北师大版数学八上一次函数的知识点及例题(精华)

【函数与变量】

在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量，如圆的面积2

S r π=，S 与r 是变量，π是常量

注意：在某一变化过程中，变量、常量都可能有多个。常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变） 【函数的概念】

一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。（实际上，函数说的就是y 是怎么样随着x 的变化而变化的，也可以管y 叫x 的变化规律）

对函数概念的理解： （1）有两个变量

（2）一个变量的数值随着另一个变量的变化而变化

（3）自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应（或多个x 的值可以对应一个y 值但不能

一个x 值对应多个y 值，如y=x 2和x 2

=y ）

(4) 我们习惯上设y 为函数，但不表示其它字母不可以作为函数，如s=vt x=6y (5)我们在写函数的时候把函数写在等号的左边，把自变量写在等号的右边例：y=2x-1 例：下列变量之间的关系不是函数关系的是（ B ）

A 、长方形的宽一定，其长与面积

B 、正方形的周长与面积

C 、等腰三角形的底边与面积

D 、球的体积与球的半径 【函数的表示方法】

（1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫列表法。

优点：能明显地呈现出自变量与对应的函数值

缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，难以从表格中看出自变量与函数之间的对应规律 （2）解析法：用数学式子表示函数的方法叫解析法。

优点：简明扼要，规范准确，便于分析推导函数的性质 缺点：有些函数关系，不能用解析式表示

（3）图像法：对于一个函数，把自变量与函数的每组对应值作为点的横纵坐标在直角坐标系中画出来 ，由这些点组成的图形叫这个的图像

优点：形象直观，能清晰呈现函数的一些性质

缺点：所画的图像是近似的，局部的，从图像上观察的结果也是近似的 【函数图像的意义】

一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是函数的图像。

如：某同学在几个月份的考试中；月份和考试成绩的关系用图形表示出来 注意：（1）函数图像上任意一点P （x,y ）中的x 和y 满足函数关系式，反之，满足函数关系式的任意一对x 和y 的值组成的点（x,y ）一定在函数的图像上

（2）判断点P （x,y ）是否在函数图像上的方法是：将点的坐标（x,y ）代入函数关系式，如果满足函数关系式，则这个点就在函数图像上，否则这个点就不在函数图像上。

例：已知点（2，7）在函数2

6y ax =+的图像上，求a 的值，并判断点（4，12）是否在该函数的图像上 【画函数图像的步骤】1、列表2、描点3、连线。如：请在坐标系中画出y=x ，y=x+1，y=x-1，y=x+2的图像 【自变量取值范围】

（1）自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。

在初中范围内没有意义的三种情况是（1）0

0（2）0作分母（3）根号下为负 （2）整式：其自变量的取值范围是全体实数。

分式：其自变量的取值范围是使得分母不为0的实数

二次根式下含自变量：其自变量的取值范围是使得被开方式为非负的实数。如1x -中1x ≥ （3）自变量的取值范围可以是有限的或无限的，也可以是几个数或单独的一个数。如在11y x x =-+-中

x 的取取值范围只能是x=1

（4）当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。例如：2

S r π=中，r 表示圆的半径时，r>0 【函数值】

（1）对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x=a 时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做当x=a 时的函数值，即函数值

（2）当已知解析式时，求函数值就是求代数式的值：当已知函数解析式，给出函数值，求相应的自变量的值时就是解方程

一次函数

一般的，形如y=kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数

一般的，形如y=kx+b(k 是常数，k ≠0)的函数叫做一次函数。其中当b ＝0时y=kx ，所以正比例函数是一种特殊

的一次函数。将直线y=kx 向上或向下平移b 个单位就会得到y=kx+b 。（其中当b>0时,向上平移，b<0时向下平移）

一次函数y=kx+b(k ≠0)中k 、b 的意义

函数

图像

性质 y=kx+b (k,b 为常数, 且(k ≠0)

经过象限

变化规律

k>0

b>0

一、二、三象限

y 随x 的增大而增大

b=0

原点及一、三象限

b<0

一、三、四象限

k<0

b>0

一、二、四象限

y 随x 的增大而减小

b=0

原点及二、四象限

b<0

二、三、四象限

b 表示直线y=kx+b （k ≠0）与y 轴交点的纵坐标

一次函数Y=kx+bk ≠0的图象，当b>0时，图象与y 轴的交点在x 轴的上方；

当b<0时，图象与y 轴的交点在x 轴的下方； 两直线y= k 1x+ b 1（k ≠0）的图象与y= k 2x+ b 2（k ≠0）的位置关系： （1） 当k 1= k 2时，且b 1≠b 2时，两直线平行 （2） 当k 1= k 2时，且b 1=b 2时，两直线重合 （3） 当k 1≠k 2时，两直线相交

（4） 当k 1≠k 2时，且b 1=b 2时，两直线交于y 轴上一点（0，b 1）或（0，b 2）

一次函数的典型题型

【已知解析式，会画图像】如：一个弹簧，不挂物体时长为12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体

的质量成正比例，如果挂上3kg 的物体后，弹簧总长是13.5cm ，求弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式，并画出函数的图像

【根据图像，求出解析式】如图，直线AB 对应的函数表达式是（ ）

A 、332y x =-

+ B 、332y x =+ C 、233y x =-+ D 、2

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y x =+ 【看一个点在不在已知图像上】已知点（3，2）在直线l ：2y x b =-上，求（—1，3）在不在l 上

【直线与两坐标轴交点】一次函数1

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y x =

-与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是