACE＝∠DCB∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠PAO＝∠ODC，∵∠AOP＝∠DOC，∴∠APO＝∠DCO＝60°，∴∠DPE＝120°，∵S△ACE ＝S△BCD，∴×AE×CH＝×BD×CG，∴CH＝CG，且CH⊥AE，CG⊥BD，∴∠DPC＝60°，∴∠APC＝120°，∴①成立，②不成立；拓展应用：设AC交BD于点O．∵∠ACD＝∠BCE＝90°，CA＝CD，CB＝CE，∴∠ACE＝∠DCB∴△AEC≌△DBC（SAS），∴AE＝BD，∠CDB＝∠CAE，∵∠AOP＝∠COD，∠CDB＝∠CAE，∴∠DCO＝∠APO＝90°，∴AE⊥BD，故答案为：AE＝BD，AE⊥BD．19．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．20．（1）解：∵CD∥AB，∴∠ABP＝∠C，∵P是BC的中点，∴PB＝PC，在△ABP和△DCP中，，∴△ABP≌△DCP（ASA），∴AB＝CD＝200米；故答案为：200；（2）①证明：延长EP交BC于F，如图②所示：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDP＝∠FBP，∠DEP＝∠BFP，∵点P是线段BD的中点，∴PB＝PD，在△FBP和△EDP中，，∴△FBP≌△EDP（AAS），∴PF＝PE，BF＝DE，∵AC＝BC，AE＝DE，∴FC＝EC，又∵∠ACB＝90°，∴△EFC是等腰直角三角形，∵PE＝PF，∴PC⊥EF，PC＝EF＝PE；②解：PC⊥PE，PC＝PE；理由如下：延长ED交BC于H，如图③所示：由旋转的性质得：∠CAE＝90°，∵∠AED＝∠ACB＝90°，∴四边形ACHE是矩形，∴∠BHE＝∠CHE＝90°，AE＝CH，∵AE＝DE，∴CH＝DE，∠ADE＝45°，∴∠EDP＝135°，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∵∠BHE＝90°，点P是线段BD的中点，∴PH⊥BD，PH＝BD＝PD，△BPH是等腰直角三角形，∴∠BHP＝45°，∴∠CHP＝135°＝∠EDP，在△CPH和△EPD中，，∴△CPH≌△EPD（SAS），∴PC＝PE，∠CPH＝∠EPD，∴∠CPE＝∠HPD＝90°，∴PC⊥PE；故答案为：PC⊥PE，PC＝PE；③解：当α＝135°时，AD⊥AC，过点D作DF⊥BC于F，连接CD，过点C作CN⊥BD于N，如图④所示：则四边形ACFD是矩形，∴CF＝AD＝AE＝2，DF＝AC＝4，∴CD＝＝＝2，BF＝BC﹣CF＝4﹣2＝2，∴BD＝＝＝2，∵DF•BC＝CN•BD，∴CN＝＝＝，BN＝＝＝，∴PN＝BD﹣BN＝×2﹣＝，∴PC＝＝＝．。

九年级数学中考2021年复习分类压轴大题专题：三角形综合题【含答案】

九年级数学中考2021年复习分类压轴大题专题：三角形综合题【含答案】

九年级数学中考2021年复习分类压轴大题专题：三角形综合题1．在平面直角坐标系中，B（2，2），以OB为一边作等边△OAB（点A在x轴正半轴上）．（1）若点C是y轴上任意一点，连接AC，在直线AC上方以AC为一边作等边△ACD．①如图1，当点D落在第二象限时，连接BD，求证：AB⊥BD；②若△ABD是等腰三角形，求点C的坐标；（2）如图2，若FB是OA边上的中线，点M是FB一动点，点N是OB一动点，且OM+NM 的值最小，请在图2中画出点M、N的位置，并求出OM+NM的最小值．2．在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝．（1）求CD的长．（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动．①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值．②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．3．如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于A、B两点，OC平分∠AOB交AB于点C，点D为线段AB上一点，过点D作DE∥OC交y轴于点E，已知AO＝m，BO＝n，且m、n满足n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0．（1）求A、B两点的坐标；（2）若点D为AB中点，求OE的长；（3）如图2，若点P（x，﹣2x+4）为直线AB在x轴下方的一点，点E是y轴的正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角△PEF，使点F在第一象限，且F点的横、纵坐标始终相等，求点P的坐标．4．在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD 的下方作等边△CDE，连结BE．（1）若点D在线段AM上时（如图1），则AD BE（填“＞”、“＜”或“＝”），∠CAM＝度；（2）设直线BE与直线AM的交点为O．①当动点D在线段AM的延长线上时（如图2），试判断AD与BE的数量关系，并说明理由；②当动点D在直线AM上时，试判断∠AOB是否为定值？若是，请直接写出∠AOB的度数；若不是，请说明理由．5．提出问题：如图1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，点A正好落在直线l上，则∠1、∠2的关系为．探究问题：如图2，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A正好落在直线l上，分别作BD⊥l 于点D，CE⊥l于点E，试探究线段BD、CE、DE之间的数量关系，并说明理由．解决问题：如图3，在△ABC中，∠CAB、∠CBA均为锐角，点A、B正好落在直线l上，分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，分别过点E、F 作直线l的垂线，垂足为M、N．①试探究线段EM、AB、FN之间的数量关系，并说明理由；②若AC＝3，BC＝4，五边形EMNFC面积的最大值为．6．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D、E分别在AC、BC上，连接AE、BD交于点O，且CD＝CE．（1）如图1，求证：AO＝BO．（2）如图2，F是BD的中点，试探讨AE与CF的位置关系．（3）如图3，F、G分别是BD、AE的中点，若AC＝，CE＝，求△CGF的面积．7．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，P是直线AC上的一点，连接BP，过点C作CD⊥BP，交直线BP于点D．（1）当点P在线段AC上时，如图①，求证：BD﹣CD＝AD；（2）当点P在直线AC上移动时，位置如图②、图③所示，线段CD，BD与AD之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．8．几何探究题（1）发现：在平面内，若AB＝a，BC＝b，其中b＞a．当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为；当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为．（2）应用：点A为线段BC外一动点，如图2，分别以AB、AC为边，作等边△ABD和等边△ACE，连接CD、BE．①证明：CD＝BE；②若BC＝5，AB＝2，则线段BE长度的最大值为．（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），点P为线AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°．请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．9．如图1，平面直角坐标系xOy中，若A（0，4）、B（1，0）且以AB为直角边作等腰Rt △ABC，∠CAB＝90°，AB＝AC．（1）如图1，求C点坐标；（2）如图2，在图1中过C点作CD⊥x轴于D，连接AD，求∠ADC的度数；（3）如图3，点A在y轴上运动，以OA为直角边作等腰Rt△OAE，连接EC，交y轴于F，试问A点在运动过程中S△AOB ：S△AEF的值是否会发生变化？如果没有变化，请说明理由．10．已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．（1）问题发现如图①，若点E、F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，EF，则线段DE与DF的数量关系是，线段DE与DF的位置关系是；（2）拓展探究如图②，若点E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，连接DE，DF，EF，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题当点E，F分别为AB，CA延长线上的点，且BE＝AF＝AB＝2，连接DE，DF，EF，直接写出△DEF的面积．参考答案1．（1）①证明：∵△OAB和△ACD是等边三角形，∴BO＝AO＝AB，AC＝AD，∠OAB＝∠CAD＝60°，∴∠BAD＝∠OAC，在△ABD和△AOC中，，∴△ABD≌△AOC（SAS），∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD；②解：存在两种情况：当点D落在第二象限时，如图1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，﹣4）；当点D落在第一象限时，如图1﹣1所示：作BM⊥OA于M，∵B（2，2），∴OM＝2，BM＝2，∵△OAB是等边三角形，∴AO＝2OM＝4，同①得：△ABD≌△AOC（SAS），∴BD＝OC，∠ABD＝∠OAC＝90°，若△ABD是等腰三角形，则BD＝AB，∴OC＝AB＝OA＝4，∴C（0，4）；综上所述，若△ABD是等腰三角形，点C的坐标为（0，﹣4）或（0，4）；（2）解：作ON'⊥AB于N'，作MN⊥OB于N，如图2所示：∵△OAB是等边三角形，ON'⊥AB，FB是OA边上的中线，∴AN'＝AB＝2，BF⊥OA，BF平分∠ABO，∵ON'⊥AB，MN⊥OB，∴MN＝MN'，∴N'和N关于BF对称，此时OM+MN的值最小，∴OM+MN＝OM+MN'＝ON，∵ON＝＝＝2，∴OM+MN＝2；即OM+NM的最小值为2．2．解：（1）如图，作AE⊥BC于点E，∵AB＝AC∴BE＝BC＝2在Rt△ABE中，AE＝＝＝4∵S＝BC•AE＝AB•CD△ABC∴CD＝＝＝8答：CD的长为8．（2）过点B作BF⊥AC于点F，当点Q在AF之间时，如图所示：＝AC•BF＝AB•CD∵S△ABC∵AB＝AC∴BF＝CD在Rt△CDP和Rt△BQF中，∵CP＝BQ，CD＝BF∴Rt△CDP≌Rt△BQF（HL）∴PD＝QF在Rt△ACD中，CD＝8，AC＝AB＝10 ∴AD＝＝6同理可得AF＝6∴PD＝AD＝AP＝6﹣t，QF＝AF﹣AQ＝6﹣2t由PD＝QF得6﹣t＝6﹣2t，解得t＝0 ∵t＞0，此种情况不符合题意，舍去；当点Q在FC之间时，如图所示：此时PD＝6﹣t，QF＝2t﹣6，由PD＝QF，得6﹣t＝2t﹣6解得t＝4综上得t的值为4．②同①可知：v＞1时，Q在AF之间不存在CP＝BQ，Q在FC之间存在CP＝BQ，Q在F点时，显然CP不等于BQ．∵运动时间为t，则AP＝t，AQ＝vt，∴PD＝6﹣t，QF＝vt﹣6，由DP＝QF，得6﹣t＝vt﹣6整理得v＝∵Q在FC之间，即AF＜AQ≤AC∴6＜vt≤10，代入v＝得6＜12﹣t≤10，解得2≤t＜6所以v＝（2≤t＜6）．3．解：（1）∵n2﹣8n+16+|n﹣2m|＝0，∴（n﹣4）2+|n﹣2m|＝0，∵（n﹣4）2≥0，|n﹣2m|≥0，∴（n﹣4）2＝0，|n﹣2m|＝0，∴m＝2，n＝4，∴点A为（2，0），点B为（0，4）；（2）延长DE交x轴于点F，延长FD到点G，使得DG＝DF，连接BG，设OE＝x，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝∠AOC＝45°，∵DE∥OC，∴∠EFO＝∠FEO＝∠BEG＝∠BOC＝∠AOC＝45°，∴OE＝OF＝x，在△ADF和△BDG中，，∴△ADF≌△BDG（SAS），∴BG＝AF＝2+x，∠G＝∠AFE＝45°，∴∠G＝∠BEG＝45°，∴BG＝BE＝4﹣x，∴4﹣x＝2+x，解得：x＝1，∴OE＝1；（3）如图2，分别过点F、P作FM⊥y轴于点M，PN⊥y轴于点N，设点E为（0，m），∵点P的坐标为（x，﹣2x+4），∴PN＝x，EN＝m+2x﹣4，∵∠PEF＝90°，∴∠PEN+∠FEM＝90°，∵FM⊥y轴，∴∠MFE+∠FEM＝90°，∴∠PEN＝∠MFE，在△EFM和△PEN中，，∴△EFM≌△PEN（AAS），∴ME＝NP＝x，FM＝EN＝m+2x﹣4，∴点F为（m+2x﹣4，m+x），∵F点的横坐标与纵坐标相等，∴m+2x﹣4＝m+x，解得：x＝4，∴点P为（4，﹣4）．4．解：（1））∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE∴∠ACD＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线∴∠CAM＝∠BAC，∴∠CAM＝30°．故答案为：＝，30；（2）①AD＝BE，理由如下：∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴AB＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．②∠AOB是定值，∠AOB＝60°，理由如下：当点D在线段AM上时，如图1，由①知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°，∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线∴AM平分∠BAC，即，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．当点D在线段AM的延长线上时，如图2，∵△ABC与△DEC都是等边三角形∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠CAD＝30°，同理可得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．5．解：（1）∵∠BAC＝90°，∴∠1+∠2＝90°；故答案为：∠1+∠2＝90°；（2）DE＝CE+BD，理由如下：∵BD⊥l于点D，CE⊥l，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∴∠1+∠ABD＝90°，又∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠ABD，又∵AB＝AC，∠BDA＝∠AEC，∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD；（3）①AB＝EM+FN，理由如下：如图，过点C作CH⊥AB于H，∵△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝AC，∠EAC＝90°，∵∠EAM+∠CAH＝90°，∠ACH+∠CAH＝90°，∴∠ACH＝∠EAM，又∵AE＝AC，∠EMA＝∠AHC＝90°，∴△AEM≌△CAH（AAS），∴EM＝AH，AM＝CH，同理可得：△BCH≌△FBN（AAS），∴BH＝FN，CH＝BN，∴AB＝AH+BH＝EM+FN；②∵△AEM≌△CAH，△BCH≌△FBN，∴S△AEM ＝S△CAH，S△BCH＝S△FBN，∴五边形EMNFC面积＝S△AEC +S△BCF+2S△ABC＝+2S△ABC，∵当AC⊥BC时，△ABC的最大面积为6，∴五边形EMNFC面积的最大值＝+12＝，故答案为：．6．解：（1）如图1中，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CAE＝∠CBD，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠OAB＝∠OBA，∴OA＝OB．（2）如图2，设AE与CF的交点为M，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF＝BF，∴∠BCF＝∠CBF，由（1）知，∠CAE＝∠CBD，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，∴∠AMC＝90°，∴AE⊥CF；（3）如图3，设AE与CF的交点为M，∵AC＝，∴BC＝AC＝，∵CE＝，∴CD＝CE＝，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD＝＝，∵点F是BD中点，∴CF＝DF＝BD＝，同理：EG＝AE＝，连接EF，过点F作FH⊥BC，∵∠ACB＝90°，点F是BD的中点，∴FH＝CD＝，＝CE•FH＝××＝，∴S△CEF由（2）知，AE⊥CF，＝CF•ME＝×ME＝ME，∴S△CEF∴ME＝，∴ME＝，∴GM＝EG﹣ME＝﹣＝，＝CF•GM＝××＝．∴S△CFG7．解：（1）证明：如图1，在BD上截取BE＝CD，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABP+∠APB＝90°，∠ACD+∠DPC＝90°．∵∠APB＝∠DPC，∴∠ABP＝∠ACD．又AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴AE＝AD，∠BAE＝∠CAD．∴∠EAD＝∠EAP+∠CAD＝∠EAP+∠BAE＝90°．在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴∴；（2）如图2，CD﹣BD＝AD．在CD上截取CE＝BD，连接AE，由（1）可知△ADB≌△AEC，∴AE＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠BAE+∠BAD＝∠BAE+∠CAE＝90°，在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴DE＝AD，∴CD﹣BD＝CD﹣CE＝DE＝AD，∴CD﹣BD＝AD．如图3，CD+BD＝AD．延长DC至点E，使得CE＝BD，连接AE，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠ACE＝180°，∴∠ABD＝∠ACE，在△ABD和△ACE中，，∴△ADB≌△AEC（SAS），∴AE＝AD，∠BAD＝∠CAE，∴∠EAD＝∠CAE+∠CAD＝∠BAD+∠CAD＝90°，在Rt△AED中，DE2＝AE2+AD2＝2AD2，∴DE＝AD，∴CD+BD＝CD+CE＝DE＝AD．8．解：（1）∵当点A在线段BC上时，线段AC的长取得最小值，最小值为BC﹣AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC﹣AB＝b﹣a，当点A在线段CB延长线上时，线段AC的长取得最大值，最大值为BC+AB，∵BC＝b，AB＝a，∴BC+AB＝b+a，故答案为：b﹣a，b+a；（2）①CD＝BE，理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD＝BE；②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，∴由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，∴最大值为BE＝CD＝BD+BC＝AB+BC＝5+2＝7；故答案为：7．（3）最大值为5+2；∴P（2﹣，）．如图1，连接BM，∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM，∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（7，0），∴AO＝2，OB＝7，∴AB＝5，∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，∵AN＝AP＝2，∴最大值为 5+2；如图2，过P作PE⊥x轴于E，∵△APN是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝，∴OE＝OA﹣AE＝2﹣，∴P（2﹣，）．9．解：（1）如图①，∵A（0，4）、B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，过点C作CG⊥y轴于G，∴∠AGC＝90°＝∠BOA，∴∠OAB+∠OBA＝90°∵∠CAB＝90°，∴∠OAB+∠GAC＝90°，∴∠OBA＝∠GAC，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝4，AG＝OB＝1，∴OG＝OA+AG＝5，∴C（4，5）；（2）由（1）知，OA＝4，点C（4，5），∵CD⊥x轴，∴点D（4，0），∴OD＝4，∴OA＝OD，∠OAD ＝45°，∵CD ⊥x 轴，∴CD ∥y 轴，∴∠ADC ＝∠OAD ＝45°；（3）A 点在运动过程中S △AOB ：S △AEF 的值不会发生变化，理由：设点A 的坐标为（0，a ），①当点A 在y 轴正半轴上时，连接CE 交y 轴于F ，∴点C ，E 在y 轴的两侧，即点E 在y 轴左侧，同（1）的方法得，C （a ，a +1），∵△OAE 是等腰直角三角形，∴AE ⊥OA ，∴E （﹣a ，a ），∴直线CE 的解析式为y ＝x +a +，∴F （0，a +）， ∴AF ＝a +﹣a ＝， ∵OB ＝1， ∴＝2；②当点A 在y 轴负半轴上时，同①的方法得，C （﹣a ，a ﹣1），E （a ，a ）， ∴直线CE 的解析式为y ＝x +a ﹣，∴F （0，a ﹣）， ∴AF ＝， ∴＝2．即A 点在运动过程中S △AOB ：S △AEF 的值不会发生变化．10．解：（1）结论：DE＝DF，DE⊥DF．理由：连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AE＝EB，AF＝FC，∴DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝AB，DF＝AC，∴DE＝DF．∵∠DEA＝∠EAF＝∠DFA＝90°，∴∠EDF＝90°，∴DE⊥DF，故答案为：DE＝DF，DE⊥DF．（2）结论成立，DE＝DF；DE⊥DF．证明：如解图①，连接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴，且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝45°，在△BDE和△ADF中，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°，即∠EDF＝90°，即DE⊥DF；（3）如图③，连接AD，∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∵∠BAC＝90°，点D为BC的中点，∴AD＝BD，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠ABD＝45°，∴∠DAF＝∠DBE＝135°，又∵AF＝BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴DF＝DE，∠FDA＝∠EDB，∴∠EDF＝∠EDB+∠FDB＝∠FDA+∠FDB＝∠ADB＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∵，∴AE＝CF＝2+4＝6，在Rt△AEF中，EF2＝AF2+AE2＝22+62＝40，∴，∴．。

2020年九年级数学中考三轮复习：《三角形综合训练》(解析版)

2020年九年级数学中考三轮复习：《三角形综合训练》(解析版)

中考三轮复习：《三角形综合训练》1．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（b，0），C（2，7），连接AC，交y轴于D，且a＝，（）2＝5．（1）求点D的坐标．（2）如图2，y轴上是否存在一点P，使得△ACP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由．（3）如图3，若Q（m，n）是x轴上方一点，且△QBC的面积为20，试说明：7m+3n是否为定值，若为定值，请求出其值，若不是，请说明理由．解：（1）∵a＝，（）2＝5，∴a＝﹣5，b＝5，∵A（a，0），B（b，0），∴A（﹣5，0），B（5，0），∴OA＝OB＝5．如图1，连接OC，设OD＝x，∵C（2，7），∴S△AOC＝×5×7＝17.5，∵S△AOC ＝S△AOD+S△COD，∴5x•＝17.5，∴x＝5，∴点D的坐标为（0，5）；（2）如图2，∵A（﹣5，0），B（5，0），C（2，7），∴S△ABC＝×（5+5）×7＝35，∵点P在y轴上，∴设点P的坐标为（0，y），∵S△ACP ＝S△ADP+S△CDP，D（0，5），∴5×|5﹣y|×+2×|5﹣y|×＝35，解得：y＝﹣5或15，∴点P的坐标为（0，﹣5）或（0，15）；（3）7m+3n是定值．∵点Q在x轴的上方，∴分两种情况考虑，如图3，当点Q在直线BC的左侧时，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，∵S△QBC ＝S△QHC+S△HBC﹣S△QHB，且S△QBC＝20，∴＝20，∴7m+3n＝﹣5．如图4，当点Q在直线BC的右侧时，过点Q作QH⊥x轴，垂足为H，连接CH，∵S△QBC ＝S△QHC+S△HBC﹣S△QHB，且S△QBC＝20，∴＝20，∴7m+3n＝75，综上所述，7m+3n的值为﹣5或75．2．平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b），a，b满足（2a+b+5）2+＝0，将线段AB平移得到CD，A，B的对应点分别为C，D，其中点C在y轴负半轴上．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，连AD交BC于点E，若点E在y轴正半轴上，求的值；（3）如图2，点F，G分别在CD，BD的延长线上，连结FG，∠BAC的角平分线与∠DFG 的角平分线交于点H，求∠G与∠H之间的数量关系．解：（1）∵（2a+b+5）2≥0，≥0，且（2a+b+5）2+＝0，∴，解得：，∴A（﹣4，0），B（0，3）．（2）设C（0，c），E（0，y），∵将线段AB平移得到CD，A（﹣4，0），B（0，3）．∴由平移的性质得D（4，3+c），过D作DP⊥x轴于P，∴AO＝4＝OP，DP＝3+c，OE＝y，OC＝﹣c，∵S△ADP ＝S△AOE+S梯形OEDP，∴，∴，解得y＝．∴BE﹣OE＝（BO﹣OE）﹣OE＝BO﹣2OE＝3﹣2×＝﹣c＝OC，∴＝1．（3）∠G与∠H之间的数量关系为：∠G＝2∠H﹣180°．如图，设AH与CD交于点Q，过H，G分别作DF的平行线MN，KJ，∵HD平分∠BAC，HF平分∠DFG，∴设∠BAH＝∠CAH＝α，∠DFH＝∠GFH＝β，∵AB平移得到CD，∴AB∥CD，BD∥AC，∴∠BAH＝∠AQC＝∠FQH＝α，∠BAC+∠ACD＝180°＝∠BDC+∠ACD，∴∠BAC＝∠BDC＝∠FDG＝2α，∵MN∥FQ，∴∠MHQ＝∠FQH＝α，∠NHF＝∠DFH＝β，∴∠QHF＝180°﹣∠MHQ﹣∠NHF＝180°﹣（α+β），∵KJ∥DF，∴∠DGK＝∠FDG＝2α，∠DFG＝∠FGJ＝2β，∴∠DGF＝180°﹣∠DGK﹣∠FGJ＝180°﹣2（α+β），∴∠DGF＝2∠QHF﹣180°．3．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A （m ，n +1），B （m +2，n ）．（1）当m ＝1，n ＝2时．如图1，连接AB 、AO 、BO ．直接写出△ABO 的面积为 ．（2）如图2，若点A 在第二象限、点B 在第一象限，连接AB 、AO 、BO ，AB 交y 轴于H ，△ABO 的面积为2．求点H 的坐标．（3）若点A 、B 在第一象限，在y 轴正半轴上存在点C ，使得∠CAB ＝90°，且CA ＝AB ，求m 的值，及OC 的长（用含n 的式子表示）．解：（1）∵A （1，3），B （3，2），∴S △ABC ＝3×3﹣×1×3﹣×2×1﹣×2×3＝．故答案为．（2）如图2中，∵S △ABO ＝S △AOH +S △OBH ＝•OH •（m +2﹣m ）＝2，∴OH ＝2（3）如图3中，作AD ⊥y 轴于D ，BE ⊥DA 交D 的延长线于E ．∵∠ADC ＝∠E ＝∠CAB ＝90°，∴∠DAC +∠EAB ＝90°，∠EAB +∠ABE ＝90°，∴∠DAC ＝∠ABE ，∵AC ＝AB ，∴△DAC≌△EBA（AAS），∴AD＝BE＝m，CD＝AE＝2，∴OC+CD＝n+1，∴OC＝n﹣1（n＞1），∴OC+CD＝n+m＝n+1，∴m＝1．4．在△ABC中，AB＝AC，点D在射线BC上，连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，若AB＝5，BC＝8，CD＝2，求△ABD的面积；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，过B作BE⊥AC分别交AC于点E，交AD 于点F，截取AC中点G，延长BG到点H，连接AH，使∠AHB＝∠ACB﹣∠ABH，若∠ADB＝45°，求证：AH＝DF．解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝4，∴在Rt△ABH中，AH＝＝＝3，∴S＝•BD•AH＝×6×3＝9．△ABD（2）如图2中，作FM⊥BD于M，作AN⊥BC于N．∵AB＝AC，AN⊥BC，∴BN＝CN，∠BAN＝∠CAN，∠ABC＝∠ACB，∵BE⊥AC，∴∠ANC＝∠ANB＝∠BEC＝90°，∴∠CN+∠ACB＝90°，∠FBM+∠ACB＝90°，∴∠FBM＝∠CAN＝∠BAN，∵∠H＝∠ACB﹣∠ABH，∴∠H＝∠ABC﹣∠ABH＝∠HBC，∵AG＝GC，∠AGH＝∠CGB，∴△AGH≌△CGB（AAS），∴AH＝BC，∵∠AND＝90°，∠D＝45°，∴∠NAD＝∠D＝45°，∵∠BFA＝∠D+∠FBD，∠BAF＝∠DAN+∠BAN，∴∠BFA＝∠BAF，∴BA＝BF，∵∠ANB＝∠BMF＝90°，∴△ANB≌△BMF（AAS），∴BN＝FM，∵DF＝FM，∴DF ＝BN ， ∴DF ＝2BN ＝BAH ，即AH ＝DF ．5．如图，等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝10cm ，BC ＝12cm ，AD 为底边BC 上的高，动点P 从点D 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为1cm /s ，运动到A 点停止，设运动时间为t （s ），连接BP ．（0≤t ≤8）（1）求AD 的长；（2）设△APB 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使得S △APB ：S △ABC ＝1：3，若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．（4）是否存在某一时刻t ，使得点P 在线段AB 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．解：（1）∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴BC ＝DC ＝6cm ，在Rt △ABD 中，∵∠ADB ＝90°，AB ＝10cm ，BD ＝6cm ，∴AD ＝＝＝8（cm ）．（2）y ＝S △APB ＝S △ABD ﹣S △PBD ＝×6×8﹣×6×t ＝﹣3t +24．∴y ＝24﹣3t （0≤t ≤8）．（3）∵S△APB ：S△ABC＝1：3，∴（24﹣3t）：×12×8＝1：3，解得t＝．∴满足条件的t的值为．（4）由题意点P在线段AB的垂直平分线上，∴PA＝PB，在Rt△PBD中，∵PB2＝PD2+BD2，∴t2＝（8﹣t）2+62，解得t＝．∴满足条件的t的值为．6．如图1，△ABC是边长为8的等边三角形，AD⊥BC下点D，DE⊥AB于点E （1）求证：AE＝3EB；（2）若点F是AD的中点，点P是BC边上的动点，连接PE，PF，如图2所示，求PE+PF 的最小值及此时BP的长；（3）在（2）的条件下，连接EF，若AD＝，当PE+PF取最小值时，△PEF的面积是2．（1）证明：如图1中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠BAC＝60°∵AD⊥BC，∴BD＝DC＝4，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∠BDE＝30°，∴BE＝BD＝2，∴AE＝AB﹣BE＝8﹣2＝6，∴AE＝3BE．（2）解：如图2中，延长DF到H，使得DH＝DF，连接EF，连接EH交BC于点P，此时PE+PF的值最小．∵∠AED＝90°，AF＝FD，∴EF＝AF＝DF，∵DF＝DH，∴DE＝DF＝DH，∴∠FEH＝90°，∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，BD＝4，∠B＝60°，∴AD＝BD•tan60°＝4，∵∠BAD＝∠BAC＝30°，FE＝FA，∴∠FEA＝∠FAE＝30°，∴∠EFH＝60°，∠H＝30°，∵FH＝AD＝4，∴EH＝FH•cos30°＝6，∴PE+PF的最小值＝PE+PH＝EH＝6，∵PD＝DH•sin30°＝2，∴BP＝BD﹣PD＝2．（3）解：如图2中，∵BE＝BP＝2，∠B＝60°，∴△BPE是等边三角形，∴PE＝2，∵∠PEF＝90°，EF＝AF＝DF＝2，∴S＝•PE•EF＝×2×2＝2．△PEF7．在△ABC中，∠ABC＝60°（1）AB＝AC，PA＝5，PB＝3①如图1，若点P是△ABC内一点，且PC＝4，求∠BPC的度数．②如图2，若点P是△ABC外一点，且∠APB＝60°，求PC的长．（2）如图3，AB＜AC，点P是△ABC内一点，AB＝6，BC＝8，则PA+PB+PC的最小值是2．解：（1）在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，①如图1，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBP′，连接PP′，∴BP＝BP′，∠PBP′＝∠ABC＝60°，∴△BPP′是等边三角形；∴PP′＝PB，∠BPP′＝60°，由旋转的性质得，P′C＝PA＝5，∵PP′2+PC2＝32+42＝25＝P′C2，∴△CPP′是直角三角形，∠CPP′＝90°，∴∠BPC＝∠BPP′+∠CPP′＝60°+90°＝150°；②如图2中，以AP为边向上作等边△PAE，作EF⊥BP交BP的延长线于F．∵∠EAP＝∠BAC＝60°，∴∠EAB＝∠PAC，∵AE＝AP，AB＝AC，∴△EAB≌△PAC（SAS），∴BE＝PC，∵∠APE＝∠APB＝60°，∴∠EPF＝180°﹣60°﹣60°＝120°，∵PE＝PA＝5，∴PF＝PE•cos60°＝，EF＝PE•sin60°＝，∴BF＝BP+PF＝3+＝，∴BE＝＝＝7，∴PC＝PE＝7．（2）如图3中，将△PBF绕点B逆时针旋转60°得到△BFE，作EH⊥CB交CB的延长线于H．∵∠ABC＝60°，∠PBF＝60°，∵∠ABP＝∠EBF，∴∠EBF+∠BC＝60°，∴∠EBC＝120°，∵PB＝BF，∠PBF＝60°，∴△PBF是等边三角形，∴PB＝PF，∵PA＝EF，∴PA+PB+PC＝CP+PF+EF，根据两点之间线段最短可知，当E，F，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值＝EC 的长，在Rt△EBH中，∵∠EBH＝60°，EB＝6，∴BH＝BE•cos60°＝3，EH＝EB•sin60°＝3，∴CH＝BH+CB＝3+8＝11，∴EC＝＝＝2．8．全等三角形是研究图形性质的主要工具，以此为基础，我们又探索出一些轴对称图形的性质与判定．通过寻找或构造轴对称图形，能运用其性质及判定为解题服务．（1）如图①，BE⊥AC，CD⊥AB，BD＝CE，BE与CD相交于点F．①求证：BE＝CD；②连接AF，求证：AF平分∠BAC．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD＝CE．请你只用无刻度的直尺画出∠BAC的平分线．（不写画法，保留画图痕迹）．（3）如图③，在△ABC中，仍然有条件“AB＝AC，点D，E分别在AB和AC上”．若∠ADC+∠AEB＝180°，则CD与BE是否仍相等？为什么？（1）①证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠BDF＝∠CEF＝90°，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴BF＝CF，DF＝EF，∴BF+EF＝CF+DF，即BE＝CD；②证明：由①得：DF＝EF，∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴AF平分∠BAC．（2）解：连接BE、CD交于点O，作射线AO交BC于F，如图②所示：AF即为所求；理由如下：∵AB＝AC，∴∠DBC＝∠ECB，在△BDC和△CEB中，，∴△BDC≌△CEB（SAS），∴∠BCD＝∠CBE，∴∠ABO＝∠ACO，OB＝OC，同理：△ABO≌△ACO（SAS），∴∠OAB＝∠OAC，∴AF是∠BAC的平分线；（3）解：CD＝BE，理由如下：分别作CF⊥AB于F，BG⊥AC于G，如图③所示：∴∠CFB＝90°，∠BGC＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△FBC和△GCB中，，∴△FBC≌△GCB（AAS）．∴CF＝BG，∵∠ADC+∠AEB＝180°，又∵∠BEG+∠AEB＝180°，∴∠ADC＝∠BEG，在△CFD和△BGE中，，∴△CFD≌△BGE（AAS），∴CD＝BE．9．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒lcm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）当点P在∠BAC的角平分线上时，求出此时t的值；（3）当P在运动过程中，求出t为何值时，△BCP为等腰三角形．（直接写出结果）（4）若M为AC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M、N使得BM+MN的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴由勾股定理得AC＝＝8，连接BP，如图所示：当PA＝PB时，PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即（8﹣t）2+62＝t2，解得：t＝，∴当t＝秒时，PA＝PB；（2）如图1，过P作PE⊥AB，又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴CP＝EP，在Rt△ACP和Rt△AEP中，，∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），∴AC＝AE＝8，∴BE＝2，设CP＝EP＝x，则BP＝6﹣x，在Rt△BEP中，BE2+PE2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2，解得x＝，∴CP＝，∴CA+CP＝8+＝，∴t＝；当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，此时，t＝10+8+6＝24；综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为秒或24秒；（3）①如图2，点P在CA上，当CP＝CB＝6时，△BCP为等腰三角形，则t＝8﹣6＝2；②如图3，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，∴t＝20；③如图4，若点P在AB上，当CP＝CB＝6时，△BCP为等腰三角形；作CD⊥AB于D，则根据面积法求得：CD＝＝4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝＝3.6，∴PB＝2BD＝7.2，∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，此时t＝21.2；④如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，∴PD为△ABC的中位线，∴AP＝BP＝AB＝5，∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，∴t＝19；综上所述，t为2s或20s或21.2s或19s时，△BCP为等腰三角形．（4）存在M、N使得BM+MN的值最小，理由如下：作点B关于AC的对称点B'，过B'作AB的垂线交AC于M，交AB于N，连接BM，如图6所示：则B'C＝BC＝6，B'M＝BM，∠B'NB＝90°，BM+MN＝B'M+MN＝B'N，∴BB'＝2BC＝12，∵∠ACB＝∠B'NB＝90°，∠B'BN＝∠ABC，∴△B'BN∽△ABC，∴＝＝＝，∴B'N＝AC＝×8＝9.6，综上所述，存在M、N使得BM+MN的值最小，BM+MN的最小值为9.6．10．如图1，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC的平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过点H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC、于点N、E、M．（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；（2）当M是BC中点时，写出CE和CD之间的等量关系，并加以证明；（3）请直接写出BN、CE、CD之间的等量关系．（1）证明：连接ND，如图2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵直线l⊥AO于H，∴∠AHN＝∠AHE＝90°，∴∠ANH＝∠AEH，∴AN＝AC，∴NH＝CH，∴AH是线段NC的中垂线，∴DN＝DC，∴∠DNH＝∠DCH，∴∠AND＝∠ACB，∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠BDN，∴BN＝DN，∴BN＝DC；（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：由（1）得：BN'＝CD，AN'＝AC，AN＝AE，∴∠ANE＝∠AEN，NN'＝CE，∴∠ANE＝∠CGE，∠B＝∠BCG，∴∠CGE＝∠AEN，∴CG＝CE，∵M是BC中点，∴BM＝CM，在△BNM和△CGM中，，∴△BNM≌△CGM（ASA），∴BN＝CG，∴BN＝CE，∴CD＝BN'＝NN'+BN＝2CE；（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD＝BN+CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：由（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN+CE；当点M在BC的延长线上时，CD＝BN﹣CE；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN﹣CE；当点M在CB的延长线上时，CD＝CE﹣BN；理由如下：过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝CE﹣BN．11．在平面直角坐标系中，直线AB交y轴于A（0，a），交x轴于B（b，0），且a，b满足（a﹣b）2+|3a+5b﹣88|＝0．（1）求点A，B的坐标；（2）如图1，已知点D（2，5），求点D关于直线AB对称的点C的坐标．（3）如图2，若P是∠OBA的角平分线上的一点，∠APO＝67.5°，求的值．解：（1）由题意得解得∴A（0，11），B（11，0）（2）如图一，延长FD交AB于点E，连结CE因为OB＝OA＝11所以三角形OAB是等腰直角三角形易得△DEC，△AFE都是等腰直角三角形所以FE＝AF＝OA﹣OF＝11﹣5＝6∴CE＝DE＝EF﹣FD＝6﹣2＝4所以C的横坐标为6．，纵坐标为5+4＝9故C的坐标为（6，9）（3）如上图，作PM垂直AB于点M，作PM垂直OB于点L，在L的左侧取一点N，使得NL＝AM ∵PB是∠ABO的平分线所以PM＝PL∴△AMP≌△NLP∴∠NLP＝∠APM∴∠APN＝∠MPL∵∠ABO＝45°∴∠MPL＝135°∴∠APN＝135°又∠APO＝67.5°∴∠NPO＝∠APO＝67.5°∵PN＝PA，PO＝PO∴△OPN≌OPA∴∠PON＝∠POA＝45°，NO＝AO＝11设NL＝a，则MA＝a，∴BL＝BM＝a+11∵BL＝22﹣a∴22﹣a＝a+11∴a＝11﹣∴LO＝11﹣（11﹣）＝∴PO＝LO＝11所以＝312．以△ABC的边AB，AC为直角边向外作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，AB ＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．（1）如图1，在△ABC中，当∠BAC＝90°时，求AM与DE的数量和位置关系．（2）如图2，当△ABC为一般三角形时，（1）中的结论是否依然成立？说明理由．（3）如图3，若以△ABC的边AB，AC为直角边向内作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACD，其他条件不变（1）中的结论是否依然成立，并说明理由．解：（1）AM＝DE，AM⊥DE，理由如下：延长MA交DE于F，如图1所示：∵∠BAC＝90°，M是BC中点，∴AM＝BC，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∠BAC＝90°，∴∠EAD＝90°，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴DE＝BC，∠ABC＝∠AED，∴AM＝DE，∵∠BAE＝90°，∴∠BAM+∠EAF＝90°，∴∠AED+∠EAF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴AM⊥DE；（2）（1）中的结论成立，AM＝DE，AM⊥DE，理由如下：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN、CN，延长MA交DE于F，如图2所示：∵M是BC中点，∴BM＝CM，∴四边形ABNC是平行四边形，∴BN＝AC＝AD，BN∥AC，∴∠NBA+∠BAC＝180°，∵∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠DAE+∠BAC＝180°，∴∠NBA＝∠DAE，在△ABN和△EAD中，，∴△ABN≌△EAD（SAS），∴AN＝DE＝2AM，∠BAN＝∠AED，∴AM＝DE，∵∠BAE＝90°，∴∠BAN+∠EAF＝90°，∴∠AED+∠EAF＝90°，∴∠AFE＝90°，∴AM⊥DE；（3）（1）中的结论成立，理由如下：由（1）的结论，当∠BAC＝90°，可得AM＝DE，AM⊥DE，当∠BAC≠90°时，延长CA到F，使AF＝AC，连接BF，延长AM交DE于G，如图3所示：则AF＝AX＝AD，∵M是BC中点，∴AM是△BCF的中位线，∴AM＝BF，AM∥BF，∴∠MAC＝∠F，∵∠BAE＝∠DAC＝90°，∴∠DAF＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，∴∠BAF＝∠EAD，在△ABF和△AED中，，∴△ABF≌△AED（SAS），∴BF＝DE，∠F＝∠ADE，∴AM＝DE，∴∠BAC＝∠ADE，∵∠MAC+∠DAM＝∠DAC＝90°，∴∠ADE+∠DAM＝90°，∴∠AGD＝90°，∴AM⊥DE；综上所述，（1）中的结论成立．13．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4）（1）如图1，若点B的坐标为（3，0），△ABC是等腰直角三角形，BA＝BC，∠ABC＝90°，求C点坐标．（2）如图2，若点E是AB的中点，求证：AB＝2OE；（3）如图3，△ABC是等腰直角三角形，BA＝BC，∠ABC＝90°，△ACD是等边三角形，连接OD，若∠AOD＝30°，求B点坐标．（1）解：过点C作CD⊥x轴于D，如图1所示：∵∠ABC＝90°，∴∠ABO+∠CBD＝90°，∵∠AOB＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠CBD＝∠BAO，∵CD⊥x轴，∴∠BDC＝90°＝∠AOB，在△BDC和△AOB中，，∴△AOB≌△BDC（AAS），∴OA＝DB，OB＝DC，∵点A（0，4），点B（3，0），∴DB＝4，DC＝3，∴OD＝4+3＝7，∴C点坐标为（7，3）；（2）证明：延长OE至F点，使得EO＝EF，连接FB，如图2所示：∵点E为AB的中点，∴EA＝EB，在△AOE和△BFE中，，∴△AOE≌△BFE（SAS），∴OA＝FB，∠AOE＝∠F，∴OA∥BF，∴∠AOB+∠FBO＝180°，∵∠AOB＝90°，∴∠FBO＝90°，∴∠AOB＝∠FBO，在△AOB和△FBO中，，∴△AOB≌△FBO（SAS），∴AB＝OF，∵EA＝EB，EO＝EF，∴OE＝AE＝EB，∴AB＝2OE；（3）解：过点D作DM⊥y轴于M，CN⊥OD于N，CH⊥y轴于H，CG⊥x轴于G，如图3所示：则四边形OHCG是矩形，∴OH＝CG，∵∠AOD＝30°，∴∠ODM＝90°﹣30°＝60°，OD＝2DM，∵△ADC为等边三角形，∴AD＝CD＝AC，∠ADC＝60°，∵∠ADM+∠ADO＝60°，∠CDN+∠ADO＝60°，∴∠ADM＝∠CDN，在△DMA和△DNC中，，∴△DMA≌△DNC（AAS），∴DM＝DN，∴OD＝2MD＝2DN，∴DN＝ON，∴CD＝CO＝AC，∴HA＝HO＝CG＝2，由（1）得CG＝OB∴OB＝2，∴B点坐标为（2，0）．14．已知，△ABC，AD⊥BD于点D，AE⊥CE于点E，连接DE．（1）如图1，若BD，CE分别为△ABC的外角平分线，求证：DE＝（AB+BC+AC）；（2）如图2，若BD，CE分别为△ABC的内角平分线，（1）中的结论成立吗？若成立请说明理由；若不成立，请猜想出新的结论并证明；（3）如图3，若BD，CE分别为△ABC的一个内角和一个外角的平分线，AB＝8，BC＝10，AC＝7，请直接写出DE的长为 4.5 ．（1）证明：如图1，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝HK，又∵HK＝BK+BC+CH＝AB+BC+AC，∴DE＝（AB+AC+BC）；（2）解：结论不成立．DE＝（AB+AC﹣BC）．理由：如图2，分别延长AE、AD交BC于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB，同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝HK，又∵HK＝BK﹣BH＝AB+AC﹣BC，∴DE＝（AB+AC﹣BC）；（3）解：分别延长AE、AD交BC或延长线于H、K，在△BAD和△BKD中，∵，∴△BAD≌△BKD（ASA），∴AD＝KD，AB＝KB同理可证，AE＝HE，AC＝HC，∴DE＝KH又∵KH＝BC﹣BK+HC＝BC+AC﹣AB．∴DE＝（BC+AC﹣AB），∵AB＝8，BC＝10，AC＝7，∴DE＝（10+7﹣8）＝4.5，故答案为4.5．15．在平面直角坐标系中，点A（a，0）、C（b，0）、B（0，），a、b满足：a2+2ab+2b2﹣4b+4＝0，且AB＝AC．（1）判断△ABC的形状并证明；（2）如图1，点D为BA延长线上一点，AD＝AB，E为x轴负半轴上一点，F为DE上一点，连接CF交AD于点G，∠EFC＝120°，求的值；（3）如图2，R（3a，0）点P为线段BR上一动点，以AP为边作等腰△APQ，PA＝PQ，且∠APQ＝∠RAB，连接AQ．当点P运动时，△ABQ的面积是否变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．解：（1）结论：△ABC是等边三角形．理由：∵a2+2ab+2b2﹣4b+4＝0，∴（a+b）2+（b﹣2）2＝0，∵（a+b）2≥0，（b﹣2）2≥0，∴a＝﹣2，b＝2，∴A（﹣2，0），C（2，0），∴OA＝OC，∵BO⊥AC，∴BA＝BC，∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC，∴△ABC是等边三角形．（2）如图1中，作BH∥DE交x轴于H．∵∠DEA＝∠BHA，∠DAE＝∠BAH，AD＝AB，∴△DAE≌△BAH（AAS），∴AE＝AH，∵∠D+∠DGF＝∠EFH＝120°，∠D+∠DEA＝∠DAC＝120°，∴∠DEA＝∠DGF＝∠AGH，∴∠AGH＝∠BHC，∵∠GAH＝∠BCH＝120°，AH＝BC，∴△AHG≌△CBH（AAS），∴AG＝CH，∴＝＝＝2．＝4．（3）结论：△ABQ的面积不变，S△ABQ理由：如图2中，在x轴的正半轴上取一点M，使得PR＝PM，连接PM，QR．由题意R（﹣6，0），A（﹣2，0），B（0，﹣2），∴OR＝6，OB＝2，∴tan∠PQM＝，tan∠OAB＝∴∠PRM＝∠PMR＝30°，∠OAB＝60°，∴∠RPM＝120°，∵∠RPM＝∠APQ＝120°，∴∠APM＝∠RPQ，∵PR＝PM，PQ＝PQ，∴△PRQ≌△PMA（SAS），∴∠PRQ＝∠AMP＝30°，∴∠ARQ＝60°＝∠OAB，∴AB∥QR，∴S△ABQ ＝S△ABR＝×4×2＝4．16．在平面直角坐标系中，点A（0，m）和点B（n，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，满足（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，连接线段AB，点C为AB上一动点．（1）填空：m＝ 4 ，n＝ 4 ；（2）如图，连接OC并延长至点D，使得DC＝OC，连接AD．若△AOC的面积为2，求点D 的坐标；（3）如图，BC＝OB，∠ABO的平分线交线段AO于点E，交线段OC于点F，连接EC．求证：①△ACE为等腰直角三角形；②BF﹣EF＝OC．解：（1）∵（m﹣n）2+|m+n﹣8|＝0，∴m＝n＝4，故答案为：4，4；（2）如图1，过点C作CH⊥OA，CG⊥OB，∵点A（0，4）和点B（4，0），∴OA＝OB＝4，＝×4×4＝8，∴S△ABO∵△AOC的面积为2，∴AO×CH＝×4×CH＝2，S＝6＝×OB×CG＝×4×CG，△BOC∴CH＝1，CG＝3，∴点C（1，3），∵DC＝OC，∴点D（2，6）（3）①∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵BE平分∠ABO，∴∠EBO＝∠EBC，且BE＝BE，OB＝OC，∴△OBE≌△CBE（SAS）∴∠EOB＝∠ECB＝90°，∴∠ACE＝90°，且∠OAB＝45°，∴∠CAE＝∠AEC＝45°，∴AC＝CE，且∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形；②如图2，作OM平分∠AOB，交BE于点M，∵OM平分∠AOB，∴∠AOM＝∠BOM＝45°，∴∠AOM＝∠BOM＝∠OAB＝∠OBA，∵OB＝OC，BE平分∠ABO，∠ABO＝45°，∴∠OBE＝22.5°，BE⊥OC，∠COB＝∠OCB＝67.5°，∴∠AOC＝22.5°＝∠COM，∴∠AOC＝∠BOM，且OB＝OA，∠OAB＝∠OBM，∴△ACO≌△OMB（ASA）∴BM＝OC，∵∠EFO＝∠MFO＝90°，OF＝OF，∠AOC＝∠COM，∴△EFO≌△MFO（ASA）∴EF＝FM，∴BF﹣EF＝BF﹣FM＝BM＝OC．17．【问题发现】（1）如图①，数学课外资料《全品》P4页有一道题条件为：“D是等边三角形ABC的边BC上的一动点，以AD为边在AB上方作等边△ADE，若AB＝10，AD＝8……”，小明认为AD有最小值，条件AD＝8是错误的，他的想法得到了王老师的肯定，那么AD的最小值是5．王老师又让小明研究了以下两个问题：【问题探究】（2）如图②，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D在AB上，且AD ＝1，以CD为直角边向右作等腰直角△DCE，连接BE，求△BDE的周长；【问题解决】（3）如图③，△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝60°，AB＝3+，点D是边AB上任意一点，以CD为边在AD的右侧作等边△DCE，连接BE，试求△BDE面积的最大值．【问题发现】解：（1）当AD⊥BC时，AD的值最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴BC＝AB＝10，BD＝BC＝5，∴AD＝＝＝5，故答案为：5；【问题探究】解：（2）作CM⊥AB于M，如图②所示：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴∠A＝∠ABC＝45°，AB＝AC＝4，CM＝AB＝AM＝BM＝2，∴DM＝AM﹣AD＝1，∴BD＝BM+DM＝3，CD＝＝＝，∵△DCE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝90°＝∠ACB，DE＝CD＝，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE＝1，∴△BDE的周长＝BD+BE+DE＝3+1+＝4+；【问题解决】解：（3）作CM⊥AB于M，作EN⊥AB于N，如图③所示：∵∠A＝45°，∠ABC＝60°，∴△ACM是等腰直角三角形，∠BCM＝30°，∴AM＝CM，CM＝BM，设BM＝x，则AM＝CM＝x，∴AB＝x+x＝3+，解得：x＝，∴BM＝，CM＝AM＝3，设AD＝y，则DM＝3﹣y，BD＝3+﹣y，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°CD＝CE，∴∠DCM+∠BCE＝30°＝∠BCM，在MB上截取MH＝MD＝3﹣y，连接CH，则CD＝CH＝CE，∵CM⊥DH，∴∠DCM＝∠HCM，∴∠BCH＝∠BCE，在△BCH和△BCE中，，∴△BCH≌△BCE（SAS），∴∠CBH＝∠CBE＝60°，BH＝BE＝3+﹣y﹣2（3﹣y）＝y+﹣3，∴∠EBN＝60°，∵EN⊥AB，∴∠BEN＝30°，∴BN＝BE，EN＝BN＝BE＝（y+﹣3），∵△BDE的面积＝BD×EN＝×（3+﹣y）×（y+﹣3）＝（﹣y2+6y﹣6）＝﹣（y﹣3）2+，∴当y＝3，即AD＝3时，△BDE面积的最大值为．18．等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，F为AB上的一点，连接CF，过点B作BH⊥CF交CF于G，交AC于H．（1）如图1，延长BH到点E，连接AE，当∠EAB＝90°，AE＝3，求BF的长；（2）如图2，若F为AB的中点，连接FH，求证：BH+FH＝CF；（3）如图3，在AB上取点K，使AK＝BF，连接HK并延长与CF的延长线交于点P，若G 为CP的中点，PG＝2．求AH+BH的值（直接写出答案）解：（1）∵BH⊥CF，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CFB＝∠CFB+∠BCF＝90°，∴∠ABE＝∠BCF，在△ABE与△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BF＝AE＝3．（2）证明：如图2中，过点A作AD⊥AB交BH的延长线于点D．∴∠BAD＝∠CBF＝90°，∴∠D+∠ABD＝∠CFB+∠ABD＝90°，∴∠ABD＝∠BCF，在△ABD与△BCF中，，∴Rt△BAD≌Rt△CBF（AAS），∴AD＝BF，BD＝CF．∵F为AB的中点，∴AF＝BF，∴AD＝AF，在△ADH与△AFH中，，∴△AHD≌△AHF（SAS），∴DH＝FH．∵BD＝BH+DH＝BH+FH，∴BH+FH＝CF；（3）如图3中，过A作AM⊥AB，交BH延长线于M，由（2）证得△MAB≌△FBC，∴AM＝BF＝AK，∠AMB＝∠CFB，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∵∠MAB＝90°，∴∠MAH＝45°，∴∠MAH＝∠CAB，在△MAH与△KAH中，，∴△MAH≌△KAH（SAS），∴∠AMB＝∠AKH，∴∠AKH＝∠CFB，∵∠AKH＝∠PKF，∠CFB＝∠PFK，∴∠PKF＝∠PFK，∵FC⊥BH，G是PC中点，∴CH＝PH，∴∠AHK＝2∠P，在△PFK中，∠PKF＝＝90°﹣∠P，则90°﹣∠P+45°+2∠P＝180°，解得∠P＝30°，在CH上取一点R，使RH＝BH，连接BR，∴∠RHB＝＝60°，∴△RHB是等边三角形，∴BH＝BR＝RH，∵∠CAB＝∠ACB＝45°，∠AHB＝180°﹣60°＝120°，∠BRC＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABH＝∠RBC，在△ABH与△CBR中，，∴△ABH≌△CBR（ASA），∴AH＝CR，∵cos30°＝，∴CH＝＝CG＝PG，∴RH+RC＝BH+AH＝PG＝，∴BH+AH＝．19．如图（1），AB＝8cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝6cm．点P在线段AB上以2m/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t （s）（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，判断线段PC与PQ满足的关系，并说明理由．（2）如图（2），将图（1）中的AC⊥AB，BD⊥AB为改“∠CAB＝∠DBA＝a°”，其它条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．解：（1）△ACP≌△BPQ，∵AC⊥AB，BD⊥AB∴∠A＝∠B＝90°∵AP＝BQ＝2∴BP＝6∴BP＝AC，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ，∴∠C＝∠QPB，∵∠APC+∠C＝90°，∴∠APC+∠QPB＝90°，∴PC⊥PQ；（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，①若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，可得：6＝8﹣2t，2t＝xt解得：x＝2，t＝1；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：6＝xt，2t＝8﹣2t解得：x＝3，t＝2．20．已知△ABC是等边三角形．（1）如图1，点D是BC边的中点，点P在直线AC上，若△PAD是轴对称图形，则∠APD 的度数为120°或75°或30°或15°．（2）如图2，点D在BC边上，∠ADG＝60°，DG与∠ACB的外角平分线交于G，GH⊥AC 于H，当点D在BC边上移动时，请判断线段AH，AC，CD之间的数量关系，并说明理由．（3）如图3，点D在BC延长线上，连接AD，E为AD上一点，AE＝AC，连接BE交AC于F，若AF＝2ED＝3，则线段CF的长为．解：（1）如图1中，当△PAD是等腰三角形时，是轴对称图形．当AP＝AD时，可得∠AP1D＝15°，∠AP3D＝75°．当PA＝PD时，可得∠AP2D＝120°．当DA＝DP时，可得∠AP4D＝30°，综上所述，满足条件的∠APD的值为120°或75°或30°或15°．故答案为120°或75°或30°或15°．（2）结论：AC+CD＝2AH．理由：如图2中，连接AG，作GN⊥CM于N，在BA上截取BQ，使得BQ＝BD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵BQ＝BD，∴△BDQ是等边三角形，AQ＝DC，∴∠BQD＝60°，∴∠AQD＝120°，∵CG是∠ACB的外角平分线，∴∠ACG＝60°，∠DCG＝120°，∵∠ADG＝60°，∴∠ADB+∠GDC＝120°，∵∠QAD+∠ADB＝120°，∴∠QAD＝∠CDG，∴△AQD≌△DCG（ASA），∴AD＝DG，∵∠ADG＝60°，∴△ADG是等边三角形，∴AG＝DG，∵GH⊥C，GN⊥CM，CG平分∠ACM，∴GH＝GN，∠GHC＝∠GNC＝90°，∵CG＝CG，∴Rt△CGH≌Rt△CGN（HL），Rt△AGH≌Rt△DGN，∴CH＝CN，AH＝DN，∴AC+CD＝AH+CH+DN﹣CN＝2AH．（3）如图3中，在BC上截取BG＝CF，则CG＝AF＝3，过点D作QH∥AB，分别交AC，BE 的延长线于Q，H．∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵QH∥AB，∴∠ABE＝∠H，∵∠AEB＝∠DEH，∴∠H＝∠DEH，∴DE＝DH＝1.5，设AB＝BC＝AC＝m，∵△ABG≌△BCF（SAS），∴∠BAG＝∠CBF，设∠BAG＝∠CBF＝x，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝60°﹣x，∴∠BAE＝180°﹣2（60°﹣x）＝60°+2x，∴∠DAG＝∠DGA＝60°+x，∴DA＝DG＝m+1.5，∴CD＝m﹣1.5＝CQ＝DQ，∴QH＝QD+DH＝m，∴QH＝AB，∵∠AFB＝∠QFH，∠BAF＝∠Q，∴△ABF≌△QHF（AAS），∴AF＝FQ，∴3＝m﹣2+m﹣1，5，∴m＝，∴CF＝．故答案为．。

数学人教版九年级下册相似三角形与全等三角形的综合

数学人教版九年级下册相似三角形与全等三角形的综合

《相似三角形与全等三角形的综合》教学设计
原创：左自金
．定义
________斜边和一条直角边对应成比例，两
图（1）图（2）
为了测量某棵树的高度，小明用长为2 m
15 m，则树的高度为
图（2）
，AC 是⊙O 的直径，
2、问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中的一些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80 cm 的竹竿的影长为60 cm.
乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900 cm.
丙组：如图(3)，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计)的高度为200 cm，影长为156 cm.
甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．
可采用等式
如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ACB和△DCE的顶点都ED的延长线交AB于点F.
ACB∽△DCE；(2)EF⊥AB.。

2020年九年级中考数学复习专题训练：《三角形》综合(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《三角形》综合(含答案)

2020年九年级中考数学复习专题训练：《三角形》综合1．在△ABC与△ABD中，∠DBA＝∠CAB，AC与BD交于点F（1）如图1，若∠DAF＝∠CBF，求证：AD＝BC；（2）如图2，∠D＝135°，∠C＝45°，AD＝2，AC＝4，求BD的长．（3）如图3，若∠DBA＝18°，∠D＝108°，∠C＝72°，AD＝1，直接写出DB的长．2．如图，已知CD是△ABC的高，AD＝1，BD＝4，CD＝2．直角∠AEF的顶点E是射线CB上一动点，AE交直线CD于点G，EF所在直线交直线AB于点F．（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）若G为AE的中点，求tan∠EAF的值；（3）在点E的运动过程中，若，求的值．3．如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，m），B（﹣m，0），C（n，0），AC＝5且∠OBA＝∠OAB，其中m，n满足．（1）求点A，C的坐标；（2）点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴负方向运动，设点P的运动时间为t秒．连接BP、CP，用含有t的式子表示△BPC的面积为S（直接写出t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，是否存在t的值，使得S△PAB ＝S△POC，若存在，请求出t的值，并直接写出BP中点Q的坐标；若不存在，请说明理由．4．一副三角板直角顶点重合于点B ，∠A ＝∠C ＝45°，∠D ＝60°，∠E ＝30°． （1）如图（1），若∠AFE ＝75°，求证：AB ∥DE ；（2）如图（2），若∠AFE ＝α，∠BGD ＝β，则α+β＝ 度．（3）如图（3），在（1）的条件下，DE 与AC 相交于点H ，连接CE ，BH ，若DG ＝2CG ＝2GH ，BC ＝10，S △CEH ＝S △BEH ，求△BDH 的面积．5．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，PC＝PA，设∠APB＝α，∠BPC＝β．（1）如图1，当点P在△ABC内，①若β＝153°，求α的度数；小明同学通过分析已知条件发现：△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且PC＝PA，从而容易联想到构造一个顶角为120°的等腰三角形．于是，他过点A作∠DAP＝120°，且AD＝AP，连接DP，DB，发现两个不同的三角形全等：≌再利用全等三角形及等腰三角形的相关知识可求出α的度数．请利用小王同学分析的思路，通过计算求得α的度数为；②小王在①的基础上进一步进行探索，发现α、β之间存在一种特殊的等量关系，请写出这个等量关系，并加以证明．（2）如图2，点P在△ABC外，那么a、β之间的数量关系是否改变？若改变，请直接写出它们的数量关系；若不变，请说明理由．6．在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交边BC于点D，分别过D作DE∥AC交边AB 于点E，DF∥AB交边AC于点F．（1）如图1，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由；（2）如图2，若AD＝4，点H，G分别在线段AE，AF上，且EH＝AG＝3，连接EG交AD于点M，连接FH交EG于点N．（i）求EN•EG的值；（ii）将线段DM绕点D顺时针旋转60°得到线段DM′，求证：H，F，M′三点在同一条直线上7．如图1，△ABC和△CDE均为等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，AC＞CD，∠ACB＝∠DCE＝α，且点A、D、E在同一直线上，连结BE（1）求证：AD＝BE．（2）如图2，若α＝90°，CM⊥AE于E．若CM＝7，BE＝10，试求AB的长．（3）如图3，若α＝120°，CM⊥AE于E，BN⊥AE于N，BN＝a，CM＝b，直接写出AE的值（用a，b的代数式表示）．8．已知，点A（t，1）是平面直角坐标系中第一象限的点，点B，C分别是y轴负半轴和x 轴正半轴上的点，连接AB，AC，BC．（1）如图1，若OB＝1，OC＝，且A，B，C在同一条直线上，求t的值；（2）如图2，当t＝1，∠ACO+∠ACB＝180°时，求BC+OC﹣OB的值；（3）如图3，点H（m，n）是AB上一点，∠A＝∠OHA＝90°，若OB＝OC，求m+n的值．9．在平面直角坐标系中，点A（a，0），B（0，b），且a，b满足a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，点C为线段AB上一点，连接OC．（1）直接写出a＝，b＝；（2）如图1，P为OC上一点，连接PA，PB，若PA＝BO，∠BPC＝30°，求点P的纵坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点M是AB上一动点，以OM为边在OM的右侧作等边△OMN，连接CN．若OC＝t，求ON+CN的最小值（结果用含t的式子表示）10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝16，BC＝12，点D、E分别为边AB、BC中点，点P从点A出发，沿射线AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B运动，到点B停止．当点P不与点A重合时，过点P作PQ∥AC，且点Q在直线AB左侧，AP＝PQ，过点Q作QM ⊥AB交射线AB于点M．设点P运动的时间为t（秒）（1）用含t的代数式表示线段DM的长度；（2）求当点Q落在BC边上时t的值；（3）设△PQM与△DEB重叠部分图形的面积为S（平方单位），当△PQM与△DEB有重叠且重叠部分图形是三角形时，求S与t的函数关系式；（4）当经过点C和△PQM中一个顶点的直线平分△PQM的内角时，直接写出此时t的值．11．如图，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，以AB为斜边向上作等腰直角△ABC，BC交y轴于点D，C（﹣2，4）．（1）如图1，求点B的坐标；（2）如图2，动点E从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿y轴的正半轴运动，设运动时间为t秒，连接CE，设△ECD的面积为S，请用含t的式子来表示S；（3）如图3，在（2）的条件下，当点E在OD的延长线上时，点F在直线CE的下方，且CF⊥CE，CF＝CE．连接AD，取AD的中点M，连接FM并延长交AO于点N，连接FO，当S△NFO ＝10S△AMN时，求S的值．12．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的顶点A（﹣2，0），点B，C分别在x轴和y轴的正半轴上，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°（1）求点B的坐标；（2）点P为AC延长线上一点，过P作PQ∥x轴交BC的延长线于点Q，若点P的横坐标为t，线段PQ的长为d，请用含t的式子表示d；（3）在（2）的条件下，点E是线段CQ上一点，连接OE、BP，若OE＝PB，∠APB﹣∠OEB ＝30°，求PQ的长．13．在平面直角坐标系中，点A（0，m），C（n，0）．（1）若m，n满足．①直接写出m＝，n＝；②如图1，D为点A上方一点，连接CD，在y轴右侧作等腰Rt△BDC，∠BDC＝90°，连接BA并延长交x轴于点E，当点A上方运动时，求△ACE的面积；（2）如图2，若m＝n，点D在边OA上，且AD＝11，G为OC上一点，且OG＝8，连接CD，过点G作CD的垂线交CD于点F，交AC于点FH．连接DH，当∠ADH＝∠ODC，求点D的坐标．14．如图，平面直角坐标系中，A（a，0），B（0，b）分别为x、y轴正半轴上一点，其中a、b满足：b﹣8＝+，C为AB的中点．（1）求A、B两点坐标；（2）E为OB上一点，连CE交x轴于D，若BE＝AD，如图1，求D点坐标；（3）F为x轴上的点，连FC，在（2）的条件下，若∠ACF＝45°，求F点坐标．15．如图所示，M为等腰三角形ABD的底边AB的中点，过D作DC∥AB，连接BC，AB＝6cm，DM＝3cm，DC＝3﹣cm．动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S．（1）当点P在线段AM上运动时，PM＝．（用t的代数式表示）（2）求BC的长度；（3）当点P在MB上运动时，求S与t之间的函数关系式．16．如图，射线AN上有一点B，AB＝5，tan∠MAN＝，点C从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿射线AN运动，过点C作CD⊥AN交射线AM于点D，在射线CD上取点F，使得CF＝CB，连结AF．设点C的运动时间是t（秒）（t＞0）．（1）当点C在点B右侧时，求AD、DF的长．（用含t的代数式表示）（2）连结BD，设△BCD的面积为S平方单位，求S与t之间的函数关系式．（3）当△AFD是轴对称图形时，直接写出t的值．17．阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题．数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，点E是正△ABC边AC上一点以BE为边做正△BDE，连接CD．探究线段AE与CD 的数量关系，并证明．同学们经过思考后，交流了自已的想法：小明：“通过观察和度量，发现∠ABE与∠DBC相等．”小伟：“通过全等三角形证明，再经过进一步推理，可以得到线段BC平分∠ACD．”…老师：“保留原题条件，连接AD，F是AB的延长线上一点，AD＝DF（如图2），如果BD ＝BF，可以求出CE、CB、EB三条线段之间的数量关系．”（1）求证：∠ABE＝∠DBC；（2）求证：线段BC平分∠ACD；（3）探究CE、CB、EB三条线段之间的数量关系，并加以证明．18．在△ABC中，AC＝BC，点G是直线BC上一点，CF⊥AG，垂足为点E，BF⊥CF于点F，点D为AB的中点，连接DF．（1）如图1，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，设CF交AB于点R，且E为CR的中点，若CG＝1，求线段BG的长；（2）如图2，如果∠ACB＝90°，且G在CB边上，求证：EF＝DF；（3）如图3，如果∠ACB＝60°，且G在CB的延长线上，∠BAG＝15°，请探究线段EF、BD之间的数量关系，并直接写出你的结论．19．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE．（1）如图①，连接BE、CD，求证：BE＝CD；（2）如图②，连接BE、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝4，求BD的长；（3）如图③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和BC2之间的数量关系，并加以说明．20．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如图1，在△ADE中，AD＝AE，连接BD、CE，若∠DAE＝∠BAC，求证：BD＝CE；（2）如图2，在△ADE中，AD＝AE，连接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于点F，AE＝4，，求BE的长；（3）如图3，在△BCD中，∠CBD＝∠CDB＝45°，连接AD，若∠CAB＝45°，求的值．参考答案1．（1）证明：∵∠DFA＝∠CFB，∠DAF＝∠CBF，∴∠D＝∠C，在△DAB和△CBA中，，∴△DAB≌△CBA（AAS），∴AD＝BC；（2）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图2所示：由（1）知，△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝2，DB＝EA，∠BDA＝∠AEB＝135°，∴∠BEC＝45°，∵∠C＝45°，∴∠BEC＝∠C，∴BC＝BE＝2，∠EBC＝90°，∴EC＝BE＝2，∵AC＝4，∴AE＝AC﹣EC＝4﹣2，∴BD＝AE＝4﹣2．（3）解：在FC上取一点E，使得∠FBE＝∠DAF，如图3所示：由（1）知△DAB≌△EBA（AAS），∴BE＝AD＝1，DB＝AE，∠BEA＝∠BDA＝108°，∠DBA＝∠EAB＝18°，∴∠BEC＝72°＝∠C，∠EFB＝∠DBA+∠EAB＝36°，∴BC＝BE＝1，∠EBC＝36°，∴∠C＝∠BEA﹣∠EBC＝72°，∴∠FBC＝72°，∴∠C＝∠FBC，∠EFB＝∠EBF＝36°，∴EF＝EB＝1，FB＝FC，∵∠DBA＝∠CAB，∴AF＝FB＝FC＝1+EC，∵∠EBC＝∠EFB，∠∠C＝∠C，∴△CBE～△CFB，∴，∴BC2＝CE•CF，∴CE•CF＝1，∴CE（CE+1）＝1，即CE2+CE﹣1＝0，解得：（负值已舍去），∴，∴，∴．2．解：（1）结论：△ABC是直角三角形．理由：∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∵AD＝1，CD＝2，BD＝4，∴CD2＝AD•BD，∴＝，∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD＝∠B，∵∠B+∠DCB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠ACB＝90°，∴△ABC是直角三角形．（2）如图1中，作EH⊥AB于H．∵AD⊥AB，EH⊥AB，∴DG∥HE，∵AG＝GE，∵AD＝DH＝1，∵DB＝4，∴BH＝DB﹣DH＝3，∵EH∥CD，∴＝，∴＝，∴EH＝，∴tan∠EAF＝＝＝．（3）如图2中，作EH⊥AB于H．∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴EH∥CD，∴＝＝＝，∵CD＝2，BD＝4，∴EH＝，BH＝，∴AH＝AB﹣BH＝5﹣＝，DH＝AH﹣AD＝，在Rt△AEH中，AE＝＝＝，∵DG∥EH，∴＝，∴＝，∴EG＝，∵AE⊥EF，EH⊥AF，∴△AEH∽△EFH，∴＝，∴＝，∴EF＝∴＝＝．3．解：（1）由，解得，∴A（0，4），C（3，0）．（2）如图1中，当0＜t＜4时，S＝•BC•OP＝×5×（4﹣t）＝﹣t+10．如图2中，当t＞4时，S＝•BC•OP＝×5×（t﹣4）＝t﹣10．综上所述，S＝．（3）当0＜t＜4时，由题意，×t×4＝××（4﹣t）×3，解得t＝．此时，OP＝4﹣＝，∴P（0，），∵B（﹣4，0），∴BQ的中点Q的坐标为（﹣2，）当t＞4时，由题意，×t×4＝××（t﹣4）×3，解得t＝36，此时OP＝36﹣4＝32，∴P（0，﹣32），∵B（﹣4，0），∴BP的中点Q的坐标为（﹣2，﹣16）．综上所述，满足条件的t的值为或36．点Q的坐标为（﹣2，）或（﹣2，﹣16）．4．（1）证明：如图（1），∵∠AFE＝75°，∠A＝45°，∴∠ABE＝75°﹣45°＝30°，∵∠E＝30°，∴∠E＝∠ABE，∴AB∥DE；（2）解：如图（2），△ABF中，∠AFE＝∠A+∠ABE＝α①，△BGE中，∠BGD＝∠E+∠CBF＝β②，①+②得：α+β＝∠A+∠E+∠CBF+∠ABE＝45°+30°+90°＝165°；故答案为：165；（3）解：∵DE∥AB，∴∠CGH＝∠ABC＝90°，∵S△CEH ＝S△BEH，∴，∴CG＝BG，∵BC＝10，∴CG＝2，BG＝8，∵DG＝2CG＝2GH，∴DG＝4，GH＝2，∴△BDH的面积＝＝＝24．5．解：（1）①如图1，过点A作AH⊥DP于H，∵∠DAP＝∠BAC＝120°，∴∠DAB＝∠PAC，且AD＝AP，AB＝AC，∴△ADB≌△APC（SAS）∴BD＝PC＝PA，∠ADB＝∠APC，∵∠DAP＝120°，AD＝AP，AH⊥DP，∴∠ADP＝∠APD＝30°，DH＝PH，∴AP＝2AH，HP＝AH，∴DP＝AP，∴DB＝DP，∴∠DBP＝∠DPB＝∠APB﹣∠APD＝α﹣30°，∴∠BDP＝180°﹣2（α﹣30°）＝240°﹣2α，∴∠ADB＝∠BDP+∠ADP＝270°﹣2α＝∠APC，∵∠APB+∠APC+∠BPC＝360°，∴270°﹣2α+α+β＝360°，∴β﹣α＝90°，当β＝153°时，α＝63°，故答案为：△ADB，△APC，63°；②β﹣α＝90°，理由如上；（2）α+β＝90°，理由如下：如图2，作∠PAN＝120°，且PA＝NA，连接PN，BN，∵∠PAN＝∠BAC＝120°，∴∠BAN＝∠PAC，且AB＝AC，AP＝AN，∴△ABN≌△ACP（SAS）∴∠BNA＝∠APC，PC＝BN＝AP，∵∠PAN＝120°，PA＝NA，∴∠APN＝∠ANP＝30°，∴PN＝AP＝BN，∴∠BPN＝∠PBN＝α+30°，∵∠BPN+∠PBN+∠BNP＝180°，∴2（α+30°）+β﹣α+30°＝180°，∴α+β＝90°．6．（1）解：四边形AEDF的形状是菱形；理由如下：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD，∵DE∥AC，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴四边形AEDF是菱形；（2）（i）解：连接EF交AD于点Q，如图2所示：∵∠BAC＝60°，四边形AEDF是菱形，∴∠EAD＝30°，AD、EF相互垂直平分，△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝∠AEF＝∠AFE＝60°，∵AD＝4，∴AQ＝2，在Rt△AQE中，cos∠EAQ＝，即cos30°＝，∴AE＝＝＝4，∴AE＝AF＝EF＝4，在△AEG和△EFH中，，∴△AEG≌△EFH（SAS），∴∠AEG＝∠EFH，∴∠ENH＝∠EFH+∠GEF＝∠AEG+∠GEF＝60°，∴∠ENH＝∠EAG，∵∠AEG＝∠NEH，∴△AEG∽△NEH，∴＝，∴EN•EG＝EH•AE＝3×4＝12；（ii）证明：如图3，连接FM'，∵DE∥AC，∴∠AED＝180°﹣∠BAC＝120°，由（1）得：△EDF是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝∠FED＝∠EFD＝60°，由旋转的性质得：∠MDM'＝60°，DM＝DM'，∴∠EDM＝∠FDM'，在△EDM和△FDM'中，，∴△EDM≌△FDM'（SAS），∴∠MED＝∠DFM'，由（i）知，∠AEG＝∠EFH，∴∠DFM'+∠EFH＝∠MED+∠AEG＝∠AED＝120°，∴∠HFM'＝∠DFM'+∠HFE+∠EFD＝120°+60°＝180°，∴H，F，M′三点在同一条直线上．7．（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE；（2）解：设AE交BC于点H，如图2所示：由（1）得：△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE＝10，∵∠AHC＝∠BHE，∴∠AEB＝∠ACH＝90°，∵∠ACB＝∠DCE＝α＝90°，CD＝CE，∴△CDE是等腰直角三角形，∵CM⊥DE，∴CM＝DM＝ME＝7，∴DE＝2CM＝14，∵AE＝AD+DE＝10+14＝24，∠AEB＝90°，∴AB＝＝＝26；（3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰三角形，且∠ACB＝∠DCE＝120°，∴∠CDM＝∠CEM＝×（180°﹣120°）＝30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD＝90°，DM＝EM．在Rt△CMD中，∠CMD＝90°，∠CDM＝30°，∴DE＝2DM＝2×＝2×＝2b．∵∠BEC＝∠ADC＝180°﹣30°＝150°，∠BEC＝∠CEM+∠AEB，∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CEM＝150°﹣30°＝120°，∴∠BEN＝180°﹣120°＝60°．在Rt△BNE中，∠BNE＝90°，∠BEN＝60°，∴BE＝＝＝a．∵AD＝BE，AE＝AD+DE，∴AE＝BE+DE＝a+2b．8．解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，如图1所示：∵点A（t，1），∴AD＝1，OD＝t，∵A，B，C在同一条直线上，∴∠OCB＝∠DCA，∵tan∠OCB＝＝＝，∴tan∠OCB＝tan∠DCA＝＝，即＝，解得：CD＝，∴t＝OD＝OC+CD＝+＝3；（2）作AD⊥y轴于D，AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，如图2所示：则∠ADB＝∠ANB＝90°，∵t＝1，∴点A（1，1），∴AD＝AM＝OM＝1，∵∠ACO+∠ACB＝180°，∠ACN+∠ACB＝180°，∴∠ACO＝∠ACN，∵AM⊥x轴于M，AN⊥BC于N，∴AN＝AM＝AD＝1，在Rt△ABD和Rt△ABN中，，∴Rt△ABD≌Rt△ABN（HL），∴BN＝BD＝OB+1，同理：Rt△ACM≌Rt△ACN（HL），∴CM＝CN，∵BC＝BN﹣CN，OC＝OM+CM＝1+CM，∴BC+OC﹣OB＝BN﹣CN+1+CM﹣OB＝OB+1﹣CN+1+CM﹣OB＝2；（3）作HG⊥OC于G，如图3所示：∵OB＝OC，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OCB＝45°，∵∠OHA＝90°，∴OH⊥AB，∴△OCH是等腰直角三角形，∵HG⊥OC，∴△OGH是等腰直角三角形，∴OG＝GH，即m＝﹣n，∴m+n＝0．9．解：（1）∵a2﹣2ab+b2+（b﹣4）2＝0，∴（a﹣b）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣b）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a＝b．b﹣4＝0，∴a＝4，b＝4，故答案为4，4．（2）如图1中，分别过A，B作OC的垂线，垂足分别为D，E．∵∠BEO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∠BOE+∠AOD＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵BO＝AO，∴△ADO≌△OEB（AAS），∴OD＝BE，∵∠BPC＝30°，∴PB＝2BE＝2OD，∵AP＝BO＝AO，AD⊥OP，∴OD＝DP，∴PB＝PO，过P作PF⊥OB，∴OF＝OB＝2，即点P的纵坐标的为2．（3）如图2中，以OA为边在x轴下方作等边△OAG，连接GN．∵∠MON＝∠AOG＝60°，∴∠MOA＝∠NOG，∵OM＝ON，OA＝OG，∴△OMA≌△ONG（SAS），∴∠OGN＝∠OAM＝45°，即点N在y轴与OG夹角为45°的直线GN上运动，作OH⊥OC交CA的延长线于H，连接NH．GH．由（2）可知∠ACO＝60°，在四边形ACOG中，∠COG＝360°﹣60°﹣60°﹣45°﹣60°＝135°，∴OC∥NG，∵OC⊥OH，∴OH⊥NG，∵∠OHC＝30°＝∠AGO，∴点G在以G为圆心GO为半径的⊙G上，∴GO＝GA，∴NH垂直平分线段OH，∴O，H关于GN对称，∴ON+NC＝NH+NC≥CH，∵CH＝2OC＝2t，∴ON+NC≥2t，∴ON+CN的最小值为2t．10．解：（1）如图1中，在RtABC中，∵AC＝16，BC＝12，∠C＝90°，∴AB＝＝＝20，∵PQ∥AC，∴∠A＝∠QPM，∵∠C＝∠PMQ＝90°，∴△ACB∽△PMQ，∴＝＝，∴＝＝，∴PM＝4t，MQ＝3t，当0＜t≤时，DM＝AD﹣AM＝10﹣5t﹣4t＝﹣9t+10．当＜t≤4时，DM＝AM﹣AD＝9t﹣10．（2）如图2中，当点Q落在BC上时，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，解得t＝，∴当点Q落在BC边上时t的值为s．（3）如图3﹣1中，当＜t≤时，重叠部分是△DMK，S＝×DM×MK＝×（9t﹣10）×（9t﹣10）＝t2﹣t+．如图3﹣2中，当≤t≤4时，重叠部分是△PBK，S＝•PK•BK＝×（20﹣5t）•（20﹣5t）＝6t2﹣48t+96．（4）如图4﹣1中，当直线CQ平分∠PQM时，设直线CQ交AB于G，作GK⊥PQ于K．∵∠QKG＝∠QMG＝90°，∠GQK＝∠GQM，QG＝QG，∴△QGK≌△QGM（AAS），∴QK＝QM＝3t，PK＝PQ﹣QK＝5t﹣3t＝2t，∴PG＝PK＝t，∵PQ∥AC，∴＝，∴＝，∴t＝．如图4﹣2中，当CM平分∠QMP时，作CG⊥AB于G．∵•AC•BC＝•AB•CG，∴CG＝＝＝，AG＝＝＝，∵∠CMG＝∠GCM＝45°，∴CG＝GM＝，∴AM＝9t＝+，解得t＝，综上所述，满足条件的t的值为s或s．11．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵C（﹣2，4），∴CH＝4，OH＝2，∵AC﹣BC，∠ACB＝90°，∴AH＝CH＝BH＝4，∴OB＝OH＝2，∵OD∥CH，∴CD＝DB，∴OD＝CH＝2，∴D（0，2），B（2，0）．（2）由（1）可知D（0，2），所以当0≤t＜2时，当t＞2时，，综上所述，S＝．（3）如图3中，延长AC交y轴于H，连接FD，AF．FO．∵C（﹣2，4），△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝8，由（1）知B（2，0），∴OB＝2，OA＝6，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵∠AOH＝90°，∴∠CHE＝∠CAB＝45°，∴OH＝OA＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠DCH＝90°，∵∠CHE＝45°，∴∠CDH＝∠CHE＝45°，∴CH＝CD，∵CF⊥CE，∴∠DCF+∠ECD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠HCE+∠ECD＝90°，∴∠HCE＝∠DCF，又∵CF＝CE，∴△HCE≌△DCF（SAS），∴HE＝FD＝6﹣t，∠CDF＝∠CHE＝45°，∵∠CBA＝45°，∴∠CDF＝∠CBA，∴FD∥AB，∴∠FDM＝∠NAM，∵M是AD中点，∴DM＝AM，又∵∠FMD＝∠NMA，∴△DMF≌AMN（ASA），∴AN＝FD＝6﹣t，∵DM＝AM，∴S△DMF ＝S△AMF∵△DMF≌△AMN，∴S△DMF ＝S△AMN，∴S△NFA ＝2S△AMN∵S△NFO ＝10S△AMN∴S△NFO ＝5S△NFA，∴5AN＝ON，∵OA＝6，∴AN＝1，∴AN＝6﹣t＝1，∴t＝5，∴S＝t﹣2＝5﹣2＝3．12．解：（1）在Rt△AOC中，A（﹣2，0），∠A＝60°，∴OA＝2，∠ACO＝∠ABC＝30°∴AC＝2OA＝4，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝8，即OB＝AB﹣OA＝8﹣2＝6，则B（6，0）；（2）如图1所示，在Rt△MCP中，MP＝t，∠MCP＝30°，∴CP＝2MP＝2t，在Rt△CQP中，∠CQP＝30°，CP＝2t，∴PQ＝4t，即d＝4t；（3）如图2所示，过P作PM∥y轴，交BC于M，∴∠APM＝∠DCP＝∠ACO＝30°，∵∠APB﹣∠OEB＝30°，∴∠APB﹣30°＝∠OEB＝∠BPM，∵∠BMP＝180°﹣60°＝120°＝∠OCE，∵OE＝PB，∴△OCE≌△BMP（AAS），∴OC＝BM＝2，∵BC＝4，∴CM＝4﹣2＝2，Rt△PCM中，∠CPM＝30°，CP＝2t，∴PM＝4，∴PC2+CM2＝PM2，∴，4t2+12＝48，t＝3或﹣3（舍），∴PQ＝4t＝12．13．解：（1）①由，解得，故答案为4，4．②如图1中，∵A（0，4），C（4，0），∴OA＝OC＝4，∴△AOC是等腰直角三角形，∴AC＝OC，∠ACO＝45°，∵△DCB是等腰直角三角形，∴BC＝CD，∠DCB＝45°，∴∠OCD＝∠ACB，＝＝，∴∠OCD∽△ACB，∴∠BAC＝∠DOC＝90°，∴∠AEC＝∠ACE＝45°，∴AE＝AC，∵AO⊥EC，∴EO＝OC＝AO＝4，＝•EC•AO＝×8×4＝16．∴S△ACE（2）如图2中，作CP∥OA交DH的延长线于P，作DK⊥CP于K．∵PC∥OA，∴∠P＝∠ADH，∠DCP＝∠ODC，∵∠ADH＝∠ODC，∴∠P＝∠PCD，∴DP＝DC，∴△DPC是等腰三角形，∵∠DKC＝∠KCO＝∠DOC＝90°，∴四边形ODKC是矩形，∴OD＝CK，∵DK⊥PC，∴PK＝CK＝OD，设OD＝x，则PK＝CK＝x，PC＝2x，∵OA＝OC，AD＝11，OG＝8，∴CG＝OC﹣OG＝x+3，∵GH⊥DC，∴∠CFG＝∠COD＝90°，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠CGF+∠FCG＝90°，∴∠ODC＝∠CGF，∴∠CGH＝∠P，∵CH＝CH，∠HCG＝∠HCP＝45°，∴△HCG≌△HCP（AAS），∴CG＝CP，∴x+3＝2x，∴x＝3，∴D（0，3）14．解：（1）根据题意得：，解得：a＝4，∴b＝8，∴A（4，0），B（0，8）；（2）∵C为AB的中点，∴C（2，4），设OE＝b，∵BE＝AD，∴AD＝8﹣b，∵OA＝4，∴OD＝4﹣b，设直线CD的解析式为：y＝kx+b，把C（2，4）代入得：2k+b＝4，∴k＝，∴直线CD的解析式为：y＝x+b，∵D（b﹣4，0），则﹣+b＝0，解得：b＝2或8（舍），∴D（﹣2，0）；（3）由（2）知：直线CD的解析式为：y＝x+2分两种情况：①当F在点A的左侧时，如图2，过F作FG⊥AB于G，∵∠BAO＝∠FAG，∴tan∠BAO＝tan∠FAG＝＝＝2，设AG＝x，则FG＝2x，∵∠ACF＝45°，∠CGF＝90°，∴CG＝FG＝2x，∵AC＝AB＝＝2，∴AG＝2﹣2x＝x，x＝，∴AF＝x＝，∴OF＝4﹣＝，∴F（，0）；②当点F在点A的右侧时，如图3，过C作CP⊥CF，交x轴于点P，CH⊥x轴于H，过A 作AG⊥CF于G，∵∠ACF＝45°，∴△ACG是等腰直角三角形，∵AC＝2，∴CG＝AG＝，由（2）知：AP＝，∵AH＝2，∴PH＝﹣2＝，∵CH＝OB＝4，∴PC＝＝，∵AG∥PC，∴，即＝，∴AF＝10，∴F（14，0），综上，点F的坐标为（，0）或（14，0）．15．解：（1）如图1中，PM＝3﹣t．故答案为3﹣t．（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图2，∵DA＝DB，AM＝BM，∴DM⊥AB．∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠DMB＝90°．∴CE∥DM．∵DC∥ME，CE∥DM，∠DME＝90°，∴四边形DCEM是矩形．∴CE＝DM＝3，ME＝DC＝．∵AM＝BM，AB＝6，∴AM＝BM＝3．∴BE＝BM﹣ME＝．∵∠CEB＝90°，CE＝3，BE＝，∴CB＝＝＝2．（3）①当3＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，∵QF⊥AB，CE⊥AB，∴∠QFB＝∠CEB＝90°．∴QF∥CE．∵BQ＝t，∴QF＝∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）•＝；②当＜t≤时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图4，此时QF＝DM＝3．∵PM＝AP﹣AM＝t﹣3，∴S＝PM•QF＝（t﹣3）×3＝．综上所述：当3＜t≤时，S＝；当＜t≤时，S＝．16．解：（1）在Rt△ACD中，AC＝3t，tan∠MAN＝，∴CD＝4t．∴AD＝＝＝5t，当点C在点B右侧时，CB＝3t﹣5，∴CF＝CB．∴DF＝4t﹣（3t﹣5）＝t+5．（2）当0＜t＜时，S＝•（5﹣3t）•4t＝﹣6t2+10t．当t＞时，S＝•（3t﹣5）•4t＝6t2﹣10t．（3）①如图1中，当DF＝AD时，△ADF是轴对称图形．则有5﹣3t﹣4t＝5t，解得t＝，②如图2中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．③如图3中，当AF＝DF时，△ADF是轴对称图形．作FH⊥AD．∵FA＝DF，∴AH＝DH＝t，由cos∠FDH＝，可得＝，解得t＝．综上所述，满足条件的t的值为或或．17．（1）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴∠ABC＝∠EBD＝60°，∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠CBD，∴∠ABE＝∠CBD．（2）证明：∵△ABC，△DEB都是等边三角形，∴BA＝BC，BE＝BD，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝∠CBD，∴△ABE≌△CBD（SAS），∴∠BAE＝∠BCD＝60°，∴∠ACB＝∠BCD＝60°，∴CB平分∠ACD．（3）解：结论：EC+BE＝BC．理由：∵DA＝DF，∴可以将△DBF绕点D顺时针旋转，使得DF与DA重合，得到△DMA，连接AM．∵DA＝DF，BD＝BF，∴∠DAF＝∠F＝∠BDF，∵∠BCD＝∠ABC＝60°，∴CD∥AB，∴∠CDF＝∠DAF，∵∠MDA＝∠BDF＝∠F＝∠DAB，∴∠MDA＝∠CDA，∴D，C，M共线，∵∠AMD＝∠DBF＝∠CDB，∠ACM＝∠BCD＝60°，AM＝DM＝BD＝BF，∴△AMC≌△BDC（AAS），∴CM＝DC＝BD＝BE，∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，∴BC＝AC＝EC+AE＝CE+CD＝CE+BE，∴EC+BE＝BC．18．（1）解：如图1中，在CA上取一点H，使得CH＝CG．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝45°，∵AE⊥CR，CE＝ER，∴AC＝AR，∴∠CAG＝∠GAB＝22.5°∵CG＝CH＝1，∴GH＝＝＝，∠CHG＝45°，∵∠CHG＝∠HAG+∠HGA，∴∠HAG＝∠HGA＝22.5°，∴HA＝HG＝，∵CB＝CA，CG＝CH，∴BG＝AH＝．（2）解：如图2中，连接CD，DE．∵CF⊥AG，BC⊥CF，∴∠BCF＝∠CAE＝90°﹣∠ACE在△AEC和△CFB，，∴△AEC≌△CFB（AAS），∴AE＝CF，CE＝BF，∵等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴CD＝BD，∠CDB＝90°，∵∠CDB＝∠CFB＝90°，∴∠FBD＝∠DCE，在△BFD与△CED中，，∴△BFD≌△CED（SAS），∴DF＝DE，∠FDB＝∠EDC，∴∠EDC+∠EDB＝∠BDF+∠BDE＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴EF＝DF．（3）如图3中，结论：＝．理由：连接AF，在EC上取一点H，使得CH＝AH，连接AH．∵AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝60°，AB＝AC＝BC，∵∠BAG＝15°，∴∠CAE＝75°，∵CE⊥AG，∴∠CEA＝90°，∴∠ACE＝15°，∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACE＝45°，∵BF⊥CE，∴∠FCB＝∠FBC＝45°，∴FB＝FC，∵AB＝AC，∴AF垂直平分线段BC，∴AF平分∠CAB，∴∠FAB＝∠CAB＝30°，∴∠EAF＝∠EFA＝45°，∴EF＝AE，设EF＝AE＝m，∵HC＝HA，∴∠HCA＝∠HAC＝15°，∴∠EHA＝∠HCA+∠HAC＝30°，∴AH＝2AE＝2m，EH＝m，∴EC＝2m+m，∴AC＝＝＝（+）m，∵BD＝AB＝AC＝m，∴＝．19．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD．又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE．（2）如图2，连结BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝4，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴BD＝＝＝5．（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2＝BC2，理由如下：解法一：如图3，连结BE．∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2．∴BC2＝CD2+CE2．解法二：如图4，过点A作AP⊥DE于点P．∵△ADE为等腰直角三角形，AP⊥DE，∴AP＝EP＝DP．∵CD2＝（CP+PD）2＝（CP+AP）2＝CP2+2CP•AP+AP2，CE2＝（EP﹣CP）2＝（AP﹣CP）2＝AP2﹣2AP•CP+CP2，。

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》1．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．2．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．【探究发现】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DP＝DB；【数学思考】证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，在△CDP和△GDB中，，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DP＝DB．3．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC和AC上，AD与BE相交于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＝CE，求证：∠1＝∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，若CF⊥BF，求证：BF＝2AF；（3）如图3，∠BAC＝∠BFD＝2∠CFD＝90°，若S△ABC ＝2，求S△CDF的值．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠1＝∠2；（2）如图2，过B作BH⊥AD，垂足为H，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBE＝60°，∴∠BFD＝∠ABF+∠BAD＝60°，∴∠FBH＝30°，∴BF＝2FH，在△AHB和△BFC中，∴△AHB≌△BFC（AAS），∴BF＝AH＝AF+FH＝2FH，∴AF＝FH，∴BF＝2AF；（3）如图3，过C作CM⊥AD交AD延长线于M，过C作CN⊥BE交BE延长线于N，∵∠BFD＝2∠CFD＝90°，∴∠EFC＝∠DFC＝45°，∴CF是∠MFN的角平分线，∴CM＝CN，∵∠BAC＝∠BFD＝90°，∴∠ABF＝∠CAD，在△AFB和△CMA中，∴△AFB≌△CMA（AAS）∴BF＝AM，AF＝CM，∴AF＝CN，∵∠FMC＝90°，∠CFM＝45°，∴△FMC为等腰直角三角形，∴FM＝CM，∴BF＝AM＝AF+FM＝2CM，∴S△BDF ＝2S△CDF，∵AF＝CM，FM＝CM，∴AF＝FM，∴F是AM的中点，∴S△AFC ＝S△AMC＝S△AFB，∵AF⊥BF，CN⊥BF，AF＝CN，∴S△AFB ＝S△BFC，设S△CDF ＝x，则S△BDF＝2x，∴S△AFB ＝S△BFC＝3x∴S△AFC ＝S△AFB＝x，则3x+3x+x＝2，解得，x＝，即S△CDF＝．4．在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝40 °，若△AMN的周长为9，则BC＝9 ．（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA 的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．解：（1）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理：NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，∵△AMN的周长为9，∴MA+MN+NA＝9，∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，故答案为：40；9；（2）如图②，连接AM、AN，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，∵点M在AB的垂直平分线上，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理AN＝CN，∠CAN＝∠C，∴∠BAM+∠CAN＝45°，∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°，∴AM2+AN2＝MN2，∴BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，∴PH＝PE，∵点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝CP，在Rt△APH和Rt△CPE中，，∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL），∴AH＝CE，在△BPH和△BPE中，，∴△BPH≌△BPE（AAS）∴BH＝BE，∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．5．（1）问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为DE＝BD+CE；（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠AFE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS）∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE ＝∠DFA +∠AFE ＝∠DFA +∠BFD ＝60°，∴△DEF 为等边三角形．6．如图所示，直线AB 交x 轴于点A （4，0），交y 轴于点B （0，﹣4）．（I ）如图①，若C 的坐标为（﹣1，0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点P 的坐标；（II ）如图②，在（I ）的条件下，连接OH ，求∠OHC 的度数；（III ）如图③，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子S △BDM ﹣S △ADN 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．解：（I ）由题意，OA ＝OB ＝4，∵∠AHC ＝90°，∠BOC ＝90°，∴∠CAH ＝∠CBO ，在△OAP 和△OBC 中，，∴△OAP ≌△OBC （ASA ），∴OP ＝OC ＝1，则点P 的坐标为（0，﹣1）；（II ）如图②，过O 分别作OM ⊥BC 于M ，作ON ⊥AH 于N ，则四边形MONH 为矩形，∴∠MON ＝90°，∵∠COP ＝90°，∴∠COM ＝∠PON ，在△COM 和△PON 中，，∴△COM ≌△PON （AAS ）∴OM ＝ON ，又OM ⊥BC ，作ON ⊥AH ，∴HO 平分∠MHN ，∴∠OHC ＝∠MHN ＝45°；（III ）式子S △BDM ﹣S △ADN 的值不发生改变，等于4．理由如下：如图③，连接OD ，∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，点D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，OD ＝AD ＝BD ＝，∠OAB ＝45°，∴∠BOD ＝45°，∴∠MOD ＝135°，∴∠MOD ＝∠NAD ＝135°，∵∠ODA ＝90°，∠MDN ＝90°，∴∠MDO ＝∠NDA ，在△MOD 和△NAD 中，，∴△MOD ≌△NAD （ASA ）∴S △MDO ＝S △NDA ，∴S △BDM ﹣S △ADN ＝S △BDM ﹣S △ODM ＝S △BDO ＝××4×4＝4．7．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED＝CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD：AF＝1：2，则AF＝2x，∵△ECD都是等腰直角三角形，CF⊥DE，∴DF＝EF，由（1）、（2）可得，在Rt△FAE中，EF＝＝＝3x，∵AE2+AD2＝2CD2∴，解得x＝1，∴AB＝2+4．8．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；（2）如图2，若点D不是AC的中点，AD＝CE是否成立？证明你的结论；（3）如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵D为AC中点，∴∠DBC＝30°，AD＝DC，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∴△BFD≌△DCE（AAS），∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）AD＝CE．证明：如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，，∴△BPD≌△DCE（AAS），∴PD＝CE，∴AD＝CE．9．如图（a），△ABC、△DCE都为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一直线上，连接AD．（1）若AB＝2，CE＝，求△ACD的周长；（2）如图（b），点G为BE的中点，连接DG并延长至F，使得GF＝DG，连接BF、AG．（i）求证：BF∥DE；（ii）探索AG与FD的位置关系，并说明理由．（1）解：∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝45°，DC＝DE，∠DCE＝45°，∴∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△DCE中，DC2+DE2＝CE2＝（）2＝2，∴DC＝DE＝1，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝3+；（2）（i）证明：在△BGF和△EGD中，，∴△BGF≌△EGD（SAS）∴∠GBF＝∠E，∴BF∥DE；（ii）AG⊥FD，理由如下：如图（b）连接AF，∵△DEG≌△FBG，∴BF＝DE＝CD，∠GBF＝∠E＝45°，∵∠ABF＝∠ABC+∠GBF＝90°，∴∠ABF＝∠ACD，在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴AF＝AD，又∵DG＝FG，∴AG⊥FD．10．如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN，（1）M点如图1的位置时，如果AM＝5，求BN的长；（2）M点在如图2位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系AB+BM＝BN；（3）M点在如图3位置时，当BM＝AB时，证明：MN⊥AB．（1）解：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB﹣∠MPB＝MPN﹣∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN＝5；（2）解：AB+BM＝BN，理由如下：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB+∠MPB＝MPN+∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN，∴BN＝AM＝AB+BM，故答案为：AB+BM＝BN；（3）证明：∵△PAB是等边三角形，∴AB＝PB，∠ABP＝60°，∵BM＝AB，∴PB＝BM，∴∠BPM＝∠PMB，∵∠ABP＝60°，∴∠BPM＝∠PMB＝30°，∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，∴∠AMN＝90°，∴MN⊥AB．11．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC．让同学们进行探究．（1）探究一：如图2，小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接AD．请直接写出∠ADB的度数150°；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE 的长．解：（1）探究一：∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为：150°．（2）探究二：结论：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．12．（1）发现：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）应用：如图2，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝BD，∠CAD＝90°，AB＝6，请求出△ABC的面积；（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，﹣4），点B为平面内一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．解：（1）AC＝DE，BC＝AE；故答案为：DE，AE；（2）作AE⊥CD于E，如图2所示：∵AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AE＝CD＝DE＝CE，∴AD＝AC＝AE，设AE＝DE＝CE＝x，则AC＝AD＝BD＝x，∴BE＝x+x，BC＝2x+x，∴AB2＝（x+x）2+x2＝62，解得：x2＝18﹣9，∴△ABC的面积＝BC×AE＝（2x+x）×x＝×（2+）×x2＝×（2+）×（18﹣9）＝18；（3）分两种情况：①过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，如图3所示：则∠C＝90°，∵点A的坐标为（﹣1，﹣4），∴AD＝1，OD＝CE＝4，∵∠OBO＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC与△BOE中，，∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x+1，∴CE＝BE+BC＝x+1+x＝OD＝4，∴x＝，x+1＝，∴点B的坐标（，）；②如图4，同理可得，点B的坐标（﹣，﹣），综上所述，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．13．模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C 的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为 5 ．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC ＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，故答案为：5；模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．14．已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为（0，3）；（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求的值．（1）解：∵B（0，1），∴OB＝1，∵AB＝2，点C在y轴的正半轴上，△ABC为等腰三角形，∴BC＝AB＝2，∴OC＝OB+BC＝3，∴点C的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）；（2）证明：连接OD，如图2所示：∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∵∠OAB＝30°，∴∠OAE＝30°+60°＝90°，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°＝∠OAE，∠OAD＝90°﹣30°＝60°，∵MN是OA的垂直平分线，∴OD＝AD，∴△OAD是等边三角形，∴AO＝AD，在△ABD和△AEO中，，∴△ABD≌△AEO（SAS），∴BD＝OE；（3）解：作EH⊥AB于H，如图3所示：∵△ABE是等边三角形，EH⊥AB，∴AH＝AB，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴OB＝AB，∴AH＝OB，在Rt△AEH和Rt△BAO中，，∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），∴EH＝AO＝AD，在△HFE和△AFD中，，∴△HFE≌△AFD（AAS），∴EF＝DF，∴DE＝2DF，∴＝．15．在平面直角坐标系中，M（m，n）且m、n满足m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，B（0，b）为y轴上一动点，绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于点C，过C作AC⊥BC交直线BM于点A（a，t）．（1）求点M的坐标；（2）如图1，在B点运动的过程中，A点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a的值；若变化，写出A点的横坐标a的取值范围；（3）如图2，过T（a，0）作TH⊥BM（垂足H在x轴下方），在射线HB上截取HK＝HT，连OK，求∠OKB的度数．解：（1）m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，m2+n2﹣2mn+n2+4n+4＝0，（m﹣n）2+（n+2）2＝0，则m﹣n＝0，n+2＝0，解得，m＝﹣2，n＝﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）过A作AT⊥x轴，MD⊥x轴于D，连接OM，CM，在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，∴CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠TCB＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BCO+∠TCB＝90°，∴∠ACT＝∠CBO，在△CBO和△ACT中，，∴△CBO≌△ACT（AAS），∴CT＝BO＝﹣b，AT＝CO＝t，∴a＝b+t，∵DO＝DM，∴∠DOM＝45°，∴∠MOC＝135°，∴∠MOC+∠ABC＝180°，∴O、M、B、C四点共圆，∴∠CMB＝∠COB＝90°，∵CA＝CB，∴M为AB中点，∴b+t＝﹣4，∴a＝﹣4；（3）连TM、OM，过O作ON⊥BM于N，由（2）可知T（﹣4，0），∴OT＝4，又点M的坐标为（﹣2，﹣2），∴△TMO为等腰直角三角形，∴MT＝MO，∵∠THM＝90°，∠TMO＝90°，∴∠TMH＝∠MON，在△HTM和△NMO中，，∴△HTM≌△NMO（AAS），∴HT＝MN，HM＝ON，∴HK＝KN，∴KN＝ON，∴∠OKB＝45°．16．在等边三角形ABC中，点P从点B出发沿射线BA运动，同时点Q从点C出发沿线段AC 的延长线运动，P、Q两点运动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，过点P作PE∥AC交BC于点E，求证：EP＝CQ．（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为F．①当点P在线段BA上运动时，求证：BF+CD＝BC．②当点P在线段BA延长线上运动时，直接写出BF、CD与BC之间的数量关系．（1）证明：由题意得：BP＝CQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC＝60°，∠BEP＝∠BCA＝60°，∴∠B＝∠BPE＝∠BEP，∴△BPE是等边三角形，∴EP＝BP，∴EP＝CQ．（2）①证明：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图②所示：由（1）得：EP＝CQ，∠BEP＝∠ACB＝60°，△BPE是等边三角形，∴∠DEP＝∠DCQ＝120°，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，在△DPE和△DQC中，，∴△DPE≌△DQC（AAS），∴ED＝CD，∴BF+CD＝EF+ED＝BC．②解：当点P在线段BA延长线上运动时，BC+2CD＝2BF，理由如下：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图③所示：同①得：△BPE是等边三角形，△DPE≌△DQC，∴ED＝CD，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，∵BC﹣BF＝CF，∴BC﹣BF＝EF﹣2CD＝BF﹣2CD，∴BC+2CD＝2BF．17．问题情境：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题初探：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为直线AB上的一个动点（D与A，B 不重合），连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，连接BE．（1）当点D在线段AB上时，AD与BE的数量关系是AD＝BE；位置关系是AD⊥BE；AB，BD，BE三条线段之间的关系是AB＝BD+BE．类比再探：（2）如图2，当点D运动到AB的延长线上时，AD与BE还存在（1）中的位置关系吗？若存在，请说明理由．同时探索AB，BD，BE三条线段之间的数量关系，并说明理由．能力提升：（3）如图3，当点D运动到BA的延长线上时，若AB＝7，AD＝2，则AE＝9 ．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，即AD⊥BE，∴AB＝BD+AD＝BD+BE；故答案为：AD＝BE；AD⊥BE；AB＝BD+BE；（2）AD⊥BE，理由如下：∵∠ACB＝90°AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠A＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴AB⊥BE，即AD⊥BE，∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，∴BE＝AB+BD；（3）∵△ABC、△CDE是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE＝BD＝AD+AB＝9，故答案为：9．18．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：△ADC≌△BEC；（2）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AD∥BC；（3）如图2，若AD＝AB，已知AF＝10，AE＝4，求BC的长．证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，△ABC和△DEF为等腰三角形，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）证明：由（1）得：△ADC≌△BEC，∴∠DAC＝∠EBC＝60°，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC；（3）解：在FA上截取FM＝AE，连接DM，如图2所示：∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，在△AED和△MFD中，，∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．∴BC＝AF﹣AE＝10﹣4＝6．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于点P，∠EBC＝∠BAD．（1）如图1，求证：∠APE＝∠C；（2）作AF∥BC交DE延长线于点F，PE＝EC．①如图2，求证：AD＝AF；②如图3，过点E作EG⊥BC于点G，若DP＝1，DC＝7，直接写出DG的长为 4 ．（1）证明：∠APE＝∠ABP+∠BAD，∠ABC＝∠ABP+∠EBC，∵∠EBC＝∠BAD，∴∠APE＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠APE＝∠C；（2）①证明：如图2，作EG⊥DC于G，EH⊥AD于H，在△EHP和△EGC中，，∴△EHP≌△EGC（AAS）∴EH＝EG，又EG⊥DC，EH⊥AD，∴∠ADF＝∠CDF，∵AF∥BC，∴∠F＝∠CDF，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF；②解：如图3，作EH⊥AD于H，由（2）①可知，△EHP≌△EGC，∴PH＝GC，在△DEH和△DEG中，，∴△DEH≌△DEG（AAS）∴DH＝DG，∴DG＝DH＝DP+PH＝1+GC，∴1+GC+GC＝7，解得，GC＝3，∴DG＝DC﹣GC＝7﹣3＝4，故答案为：4．20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M 在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t，点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，当点N沿C→B路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒时，△CMN为等腰直角三角形；②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，9﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，9﹣t═3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣18，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒或6秒时，△MDC与△CEN全等．。

九年级数学上册《相似三角形的综合应用》教案、教学设计

九年级数学上册《相似三角形的综合应用》教案、教学设计
（3）组织小组合作学习，鼓励学生互相讨论、交流，培养学生的团队合作能力和批判性思维。
2.教学过程：
（1）导入新课：通过生活中的实例，如地图比例尺、照片放大缩小等，引出相似三角形的概念；
（2）新课展开：引导学生复习旧知，如全等三角形的判定，自然过渡到相似三角形的判定方法；
（3）实例讲解：结合实际问题，讲解相似三角形的性质和判定方法，让学生体会数学与生活的联系；
在我们的生活中，相似三角形的应用无处不在。比如，设计师在设计图案时，摄影师在拍摄照片时，都会用到相似变换。现在，让我们一起来看看这张图片（展示一张包含相似三角形的图片，如建筑物的立面图），你们能发现其中的相似三角形吗？它们有什么特别之处？通过这个导入，我希望大家能够感受到相似三角形在现实生活中的重要性，激发起对今天新课的兴趣。
5.完成课后在线练习，包括相似三角形的相关知识点，巩固课堂所学。同学们可以利用学校提供的在线学习平台，进行自主学习，提高自己的数学素养。
在完成作业的过程中，同学们应注意以下几点：
1.认真审题，注意题目中的关键信息，确保解题过程的准确性；
2.规范书写，保持解答过程的简洁、清晰，养成良好的学习习惯；
3.遇到问题，主动与同学、老师交流，积极寻求帮助，提高解决问题的能力；
1.学生在解决相似三角形问题时，可能对判定方法和性质的应用存在困惑，需要教师耐心引导和解答；
2.学生的几何直观能力有待提高，教师应设计丰富的教学活动，帮助学生通过观察、画图等方式，提高几何直观能力；
3.学生在小组合作中，可能存在交流不畅、分工不明确等问题，教师需引导学生积极参与，提高合作效率；
4.针对不同学生的认知水平，教师应设计有梯度的教学任务，使每个学生都能在课堂上得到锻炼和提升；
（4）巩固练习：设计不同难度的练习题，让学生在练习中掌握知识，形成技能；

2023年九年级中考数学重难点训练——三角形的综合

2023年九年级中考数学重难点训练——三角形的综合

2023年中考数学重难点训练——三角形的综合一、综合题1．如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，将边AB 沿AE 折叠，使点B 落在AC 上的点M 处，将边CD 沿CF折叠，使点D 落在AC 上的点N 处。

（1）求证：四边形AECF 是平行四边形； （2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF 的面积。

2．如图，已知菱形中 ABCD ，且 60BAD ∠=︒ 延长 AB 至点 E ，使 BE AB = ，连接 BD 和CE ．（1）求证：DAB CBE ≌ ； （2）求证：四边形 DBEC 是菱形．3．已知：如图，四边形ABCD 是正方形，点E 、F 分别在BC 、CD 上，连接AE 、EF 、AF ，且∠DAE ＝∠AEF ．（1）求证：EF ＝BE+DF ；（2）线段AF 的垂直平分线交AD 于点G ，连接FG ，求证：∠EFG ＝90°； （3）在（2）的条件下，若tan∠DFG ＝34 ，EF ＝ 203，求S ∠AEF ． 4．如图所示，已知∠ABC 中，BC=30cm ，AD=10cm ．AD 是高，矩形EFGH 内接于∠ABC 中，且长边FG 在BC 边上．设EF=x ， FG=y ．（1）求y 与x 的函数关系式．并求自变量x 的取值范围． （2）若x ：y=1：2，求矩形EFGH 的面积．（3）当EF 为何值时，矩形EFGH 的面积最大？最大面积是多少?5．如图，Rt∠ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边，向∠ABC 的内侧作等腰Rt∠ABE 、Rt∠ACD ，点M 是BC 的中点，连接MD 、ME ．（1）若AB ＝8，AC ＝4，求DE 的长；（2）求证：AB ﹣AC ＝2DM ．6．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3cm ，过点A 作∠EAF ＝60°，分别交DC ，BC 的延长线于点E ，F ，连接EF.（1）如图1，当CE ＝CF 时，判断∠AEF 的形状，并说明理由；（2）若∠AEF 是直角三角形，求CE ，CF 的长度；（3）当CE ，CF 的长度发生变化时，∠CEF 的面积是否会发生变化，请说明理由.7．已知等边∠ABC 和射线AP ，作AC 边关于射线AP 的对称线段AD ，连接BD ，CD ．（1）如图1，当射线AP 在∠BAC 内部时， ①请依题意补全图形；②若∠PAC ＝15°，则∠BDC ＝ ▲ 度； ③若∠PAC ＝x°，试求∠BDC 的度数；（2）如图2，当射线AP 在∠BAC 外部的AC 右侧时，设BD 交AP 于点E ， ①∠BDC ＝ ▲ 度；②线段AE ，BE ，DE 之间有何数量关系？试说明理由．8．如图，正方形OABC 的边OA ，OC 在坐标轴上，点B 的坐标为（﹣2，2）.点P 从点A 出发，以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向点O 运动；点Q 从点O 同时出发，以相同的速度沿x 轴正方向运动，过点Q 作直线l 垂直x 轴.当点P 到达点O 时，点Q 也停止运动.连接BP ，作PD∠BP 交直线l 于点D.连结BD 交y 轴于点E ，连接PE.设点P 的运动时间为t （s ）.（1）①点D 的坐标为 （用含t 的代数式表示）. ②当0＜t≤2时，∠PED 的大小范围是 .（2）当0＜t ＜2时，∠POE 的周长C 是否随t 的变化而变化？若变化，求出C 关于t 的关系式；若不变，求出C 的值.（3）当t ＝ 秒时，∠PBE 为等腰三角形（直接给出答案）.9．如图，已知正方形OEFG 的顶点O 与正方形ABCD 的中心O 重合，若正方形OEFG 绕O 点旋转．（1）探究：在旋转的过程中线段BE 与线段CG 有什么数量关系及位置关系？证明你的结论； （2）若正方形ABCD 的边长为a ，探究：在旋转过程中四边形OMCN 的面积是否发生变化？若不变化求其面积，若变化指出变化过程．10．（1）问题发现：如图（1），在∠OAB 和∠OCD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠AOB ＝∠COD ＝36°，连接AC ，BD 交于点M ．①ACBD的值为 ；②∠AMB 的度数为 ； （2）类比探究 ：如图（2），在∠OAB 和∠OCD 中，∠AOB ＝∠COD ＝90°，∠OAB ＝∠OCD ＝30°，连接AC ，交BD 的延长线于点M ．请计算ACBD的值及∠AMB 的度数． （3）拓展延伸：在（2）的条件下，将∠OCD 绕点O 在平面内旋转，AC ，BD 所在直线交于点M ．若OD＝1，OB 13C 与点M 重合时AC 的长．11．如图，以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，连接EF 交BC 于点O .设θG ∠=.（1）求证：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；并请直接写出使EF BC ⊥成立的θ值. （2）当θ90=︒时，试给出tan ABC ∠的值，使得EF 垂直平分AC ，请说明理由.12．如图①，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）写出点C，D的坐标并求出四边形ABDC的面积；（2）在y轴上是否存在一点Q，连接QA，QB，使∠AQB的面积等于四边形ABDC的面积的一半？若存在这样的点，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，点P是线段BD上一个动点，连接PC，PO，当点P在线段BD上运动时，试探究∠OPC与∠PCD，∠POB的数量关系，并证明你的结论．13．如图1，菱形ABCD中，DE∠AB，垂足为E，DE＝3cm，AE＝4cm，把四边形BCDE沿DE所在直线折叠，使点B落在AE上的点M处，点C落在点N处，MN交AD于点F．（1）证明：FA＝FM；（2）求四边形DEMF面积；（3）如图2，点P从点D出发，沿D→N→F路径以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为t秒，当t 为何值时，∠DPF的面积与四边形DEMF的面积相等．14．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB∠x轴于B，AC∠y轴于C，A（4m，3m），且四边形ABOC的面积为48．（1）如图①，求A点的坐标；（2）如图②，点D从O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴运动，同时点E从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线BA运动，DE交线段AC于F，设运动的时间为t，当S∠AEF＜S∠CDF时，求t的取值范围．15．如图1，在等腰直角三角形ADC中，904ADC AD∠==，．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG CE，．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为(090)αα<<．（1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD∆与CED∆是否全等，并说明理由；②当CE CD=时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG CP⊥；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．16．如图1，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝6cm，BD＝8cm，分别过点B、C作AC与BD的平行线相交于点E．（1）判断四边形BOCE的形状并证明；（2）点G从点A沿射线AC的方向以2cm/s的速度移动了t秒，连接BG，当S∠ABG＝2S∠OBG时，求t的值．（3）如图2，长度为3cm的线段GH在射线AC上运动，求BG＋BH的最小值．17．如图1，已知点A，B，C，D在一条直线上，BF、CE相交于O，AE＝DF，∠E＝∠F，OB＝OC．（1）求证：∠ACE∠∠DBF；（2）如果把∠DBF沿AD折翻折使点F落在点G，如图2,连接BE和CG．求证：四边形BGCE是平行四边形．18．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE求证：四边形AFCE为菱形；（2）如图1，求AF的长；（3）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿∠AFB和∠CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t 秒．若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵折叠，∴AM=AB ，CN=CD ，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，∴∠ANF=90°，∠CME=90°，∵四边形ABCD 为矩形，∴AB=CD ，AD∠BC ， ∴AM=CN ，∴AM ﹣MN=CN ﹣MN ，即AN=CM ， 在∠ANF 和∠CME 中，∴∠ANF∠∠CME （ASA ），∴AF=CE ，又∵AF∠CE ，∴四边形AECF 是平行四边形；（2）解：∵AB=6，AC=10，∴BC=8，设CE=x ，则EM=8﹣x ，CM=10﹣6=4，在Rt∠CEM 中，（8﹣x ）2+42=x 2，解得：x=5，∴四边形AECF 的面积的面积为：EC•AB=5×6=30．2．【答案】（1）解：∵菱形 ABCD∴AD BC ， AD BC = ∴CBE DAB ∠=∠ ∵BE AB =∴()DAB CBE SAS ≌ （2）解：∵菱形 ABCD ， ∴DC BE ， ==DC AD AB BE = ， ∴四边形 DBEC 是平行四边形， ∵60DAB ∠=︒ ∴∠ABD 是等边三角形 ∴AB BD BE == ． ∴四边形 DBEC 是菱形．3．【答案】（1）证明：过点A 作AH∠EF 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，AD∠BC ， ∴∠BEA ＝∠DAE ， ∵∠DAE ＝∠AEF ， ∴∠BEA ＝∠AEF ， 在∠ABE 和∠AHE 中，∵B AHEBEA AEH AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴∠ABE∠∠AHE （AAS ）， ∴AB ＝AH ，BE ＝HE ， ∴AH ＝AD ，∴Rt∠AHF∠Rt∠ADF （HL ）， ∴DF ＝HF ， ∵EF ＝HE+HF ， ∴EF ＝BE+DF（2）解：如图2，由题意知GA ＝GF ，∴∠GAF ＝∠GFA ， 由（1）知∠AFE ＝∠AFD ， ∵∠FAD+∠AFD ＝90°， ∴∠GFA+∠AFE ＝90°，∴∠EFG ＝90°（3）解：由tan∠DFG ＝ DG DF ＝ 34可设DG ＝3x ，DF ＝4x ， 则AG ＝GF ＝22DG DF +＝()()2234x x +＝5x ，EH ＝DF ＝4x ，∴BC ＝CD ＝AD ＝8x ，∴CF＝CD﹣DF＝4x，∵EF＝203，∴BE＝EH＝EF﹣FH＝203﹣4x，则EC＝BC﹣BE＝8x﹣（203﹣4x）＝12x﹣203，在Rt∠ECF中，由EF2＝EC2+CF2得（203）2＝（12x﹣203）2+（4x）2，解得：x1＝0（舍），x2＝1，即AH＝AD＝8x＝8，∴S∠AEF＝12EF•AH＝12×203×8＝8034．【答案】（1）解：如图，∵EF=x，FG=y，∴DM=EF=x，AM=AD-DM=10-x，∵EH//BC，∴EH AMBC AD=，即1030y x-=，∴y=30-3x；∵y＞0，∴30-3x＞0，即x＜10，∵x＞0，∴x取值范围为0＜x＜10；（2）解：∵x：y=1：2，∴y=2x，∵y=30-3x，∴2x=30-3x，∴x=6，∴y=12，∴矩形EFGH的面积=6×12=72；（3）解：设四边形EFGH的面积为S，则S=x(30-3x)=-3x2+30x=-3(x-5)2+75，∴当x=5时，即EF=5时，S有最大值为75．5．【答案】（1）解：直角∠ABE中，AE＝22AB＝4 2，在直角∠ACD中，AD＝22AC＝2 2，则DE＝AE﹣AD＝4 2﹣2 2＝2 2；（2）解：延长CD交AB于点F．在∠ADF和∠ADC中，{∠FAD=∠CADAD=AD∠ADF=∠ADC，∴∠ADF∠∠ADC（ASA），∴AC＝AF，CD＝DF，又∵M是BC的中点，∴DM是∠CBF的中位线，∴DM＝12BF＝12（AB﹣AF）＝12（AB﹣AC），∴AB﹣AC＝2DM．6．【答案】（1）解：∠AEF是等边三角形，理由如下：连接BE、DF，如图1所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC＝AD，∠ABC＝∠ADC，在∠BCE和∠DCF中，BD DCBCE DCFCE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∠BCE∠∠DCF（SAS），∴∠BE＝DF，CBE＝∠CDF，∴∠ABC+∠CBE＝∠ADC+∠CDF，即∠ABE＝∠ADF，在∠ABE和∠ADF中，AB ADABE ADFBE DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∠ABE∠∠ADF（SAS），∴AE＝AF，又∵∠EAF＝60°，∴∠AEF是等边三角形；（2）解：分两种情况：①∠AFE＝90°时，连接AC、MN，如图2所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝DC＝AD＝3，∠D＝∠B＝60°，AD∠BC，AB∠CD，∴∠ABC和∠ADC是等边三角形，∴AC＝AD，∠ACM＝∠D＝∠CAD＝60°＝∠EAF，∴∠MAC＝∠NAD，在∠MAC和∠NAD中，MAC NADAC ADACM D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴∠MAC∠∠NAD（ASA），∴AM＝AN，CM＝DN，∵∠EAF＝60°，∴∠AMN是等边三角形，∴AM＝MN＝AN，设AM＝AN＝MN＝m，DN＝CM＝b，BM＝CN＝a，∵CF∠AD，∴∠CFN∠∠DAN，∴CF FN CN aAD AN DN b===，∴FN＝amb，∴AF＝m+amb，同理：AE＝m+bma，在Rt∠AEF中，∵∠EAF＝60°，∴∠AEF＝30°，∴AE＝2AF，∴m+bma＝2（m+amb），整理得：b2﹣ab﹣2a2＝0，（b﹣2a）（b+a）＝0，∵b+a≠0，∴b﹣2a＝0，∴b＝2a，∴CFAD＝12，∴CF ＝12 AD ＝ 32， 同理：CE ＝2AB ＝6；②∠AEF ＝90°时，连接AC 、MN ，如图3所示：同①得：CE ＝12 AD ＝ 32，CF ＝2AB ＝6； （3）解：当CE ，CF 的长度发生变化时，∠CEF 的面积不发生变化；理由如下：作FH∠CD 于H ，如图4所示：由（2）得：BM ＝CN ＝a ，CM ＝DN ＝b ， ∵AD∠CF ， ∴∠ADN∠∠FCN ，∴AD DN bCF CN a== ， ∵CE∠AB ，∴∠FCH ＝∠B ＝60°，∠CEM∠∠BAM ，∴CE CM bAB BM a == ， ∴AD CECF AB= ， ∴CF×CE ＝AD×AB ＝3×3＝9， ∵CH ＝CF×sin∠FCH ＝CF×sin60°＝32CF ， ∠CEF 的面积＝ 12 CE×FH ＝ 12 CE× 3CF ＝ 12 ×9× 3 ＝ 93，∴∠CEF 的面积是定值，不发生变化.7．【答案】（1）解：①解：如图，补全图形：；②150°；③由对称可知，∠PAC=∠PAD=x°， ∵AD=AB=AC ，∠BAD=60°-2x°， ∴∠ADC=1802902x x ︒-︒=︒-︒ ，∠ADB= ()180602602x x ︒-︒-︒=︒+︒ ， ∴∠BDC=∠ADC+∠ADB= 90x ︒-︒ + 60x ︒+︒ =150°； ∠BDC 的度数为150°；（2）解：①30°；②BD=2DE+AE ，理由如下： 如图，在BD 上截取EG=EC ，由（2）①知：∠BDC=30°，∠ADB=∠ABD=60°-α， 由对称可知，∠EDC=∠ECD=30°，∠AED=90°+30°=120°， ∴∠BEC=∠EDC+∠ECD=60°， ∴∠CGE 是等边三角形， ∴∠BGC=∠AED=120°，∵∠CBG=60°-∠ABD=60°-(60°-α)=α， ∵∠CBG=∠DAE=α， ∴∠CBG∠∠DAE （AAS ），∴AE=BG，∵EG=CE=DE，∴BD=2DE+BG，即BD=2DE+AE．8．【答案】（1）（t，t）；90°≤∠PED＜135°（2）解：结论：∠POE的周长C＝4，是定值.理由：延长OA到K，使得AK＝CE，连接BK，∵BC＝BA，∠BCE＝∠BAK＝90°，CE＝AK，∴∠KAB∠∠ECB（SAS），∴KB＝EB，∠KBA＝∠EBC，∵∠EBP＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠EBC＝45°，∴∠KBP＝∠KBA+∠ABP＝∠EBC+∠ABP＝45°，∴∠KBP＝∠EBP，∴∠KBP∠∠EBP（SAS），∴KP＝EP，∴EP＝KP＝KA+AP＝CE+AP，∴∠POE的周长C＝PE+OP+OE＝PA+OP+OE+EC＝2OA＝4，是定值.（3）2或（22﹣2）9．【答案】（1）解：BE＝CG，BE∠CG，理由如下：连接OB、OC，延长GC交BE于T点，交OE于H点，∵O是正方形的中心，∴OB＝OC．∵∠BOE+∠MOC＝90°，∠COG+∠MOC＝90°，∴∠BOE＝∠COG．又OE＝OG，∴∠OBE∠∠OCG（SAS）．∴BE＝CG，∠BEO＝∠CGO．∵∠OHG+∠CGO＝90°，∠OHG＝∠EHT，∴∠EHT+∠BEO＝90°，即∠HTE＝90°，所以GC∠BE（2）解：在旋转过程中四边形OMCN的面积不发生变化，理由如下：在∠OBM和∠OCN中45BOM CONOB OCOBM OCN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩∴∠OBM∠∠OCN（ASA）∴四边形OMCN的面积＝∠OMC面积+∠OCN面积＝∠OMC面积+∠OBM面积＝∠OBC面积．∵∠OBC面积＝14a2．所以在旋转过程中四边形OMCN的面积不发生变化．10．【答案】（1）1；36°（2）解：在∠OAB 和∠OCD 中，∵∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°， ∴tan30°=3OD OB OC OA ==， ∵∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA ， 即∠DOB=∠COA ， ∴∠DOB∠∠COA ， ∴3AC OC BD OD== ∠DBO=∠CAO ，∵∠DBO+∠OEB=90°，∠OEB=∠MEA ， ∴∠CAO+∠MEA=90°， ∴∠AMB=90°， ∴ACBD3，∠AMB=90°； （3）3311．【答案】（1）证明：如图所示：连接BF 、CE ，∵菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线）， ∴点G 、B 、E 共线，FC BG FC BC BE ∴==， ，FC BE FC BE ∴=， ，∴四边形BFCE 是平行四边形，∴EF 与BC 相互平分，即：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分； 又∵EF BC ⊥， ∴四边形BFCE 是菱形，∴BE=BF ，又∵菱形BCDE 和菱形BCFG ，GF BG BF BE ∴=== ， GFB ∴ 为等边三角形， θ60G ∴∠==︒；（2）解：如图所示：连接AF ，AO ，设EF 与AC 交于点H ，∵EF 垂直平分AC90AF FC AO CO AHO ∴==∠=︒，， ，由（1）知，O 为BC 的中点，∴动点A 在以O 为圆心，BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，90BAC AO BO CO ∴∠=︒==， ，OBA OAB ∴∠=∠ ，90OAB OAC AOH OAC ∠+∠=∠+∠=︒ ， AOH OAB OBA ∴∠=∠=∠ ，在AOF 和COF 中，AF CF AO CO FO FO =⎧⎪=⎨⎪=⎩， AOF COF ∴≌ ， FAO FCO ∴∠=∠ ，∵θ90=︒，菱形BCFG ， ∴四边形BCFG 为正方形，90FCO FC BC ∴∠=︒=， ， 90FAO FCO ∴∠=∠=︒，设FC BC x ==，则AF CF x == ，1122AO OC BC x === ，在Rt FAO 中，212AF xtan FOA AO x ∠===， AOH OBA ∠=∠， 2tan ABC tan FOA ∴∠=∠=.12．【答案】（1）解：由题意，点C 的坐标为（0，2），D 点坐标为（4，2），∵AC∠BD ，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABDC 的面积＝2×4＝8． （2）解：存在．设Q 点坐标为（0，t ），∵S ∠QAB ＝ 12S 四边形ABCD ，∴12•4•|t|＝4，解得t ＝±2， ∴Q 点坐标为（0，2）或（0，﹣2）． （3）解：结论：∠OPC ＝∠PCD ＋∠POB ． 理由：过点P 作PE∠CD ．∵AB∠CD ， ∴PE∠AB∠CD ，∴∠EPC ＝∠PCD ，∠EPO ＝∠POB ， ∴∠OPC ＝∠EPC ＋∠EPO ＝∠PCD ＋∠POB ．13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD∠BC ， ∴∠A+∠B ＝180°，由折叠可知∠NMB ＝∠B ，且∠NMA+∠NMB ＝180°， ∴∠A ＝∠NMA ， ∴FA ＝FM ；（2）解：过点F 作FG∠AM 于G ，由（1）可知AG ＝GM ＝1AM 2， Rt∠ADE 中，AE ＝4cm ，DE ＝3cm ， ∴AD ＝5cm ，∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ＝5cm ， ∴EB ＝AB ﹣AE ＝1cm ， ∴EM ＝EB ＝1cm ， ∴AM ＝AE ﹣EM ＝3cm ，∴13AG AM 22== cm ，又∵3tan 4FG DE A AG AE ∠=== cm ， ∴9FG 8=cm ， ∴2ADE AFM 1111927S AE DE 346cm ,S AB FG 32222816∆=⋅=⨯⨯==⋅=⨯⨯=cm 2， ∴S 四边形DEMF ＝S ∠ADE ﹣S ∠AFM ＝6﹣27691616= cm 2 ； （3）解：分两种情况：①0＜t≤5时，如图2，此时P 在边DN 上，过点F 作FH∠ND 于H ，∵DN∠AM ， ∴53DN FN AM FM == ， ∵MN ＝BC ＝5，∴FN ＝525588⨯= ， sin∠N ＝FH DE 3FN AD 5== ， ∴FH ＝ 32515588⨯= ， S ∠DPF ＝ 11151522816DP FH t ⋅=⋅⋅= ，令 1569t 1616= 解得： 6915t = ； ②∵DN+FN ＝5+ 256588= ， 当 6558t << 时，P 在FN 上，如图3，过P 作PK∠DN 于K ，∵PN ＝t ﹣5， ∴PK ＝3(5)5t - ， S ∠DPF ＝S ∠NFD ﹣S ∠NPD ＝11513319555(5)2825216t t ⨯⨯-⨯⨯-=-+ ， 令﹣ 319569t 21616+= ，解得：t ＝ 214， 所以，综上，当t ＝ 6915 或t ＝ 214时，∠DPF 面积与四边形DEMF 面积相等． 14．【答案】（1）解：∵ AB∠x 轴， AC∠y 轴，∴四边形ABOC 是矩形，∵AC =4m ，AB=3m ，四边形ABOC 的面积为48， ∴4m×3m=48， ∴m=2或-2，∵点A 在第一象限， ∴m=2，∴A （8，6）；（2）解：由题意知，OD=t ，AE=2t ， ∵S ∠AEF ＜S ∠CDF ，∴S ∠CDF +S 五边形ABODF ＞S ∠AEF +S 五边形ABODF ，即S 四边形ABOC ＞S 梯形DOBE ， ∴148(62)82t t >++⨯ ， ∴2t < ，∴t 的取值范围是 02t << ．15．【答案】（1）①全等，理由如下：在等腰直角三角形 ADC 中，AD=CD ， 90ADC ∠= ， 在正方形 DEFG 中，GD=ED ， 90GDE ∠= ， 又∵90ADE EDC ∠+∠=︒ ， 90ADE ADG ∠+∠=︒ ， ∴ADG CDE ∠=∠ 在AGD 和 CED 中，AD CD ADG CDE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AGD CED ≅ （SAS ）；②如解图2，过A 点作AM∠GD ，垂足为M ，交FE 与N ，∵点 E 是 AD 的中点，∴在正方形 DEFG 中，DE=GD=GF=EF=2， 由①得AGD CED ≅ ，∴AG CE = ， 又∵CE CD = ， ∴4AG AD CD === ， ∵AM∠GD ， ∴112GM GD == ， 又∵90D F ∠=∠=︒ ， ∴四边形GMNF 是矩形， ∴2MN GF == ， 在 Rt AGM 中， 22224115AM AG GM =-=-=，∴15cos AM GAM AG ∠==∵//FG AM ， ∴GAM AGF ∠=∠ ∴15cos 4FG AGF GH ∠==， ∴815cos 15FG GH AGF ===∠． （2）①由①得 AGD CED ≅ ，∴GAD ECD ∠=∠ ，又∵90ECD ECA DAC ∠+∠+∠=︒ ，∴90GAD ECA DAC ∠+∠+∠=︒ ， ∴90APC ∠=︒ ，即： AG CP ⊥ ；②∵90APC ∠=︒ ， ∴sin PC AC PAC =⋅∠ ， ∴当 PAC ∠ 最大时，PC 最大， ∵∠DAC=45°，是定值，∴GAD ∠ 最大时， PAC ∠ 最大，PC 最大， ∵AD=4，GD=2，∴当GD∠AG ， 30GAD ∠=︒ 最大，如解图3，此时 22224223AG AD GD =-=-=，又∵AG CP ⊥ ， EF FG ⊥ ，∴F 点与P 点重合， ∴CEFP 四点共线，∴CP=CE+EF=AG+EF= 232 ， ∴线段 PC 得最大值为： 232 ．16．【答案】（1）结论：四边形BOCE 是矩形．理由：∵BE∠OC ，EC∠OB ， ∴四边形OBEC 是平行四边形， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC∠BD ， ∴∠BOC ＝90°，∴四边形BOCE 是矩形．（2）如图2中，∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ＝3cm ，OB ＝OD ＝4cm ， ∵S ∠ABG ＝2S ∠OBG ， ∴AG ＝2OG ，∴2t ＝2（3﹣2t ）或2t ＝2（2t ﹣3）， 解得t ＝1或t ＝3，∴满足条件的t 的值为1或3．（3）如图2中，设OG ＝x ，则BG ＋BH ＝224x +＋22(3)4x -+ ，欲求BG ＋BH 的最小值，相当于在x 轴上找一点P(x ，0)，使得点P(x ，0)到A(0，4)和B(3，4)的距离最小，如图3中，作点B 关于x 轴的对称点 B ' ，连接 AB ' 交x 轴于P ，连接BP ，此时PA ＋PB 的值最小， ∵A(0，4)， B ' (3，﹣4)， ∴当B 点在y 轴右侧时， AP ＋PB ＝AP ＋ PB ' ＝ AB ' ＝2283+＝73，当B 点在y 轴左侧时，由于线段整体移动，同理，得 AP ＋PB ＝AP ＋ PB ' ＝ AB ' ＝ 73，∴BG ＋BH 的最小值为73．17．【答案】（1）证明：如图1，∵OB ＝OC ，∴∠ACE ＝∠DBF ， 在∠ACE 和∠DBF 中，ACE DBFE FAE FD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴∠ACE∠∠DBF （AAS ） （2）证明：如图2，∵∠ACE ＝∠DBF ，∠DBG ＝∠DBF ， ∴∠ACE ＝∠DBG ，∴CE∠BG ，∵CE ＝BF ，BG ＝BF ， ∴CE ＝BG ，∴四边形BGCE 是平行四边形．18．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD∠BC ， ∴∠EAO=∠FCO ，∵EF 是AC 的垂直平分线， ∴OA=OC ， ∵∠AOE=∠COF ， ∴ΔAOE∠ΔCOF （ASA ）， ∴OE=OF ， ∵OA=OC ，∴四边形AFCE 是平行四边形， ∵EF∠AC ，∴平行四边形AFCE 是菱形； （2）解：∵四边形AFCE 是菱形， ∴AF=FC ，设AF=xcm ，则CF=xcm ，BF=(8－x)cm ， ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B=90°，则在RtΔABF 中，由勾股定理得： ()22248x x +-=， 解得：x=5，即AF=5cm ； （3）解：分为三种情况：①P 在AF 上，∵P 的速度是1cm/s ，而Q 的速度是0.8cm/s ，∴Q 只能在CD 上，此时以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形不是平行四边形；②当P 在BF 上时，Q 在CD 或DE 上，其中只有当Q 在DE 上时，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形才有可能是平行四边形，如图，∵AQ=8－(0.8t －4)，CP=5+(t －5)， ∴8－(0.8t －4)=5+(t －5)，解得： 203t =； ③当P 在AB 上时，Q 在DE 或CE 上，此时以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形不是平行四边形； 综上所述，当203t =时，以A 、P 、C 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形．。

2020年中考数学九年级三轮冲刺《三角形综合》

2020年中考数学九年级三轮冲刺《三角形综合》

三轮冲刺：《三角形综合》1．已知：在△ABC中，BA＝BC，点D在BC边上，△ADE中，DA＝DE，∠ADE＝∠B．（1）如图1，当∠B＝60°时，请直接写出线段BD，CE的数量关系；（2）如图2，当∠B＝90°时，（1）中的结论是否成立；如果成立，请说明理由，如果不成立，请写出它们的数量关系，并说明理由；（3）如图3，当∠B＝α（0°＜α＜180°）时，请直接写出线段BD，CE的数量关系．2．已知点I为△ABC的内心．（1）如图1，若AB＝AC＝6，BC＝4，求AI的长；（2）如图2，过点I作直线交AB于点M，交AC于点N．①若MN⊥AI，求证：MI2＝BM•CN；②如图3，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10，若△AMN与△ABC相似，则MN的值为．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒lcm 的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）当点P在∠BAC的角平分线上时，求出此时t的值；（3）当P在运动过程中，求出t为何值时，△BCP为等腰三角形．（直接写出结果）（4）若M为AC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M、N使得BM+MN的值最小？如果有请求出最小值，如果没有请说明理由．4．如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（0，a），C（b，3），且a，b满足b＝6﹣+．（1）试判断△ABC的形状并说明理由；（2）如图2，若点P为AC上一动点，AE⊥BP于E，CD⊥BP交BP的延长线于D，求证：AE＝DE；（3）如图3，在（2）的条件下若BP平分∠ABC，且BP＝2+2，求PD的长．5．已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB＝90°，∠ABD＝90°，AB＝BD，BC＝4，（点A、D分别在直线BC的上下两侧），点G是Rt△ABD的重心，射线BG交边AD于点E，射线BC交边AD于点F．（1）求证：∠CAF＝∠CBE；（2）当点F在边BC上，AC＝1时，求BF的长；（3）若△BGC是以BG为腰的等腰三角形，试求AC的长．6．在△ABC中，AB＝AC，点O在BC边上，且OB＝OC，在△DEF中，DE＝DF，点O在EF边上，且OE＝OF，∠BAC＝∠EDF，连接AD，BE．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接AO，DO，则线段AD与BE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，当∠BAC＝60°时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）如图3，AC＝3，BC＝6，DF＝5，当点B在直线DE上时，请直接写出sin∠ABD 的值．7．已知：如图1，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，BE为中线，点D为BC边上一点，BD＝2CD，DF⊥BE于点F，EH⊥BC于点H．（1）CH的长为；（2）求BF•BE的值；（3）如图2，连接FC，求证：∠EFC＝∠ABC．8．（1）问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝45°，点E 是线段AC上一动点，连接DE．填空：①则的值为；②∠EAD的度数为．（2）类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，点E 是线段AC上一动点，连接DE．请求出的值及∠EAD的度数；（3）拓展延伸如图3，在（2）的条件下，取线段DE的中点M，连接AM、BM，若BC＝4，则当△ABM是直角三角形时，求线段AD的长．9．如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，以点D为顶点的∠EDF的两边分别与边AB，AC 交于点E，F，且∠EDF与∠A互补．（1）如图1，若AB＝AC，且∠A＝90°，请直接写出：线段DE与DF的数量关系；（2）如图2，若AB＝AC，请直接写出：线段DE与DF的数量关系；（3）如图3，若AB：AC＝m：n，探索线段DE与DF的数量关系，并证明你的结论．10．如图，点A、B分别是x、y轴正半轴上的点，OA＝OB，点C在第一象限，C到点O、A 和B的距离分别为1、2、，以OC为腰作等腰直角△OCD，∠COD＝90°，连接AD．过A作AP⊥OA交直线OC于P点．（1）求证：BC＝AD；（2）求∠ACP的大小；（3）求P点的坐标．参考答案1．解：（1）线段BD，CE的数量关系为：BD＝CE；理由如下：∵BA＝BC，DA＝DE，∠ADE＝∠B＝60°，∴△ABC与△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠DAE＝60°，AD＝AE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE；（2）不成立，CE＝BD；理由如下：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，BA＝BC，DA＝DE，∴△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴∠BCA＝∠DEA＝∠BAC＝∠DAE＝45°，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵∠BCA＝∠DEA，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ACE＝∠ADE，∴∠ABD＝∠ACE，∴△BAD∽△CAE，∴＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴CE＝BD；（3）CE＝BD•2sin，理由如下：过点D作DF⊥AE于F，如图3所示：∵∠ABC＝∠ADE＝α，BA＝BC，DA＝DE，∴△ABC与△ADE都是等腰三角形，∴∠BCA＝∠DEA＝∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE，∴＝，∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵∠BCA＝∠DEA，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠ACE＝∠ADE，∴∠ABD＝∠ACE，∴△BAD∽△CAE，∴＝，∵△ADE是等腰三角形，∴AF＝AE，∠ADF＝∠ADE＝，∴sin∠ADF＝＝，∴AE＝2AD•sin，∴＝，∴＝，∴CE＝BD•2sin．2．解：（1）设AI与BC交于点D，过点I作IE⊥AB于E，∵点I为△ABC的内心．∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∵AB＝AC＝6，BC＝4，∴BD＝CD＝2，∴AD＝＝4，∵BI平分∠ABC，∴∠ABI＝∠CBI，且BI＝BI，∠IEB＝∠IDB＝90°，∴△IBE≌△IBD（AAS）∴IE＝ID，BD＝BE＝2，∴AE＝4，∵AI2＝IE2+AE2，∴AI2＝（4﹣AI）2+16，∴AI＝3；（2）如图2中，连接BI、CI．∵I是内心，∵AI⊥MN，∴∠AIM＝∠AIN＝90°，∵AI＝AI，∴△AMI≌△ANI（ASA），∴∠AMN＝∠ANM，∴∠BMI＝∠CNI，设∠BAI＝∠CAI＝α，∠ACI＝∠BCI＝β，∴∠NIC＝90°﹣α﹣β，∵∠ABC＝180°﹣2α﹣2β，∴∠MBI＝90°﹣α﹣β，∴∠MBI＝∠NIC，∴△BMI∽△INC，∴，∴NI2＝BM•CN，∵NI＝MI，∴MI2＝BM•CN．（3）∵∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝10，∴AC＝＝＝6，如图3，连接BG，CG，作IG⊥BC于G，IE⊥AC于E，ID⊥AB于D，延长AI交BC于H，作HF⊥AB于F，∵I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，又∵IG⊥BC，IE⊥AC，ID⊥AB，∵S△ABC ＝S△ABI+S△ACI+S△BCI，∴×AB×AC＝×AB×DI+×AC×EI+×BC×IG，∴6×8＝（6+8+10）×DI，∴DI＝2＝IE＝IG，∵∠BAC＝90°，AI平分∠BAC，∴∠BAI＝45°，且HF⊥AB，∴∠BAH＝∠AHF＝45°，∴AF＝FH，∵tan∠ABC＝＝，∴∴FH＝∵△AMN与△ABC相似，∴△AMN∽△ACB或△AMN∽△ABC，若△AMN∽△ACB，∴，∠ANM＝∠ABC，且∠BAH＝∠NAI，∴△ANI∽△ABH，∴，∴，∴∴MN＝，若△AMN∽△ABC，∴，∠AMN＝∠ABC，且∠BAH＝∠BAH，∴△AMI∽△ABH，∴，∴∴∴MN＝，综上所述：MN＝，故答案为：．3．解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，∴由勾股定理得AC＝＝8，连接BP，如图所示：当PA＝PB时，PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即（8﹣t）2+62＝t2，解得：t＝，∴当t＝秒时，PA＝PB；（2）如图1，过P作PE⊥AB，又∵点P恰好在∠BAC的角平分线上，且∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，∴CP＝EP，在Rt△ACP和Rt△AEP中，，∴Rt△ACP≌Rt△AEP（HL），∴AC＝AE＝8，∴BE＝2，设CP＝EP＝x，则BP＝6﹣x，在Rt△BEP中，BE2+PE2＝BP2，即22+x2＝（6﹣x）2，解得x＝，∴CP＝，∴CA+CP＝8+＝，∴t＝；当点P沿折线A﹣C﹣B﹣A运动到点A时，点P也在∠BAC的角平分线上，此时，t＝10+8+6＝24；综上，若点P恰好在∠BAC的角平分线上，t的值为秒或24秒；（3）①如图2，点P在CA上，当CP＝CB＝6时，△BCP为等腰三角形，则t＝8﹣6＝2；②如图3，当BP＝BC＝6时，△BCP为等腰三角形，∴AC+CB+BP＝8+6+6＝20，∴t＝20；③如图4，若点P在AB上，当CP＝CB＝6时，△BCP为等腰三角形；作CD⊥AB于D，则根据面积法求得：CD＝＝4.8，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD＝＝3.6，∴PB＝2BD＝7.2，∴CA+CB+BP＝8+6+7.2＝21.2，此时t＝21.2；④如图5，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形，作PD⊥BC于D，则D为BC的中点，∴PD为△ABC的中位线，∴AP＝BP＝AB＝5，∴AC+CB+BP＝8+6+5＝19，∴t＝19；综上所述，t为2s或20s或21.2s或19s时，△BCP为等腰三角形．（4）存在M、N使得BM+MN的值最小，理由如下：作点B关于AC的对称点B'，过B'作AB的垂线交AC于M，交AB于N，连接BM，如图6所示：则B'C＝BC＝6，B'M＝BM，∠B'NB＝90°，BM+MN＝B'M+MN＝B'N，∴BB'＝2BC＝12，∵∠ACB＝∠B'NB＝90°，∠B'BN＝∠ABC，∴△B'BN∽△ABC，∴＝＝＝，∴B'N＝AC＝×8＝9.6，综上所述，存在M、N使得BM+MN的值最小，BM+MN的最小值为9.6．4．（1）解：△ABC是等腰直角三角形，理由如下：作CM⊥OA于M，如图1所示：则CM∥OB，∵b＝6﹣+．∴，∴，∴a＝3，b＝6，∴A（3，0），B（0，3），C（6，3），∴OA＝OB＝CM＝3，∴OM＝BC＝6，AM＝OM﹣OA＝3，∴AB2＝32+32＝18，AC＝32+32＝18，∴AB＝AC＝3，AB2+AC2＝36＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形；（2）证明：连接AD，作AH⊥AD交BD于H，如图2所示：则∠DAH＝90°，∴∠DAH＝∠BAC＝90°，∴∠DAC＝∠HAB，∵CD⊥BP，∴∠CDP＝90°，∴∠DCA+∠CPD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABH+∠APB＝90°，∵∠CPD＝∠APB，∴∠DCP＝∠ABH，在△ABH和△ACD中，，∴△ABH≌△ACD（ASA），∴AH＝AD，∵AE⊥BD，∴EH＝DE＝DH，∵∠DAH＝90°，∴AE＝DH，∴AE＝DE；（3）解：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，∵AE⊥BD，CD⊥BP，∴∠AEB＝∠D＝90°，∴△ABE∽△CBD，∴＝＝＝，∴CD＝AE，∵∠BAC＝90°，∴△ABC的面积＝×3×3＝9，∵△ABC的面积＝△ABP的面积+△BCP的面积＝×BP×AE+×BP×CD＝（2+2）（AE+CD）＝（+1）（AE+CD）＝9，∴AE+CD＝＝9（﹣1），∴AE+AE＝9（﹣1），解得：AE＝27﹣18，∴DE＝AE＝27﹣18，∵AE⊥BD，CD⊥BP，∴AE∥CD，∴△AEP∽△CDP，∴＝，∴＝，解得：PD＝90﹣63．5．证明：（1）（1）∵点G是Rt△ABD的重心，∴BE是Rt△ABD的中线，又∵在Rt△ABC中，∠ABD＝90°，AB＝BD，∴BE⊥AD，即∠AEB＝90°，∵∠AFB＝∠ACF+∠FAC＝∠FBE+∠BEF，且∠ACF＝∠BEF＝90°，∴∠CAF＝∠CBE；（2）过点D作DH⊥BC于H，∵∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBC＝90°，且∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DBC，且AB＝BD，∠ACB＝∠BHD，∴△ABC≌△BDH（AAS）∴AC＝BH＝1，HD＝BC＝4，∴HC＝3，∵∠ACB＝∠DHC＝90°，∠AFC＝∠DFH，∴△AFC∽△DFH，∴＝∴CF＝HF，∴HF＝＝，∴BF＝BH+HF＝1+＝；（3）当GC＝GB时，如图，连接DG并延长交BC于H，交AB于N，连接NC，∵点G是Rt△ABD的重心，∴AN＝BN，∵∠ACB＝90°，∴BN＝NC＝AN，∴点N在BC的垂直平分线上，∵BG＝GC，∴点G在BC的垂直平分线上，∴DN垂直平分BC，∴BH＝HC＝2，DH⊥BC，∵∠ABD＝90°，∴∠ABC+∠DBC＝90°，且∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠DBC，且AB＝BD，∠ACB＝∠BHD，∴△ABC≌△BDH（AAS）∴AC＝BH＝2；若BG＝BC＝4，如图，∵点G是Rt△ABD的重心，∴BG＝2GE，∴GE＝2，∴BE＝6，∵∠ABD＝90°，AB＝BD，BE⊥AD∴BE＝AE＝6，∴AB＝AE＝6，∴AC＝＝＝2，综上所述：AC＝2或2．6．解：（1）如图1，延长AD，BE交于点H，∵AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝90°，OB＝OC，OE＝OF，∴AO＝BO，DO＝EO，∠AOB＝∠DOE＝90°，∴∠BOE＝∠AOD，∴△BOE≌△AOD（SAS），∴AD＝BE，∠OBE＝∠OAD，∵∠OAB+∠OBA＝90°＝∠OBE+∠ABE+∠OAB，∴∠OAB+∠OAD+∠ABE＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AD⊥BE，故答案为：AD＝BE，AD⊥BE；（2）AD＝BE不成立，AD⊥BE仍然成立，理由如下：如图2，连接AO，DO，∵AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF＝60°，∴△ABC和△DEF是等边三角形，∵OB＝OC，OE＝OF，∴∠DOE＝90°＝∠AOB，DO＝EO，AO＝BO，∴∠AOD＝∠BOE，，∴△AOD∽△BOE，∴＝，∠OAD＝∠OBE，∴AD＝BE，∵∠OAB+∠OBA＝90°＝∠OBE+∠ABE+∠OAB，∴∠OAB+∠OAD+∠ABE＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AD⊥BE，（3）如图3，当点E在线段BD上时，连接AO，DO，∵AC＝3＝AB，OB＝OC，BC＝6，∴AO⊥BC，BO＝3，∴AO＝＝＝6，由（2）可知：△BEO∽△ADO，AD⊥BE，∴＝＝2，∴AD＝2BE，∵AB2＝AD2+BD2，∴45＝4BE2+（5+BE）2，∴BE＝﹣1，∴AD＝2﹣2，∴sin∠ABD＝＝；如图，当点B在线段DE上时，连接AD，AO，DO，同理可求：AD＝2BE，AD⊥BE，∵AB2＝AD2+BD2，∴45＝4BE2+（5﹣BE）2，∴BE＝+1，∴AD＝2+2，∴sin∠ABD＝＝＝，综上所述：sin∠ABD的值为或．7．解：（1）如图1，作AG⊥BC于点G，∵AB＝AC，BC＝6，∴CG＝3，∵AE＝EC，EH⊥BC，∴EH∥AG，∴CH＝CG＝；故答案为：．（2）∵BD＝2CD，∴CD＝BC＝＝2，∴BD＝4，∴DH＝CD﹣CH＝2﹣1.5＝0.5，∴BH＝4+0.5＝4.5，∵DF⊥BE，EH⊥BC，∴∠DFB＝∠EHB，∵∠DBF＝∠EBH，∴△DFB∽△EHB，∴，∴BF•BE＝BH•BD＝＝18．（3）如图2，过点A作AM∥BC交BE延长线于点M，∴∠M＝∠EBC，∠AEM＝∠CEB，又∵AE＝EC，∴△AEM≌△CEB（AAS），∴AM＝BC＝6，BM＝2BE，∴BF•BM＝BF•2BE＝2×18＝36，∵AM•BC＝6×6＝36，∴BF•BM＝AM•BC，∴，∵∠FBC＝∠M，∴△FBC∽△AMB，∴∠ABM＝∠BCF，∵∠EFC＝∠FBC+∠BCF，∴∠EFC＝∠FBC+∠ABM，∴∠EFC＝∠ABC．8．解：（1）∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE即∠CBE＝∠ABD，∵∠ACB＝∠BED＝45°，∴∠ABC＝∠CAB＝45°，∠BED＝∠BDE＝45°，∴AB＝BC，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，∠DAB＝∠ECB＝45°，∴＝1，∠EAD＝45°+45°＝90°．故答案为：1，90°．（2），∠EAD＝90°．理由如下：∵∠ABC＝∠DBE＝90°，∠ACB＝∠BED＝60°，∴∠ABD＝∠EBC，∠BAC＝∠BDE＝30°，∴在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan60°＝，在Rt△DBE中，tan∠BED＝＝tan60°＝，∴＝，又∵∠ABD＝∠EBC，∴△ABD∽△∠CBE，∴＝＝，∠BAD＝∠ACB＝60°．∵∠BAC＝30°，∴∠EAD＝∠BAD+∠BAC＝60°+30°＝90°．（3）如图，由（2）知：＝＝，∠EAD＝90°，∴AD＝CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝4，∴AC＝8，AB＝4，∵∠EAD＝∠EBD＝90°，且点M是DE的中点，∴AM＝BM＝DE，∵△ABM为直角三角形，∴AM2+BM2＝AB2＝（4）2＝48，∴AM＝BM＝2，∴DE＝4，设EC＝x，则AD＝x，AE＝8﹣x，Rt△ADE中，AE2+AD2＝DE2，∴（8﹣x）2+（x）2＝（4）2，解之得：x＝2+2（负值舍去）．∴EC＝2+2．∴AD＝CE＝2+6．∴线段AD的长为（2+6）．9．解：（1）DE＝DF，理由如下：连接AD．如图1所示：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC中点，∴AD＝BC＝BD，∠B＝∠DAF＝45°，∵∠EDF+∠BAC＝180°，∴∠AED+∠AFD＝180°，∴∠BED＝∠AFD，在△BED和△AFD中，，∴△BED≌△AFD（AAS），∴DE＝DF．故答案为：DE＝DF，（2）DE＝DF，理由如下：过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD．如图2所示：则∠EMD＝∠FND＝90°．∵AB＝AC，点D为BC中点，∴AD平分∠BAC，∴DM＝DN．∵在四边形AMDN中，∠DMA＝∠DNA＝90°，∴∠MAN+∠MDN＝180°．∵∠EDF+∠MAN＝180°，∴∠MDN＝∠EDF，∴∠MDE＝∠NDF，在△DEM和△DFN中，，∴△DEM≌△DFN（ASA），∴DE＝DF．故答案为：DE＝DF；（3）结论DE：DF＝n：m，理由如下：过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，连接AD，如图3所示：由（2）得∠MDE＝∠NDF，∵∠EMD＝∠FND＝90°，∴△DEM∽△DFN．∴．∵点D为BC的中点，∴S△ABD ＝S△ADC．∴，∴，∵，∴，即DE：DF＝n：m．10．解：（1）∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB＝90°，∠AOC+∠AOD＝∠COD＝90°∴∠BOC＝∠AOD，且AO＝BO，CO＝DO，∴△BOC≌△AOD（SAS）∴BC＝AD＝；（2）∵OC＝OD＝1，∠COD＝90°，∴CD＝，∠OCD＝∠ODC＝45°，∵CD2+CA2＝2+8＝10，AD2＝10，∴CD2+CA2＝AD2，∴∠ACD＝90°，且∠OCD＝45°，∴∠ACP＝45°；（3）如图，过点A作AH⊥OP，∵AH⊥OP，∠ACP＝45°，∴∠HAC＝∠ACP＝45°，∴CH＝AH，∵AH2+CH2＝AC2＝8，∴AH＝CH＝2，∴OH＝OC+CH＝3，∴OA＝＝＝，∵∠AOP＝∠AOH，∠AHO＝∠PAO＝90°，∴△AOH∽△POA，∴∴AP＝，∴点P坐标（，）、最困难的事就是认识自己。

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习(含答案解析)

中考数学复习---《三角形综合》压轴题练习（含答案解析）一．全等三角形的判定与性质1．（2022•淄博）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E．若BD＝10，CD＝4，则BE的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：如图，连接AI，BI，CI，DI，过点I作IT⊥AC于点T．∵I是△ABD的内心，∴∠BAI＝∠CAI，∵AB＝AC，AI＝AI，∴△BAI≌△CAI（SAS），∴IB＝IC，∵∠ITD＝∠IED＝90°，∠IDT＝∠IDE，DI＝DI，∴△IDT≌△IDE（AAS），∴DE＝DT，IT＝IE，∵∠BEI＝∠CTI＝90°，∴Rt△BEI≌Rt△CTI（HL），∴BE＝CT，设BE＝CT＝x，∵DE＝DT，∴10﹣x＝x﹣4，∴x＝7，∴BE＝7．故选：B．2．（2022•湘西州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（）A．24B．22C．20D．18【答案】B【解答】解：∵CG∥AB，∴∠B＝∠MCG，∵M是BC的中点，∴BM＝CM，在△BMH和△CMG中，，∴△BMH≌△CMG（ASA），∴HM＝GM，BH＝CG，∵AB＝6，AC＝8，∴四边形ACGH的周长＝AC+CG+AH+GH＝AB+AC+GH＝14+GH，∴当GH最小时，即MH⊥AB时四边形ACGH的周长有最小值，∵∠A＝90°，MH⊥AB，∴GH∥AC，∴四边形ACGH为矩形，∴GH＝8，∴四边形ACGH的周长最小值为14+8＝22，故选：B．3．（2022•南充）如图，正方形ABCD边长为1，点E在边AB上（不与A，B重合），将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A1处，连接A1B，将A1B绕点B 顺时针旋转90°得到A2B，连接A1A，A1C，A2C．给出下列四个结论：①△ABA1≌△CBA2；②∠ADE+∠A1CB＝45°；③点P是直线DE上动点，则CP+A1P的最小值为；④当∠ADE＝30°时，△A1BE的面积为．其中正确的结论是．（填写序号）【答案】①②③【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°，∵∠A1BA2＝∠ABC＝90∴∠ABA1＝∠CBA2，∵BA1＝BA2，∴△ABA1≌△CBA2（SAS），故①正确，过点D作DT⊥CA1于点T，∵CD＝DA1，∴∠CDT＝∠A1DT，∵∠ADE＝∠A1DE，∠ADC＝90°，∴∠ADE+∠CDT＝45°，∵∠CDT+∠DCT＝90°，∠DCT+∠BCA1＝90°，∴∠CDT＝∠BCA1，∴∠ADE+∠BCA1＝45°，故②正确．连接P A，AC．∵A，A1关于DE对称，∴P A＝P A1，∴P A1+PC＝P A+PC≥AC＝，∴P A1+PC的最小值为，故③正确，过点A1作A1H⊥AB于点H，∵∠ADE＝30°，∴AE＝A1E＝AD•tan30°＝，∴EB＝AB﹣AE＝1﹣，∵∠A1EB＝60°，∴A1H＝A1E•sin60°＝×＝，∴＝×（1﹣）×＝，故④错误．故答案为：①②③．4．（2022•朝阳）等边三角形ABC中，D是边BC上的一点，BD＝2CD，以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．若CE＝2，则等边三角形ABC的边长为．【答案】3或．【解答】解：如图，E点在AD的右边，∵△ADE与△ABC都是等边三角形，∴AC＝AB，AE＝AD，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD．在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD＝2，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1＝3，∴等边三角形ABC3，如图，E点在AD的左边，同上，△BAE≌△CAD（SAS），∴BE＝CD，∠ABE＝∠ACD＝60°，∴∠EBD＝120°，过点E作EF⊥BC交CB的延长线于点F，则∠EBF＝60°，∴EF＝BE＝CD，BF＝BE＝CD，∴CF＝BF+BD+CD＝CD，在Rt△EFC中，CE＝2，∴EF2+CF2＝CE2＝4，∴+＝4，∴CD＝或CD＝﹣（舍去），∴BC＝，∴等边三角形ABC的边长为，故答案为：3或．5．（2022•日照）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P 是x轴上一动点，把线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是．【答案】2【解答】解：方法一：∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A＝P1F1＝AF1，∠AP1F1＝60°，∵AO⊥P1F1，∴P1O＝F1O，∠AOP1＝90°，∴∠P1AO＝30°，且AO＝4，由勾股定理得：P1O＝F1O＝，∴P1A＝P1F1＝AF1＝，∴点F1的坐标为（，0），如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO＝F2O＝4，∴点F2的坐标为（0，﹣4），∵tan∠OF1F2＝＝＝，∴∠OF1F2＝60°，∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线F1F2的解析式为y＝x﹣4，∵AO＝F2O＝4，AO⊥P1F1，∴F1F2＝AF1＝，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则×OF1×OF2＝×F1F2×h，∴××4＝××h，解得h＝2，即线段OF的最小值为2；方法二：如图，在第二象限作等边三角形AOB，连接BP、AF，过点B作BP′⊥x轴于点P′，∵将线段P A绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，∴∠APF＝60°，PF＝P A，∴△APF是等边三角形，∴AP＝AF，∠P AF＝60°，∵△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝OB＝4，∠BAO＝60°，∴∠BAP＝60°+∠OAP＝∠OAF，在△BAP和△OAF中，，∴△BAP≌△OAF（SAS），∴BP＝OF，∵P是x轴上一动点，∴当BP⊥x轴时，BP最小，即点P与点P′重合时BP＝BP′最小，∵∠BOP′＝30°，∠BP′O＝90°，∴BP′＝OB＝×4＝2，∴OF的最小值为2，故答案为2．二．勾股定理6．（2022•内江）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3．若正方形EFGH的边长为4，则S1+S2+S3＝．【答案】48【解答】解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a，短直角边是b，则：S1＝（a+b）2，S2＝42＝16，S3＝（a﹣b）2，且：a2+b2＝EF2＝16，∴S1+S2+S3＝（a+b）2+16+（a﹣b）2＝2（a2+b2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．7．（2022•常州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12．在Rt △DEF中，∠F＝90°，DF＝3，EF＝4．用一条始终绷直的弹性染色线连接CF，Rt△DEF从起始位置（点D与点B重合）平移至终止位置（点E与点A 重合），且斜边DE始终在线段AB上，则Rt△ABC的外部被染色的区域面积是．【答案】21【解答】解：如图，连接CF交AB于点M，连接CF′交AB于点N，过点F 作FG⊥AB于点H，过点F′作F′H⊥AB于点H，连接FF′，则四边形FGHF′是矩形，Rt△ABC的外部被染色的区域是梯形MFF′N．在Rt△DEF中，DF＝3，EF＝4，∴DE＝＝＝5，在Rt△ABC中，AC＝9，BC＝12，∴AB＝＝＝15，∵•DF•EF＝•DE•GF，∴FG＝，∴BG＝＝＝，∴GE＝BE﹣BG＝，AH＝GE＝，∴F′H＝FG＝，∴FF′＝GH＝AB﹣BG﹣AH＝15﹣5＝10，∵BF∥AC，∴＝＝，∴BM＝AB＝，同法可证AN＝AB＝，∴MN＝15﹣﹣＝，∴Rt△ABC的外部被染色的区域的面积＝×（10+）×＝21，故答案为：21．8．（2022•武汉）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＞BC，分别以△ABC的三边为边向外作三个正方形ABHL，ACDE，BCFG，连接DF．过点C作AB的垂线CJ，垂足为J，分别交DF，LH于点I，K．若CI＝5，CJ＝4，则四边形AJKL的面积是．【答案】80【解答】解：过点D作DM⊥CI，交CI的延长线于点M，过点F作FN⊥CI 于点N，∵△ABC为直角三角形，四边形ACDE，BCFG为正方形，过点C作AB的垂线CJ，CJ＝4，∴AC＝CD，∠ACD＝90°，∠AJC＝∠CMD＝90°，∠CAJ+∠ACJ＝90°，BC＝CF，∠BCF＝90°，∠CNF＝∠BJC＝90°，∠FCN+∠CFN＝90°，∴∠ACJ+∠DCM＝90°，∠FCN+∠BCJ＝90°，∴∠CAJ＝∠DCM，∠BCJ＝∠CFN，∴△ACJ≌△CDM（AAS），△BCJ≌△CFN（AAS），∴AJ＝CM，DM＝CJ＝4，BJ＝CN，NF＝CJ＝4，∴DM＝NF，∴△DMI≌△FNI（AAS），∴DI＝FI，MI＝NI，∵∠DCF＝90°，∴DI＝FI＝CI＝5，在Rt△DMI中，由勾股定理可得：MI＝＝＝3，∴NI＝MI＝3，∴AJ＝CM＝CI+MI＝5+3＝8，BJ＝CN＝CI﹣NI＝5﹣3＝2，∴AB＝AJ+BJ＝8+2＝10，∵四边形ABHL为正方形，∴AL＝AB＝10，∵四边形AJKL为矩形，∴四边形AJKL的面积为：AL•AJ＝10×8＝80，故答案为：80．三．等腰直角三角形（共2小题）9．（2022•宜宾）如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE ＝90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD＝CE；②∠DAC＝∠CED；③若BD＝2CD，则＝；④在△ABC内存在唯一一点P，使得P A+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE＝2+．其中含所有正确结论的选项是（）A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④【答案】B【解答】解：如图1中，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC，∠ADB＝∠AEC，故①正确，∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠AEC+∠ADC＝180°，∴∠DAE+∠DCE＝180°，∴∠DAE＝∠DCE＝90°，取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA＝OD＝OE＝OC，∴A，D，C，E四点共圆，∴∠DAC＝∠CED，故②正确，设CD＝m，则BD＝CE＝2m．DE＝m，OA＝m，过点C作CJ⊥DF于点J，∵tan∠CDF＝＝＝2，∴CJ＝m，∵AO⊥DE，CJ⊥DE，∴AO∥CJ，∴＝＝＝，故③正确．如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，∴BP＝BN，PC＝NM，∠PBN＝60°，∴△BPN是等边三角形，∴BP＝PN，∴P A+PB+PC＝AP+PN+MN，∴当点A，点P，点N，点M共线时，P A+PB+PC值最小，此时∠APB＝∠APC ＝∠BPC＝120°，PB＝PC，AD⊥BC，∴∠BPD＝∠CPD＝60°，设PD＝t，则BD＝AD＝t，∴2+t＝t，∴t＝+1，∴CE＝BD＝t＝3+，故④错误．故选：B．10．（2022•绵阳）如图，四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AC⊥BC，∠ABC＝45°，AC与BD交于点E，若AB＝2，CD＝2，则△ABE的面积为．【答案】【解答】解：过点D作DF⊥AC于点F，∵AC⊥BC，∠ABC＝45°，∴AC＝BC＝AB＝2，∵∠ADC＝90°，CD＝2，∴AD＝，∵，∴DF＝，∴AF＝，∴CF＝，∵DF∥BC，∴△DEF∽△BEC，∴，即，∴EF＝，∴AE＝，∴．故答案为：．11．（2022•安徽）已知点O是边长为6的等边△ABC的中心，点P在△ABC外，△ABC，△P AB，△PBC，△PCA的面积分别记为S0，S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝2S0，则线段OP长的最小值是（）A．B．C．3D．【答案】B【解答】解：如图，不妨假设点P在AB的左侧，∵S△P AB +S△ABC＝S△PBC+S△P AC，∴S1+S0＝S2+S3，∵S1+S2+S3＝2S0，∴S1+S1+S0＝2，∴S1＝S0，∵△ABC是等边三角形，边长为6，∴S0＝×62＝9，∴S1＝，过点P作AB的平行线PM，连接CO延长CO交AB于点R，交PM于点T．∵△P AB的面积是定值，∴点P的运动轨迹是直线PM，∵O是△ABC的中心，∴CT⊥AB，CT⊥PM，∴•AB•RT＝，CR＝3，OR＝，∴RT＝，∴OT＝OR+TR＝，∵OP≥OT，∴OP的最小值为，当点P在②区域时，同法可得OP的最小值为，如图，当点P在①③⑤区域时，OP的最小值为，当点P在②④⑥区域时，最小值为，∵＜，故选：B．12．（2022•温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，连结CF，作GM⊥CF于点M，BJ⊥GM于点J，AK⊥BJ于点K，交CF于点L．若正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，CE＝+，则CH的长为（）A．B．C．2D．【答案】C【解答】解：设CF交AB于点P，过C作CN⊥AB于点N，如图：设正方形JKLM边长为m，∴正方形JKLM面积为m2，∵正方形ABGF与正方形JKLM的面积之比为5，∴正方形ABGF的面积为5m2，∴AF＝AB＝m，由已知可得：∠AFL＝90°﹣∠MFG＝∠MGF，∠ALF＝90°＝∠FMG，AF ＝GF，∴△AFL≌△FGM（AAS），∴AL＝FM，设AL＝FM＝x，则FL＝FM+ML＝x+m，在Rt△AFL中，AL2+FL2＝2，∴x2+（x+m）2＝（m）2，解得x＝m或x＝﹣2m（舍去），∴AL＝FM＝m，FL＝2m，∵tan∠AFL＝＝＝＝，∴＝，∴AP＝，∴FP＝＝＝m，BP＝AB﹣AP＝m﹣＝，∴AP＝BP，即P为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CP＝AP＝BP＝，∵∠CPN＝∠APF，∠CNP＝90°＝∠F AP，∴△CPN∽△FP A，∴＝＝，即＝＝，∴CN＝m，PN＝m，∴AN＝AP+PN＝m，∴tan∠BAC＝＝＝＝，∵△AEC和△BCH是等腰直角三角形，∴△AEC∽△BCH，∴＝，∵CE＝+，∴＝，∴CH＝2，故选：C．13．（2022•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连结PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（）A．4B．6C．2D．3【答案】C【解答】解：如图所示：∵BM＝NC＝4，BN＝CP＝2，且∠B＝∠C＝90°，∴△BMN≌△CNP（SAS），∴MN＝NP，∠BMN＝∠CNP，∵∠BMN+∠BNM＝90°，∴∠BNM+∠CNP＝90°，∴∠MNP＝90°，∴△NMP为等腰直角三角形，根据题意得到点P的轨迹为圆弧，当MP为直径时最长，在Rt△BMN和Rt△NCP中，根据勾股定理得：MN＝NP＝＝2，则PM＝＝2．故选：C．14．（2022•苏州）如图，点A的坐标为（0，2），点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为（m，3），则m的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：过C作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，如图：∵CD⊥x轴，CE⊥y＝90°，∴四边形EODC是矩形，∵将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵A（0，2），C（m，3），∴CE＝m＝OD，CD＝3，OA＝2，∴AE＝OE﹣OA＝CD﹣OA＝1，∴AC＝＝＝BC＝AB，在Rt△BCD中，BD＝＝＝，在Rt△AOB中，OB＝＝＝，∵OB+BD＝OD＝m，∴+＝m，化简变形得：3m4﹣22m2﹣25＝0，解得m＝或m＝﹣（舍去），∴m＝，故选：C．三．等腰直角三角形（共1小题）15．（2022•成都）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC＝5，BE＝4，∠B＝45°，则AB的长为．【答案】7【解答】解：设MN交BC于D，连接EC，如图：由作图可知：MN是线段BC的垂直平分线，∴BE＝CE＝4，∴∠ECB＝∠B＝45°，∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°，在Rt△ACE中，AE＝＝＝3，∴AB＝AE+BE＝3+4＝7，故答案为：7．四．等边三角形的性质（共2小题）16．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC +S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，故选：C．17．（2022•鄂州）如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC 上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为．【答案】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）∴∠BAD＝∠CBE，∴∠APE＝∠ABP+∠BAD＝∠ABP+∠CBE＝∠ABD＝60°，∴∠APB＝120°，在CB上取一点F使CF＝CE＝2，则BF＝BC﹣CF＝4，∴∠C＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠BFE＝120°，即∠APB＝∠BFE，∴△APB∽△BFE，∴＝＝2，设BP＝x，则AP＝2x，作BH⊥AD延长线于H，∵∠BPD＝∠APE＝60°，∴∠PBH＝30°，∴PH＝，BH＝，∴AH＝AP+PH＝2x+＝x，在Rt△ABH中，AH2+BH2＝AB2，即（x）2+（x）2＝62，解得x＝或﹣（舍去），∴AP＝，BP＝，∴△ABP的周长为AB+AP+BP＝6++＝6+＝，故答案为：．五．含30度角的直角三角形（共1小题）18．（2022•十堰）【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D ＝180°，点E，F分别在BC，CD上，若∠BAD＝2∠EAF，则EF＝BE+DF．【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD．已知CD＝CB＝100m，∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，道路AD，AB上分别有景点M，N，且DM＝100m，BN＝50（﹣1）m，若在M，N之间修一条直路，则路线M→N的长比路线M→A→N的长少m （结果取整数，参考数据：≈1.7）．【答案】370【解答】解：解法一：如图，延长DC，AB交于点G，过点N作NH⊥AD于H，∵∠D＝60°，∠ABC＝120°，∠BCD＝150°，∴∠A＝360°﹣60°﹣120°﹣150°＝30°，∴∠G＝90°，∴AD＝2DG，Rt△CGB中，∠BCG＝180°﹣150°＝30°，∴BG＝BC＝50，CG＝50，∴DG＝CD+CG＝100+50，∴AD＝2DG＝200+100，AG＝DG＝150+100，∵DM＝100，∴AM＝AD﹣DM＝200+100﹣100＝100+100，∵BG＝50，BN＝50（﹣1），∴AN＝AG﹣BG﹣BN＝150+100﹣50﹣50（﹣1）＝150+50，Rt△ANH中，∵∠A＝30°，∴NH＝AN＝75+25，AH＝NH＝75+75，由勾股定理得：MN＝＝＝50（+1），∴AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．解法二：如图，延长DC，AB交于点G，连接CN，CM，则∠G＝90°，∵CD＝DM，∠D＝60°，∴△DCM是等边三角形，∴∠DCM＝60°，由解法一可知：CG＝50，GN＝BG+BN＝50+50（﹣1）＝50，∴△CGN是等腰直角三角形，∴∠GCN＝45°，∴∠BCN＝45°﹣30°＝15°，∴∠MCN＝150°﹣60°﹣15°＝75°＝∠BCD，由【阅读材料】的结论得：MN＝DM+BN＝100+50（﹣1）＝50+50，∵AM+AN﹣MN＝100+100+150+50﹣50（+1）＝200+100≈370（m）．答：路线M→N的长比路线M→A→N的长少370m．故答案为：370．六．等腰直角三角形（共2小题）19．（2022•长沙）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点；②作直线PQ交AB于点D；③以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，连接AM、BM．若AB＝2，则AM的长为（）A．4B．2C．D．【答案】B【解答】解：由作图可知，PQ是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∵以点D为圆心，AD长为半径画弧交PQ于点M，∴DA＝DM＝DB，∴∠DAM＝∠DMA，∠DBM＝∠DMB，∵∠DAM+∠DMA+∠DBM+∠DMB＝180°，∴2∠DMA+2∠DMB＝180°，∴∠DMA+∠DMB＝90°，即∠AMB＝90°，∴△AMB是等腰直角三角形，∴AM＝AB＝×2＝2，故选：B．20．（2022•河南）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D 为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P 的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为．【答案】或【解答】解：如图：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝AC＝4，∵点D为AB的中点，∴CD＝AD＝AB＝2，∠ADC＝90°，∵∠ADQ＝90°，∴点C、D、Q在同一条直线上，由旋转得：CQ＝CP＝CQ′＝1，分两种情况：当点Q在CD上，在Rt△ADQ中，DQ＝CD﹣CQ＝1，∴AQ＝＝＝，当点Q在DC的延长线上，在Rt△ADQ′中，DQ′＝CD+CQ′＝3，∴AQ′＝＝＝，综上所述：当∠ADQ＝90°时，AQ的长为或，故答案为：或．30。

九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(四)(Word版,带答案)

九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》(四)(Word版,带答案)

九年级中考数学考点提升训练——专题：《三角形综合：全等与相似》（四）1．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A（0，a），点B（b，0），且a、b满足a2﹣4a+4+＝0．（1）求a，b的值；（2）以AB为边作Rt△ABC，点C在直线AB的右侧且∠ACB＝45°，求点C的坐标；（3）若（2）的点C在第四象限（如图2），AC与x交于点D，BC与y轴交于点E，连接DE，过点C作CF⊥BC交x轴于点F．①求证CF＝BC；②直接写出点C到DE的距离．2．已知：如图，点P是等边△ABC内一点，连接PC，以PC为边作等边三角形△PDC，连接PA，PB，BD．（1）求证：∠APC＝∠BDC；（2）当∠APC＝150°时，试猜想△DPB的形状，并说明理由；（3）当∠APB＝100°且DB＝PB，求∠APC的度数．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．点E为AD上一点，点F为BE延长线上一点，且AF＝AC．（1）如图1，若∠FBC＝∠BAC＝30°．①判断△BAF的形状，并证明；②若AE＝（+1）BE，则＝．（直接写出结果）（2）如图2，若∠FBC＝45°，作AG⊥BF于G，求证：EF＝BE+2AG．4．如图1，Rt△ABC中，点D，E分别为直角边AC，BC上的点，若满足AD2+BE2＝DE2，则称DE为Rt△ABC的“完美分割线”．显然，当DE为△ABC的中位线时，DE是△ABC的一条完美分割线．（1）如图1，AB＝10，cos A＝，AD＝3，若DE为完美分割线，则BE的长是．（2）如图2，对AC边上的点D，在Rt△ABC中的斜边AB上取点P，使得DP＝DA，过点P画PE⊥PD交BC于点E，连结DE，求证：DE是直角△ABC的完美分割线．（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝10，BC＝5，DE是其完美分割线，点P是斜边AB的中点，连结PD、PE，求cos∠PDE的值．5．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC．让同学们进行探究．（1）探究一：如图2，小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接AD．请直接写出∠ADB的度数；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE的长．6．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝16，CD是斜边AB上的中线，P是边AC上一点，连接DP，以DP为直角边作等腰直角三角形DPE（点E始终在直线AB右侧）．（1）求点D到边AC的距离；（2）当△PEC是以PE为腰的等腰三角形时，求所有满足要求的AP长．（3）如图2，当斜边DE与AC有交点时，记交点为Q，若AP＝CQ，则S△DPE ＝．（直接写出答案）7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为BC上一点，连接AE，作AF ⊥AE且AF＝AE，BF交AC于D．（1）如图1，求证：D为BF中点；（2）如图1，求证：BE＝2CD；（3）如图2，若＝，直接写出的值．8．在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，E为BC上一个动点，CF⊥AE于G，交AB于F．（1）如图1，当AE平分∠CAB时，求BE的长．（2）如图2，当E为BC中点时．①求CG的长．②连接EF，求GF+EF的值．（3）如图3，在E运动过程中，连接BG，则BG的最小值为．9．已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝BC．（1）连接BD，如图1，若∠BAD＝90°，AD＝3，求DC的长；（2）点E，F分别在射线DC，DA上．①如图2，若点E，F分别在线段CD，AD上，且满足∠EBF＝90°﹣∠ADC，求证：EF＝AF+CE；②如图3，若点E，F分别在线段DC延长线与DA延长线上，且满足EF＝AF+CE，请直接写出∠EBF与∠ADC之间的数量关系．10．（1）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．①如图1，点M、N在底边BC上，且∠ANB＝45°，∠MAN＝60°．请在图中作出∠NAD＝60°，且AD＝AM，连接ND、CD；并直接写出BM与CN的数量关系．②如图2，点M在BC上，点N在BC的上方，且∠MBN＝∠MAN＝60°，求证：MC＝BN+MN；（2）如图3，在四边形ABCD中，∠CAB＝50°，BD平分∠ABC，若∠ADC与∠ABD互余，则∠DAC的大小为（直接写出结果）．参考答案1．解：（1）∵，∴，∵（a﹣2）2≥0，，∴a﹣2＝0，2b+2＝0，∴a＝2，b＝﹣1；（2）由（1）知a＝2，b＝﹣1，∴A（0，2），B（﹣1，0），∴OA＝2，OB＝1，∵△ABC是直角三角形，且∠ACB＝45°，∴只有∠BAC＝90°或∠ABC＝90°，Ⅰ、当∠BAC＝90°时，如图1，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴AB＝CB，过点C作CG⊥OA于G，∴∠CAG+∠ACG＝90°，∵∠BAO+∠CAG＝90°，∴∠BAO＝∠ACG，在△AOB和△BCP中，，∴△AOB≌△CGA（AAS），∴CG＝OA＝2，AG＝OB＝1，∴OG＝OA﹣AG＝1，∴C（2，1），Ⅱ、当∠ABC＝90°时，如图2，同Ⅰ的方法得，C（1，﹣1）；即：满足条件的点C（2，1）或（1，﹣1）（3）①如图3，由（2）知点C（1，﹣1），过点C作CL⊥y轴于点L，则CL＝1＝BO，在△BOE和△CLE中，，∴△BOE≌△CLE（AAS），∴BE＝CE，∵∠ABC＝90°，∴∠BAO+∠BEA＝90°，∵∠BOE＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∴；②点C到DE的距离为1．如图4，过点C作CK⊥ED于点K，过点C作CH⊥DF于点H，由①知BE＝CF，∵BE＝BC，∴CE＝CF，∵∠ACB＝45°，∠BCF＝90°，∴∠ECD＝∠DCF，∵DC＝DC，∴△CDE≌△CDF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∴CK＝CH＝1．2．解：（1）如图，∵△ABC，△PDC是等边三角形，∴AC＝BC，PC＝PD＝CD，∠ACB＝∠PCD＝60°，∴∠ACP＝∠BCD，且AC＝BC，PC＝CD，∴△ACP≌△BCD（SAS）∴∠APC＝∠BDC；（2）△DPB是直角三角形．理由：∵∠BDC＝∠APC＝150°，∠PDC＝60°∴∠BDP＝∠BDC﹣∠PDC＝90°，∴△DPB是直角三角形；（3）设∠APC＝x，则∠BPD＝200°﹣x，∠BDP＝x﹣60°∵PB＝DB，∴∠BPD＝∠BDP，∴200°﹣x＝x﹣60°，∴x＝130°，∴∠APC＝130°3．解：（1）①△BAF为等腰直角三角形．证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∠FBC＝∠BAC＝30°，∴∠ABC＝∠C＝75°，∠BAD＝∠CAD＝15°，∵AF＝AC，∴AB＝AF，∴∠ABF＝45°，∴△BAF为等腰直角三角形；②如图1，过点A作AM⊥BF于点M，设BE＝x，则AE＝（+1）x，∵∠FBC＝30°，∴DE＝BE＝x，∠BED＝∠AEF＝60°，∴∠EAM＝30°，∴EM＝AE（+1）x，∵△ABF为等腰直角三角形，AM⊥BF，∴AM＝MF＝BM，∴BM＝EB+EM＝x+x＝x，∴EF＝EM+MF＝x＝（2+）x，∴＝4+2．故答案为：4+2．（2）证明：如图2，过点A作AH⊥AE，交BC于点H，∵∠FBC＝45°，AD⊥BC，∴∠BED＝∠AEH＝45°，∴∠AHE＝∠AEH＝45°，AE＝AH，∴∠AEB＝∠AHF＝135°，∵AF＝AC，∴AB＝AF，∠ABF＝∠F，在△ABE和△AFH中，，∴△ABE≌△AFH（AAS），∴BE＝FH，∴AG＝EG＝GH，∴EH＝2AG，∴EF＝FH+EH＝BE+2AG．4．解：（1）∵AB＝10，cos A＝，∴cos A＝，∴AC＝8，CD＝5，∴＝＝6，设BE＝x，则CE＝6﹣x，在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝52+（6﹣x）2，∵DE为完美分割线，∴AD2+BE2＝DE2，∴32+x2＝52+（6﹣x）2，解得：x＝．∴BE＝．故答案为：．（2）证明：如图2，∵DA＝DP，∴∠DAP＝∠DPA，∵PE⊥PD，∴∠DPA+∠EPB＝90°，又∠A＝∠B，∴∠EPB＝∠B，∴EP＝EB，∴AD2+BE2＝DP2+EP2＝DE2，∴DE是直角△ABC的完美分割线．（3）解：延长DP至F，使PF＝PD，连接BF，EF，∵AP＝BP，∠APD＝∠BPF，∴△APD≌△BPF（SAS），∴AD＝BF，∠A＝∠FBP，∴∠EBF＝∠CBA+∠FBP＝∠CBA+∠A＝90°，∵DE是完美分割线，∴DE2＝AD2+BE2＝BF2+BE2＝EF2，即ED＝EF．又PD＝PF，∴∠EPD＝90°，过点P作PM⊥AC，PN⊥BC，则∠MPD＝∠NPE＝90°﹣∠MPE，∴△MPD∽△NPE，∴，设PD＝a，则PE＝2a，则DE＝＝a，∴cos∠PDE＝＝．5．解：（1）探究一：∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为：150°．（2）探究二：结论：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．6．解：（1）过D用DF⊥AC于点H，如图1，则DF∥BC，∵D是AB的中点，∴AF＝CF，∴DF＝，∵BC＝，∴DF＝6，故点D到边AC的距离为6；（2）当PE＝CE时，如图1，过点E作EG⊥PC于点G，∴PG＝CG，∵∠DPE＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPG，∵PD＝EP，∠DFP＝∠PGE＝90°，∴△DPF≌△PEG（AAS），∴DF＝PG＝CG＝6，∴AP＝AC﹣PC＝16﹣6﹣6＝4；当PE＝PC时，如备用图1，过D作DF⊥AC于点F，过点E作EG⊥AC于点G，则DF∥BC，AF＝CF＝8，DF＝BC＝6，∵∠DPE＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPG，∵∠DFP＝∠PGE＝90°，DP＝EP，∴△PDF≌△EPG（AAS），∴DPG＝6，PF＝EG，设PE＝PC＝x，则EG＝FP＝8﹣x，由勾股定理得，PE2﹣EG2＝PG2，∴x2﹣（8﹣x）2＝62，解得，x＝，即PC＝，∴AP＝AC﹣PC＝16﹣，综上，AP＝4或；（3）过点D作DF⊥AC于点F，过点E作EG⊥AC于G，则DF∥EG∥BC，∵D是AB的中点，∴AF＝CF＝8，DF＝，∵AP＝CQ，∴PF＝QF，设AP＝CQ＝x，则PF＝QF＝，∵∠DPE＝90°，∠DFP＝90°，∴∠DPF+∠EPG＝∠DPF+∠PDF＝90°，∴∠PDF＝∠EPF，∵∠DFP＝∠PGE＝90°，DP＝PE，∴△DPF≌△PEG（AAS），∴DF＝PG＝6，PF＝EG＝8﹣x，∴QG＝PG﹣PQ＝6﹣2（8﹣x）＝2x﹣10，∵DF∥EG，∴△DFQ∽△EGQ，∴，即，解得，x＝14+6＞16（舍），或x＝14﹣6，∴PF＝QF＝EG＝8﹣x＝6﹣6，∴＝．另一解法：过D作DF⊥AC于点F，延长DF至M，使得DF＝FM，过M作MN⊥DE，与DE的延长线交于点N，如图2，则DF∥BC，∴QD＝QM，∴∠QDM＝∠QMD，∵D是AB的中点，DF∥BC，∴AF＝CF＝8，DF＝，∴DM＝12，∵AP＝CQ，∴PF＝QF，∴DP＝DQ，∴∠PDF＝∠QDF，∴∠PDF＝∠QMF，∴DP∥QM，∴∠MQN＝∠PDE＝45°，∴∠NMQ＝45°＝∠MQN，∴MN＝QN，不妨设MN＝QN＝x，则DP＝QD＝QM＝，∵DN2+MN2＝DM2，∴，解得，，∴，∴，∴．故答案为：72﹣36．7．证明：（1）如图1，过F点作FG⊥AC于点G，∵∠FAG+∠CAE＝90°，∠FAG+∠AFG＝90°，∴∠CAE＝∠AFG，在△AGF和△ECA中，，∴△AGF≌△ECA（AAS），∴AG＝EC，FG＝AC，∵AC＝BC，∴BC＝FG，又∵∠FGD＝∠DCB＝90°，∠FDG＝∠CDB，∴△FGD≌△BCD（AAS），∴DF＝BD，即D为BF的中点；（2）证明：∵△FGD≌△BCD，∴DC＝GD，∴CG＝2CD，∵AG＝CE，AC＝BC，∴CG＝BE，∴BE＝2CD；（3）解：如图2，过F点作FG⊥AC于点G，∵，∴，∵AC＝CB，∴，由（1），（2）可知△AGF≌△ECA，△FGD≌△BCD，∴CE＝AG，CD＝DG，∴，∴，∴，∴．∴．8．解：（1）∵AE平分∠CAB，∴点E到AC，AB的距离相等，∴，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝AC＝4，∴，∴，∴BE＝×4＝4（2﹣）＝8，即BE＝8﹣4；（2）①∵点E是BC的中点，∴CE＝BE＝BC＝2，∴AE＝＝2，∵CF⊥AE，∴S△ACE＝AE•CG＝AC•CE，∴CG＝．②过点B作BM⊥BC交CF延长线于点M，∵BM⊥BC，∴∠CBM＝90°，∴∠CBM＝∠ACE＝90°，∵∠ACG+∠BCM＝90°，∠ACG+∠CAE＝90°，∴∠BCM＝∠CAE，在△CBM和△ACE中，，∴△CBM≌△ACE（ASA），∴AE＝CM＝2，CE＝BM，∵CE＝BE，∴BM＝BE，∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EBF＝∠MBF＝45°，在△EBF和△MBF中，，∴△EBF≌△MBF（SAS），∴EF＝MF，∴GF+EF＝GF+MF＝GM＝CM﹣CG＝2﹣．∴GF+EF＝．（3）取AC的中点N，连接NG，BN，∵点N是AC的中点，∴AN＝CN＝AC＝2，∴BN＝＝2，∵CF⊥AE，∴∠AGC＝90°，∴NE＝AC＝2，∴BG≥BN﹣NG，当且仅当B，G，N三点共线时，BG取得最小值，∴BG的最小值为2﹣2．故答案为：2﹣2．9．（1）解：∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠A+∠C＝180°，又∵∠A＝90°，∴∠C＝90°＝∠A，在Rt△ABD和Rt△CBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴DC＝DA＝3；（2）证明：如图2，延长DC到G，使得CG＝AF，连接BG，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠A＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠A+∠BCD＝180°，且∠BCD+∠BCG＝180°，∴∠A＝∠BCG，∵AB＝BC，CG＝AF，∴△ABF≌△CBG（SAS），∴BF＝BG，∠ABF＝∠CBG，又∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠EBF＝90°﹣∠ADC＝∠ABC＝∠ABF+∠EBC＝∠CBG+∠EBC＝∠EBG，∵BE＝BE，∴△EBF≌△EBG（SAS），∴EF＝EG＝EC+CG＝CE+AF；（3）解：∠EBF与∠ADC之间的数量关系为：∠EBF＝90°+∠ADC．在CD的延长线上截取CH＝AE，连接BH，∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠DAB＝360°，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠DAB+∠BCD＝180°，且∠DAB+∠EAB＝180°，∴∠BCD＝∠EAB，且AB＝BC，AE＝CH，∴△AEB≌△CHB（SAS），∴BE＝BH，∠EBA＝∠HBC，∵EF＝AE+CF，∴EF＝CH+CF＝HF，且BF＝BF，BE＝BH，∴△EBF≌△HBF（SSS），∴∠EBF＝∠HBF，∵∠EBF+∠HBF+∠EBA+∠ABH＝360°，∴2∠EBF+∠HBC+∠ABH＝360°，∴2∠EBF+∠ABC＝360°，∴2∠EBF+180﹣∠ADC＝360°，∴∠EBF＝90°+∠ADC．10．解：（1）①BM＝2CN．如图1，作出∠NAD＝60°，且AD＝AM，连接ND、CD；∵∠MAN＝60°，∠BAC＝120°，∴∠BAM+∠CAN＝60°，∵∠CAD+∠CAN＝60°，又∵AD＝AM，AB＝AC，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴BM＝CD，∠B＝∠ACD＝30°，∵AM＝AD，∠MAN＝∠DAN，AN＝AN，∴△AMN≌△ADN（SAS），∴∠ANM＝∠AND＝45°，∴∠MND＝90°，又∵∠DCN＝∠ACB+∠ACD＝60°，∴∠CDN＝30°，∴CD＝2CN，∴BM＝2CN．故答案为：BM＝2CN．②如图2，在CB上截取CG＝BN，连接AG，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠ABC＝30°，∵∠NBM＝60°，∴∠ABN＝30°，在△ABN和△ACG中，，∴△ABN≌△ACG（SAS），∴∠BAN＝∠CAG，AN＝AG，∴∠BAN+∠BAM＝∠BAM+∠CAG＝∠MAN＝60°，∴∠MAG＝∠BAC﹣∠BAM﹣∠CAG＝60°，在△AMN和△AMG中，，∴△AMN≌△AMG（SAS），∴MN＝MG，∴MC＝MG+GC＝MN+BN．（2）如图3，过点D作DM⊥BA于点M，DN⊥BC于点N，在AM上截取MK＝CN，连接DK，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，DM＝DN，∵∠ADC＝90°﹣∠ABD，∠MDN＝180°﹣2∠ABD，∴∠MDN＝2∠ADC，在△DMK和△DNC中，，∴△DMK≌△DNC（SAS），∴DC＝DK，∠MDK＝∠CDN，∴∠NDC+∠ADM＝∠MDK+∠ADM＝∠ADC，∴∠ADC＝∠ADK，∵AD＝AD∴△ADC≌△ADK（SAS），∴∠DAC＝∠DAM＝．故答案为：65°．。

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》(含答案)

2020年九年级数学典型中考压轴题训练：《三角形综合》1．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．2．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．【探究发现】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DP＝DB；【数学思考】证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，在△CDP和△GDB中，，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DP＝DB．3．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC和AC上，AD与BE相交于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＝CE，求证：∠1＝∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，若CF⊥BF，求证：BF＝2AF；（3）如图3，∠BAC＝∠BFD＝2∠CFD＝90°，若S△ABC ＝2，求S△CDF的值．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠1＝∠2；（2）如图2，过B作BH⊥AD，垂足为H，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBE＝60°，∴∠BFD＝∠ABF+∠BAD＝60°，∴∠FBH＝30°，∴BF＝2FH，在△AHB和△BFC中，∴△AHB≌△BFC（AAS），∴BF＝AH＝AF+FH＝2FH，∴AF＝FH，∴BF＝2AF；（3）如图3，过C作CM⊥AD交AD延长线于M，过C作CN⊥BE交BE延长线于N，∵∠BFD＝2∠CFD＝90°，∴∠EFC＝∠DFC＝45°，∴CF是∠MFN的角平分线，∴CM＝CN，∵∠BAC＝∠BFD＝90°，∴∠ABF＝∠CAD，在△AFB和△CMA中，∴△AFB≌△CMA（AAS）∴BF＝AM，AF＝CM，∴AF＝CN，∵∠FMC＝90°，∠CFM＝45°，∴△FMC为等腰直角三角形，∴FM＝CM，∴BF＝AM＝AF+FM＝2CM，∴S△BDF ＝2S△CDF，∵AF＝CM，FM＝CM，∴AF＝FM，∴F是AM的中点，∴S△AFC ＝S△AMC＝S△AFB，∵AF⊥BF，CN⊥BF，AF＝CN，∴S△AFB ＝S△BFC，设S△CDF ＝x，则S△BDF＝2x，∴S△AFB ＝S△BFC＝3x∴S△AFC ＝S△AFB＝x，则3x+3x+x＝2，解得，x＝，即S△CDF＝．4．在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝40 °，若△AMN的周长为9，则BC＝9 ．（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA 的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．解：（1）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理：NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，∵△AMN的周长为9，∴MA+MN+NA＝9，∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，故答案为：40；9；（2）如图②，连接AM、AN，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，∵点M在AB的垂直平分线上，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理AN＝CN，∠CAN＝∠C，∴∠BAM+∠CAN＝45°，∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°，∴AM2+AN2＝MN2，∴BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，∴PH＝PE，∵点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝CP，在Rt△APH和Rt△CPE中，，∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL），∴AH＝CE，在△BPH和△BPE中，，∴△BPH≌△BPE（AAS）∴BH＝BE，∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．5．（1）问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为DE＝BD+CE；（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠AFE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS）∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE ＝∠DFA +∠AFE ＝∠DFA +∠BFD ＝60°，∴△DEF 为等边三角形．6．如图所示，直线AB 交x 轴于点A （4，0），交y 轴于点B （0，﹣4）．（I ）如图①，若C 的坐标为（﹣1，0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点P 的坐标；（II ）如图②，在（I ）的条件下，连接OH ，求∠OHC 的度数；（III ）如图③，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子S △BDM ﹣S △ADN 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．解：（I ）由题意，OA ＝OB ＝4，∵∠AHC ＝90°，∠BOC ＝90°，∴∠CAH ＝∠CBO ，在△OAP 和△OBC 中，，∴△OAP ≌△OBC （ASA ），∴OP ＝OC ＝1，则点P 的坐标为（0，﹣1）；（II ）如图②，过O 分别作OM ⊥BC 于M ，作ON ⊥AH 于N ，则四边形MONH 为矩形，∴∠MON ＝90°，∵∠COP ＝90°，∴∠COM ＝∠PON ，在△COM 和△PON 中，，∴△COM ≌△PON （AAS ）∴OM ＝ON ，又OM ⊥BC ，作ON ⊥AH ，∴HO 平分∠MHN ，∴∠OHC ＝∠MHN ＝45°；（III ）式子S △BDM ﹣S △ADN 的值不发生改变，等于4．理由如下：如图③，连接OD ，∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，点D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，OD ＝AD ＝BD ＝，∠OAB ＝45°，∴∠BOD ＝45°，∴∠MOD ＝135°，∴∠MOD ＝∠NAD ＝135°，∵∠ODA ＝90°，∠MDN ＝90°，∴∠MDO ＝∠NDA ，在△MOD 和△NAD 中，，∴△MOD ≌△NAD （ASA ）∴S △MDO ＝S △NDA ，∴S △BDM ﹣S △ADN ＝S △BDM ﹣S △ODM ＝S △BDO ＝××4×4＝4．7．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED＝CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD：AF＝1：2，则AF＝2x，∵△ECD都是等腰直角三角形，CF⊥DE，∴DF＝EF，由（1）、（2）可得，在Rt△FAE中，EF＝＝＝3x，∵AE2+AD2＝2CD2∴，解得x＝1，∴AB＝2+4．8．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；（2）如图2，若点D不是AC的中点，AD＝CE是否成立？证明你的结论；（3）如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵D为AC中点，∴∠DBC＝30°，AD＝DC，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∴△BFD≌△DCE（AAS），∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）AD＝CE．证明：如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，，∴△BPD≌△DCE（AAS），∴PD＝CE，∴AD＝CE．9．如图（a），△ABC、△DCE都为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一直线上，连接AD．（1）若AB＝2，CE＝，求△ACD的周长；（2）如图（b），点G为BE的中点，连接DG并延长至F，使得GF＝DG，连接BF、AG．（i）求证：BF∥DE；（ii）探索AG与FD的位置关系，并说明理由．（1）解：∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝45°，DC＝DE，∠DCE＝45°，∴∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△DCE中，DC2+DE2＝CE2＝（）2＝2，∴DC＝DE＝1，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝3+；（2）（i）证明：在△BGF和△EGD中，，∴△BGF≌△EGD（SAS）∴∠GBF＝∠E，∴BF∥DE；（ii）AG⊥FD，理由如下：如图（b）连接AF，∵△DEG≌△FBG，∴BF＝DE＝CD，∠GBF＝∠E＝45°，∵∠ABF＝∠ABC+∠GBF＝90°，∴∠ABF＝∠ACD，在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴AF＝AD，又∵DG＝FG，∴AG⊥FD．10．如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN，（1）M点如图1的位置时，如果AM＝5，求BN的长；（2）M点在如图2位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系AB+BM＝BN；（3）M点在如图3位置时，当BM＝AB时，证明：MN⊥AB．（1）解：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB﹣∠MPB＝MPN﹣∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN＝5；（2）解：AB+BM＝BN，理由如下：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB+∠MPB＝MPN+∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN，∴BN＝AM＝AB+BM，故答案为：AB+BM＝BN；（3）证明：∵△PAB是等边三角形，∴AB＝PB，∠ABP＝60°，∵BM＝AB，∴PB＝BM，∴∠BPM＝∠PMB，∵∠ABP＝60°，∴∠BPM＝∠PMB＝30°，∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，∴∠AMN＝90°，∴MN⊥AB．11．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC．让同学们进行探究．（1）探究一：如图2，小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接AD．请直接写出∠ADB的度数150°；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE 的长．解：（1）探究一：∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为：150°．（2）探究二：结论：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．12．（1）发现：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）应用：如图2，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝BD，∠CAD＝90°，AB＝6，请求出△ABC的面积；（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，﹣4），点B为平面内一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．解：（1）AC＝DE，BC＝AE；故答案为：DE，AE；（2）作AE⊥CD于E，如图2所示：∵AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AE＝CD＝DE＝CE，∴AD＝AC＝AE，设AE＝DE＝CE＝x，则AC＝AD＝BD＝x，∴BE＝x+x，BC＝2x+x，∴AB2＝（x+x）2+x2＝62，解得：x2＝18﹣9，∴△ABC的面积＝BC×AE＝（2x+x）×x＝×（2+）×x2＝×（2+）×（18﹣9）＝18；（3）分两种情况：①过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，如图3所示：则∠C＝90°，∵点A的坐标为（﹣1，﹣4），∴AD＝1，OD＝CE＝4，∵∠OBO＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC与△BOE中，，∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x+1，∴CE＝BE+BC＝x+1+x＝OD＝4，∴x＝，x+1＝，∴点B的坐标（，）；②如图4，同理可得，点B的坐标（﹣，﹣），综上所述，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．13．模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C 的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为 5 ．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC ＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，故答案为：5；模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．14．已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为（0，3）；（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求的值．（1）解：∵B（0，1），∴OB＝1，∵AB＝2，点C在y轴的正半轴上，△ABC为等腰三角形，∴BC＝AB＝2，∴OC＝OB+BC＝3，∴点C的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）；（2）证明：连接OD，如图2所示：∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∵∠OAB＝30°，∴∠OAE＝30°+60°＝90°，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°＝∠OAE，∠OAD＝90°﹣30°＝60°，∵MN是OA的垂直平分线，∴OD＝AD，∴△OAD是等边三角形，∴AO＝AD，在△ABD和△AEO中，，∴△ABD≌△AEO（SAS），∴BD＝OE；（3）解：作EH⊥AB于H，如图3所示：∵△ABE是等边三角形，EH⊥AB，∴AH＝AB，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴OB＝AB，∴AH＝OB，在Rt△AEH和Rt△BAO中，，∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），∴EH＝AO＝AD，在△HFE和△AFD中，，∴△HFE≌△AFD（AAS），∴EF＝DF，∴DE＝2DF，∴＝．15．在平面直角坐标系中，M（m，n）且m、n满足m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，B（0，b）为y轴上一动点，绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于点C，过C作AC⊥BC交直线BM于点A（a，t）．（1）求点M的坐标；（2）如图1，在B点运动的过程中，A点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a的值；若变化，写出A点的横坐标a的取值范围；（3）如图2，过T（a，0）作TH⊥BM（垂足H在x轴下方），在射线HB上截取HK＝HT，连OK，求∠OKB的度数．解：（1）m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，m2+n2﹣2mn+n2+4n+4＝0，（m﹣n）2+（n+2）2＝0，则m﹣n＝0，n+2＝0，解得，m＝﹣2，n＝﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）过A作AT⊥x轴，MD⊥x轴于D，连接OM，CM，在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，∴CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠TCB＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BCO+∠TCB＝90°，∴∠ACT＝∠CBO，在△CBO和△ACT中，，∴△CBO≌△ACT（AAS），∴CT＝BO＝﹣b，AT＝CO＝t，∴a＝b+t，∵DO＝DM，∴∠DOM＝45°，∴∠MOC＝135°，∴∠MOC+∠ABC＝180°，∴O、M、B、C四点共圆，∴∠CMB＝∠COB＝90°，∵CA＝CB，∴M为AB中点，∴b+t＝﹣4，∴a＝﹣4；（3）连TM、OM，过O作ON⊥BM于N，由（2）可知T（﹣4，0），∴OT＝4，又点M的坐标为（﹣2，﹣2），∴△TMO为等腰直角三角形，∴MT＝MO，∵∠THM＝90°，∠TMO＝90°，∴∠TMH＝∠MON，在△HTM和△NMO中，，∴△HTM≌△NMO（AAS），∴HT＝MN，HM＝ON，∴HK＝KN，∴KN＝ON，∴∠OKB＝45°．16．在等边三角形ABC中，点P从点B出发沿射线BA运动，同时点Q从点C出发沿线段AC 的延长线运动，P、Q两点运动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，过点P作PE∥AC交BC于点E，求证：EP＝CQ．（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为F．①当点P在线段BA上运动时，求证：BF+CD＝BC．②当点P在线段BA延长线上运动时，直接写出BF、CD与BC之间的数量关系．（1）证明：由题意得：BP＝CQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC＝60°，∠BEP＝∠BCA＝60°，∴∠B＝∠BPE＝∠BEP，∴△BPE是等边三角形，∴EP＝BP，∴EP＝CQ．（2）①证明：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图②所示：由（1）得：EP＝CQ，∠BEP＝∠ACB＝60°，△BPE是等边三角形，∴∠DEP＝∠DCQ＝120°，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，在△DPE和△DQC中，，∴△DPE≌△DQC（AAS），∴ED＝CD，∴BF+CD＝EF+ED＝BC．②解：当点P在线段BA延长线上运动时，BC+2CD＝2BF，理由如下：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图③所示：同①得：△BPE是等边三角形，△DPE≌△DQC，∴ED＝CD，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，∵BC﹣BF＝CF，∴BC﹣BF＝EF﹣2CD＝BF﹣2CD，∴BC+2CD＝2BF．17．问题情境：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题初探：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为直线AB上的一个动点（D与A，B 不重合），连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，连接BE．（1）当点D在线段AB上时，AD与BE的数量关系是AD＝BE；位置关系是AD⊥BE；AB，BD，BE三条线段之间的关系是AB＝BD+BE．类比再探：（2）如图2，当点D运动到AB的延长线上时，AD与BE还存在（1）中的位置关系吗？若存在，请说明理由．同时探索AB，BD，BE三条线段之间的数量关系，并说明理由．能力提升：（3）如图3，当点D运动到BA的延长线上时，若AB＝7，AD＝2，则AE＝9 ．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，即AD⊥BE，∴AB＝BD+AD＝BD+BE；故答案为：AD＝BE；AD⊥BE；AB＝BD+BE；（2）AD⊥BE，理由如下：∵∠ACB＝90°AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠A＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴AB⊥BE，即AD⊥BE，∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，∴BE＝AB+BD；（3）∵△ABC、△CDE是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE＝BD＝AD+AB＝9，故答案为：9．18．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：△ADC≌△BEC；（2）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AD∥BC；（3）如图2，若AD＝AB，已知AF＝10，AE＝4，求BC的长．证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，△ABC和△DEF为等腰三角形，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）证明：由（1）得：△ADC≌△BEC，∴∠DAC＝∠EBC＝60°，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC；（3）解：在FA上截取FM＝AE，连接DM，如图2所示：∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，在△AED和△MFD中，，∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．∴BC＝AF﹣AE＝10﹣4＝6．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于点P，∠EBC＝∠BAD．（1）如图1，求证：∠APE＝∠C；（2）作AF∥BC交DE延长线于点F，PE＝EC．①如图2，求证：AD＝AF；②如图3，过点E作EG⊥BC于点G，若DP＝1，DC＝7，直接写出DG的长为 4 ．（1）证明：∠APE＝∠ABP+∠BAD，∠ABC＝∠ABP+∠EBC，∵∠EBC＝∠BAD，∴∠APE＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠APE＝∠C；（2）①证明：如图2，作EG⊥DC于G，EH⊥AD于H，在△EHP和△EGC中，，∴△EHP≌△EGC（AAS）∴EH＝EG，又EG⊥DC，EH⊥AD，∴∠ADF＝∠CDF，∵AF∥BC，∴∠F＝∠CDF，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF；②解：如图3，作EH⊥AD于H，由（2）①可知，△EHP≌△EGC，∴PH＝GC，在△DEH和△DEG中，，∴△DEH≌△DEG（AAS）∴DH＝DG，∴DG＝DH＝DP+PH＝1+GC，∴1+GC+GC＝7，解得，GC＝3，∴DG＝DC﹣GC＝7﹣3＝4，故答案为：4．20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M 在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t，点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，当点N沿C→B路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒时，△CMN为等腰直角三角形；②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，9﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，9﹣t═3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣18，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒或6秒时，△MDC与△CEN全等．。

2021年九年级数学中考复习专题：三角形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)(四)

2021年九年级数学中考复习专题：三角形综合(考察全等证明、长度与面积计算等)(四)

2021年九年级数学中考复习专题：三角形综合（考察全等证明、长度与面积计算等）（四）1．已知：如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），AB＝6，点P从点O出发沿线段OA向终点A运动，点P的运动速度是每秒2个单位长度，点D是线段OA的中点．（1）求点B的坐标；（2）设点P的运动时间为点t秒，△BDP的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当点P与点D重合时，连接BP，点E在线段AB上，连接PE，当∠BPE＝2∠OBP时，求点E的坐标．2．如图，在△ABC中，点E在AC边上运动（不含端点），BE平分∠DBC交DA于点P，且DB＝BC．（1）试说明：∠PEA＝∠DEB；（2）过点B作BF⊥AD交于点F，若∠P＝∠ABC＝60°，试说明：AB＝BC；（3）在（2）的条件下，试探究PA、PD、PB满足怎样的数量关系？说明理由．3．在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，b）在y轴正半轴上，连接AB，在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC，连接OC．（1）求△OAC的面积；（2）过C作CD⊥x轴于点D，在CD上截取CE＝AD，连接OE，求证：OE∥BC；（3）在（2）的条件下，连接AE，∠AED＝∠BOC，求OB+OC的值．4．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），C（b，4），且满足（a+5）2+＝0，过C作CB⊥x轴于B．（1）a＝，b＝，三角形ABC的面积＝；（2）若过B作BD∥AC交y轴于D，且AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，如图2，求∠AED 的度数；（3）在y轴上是否存在点P，使得三角形ABC和三角形ACP的面积相等？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．5．【数学经验】三角形的中线的性质：三角形的中线等分三角形的面积．【经验发展】面积比和线段比的联系：（1）如图1，M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，．若△ABC的面积为a，若△CBM的面积为S，则S＝（用含a的代数式表示）．【结论应用】如图2，已知△CDE的面积为1，，，求△ABC的面积．【迁移应用】如图3，在△ABC中，M是AB的三等分点（AM＝AB），N是BC的中点，若△ABC的面积是1，请直接写出四边形BMDN的面积为．6．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．（1）∠ABO的度数为°，△AOB．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（2）若∠BAC＝70°，则△AOC（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．7．如图所示，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且∠ADE＝90°，∠DEF ＝90°，点P是FC上一点，直线DP交直线EF于点G，试探究∠BDP与∠EGP之间的数量关系．（1）请你完成这道思考题；（2）若将题中的条件“∠ADE＝90°，∠DEF＝90°，点P是FC上一点”改为“∠AED＝∠C，∠B＝∠DEF，点P是线段BC上一点（点P不与点F重合）”，其他条件均不变，则（1）中的结论是否仍然成立？请在备用图上画出图形，并说明理由．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，连接CP，过点P作DE⊥CP分别交AC、BC于点D、E，（1）若∠BAC＝40°，求∠APB与∠ADP度数；（2）探究：通过（1）的计算，小明猜测∠APB＝∠ADP，请你说明小明猜测的正确性（要求写出过程）．9．如图所示，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，D为AB中点．点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上以cm/s的速度由C点向A点运动，P、Q两点同时出发．（1）设运动时间为t，则BP的距离可表示为；CQ的距离可表示为；（2）在点P、Q的运动过程中，存在某一时刻，使得△BPD≌△CPQ吗？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（3）若点P、Q均以原来的速度按逆时针方向沿△ABC的三边循环运动，经过多长时间点P与点Q第一次相遇？此时它们在哪条边上？10．在矩形ABCD中，E是AD延长线上一点，F、G分别为EC、AD的中点，连接BG、CG、BE、FG．（1）如图1，①求证：BG＝CG；②若GF＝3，求BE的长；（2）如图2，若ED＝CD，过点C作CH⊥BE于点H，若BC＝4，∠EBC＝30°，求EH的长．参考答案1．解：（1）∵A（6，0），∴OA＝6，在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，AB＝6，OA＝6，∴OB＝＝＝6，∴B（0，6）．（2）①当0＜t＜3时，S＝•PD•BO＝•（3﹣2t）×6＝9﹣6t，当3＜t≤6时，S＝•DP•OB＝（2t﹣3）×6＝6t﹣9．（3）如图，作PJ∥OB交AB于J，过点E作EK⊥OA于K．∵PJ∥OB，∴∠OBP＝∠BPJ，∵∠BPE＝2∠OBP，∴∠JPE＝∠OBP，∵EK∥PJ，∴∠PEK＝∠JPE＝∠OBP，∴tan∠PEK＝tan∠OBE＝，∴＝，设PK＝m，则EK＝2m，∵OA＝OB＝6，∠AOB＝90°，∴∠EAK＝45°，∵EK⊥OA，∴∠EKA＝90°，∴∠EAK＝∠KEA＝45°，∴EK＝AK＝2m，∴PA＝3m＝3，∴m＝1，∴OK＝4，EK＝2，∴E（4，2）．2．（1）证明：∵BE平分∠DBC，∴∠EBD＝∠EBC，∵EB＝EB，DB＝CB，∴△EBD≌△EBC（SAS），∴∠DEB＝∠CEB，∵∠PEA＝∠CEB，∴∠PEA＝∠DEB．（2）证明：∵∠P＝∠ABC＝60°，BF⊥DP于F，∴∠FBP＝30°，∴∠EBC＝∠EBD，∠ABE+∠EBC＝∠ABE+∠DBE＝60°，∴2∠ABE+∠ABF+∠FBD＝60°，∴∠ABE+∠FBD＝∠ABE+∠ABF＝30°，∴∠DBF＝∠ABF，∵∠DBF+∠BDF＝90°，∠ABF+∠BAF＝90°，∴∠BDF＝∠BAF，∴BD＝BA，∵BD＝BC，∴BA＝BC．（3）结论：PA+PD＝PB．理由：由（2）可知，BD＝BA，∵BF⊥AD，∴AF＝DF，∵∠BFP＝90°，∠FBP＝30°，∴PB＝2PF＝2（PA+AF）＝PA+PA+2AF＝PA+PA+AD＝PA+PD．即PA+PD＝PB．3．解：（1）如图1中，过点C作CH⊥x轴于H．∵A（3，0），∴OA＝3，∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，∴∠OAB+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，∴∠OAB＝∠ACH，∵AB＝AC，∴△AOB≌△CHA（AAS），∴OA＝CH＝3，∴S＝•OA•CH＝．△AOC（2）如图2中，连接OE．∵△AOB≌△CDA，∴OB＝AD，∵CE＝AD，∴OB＝CE，∵OB∥CD，∴四边形OECB是平行四边形，∴OE∥BC．（3）如图3中，作∠BOC的角平分线OJ交DC的延长线于J．连接OC，AJ，OE，AE．∵OJ平分∠BOC，∴∠BOJ＝∠JOC，∵DJ∥OB，∴∠OJC＝∠BOJ，∴∠OCJ＝∠CJO，∴OC＝CJ，∵∠AED＝∠OBC，∴∠AED＝∠OJC，∴AE∥OJ，∴S△ACJ ＝S△OAC，∴＝，∴＝，∵EC＝OB＝AD＝b，OA＝CD＝3，∴OC＝CJ＝，DE＝3﹣b，∴＝，∴＝﹣3﹣b，∴9+9+6b+b2＝+9+b2﹣+6b﹣18，整理得，3（）2﹣﹣1＝0，解得＝1或﹣（舍弃），∴b＝1，经检验b＝1是方程的解，∴OB＝1，OC＝5，∴OB+OC＝6．4．解：（1）∵（a+5）2+＝0，又∵（a+5）2≥0，≥0，∴a＝﹣5，b＝5，∵CB⊥x轴，∴点A坐标（﹣5，0），点B坐标（5，0），点C坐标（5，4），∴S△ABC＝×10×4＝20．故答案为：﹣5，5，20；（2）∵BD∥AC，∴∠CAB＝∠ABD，过E作EF∥AC，如图2，∵BD∥AC，∴BD∥AC∥EF，∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠CAE＝∠CAB＝＝∠AEF，∠DEF＝∠BDE＝∠ODB，∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝（∠CAB+∠ODB）＝＝45°；（3）存在，设P（0，t），分两种情况：①当P在y轴正半轴上时，如图3，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，∵S△APC ＝S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP＝S△ABC＝20，∴，解得t＝6，②当P在y轴负半轴上时，如图4，过P作MN∥x轴，AN∥y轴，BM∥y轴，∵S△APC ＝S梯形MNAC﹣S△ANP﹣S△CMP＝20∴，解得t＝﹣2，∴P（0，6）或（0，﹣2）．5．解：（1）∵M为△ABC的AB上一点，且BM＝2AM，∴S＝a，故答案为a；（2）连接BD，∵△CDE的面积为1，，∴S△BDC ＝3S△DEC＝3，∵，∴S△ABC ＝4S△BDC＝12；（3）连接BD，设S△ADM＝a，∵M是AB的三等分点（AM＝AB），∴S△ABD ＝3a，S△BDM＝2a，∵N是BC的中点，∴S△ABN ＝S△ACN，S△BDN＝S△CDN，∴S△ADC ＝S△ADB＝3a，∴S△ACM＝4a，∵AM ＝AB ，∴S △CBM ＝2S △ACM ＝8a ，∴S △CDB ＝6a ，S △ABC ＝12a ，∴S △BDN ＝3a ，∴S 四边形BMDN ＝5a ，∴S 四边形BMDN ＝S △ABC ＝×1＝，故答案为．6．解：（1）∵AB ⊥OM ，∴∠BAO ＝90°，∵∠AOB ＝60°，∴∠ABO ＝90°﹣60°＝30°，∵90°＝3×30°，∴△AOB 是“灵动三角形”．故答案为：30，是．（2）∵∠OAB ＝90°，∠BAC ＝70°，∴∠OAC ＝20°，∵∠AOC ＝60°＝3×20°，∴△AOC 是“灵动三角形”．故答案为：是．（3）①当∠CAB＝3∠ABC，时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°．②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．③∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°，综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．7．解：（1）结论：∠BDP+∠EGP＝180°．理由：∵∠ADE＝∠DEF＝90°，∴AB∥EF，∴∠BDG＝∠DGE，∵∠DGE+∠EGP＝180°，∴∠BDP+∠EGP＝180°．（2）结论不变．∵∠AED＝∠C，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∵∠B＝∠DEF，∴∠ADE＝∠DEF，∴AB∥EF，∴∠BDG＝∠DGE，∵∠DGE+∠EGP＝180°，∴∠BDP+∠EGP＝180°．8．解：（1）∵∠ABC与∠BAC的角平分线相交于点P，∴PC平分∠ACB，∴∠PCD＝∠PCE＝∠ACB＝×90°＝45°，∵PC⊥DE，∴∠CPD＝90°，∴∠CDE＝45°，∴∠ADP＝135°，∵∠BAC＝40°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵∠PBA＝∠ABC＝25°，∠PAB＝∠BAC＝20°，∴∠APB＝180°﹣25°﹣20°＝135°．（2）结论：∠APB＝∠ADP．理由：∵PB，PA分别是∠ABC，∠BAC的角平分线，∴∠PBA＝∠ABC，∠PAB＝∠BAC，∴∠APB＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）＝180°﹣（180°﹣90°）＝135°，∵∠ADP＝135°，∴∠APB＝∠ADP．9．解：（1）∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，点Q在线段CA上以cm/s的速度由C点向A点运动，∴BP＝2t，CQ＝t，故答案为：2t，t；（2）存在，此时t＝2，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴当BP＝CP，CQ＝BD时，△BPD≌△CPQ，∴2t＝8﹣2t，×10，∴t＝2，∴t＝2时，△BPD≌△CPQ；（3）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，由题意得，x＝2x+2×10，解得x＝40，∴点P共运动了40×2＝80cm，∴80＝56+24＝2×28+24，∴点P，点Q在AB边上相遇，∴经过40秒，点P与点Q第一次相遇，此时它们在边AB上．10．（1）①证明：∵G为AD的中点，∴AG＝DG，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠A＝∠CDG＝90°，在△ABG和△DCG中，，∴△ABG≌△DCG（SAS），∴BG＝CG；②证明：延长GF、BC交于点Q，如图1所示：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AGB＝∠CBG，∠EGF＝∠Q，∵F为EC的中点，∴EF＝CF，在△GFE和△QFC中，，∴△GFE≌△QFC（AAS），∴GE＝CQ，GF＝QF，由（1）得：BG＝CG，∴∠CBG＝∠BCG，∴∠AGB＝∠BCG，∴∠BGE＝∠GCQ，在△BGE和△GCQ中，，∴△BGE≌△GCQ（SAS），∴BE＝GQ＝2FG＝6；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDA＝90°，AD∥BC，∴∠CDE＝90°，∠AEB＝∠EBC＝30°，∵ED＝CD，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠DEC＝45°，∴∠CEB＝45°﹣30°＝15°，在BE上截取EG＝CG，如图2所示：则∠GCE＝∠CEB＝15°，∴∠CGB＝∠GCE+∠CEB＝30°，∴∠EBC＝∠CGB，∴CG＝BC＝4，∴EG＝4，∵CH⊥BE，∴GH＝BH，∠CHB＝90°，∵∠EBC＝30°，∴CH＝BC＝2，GH＝BH＝CH＝2，∴EH＝GH+EG＝2+4．。

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个性化教学辅导教案1、如图所示，四边形OABC 为正方形，边长为6，点A C 、分别在x 轴，y 轴的正半轴上， 点D 在OA 上，且D 点的坐标为()20，，P 是OB 上的一个动点，试求PD PA +的最小值是（ ）A ．210B ．10C ．4D ．62、在平面直角坐标系中，已知()14A ，、()31B ，，P 是x 轴上一点，当P 的坐标为________，AP BP +取最小值，最小值为____________；当P 的坐标为________，AP BP -取最大值，最大值为________CBADP Oy x3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过()24A --，，()00O ，，()20B ，三点．（1）求抛物线2y ax bx c =++的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM OM +的最小值．4、已知抛物线y=ax 2+2x+c 的图象与x 轴交于点A （3，0）和点C ，与y 轴交于点B （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点D ，使得点D 到点B 、C 的距离之和最小，并求出点D 的坐标；（3）在第一象限的抛物线上，是否存在一点P ，使得△ABP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．yxO BA5、如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，已知点B的坐标为（3，0）．（1）求a的值和抛物线的顶点坐标；（2）分别连接AC、BC．在x轴下方的抛物线上求一点M，使△AMC与△ABC的面积相等；（3）设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．1．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（）A．3 B．4 C．4.5 D．52．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SSS）B．（SAS）C．（ASA）D．（AAS）3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）4．如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（）A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm5．如图，△ABC中BD、CD平分∠ABC、∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，求证：EF=BE+CF．6．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC 的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．7．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是多少？精讲1：三角形的基本概念【例1】（1）a，b，c为△ABC的三边，化简|a+b+c|﹣|a﹣b﹣c|﹣|a﹣b+c|﹣|a+b﹣c|，结果是（）A．0 B．2a+2b+2c C．4a D．2b﹣2c（2）已知一个三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长不可能的是（）A．2 B．3 C．4 D．1（3）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于（）A．90°B．180°C．360°D．270°（4）如图：已知△ABC的∠B和∠C的外角平分线交于D，∠A=40°，那么∠D=．【例2】（1）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为15，AB=6，DE=3，则AC的长是（）A．8 B．6 C．5 D．4（2）如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于D，PC∥OB交OA于C，若PC=6，则PD=．（3）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长是（）A．13 B．16 C．18 D．20（4）已知：如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别P是关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于M，交OB于N，若P1P2=5cm，则△PMN的周长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm精讲2：等腰三角形与直角三角形【例3】（1）若等腰三角形的两边长分别为6和8，则周长为（）A．20或22 B．20 C．22 D．无法确定（2）如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，则∠C 为（）A．25°B．35°C．40°D．50°（3）如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是秒．（4）如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．I：求证：①AB=AD；②CD平分∠ACE．II：猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．【例4】（1）给出五种图形：①矩形；②菱形；③等腰三角形（腰与底边不相等）；④等边三角形；⑤平行四边形（不含矩形，菱形）．其中，能用完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形是（）A．②③ B．②③④C．①③④⑤ D．①②③④⑤（2）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB，若EC=2，则EF=．（3）如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，2cm，现有已知蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到达B处，则所走的最短路径长是cm．（4）如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，M，N分别是BC，DE的中点．①求证：MN⊥DE；②若BC=20，DE=12，求△MDE的面积．精讲3：全等三角形的性质与判定【例5】（1）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS（2）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC的长是．（3）如图，有一块三角形的玻璃，不小心掉在地上打成三块，现要到玻璃店重新划一块与原来形状、大小一样的玻璃，只需带第块到玻璃店去，其理由是：．（4）如图，有一直角三角形ABC，∠C=90°，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等．精讲4：投影与相似【例6】（1）如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．=B．=C．=D．=（2）一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台AB长为20米，一个主持人现在站在A处，则他应至少再走米才最理想．（3）如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似．则矩形DMNC与矩形ABCD的长与宽之比是．【例7】（1）如图：（A）（B）（C）（D）是一天中四个不同时刻的木杆在地面上的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，为．（2）已知在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣1）、B（﹣2，﹣4）、C（﹣6，﹣5），以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1：2，则点B的对应点的坐标为．（3）如图，身高1.6米的小明从距路灯的底部（点O）20米的点A沿AO方向行走14米到点C处，小明在A处，头顶B在路灯投影下形成的影子在M处．①已知灯杆垂直于路面，试标出路灯P的位置和小明在C处，头顶D在路灯投影下形成的影子N的位置．②若路灯（点P）距地面8米，小明从A到C时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？【例8】课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．1．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长是（）A．6cm B．4cm C．10cm D．以上都不对2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是50°，则这个等腰三角形的底角为（）A．70°B．20°C．70°或20° D．40°或140°3．如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则FC′的长为（）A．B．4 C．4.5 D．54．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．5．如图，∠ACB=90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F．若BF=10，则AB的长为．6．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内的两点，AE平分∠BAC，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm，DE=3cm，则BC的长是cm．7．如图，已知AP∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC=AB．8．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，那么，当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动时间是多少？1．三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系．2．一般判定等腰三角形的方法有“两边相等”和“等角对等边”两种，这涉及到证明线段或角相等的问题，因此可以通过证明三角形全等来解决，而利用等腰三角形“三线合一”的性质来证明直线互相垂直，也是常用方法之一．3．判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．4．垂直平分线的性质定理和折叠联系在一起的问题中，常需要联想相似形和全等形等有关知识综合进行解题．5．求比例题型，常用的一种方法设K法，把K看作常数即可有效的解决此类问题. 6．等比、合分比性质应用题型，必须掌握根据问题，把已知条件进行适当的变形，最后应用等比、合分比性质，必能解决问题.7．判断两三角形相似时，首先看是否存在两对对应角相等；若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例．1．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC 为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B． C．D．3．如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（）A．7.8米B．3.2米C．2.3米D．1.5米4．如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为（）A．40mm B．45mm C．48mm D．60mm5．如图，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACD=76°，BE平分∠ABC，CE平分△ABC 的外角∠ACD，则∠E=（）A．40°B．36°C．20°D．18°6．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=．7．若x：y：z=2：3：4，则=______________．8．如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上移动（点E不与点B，C重合），满足∠DEF=∠B，且点D、F分别在边AB、AC上．（1）求证：△BDE∽△CEF；（2）当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC．9．如图，在△ABC中，AB=AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B．（1）求证：AC•CD=CP•BP；（2）若AB=10，BC=12，当PD∥AB时，求BP的长．1．已知：△ABC在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3），B（3，4），C （2，2）．（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度）（1）画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；（2）以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出C2点的坐标及△A2BC2的面积．2．如图，Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，CD⊥AB交AB于D，以CD为较短的直角边向△CDB的同侧作Rt△DEC，满足∠E=30°，∠DCE=90°，再用同样的方法作Rt△FGC，∠FCG=90°，继续用同样的方法作Rt△HIC，∠HCI=90°．若AC=a，求CI的长．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与直线AD交于点A（，），点D的坐标为（0，1）（1）求直线AD的解析式；（2）直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点（不与点B重合），当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．4．如图，将一副直角三角板拼放在一起得到四边形ABCD，其中∠BAC=45°，∠ACD=30°，点E为CD边上的中点，连接AE，将△ADE沿AE所在直线翻折得到△AD′E，D′E交AC于F点．若AB=6cm．（1）AE的长为cm；（2）试在线段AC上确定一点P，使得DP+EP的值最小，并求出这个最小值；（3）求点D′到BC的距离．5．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线． （1）如图1，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A=40°，∠B=60°，求证：CD 为△ABC 的完美分割线．（2）在△ABC 中，∠A=48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 为等腰三角形，求∠ACB 的度数．（3）如图2，△ABC 中，AC=2，BC=，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD 的长．。

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