行列式与矩阵求逆练习综述
第一章 线性代数复习与矩阵求逆
第一章 线性代数复习与引深第一节 行列式性质与矩阵求逆一、 行列式性质1、 若行列式A 的某行（或列）为零，则行列式A 为零；2、 ααα,A A n =为常数；3、 若行列式A 的某两行（或某列）对应成比例，则行列式A 为零；4、 若行列式A 的某两行（或某列）互换，则所得行列式=—A ；5、A A T =；6、 若行列式A 的某一行（或某一列）乘上一个常数加到另一行（或列）相应的元素上，则所得行列式=A ； 7、 若k A A A ,,,21 是n 阶方阵，则∏==ki i k A A A A 121 ；8、221122211122121100A A A A A A A A ==，其中2211,A A 为方阵；9、 若I AA A A T T ==，则1±=A ；10、 若A 为三角阵（上三角、下三角），则∏==ni ii a A 1；11、 ∑∑====ni ij ij ij n j ij A a A a A 11；12、 设p q q p B A ⨯⨯,，BA I AB I q p +=+。
证 BA I BA I I I BA I AB I I AB I q P q qp p q p +=+=-=+=+注abab a +-→-10111。
二、矩阵求逆1、定义 I BA AB ==；2、判定 0≠A ；3、求逆 T ij A AA A A )(11*1==-； )()(1-→A I I A ；⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A I I A ；4、逆矩阵性质 （1）()()TT A A 11--=；（2）若A ，C 可逆，则()111---=A C AC ； （3）11--=A A ；（4）若I AA A A T T ==，则T A A =-1；（5）若，),,2,1,0)(,,,(2211n i a a a a diag A ii nn =≠=则),,,(11221111----=nn a a a diag A；（6）上（下）三角阵的逆矩阵仍为上（下）角阵；证法一 数学归纳法 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1222112112221110010n I X X X XA A a，0,,121111112222===--X a X A X ；证法二 0=ji A ，AA A *1=-（7）设0≠A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211A AA A A ， 当011≠A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=----------11.221112111.2211.22121111112111.22121111111A A A A A A A A A A A A A A ；当022≠A ，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=----------1221212.112112212212.11211221221212.1112.111A A A A A A A A A A A A A A ；当011≠A ，022≠A ，则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-------11.2212.112112211.221211112.111A A A A A A A A A ；其中2112212112.11A A A A A --=，1211121221.22A A A A A --=。
矩阵与行列式练习题及解析
矩阵与行列式练习题及解析矩阵与行列式是线性代数的重要内容之一，对于理解和运用线性代数的基本概念和方法具有重要作用。
本文将为读者提供一些矩阵与行列式的练习题，并对其解析过程进行详细讲解，帮助读者掌握相关知识。
练习题一：已知矩阵A=⎡⎣⎢123456⎤⎦⎥，求A的转置矩阵AT。
解析：矩阵的转置是指将矩阵的行与列进行对调。
根据定义，矩阵AT的第i行第j列元素等于矩阵A的第j行第i列元素。
因此，可以得到矩阵A的转置矩阵AT=⎡⎣⎢143256⎤⎦⎥。
练习题二：已知矩阵B=⎡⎣⎢112233⎤⎦⎥，求B的逆矩阵B-1。
解析：矩阵的逆是指与之相乘得到单位矩阵的矩阵。
对于2×2的矩阵而言，可以通过下面的公式求得逆矩阵：B-1 = 1/(ad-bc) * ⎡⎣⎢dd-bb-cc-aa⎤⎦⎥，其中a、b、c、d分别代表B的对应元素。
根据此公式，可以得到矩阵B的逆矩阵B-1=⎡⎣⎢-1/3-2/30.5-1⎤⎦⎥。
练习题三：已知矩阵C=⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥，求C的行列式|C|。
解析：行列式是用来表征矩阵性质的量，对于3×3的矩阵而言，行列式的计算公式如下：|C| = a(ei-hf) - b(di-hg) + c(dg-ge)，其中a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表矩阵C的对应元素。
带入矩阵C的值，可以得到|C|=0。
练习题四：已知矩阵D=⎡⎣⎢123456789⎤⎦⎥，求D的特征值和特征向量。
解析：特征值和特征向量是矩阵在线性变换过程中的重要指标，特征值是矩阵对应特征向量的线性变换因子。
首先，求解特征值需要解特征方程Det(D-λI)=0，其中λ为特征值，I为单位矩阵。
通过计算得到特征值λ1=0，λ2=15，λ3=-15。
然后，根据特征值求解对应的特征向量，即求解方程组(D-λI)X=0，其中X为特征向量。
求解过程中，可以得到特征向量X1=⎡⎢⎣-1-101⎤⎥⎦，X2=⎡⎢⎣111⎤⎥⎦，X3=⎡⎢⎣100-11⎤⎥⎦。
行列式与逆矩阵的计算
1、行列式的计算： 1.1、利用基本的三角分解法LU分解
a11 M A = ar 1 M an1 L a1r O M L arr M L anr L a1n 1 M M O L arn = lr 1 L 1 O M M M L ann l n 1 L lnr
= ( l 11 l 22 L l nn ) 2
1.3、利用列主消元法 设n阶矩阵A经过按列选主元有回代消元法化为 上三角矩阵R,在消元过程中行交换的总次数为k，则有
A = ( 1)
k
Байду номын сангаас
R
= ( 1)
k
r11 r 22 L r nn
2、矩阵求逆： 2.1、利用消元法 设A是n阶非奇异矩阵，则 A1存在，令
1 M 0 = ( E1 , E2 ,L, En , B1 , B2 ,L, Bn ) = M 0
L 0 L 0 b11 L b1r L b1n O M M M O M M L 1 L 0 br1 L brr L brn M O M M M O M L 0 L 1 bn1 L bnr L bnn
显然列向量 Bk 是方程 AXk = Ek , k =1 2,L n 的解。 , , 因此 A1 = B 2.2、利用Cholesky分解法 设A为对称正定矩阵
A = (L ) L
1
1
1 T
1
显然，求出 L 即可得到 A ，记 L 的第k列为
1
1
Xk = (x1k , x2k ,L, xnk )
T
1 由 LL = E得
LXk = Ek , k =1,2,L, n
因此有：
xik = 0 xkk = 1 lkk
矩阵的逆练习题
矩阵的逆练习题矩阵的逆是矩阵理论中的重要概念之一，它在线性代数和实际问题求解中有广泛应用。
逆矩阵是指对于一个方阵A，存在另一个方阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵I。
本文将通过一系列矩阵逆的练习题来帮助读者熟悉逆矩阵的求解方法和应用。
1. 练习题一已知矩阵A = [2 1; 4 3]，求A的逆矩阵。
解题思路：首先，矩阵A的逆矩阵存在的充分必要条件是矩阵A的行列式不等于零，即|A| ≠ 0。
我们可以计算A的行列式：|A| = 2×3 - 1×4 = 6 - 4 = 2因此，由矩阵A的行列式不等于零，我们可以得出A的逆矩阵存在。
接下来，我们可以使用伴随矩阵求逆矩阵的方法，计算A的伴随矩阵Adj(A)：Adj(A) = [3 -1; -4 2]然后，我们可以计算A的逆矩阵A^-1：A^-1 = (1/|A|) × Adj(A) = (1/2) × [3 -1; -4 2] = [3/2 -1/2; -2 1]因此，矩阵A的逆矩阵为A^-1 = [3/2 -1/2; -2 1]。
2. 练习题二已知矩阵B = [1 2 3; 0 1 4; 5 6 0]，求B的逆矩阵。
解题思路：同样，我们首先计算矩阵B的行列式：|B| = 1×(1×0 - 4×6) - 2×(0×0 - 4×5) + 3×(0×6 - 1×5) = 1×(-24) - 2×(-20) + 3×(-5) = -24 + 40 - 15 = 1由于矩阵B的行列式不等于零，故B的逆矩阵存在。
然后，我们计算B的伴随矩阵Adj(B)：Adj(B) = [(1×1 - 4×6) (0×1 - 4×5) (0×6 - 1×5); (0×1 - 4×5) (1×1 - 4×0) (5×5 - 0×6); (0×6 - 1×5) (1×5 - 0×1) (1×0 - 2×5)] = [-23 -20 -5; -20 1 25; -5 5 -10]接下来，我们计算B的逆矩阵B^-1：B^-1 = (1/|B|) × Adj(B) = 1 × [-23 -20 -5; -20 1 25; -5 5 -10] = [-23 -20 -5; -20 1 25; -5 5 -10]因此，矩阵B的逆矩阵为B^-1 = [-23 -20 -5; -20 1 25; -5 5 -10]。
方阵的逆矩阵和行列式
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a22 a23 a11的余子式: M11 = a a 32 33 代数余子式: A11 = (1)1+1M11
a21 a23 a12的余子式: M12 = a a 31 33 代数余子式: A12 = (1)1+2M12
a21 a22 a13的余子式: M13 = a31 a32
代数余子式: A13 = (1)1+3M13
第一章 矩阵
§1.6 方阵的行列式
a11 a12 a13 3阶方阵A = a21 a22 a23 的行列式|A|定义为 a31 a32 a33 a11 a12 a13 |A| = a21 a22 a23 = a11A11 + a12A12 + a13A13 a31 a32 a33
§1.6 方阵的行列式
假设n1阶行列式已经定义, 则定义n阶行列式 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n … … … … an1 an2 … ann
P.-S. Laplace[法]
(1749.3.23~1827.3.5)
= a11A11+a12A12+…+a1nA1n
= a11(1)1+1M11 + a12(1)1+2M12 + … + a1n (1)1+nM1n
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a11 a13 a14 a24 中a32的余子式为 M32= a21 a23 a24 , a34 a41 a43 a44 a44
矩阵行列式与逆矩阵练习题巩固线性代数基础
矩阵行列式与逆矩阵练习题巩固线性代数基础矩阵在线性代数中具有重要的地位，行列式和逆矩阵作为矩阵的两个基本概念，在求解线性方程组、计算特征值和特征向量等问题中扮演关键角色。
本文将通过一些练习题，巩固我们对矩阵行列式和逆矩阵的理解和运用。
练习题一：行列式的计算题目：计算以下矩阵的行列式。
(1) A = |1 2||3 4|(2) B = |2 1 3||0 -1 4||2 1 -3|(3) C = |2 3 4 1||1 2 1 5||4 6 1 0||3 5 2 1|解析：要计算行列式，我们可以利用余子式和代数余子式的概念。
(1) A的行列式计算公式为：det(A) = 1 * 4 - 2 * 3 = 4 - 6 = -2。
(2) B的行列式计算公式为：det(B) = 2 * (-1) * (-3) + 1 * 4 * 2 + 3 * 0 * 1 - 2 * (-1) * 4 - 1 * 0 * (-3) - 3 * 2 * 1 = 6 + 8 + 0 - 8 + 0 - 6 = 0。
(3) C的行列式计算公式为：det(C) = 2 * 1 * 1 * 1 + 3 * 1 * 2 * 0 + 4 * 5 * 1 * 2 + 1 * 4 * 6 * 3 - 3 * 1 * 4 * 2 - 4 * 6 * 1 * 1 - 1 * 2 * 1 * 5 - 2 * 5 * 1 * 4 = 2 + 0 + 40 + 36 - 24 - 24 - 10 - 40 = 20。
练习题二：逆矩阵的计算题目：计算以下矩阵的逆矩阵。
(1) D = |3 1||2 4|(2) E = |1 0 2||0 1 -1||1 1 2|解析：要计算逆矩阵，我们可以利用伴随矩阵和行列式的关系，通过求解伴随矩阵和行列式的乘积来得到逆矩阵。
(1) D的逆矩阵计算步骤如下：Step 1: 计算D的行列式det(D) = (3 * 4) - (1 * 2) = 12 - 2 = 10。
方阵的行列式可逆矩阵与逆矩阵
注： A*中第i行第j列处的元素是Aji 而不是Aij
15
1 0 1
例1.
设
A
2
1
0
,
求A 的伴随矩阵.
解:
3 2 5
10
01
A11 2
5 5
A21 2
2 5
01
A31 1
1 0
20
11
11
A12 3
01
∴ A是非退化矩阵。
6
第四节 可逆矩阵与逆矩阵
一、逆矩阵的定义 二、逆矩阵判断及计算 三、逆矩阵的性质
概念的引入： 在矩阵乘法中，对于任意n阶方阵A都有
AEn En A A, 单位阵 En具有与数1在数的乘法中类似的性质.
而对于任意数 a ，若a 0 ,则存在 a1 使得 aa1 a1a 1,
3 2 5
问题: （1）如何判别一个方阵是否可逆？ （2）若A为可逆矩阵，如何求 A1 ?
13
二. 矩阵可逆的判别、逆矩阵的求法
方阵可逆的必要条件：
命题：若A可逆, 则 A 0
证：设A可逆, 则它有逆矩阵A1 , 使得
从而
AA1 E .
AA1 A A1 E 1 ,
8 2 55 8105
4
例2 设 A k1En, B k2En, 其中 k1, k2 是数, 求 A B 及 AB
解 A B k1En k2En
k1n En k2n En k1n k2n
A B k1En k2En (k1 k2)En
说明：该定理给出了判断一个矩阵是否可 逆的一种方法，并且给出了求逆矩 阵的一种方法，称之为伴随矩阵法。
矩阵的行列式与逆矩阵的求解
矩阵的行列式与逆矩阵的求解行列式与逆矩阵是矩阵理论中重要的概念和运算方法。
它们在线性代数和数学分析等领域中有广泛的应用。
本文将从基本概念、求解方法和应用举例等方面来探讨矩阵的行列式与逆矩阵的求解。
一、行列式的基本概念行列式是一个与矩阵相关的标量值，可以用来衡量矩阵的特征和性质。
行列式的计算公式是将矩阵的元素按照一定规律排列，然后根据所属行或列的位置，通过交叉相乘再相加的方式得到最终结果。
二、行列式的求解方法1. 二阶和三阶矩阵的行列式求解方法对于二阶矩阵的行列式，直接按照公式计算即可。
而对于三阶矩阵来说，行列式的求解需要利用“对角线法则”，即主对角线上的元素与副对角线上的元素进行运算。
2. n阶矩阵的行列式求解方法对于高阶矩阵，行列式的求解过程相对复杂。
常用的方法有代数余子式法和高斯消元法。
代数余子式法通过递归的方式将高阶行列式转化为低阶行列式的求解问题。
而高斯消元法则通过初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，从而简化行列式的计算过程。
三、逆矩阵的基本概念逆矩阵是矩阵理论中非常重要的概念，它表示与原矩阵相乘后会得到单位矩阵。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I表示n阶单位矩阵，则称B为A的逆矩阵，记作A^{-1}。
四、逆矩阵的求解方法1. 二阶矩阵的逆矩阵求解方法对于二阶矩阵A，如果其行列式不等于0，则可以通过公式求解逆矩阵。
即A^{-1}=\frac{1}{|A|}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}其中a,b,c,d分别为矩阵A的各个元素。
2. n阶矩阵的逆矩阵求解方法对于n阶矩阵A，如果其行列式不等于0，则可以通过伴随矩阵法求解逆矩阵。
伴随矩阵的求解过程是先求解A的代数余子式，再进行转置得到伴随矩阵。
最后，将伴随矩阵的每个元素除以矩阵A的行列式即可得到逆矩阵。
五、行列式与逆矩阵的应用举例1. 线性方程组的求解通过矩阵的行列式和逆矩阵，可以很方便地求解线性方程组。
矩阵与行列式中的逆矩阵和特征值特征向量总结
矩阵与行列式中的逆矩阵和特征值特征向
量总结
逆矩阵和特征值特征向量的定义
矩阵的逆矩阵是指对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为n阶单位矩阵。
矩阵的特征值和特征向量定义如下：对于一个n阶方阵A，如
果存在一个非零向量X和一个实数λ，使得AX=λX，则λ称为矩
阵A的特征值，而X称为对应于λ的特征向量。
逆矩阵的求解
对于一个可逆矩阵A，可以使用高斯-约当消元法或初等矩阵
求逆的方法来求解逆矩阵。
高斯-约当消元法是通过行变换将矩阵
A化为上三角矩阵，然后再通过回代得到逆矩阵。
特征值和特征向量的求解
求解特征值和特征向量的方法有多种，其中最常用的方法是通
过求解矩阵的特征方程来求解特征值，然后再带入特征值求解对应
的特征向量。
特征方程的形式为|A-λI|=0，其中A为矩阵，λ为特征值，I为单位矩阵。
逆矩阵和特征值特征向量的应用
逆矩阵在线性代数中扮演着重要的角色，其具有很多应用，例如求解线性方程组、矩阵的乘法、矩阵的对角化等。
特征值和特征向量也是线性代数中的重要概念，它们在许多领域中有广泛的应用，如图像处理、信号处理、机器研究等。
总之，矩阵的逆矩阵和特征值特征向量是线性代数中的重要内容，它们在理论和应用上都有着广泛的意义和用途。
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矩阵求逆和矩阵行列式的计算方法
矩阵求逆和矩阵行列式的计算方法矩阵是一种在数学和计算机科学中广泛应用的数学工具。
在应用数学和工程学中，矩阵常常被用来表示和解决线性方程组的问题。
矩阵求逆和行列式计算是矩阵理论中的两个重要问题，本文将着重讨论这两个问题的计算方法。
1. 矩阵求逆的概念矩阵求逆是对于给定的n阶矩阵A，寻找一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是n阶单位矩阵。
如果矩阵A存在逆矩阵B，那么矩阵A就是可逆矩阵。
矩阵求逆是矩阵理论中的一个经典问题，也是非常重要的一个问题。
2. 矩阵求逆的计算方法矩阵求逆的计算方法有很多种，其中比较常用的是伴随矩阵法和高斯消元法。
2.1 伴随矩阵法：所谓伴随矩阵法就是利用矩阵的伴随矩阵来计算矩阵的逆。
设A=(aij)是一个n阶矩阵，则A的伴随矩阵是指一个矩阵，其元素Aij的值为Aij的代数余子式乘上(-1)的(i+j)次幂。
例如，对于一个3阶矩阵A=(aij)，它的伴随矩阵C=(cij)的元素为：c11= (-1)2(a22a33-a23a32)c12= (-1)3(a21a33-a23a31)c13= (-1)2(a21a32-a22a31)c21= (-1)3(a12a33-a13a32)c22= (-1)4(a11a33-a13a31)c23= (-1)3(a11a32-a12a31)c31= (-1)2(a12a23-a13a22)c32= (-1)3(a11a23-a13a21)c33= (-1)2(a11a22-a12a21)如果A的行列式不为0，则矩阵A的逆矩阵就是A的伴随矩阵C除以A的行列式det(A)，即B=C/det(A)。
2.2 高斯消元法：高斯消元法是一种求解线性方程组的方法。
对于一个n*n的矩阵A和它的逆矩阵B=[bij]，以及n维的向量b，考虑求解线性方程组Ax=b，则有下面的高斯消元法：（1）增广矩阵A|b->[A|b]。
（2）对[A|b]矩阵进行初等行变换，使得[A|b]变成上三角矩阵[U|c]。
5.6 矩阵乘积的行列式与矩阵的逆
09:04
3
例题 6.1
利用伴随矩阵计算以下矩阵的逆矩阵：
可以求得 .
09:04
5
例题
解: 注意到
09:04
这时有
6
定理6.1的证明
用两种方法计算D的行列式.
1) 直接利用拉普拉斯定理
09:04
7
定理6.1的证明(续)
2) 先利用第一类初等行变换把D的左上主子矩阵化为零, 再利用拉普拉斯定理.
proof
09:04
proof
2
注记
定理6.2不但给出了方阵可逆的充分必要条件，同时还给 出了一种求逆矩阵的方法． 但是，用伴随矩阵求逆的计算量太大，不实用． 我们将介绍一种通过矩阵的初等行变换求逆的实用方 法． 利用线性变换与矩阵的一一对应关系容易证明：线性变 换可逆的充分必要条件是它的矩阵是可逆的．
§6 矩阵乘积的行列式与矩阵的逆
矩阵乘积的行列式
两个矩阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积
矩阵的逆
方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不为零； 矩阵的逆的计算公式（伴随矩阵）
• 行列式按一行（一列）展开公式的应用
09:04
1
矩阵乘积的行列式，逆
设 A,B 为 n 阶矩阵, 则它们的乘积 AB 还是一个 n 阶矩阵.
09:04
8
定理6.1的证明(续２)
09:04
9
定理6.1的证明(续３)
AB的(i,j)元
09:04
…
back
10
定理 6.2 的证明
只需证明充分性．由行列式按一行展开的公式知
定义A的伴随矩阵：
则有 即
同理, 由行列式按一列展开的公式可以得到
back
09:04
11
3.3 行列式与矩阵的逆
A A1 AA1 I 1
于是
且
A 0 1 1 A A
2 2 0 4 4 7 , B 0 0 3 9 1 0 5 7 2
16
例6 设
1 A 0 0
求
AB ,
A 1 ,
B 1
解
经计算
A 6 0, B 8 0
3
定理5 齐次线性方程组 3没有非零解的充要 条件中系数行列式 D 0 ；齐次线性方程组 3 有非零解的充要条件中系数行列式 D 0 ；
26
例7 用克拉默法则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
24
D1
同理可得 D x 2 D2 , , D x n Dn 因为D 0, 所以 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn D D D 可见方程组(1)的解由公式 唯一确定。 (2)
解
2
1
5
1
r1 2r2
r4 r2
0
7
5
13
1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
27
7 5 13 2 1 2 7 7 12
c1 2c2
3 5
3
c3 2c2
0 1 0 7 7 2
25
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
关于分块矩阵求逆和行列式的方法探究与应用
关于分块矩阵求逆和行列式的方法探究与应用下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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矩阵的逆与行列式的计算
矩阵的逆与行列式的计算矩阵是线性代数中非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在矩阵的研究中，逆矩阵和行列式是其中两个重要的概念。
矩阵的逆和行列式的计算方法可以帮助我们解决很多实际问题，下面我们就来详细介绍一下。
一、矩阵的逆1. 逆矩阵的定义对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I （I为n阶单位矩阵），则称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^(-1)。
2. 逆矩阵的存在条件一个矩阵存在逆矩阵的条件是该矩阵的行列式不等于0，即|A|≠0。
3. 逆矩阵的计算方法（1）对于二阶矩阵A = [a, b；c, d]，如果|A|≠0，则A的逆矩阵A^(-1)可按如下公式计算：A^(-1) = 1/|A| * [d, -b；-c, a]（2）对于n阶矩阵A，如果|A|≠0，则A的逆矩阵A^(-1)的计算方法如下：A^(-1) = 1/|A| * Adj(A)其中Adj(A)为A的伴随矩阵，伴随矩阵的计算方法是将矩阵A的每个元素的代数余子式按一定顺序排列成一个矩阵，然后转置得到的矩阵即为A的伴随矩阵。
4. 逆矩阵的性质（1）若A为可逆矩阵，则A^(-1)也是可逆矩阵，且(A^(-1))^(-1) = A。
（2）若A、B为可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)。
二、行列式的计算1. 行列式的定义对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|，其定义为：|A| = a1n a2n ... an1a1n-1 a2n-1... an-11... ... ...a11 a21 ... an1其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
2. 行列式的计算方法（1）对于二阶矩阵A = [a, b；c, d]，其行列式的计算方法为：|A| = ad - bc（2）对于n阶矩阵A，其行列式的计算方法可以通过代数余子式和余子式展开法来进行。
- 代数余子式：对于矩阵A的第i行第j列的元素aij，其代数余子式记作Aij，定义为把元素aij所在的行和列划去后，所剩下的元素构成的(n-1)阶子矩阵的行列式。
矩阵的行列式与逆阵
ai1
ai 2
ais
b1 j b2 j
bs j
cij
5
总结如下: 可乘原则: 前列数=后行数. 乘积元素: cij 是 A 的第 i 行的元素与B
的第 j 列对应元素乘积之和. 乘积阶数：AB 阶数为前行数×后列数.
6
7
8
9
10
运算性质: (A是mn的矩阵) (1)0 pm A 0 pn , A0nq 0mq (2)Em A = A , AEn = A (3) A(BC) ( AB)C (4) A(B + C ) AB + AC (B + C )A = BA + CA
A
A
定理 2设.2A 为数域 F 上 n 阶方阵,则
1. A 可逆 ｜A｜≠0 2. A 可逆时, A-1= 1 A*
A
证 若A可逆,则 AA1 = E AA1 = A A1 E 1
从而 |A| 0.必要性得证.
若 |A| 0, 则由
AA* A*Α | A | E
A( 1 A*) ( 1 A*)A E
4
4
例4 已知 A为方阵且 Ak 0, k N
证明 (E A)1 E + A + + Ak1. 证 因为 (E A)(E A Ak1) E Ak E
所以 E A 可逆，而且
(E A)1 E A Ak1
总结关于方阵 A :
A 可逆 |A| 0
AA*=A*A=|A| E
记作B = A-1.
注 定义中矩阵 A 与矩阵B的地位是相 同的,如果 A可逆,且B是 A的逆,则B 也可逆,且A 也是B的逆,即A与B互逆.
问题: 你学过的方阵中,哪些是可逆阵,
2.2 矩阵的行列式和逆运算
/ 6.
提示：利用命令ParametricPlot[]，达到如图所示的效果.
2
1
-2
-1
1
2
-1
-2
例2.9. 直线绕定点的旋转
x t cos , 绕线上一点旋转的动画. 用程序显示直线 y t sin
程序： n=10; Do[ParametricPlot[{Cos[Pi/n*i]*t,Sin[Pi/n*i ]*t},{t,-1,1},AspectRatio->1,PlotRange-> {{-1.2,1.2},{-1.2,1.2}}, Axes->False],{i,n}] 动画演示： 用鼠标双击某个图，或选定所有图所在的单元括号，在 cell菜单上选择Animate Selected Graphics.
程序： F={{0,1,1,4,4,1,1,5,5,0},{0,0,5,5,6,6,9,9,10,10}}; P[F_]:=Show[Graphics[Line[{F[[1]],F[[2]],F[[3]],F[[4]],F[[ 5]],F[[6]],F[[7]],F[[8]],F[[9]],F[[10]],F[[1]]}]],Axes->True]; P1=P[Transpose[F]] S={{1,0},{0,0.8}}; H={{1,0.1},{0,1}}; Fx={{1,0},{0,-1}}; P2=P[Transpose[S.F]] P3=P[Transpose[H.S.F]] P4=P[Transpose[Fx.H.S.F]] Show[P1,P4]
作业：将例2.5中的“F”改为“ T”, 例2.8，练习2.2，2.7.
2.7
数学实验 ---Mathematica
第1.5次用行列式求逆矩阵
的逆矩阵
A = 2 ≠ 0, A−1 存在 求得
A =2 11
A = −3 12
A21 = 6
A22 = −6 A23 = 2
A31 = −4
A33 = −2
A =2 13
A32 = 5
1 3 − 2 5 2 −1
A
6 4 2 ∗= − 3 − 6 5 2 2 − 2
3 −1 B = − 5 2
−1
1 3 − 21 3 3 3 −1 5 −1 −1= − −3 2 0 X = A CB − 5 2 2 2 3 1 1 1 −1
1 1 −2 1 3 −1 = 0 − 2 − 5 2 = 10 − 4 0 2 −10 4
2 1 例 求矩阵 A = 3 1 1 −1 2 1+1 1 A = (−1) =2 11 −1 0
1 −1 A22 = (−1)2+2 2 1 = −1 1 0
A31 = (−1)
3+1
A13 = (−1)
1+3
3
1
= −4
1 1 =1 1 2
1 2 的伴随矩阵 A∗ 0 1+2 3 2 A = (−1) =2 12 1 0 1 2+1 1 A21 = (−1) = −1 −1 0 1 2+3 2 A23 = (−1) =3 1 −1 3+2 2 1 A32 = (−1) = −1 3 2
AXB=C 解 若 −1, B−1存在，则用 -1左乘上式， −1右乘上式，有 A A B
A AXBB = A CB
即
−1
4行列式降阶、伴随矩阵求逆
0 1 3
0 0 3
0 0 3
解： 3
i
1, 2 , 4 , ... n
3
3
3
1
n
0 3 0 3
0
0
0
3 3 1
n3
3 0
按 r1 展开 2
3
按 r1 展开 2
0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
0
n3
0
0
0
n3
6 n 3!
2
2
2 4
例3、求 D
2 2
5
4 2 4
3 3 3
例2、求下列行列式的值 3
n
3
3 1 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3
3
3 2
n 0 1 3 0 0 3 0 0 3
解： 3
ri r3
0 3
i
1, 2 , 4 , ... n
3
3
3
n
0
0
0
n3
1 3
3 2 3
3 3 3
3 3 3 ri r3
2 0 3
记为
A * （称为 A 的伴随矩阵）
因为 A A * A * A A I
1 1 又 A 0 A A * A * A I A A 1 1 A* 所以 A 可逆，且 A A
例4、利用伴随矩阵求下列矩阵的逆矩阵
1
方阵的行列式的运算性质——
若 A、B 同为 n 阶方阵，则
1
A A
T
2
kA k
n
A
n
特别地： A 1
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2135----
5
3214
506
6010532414132105
320414013202
135123
23
121525-=----=
-----=+++r r r r列展开
按第列展开按第
(解:原式
1080
14
51
1620-=⨯-=
3.1
11111111111-----+---x x x x x x x
2 1 4解：X = 0 − 3 − 2 0 0 3 −1 4 2 4 1 3 2 9 3 2 − 1 = 0 − 1 − 2 − 1 = − 1 3 9 3 3 1 1 1 0 0 3 2 1 0 0 1 r3 1 1 0 1 1 0 1 4 3其中0 − 3 − 2 0 1 0 → 0 − 3 − 2 0 1 0 r1 + r2 1 0 0 3 0 0 1 0 0 1 0 0 3 1 0 0 1 r2 + 2 r3 → 0 − 3 0 0 1 r1 + r2 3 0 0 1 0 4 3 1 0 2 4 2 1 1 0 0 1 3 9 − r2 9 3 2 1 2 → 0 1 0 0 − − 3 3 9 1 1 0 0 1 0 0 3 3 2 4 1十一、设A = 1 − 1 2解：由AB = A + 2 B（A − 2 E）B = A − B = A − 2 E）1 A（−1 3 0，AB=A+2B,求B. 3 2 2 3 4 2 3 1 − 4 − 3 4 2 3 3 − 8 −6 = 1 − 1 0 1 1 0 = 1 − 5 − 3 1 1 0 = 2 − 9 − 6 − 1 2 1 − 1 2 3 − 1 6 4 − 1 2 3 − 2 12 9 −2 2 2 3 1 0 0 r ↔ r 1 − 1 0 0 1 0 r2 + r r1 1 − 1 0 0 1 0 r3 1 1 2 1 − 1 0 0 1 0 → 2 2 3 1 0 0 → 0 4 3 1 − 2 0 − 1 2 1 0 0 1 − 1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 12
321321x x x x x x x x x有非零解?
零解。
,齐次线性方程组有非或当(设解:
100101
10
00111
11111
1
12
31
2
==∴=-=--=
--=2=--λμλμμ
μλμμλλμμλ
r r r
r D
九、求下列矩阵的逆矩阵: 1.⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=4321A ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2123121
列展开
按第
2.a
b
a
b b a b a
D n
=
2
n
n n n n
n n n n
b a D b a MA D D A M a
b b a M n b a D b a D b D a a b
b
a b b a b
a
b
b a
a b a b b a b a a
((由拉普拉斯定理
的代数余子式,行的非零二阶子式行、第解:选第
按第解:原式
六、计算下列n阶行列式:
1.
a
b b a a b a b a 0000000
0000
00000
n
n n n n n n b
a b b aa b
a a
b a b b a
b a a b a a
11111
111000
000
000010000000000+-+-+-+=-+=-+=
(((解:原式
第二章行列式与矩阵求逆练习
班级:姓名:学号:
一、计算下列行列式:
1.600
300301395200199204
100103=
20000
315214
131000300152001410032
12
32=--=--=--c c c c解:原式
2.1
2
4
99102201112-=
31
241211
121
241121
n n n n
D D D D (解:列展开
按第
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1112232112112112211+=⨯-+==-=-===--=-=-----n n D D D D D D D D D D D D n n n n n n n (,则,
八、问μλ、取何值时,齐次方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0
200
321
((
(解:原式
(
(按行(列展开
列展开
按第221222212222222222222211210
010
0-=
=-====-==-=-=
-+=-----+
七、证明
1
2
1
120000021000121
00012+=------=
n D n
2
12
11122
10
210
121
0001
12--+--=-------=
023402345x x x x x x =--
.
1054321666116651423324155
66
51423324156543216
54321===-==-===-=-=∑t t a x a x a x a x a x a x a a a a a a a a a a a a t
j j j j j j t
A解: 2.⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111211120
B
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡---=-110
2121
2
1252321
1B解: 3.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--=10000
21000002000003100011
C
A1解：C = A2 = [− 2]，A2 3 4 1 = 4 0 0 0 A2 3 4 1 1 −1，A = 1 − 1 3，A1 = 1 A3 4 1 − 4 1 4 C −1 1 2 1 − 2 1 −1 = −；A3 =，A3 = 0 1 2 0 1 1 − 0 0 0 4 1 0 0 0 4 1 0 − 0 0 2 0 0 1 − 2 0 0 0 1 −1十、求解下列矩阵方程：0 1．1 0 1 0 0 0 1 0 X 0 1 0 −1 0 0 1 0 1 1 = 2 0 1 −4 0 −2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 3 − 1 0 −1 0 1 0 1 − 4 3 1解：X = 1 0 0 2 0 − 1 0 0 0 1 1 − 2 0 0 0 1 0 1 − 4 3 1 0 = 1 0 0 2 0 − 1 0 0 0 0 1 1 − 2 0 0 1 2 − 1 0 = 1 3 − 4 1 0 − 2 1 2．0 0 4 −3 0 2 2 X = − 1 − 2 3 3 11
12100124121112124110021001200112-==-+=+-++=解:原式
二、确定下列排列的逆序数,并指出是偶排列还是奇排列? 1. 53214
解:逆序数t=7,为奇排列。
2. 18273645
解:逆序数t=12,为偶排列。
三、在6阶行列式中,256651144332651456423321a a a a a a a a a a a a ,
这两项应带有什么符
号?解:
,带正号。
,逆序数为,带负号;
逆序数为85,665143322514256651144332655642332114651456423321a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==
四、利用行列式的定义证明:
5
66
000000000000002000230
的逆序数,为排列,,,,,其中((解:由定义,左式
五、利用行列式的性质计算下列各行列式:
1.
216
4
72954
1732152
----- 90
123
116
2110
01
23011602
12
1523
132121
413-=---=---=
++--(解:原式列展开按第r r r r r r
2.0
5320041400
4
2
22
100
011
11
11
1111111
11
1111110
1110
111
1
1111111111111
31221x x
x x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x r r r r c c =---=----=---+---=
-----+---=-----+---=--+列展开