高中数学复习专题矩阵与行列式

专题八、矩阵与行列式

1.矩阵：n m ⨯个实数n j m i a ij ,,2,1;,,2,1,ΛΛ==排成m 行n 列的矩形数表

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=mn n m n n a a a a a a a a a A ΛM

M ΛΛ212221211211叫做矩阵。记作n m A ⨯，n m ⨯叫做矩阵的维数。 矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。

2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。

⎩⎨

⎧=+=+222

1

11c y b x a c y b x a 3.线性方程组矩阵的三种变换： ①互换矩阵的两行；

②把某一行同乘（除）以一个非零的数； ③某一行乘以一个数加到另一行。

变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。 4.矩阵运算：加法、减法及乘法

（1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A -B ）.

运算律：加法交换律：A+B=B+A ；加法结合律：（A+B ）+C=A+（B+C ）

（2）矩阵与实数的积：设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数

α的乘积矩阵，记作：αA.

运算律：分配律：()B A B A γγγ+=+；A A A λγλγ+=+)(； 结合律：()()()A A A γλλγγλ==；

（3）矩阵的乘积：设A 是k m ⨯阶矩阵，B 是n k ⨯阶矩阵，设C 为n m ⨯矩阵。如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积，记作：C m ×n =A m ×k B k ×n .

运算律：分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)(； 结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB =； 注意：矩阵的乘积不满足交换律，即BA AB ≠。 5.二阶行列式的有关概念及二元一次方程组的解法：

设二元一次方程组（*）⎩⎨⎧=+=+222

1

11c y b x a c y b x a （其中y x ,是未知数，2121,,,b b a a 是未知数的系数

且不全为零，21,c c 是常数项） 用加减消元法解方程组（*）:

当01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解：⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

--=--=1221122

112211221b a b a c a c a y b a b a b c b c x ，

引入记号

2

1a a

2

1b b 表示算式1221b a b a -，即

2

1a a

2

1b b 1221b a b a -=．

从而引出行列式的相关概念，包括行列式、二阶行列式、行列式的展开式、行列式的值、行列式的元素、对角线法则等。 记=

D 2

1a a

2

1b b ，=

x D 2

1c c

2

1b b ，=

y D 2

1a a

2

1c c ，则：

①当=

D 2

1a a

2

1b b =01221≠-b a b a 时，方程组（*）有唯一解，

可用二阶行列式表示为⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

==D

D y D D x y x

. ②当D =0时，0x y D D ==，方程组（*）无穷组解； ③当D =0时，0,0x y D or D ≠≠，方程组（*）无解。 系数行列式112

2

a b D a b =也为二元一次方程组解的判别式。

6.三阶行列式

（1）三阶行列式的展开方法： ①对角线方式展开：

②按某一行(或列)展开法：

33

32

31

23222113

1211a a a a a a a a a =112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++--- =11

a 3332

2322a a a a -12

a 33

31

2321a a a a +13

a 32

31

2221a a a a

记32

2211a a M =

33

23a a ，111

111)1(M A +-=，31

2112a a M =

33

23a a ，

=12A 1221)1(M +-，31

2113a a M =

32

22a a ，133

113)

1(M A +-=，

称j M 1为元素j a 1的余子式，即将元素j a 1所在的第一行、第j 列划去后剩下的元素按原来顺序组成的二阶行列式（类似可以定义其它元素的余子式）；称j A 1为元素j a 1的代数余子式，

j j j M A 111)1(+-=（)3,2,1=j 。

则三阶行列式就可以写成D =33

32

31

232221

13

1211

a a a a a a a a a =131312121111A a A a A a ++，

这就是说，一个三阶行列式可以表示为它的第一行的元素分别与它们的代数余子式乘积的和。上式称为三阶行列式按第一行展开的展开式。类似地，若将D 按别的行或列的元素整理，同样可得行列式按任一行(列)展开式。 （2）三阶行列式的性质：

①行、列依次对调，行列式的值不变，即

②两行(或两列)对调，行列式的值变号，如