行列式与矩阵求逆练习综述

n n n n
D D D D (解:列展开
按第
1
1112232112112112211+=⨯-+==-=-===--=-=-----n n D D D D D D D D D D D D n n n n n n n (,则,
八、问μλ、取何值时,齐次方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+μ+=+μ+=++λ0
200
321
A解: 2.⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111211120
B
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡---=-110
2121
2
1252321
1B解: 3.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢
⎢⎣⎡--=10000
21000002000003100011
C
A1解：C = A2 = [− 2]，A2 3 4 1 = 4 0 0 0 A2 3 4 1 1 −1，A = 1 − 1 3，A1 = 1 A3 4 1 − 4 1 4 C −1 1 2 1 − 2 1 −1 = −；A3 =，A3 = 0 1 2 0 1 1 − 0 0 0 4 1 0 0 0 4 1 0 − 0 0 2 0 0 1 − 2 0 0 0 1 −1十、求解下列矩阵方程：0 1．1 0 1 0 0 0 1 0 X 0 1 0 −1 0 0 1 0 1 1 = 2 0 1 −4 0 −2 0 0 0 1 1 0 0 1 0 3 − 1 0 −1 0 1 0 1 − 4 3 1解：X = 1 0 0 2 0 − 1 0 0 0 1 1 − 2 0 0 0 1 0 1 − 4 3 1 0 = 1 0 0 2 0 − 1 0 0 0 0 1 1 − 2 0 0 1 2 − 1 0 = 1 3 − 4 1 0 − 2 1 2．0 0 4 −3 0 2 2 X = − 1 − 2 3 3 11
第二章行列式与矩阵求逆练习
班级:姓名:学号:
一、计算下列行列式:
1.600
300301395200199204
100103=
20000
315214
131000300152001410032
12
32=--=--=--c c c c解:原式
2.1
2
4
99102201112-=
31
241211
121
241121
1320252710
2135----
5
3214
506
6010532414132105
320414013202
135123
23
121525-=----=
-----=+++r r r r列展开
按第列展开按第
(解:原式
1080
14
51
1620-=⨯-=
3.1
11111111111-----+---x x x x x x x
4
2
22
100
011
11
11
1111111
11
1111110
1110
111
1
1111111111111
31221x x
x x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x r r r r c c =---=----=---+---=
-----+---=-----+---=--+列展开
023402345x x x x x x =--
.
1054321666116651423324155
66
51423324156543216
54321===-==-===-=-=∑t t a x a x a x a x a x a x a a a a a a a a a a a a t
j j j j j j t
321321x x x x x x x x x有非零解?
零解。
,齐次线性方程组有非或当(设解:
100101
10
00111
11111
1
12
31
2
==∴=-=--=
--=2=--λμλμμ
μλμμλλμμλ
r r r
r Dห้องสมุดไป่ตู้
九、求下列矩阵的逆矩阵: 1.⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=4321A ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=-2123121
12100124121112124110021001200112-==-+=+-++=解:原式
二、确定下列排列的逆序数,并指出是偶排列还是奇排列? 1. 53214
解:逆序数t=7,为奇排列。
2. 18273645
解:逆序数t=12,为偶排列。
三、在6阶行列式中,256651144332651456423321a a a a a a a a a a a a ,
按第解:原式
六、计算下列n阶行列式:
1.
a
b b a a b a b a 0000000
0000
00000
n
n n n n n n b
a b b aa b
a a
b a b b a
b a a b a a
11111
111000
000
000010000000000+-+-+-+=-+=-+=
(((解:原式
列展开
按第
2.a
b
a
b b a b a
D n
=
2
n
n n n n
n n n n
b a D b a MA D D A M a
b b a M n b a D b a D b D a a b
b
a b b a b
a
b
b a
a b a b b a b a a
((由拉普拉斯定理
的代数余子式,行的非零二阶子式行、第解:选第
2 1 4解：X = 0 − 3 − 2 0 0 3 −1 4 2 4 1 3 2 9 3 2 − 1 = 0 − 1 − 2 − 1 = − 1 3 9 3 3 1 1 1 0 0 3 2 1 0 0 1 r3 1 1 0 1 1 0 1 4 3其中0 − 3 − 2 0 1 0 → 0 − 3 − 2 0 1 0 r1 + r2 1 0 0 3 0 0 1 0 0 1 0 0 3 1 0 0 1 r2 + 2 r3 → 0 − 3 0 0 1 r1 + r2 3 0 0 1 0 4 3 1 0 2 4 2 1 1 0 0 1 3 9 − r2 9 3 2 1 2 → 0 1 0 0 − − 3 3 9 1 1 0 0 1 0 0 3 3 2 4 1十一、设A = 1 − 1 2解：由AB = A + 2 B（A − 2 E）B = A − B = A − 2 E）1 A（−1 3 0，AB=A+2B,求B. 3 2 2 3 4 2 3 1 − 4 − 3 4 2 3 3 − 8 −6 = 1 − 1 0 1 1 0 = 1 − 5 − 3 1 1 0 = 2 − 9 − 6 − 1 2 1 − 1 2 3 − 1 6 4 − 1 2 3 − 2 12 9 −2 2 2 3 1 0 0 r ↔ r 1 − 1 0 0 1 0 r2 + r r1 1 − 1 0 0 1 0 r3 1 1 2 1 − 1 0 0 1 0 → 2 2 3 1 0 0 → 0 4 3 1 − 2 0 − 1 2 1 0 0 1 − 1 2 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 12
的逆序数,为排列,,,,,其中((解:由定义,左式
五、利用行列式的性质计算下列各行列式:
1.
216
4
72954
1732152
----- 90
123
116
2110
01
23011602
12
1523
132121
413-=---=---=
++--(解:原式列展开按第r r r r r r
2.0
5320041400
((
(解:原式
(
(按行(列展开
列展开
按第221222212222222222222211210
010
0-=
=-====-==-=-=
-+=-----+
七、证明
1
2
1
120000021000121
00012+=------=
n D n
2
12
11122
10
210
121
0001
12--+--=-------=
这两项应带有什么符
号?解:
,带正号。
,逆序数为,带负号;
逆序数为85,665143322514256651144332655642332114651456423321a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ==
四、利用行列式的定义证明:
5
66
000000000000002000230