北师大版数学八上一次函数的知识点及例题(精华)
北师大版八年级数学上册-第四章一次函数(同步+复习)精品讲义课件
① ② ③ ④ 圆的半径r=2 , 圆的面积S与半径r的关系。 长方形的宽一定时，其长与周长。 王成的年龄与身高。 汽车行驶过程中，路程一定，其速度与时间。
① ② 根据变化过程中变量的实际意义确定。 根据纯代数关系式确定：一看分母不为0；二看 根号内非负（开平方被开方数是非负数）； 定义：对于自变量在可取值范围内每一个确定的 值a，函数有唯一确定的对应值，这个对应值称 为“当自变量等于a的函数值“。 函数值与自变量的取值是对应的、相互依赖的。 求法：有表查表；有式代入；有图看图。
2.
函数值：
①
② ③
【例4】做一做
1. 求当x=-2时，函数 y=x2-√x2的函数值. 3x 2. 函数y= —— 中，求自变量 x的取值范围。 √x-2 3. 当x取（ 意义。 ）时，函数y= ————有
√x -2 4x
五． （补充）函数的图象
1. 定义：把一个函数的自变量的每一个值与对应的函数值分别 做为点的横坐标与纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有对 应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 作法：列表（选值计算画表）；描点（对应值为点的坐标）； 连线（平滑的直线或曲线）。画出的是近似图象。 作用（学会看图象）：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 一看对应：（变量互求：有关系式用关系式。） 二看趋势：（如何变化） 三看范围：（最大最小局部整体区别看） 四看增减；（上坡下坡） 五看快慢：（陡快缓慢平不变） 六解方程：（组）不等式（ 交点-扫描-投影法） 七比大小：（两函数，比大小，找交点，横分段，看变化，求得 解） 八出方案：（寻求生活中最优选择最佳方案） 九取特值：（结合字母常量的几何意义确定常量之间的关系）。 十设坐标：（设横表纵——永远不变的真理）。
北师大版初二数学上册一次函数知识点总结与基础例题
的• •一次函数一．知识回顾（一）函数1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y ，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。
* 判断 Y 是否为 X 的函数，只要看 X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数的解读式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解读式6、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面 内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对 应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
8、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解读式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题 中的函数关系，不能用解读式表示。
图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如 y = kx + b （ k ，b 是常数，且k ≠ 0 ）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
北师大版八年级上册数学[一次函数的应用(基础版)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一次函数的应用（基础）【学习目标】1. 能从实际问题的图象中获取所需信息；2. 能够将实际问题转化为一次函数的问题并准确的列出一次函数的解析式；3. 能利用一次函数的图象及其性质解决简单的实际问题；4. 提高解决实际问题的能力．认识数学在现实生活中的意义，发展运用数学知识解决实际问题的能力．【要点梳理】要点一、数学建模的一般思路数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.要点二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.要点三、选择最简方案问题分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.【典型例题】类型一、简单的实际问题1、如图，是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（元）与销售量x（件）之间的函数图象．下列说法：①售2件时甲、乙两家售价一样；②买1件时买乙家的合算；③买3件时买甲家的合算；④买乙家的1件售价约为3元，其中正确的说法是（）A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③【思路点拨】分析图象，x＝2时y值相等，故买两件时售价一样，当买1件时乙家的售价比甲家低．买3件时，甲家较合算．【答案】D；【解析】如图，甲乙在x＝2时相交，故售2件时两家售价一样．①对．买1件时乙的价格比甲的价格低．②对．买3件时甲的销售价比乙低，③对．买乙家的1件售价约为1元，④错．【总结升华】本题考查了学生对函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．举一反三：【变式】小刚、小强两人进行百米赛跑，小刚比小强跑得快，如果两人同时跑，小刚肯定赢，现在小刚让小强先跑若干米，图中的射线a，b分别表示两人跑的路程与时间的关系，根据图象判断：小刚的速度比小强的速度每秒快（）A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米【答案】D；提示：由图象知小刚让小强先跑20米，用8秒时间追上小强，所以每秒快2.5米．故选D．图象的交点表示的实际意义：小刚用时8秒追上小强，距离出发点64米．2、（2015•淮安）小丽的家和学校在一条笔直的马路旁，某天小丽沿着这条马路上学，先从家步行到公交站台甲，再乘车到公交站台乙下车，最后步行到学校（在整个过程中小丽步行的速度不变），图中折线ABCDE表示小丽和学校之间的距离y（米）与她离家时间x（分钟）之间的函数关系．（1）求小丽步行的速度及学校与公交站台乙之间的距离；（2）当8≤x≤15时，求y与x之间的函数关系式．【思路点拨】（1）根据函数图象，小丽步行5分钟所走的路程为3900﹣3650=250米，再根据路程、速度、时间的关系，即可解答；（2）利用待定系数法求函数解析式，即可解答.【答案与解析】解：（1）根据题意得：小丽步行的速度为：（3900﹣3650）÷5=50（米/分钟），学校与公交站台乙之间的距离为：（18﹣15）×50=150（米）；（2）当8≤x≤15时，设y=kx+b，把C（8，3650），D（15，150）代入得：，解得：∴y=﹣500x+7650（8≤x≤15）．【总结升华】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂函数图象，获取相关信息，利用得到系数法求函数解析式．类型二、方案选择问题3、某经营世界著名品牌的总公司，在我市有甲、乙两家分公司，这两家公司都销售香水和护肤品．总公司现香水70瓶，护肤品30瓶，分配给甲、乙两家分公司，其中40瓶给甲公司，60瓶给乙公司，且都能卖完，两公司的利润（元）如下表．（1）假设总公司分配给甲公司x瓶香水，求：甲、乙两家公司的总利润W与x之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，甲公司的利润会不会比乙公司的利润高？并说明理由；（3）若总公司要求总利润不低于17370元，请问有多少种不同的分配方案，并将各种方案设计出来【思路点拨】（1）设总公司分配给甲公司瓶香水，用表示出分配给甲公司的护肤品瓶数、乙公司的香水和护肤品瓶数，根据已知列出函数关系式．（2）根据（1）计算出甲、乙公司的利润进行比较说明．（3）由已知求出x的取值范围，通过计算得出几种不同的方案．【答案与解析】解：（1）依题意，甲公司x瓶香水，甲公司的护肤品瓶数为：40－x，乙公司的香水和护肤品瓶数分别是：70－x ，30－（40－x ）＝x －10．W ＝180x ＋200（40－x ）＋160（70－x ）＋150（x －10）＝－30x ＋17700． 故甲、乙两家公司的总利润W 与x 之间的函数关系式W ＝－30x ＋17700（2）甲公司的利润为：180x ＋200（40－x ）＝8000－20x ，乙公司的利润为：160（70－x ）＋150（x －10）＝9700－10x ，8000－20x －（9700－10x ）＝－1700－10x ＜0，∴甲公司的利润不会比乙公司的利润高．（3）由（1）得：0400700100x x x x ≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩ ，解得：10≤x ≤40，再由W ＝－30x ＋17700≥17370得：x ≤11，∴10≤x ≤11，∴有两种不同的分配方案．①当x ＝10时，总公司分配给甲公司10瓶香水，甲公司护肤品30瓶，乙公司60瓶香水，乙公司0瓶护肤品．②当x ＝11时，总公司分配给甲公司11瓶香水，甲公司29瓶护肤品，乙公司59瓶香水，乙公司1瓶护肤品.【总结升华】此题考查的知识点是一次函数的应用，关键是先求出函数关系式，再对甲乙公司利润进行比较，通过求自变量的取值范围得出方案．举一反三：【变式】健身运动已成为时尚，某公司计划组装A 、B 两种型号的健身器材共40套，捐赠给社区健身中心.组装一套A 型健身器材需甲种部件7个和乙种部件4个，组装一套B 型健身器材需甲种部件3个和乙种部件6个.公司现有甲种部件240个，乙种部件196个.（1）公司在组装A 、B 两种型号的健身器材时，共有多少种组装方案；（2）组装一套A 型健身器材需费用20元，组装一套B 型健身器材需费用18元.求总组装费用最少的组装方案，最少组装费用是多少？【答案】解：（1）设该公司组装A 型器材x 套，则组装B 型器材(40－x )套，依题意，得73(40)24046(40)196x x x x +-≤⎧⎨+-≤⎩解得22≤x ≤30.由于x 为整数，∴x 取22，23，24，25，26，27，28，29，30.∴组装A 、B 两种型号的健身器材共有9种组装方案.（2）总的组装费用y ＝20x ＋18（40－x ）＝2x ＋720.∵k ＝2＞0，∴y 随x 的增大而增大.∴当x ＝22时，总的组装费用最少，最少组装费用是2×22＋720＝764元. 总组装费用最少的组装方案：组装A 型器材22套，组装B 型器材18套.4、2011年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120吨.有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨.从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表：（1）若某天调运水的总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？（2）设从甲厂调运饮用水x 吨，总运费为W 元，试写出W 关于与x 的函数关系式，怎样安排调运方案才能是每天的总运费最省？【答案与解析】解：（1）设从甲厂调运饮用水x 吨，从乙厂调运饮用水y 吨，根据题意得2012141526700,120.x y x y ⨯+⨯=⎧⎨+=⎩ 解得50,70.x y =⎧⎨=⎩∵50<80，70<90，∴符合条件.故从甲、乙两水厂各调用了50吨、70吨饮用水.（2）设从甲厂调运饮用水x 吨，则需从乙厂调运水（120－x ）吨，根据题意可得80,12090.x x ⎧⎨-⎩≤≤解得3080x ≤≤. 总运费()201214151203025200W x x x =⨯+⨯-=+，（3080x ≤≤）∵W 随x 的增大而增大，故当30x =时，26100W =最小元.∴每天从甲厂调运30吨，从乙厂调运90吨，每天的总运费最省.【总结升华】本题的最值问题是利用解不等式和一次函数的性质，并要注意自变量的实际取值范围．举一反三：【变式】（2015•广安）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了一系列关于帮扶A 、B 两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A 、B 两村养殖，若用大小货车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别为12（2）现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前往A、B两村总费用为y元，试求出y与x的函数解析式．（3）在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于100箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．【答案】解：（1）设大货车用x辆，小货车用y辆，根据题意得：解得：．∴大货车用8辆，小货车用7辆．（2）y=800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]=100x+9400．（3≤x≤8，且x 为整数）．（3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100，解得：x≥5，又∵3≤x≤8，∴5≤x≤8且为整数，∵y=100x+9400，k=100＞0，y随x的增大而增大，∴当x=5时，y最小，最小值为y=100×5+9400=9900（元）．答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．。
一次函数与正比例函数(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.4一次函数与正比例函数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数与正比例函数的定义1.定义若两个变量x,y的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.2.一次函数与正比例函数的关系(1)正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中b=0的特例,即正比例函数都是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数,(2)若已知y与x成正比例,则可设函数关系式为y=kx(k≠0);若已知y是x的一次函数,则可设函数关系式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0)【知识点2】一次函数的关系式列一次函数的步骤(1)认真分析，理解题意；(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；(3)写出一次函数的关系式；(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题,还要考自变量的取值要使实际问题有意义.特别提醒（1）确定一次函数关系式的方法：（2）按相等关系写出含有两个变量的等式；（3）将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函数关系式的形式.【考点一】一次函数与正比例函数的定义【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？2πC r =，22003y x =+，200t v =，2(3)y x =-，(50)s x x =-．【分析】根据一次函数与正比例函数逐个分析判断即可求解．一般地，两个变量x 、y 之间的关系式可以表示成形如y kx =的函数（k 为常数，x 的次数为1，且0k ≠），那么y kx =就叫做正比例函数．一次函数的定义：一次函数y kx b =+中k b 、为常数，0k ≠，自变量次数为1．解：2πC r =，是正比例函数，2πk =；22003y x =+是一次函数，23k =，200b =；200t v=不是一次函数，也不是正比例函数；2(3)y x =-26x =-+，是一次函数，2k =-，6b =；(50)s x x =-250x x =-+，不是正比例函数也不是一次函数．【点拨】本题考查了正比例函数与一次函数的定义，掌握正比例函数与一次函数的定义是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）若y 关于x 的函数(4)y a x b =-+是正比例函数，则a ，b 应满足的条件是（）A ．4a ≠且0b ≠B ．4a ≠-且0b =C ．4a =且0b =D ．4a ≠且0b =【答案】D【分析】正比例函数的解析式为y kx =，其中0k ≠，据此求解．解： (4)y a x b =-+是正比例函数，∴40a -≠且0b =，∴4a ≠且0b =．故选D ．【点拨】本题考查根据正比例函数的定义求参数，解题的关键是掌握正比例函数中一次项系数不能为0，无常数项．【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考期中）下列关系式：①6x y =；②321y x =+；③25y x =-+；④221y x =+；⑤5y x =-．其中y 是x 的一次函数的有个．【答案】3【分析】形如y kx b =+（0k ≠，k 、b 是常数）的函数，叫做一次函数，进而判断得出答案．解：函数①6xy =，③25y x =-+，⑤5y x =-是一次函数，共有3个，②321y x =+，④221y x =+，不是一次函数，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．【考点二】一次函数与正比例函数的参数【例2】（2022秋·安徽安庆·八年级校考阶段练习）已知函数1012y m x m =-+-（）．（1）m 为何值时，这个函数是一次函数；（2）m 为何值时，这个函数是正比例函数．【答案】（1）10m ≠；（2）12m =【分析】（1）根据一次函数的定义求解；（2）根据正比例函数的定义求解．解：（1）根据一次函数的定义可得：100m -≠，∴当10m ≠时，这个函数是一次函数；（2）根据正比例函数的定义，可得：100m -≠且120m -=，∴12m =时，这个函数是正比例函数．【点拨】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如()0y kx b k =+≠的函数叫做一次函数，特别的，当0b =时，()0y kx k =≠叫做正比例函数，熟知概念是关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，且当213x x =+时，211y y =-，则k 的值为（）A ．3-B ．3C ．13-D ．13【答案】C【分析】分别把点()11,A x y ，()22,B x y 代入一次函数y kx b =+，根据213x x =+，211y y =-时，即可得出结论．解： 一次函数y kx b =+的图象经过()11,A x y ，()22,B x y 两点，∴1122y kx b y kx b =+=+，，∴1212y y kx kx -=-，213x x =+ ，211y y =-，∴121213x x y y -=-=-，，31k ∴-=，即13k =-．故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．【变式2】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知()2835my m x m -=++-是关于x 的一次函数，则m =.【答案】3【分析】根据一次函数的定义得到281m -=且30m +≠，据此求出m 的值即可．解：()2835my m x m -=++- 是关于x 的一次函数，281m ∴-=且30m +≠，解得：3m =，故答案为：3．【点拨】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如()0y kx b k =+≠的函数，叫做一次函数，会利用x 的指数构造方程，会利用k 限定字母的值是解题关键．【考点三】求一次函数的自变理或函数值【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数()()2324m y m x m -=++-，（1）当m 是何值时函数是一次函数．（2）当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当1x =时的函数值．（3）点(),2A n 在此一次函数图象上，则n 的值为多少．【答案】（1）2m =；（2）42y x =-，当1x =时，2y =；（3）1n =【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）所求代入m 得值求出对应的函数关系式，再把1x =代入对应的函数关系式求出此时y 的值即可；（3）代入2y =，求出此时x 的值即可得到答案．（1）解：∵函数()()2324my m x m -=++-是一次函数，∴22031m m +≠⎧⎨-=⎩，∴2m =，∴当2m =时，函数()()2324my m x m -=++-是一次函数；（2）解：由（1）得()()232442my m x m x -=++-=-，∴当1x =时，4122y =⨯-=；（3）解：在42y x =-中，当422y x =-=时，1x =，∴()1,2A ，∴1n =．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如y kx b =+（其中k 、b 都是常数，且0k ≠）的函数叫做一次函数．【举一反三】【变式1】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）不论实数k 取何值，一次函数3y kx =-的图象必经过的点是（）A ．()0,3-B ．()0,3C ．3,02⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】令0x =，求出y 值即可得解．解： 一次函数3y kx =-，当0x =时，=3y -，∴不论k 取何值，函数图象必过点(0,3)-．故选：A ．【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【变式2】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线34y x =+过点(,)P a b ，则32023a b -+的值为．【答案】2019【分析】把(,)P a b 代入34y x =+即可得到34a b +=，代入32023a b -+即可求解．解： 直线34y x =+过点(,)P a b ，34b a ∴=+，34a b ∴-=-，32023420232019a b ∴-+=-+=，故答案为：2019．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系y kx b =+是解题的关键．【考点四】列函数解析式及求函数值【例4】（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x （人)与这趟公交车每月的利润（利润=收入费用-支出费用）y （元)的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的）x （人)50010001500200025003000⋯y （元)3000-2000-1000-010002000⋯请回答下列问题：（1）自变量为，因变量为；（2）y 与x 之间的关系式是；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数，公交车每月的利润；（2）24000y x =-；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元【分析】（1）根据表格中的数量变化可得答案；（2）根据乘坐人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式；（3）把x =4000代入函数关系式求出y 的值即可．（1）解：由题意可知：自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润．故答案为：每月的乘车人数，公交车每月的利润．（2）解： 从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元，∴每位乘客坐一次车需要10005002÷=（元)，即函数关系式为：2(500)300024000y x x =--=-．（3）解：当4000x =时，2400040004000y =⨯-=（元)．答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元．【点拨】本题考查常量与变量，函数关系式，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·八年级课时练习）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A ．()1203004S t t =-≤≤B ．()3004S t t =≤≤C ．()120300S t t =->D ．()304S t t ==【答案】A【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t 的取值范围即可．解：∵汽车行驶的路程为：30t ，∴汽车距天津的路程S （千米）与行驶时间t （时）的函数关系为：12030S t =-，∵120304÷=，∴自变量t 的取值范围是04t ≤≤，故选：A ．【点拨】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系．【变式2】（2021·全国·九年级专题练习）一根长为24cm 的蜡烛被点燃后，每分钟缩短1.2cm ，则其剩余长度y （cm ）与燃烧时间x （min ）的函数关系式为，自变量的取值范围是．【答案】y =24-1.2x0≤x ≤20【分析】根据题意，剩下的蜡烛长度=总长度-已经燃烧的长度，已经燃烧的长度=每分钟缩短长度×燃烧时间，即可写出解析式；列出关系式，根据蜡烛最长的燃烧时间可得自变量的取值范围；解：由题意可得：函数关系式为：y=24-1.2x ，∵x 0≥，y 0≥∴24-1.2x 0≥∴x 20≤．∴自变量x 的取值范围是0≤x≤20．故答案为：y=24-1.2x ，0≤x≤20．【点拨】本题目考查一次函数的实际应用，正确理解题意，找到实际问题中的等量关系是解题的关键．。
北师大八年级上《一次函数》知识点总结加函数图像和求一次函数专题
一次函数知识点总结基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例1、在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。
例2、在圆的周长公式C=2πr 中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应 例1、下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y=1x (4)y=2-1-3x (5)y=x 2-1中，是一次函数的有（ ）（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
例1、下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）A ．．．．例2、函数y =x 的取值范围是___________.例3、已知函数221+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2325≤<-y B.2523<<y C.2523<≤y D.2523≤<y5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
北师大版八年级数学上册 一次函数知识点总结和常考题
第1页（共40页） ()()()32100.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b 一次函数所有知识点总结和常考题知识点：1.变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的为变量，数值不变的是常量。
2.函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于想x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则x 自变量，y 是x 的函数。
3.函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子。
4.描述函数的方法：解析式法、列表法、图像法。
5画函数图象的一般步骤：①列表：一次函数只要列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点③连线：依次用平滑曲线连接各点。
6．正比列函数：形如y=kx （k ≠0）的函数，k 是比例系数。
7．正比列函数的图像性质：⑴ y=kx （k ≠0）的图象是一条经过原点的直线；⑵增减性：①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；②当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小，8．一次函数：形如y=kx+b (k ≠0)的函数,则称y 是x 的一次函数。
当b=0时,称y 是x 的正比例函数。
9. 一次函数的图像性质： ⑴图象是一条直线；⑵增减性：①当k>0时， y 随x 的增大而增大；②当k<0时， y 随x 的增大而减小。
10．待定系数法求函数解析式：⑴设函数解析式为一般式；（2）把两点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数；（3）把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式11．一次函数与方程、不等式的关系：会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）常考题：一．选择题（共14小题）1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=2．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A ．B ．C ．D ．3．一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A ．±B．4 C ．±或4 D．4或﹣5．下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）第1页（共40页）A ．B ．C ．D ．6．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜07．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较8．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞29．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）第1页（共40页）A．10 B．16 C．18 D．2010．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处 C．Q处D．M处11．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A ．B ．C ．D ．12．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）第1页（共40页）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个13．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时14．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）第1页（共40页）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③二．填空题（共13小题）15．函数y=中自变量x 的取值范围是．16．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为．17．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第象限．18．一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是．19．小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是米/分钟．20．已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是．21．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：第1页（共40页）①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）22．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为．23．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．第1页（共40页）24．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．25．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为．26．把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为．27．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x轴交于点C，则△ABC的面积为．第1页（共40页）。
北师大版八年级数学上册 一次函数知识点总结和常考题
()()()32100.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=>>b b b ()()()321000.0k ⎪⎩⎪⎨⎧<=><b b b 一次函数所有知识点总结和常考题知识点：1.变量与常量：在一个变化过程中，数值发生变化的为变量，数值不变的是常量。
2.函数：在一个变化过程中，如果有两个变量x 与y ，并且对于想x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，则x 自变量，y 是x 的函数。
3.函数解析式：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系的式子。
4.描述函数的方法：解析式法、列表法、图像法。
5画函数图象的一般步骤：①列表：一次函数只要列出两个点即可，其他函数一般需要列出5个以上的点，所列点是自变量与其对应的函数值②描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数的值为纵坐标，描出表格中的个点，一般画一次函数只用两点③连线：依次用平滑曲线连接各点。
6．正比列函数：形如y=kx （k ≠0）的函数，k 是比例系数。
7．正比列函数的图像性质：⑴ y=kx （k ≠0）的图象是一条经过原点的直线；⑵增减性：①当k>0时，直线y=kx 经过第一、三象限,y 随x 的增大而增大；②当k<0时，直线y=kx 经过第二、四象限,y 随x 的增大而减小，8．一次函数：形如y=kx+b (k ≠0)的函数,则称y 是x 的一次函数。
当b=0时,称y 是x 的正比例函数。
9. 一次函数的图像性质： ⑴图象是一条直线；⑵增减性：①当k>0时， y 随x 的增大而增大；②当k<0时， y 随x 的增大而减小。
10．待定系数法求函数解析式：⑴设函数解析式为一般式；（2）把两点带入函数一般式列出方程组，求出待定系数；（3）把待定系数值再带入函数一般式，得到函数解析式11．一次函数与方程、不等式的关系：会从函数图象上找到一元一次方程的解（既与x轴的交点坐标横坐标值），一元一次不等式的解集，二元一次方程组的解（既两函数直线交点坐标值）常考题：一．选择题（共14小题）1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥3的是（）A．y=B．y= C．y=x﹣3 D．y=2．下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．3．一次函数y=﹣3x﹣2的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．若函数，则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A．±B．4 C．±或4 D．4或﹣5．下列图形中，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）A．B．C．D．6．如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n，3），那么一定有（）A．m＞0，n＞0 B．m＞0，n＜0 C．m＜0，n＞0 D．m＜0，n＜07．已知点（﹣4，y1），（2，y2）都在直线y=﹣x+2上，则y1，y2大小关系是（）A．y1＞y2B．y1=y2C．y1＜y2D．不能比较8．一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（）A．x＜0 B．x＞0 C．x＜2 D．x＞29．如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示，则△ABC的面积是（）10．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止．设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x=9时，点R应运动到（）A．N处B．P处 C．Q处D．M处11．关于x的一次函数y=kx+k2+1的图象可能正确的是（）A．B．C．D．12．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．其中正确的结论有（）13．图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（）A．体育场离张强家2.5千米B．张强在体育场锻炼了15分钟C．体育场离早餐店4千米D．张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时14．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③B．仅有①②C．仅有①③D．仅有②③二．填空题（共13小题）15．函数y=中自变量x的取值范围是．16．已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠0）上，则的值为．17．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过第象限．18．一次函数y=﹣2x+b中，当x=1时，y＜1，当x=﹣1时，y＞0．则b的取值范围是．19．小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是米/分钟．20．已知直线y=2x+（3﹣a）与x轴的交点在A（2，0）、B（3，0）之间（包括A、B两点），则a的取值范围是．21．“龟兔首次赛跑”之后，输了比赛的兔子没有气馁，总结反思后，和乌龟约定再赛一场．图中的函数图象刻画了“龟兔再次赛跑”的故事（x表示乌龟从起点出发所行的时间，y1表示乌龟所行的路程，y2表示兔子所行的路程）．有下列说法：①“龟兔再次赛跑”的路程为1000米；②兔子和乌龟同时从起点出发；③乌龟在途中休息了10分钟；④兔子在途中750米处追上乌龟．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）22．某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度y米与时间x小时（0≤x≤5）的函数关系式为．23．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省元．24．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，4），直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B，点M是直线AB上的一个动点，则PM长的最小值为．25．直线y=3x+2沿y轴向下平移5个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为．26．把直线y=﹣x﹣1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解析式为．27．如图，直线y=﹣x+4与y轴交于点A，与直线y=x+交于点B，且直线y=x+与x轴交于点C，则△ABC的面积为．三．解答题28．如图，直线l1的解析表达式为：y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．29．如图：在平面直角坐标系中，有A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）三点坐标．（1）若点D与A，B，C三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D的坐标；（2）选择（1）中符合条件的一点D，求直线BD的解析式．30．如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）．动点P从点A出发，沿y轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y=﹣x+b也随之移动，设移动时间为t秒．（1）当t=3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上．参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．D．2．C．3．A．4．D．5．A．6．D．7．A．8．C．9．A．10．C．11．C．12．B．13．C．14．A．二．填空题（共13小题）15．x≥﹣且x≠1．16．﹣．17．一．18．﹣2＜b＜3．19．80．20．7≤a≤9．21．①③④．22．y=6+0.3x．23．224．PM=．25．（0，﹣3）．26．y=﹣x+1．27．S△ABC=S△ACD﹣S△BCD=CD•AO﹣CD•BE=×4×4﹣×4×2=4．三．解答题28．解：（1）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，∴x=1，∴D（1，0）；（2）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，由图象知：x=4，y=0；x=3，，代入表达式y=kx+b，∴，∴，∴直线l2的解析表达式为；（3）由，解得，∴C（2，﹣3），=×3×|﹣3|=；∵AD=3，∴S△ADC（4）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，△ADC高就是点C到直线AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，则P到AD距离=3，∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，∴点P纵坐标是3，∵y=1.5x﹣6，y=3，∴1.5x﹣6=3x=6，所以P（6，3）．【点评】本题考查的是一次函数的性质，三角形面积的计算等有关知识，难度中等．29．解：（1）符合条件的点D的坐标分别是D1（2，1），D2（﹣2，1），D3（0，﹣1）．（2）①选择点D1（2，1）时，设直线BD1的解析式为y=kx+b，由题意得，解得．∴直线BD1的解析式为．②选择点D2（﹣2，1）时，类似①的求法，可得直线BD2的解析式为y=﹣x﹣1．③选择点D3（0，﹣1）时，类似①的求法，可得直线BD3的解析式为y=﹣x﹣1．30．解：（1）直线y=﹣x+b交y轴于点P（0，b），由题意，得b＞0，t≥0，b=1+t．当t=3时，b=4，故y=﹣x+4．（2）当直线y=﹣x+b过点M（3，2）时，2=﹣3+b，解得：b=5，5=1+t，解得t=4．当直线y=﹣x+b过点N（4，4）时，4=﹣4+b，解得：b=8，8=1+t，解得t=7．故若点M，N位于l的异侧，t的取值范围是：4＜t＜7．（3）如右图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F 为点M在坐标轴上的对称点．过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．已知∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E（1，0），F（0，﹣1）．∵M（3，2），F（0，﹣1），∴线段MF中点坐标为（，）．直线y=﹣x+b过点（，），则=﹣+b，解得：b=2，2=1+t，解得t=1．∵M（3，2），E（1，0），∴线段ME中点坐标为（2，1）．直线y=﹣x+b过点（2，1），则1=﹣2+b，解得：b=3，3=1+t，解得t=2．故点M关于l的对称点，当t=1时，落在y轴上，当t=2时，落在x轴上．。
北师大八年级上《一次函数 》知识点总结加函数图像和求 一次函数专题
一次函数知识点总结基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例1、在匀速运动公式中,表示速度,表示时间,表示在时间内所走的路程,则变量是________,常量是_______。
例2、在圆的周长公式C=2πr中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应例1、下列函数（1）y=πx (2)y=2x-1 (3)y= (4)y=2-1-3x (5)y=x2-1中，是一次函数的有（ ）（A）4个 （B）3个 （C）2个 （D）1个3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
例1、下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）A．y= B．y= C．y= D．y=·例2、函数中自变量x的取值范围是___________.例3、已知函数，当时，y的取值范围是 （ ）A. B. C. D.5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
北师大版八年级上册数学[一次函数的图象和性质--知识点整理及重点题型梳理](提高版)
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北师大版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一次函数的图象和性质—知识讲解（提高）【学习目标】1. 理解函数图象及一次函数的概念，理解一次函数y kx b =+的图象与正比例函数y kx =的图象之间的关系；2. 能正确画出一次函数y kx b =+的图象．掌握一次函数的性质．利用函数的图象解决与一次函数有关的问题，还能运用所学的函数知识解决简单的实际问题．3. 对分段函数有初步认识，能运用所学的函数知识解决实际问题．【要点梳理】要点一、函数图象及一次函数的定义1.函数图象的概念把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.2.一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）的函数，叫做一次函数.要点诠释：当b ＝0时，y kx b =+即y kx =，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数k ，b 的要求，一次函数也被称为线性函数.3.画函数图象的一般步骤总结归纳一下描点法画函数图象的一般步骤第一步：列表．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：描点．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：连线．按照自变量由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．要点二、一次函数的图象与性质1.函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象是一条直线 ；当b ＞0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向上平移b 个单位长度得到的； 当b ＜0时，直线y kx b =+是由直线y kx =向下平移|b |个单位长度得到的.2.一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且k ≠0）的图象与性质：3. k 、b 对一次函数y kx b =+的图象和性质的影响：k 决定直线y kx b =+从左向右的趋势，b 决定它与y 轴交点的位置，k 、b 一起决定直线y kx b =+经过的象限．4. 两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系可由其系数确定：（1）12k k ≠⇔1l 与2l 相交； （2）12k k =，且12b b ≠⇔1l 与2l 平行；要点三、待定系数法求一次函数解析式一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立条件确定两个关于k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两对x ，y 的值.要点诠释：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数y kx b =+中有k 和b 两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k 和b 为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.要点四、分段函数对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.要点诠释：对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.【典型例题】类型一、待定系数法求函数的解析式1、（2015春•东平县校级期末）如图，过A点的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点B．（1）求该一次函数的解析式；（2）判定点C（4，﹣2）是否在该函数图象上？说明理由；（3）若该一次函数的图象与x轴交于D点，求△BOD的面积．【思路点拨】（1）首先求得B的坐标，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）把C的坐标代入一次函数的解析式进行检验即可；（3）首先求得D的坐标，然后利用三角形的面积公式求解．【答案与解析】解：（1）在y=2x中，令x=1，解得y=2，则B的坐标是（1，2），设一次函数的解析式是y=kx+b，则，解得：．则一次函数的解析式是y=﹣x+3；（2）当a=4时，y=﹣1，则C（4，﹣2）不在函数的图象上；（3）一次函数的解析式y=﹣x+3中令y=0，解得：x=3，则D的坐标是（3，0）．则S△BOD=OD×2=×3×2=3．【总结升华】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．当已知函数解析式时，求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解．举一反三：【变式1】一次函数交y轴于点A（0，3），与两轴围成的三角形面积等于6，求一次函数解析式.【答案】解：()0,3, 3.A OA =∴()()1,2163244,04,0.AOB S OA OB OB OB B B =⋅=⨯⋅=-△∴∴∴或 设一次函数的解析式为3y kx =+.当过()4,0B 时，34304k k +==-∴； 当过()4,0B -时，34304k k -+==∴； 所以，一次函数的解析式为334y x =-+或334y x =+. 【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，已知两点(1,0)A -，(2,3)B -，在y 轴上求作一点P ，使AP ＋BP 最短，并求出点P 的坐标.【答案】解：作点A 关于y 轴的对称点为()1,0A '，连接A B '，与y 轴交于点P ，点P 即为所求.设直线A B '的解析式为y kx b =+，直线A B '过()()1,0,2,3A B '-，01231k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩∴∴ A B '∴的解析式为：1y x =-+，它与y 轴交于P （0，1）.类型二、一次函数图象的应用2、李明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一条路段，在这段路上所走的路程s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系如图所示．根据图象，解答下列问题：(1)求李明上坡时所走的路程1s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式和下坡时所走的路程2s (米)与时间t (分钟)之间的函数关系式；(2)若李明放学后按原路返回，且往返过程中，上坡的速度相同，下坡的速度也相同，问李明返回时走这段路所用的时间为多少分钟?【思路点拨】由图象可知，上坡时，路程是时间的正比例函数，根据函数图象经过点(6，900)，可以确定函数解析式；下坡时，路程是时间的一次函数，根据函数图象经过点(6，900)，(10，2100)，可以求出函数解析式.【答案与解析】解：(1)设11s k t =，由已知图象经过点(6，900)，得900＝61k ．解得1k ＝150．所以1s ＝150t (0≤t ≤6)．设22s k t b =+，由已知图象经过点(6，900)，(10，2100)，得226900,102100.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2300900k b =⎧⎨=-⎩所以2s ＝300t －900(6<t ≤10)．(2)李明返回时所用的时间为(2100－900)÷(900÷6)＋900÷[(2100－900)÷(10－6)]＝8＋3＝11(分钟)．因此，李明返回时所用的时间为11分钟．【总结升华】从图象中获得点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．注意放学途中上坡路程和下坡路程分别是上学时下坡路程和上坡路程．类型三、一次函数的性质3、（2016•呼和浩特）已知一次函数y=kx +b ﹣x 的图象与x 轴的正半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而增大，则k ，b 的取值情况为（ ）A ．k ＞1，b ＜0B ．k ＞1，b ＞0C ．k ＞0，b ＞0D ．k ＞0，b ＜0【思路点拨】先将函数解析式整理为y=（k ﹣1）x +b ，再根据图象在坐标平面内的位置关系确定k ，b 的取值范围，从而求解．【答案】A ；【解析】解：一次函数y=kx +b ﹣x 即为y=（k ﹣1）x +b ，∵函数值y 随x 的增大而增大，∴k ﹣1＞0，解得k ＞1；∵图象与x 轴的正半轴相交，∴图象与y 轴的负半轴相交，∴b ＜0．故选：A ．【总结升华】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，由于y=kx +b 与y 轴交于（0，b ），当b ＞0时，（0，b ）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当b ＜0时，（0，b ）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 举一反三：【变式1】直线1l ：=+y kx b 与直线2l ：=+y bx k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C ；提示：对于A ，从1l 看 k ＜0，b ＜0，从2l 看b ＜0，k ＞0，所以k ，b 的取值自相矛盾，排除掉A.对于B ，从1l 看k ＞0，b ＜0，从2l 看b ＞0，k ＞0，所以k ，b 的取值自相矛盾，排除掉B. D 答案同样是矛盾的，只有C 答案才符合要求.【变式2】（2014•杭州模拟）已知直线y 1=x ，，的图象如图，若无论x 取何值，y 总取y 1、y 2、y 3中的最小值，则y 的最大值为 ．【答案】2.解：根据题意，y 的最大值为直线y 2与y 3的交点的纵坐标，联立，解得，所以，当x=3时，y 的值最大，为2．故答案为：2．类型四、一次函数综合4、已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且3OA OB =，求点A 的坐标．【答案与解析】 解：由题意得，(),0,0,b A B b k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则,.b b OA OB b k k =-== 113333b OA OB b k k k ====±∴∴∴. 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过点(11)P ，，1k b +=∴.∴当13k =时，23b =，()2,0A -； 当13k =-时，43b =，()4,0A . 综上所述，点A 的坐标为()2,0-或()4,0.【总结升华】我们可以把点A 、B 的坐标用k 、b 表示出来，根据OA ＝3OB 可以建立一个关于k 、b 的方程，再根据它的图象过P ，可以再找到一个关于k 、b 的方程，两个方程联立，即可求出k 、b 的值，就可以求出点A 的坐标.。
一次函数(全章知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.24一次函数（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】函数及相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量.（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量．（3）函数的表示方法：列表法、图像法、解析法.（4）自变量的取值范围：整式函数的自变量取值范围是全体实数；分式函数自变量的取值范围是使分母不为零的实数；二次根式函数的自变量取值范围是使被开方数为非负数的实数.易错警示：函数解析式同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分.例：函数5y x =-中自变量的取值范围是35x x ≥-≠且.（5）函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的对应值分别作为点的横坐标、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象就是这个函数的图象.（6）画图象的步骤：取值、描点、连线.【知识点2】一次函数的概念一次函数：如果(0)y kx b k b k =+≠、是常数，，那么y 叫做x 的一次函数．正比例函数：当0b =时，一次函数y kx b =+变成称(0)y kx k k =≠为常数，，y 叫做x 的正比例函数．【知识点3】一次函数的图象一次函数的图象：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是一条恒经过点(0,)b 和(,0)bk-的直线.正比例函数的图象：正比例函数(0)y kx k =≠的图象是一条恒经过原点(0,0)和(1,)k 直线.【知识点4】一次函数的性质（1）正比例函数的图象与性质y =kx图像经过象限升降趋势增减性k ＞0一、三源：学*科*网X从左向右上升y 随着x 的增大而增大k ＜0二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小（2）一次函数的图象与性质y =kx +b图像经过象限升降趋势增减性k ＞0，b ＞0一、二、三从左向右上升[来源：学科网ZXXK]y 随着x 的增大而增大k ＞0，b ＜0一、三、四k ＜0，b ＞0一、二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小k ＜0，b ＜0二、三、四【知识点5】一次函数的图象与k、b 之间的联系①b 决定直线与y 轴的交点位置0b >时，直线交y 轴于正半轴；0b <时，直线交y 轴于负半轴；0b =时，直线经过原点.②0k >⇔直线上坡，y 随x 的增大而增大；0k <⇔直线下坡，y 随x 的增大而减小.③k 越大，直线越陡.【知识点6】确定一次函数表达式（1）待定系数法步骤：设：设函数表达式为(0)y kx b k =+≠；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k 与b 的值，得到函数表达式．（2）常见类型①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y =2x +b ，再把点（0,1）的坐标代入即可.【知识点7】图象的平移一次函数y kx b =+向左平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =++；一次函数y kx b =+向右平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =-+；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =++；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =+-.平移规律：左加右减，上加下减.【知识点8】两条直线间的位置关系设直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+.(1)12k k ≠⇔相交；（2)1212k k b b =⎧⇔⎨≠⎩平行；（3)121k k =-⇔ 垂直.补充：若直线y kx b =+经过11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x ≠两点，则1212y y k x x -=-.【知识点9】一次函数与方程（组）（1）一次函数图象上点的坐标与二元一次方程的解一一对应.（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解就是两个一次函数11y k x b =+和22y k x b =+图象的交点坐标.（3）一元一次方程0kx b +=的根就是一次函数y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）的图象与x 轴交点的横坐标.【知识点10】一次函数与不等式（1）一次函数y kx b =+的函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式0kx b +>的解集（2）一次函数y kx b =+的函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式0kx b +<的解集【考点一】函数的认识➼➻函数概念★自变量的取值范围★函数值【例1】（2023春·江苏南通·八年级校考阶段练习）一汽车一次加满油40升，每小时耗油5升，x 小时后剩余油量y 升．（1）写出一次加满油后剩余油量y 与时间x 的函数关系式．（2）求出自变量的取值范围．【答案】(1)540y x =-+；(2)08x ≤≤；【分析】（1）根据剩余油量＝总油量－耗油量列函数关系式即可；（2）根据一次加满油40升可得540x ≤，然后可求出自变量的取值范围．（1）解：由题意得：405540y x x =-=-+；（2）解：∵一次加满油40升，∴540x ≤，解得：8x ≤，∴自变量的取值范围为08x ≤≤．【点拨】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出函数关系式．【举一反三】【变式1】（2023春·河南驻马店·八年级统考期末）下列不能表示y 是x 的函数的是（）A ．B ．C ．D ．21y x =+【答案】B【分析】根据函数的定义，一个x 只能对应一个y ，函数的表示方法有图象法，列表法和关系式法，根据定义判断即可．解：A 选项是列表法表示的函数，一个x 只对应了一个y ，所以y 是x 的函数，故本选项不符合题意；B 选项从图象上看，一个x 对应了两个y ，不符合函数定义，故本选项符合题意；C 选项从图象上看，一个x 对应了一个y ，符合函数定义，故本选项不符合题意；D 选项是关系式法表示的函数，一个x 对应了一个y ，符合函数定义，故本选项不符合题意．故选：B ．【点拨】本题考查了函数的定义，掌握函数的概念是解题关键．【变式2】（2023春·辽宁大连·八年级统考期中）正方形边长为9，若边长增加x ，则面积增加y ．y 关于x 的函数解析式为．【答案】218y x x=+【分析】根据正方形的面积公式即可得．解：由题意得：()2229918y x x x =+-=+，故答案为：218y x x =+．【点拨】本题考查了函数解析式，利用正方形的面积公式正确列出式子是解题关键．【考点二】函数的认识➼➻从函数图象中读取信息【例2】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）周末，小明坐公交车到碧沙岗公园，他出发后0.8小时到郑州购书中心，逗留一段时间后继续坐公交车到碧沙岗公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往碧沙岗公园，如图是他们离家路程(km)s 与小明离家时间(h)t 的关系图，请根据图回答下列问题．（1）小明家到碧沙岗公园的路程为______km ，小明出发______小时后爸爸驾车出发；（2）图中A 点表示的实际意义是______；（3）小明从中心书城到碧沙岗公园的平均速度为______km/h ，小明爸爸驾车的平均速度为______km/h ；（4）爸爸驾车经过______h 追上小明．【答案】(1)30，2.5；(2)2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园；(3)12；30；(4)23【分析】（1）根据图象中数据即可得出结论；（2）根据点A 的坐标即可得到点A 的实际意义；（3）根据相应的路程除以时间，即可得出速度；（4）设爸爸驾车经t 小时追上小明，根据爸爸的路程=小明的路程列出方程，解方程即可．（1）由图可得，小明家到碧沙岗公园的路程是30km ；小明出发2.5小时后爸爸驾车出发，故答案为：30，2.5；（2）由图可得，A 点表示2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园，故答案为：2.5小时后小明继续坐公交车到碧沙岗公园；（3）小明从中心书城到碧沙岗公园的平均速度为()301212km/h 4 2.5-=-，小明爸爸驾车的平均速度为()3030km/h 3.5 2.5=-，故答案为：12；30；（4）设爸爸驾车经x 小时追上小明，则121230x x +=，解得23x =，∴爸爸驾车经23小时追上小明，故答案为：23．【点拨】本题考查了从函数图象获取信息，以及行程问题的数量关系的运用，解答时理清函数图象的意义是解答此题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期末）如图1，在ABC 中，90B Ð=°，动点P 从点A 出发，沿折线A B C --方向匀速运动，速度为1cm /s ，连接PC ，图2表示APC △的面积(y 单位：cm²)与运动时间(x 单位：)s 之间的关系图象，则图2中a 表示的数为．【答案】24【分析】先由函数的图象得6cm AB =，8cm BC =，当点P 到达点B 时面积为最大，最大面积为a 的值，从而可得出答案．解：由函数的图象可知：点P 从A B -的路程6cm ，从B C -的路程为8cm ，当点P 到达点B 时，面积为最大值，最大值为ABC 的面积．∴6cm AB =，8cm BC =，90B ∠=︒ ，()211682422ABC S AB BC cm ∴=⋅=⨯⨯= ，24a ∴=．故答案为：24．【点拨】此题主要考查了函数的图象，解答此题的关键是理解题意，读懂函数的图象，准确的从函数的图象中提取解决问题的性质【变式2】（2023春·河南郑州·七年级校考期中）已知动点H 以每秒x 厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从A B C D E F -----的路径匀速运动，相应的HAF △的面积()2cm S 关于时间(s)t 的关系图象如图2，已知8cm AF =，则下列说法正确的有几个（）①动点H 的速度是2cm/s ；②BC 的长度为3cm ；③b 的值为14；④在运动过程中，当HAF △的面积是230cm 时，点H 的运动时间是3.75s 和1025s .．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【分析】先根据点H 的运动，得出当点H 在不同边上时HAF △的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．解：当点H 在AB 上时，如图所示，(cm)AH xt =，()214cm 2HAF S AF AH xt =⨯⨯= ，此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，当点H 在BC 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，且HP AB =，∴12HAF S AF AB =⨯⨯ ，此时三角形面积不变，当点H 在CD 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，C ，D ，P 三点共线，12HAF S AF HP =⨯⨯ ，点H 从点C 点D 运动，HP 逐渐减小，故三角形面积不断减小，当点H 在DE 上时，如图所示，HP 是HAF △的高，且HP EF =，12HAF S AF EF =⨯⨯ ，此时三角形面积不变，当点H 在EF 时，如图所示，12HAF S AF HF =⨯⨯ ，点H 从点E 向点F 运动，HF 逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，对照图2可得05t ≤≤时，点H 在AB 上，∴2x =，2510(cm)AB ⨯==，∴动点H 的速度是2cm /s ，故①正确，58t ≤≤时，点H 在BC 上，此时三角形面积不变，∴动点H 由点B 运动到点C 共用时()853s -=，∴236(cm)BC ⨯==，故②错误，12t b ≤≤，点H 在DE 上，862(cm)DE AF BC =-=-=，∴动点H 由点D 运动到点E 共用时()221s ÷=，∴12113b =+=，故③错误．当HAF △的面积是230cm 时，点H 在AB 上或CD 上，点H 在AB 上时，()24830cm AAF S xt t === ，解得 3.75(s)t =，点H 在CD 上时，()211830cm 22HAF S AF HP HP =⨯⨯=⨯⨯= ，解得7.5(cm)HP =，∴107.5 2.5(cm)CH AB HP =-=-=，∴从点C 运动到点H 共用时2.52 1.25(s)=÷，由点A 到点C 共用时8s ，∴此时共用时8 1.259.25(s)+=，故④错误．故选：A ．【点拨】本题考查动点函数的图象，掌握三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义是解决本题的关键．【考点三】一次函数定义➼➻正比例函数、一次函数的定义【例3】（2023春·湖南岳阳·八年级校考期末）已知函数()211y m x m =-+-．（1）当m 为何值时，y 是x 的一次函数？（2）当m 为何值时，y 是x 的正比例函数？【答案】(1)1m ≠；(2)1m =-【分析】（1）利用一次函数定义进行解答即可；（2）利用正比例函数定义进行解答．（1）解：由题意得：10m -≠，解得：1m ≠；（2）解：由题意得：210m -=且10m -≠，解得：1m =-．【点拨】本题主要考查了正比例函数定义和一次函数定义，关键是掌握形如(y kx k =是常数，且0)k ≠的函数叫做正比例函数；形如(y kx b k b =+、是常数，且0)k ≠的函数叫做一次例函数．【举一反三】【变式1】（2023春·福建泉州·八年级统考期中）若点(),P a b 在直线21y x =+上，则代数式142a b -+的值为（）A ．3B ．1-C ．2D ．0【答案】A【分析】把点(),P a b 代入21y x =+，得出21a b -=-，将其代入142a b -+进行计算即可．解：把点(),P a b 代入21y x =+得21b a =+，整理得：21a b -=-，∴()()1421221213a b a b -+=--=-⨯-=，故选：A ．【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，求代数式的值，解题的关键是掌握一次函数图象上点的坐标都符合一次函数表达式，以及整式添加括号，若括号前为负号，要变号．【变式2】（2023春·河北承德·八年级统考期末）全世界大部分国家都采用摄氏温标预报天气，但美国、英国等国家仍然采用华氏温标．某学生查阅资料，得到如下图表中的数据：摄氏温度值/x ℃010********华氏温度值/y F32506886104122（1）分析两种温标计量值的对应关系是否是一次函数？（填“是”或“否”）（2）请你根据数据推算0F 时的摄氏温度为C【答案】是1609-【分析】（1）根据表格中的数据，判断y 与x 的函数关系是一次函数即可；（2）设函数解析式，再根据表格中的数据，求出函数解析式，最后代入求解即可．（1）由表格可知，x 每增加10，y 就增加18，则两种温标计量值的对应关系是一次函数，故答案为：是（2）设华氏温度y 与摄氏温度x 之间的函数关系式为y kx b =+，由表中的数据，得321050b k b =⎧⎨+=⎩，解得 1.832k b =⎧⎨=⎩，1.832y x ∴=+，∴华氏温度y 与摄氏温度x 之间的函数关系式为 1.832y x =+，当0y =时，0 1.832x =+，解得1609x =-，∴当华氏温度为0F 时，摄氏温度是1609-C ，故答案为：1609-【点拨】本题考查了一次函数关系的判断、待定系数法求一次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，求出函数的解析式是解题的关键．【考点四】一次函数➼➻一次函数的图像与位置【例4】（2023秋·湖北咸宁·九年级统考开学考试）如图，一次函数y mx n =+与正比例函数y mnx =（m ，n 为常数，且0mn ≠）的图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分别分析四个选项中一次函数和正比例函数m 和n 的符号，即可进行解答．解：A 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn <，符合题意；B 、由一次函数图象得：0,0m n <>，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；C 、由一次函数图象得：0,0m n >>，由正比例函数图象得：0mn <，不符合题意；D 、由一次函数图象得：0,0m n ><，由正比例函数图象得：0mn >，不符合题意；故选：A ．【点拨】本题主要考查了一次函数和正比例函数的图象，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数图象与系数的关系．【举一反三】【变式1】（2022秋·江苏连云港·八年级校考阶段练习）在同一直角坐标系中，函数y kx =-与y x k =+的图象大致应为（）A.B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据图象分别确定k 的取值范围，若有公共部分，则有可能；否则不可能．解：根据图象知：A 、0k <，则0k ->，正比例函数的图象不对，不符合题意；B 、0k >，则0k -<．图象正确，符合题意；C 、当0k >，y x k =+过一、二、三象限，不符合题意；D 、正比例函数的图象不对，不符合题意；故选：B ．【点拨】一次函数y kx b =+的图象有四种情况：①当0k >，0b >时，函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限；②当0k >，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第一、三、四象限；③当0k <，0b >时，函数y kx b=+的图象经过第一、二、四象限；④当0k <，0b <时，函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限．【变式2】（2023春·山东德州·八年级统考期中）已知：一次函数()35y m x m =-+-．（1）若一次函数的图象过原点，求实数m 的值；（2）当一次函数的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；（3）当一次函数的图象不经过第一象限时，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5m =；(2)5m >；(3)35m <≤【分析】（1）把()0,0代入()35y m x m =-+-可得50m -=，再解方程并检验即可；（2）由一次函数()35y m x m =-+-的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，再建立不等式组3050m m -<⎧⎨->⎩求解即可；（3）由一次函数()35y m x m =-+-的图象不经过第一象限，再建立不等式组3050m m -<⎧⎨-≤⎩求解即可．（1）解：∵一次函数()35y m x m =-+-的图象过原点，∴50m -=，解得：5m =，经检验符合题意；（2）∵一次函数()35y m x m =-+-的图象与y 轴交于正半轴，并且y 随x 的增大而减小，∴3050m m -<⎧⎨->⎩，解得：5m >；（3）∵一次函数()35y m x m =-+-的图象不经过第一象限，∴3050m m -<⎧⎨-≤⎩，解得：35m <≤．【点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，熟记一次函数的图象所经过的象限是解本题的关键．【考点五】一次函数图象➼➻一次函数的增减性【例5】（2021春·广东江门·八年级校考期中）已知正比例函数y kx =的图象经过点()4,8-．（1）求这个函数解析式；（2）判断点()2,5A -是否在这个函数图象上；（3）图象上的两点()11,C x y ，()22,D x y ，且12x x <，比较1y ，2y 的大小．【答案】(1)2y x =-；（2）点()2,5A -不在这个函数图象上；(3)12y y >【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；（2）将点A 横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A 是否在这个函数图象上；（3）根据正比例函数的增减性，即可比较1y ，2y 的大小．（1）解：将点()4,8-代入y kx =，得48k =-，解得2k =-，∴这个函数解析式为2y x =-；（2）解：当2x =-时，()()2245y =-⨯-=≠，∴点()2,5A -不在这个函数图象上；（3）解：∵20k =-<，∴y 随着x 增大而减小，∵图象上的两点()11,C x y ，()22,D x y ，且12x x <，∴12y y >．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，涉及待定系法求解析式，一次函数的性质与系数的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）已知点()14,y -，()22,y ，()32,y -都在直线2y x b =-上，则1y 、2y 、3y 的大小关系是（）A ．123y y y >>B ．231y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】B 【分析】根据比例系数，20k =>，根据一次函数的性质y 随x 的增大而增大即可判断．解：根据2y x b =-，20k ∴=>，y 随x 的增大而增大，由于1(4,)y -，2(2,)y ，3(2,)y -都在直线2y x b =-上，422-<-< ，231y y y ∴>>，故选：B ．【点拨】本题考查一次函数的增减性与k 的正负有关，进而判断即可．【考点六】一次函数➼➻待定系数法求一次函数的解析式【例6】（2023春·甘肃定西·八年级校考阶段练习）已知一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)．（1）求出y 与x 的函数解析式；（2）设点(2,)a 在这个函数的图象上，求a 的值．【答案】(1)3y x =-+；(2)1a =【分析】（1）设一次函数解析式为(0)y kxb k =+≠，根据一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)得230k b k b +=⎧⎨+=⎩，进行计算即可得；（2）将点(2,)a 代入函数解析式中即可得．（1）解：设一次函数解析式为(0)y kx b k =+≠，∵一次函数的图像经过点(1,2)，(3,0)∴230k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数解析式为：3y x =-+；（2）解：∵点(2,)a 在函数3y x =-+的图象上，∴231a =-+=．【点拨】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握待定系数法．【举一反三】【变式1】（2023春·新疆阿克苏·八年级校考阶段练习）设一次函数y kx b =+（k ，b 为常数，且0k ≠），图象过()()2,7,0,3A B ．（1）求该一次函数的解析式；（2）判断点()1,2P -是否在该一次函数图象上．【答案】(1)23y x =+；(2)不在【分析】（1）把()()2,7,0,3A B 分别代入y kx b =+，利用待定系数法求解即可；（2）把=1x -代入解析式，求得1y =，即可判断．（1）把()()2,7,0,3A B 分别代入y kx b =+得：273k b b +=⎧⎨=⎩，解得：23k b =⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为23y x =+；（2）当=1x -时，231y =-+=，∴点()1,2P -不在该一次函数图象上．【点拨】本题考查了求一次函数解析式及一次函数图象上的点，熟练掌握知识点是解题的关键．【变式2】（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）已知y 是x 的一次函数，且当0x =时，3y =；当2x =时，1y =-．（1）求一次函数的解析式，（2）若3y <-，求自变量x 的取值范围．【答案】(1)23y x =-+；(2)3x >【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）根据3y <-即可列出不等式即可求解．（1）解：设()0y kx b k =+≠，根据题意得：312b k b =⎧⎨-=+⎩，解得：23k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式是：23y x =-+；（2）解：3y <- ，233x ∴-+<-，解得：3x >，∴自变量x 的取值范围：3x >．【点拨】本题考查了待定系数法求函数的解析式和解一元一次不等式，正确解方程组求得k 和b 的值是解题的关键．【考点七】一次函数➼➻一次函数的平移【例7】（2023春·江西赣州·八年级校联考期末）已知一次函数的图象过点()3,5与()4,9--．（1）求这个一次函数的解析式；（2）若将这个一次函数的图象向上平移3个单位，求平移后的图象与x 轴的交点坐标．【答案】(1)一次函数解析式为21y x =-；(2)平移后的图象与x 轴的交点坐标为()1,0-【分析】（1）设出一次函数的解析式是y kx b =+，然后把经过的点的坐标代入，求解得到k 、b 的值即可得解；（2）根据平移的方向和距离得到平移后的解析式，然后令0y =，即可求得x 的值，从而得到图象与x 轴的交点坐标．（1）解：设一次函数的解析式是y kx b =+，将点()3,5与()4,9--的坐标代入得：3549k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解21k b =⎧⎨=-⎩，∴一次函数解析式为21y x =-；（2）将21y x =-沿y 轴向上平移3个单位，所得直线的解析式为22y x =+，令0y =得；220x +=，所以=1x -．∴平移后的图象与x 轴的交点坐标为()1,0-．【点拨】本题主要考查的是利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的平移，求出一次函数解析式是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·陕西咸阳·校考二模）在平面直角坐标系中，将直线()40y kx k =+≠向右平移2个单位长度后所得的直线经过坐标原点，则k 的值为（）A ．2-B ．1-C ．2D ．1【答案】C【分析】由题意得，平移后的直线的解析式为()24y k x =-+，将()00，代入得，()0024k =-+，计算求解即可．解：由题意得，平移后的直线的解析式为()24y k x =-+，将()00，代入得，()0024k =-+，解得2k =，故选：C ．【点拨】本题考查了一次函数图象的平移．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式2】（2023春·湖北黄冈·八年级统考期末）已知一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行并且过点()0,2P ，则这个一次函数的解析式为．【答案】22y x =+【分析】根据互相平行的两直线解析式的k 值相等，得到一次函数的解析式为2y x b =+，再把点()0,2P 代入解析式求解即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与直线21y x =+平行，∴2k =，∴一次函数为2y x b =+，∵一次函数过点()0,2P ，∴20b =+，∴2b =，∴一次函数的解析式为：22y x =+，故答案为：22y x =+．【点拨】本题主要考查了两直线平行问题，求一次函数解析式，解题的关键是熟知：若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k 值相同．【考点八】一次函数➼➻一次函数图象与直线交点坐标【例8】（2023春·四川成都·八年级成都外国语学校校考期中）如图，直线26y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线112y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，两直线交于点E．（1）求出A ，E 两点的坐标；（2）求四边形AODE 的面积．【答案】(1）点A 坐标为()3,0-，点E 坐标为()2,2-；(2)4【分析】（1）对于26y x =+，当0y =时求出x ，即可得到点A 的坐标，联立两个函数的解析式，求出方程组的解即可得出点E 的坐标；（2）先求出点D 、C 的坐标，再利用面积的和差解答即可．（1）对于26y x =+，当0y =时，260x +=，解得3x =-，∴点A 坐标为()3,0-，联立26112y x y x =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得22x y =-⎧⎨=⎩，∴点E 坐标为()2,2-；（2）对于112y x =-+，当0y =时，1102x -+=，解得2x =，∴点C 坐标为()2,0，∴235AC =+=，当0x =时，1y =，∴点D 坐标为()0,1，∴1OD =，∴115221422AEC ODC AODE S S S =-=⨯⨯-⨯⨯= 四边形．【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、两个函数的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．【举一反三】【变式】（2023春·江西新余·八年级统考期末）一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列结论：①0k <；②0a >；③关于x 的方程kx x a b -=-的解是3x =；④当3x <时，12y y <中．则正确的序号有（）A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④【答案】B 【分析】根据一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数与一元一次方程的关系对③进行判断；利用函数图象，当3x <时，一次函数1y kx b =+在直线2y x a =+的上方，则可对④进行判断．解：∵一次函数1y kx b =+经过第一、二、四象限，∴00k b <>，，所以①正确；∵直线2y x a =+的图象与y 轴的交点在x 轴下方，∴a<0，所以②错误；∵一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象的交点的横坐标为3，∴3x =时，kx b x a +=+，整理得kx x a b -=-，则关于x 的方程kx x a b -=-的解是3x =，所以③正确；当3x <时，1y kx b =+图像在2y x a =+图像的上方，∴12y y >，所以④错误．故选：B ．【点拨】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象与系数的关系是解题关键．【考点九】一次函数➼➻一次函数图象与二元一次不等式组【例9】（2023春·山东枣庄·八年级统考期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助我们理解数学问题．如图1，已知一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，且0k ≠）的图象．（1）方程0kx b +=的解为______，不等式4kx b +<的解集为______；（2）若正比例函数y mx =（m 为常数，且0m ≠）与一次函数y kx b =+相交于点P （如图2），则不等式组00mx kx b >⎧⎨+>⎩的解集为______；（3）比较mx 与+kx b 的大小（根据图象直接写出结果）．【答案】(1)2x =，0x >；(2)02x <<；(3)当1x <时，mx kx b <+；当1x =时，mx kx b =+；当1x >时，mx kx b >+【分析】（1）根据点A 的坐标即可方程0kx b +=的解，再根据点B 的坐标即可得不等式4kx b +<的解集；（2）根据函数图象分别求出不等式0mx >和不等式0kx b +>的解集，再找出它们的公共部分即可得不等式组的解集；（3）根据点P 的横坐标，分1x <、1x =、1x >三种情况，结合函数图象即可．（1）解：由函数图象可知，方程0kx b +=的解为2x =，不等式4kx b +<的解集为0x >，故答案为：2x =，0x >；（2）解：由函数图象可知，不等式0mx >的解集为0x >，不等式0kx b +>的解集为2x <，则这个不等式组的解集为02x <<，故答案为：02x <<；（3）解：由函数图像可知，当1x <时，mx kx b <+，当1x =时，mx kx b =+，当1x >时，mx kx b >+．【点拨】本题考查一次函数与方程、不等式，熟练掌握函数图象是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，有下列结论：①图象经过点()2,3；②关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；③当1x >时，0y <．其是正确的是．【答案】②③【分析】待定系数法求出函数解析式，根据图象法解方程，增减性判断函数值的变化情况，逐一进行判断即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，∴02k b b=+⎧⎨=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=⎩，∴22y x =-+，当2x =时，222y =-⨯+，=2y -；∴图象不经过点()2,3；故①错误；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()1,0，∴关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；故②正确；由图象可知，y 随x 的增大而减小，∴当1x >时，0y <；故③正确；故答案为：②③【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式，利用函数的性质和图象法求解，是解题的关键．【变式2】（2023秋·湖南长沙·九年级长沙市长郡双语实验中学校考开学考试）如图，直线11l y kx =+：与x 轴交于点D ，直线2l y x b =-+：与x 轴交于点A ，且经过定点()1,5B -，直线1l 与2l 交于点()2,C m ．（1）求的值；（2）求ADC 的面积；【答案】(1)12k =；(2)6【分析】（1）将点()1,5B -，代入直线2l ：y x b =-+得出4b =，进而得出直线2l ：4y x =-+，然后得出()2,2C ，代入1y kx =+，即可求解；（2）先求得A ，D 的坐标，进而根据三角形面积公式，即可求解．（1）解： 直线2l ：y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点()1,5B -，51b ∴=+，4b ∴=，∴直线2l ：4y x =-+，直线2l ：4y x =-+经过点()2,C m ，242m ∴=-+=，()2,2C ∴，把()2,2C 代入1y kx =+，得12k =．∴12k =，4b =，2m =；（2）对于直线1l ：y =121x +，令0y =，得到2x =-，()2,0D ∴-，2OD ∴=，。
北师大版八年级数学上册 一次函数的图像及其性质(含答案)
一次函数的图像及其性质● 知识点一 一次函数的定义 一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的函数，叫做一次函数，当0b =时，即y kx =，这时即是前一节所学过的正比例函数．⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数． ⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．● 知识点二 一次函数的图象及其画法 ⑴一次函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数）的图象是一条直线． ⑵由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系内画一次函数的图象时，只要先描出两个点，再连成直线即可． ①如果这个函数是正比例函数，通常取()00，，()1k ，两点；②如果这个函数是一般的一次函数（0b ≠），通常取()0b ，，0bk⎛⎫- ⎪⎝⎭，，即直线与两坐标轴的交点． ⑶由函数图象的意义知，满足函数关系式y kx b =+的点()x y ，在其对应的图象上，这个图象就是一条直线l ，反之，直线l 上的点的坐标()x y ，满足y kx b =+，也就是说，直线l 与y kx b =+是一一对应的，所以通常把一次函数y kx b =+的图象叫做直线l ：y kx b =+，有时直接称为直线y kx b =+．● 知识点三 一次函数的性质 ⑴ 当0k >时，一次函数y kx b =+的图象从左到右上升，y 随x 的增大而增大； ⑵ 当0k <时，一次函数y kx b =+的图象从左到右下降，y 随x 的增大而减小．● 知识点四 一次函数y kx b =+的图象、性质与k 、b 的符号⑵一次函数y kx b =+中，当0k >时，其图象一定经过一、三象限；当0k <时，其图象一定经过二、四象限．当0b >时，图象与y 轴交点在x 轴上方，所以其图象一定经过一、二象限；当0b <时，图象与y 轴交点在x 轴下方，所以其图象一定经过三、四象限．反之，由一次函数y kx b =+的图象的位置也可以确定其系数k 、b 的符号．知识点五 用待定系数法求一次函数的解析式 ⑴ 定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法． ⑵ 用待定系数法求函数解析式的一般步骤： ① 根据已知条件写出含有待定系数的解析式； ② 将x y ，的几对值，或图象上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组； ③ 解方程（组），得到待定系数的值； ④ 将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求的函数解析式．一、基本识图问题1.如图，图像（折线OEFPMN ）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）A 、第3分时汽车的速度是40千米/时B 、第12分时汽车的速度是0千米/时C 、从第3分到第6分，汽车行驶了120千米例题精讲D、从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时二、行程问题1.小明外出散步，从家走了20分钟后到达了一个离家900米的报亭，看了10分钟的报纸然后用了15分钟返回到家．则下列图像能表示小明离家距离与时间关系的是（）A、B、C、D、2.如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶A1-A2-A3-A4-A5爬行，那么蚂蚁爬行的高度h随时间t变化的图像大致是（）A、B、C、D、三、行走路线问题1. 图1是韩老师早晨出门散步时，离家的距离（y）与时间（x）之间的函数图像。
北师大版八年级数学上册一次函数
数学专题复习：一次函数【基础知识回顾】一、 一次函数的定义:一般的：如果y= （ ）即y 叫x 的一次函数特别的：当b= 时，一次函数就变为y-kx(k ≠0)，这时y 叫x 的 【名师提醒：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，只有当b=0时，它才是正比例函数】二、一次函数的同象及性质：1、一次函数y=kx+b 的图象是经过点（0，b ）（-bk，0）的一条正比例函数y= kx 的图象是经过点 和 的一条直线2、正比例函数y= kx(k ≠0)当k >0时，其图象过 、 象限，此时y 随x 的增大而 当k<0时，其图象过 、 象限，此时y 随x 的增大而3、 一次函数y= kx+b ，图象及函数性质 ① k >0 b >0过 象限 k >0 b<0过 象限② k<0 b >0过 象限k<0 b >0过 象限4、若直线l 1: y= k 1x+ b 1与l 2: y= k 2x+ b 2平行，则k 1 k 2，若k 1≠k 2，则l 1与l 2三、用系数法求一次函数解析式：关键：确定一次函数y= kx+ b 中的字母 与 的值步骤：1、设一次函数表达式 2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的系数代入等设函数表达式中四、一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组1、一次函数与一元一次方程：一般地将x= 或y 解一元一次方程求直线与坐标轴的交点坐标，代入y= kx+ b 中2、一次函数与一元一次不等式：kx+ b>0或kx+ b<0即一次函数同象位于x 轴上方或下方时相应的x 的取值范围，反之也成立3、一次函数与二元一次方程组：两条直线的交点坐标即为两个一次函数列二元一次方程组的解，反之根据方程组的解可求两条直线的交点坐标【名师提醒：1、一次函数与三者之间的关系问题一定要结合图象去解决2、在一次函数中讨论交点问题即是讨论一元一次不等式的解集或二元一次方程组解得问题】 五、一次函数的应用一般步骤：1、设定问题中的变量 2、建立一次函数关系式3、确定取值范围4、利用函数性质解决问题5、作答【名师提醒：一次函数的应用多与二元一次方程组或一元一次不等式（组）相联系，经常涉及交点问题，方案涉及问题等】 【重点考点例析】考点一：一次函数的同象和性质 例1 （2012•黄石）已知反比例函数y=xb（b 为常数），当x ＞0时，y 随x 的增大而增大，则一次函数y=x+b 的图象不经过第几象限．（ ）A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 例2 （2012•上海）已知正比例函数y=kx （k ≠0），点（2，-3）在函数上，则y 随x 的增大而 （增大或减小）． 对应训练1．（2012•沈阳）一次函数y=-x+2图象经过（ ）A ．一、二、三象限B ．一、二、四象限C ．一、三、四象限D ．二、三、四象限2．（2012•贵阳）在正比例函数y=-3mx 中，函数y 的值随x 值的增大而增大， 则P （m ，5）在第 象限．考点二：一次函数解析式的确定例3 （2012•聊城）如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，-2）． （1）求直线AB 的解析式；（2）若直线AB 上的点C 在第一象限，且S △BOC =2，求点C 的坐标． 对应训练3．（2012•湘潭）已知一次函数y=kx+b （k ≠0）图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形面积为2，求此一次函数的解析式．考点三：一次函数与方程（组）不等式（组）的关系(扩展知识)例4 （2012•恩施州）如图，直线y=kx+b 经过A （3，1）和B （6，0）两点，则不Y 随x 的增大而 Y 随x 的增大而等式组0＜kx+b ＜13x 的解集为 ．例5 （2012•贵阳）如图，一次函数y=k 1x+b 1的图象1l 与y=k 2x+b 2的图象2l 相交于点P ，则方程组 1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩的解是（ ）A ．23x y =-⎧⎨=⎩B ．32x y =⎧⎨=-⎩C ．23x y =⎧⎨=⎩D ．23x y =-⎧⎨=-⎩对应训练4．（2012•桂林）如图，函数y=ax-1的图象过点（1，2），则不等式ax-1＞2的解集是 ． 5．（2012•呼和浩特）下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程x-2y=2的解是（ ）A ．BC ．考点四：一次函数的应用例6 （2012•遵义）为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y （元）与用电量x （度）间的函数关系式．（1）根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：档次 第一档 第二档 第三档每月用电量x （度） 0＜x ≤140 （2）小明家某月用电120度，需交电费 元；（3）求第二档每月电费y （元）与用电量x （度）之间的函数关系式；（4）在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费m 元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求m 的值．对应训练 6．（2012•漳州）某校为实施国家“营养早餐”工程，食堂用甲、乙两种原料配制成某种营养食品，已知这两种原料的维生素C 含量及购买这两种原料的价格如下表：维生素C 及价格甲种原料 乙种原料 维生素C （单位/千克） 600 400 原料价格（元/千克）95现要配制这种营养食品20千克，要求每千克至少含有480单位的维生素C ．设购买甲种原料x 千克．（1）至少需要购买甲种原料多少千克？（2）设食堂用于购买这两种原料的总费用为y 元，求y 与x 的函数关系式．并说明购买甲种原料多少千克时，总费用最少？【聚焦山东中考】1.（2012•济南）一次函数y=kx+b 的图象如图所示，则方程kx+b=0的解为（ ）A ．x=2 B ．y=2 C ．x=-1 D ．y=-12．（2012•潍坊）若直线y=-2x-4与直线y=4x+b 的交点在第三象限，则b 的取值范围是（ ）A ．-4＜b ＜8B ．-4＜b ＜0C ．b ＜-4或b ＞8D ．-4≤b ≤8原料4．（2012•威海）如图，直线l1，l2交于点A，观察图象，点A的坐标可以看作方程组的解5．（2012•临沂）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系式如图2所示．（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；（2）求小明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式；（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？6．（2012•烟台）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费y元．（1）分别求出0≤x≤200和x＞200时，y与x的函数表达式；（2）小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？一、选择题1．（2012•南充）下列函数中，是正比例函数的是（）A．y=-8x B．8yx-= C．y=5x2+6 D．y=-0.5x-12．（2012•温州）一次函数y=-2x+4的图象与y轴的交点坐标是（）A．（0，4） B．（4，0） C．（2，0） D．（0，2）3．（2012•陕西）在下列四组点中，可以在同一个正比例函数图象上的一组点是（）A（2，-3）（-4，6） B（-2，3）（4，6） C（-2，-3）（4，-6） D．（2，3）（-4，6）4．（2012•泉州）若y=kx-4的函数值y随x的增大而增大，则k的值可能是下列的（）A．-4 B．12- C．0 D．35．（2012•山西）如图，一次函数y=（m-1）x-3的图象分别与x轴、y轴的负半轴相交于A、B，则m的取值范围是（）A．m＞1 B．m＜1 C．m＜0 D．m＞06．（2012•娄底）对于一次函数y=-2x+4，下列结论错误的是（）A．函数值随自变量的增大而减小B．函数的图象不经过第三象限 C．函数的图象向下平移4个单位长度得y=-2x的图象 D．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）8．（2012•乐山）若实数a、b、c满足a+b+c=0，且a＜b＜c，则函数y=ax+c的图象可能是（）A B． C． D．9．（2012•阜新）如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点（0，1），则关于x的不等式kx+b＞1的解集是（）A．x＞0 B．x＜0C．x＞1 D．x＜110．（2012•河南）如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x＜ax+4的解集为（）A．x＜32B．x＜3 C．x＞32D．x＞311．（2012•陕西）在同一平面直角坐标系中，若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M，则点M的坐标为（）A．（-1，4） B．（-1，2） C．（2，-1） D．（2，1）12．（2012•哈尔滨）李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米，要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD，设BC的边长为x米，AB边的长为y米，则y与x 之间的函数关系式是（） A．y=-2x+24（0＜x＜12） B．y=-12x+12（0＜x＜24）C．y=2x-24（0＜x＜12） D．y=12x-12（0＜x ＜24）13．（2012•武汉）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示，给出以下结论：①a=8；②b=92；③c=123．其中正确的是（）A．①②③ B．仅有①② C．仅有①③ D．仅有②③15．（2012•黔东南州）如图，是直线y=x﹣3的图象，点P（2，m）在该直线的上方，则m的取值范围是（）A． m＞﹣3 B．m＞﹣1 C． m＞0 D． m＜3 16．（2012•南昌）已知一次函数y=kx+b（k≠0）经过（2，﹣1）、（﹣3，4）两点，则它的图象不经过（）A．第一象限B第二象限C第三象限D第四象限二、填空题17．（2012•怀化）如果点P1（3，y1），P2（2，y2）在一次函数y=2x-1的图象上，则y1 y2．（填“＞”，“＜”或“=”）18．（2012•南京）已知一次函数y=kx+k-3的图象经过点（2，3），则k的值为．19．（2012•江西）已知一次函数y=kx+b（k≠0）经过（2，-1）、（-3，4）两点，则它的图象不经过第象限．20．（2012•湖州）一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=0的解为x= ．22．（2012•南平）将直线y=2x向上平移1个单位长度后得到的直线是．23．（2012•南通）无论a取什么实数，点P（a﹣1，2a﹣3）都在直线l上．Q（m，n）是直线l上的点，则（2m﹣n+3）2的值等于．24（2012•黄冈）某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后缷完物品再另装货物共用45分钟，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货物相遇．已知货车的速度为60千米/时，两车之间的距离y （千米）与货车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示，现有以下4个结论：①快递车从甲地到乙地的速度为100千米/时；②甲、乙两地之间的距离为120千米；③图中点B的坐标为（3，75）；④快递车从乙地返回时的速度为90千米/时，以上4个结论正确的是．三、解答题27．（2012•岳阳）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水--清洗--灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？30．（2012•新疆）库尔勒某乡A，B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C，D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C，D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C，D两处的费用分别为每吨25元和32元．设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A，B两村运香梨往两仓库的运输费用分别为y A元，y B元．（1）请填写下表，并求出y A，y B与x之间的函数关系式；C D 总计A x吨200吨B 300吨总计 240吨 260吨 500吨 （2）当x 为何值时，A 村的运费较少？（3）请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值．初二数学一次函数知识点总结基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
一次函数关系式的常见类型(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.22一次函数关系式的常见类型（知识梳理与考点分类讲解）一次函数关系式常见类型目录：【类型1】定义型【类型2】一点型【类型3】两点型【类型4】图象型【类型5】斜截型【类型6】应用型【类型7】面积型【类型8】平移型【类型9】对称型【考点一】定义型【例1】（2023秋·八年级课时练习）已知函数()2324my m x n -=-++．（1）当,m n 为何值时，y 是x 的一次函数，并写出关系式；（2）当,m n 为何值时，y 是x 的正比例函数，并写出关系式．【答案】（1）当m=-2，n 为任意实数时，y 是x 的一次函数，关系式为44y x n =-++；（2）当m=-2，n=-4时，y 是x 的正比例函数，关系式为4y x=-【分析】（1）根据一次函数的定义即可求出结论；（2）根据正比例函数的定义即可求出结论．解：（1）由题意可得23120m m ⎧-=⎨-≠⎩，n 可以取任意实数解得：m=-2∴44y x n=-++∴当m=-2，n 为任意实数时，y 是x 的一次函数，关系式为44y x n =-++；（2）由题意可得2312040m m n ⎧-=⎪-≠⎨⎪+=⎩，解得：24m n =-⎧⎨=-⎩∴4y x=-∴当m=-2，n=-4时，y 是x 的正比例函数，关系式为4y x =-．【点拨】此题考查的是根据一次函数和正比例函数的定义，求参数问题，掌握一次函数和正比例函数的定义是解题关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·八年级单元测试）在平面直角坐标系中，若一个正比例函数的图象经过A （5，b ），B （a ，4）两点，则a ，b 一定满足的关系式为（）A ．a ﹣b ＝1B ．a ＋b ＝9C ．a •b ＝20D ．a b ＝34【答案】C【分析】设该正比例函数是y ＝kx （k ≠0），将A 、B 两点的坐标分别代入，通过整理求得a ，b 一定满足的关系式．解：设该正比例函数是y ＝kx （k ≠0），则b ＝5k ，4＝ak ．∴4b ＝5a ，∴ab ＝20.故选：C ．【点拨】本题考查了正比例函数的概念，关键是清楚图象经过点，则点的坐标满足函数解析式．【变式2】（2022秋·安徽蚌埠·八年级校考阶段练习）已知2y -与3x +成正比,且当1x =时,y =-6，则y 与x 的关系式是.【答案】y=-2x-4【分析】由2y -与3x +成正比例可设2y -=k （3x +）（k≠0），代入1x =时,y =-6即可得出关于k 的一元一次方程，解之即可得出结论．解：∵2y -与3x +成正比，∴设2y -=k 3x +（）（k≠0）．∵当1x =时,y =-6，∴-6-2=k （1+3），解得：2k =-，∴22(3)y x -=-+∴y 与x 的关系式为y=-2x-4故答案为y=-2x-4.【点拨】本题考查了正比例的意义，根据正比例的定义正确设未知数是解题关键．【考点二】一点型【例2】（2023春·福建莆田·八年级校考期中）已知直线上l ：1y kx =-经过点()2,3A ．（1）求直线l 的解析式；（2）判断点(1,23)P m m --是否在直线l 上，请说明理由．【答案】（1）21y x =-；（2）在直线l 上，理由见详解【分析】（1）根据待定系数法可求解函数解析式；（2）把1x m =-代入（1）中解析式进行求解即可．（1）解：把点()2,3A 代入解析式1y kx =-得：213k -=，解得：2k =，∴直线l 的解析式为21y x =-；（2）解：由题意可把1x m =-代入21y x =-得：()21123m m --=-，∴点(1,23)P m m --在直线l 上．【点拨】本题主要考一次函数的图象与性质，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2021秋·广西梧州·八年级统考期中）已知一次函数5y kx =+的图象经过()12M -，，则k 的值是（）A ．3B ．3-C ．6D ．6-【答案】A【分析】把()12M -，代入一次函数5y kx =+求出k 的值即可．解：把()12M -，代入一次函数5y kx =+得：25k =-+，解得：3k =，故A 正确．故选：A ．【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法．【变式2】（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考阶段练习）已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过()2,0A ，且与y 轴分别交于B ，C ，则ABC 的面积为．【答案】6【分析】利用待定系数法求得a 、b 的值，求得点B ，C 的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可．解：∵一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过()2,0A ，把()2,0A 代入2y x a =+得，40a +=，∴4a =-，∴一次函数解析式为24y x =-，∴()0,4B -，把()2,0A y x b =-+得，20b -+=，∴2b =，∴一次函数解析式为2y x =-+，∴()0,2C ，∴=42=6BC --，∴12662ABC S =⨯⨯= ，故答案为：6．【点拨】本题考查两直线的交点问题、一次函数的图象上点的特征，通过已知点的坐标求函数解析式是解题的关键．【考点三】两点型【例3】（2023春·吉林长春·八年级校考期中）已知某一次函数y kx b =+的图像经过点(1,3)，(1,7)-，求这个一次函数的解析式．【答案】25y x =-+【分析】将(1,3)，(1,7)-代入y kx b =+求出k 、b 的值，再将k 、b 的值反回代入y kx b =+中，即可得到一次函数的解析式．解：将(1,3)，(1,7)-代入y kx b =+，得37k b k b=+⎧⎨=-+⎩，解得25k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数的解析式为25y x =-+．【点拨】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）若弹簧的总长度()cm y 是所挂重物x （千克）的一次函数图象如图，则不挂重物时，弹簧的长度是（）A ．5cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm【答案】B 【分析】先利用待定系数法求一次函数解析式，再令0x =，进行求解即可．解：设一次函数解析式为()0y kx b k =+≠，∵点()4,10、点()20,18在一次函数图象上，∴4102018k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得128k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数解析式为182y x =+，当0x =时，1=08=82y ⨯+，∴不挂重物时，弹簧的长度是8cm ，故选：B ．【点拨】本题考查利用待定系数法求一次函数解析式、求函数值，熟练利用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．【变式2】（2023春·安徽宿州·八年级校考开学考试）如图，直线24y x =+与x 轴、y 轴交于点A 、B ，M 、N 分别是AB 、OA 的中点，点P 是y 轴上一个动点，则PM PN +的最小值为，此时点P 的坐标为．【答案】()0,1【分析】如图，作点M 关于y 轴对称的点M '，连接M N '，由PM PN PM PN '+=+，可知当点P 在M N '上时，PM PN +的值最小，当0x =时，2044y =⨯+=，即B ()0,4；当0y =时，240x +=，解得2x =-，即A ()2,0-，由M 、N 分别是AB 、OA 的中点，可得M ()1,2-，N ()1,0-，M '()1,2，即M N ='，进而可得PM PN +的最小值，待定系数法求得直线M N '的表达式为1y x =+，当0x =时，011y =+=，即点P 的坐标为()0,1．解：如图，作点M 关于y 轴对称的点M '，连接M N '，∵PM PN PM PN '+=+，∴当点P 在M N '上时，PM PN +的值最小，当0x =时，2044y =⨯+=，即B ()0,4；当0y =时，240x +=，解得2x =-，即A ()2,0-，∵M 、N 分别是AB 、OA 的中点，∴M ()1,2-，N ()1,0-，∴M '()1,2，∴MN ='∴PM PN +的最小值为设直线M N '的表达式为()0y kx b k =+≠，将()1,2M '，()1,0N -代入得20k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线M N '的表达式为1y x =+，当0x =时，011y =+=，∴点P 的坐标为()0,1，故答案为：()0,1．【点拨】本题考查了一次函数解析式，对称的性质，勾股定理求两点之间的距离．解题的关键在于明确线段和最小的情况．【考点四】图像型【例4】（2023秋·贵州遵义·九年级校考阶段练习）如图，直线1l 的解析式为33y x =-+，且1l 与x 轴交于点D ，直线2l 经过点A 、B ，直线1l 、2l 交于点C ．（1）求ADC △的面积；（2）在直线2l 上存在异于点C 的另一点P ，使得ADP △与ADC △的面积相等，请求出点P 的坐标．【答案】（1）92；（2）()6,3【分析】（1）已知1l 的解析式，令0y =求出x 的值即可求出()1,0D ，设2l 的解析式为y kx b =+，由图联立方程组求出k ，b 的值，即可得直线2l 的解析表达式为362y x =-；联立方程组，求出交点C 的坐标，继而可求出ADC S △；（2）ADP △与ADC △底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC △高就是点C 到AD 的距离．解：（1）由33y x =-+，令0y =，得330x -+=，∴1x =，∴()1,0D ；设直线2l 的解析表达式为y kx b =+，由图象知：403x y x ===，；，32y =-，代入表达式y kx b =+，∴40332k b k b +=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，∴326k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线2l 的解析表达式为362y x =-；由33362y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得23x y =⎧⎨=-⎩，∴()2,3C -，∵3AD =，∴193322ADC S =⨯⨯-=△；（2）ADP △与ADC △底边都是AD ，面积相等所以高相等，ADC △高就是点C 到直线AD 的距离，即C 纵坐标的绝对值33=-=，则P 到AD 距离3=，∴P 纵坐标的绝对值3=，点P 不是点C ，∴点P 纵坐标是3，∵ 1.563y x y =-=，，，1.563x ∴-=，6x =，即()6,3P ．【点拨】本题考查的是一次函数的图象与性质，二元一次方程组，以及三角形面积的计算等有关知识，难度中等．掌握一次函数的图象与性质，是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·河南郑州·河南省实验中学校考模拟预测）如图是y 关于x 的一个函数图象，根据图象，下列说法正确的是（）A ．该函数的最小值为3-B ．当0x ≥时，y 随x 的增大而增大C ．当0x =时，对应的函数值12y =D ．当12x =和32x =时，对应的函数值相等【答案】C 【分析】分别求出1x ≥和1x ≤时的函数解析式，结合图象，逐一进行判断即可．解：A 、由图象可知，函数的最小值为2-；故该选项错误；B 、当1x ≥时，y 随x 的增大而增大，故该选项错误；C 、设1x ≤时，函数的解析式为y kx b =+，由图可知，点()()1,3,1,2--，在直线上，∴32k b k b =-+⎧⎨-=+⎩，解得：5212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴5122y x =-+，∴当0x =时，12y =，故该选项正确；D 、当12x =时，51132224y =-⨯+=-，设1x ≥时，函数的解析式为y mx n =+，由图可知，点()()3,1,1,2-在直线上，∴132m n m n =+⎧⎨-=+⎩，解得：3272m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴3722y x =-，∴当32x =时，975424y =-=-；∴当12x =和32x =时，对应的函数值不相等；故该选项错误；故选C ．【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是正确的求出函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解．【变式2】（2023秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，已知一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，有下列结论：①图象经过点()2,3；②关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；③当1x >时，0y <．其是正确的是．【答案】②③【分析】待定系数法求出函数解析式，根据图象法解方程，增减性判断函数值的变化情况，逐一进行判断即可．解：∵一次函数y kx b =+的图象与x 轴，y 轴分别交于点()1,0，点()0,2，∴02k b b =+⎧⎨=⎩，解得：22k b =-⎧⎨=⎩，∴22y x =-+，当2x =时，222y =-⨯+，=2y -；∴图象不经过点()2,3；故①错误；一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点()1,0，∴关于x 的方程0kx b +=的解为1x =；故②正确；由图象可知，y 随x 的增大而减小，∴当1x >时，0y <；故③正确；故答案为：②③【点拨】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求出函数解析式，利用函数的性质和图象法求解，是解题的关键．【考点五】斜截型【例5】（2019秋·安徽合肥·八年级校联考阶段练习）已知一次函数的图象平行于y ＝﹣13x ，且截距为1．（1）求这个函数的解析式；（2）判断点P （﹣2，13）是否在这个函数的图象上．【答案】（1）y ＝﹣13x +1；（2）不在．【分析】（1）根据两平行直线的解析式的k 值相等可求出k ，再由截距为1求出b 值，即可得解；（2）把点1(2,3P -代入函数解析式检验即可.解：（1）设这个函数的解析式为y kx b =+，∵一次函数的图象平行于13y x =-，且截距为1，1,13k b ∴=-=∴这个函数的解析式为113y x =-+；（2）当2x =-时，151((2)1333y =-⨯-+=≠，故点1(2,)3P -不在这个函数的图象上.【点拨】本题考查了一次函数的定义和性质，如果两条直线平行，则他们的函数解析式的k 值相等，这条性质常常用来解题，需熟记.【举一反三】【变式1】（2021秋·安徽六安·八年级校考阶段练习）若y 关于x 的一次函数y =（2m +1）x -m +3，y 随x 的增大而增大，且截距不大于1，则m 的取值范围是（）A ．m >-12B ．m ≥4C ．-12＜m ≤2D ．m ≥2【答案】D 【分析】根据题意，可得一次函数的0k >，1b ≤，据此列出不等式组，即可求得m 的取值范围．解：依题意，21031m m +>⎧⎨-+≤⎩解得2m ≥故选D ．【点拨】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，掌握一次函数的性质是解题的关键．【变式2】（2023春·上海闵行·八年级统考期末）直线y kx b =+在y 轴上的截距为3-，且平行于l ：y x =-，那么直线的表达式为．【答案】3y x =--/3y x=--【分析】根据互相平行的直线的解析式k 的值相等确定出k ，根据“在y 轴上的截距是3-”求出b 值，即可得解．解：∵直线y kx b =+平行于直线y x =-，∴1k =-．又∵直线y kx b =+在y 轴上的截距是3-，∴3b =-，∴这条直线的解析式是3y x =--．故答案为：3y x =--．【点拨】本题考查了两直线平行的问题，熟记并利用平行直线的解析式的k 值相等是解题的关键．【考点六】应用型【例6】（2022春·湖南怀化·八年级统考期末）一辆轿车在高速公路上匀速行驶，油箱存油量Q （升）与行驶的路程S （km ）成一次函数关系．若行驶100km 时，油箱存油43.5升，当行驶300km 时，油箱存油30.5升，请求出这个一次函数关系式，并写出自变量S 的取值范围．【答案】1350200Q S =-+，自变量S 的取值范围为3076913S ≤≤【分析】根据题目意思设出函数关系式，根据已知条件用待定系数法解出函数关系式中的参数，可得函数关系式，当0Q =时，此时的S 为最大值，最小值为0，即可写出S 的取值范围．解：设：Q mS n =+，根据题意的方程组43.510030.5300m n m n=⨯+⎧⎨=⨯+⎩，解得1320050m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则该一次函数解析式为：1350200Q S =-+，当0Q =时，13500200S -+=，∴3769km 13S =，∴自变量S 的取值范围为3076913S ≤≤．【点拨】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法确定函数解析式，注意函数自变量的取值范围应符合实际问题有意义是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）某商场为了增加销售额，推出“七月销售大酬宾”活动，其活动内容为：“凡七月份在该商场一次性购物超过100元以上者，超过100元的部分按9折优惠．”在大酬宾活动中，小王到该商场为单位购买单价为60元的办公用品x 件（x ＞2），则应付货款y （元）与商品件数x 的函数关系式是（）A ．y ＝54x （x ＞2）B ．y ＝54x ＋10（x ＞2）C ．y ＝54x ＋90（x ＞2）D ．y ＝54x ＋100（x ＞2）【答案】B【分析】由题意得2x >，则销售价超过100元，超过的部分为60x −100，即可得．解：∵2x >，∴销售价超过100元，超过部分为60x ﹣100，∴y ＝100+（60x ﹣100）×0.9＝54x +10（2x >，且x 为整数），故选：B ．【点拨】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系．【变式2】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）小胜参加2023年的高考，到达考点时发现没有带身份证，求助交警后，交警驱车载小胜迅速回到离考点2千米的家取身份证，并立即返回考场，小胜离考点行驶路程y （米）与时间x （分钟）之间的变化关系如右图所示，根据图像中的数据，写出y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式．【答案】()1000306y x x =≤≤【分析】根据待定系数法求解析式即可求解．解：设y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式为y kx =，将点()6,2000代入得，20006k =，解得：10003k =，∴y 与()06x x ≤≤之间的函数表达式为()1000306y x x =≤≤，故答案为：()1000306y x x =≤≤．【点拨】本题考查了待定系数法求解析式，数形结合是解题的关键．【考点七】面积型【例7】（2023春·八年级单元测试）如图1，在四边形ABCD 中，90B Ð=°，AD BC ∥，4AB =，6AD =．若动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿着BC CD DA →→的路线向终点A 运动．设点P 的运动时间为t 秒，图2是点P 出发t 秒后，ABP 的面积S 与t 的函数图像．（1）a =______，b =______；（2）求MN 所在直线对应的函数表达式；（3）运动几秒后，ABP 的面积为14？【答案】（1）92，7；（2）1214455S t =-+；（3）72秒或376秒【分析】（1）结合四边形ABCD 的形状、S 与t 的函数图像，判断出t a =，t b =，10t =时，点P 的位置，利用时间、速度、路程的关系即可求解；（2）求出点M ，N 的坐标，利用待定系数法求解；（3）ABP 的面积为14时，对应的点在线段OM 或MN 上，将14S =代入对应直线的函数解析式即可求解．（1）解：由图可知，当t a =时，点P 运动到点C ，当t b =时，点P 运动到点D ，当10t =时，点P 运动到点A ，∴2BC a =，()210CD DA a +=-由图可知，点P 运动到点C 时，18ABP S = ，∴1141822BC AB BC ⋅=⋅=，解得9BC =，∴922BC a ==，∴9210112CD DA ⎛⎫+=⨯-= ⎪⎝⎭，∴111165CD DA =-=-=，∴957222CD b a =+=+=，故答案为：92，7；（2）解：由（1）知点M 的坐标为9,182⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当t b =时，点P 运动到点D ，∴当t b =时，11461222ABP S AB AD =⋅=⨯⨯= ，∴点M 的坐标为()7,12，设MN 所在直线对应的函数表达式为S mt n =+，将9,182M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()7,12N 代入，得：9182127m n m n ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩，解得1251445m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1214455S t =-+；（3）解：由题意知，ABP 的面积为14时，对应的点在线段OM 或MN 上，当对应的点在线段OM 上时，设OM 的函数解析式为=S kt ，将9,182M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得：9182k =，解得4k =，∴OM 的函数解析式为4S t =，当14S =时，14742t ==；当对应的点在线段MN 上时，当14S =时，121441455t =-+，解得376t =，综上可知，运动72秒或376秒后，ABP 的面积为14．【点拨】本题考查一次函数的实际应用，涉及三角形面积公式、求一次函数解析式及自变量的值等，解题的关键是根据图形判断出不同时间段内点P 的位置．【举一反三】【变式1】（2023春·河南商丘·八年级统考期末）如图，已知直线1:24l y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，那么过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 的解析式为（）A ．y x=B ．2y x =C ．3y x =D ． 1.5y x=【答案】B 【分析】根据直线与坐标轴的交点坐标求法得到A 、B 两点坐标，再由AOB 的面积被中线平分得到AB 中点坐标，利用待定系数法即可求出过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 的解析式．解： 直线1:24l y x =-+与坐标轴分别交于A 、B 两点，∴当0x =时，4y =，即()0,4B ；当0y =时，024x =-+，解得2x =，即()2,0A ；由三角形中线平分三角形面积可知，过原点O 且将AOB 的面积平分的直线2l 过AB 中点，∴AB 中点为0240,22++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()1,2，设直线2l 的解析式为2:l y kx =，将()1,2代入2:l y kx =得到2k =，则2y x =，故选：B ．【点拨】本题考查待定系数法求直线解析式，涉及求直线与坐标轴交点坐标、中线平分三角形面积、中点坐标求法等知识，熟练掌握一次函数图像与性质是解决问题的关键．【变式2】（2023春·上海·八年级专题练习）已知直线()0y kx b k =+≠与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过()2,0，则这条直线的表达式是．【答案】36y x =-+或36y x =-【分析】先根据面积求出三角形在y 轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解．解：根据题意，设与y 轴交点坐标为()0b ，则1262b ⨯⨯=，解得6b =，6b ∴=±，①当6b =时，与y 轴交点为()06，∴206k b b +=⎧⎨=⎩，解得36k b =-⎧⎨=⎩，∴函数解析式为36y x =-+；②当6b =-时，与y 轴的交点为()06-，∴206k b b +=⎧⎨=-⎩解得36k b =⎧⎨=-⎩，∴函数解析式为36y x =-．∴这个一次函数的解析式是36y x =-+或36y x =-．故答案为：36y x =-+或36y x =-．【点拨】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y 轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况．【考点八】平移型【例8】（2022春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）已知直线1l 经过()0,3A -、()2,0B ．（1）求直线1l 的解析式及1l 与坐标轴围成的图形的面积；（2）将1l 向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到直线2l ，直接写出2l 的解析式______．【答案】（1）332y x =-；3；（2）3922y x =-【分析】（1）用待定系数法求出直线1l 的解析式，根据三角形面积公式求出与坐标轴围成的图形的面积即可；（2）根据平移的规律求出直线2l 的解析式即可．（1）解：设直线1l 的解析式为()0y kx b k =+≠，把()0,3A -、()2,0B 代入得：320b k b =-⎧⎨+=⎩，解得：323k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线1l 的解析式为332y x =-；直线1l 与坐标轴围成的图形的面积为13232S =创=．（2）解：将1l 向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度后得出的直线2l 的解析式为：()31332y x =+--，即3922y x =-，故答案为：3922y x =-．【点拨】本题主要考查了求一次函数解析式，直线与坐标轴围成的图形面积，一次函数的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法和平移规律．【举一反三】【变式1】（2023春·云南昆明·八年级统考期末）把直线6y x =向上平移后得到直线AB ，若直线AB 经过点(),m n ，且64n m -=，则直线AB 的表达式为（）A ．64y x =-+B ．64y x =--C ．64y x =-D ．64y x =+【答案】D【分析】设向上平移d 个单位，则平移后的直线AB 的解析式为6y x d =+，根据题意直线AB 经过点(),m n ，得出6d n m =-，结合已知条件，即可求解．解：设向上平移d 个单位，则平移后的直线AB 的解析式为6y x d =+，∵直线AB 经过点(),m n ，∴6n m d =+，即6d n m =-，又64n m -=，∴4d =，∴直线AB 的解析式为64y x =+，故选：D ．【点拨】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．【变式2】（2022·江苏苏州·统考一模）如图，已知()1,6A 为直线:2l y x b =-+上一点，先将点A 向下平移a 个单位长度，再向右平移4个单位长度至点B ，再将点B 向下平移a 个单位长度至点C ．若点C 恰好落在直线l 上，则a 的值为．【答案】4【分析】先将点A 代入y =-2x +b 求得b 的值，得到直线的解析式，然后用含有a 的式子表示点C ，再将点C 的坐标代入直线的解析式求得a 的值．解：点A （1，6）代入y =-2x +b 得，-2×1+b =6，解得：b =8，∴直线l 的解析式为y =-2x +8，∵点A 向下平移a 个单位长度，再向右平移4个单位长度至点B ，再将点B 向下平移a 个单位长度至点C ，∴点C 的坐标为（5，6-2a ），将点C 的坐标代入直线的解析式y =-2x +8得，-2×5+8=6-2a ，解得：a =4，故答案为：4．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键用待定系数法求得一次函数的解析式．【考点九】对称型【例9】（2023春·河南洛阳·八年级统考期末）如图，在矩形ABCO 中，点C 在x 轴上，点A 在y 轴上，点B 的坐标是(68)，，ABD △与EBD △关于直线BF 对称，且点E 在对角线OB 上．（1）求线段OB 的长；（2）求点D 的坐标及直线BF 的函数表达式．【答案】（1）10；；（2）13(0,3，1113183y x =+．【分析】（1）根据点B 的坐标，利用勾股定理直接计算出OB 长；（2）设DE x =，则AD x =，8=-OD x ，4OE =，利用勾股定理可求出OD 长，点的坐标可求，根据B 、D 坐标，待定系数法可求直线BF 解析式．解：（1）∵点B 的坐标是(68)，，∴6OC =，8BC =，在Rt BOC 中，由勾股定理得：10OB ===；（2）∵ABD △与EBD △关于直线BF 对称，∴90DEO DEB BAO ∠=∠=∠=︒，AD DE =，6AB BE ==，在Rt DEO △中，设DE x =，则AD x =，8=-OD x ，4OE OB BE =-=，由勾股定理得222DE OE OD +=得，()22246x x +=-，解得53x =，∴513633OD =-=，∴1303D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设BF 的解析式为133y kx =+，∵(68)B ，在直线BF 上，∴13863k =+，∴1118k =，∴BF 的解析式为1113183y x =+．【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，勾股定理，轴对称的性质，待定系数法求函数解析式，根据条件灵活设解析式便于简化计算．【举一反三】【变式1】（2023秋·全国·八年级专题练习）在平面直角坐标系中，直线3y x b =-+与直线1y kx =-关于直线2x =对称，则k ，b 的值分别为（）A ．3k =-，11b =B ．3k =，11b =C ．13k =，1b =D ．13k =-，1b =【答案】B【分析】根据直线y =－3x ＋b 与直线y =kx －1关于直线x =2对称，可知这两条直线上的点也关于直线x =2对称，然后根据直线y =kx －1上的定点（0，－1）关于直线x =2的对称点（4，－1）可以求出b 的值，然后根据直线y =－3x ＋11与直线x =2的交点为：（2，5）也在直线y =kx －1，即可求出k 的值．解：∵直线y =－3x ＋b 与直线y =kx －1关于直线x =2对称，∴这两条直线上的点也关于直线x =2对称，∵直线y =kx －1必过点（0，－1），∴点（0，－1）关于直线x =2的对称点（4，－1）在直线y =－3x ＋b 上，∴－1=－3×4＋b ，解得：b =11，∴直线y =－3x ＋b 即为：y =－3x ＋11，∵直线y =－3x ＋11与直线x =2的交点为：（2，5），∴点（2，5）一定在直线y =kx －1上，∴5=2k －1，解得：k =3．故选：B ．【点拨】本题主要考查用待定系数法一次函数的解析式和轴对称的性质，熟练掌握一次函数的图像、轴对称的性质以及利用数形结合思想是解题关键．【变式2】（2021·山东临沂·统考一模）定义：若两个函数的图象关于直线y =x 对称，则称这两个函数互为反函数．请写出函数y =-2x +1的反函数的解析式．【答案】y =-12x +12【分析】首先可求得函数y =-2x +1与x 轴和y 轴的交点坐标，再求得它们关于直线y =x 对称点的坐标，据此即可求得函数y =-2x +1的反函数的解析式．解：在y =-2x +1中，当x =0时，y =1，当y =0时，x =12，即函数和x 轴的交点为（12,0），和y 轴的交点坐标为（0,1），所以两点关于直线y =x 对称的点的坐标分别为（0,12）和（1,0），设函数y =-2x +1的反函数的解析式为y =kx +b （k ≠0），把（0,12）和（1,0）代入，可得：120b k b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得：1212k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴函数y =-2x +1的反函数的解析式为y =-12x +12，故答案为：y =-12x +12．【点拨】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，理解新定义，求出已知点关于直线y =x 对称点的坐标是解决本题的关键．。
北师大版初二上-一次函数讲义全精选全文
可编辑修改精选全文完整版第四章：一次函数◆4.1函数1．函数的概念一般地,在一个变化过程中有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定了一个y 值,那么我们称y是x的函数．其中x是自变量,当自变量取一个值时,另一个变量就有唯一确定的值与它对应,这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据．辨误区自变量与另一个变量的对应关系若y是x的函数,当x取不同的值时,y的值不一定不同．如：y＝x2中,当x＝2,或x＝－2时,y的值都是4.[例1－1] 下列关于变量x,y的关系式：①x－3y＝1；②y＝|x|；③2x－y2＝9.其中y是x 的函数的是< >．A．①②③ B．①② C．②③ D．①②[例1－2] 已知y＝2x2＋4,<1>求x取错误!和－错误!时的函数值；<2>求y取10时x的值．.谈重点函数中变量的对应关系当自变量取一个值时,另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值,则自变量并不一定有唯一的值与之相对应,所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．2．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式,也称为函数解析式或关系表达式．谈重点函数关系式中的学问①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量,哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量,等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如,y＝x＋1是表示y是x的函数．若写成x＝y－1就表示x是y的函数．也就是说：求y与x的函数关系式,必须是用只含变量x的代数式表示y,即得到的等式<解析式>左边只含一个变量y,右边是含x的代数式．[例2]已知等腰三角形的周长为36,腰长为x,底边上的高为6,若把面积y看做腰长x的函数,试写出它们的函数关系式．3．自变量的取值范围<1>使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围．<2>自变量的取值范围的确定方法：首先,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．当解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数；当解析式是二次根式时,自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数不为0；其次,当函数解析式表示实际问题时,自变量的取值还必须使实际问题有意义．[例3]若等腰三角形的周长为50 cm,底边长为x cm,一腰长为y cm,y与x的函数关系式为y＝错误!<50－x>,则变量x的取值范围是__________．4．函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：列表法、图象法、解析法,以解析法应用较多．有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示,而有的只能用其中的一种或两种来表示．<1>列表法：列一张表,第一行表示自变量取的各个值,第二行表示相应的函数值,这种表示函数关系的方法称为列表法．<2>图象法：通过建立平面直角坐标系,以自变量取的每一个值为横坐标,以相应的函数值为纵坐标,描出每一个点,由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象,这种表示函数关系的方法称为图象法．<3>解析法：用式子表示函数关系的方法称为解析法,这样的式子称为函数的解析式．析规律函数的三种表示方法三种表示方法各有优缺点,应用时要视具体情况,选择适当的表示方法,或将三种方法结合使用．①列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值,缺点是取值有限；②图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质,缺点是求得的函数值是近似的；③解析法：优点是简明扼要、规范准确,并且可以根据解析式列表、画图象,进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式,只能列出表格或画出图象来表示．[例4] 你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水,乌鸦想喝,但是嘴够不着瓶中的水,于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中,瓶中水面的高度随石子的增多而上升,乌鸦喝到了水．但是还没解渴,瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度,乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中,水面又上升,乌鸦终于喝足了水,哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x ,瓶中水面的高度为y ,下面能大致表示上面故事情节的图象是< >．5.怎样判定函数关系<1>从关系式判定函数由函数的定义知道,在某个变化过程中,有两个变量x 和y ,对于x 每一个确定的值,y 都有且只有一个值与之对应,当x 取不同的值时,y 的值可以相等也可以不相等,但如果一个x 的值对应着两个不同的y 值,那么y 一定不是x 的函数．根据这一点,我们可以判定一个关系式是否表示函数．<2>从表格中判定函数根据函数的定义知道,从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量,再看对于变量x 每一个确定的值,y 是否都有唯一的值和它对应,也就是说x 若取相同的值,y 必须是相同的值．<3>从图象上判定函数根据函数的定义知道,每一个x 值只能对应唯一的一个y 值,因此要判断哪些图形表示的是函数,只要在所给的自变量的取值范围内任作一条垂直于x 轴的直线,若直线与所给图形只有一个交点,则说明这个图形表示的是函数,若交点不止一个,则一定不是函数．[例5－1] 下列表格中能反映y 是x 的函数的是< >．A x －1 1 2 3 －1 y 0 2 4 8 10B x 0 1 2 3 0 y －2 2 3 4 6C x 2 2 2 2 2 y －1 0 1 1 3D x －1 1 2 3 4 y 0 2 4 8 10[例5－2] y x 6.如何判断同一函数学习了函数的概念,判断两个函数是否表示同一函数要看它们是不是满足以下三个条件：<1>自变量的取值范围完全相同．<2>函数值的取值范围完全相同．<3>变形后,两个函数的解析式是一致的,即自变量和函数的对应关系完全相同．如果两个函数满足以上三个条件,那么它们是同一函数．解答这类问题的关键是正确理解上述的三个条件．☆函数的自变量取值范围和解析式为函数的两个基本条件,判断两个函数是否相等的关键是看自变量取值范围和解析式.自变量取值范围和函数值分别相同的函数不一定是相等函数.[例6-1] 下列函数中,与y ＝x 表示同一个函数的是< >．A ．y ＝错误!B ．y ＝|x |C ．y ＝<错误!>2D ．y ＝错误![例6-2]下列各组函数中,哪些是同一函数：①y x =与1y x =+；②1,y x x =-为实数,与1,y x x =-为自然数；③24y x =-与22y x x =-+④11y x =+与11u x =+； ⑤2y x x =2y x =； ⑥2||y x =与2,02,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩； 7．函数图象的实际应用函数的图象是由点组成的,每个点都具有实际意义,利用函数的图象可以反映实际问题中的关系,同样通过观察函数的图象也可以得到关于实际问题的相关信息．可以说,函数的图象是我们解决实际问题的有效手段和重要的工具．解决函数图象选择问题的关键是在阅读反映实际问题的文字语言的同时,对图象进行观察、分析,获取有效的解题信息．解答这类问题主要是利用数形结合的思想分析问题、解决问题．[例7]父亲节,学校"文苑"专栏登出了某同学回忆父亲的小诗："同辞家门赴车站,别时叮咛语千万,学子满载信心去,老父怀抱希望还．"如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离,横轴t表示离家的时间,那么下面与上述诗意大致吻合的图象是< >．………………………………………………………………………………◆4.2一次函数与正比例函数1．一次函数的定义若两个变量x,y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b<k,b为常数,k≠0>的形式,则称y是x的一次函数<x是自变量>．谈重点一次函数的条件函数是一次函数必须符合下列两个条件：<1>关于两个变量x,y的次数是1；<2>必须是关于两个变量的整式．[例1]下列函数中,是一次函数的是< >．A．y＝7x2B．y＝x－9 C．y＝错误! D．y＝错误!2．正比例函数的定义对于一次函数y＝kx＋b,当b＝0,即y＝kx<k为常数,且k≠0>时,我们称y是x的正比例函数．辨误区一次函数与正比例函数的关系需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况,特殊之处在于b＝0,且k≠0,因此,正比例函数一定是一次函数,但一次函数并不一定是正比例函数．[例2]下列函数中,是正比例函数的是< >．A．y＝－2x B．y＝－2x＋1 C．y＝－2x2D．y＝－错误!辨误区正比例函数的判断要判断一个函数是否是正比例函数,首先看它是否为一次函数,也就是能否转化为y＝kx ＋b<k≠0>的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数,函数解析式能否转化为y＝kx<k≠0>的形式．3．根据条件列一次函数关系式列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法,解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题,抓住关键词,找出问题中的变量并用字母表示,然后根据题意列出函数关系式．点技巧如何列函数关系式列关系式时,一定要先知道两个变量,并且弄清谁是自变量．[例3] 甲、乙两地相距30 km,某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h到达丙地,并继续向乙地走．<1>试分别确定甲、丙两地距离s1<km>及丙、乙两地距离s2<km>与时间t<h>之间的函数关系式．<2>它们是什么函数．4．一次函数与正比例函数的联系与区别若两个变量x,y之间的关系可以表示成y＝kx＋b<k,b为常数,k≠0>的形式,则称y是x 的一次函数,特别地当b＝0时,称y是x的正比例函数,显然正比例函数是一次函数,而一次函数不一定是正比例函数,正比例函数是一次函数的特殊情况．区别：①正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数；②正比例函数的图象一定经过原点及经过两个象限,但一次函数一般不经过原点,通常情况下要经过三个象限．__①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b＝0时,一次函数转化为正比例函数,因此正比例函数是一次函数的特例．[例4－1]在下列函数中,x是自变量,哪些是一次函数？哪些是正比例函数？<1>y＝3x；<2>y＝错误!；<3>y＝－3x＋1；<4>y＝x2.[例4－2] 已知正比例函数中自变量每增加一个单位,函数值就减少2个单位,求函数的解析式．5．用一次函数解决实际问题函数与我们的生活息息相关,生活中的许多问题可以通过函数得以解决,如何才能正确地确定两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题基本相似,即弄清题意和题目中的数量关系,找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系,根据这个相等的数量关系式,列出所需的代数式,从而列出两个变量之间的关系式．辨误区写解析式,定自变量的范围通常确定一个函数,不仅要确定这个函数的解析式,还要确定这个函数的自变量的取值范围．[例5] 一天老王骑摩托车外出旅游,刚开始行驶时,油箱中有油9 L,行驶了1 h后发现已耗油1.5 L.<1>求油箱中的剩余油量Q<L>与行驶的时间t<h>之间的函数关系式,并求出自变量t的取值范围；<2>如果摩托车以60 km/h的速度匀速行驶,当油箱中的剩余油量为3 L时,老王行驶了多少千米？………………………………………………………………………………◆4.3一次函数的图象1．函数的图象对于一个函数,我们把它的自变量x与对应的变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出它的对应点,所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象．谈重点函数图象与点的坐标的关系<1>函数图象上的任意点P<x,y>必满足该函数关系式．<2>满足函数关系式的任意一对x,y的值,所对应的点一定在该函数的图象上．<3>判定点P<x,y>是否在函数图象上的方法是：将点P<x,y>的坐标代入函数表达式,如果满足函数表达式,这个点就在函数的图象上；如果不满足函数的表达式,这个点就不在函数的图象上．[例1] 判断下列各点是否在函数y＝2x－1的图象上．A<2,3>, B<－2,－3>．2．函数图象的画法画函数图象的一般步骤：<1>列表：列表给出自变量与函数的一些对应值,通常把自变量x的值放在表的第一行,其对应函数值放在表的第二行,其中x的值从小到大．<2>描点：以表中每对对应值为坐标,在平面直角坐标系内描出相应的点．描点时一般把关键的点准确地描出,点取得越多,图象越准确．<3>连线：按照自变量从小到大的顺序,把所描的点用平滑的曲线连接起来．释疑点平滑曲线的特点所谓的"平滑曲线",现阶段可理解为符合图象的发展趋势、让人感觉过渡自然、比较"平""滑"的线,实际上有时是直线．[例2] 作出一次函数y＝－2x－1的图象．分析：取几组对应值,列表,描点,连线即可．解：列表：x …－2－101…y …31－1－3…描点：以表中各组对应值作为点的坐标,在坐标系中描出相应的点．连线：把这些点连起来．注：一次函数y＝－2x－1的图象是直线,连线时,两端要露头．3.一次函数的图象和性质<1>一次函数的图象和性质①一次函数的图象：一次函数y＝kx＋b<k≠0>的图象是一条直线．由于两点确定一条直线,因此画一次函数的图象,只要描出图象上的两个点错误!,过这两点作一条直线就行了．我们常常把这条直线叫做"直线y＝kx＋b"．②一次函数中常量k,b<k≠0>：直线y＝kx＋b<k≠0>与y轴的交点是<0,b>,当b＞0时,直线与y轴的正半轴相交；当b＜0时,直线与y轴的负半轴相交；当b＝0时,直线经过原点,此时一次函数即为正比例函数．一次函数y＝kx＋b中的k,决定了直线的倾斜程度,k的绝对值越大,则直线越接近y轴,反之,越靠近x轴．③一次函数y＝kx＋b<k≠0>的性质：当k＞0时,直线y＝kx＋b从左向右上升,函数y的值随自变量x的增大而增大；当k＜0时,直线y＝kx＋b从左向右下降,函数y的值随自变量x的增大而减小．<2>正比例函数的图象和性质①正比例函数的图象：一般地,正比例函数y＝kx<k是常数,k≠0>的图象是一条经过原点的直线,我们称它为直线y＝kx.在画正比例函数y＝kx的图象时,一般是经过点<0,0>和<1,k>作一条直线．②正比例函数y＝kx的性质：当k＞0时,直线y＝kx经过第一、三象限,从左往右上升,即y随x的增大而增大；当k＜0时,直线y＝kx经过第二、四象限,从左往右下降,即y随x 的增大而减小．[例3－1]作出一次函数y＝－3x＋3的图象．[例3－2]若一次函数y＝<2m－6>x＋5中,y随x增大而减小,则m的取值范围是________．[例3－3]下图表示一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx<k,b是常数,且k≠0>图象的是< >．4．k,b的符号与直线所过象限的关系学习了一次函数y＝kx＋b<k≠0>,我们知道一次函数图象经过哪些象限是由k,b的符号决定的．一般分为四种情况：<1>k＞0,b＞0时,图象过第一、二、三象限；<2>k＞0,b＜0时,图象过第一、三、四象限；<3>k＜0,b＞0时,图象过第一、二、四象限；<4>k＜0,b＜0时,图象过第二、三、四象限．析规律 k,b的符号与直线的关系根据一次函数y＝kx＋b中k,b的符号可以确定图象所经过的象限；根据函数图象所经过的象限,可以确定k,b的符号．解决有关问题,应熟练把握k,b的符号与函数图象所经过象限的几个类型,并能灵活应用．[例4－1] 一次函数y＝kx＋b的图象经过第二、三、四象限,则正比例函数y＝kbx图象经过哪个象限？[例4－2]如图是一次函数y＝kx＋b的图象的大致位置,试分别确定k,b的正负号,并判断一次函数y＝<－k－1>x－b的图象所经过的象限．5.一次函数图象与坐标轴的交点一次函数的图象是直线,这条直线与x轴交于点错误!,与y轴交于点<0,b>．考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：<1>判定直线所过的象限,一般给出函数关系式,判定直线经过哪几个象限或确定不经过哪个象限．<2>求直线的解析式,一般先设出函数关系式为y＝kx＋b<k≠0>,把已知的两点的坐标分别代入,求出k,b的值即可．<3>求两交点与坐标轴围成的三角形的面积,由于这个三角形是直角三角形,利用面积公式即可．[例5] 如图,已知直线y＝kx－3经过点M<－2,1>,求此直线与x轴,y轴的交点坐标,并求出与坐标轴所围的三角形的面积．6．关于一次函数的最值问题对于一般的一次函数,由于自变量的取值范围可以是全体实数,因此不存在最大、最小值<简称"最值">,但在实际问题中,因题目中的自变量受到实际问题的限制,所以就有可能出现最大值或最小值．求解这类问题,先分析问题中两个变量之间的关系是否适合一次函数模型,再在自变量允许的取值范围内建立一次函数模型．运用一次函数解决实际问题的关键是根据一次函数的性质来解答．除正确确定函数表达式外,利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键．"在生活中学数学,到生活中用数学",是新课标所倡导的一个主旨之一,在考题中,有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题,考查同学们利用所学知识求解实际问题的能力．[例6] 某报刊销售亭从报社订购晚报的价格是0.7元,销售价是每份1元,卖不掉的报纸可以以每份0.2元的价格退回报社,若每月按30天计算,有20天每天可卖出100份报纸,其余10天每天只能卖出60份,但每天报亭从报社订购的份数必须相同,报亭每天从报社订购多少份报纸,才能使每月所获得的利润最大？………………………………………………………………………………◆4.4一次函数的应用1．确定一次函数表达式<1>借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点,若过原点,则为正比例函数,可设其关系式为y＝kx<k≠0>；若不过原点,则为一次函数,可设其关系式为y＝kx＋b<k≠0>；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数,只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数,则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y＝kx或y＝kx＋b中,求出其中的k,b,即可确定出其关系式．<2>确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件①由于正比例函数y＝kx<k≠0>中只有一个未知系数k,故只要一个条件,即一对x,y的值或一个点的坐标,就可以求出k的值,确定正比例函数的表达式．②一次函数y＝kx＋b<k≠0>有两个未知系数k,b,需要两个独立的关于k,b的条件,求得k,b的值,这两个条件通常是两个点的坐标或两对x,y的值．[例1]如图,直线AB对应的函数表达式是< >．A．y＝－错误!x＋3 B．y＝错误!x＋3 C．y＝－错误!x＋3 D．y＝错误!x＋3点技巧用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数,故应设成y＝kx＋b<k≠0>的形式,再将A,B两点坐标代入该关系式,即可求出k,b,从而确定出具体的关系式．2．待定系数法<1>定义：先设出式子中的未知系数,再根据条件求出未知系数,从而写出这个式子的方法,叫做待定系数法,其中的未知数也称为待定系数．<2>用待定系数法求解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x,y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中,得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程<组>,得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中,得到所求函数的解析式．[例2－1] 一次函数图象如图所示,求其解析式．[例2－2] 在直角坐标系中,一次函数y＝kx＋b的图象经过三点A<2,0>,B<0,2>,C<m,3>,求这个函数的表达式,并求m的值．解：根据题意,得2k＋b＝0①,b＝2, km＋b＝3②,把b＝2代入①,得2k＋2＝0,即k＝－1；把b＝2,k＝－1代入②,得m＝－1.故函数的表达式为y＝－x＋2.3．一次函数的实际应用<1>通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题,要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析,观察函数图象时,首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么,也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系．释疑点函数图象中的特殊点观察图象获取信息时,一定要注意图象上的特殊点,这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助．<2>一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数,它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用．利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点,这部分内容在中考中占有重要的地位．谈重点函数y＝kx＋b图象的变化形式在实际问题中,当自变量的取值范围受到一定的限制时,函数y＝kx＋b<k≠0>的图象就不再是一条直线．要根据实际情况进行分析,其图象可能是射线、线段或折线等等．[例3－1]甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y<m>与挖掘时间x<h>之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题：<1>乙队开挖到30 m时,用了________ h．开挖6 h时甲队比乙队多挖了__________ m.<2>请你求出：①甲队在0≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式；②乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式．<3>当x为何值时,甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？[例3－2] 某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同．设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国有出租车公司的月费用是y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象<两条射线>如图,观察图象回答下列问题：<1>每月行驶的路程在什么范围内时,租国有出租车公司的车合算？<2>每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同？<3>如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km,那么这个单位租哪家车合算？析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中,当取相同的自变量时,下方图象对应的函数的函数值小；交点处的函数值相等．4．一次函数和一元一次方程的关系当一次函数y＝kx＋b<k≠0>中的函数值为0时,可得0＝kx＋b即kx＋b＝0,这在形式上变成了求关于x的一元一次方程,也就是说,当一次函数y＝kx＋b的函数值为0时,相应的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；若从图象上来看,则可看做函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标,即为方程kx＋b＝0的解．由此可见,方程与函数是密不可分的．[例4] 某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验,实验中汽车视为匀速行驶．已知油箱中的余油量y<L>与行驶时间t<h>的关系如下表,与行驶路程x<km>的关系如下图．请你根据这些信息求A行驶时间t<h>012 3油箱余油量y<L>1008468525一次函数y＝kx＋b<k≠0>的图象可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到<当b ＞0时,向上平移；当b＜0时,向下平移>．实际上就是指一次函数y＝kx＋b的图象沿y轴平移时,在b的位置上按照"上加下减"的规律进行．如：一次函数l1：y＝错误!x＋2的图象可以看做是由正比例函数l：y＝错误!x的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到的；一次函数l2：y＝错误!x－2的图象可以看做是由正比例函数l：y＝错误!x的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到的．思考：函数图像左右移动解析式如何变化呢？[例5] 如图所示,将直线OA向上平移1个单位长度,得到一个一次函数的图象,那么这个一次函数的解析式是__________．析规律平移中的函数解析式解决平移问题可以对性质进行记忆直接运用,也可以找出平移后借助坐标系运用待定系数法求解．平移前后k的值不变,改变的是b的值．6.函数、方程和不等式的完美结合从"数"的角度看,由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0<a,b为常数,且a≠0>的形式,所以解一元一次方程可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值为0时,求相应的自变量的值；反之,求自变量x为何值时,一次函数y＝ax＋b的值为0,只要求出方程ax＋b＝0的解即可．由于任何一元一次不等式都可以转化为类似ax＋b＞0或ax＋b＜0的形式,所以解一元一次不等式可以看做：当一次函数y＝ax＋b的值大<小>于0时,求自变量相应的取值范围；反之,求一次函数y＝ax＋b的值何时大<小>于0时,只要求出不等式ax＋b＞0或ax＋b＜0的解集即可．从一元一次方程、一元一次不等式与一次函数的关系可以看出,三者最终能用函数观点统一起来,并且达到一种完美的结合,这种结合,又常常在一些考题中得以体现．。
(完整版)北师大版八年级上一次函数经典例题
一次函数例题11、函数的定义及自变量的取值范围例1：求下列函数中自变量x 的取值范围：(1)21+=x y ； (2)2-=x y ．例2：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）A ．．． D ．例3：函数y =x 的取值范围是___________.例4：已知函数221+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是 （ ） A.2325≤<-y B.2523<<y C.2523<≤y D.2523≤<y 2、一次函数的定义例1：有下列函数：①y ＝－x －2；②y ＝－2x；③y ＝－x 2＋（x +1）(x －2)；④y ＝－2， 其中不是一次函数的是 ．（填序号）例2：要使y ＝（m －2）x n －1＋n 是关于x 的一次函数，则m 、n 应满足______________． 例3：已知y =(k －1)2k x 是正比例函数，则k = ． 3、正比例函数的图形及性质例1 已知正比例函数y = kx ( k ≠0 ) 的图象过第二、四象限，则（ ）A ．y 随x 的增大而减小B ．y 随x 的增大而增大C ．当x <0时，y 随x 的增大而增大，当x >0时，y 随x 的增大而减小D ．不论x 如何变化，y 不变例2 已知32)12(--=m xm y 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则m 的值为_______. 4、一次函数的图形及性质例1：已知函数y =(m －3)x －32，当m________时，y 随x 的增大而增大；当m _________时，y 随x 的增大而减小．例2：已知正比例函数y =(3k －1)x ，y 随着x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ）A ．k <0B ．k >0C ．k <13D ．k >13例3：如图，表示一次函数与正比例函数（为常数，且）图象的是（ ）5、线的平移例1：在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象．y ＝2x 与y ＝2x ＋3观察y ＝2x 与y ＝2x ＋3两条直线，它们有什么样的位置关系?请回答：两条直线11y b kx +=与22b kx y +=平行，那么1k ____2k ，1b ____2b 例2：直线y ＝－2x 与直线y ＝－2x －4的位置关系是__________．函数y ＝－2x －4图象可以由函数y ＝－2x 的图象向______平移_____个单位得到．6、用待定系数法求解析式例1：已知正比例函数的图象如下图如示，则正比例函数的解析式为多少?例4. 若一次函数y =kx +b 的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解析式为_____________.例5、若正比例函数y = kx 的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_____________. 例6. 直线y ＝2x ＋8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______.例7、已知一次函数的图象经过A (－2，－3)，B (1，3)两点.(1)求这个一次函数的解析式；(2)试判断点P (－1，1)是否在这个一次函数的图象上；(3)求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积.y mx n =+y mnx =m n ，mn 0≠Ｏ x y x y Ｏ x y Ｏ xy Ｏ ＡＢC ． D ．。
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【函数与变量】
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量，如圆的面积2
S r π=，S 与r 是变量，π是常量
注意：在某一变化过程中，变量、常量都可能有多个。
常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变） 【函数的概念】
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，并且对于x 在它允许取值范围内的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。
（实际上，函数说的就是y 是怎么样随着x 的变化而变化的，也可以管y 叫x 的变化规律）
对函数概念的理解： （1）有两个变量
（2）一个变量的数值随着另一个变量的变化而变化
（3）自变量每确定一个值，函数有一个并且只有一个值与之对应（或多个x 的值可以对应一个y 值但不能
一个x 值对应多个y 值，如y=x 2和x 2
=y ）
(4) 我们习惯上设y 为函数，但不表示其它字母不可以作为函数，如s=vt x=6y (5)我们在写函数的时候把函数写在等号的左边，把自变量写在等号的右边例：y=2x-1 例：下列变量之间的关系不是函数关系的是（ B ）
A 、长方形的宽一定，其长与面积
B 、正方形的周长与面积
C 、等腰三角形的底边与面积
D 、球的体积与球的半径 【函数的表示方法】
（1）列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫列表法。
优点：能明显地呈现出自变量与对应的函数值
缺点：只能列出部分自变量与函数的对应值，难以从表格中看出自变量与函数之间的对应规律 （2）解析法：用数学式子表示函数的方法叫解析法。
优点：简明扼要，规范准确，便于分析推导函数的性质 缺点：有些函数关系，不能用解析式表示
（3）图像法：对于一个函数，把自变量与函数的每组对应值作为点的横纵坐标在直角坐标系中画出来 ，由这些点组成的图形叫这个的图像
优点：形象直观，能清晰呈现函数的一些性质
缺点：所画的图像是近似的，局部的，从图像上观察的结果也是近似的 【函数图像的意义】
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形就是函数的图像。
如：某同学在几个月份的考试中；月份和考试成绩的关系用图形表示出来 注意：（1）函数图像上任意一点P （x,y ）中的x 和y 满足函数关系式，反之，满足函数关系式的任意一对x 和y 的值组成的点（x,y ）一定在函数的图像上
（2）判断点P （x,y ）是否在函数图像上的方法是：将点的坐标（x,y ）代入函数关系式，如果满足函数关系式，则这个点就在函数图像上，否则这个点就不在函数图像上。
例：已知点（2，7）在函数2
6y ax =+的图像上，求a 的值，并判断点（4，12）是否在该函数的图像上 【画函数图像的步骤】1、列表2、描点3、连线。
如：请在坐标系中画出y=x ，y=x+1，y=x-1，y=x+2的图像 【自变量取值范围】
（1）自变量的取值必须使含自变量的代数式都有意义。
在初中范围内没有意义的三种情况是（1）0
0（2）0作分母（3）根号下为负 （2）整式：其自变量的取值范围是全体实数。
分式：其自变量的取值范围是使得分母不为0的实数
二次根式下含自变量：其自变量的取值范围是使得被开方式为非负的实数。
如1x -中1x ≥ （3）自变量的取值范围可以是有限的或无限的，也可以是几个数或单独的一个数。
如在11y x x =-+-中
x 的取取值范围只能是x=1
（4）当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义。
例如：2
S r π=中，r 表示圆的半径时，r>0 【函数值】
（1）对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如当x=a 时，函数有唯一确定的对应值，这个对应值，叫做当x=a 时的函数值，即函数值
（2）当已知解析式时，求函数值就是求代数式的值：当已知函数解析式，给出函数值，求相应的自变量的值时就是解方程
一次函数
一般的，形如y=kx(k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数
一般的，形如y=kx+b(k 是常数，k ≠0)的函数叫做一次函数。
其中当b ＝0时y=kx ，所以正比例函数是一种特殊
的一次函数。
将直线y=kx 向上或向下平移b 个单位就会得到y=kx+b 。
（其中当b>0时,向上平移，b<0时向下平移）
一次函数y=kx+b(k ≠0)中k 、b 的意义
函数
图像
性质 y=kx+b (k,b 为常数, 且(k ≠0)
经过象限
变化规律
k>0
b>0
一、二、三象限
y 随x 的增大而增大
b=0
原点及一、三象限
b<0
一、三、四象限
k<0
b>0
一、二、四象限
y 随x 的增大而减小
b=0
原点及二、四象限
b<0
二、三、四象限
b 表示直线y=kx+b （k ≠0）与y 轴交点的纵坐标
一次函数Y=kx+bk ≠0的图象，当b>0时，图象与y 轴的交点在x 轴的上方；
当b<0时，图象与y 轴的交点在x 轴的下方； 两直线y= k 1x+ b 1（k ≠0）的图象与y= k 2x+ b 2（k ≠0）的位置关系： （1） 当k 1= k 2时，且b 1≠b 2时，两直线平行 （2） 当k 1= k 2时，且b 1=b 2时，两直线重合 （3） 当k 1≠k 2时，两直线相交
（4） 当k 1≠k 2时，且b 1=b 2时，两直线交于y 轴上一点（0，b 1）或（0，b 2）
一次函数的典型题型
【已知解析式，会画图像】如：一个弹簧，不挂物体时长为12cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体
的质量成正比例，如果挂上3kg 的物体后，弹簧总长是13.5cm ，求弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式，并画出函数的图像
【根据图像，求出解析式】如图，直线AB 对应的函数表达式是（ ）
A 、332y x =-
+ B 、332y x =+ C 、233y x =-+ D 、2
33
y x =+ 【看一个点在不在已知图像上】已知点（3，2）在直线l ：2y x b =-上，求（—1，3）在不在l 上
【直线与两坐标轴交点】一次函数1
52
y x =
-与x 轴的交点坐标是 ，与y 轴的交点坐标是
【已知两点，求解析式】如：已知一次函数的图像经过（0，1）、（3，
7
2
），求这个一次函数的表达式
【求两直线交点】如：求y=2x+1与y= —x —2的交点
【已知一条直线解析式和交点，求另一解析式】已知y=x+1与y=ax+4交于（3，4）点，求（4，5）在不在y=ax+4上。
【根据a 、b 的正负，判断直线所在象限】如：一次函数y=-2x+3的图像不经过第（ ）象限 【根据直线，判断a 、b 的符号】
【比较两直线大小（x 的取值范围）】请说出y=2x+1大于y= -x-2的x 的范围
【根据a 的符号判断递增递减性】如：点111(,)P x y ，
点222(,)P x y 是一次函数y=-4x+3图像上的两个点，且12x x <，则1y 与2y 的大小关系是（ ）A 、12y y > B 、12y y >>0 C 、12y y < D 、12y y = 【根据一次函数的一般形式，求未知数的大小】如2
3
(21)m
y m x -=-，y 随x 的增大而减小，则m 的值为：。