高中数学复习专题矩阵与行列式

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总复习-1矩阵与行列式

I 矩阵、行列式一、矩阵的概念及其初等变换矩阵概念矩阵与行列式的区别：矩阵（数表）行列式（数）记号：1111n m n m a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭m n A ⨯ ()ij m n a ⨯1111n m nn a a a a n Aij na 化简：1111m n m n a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪→⎝⎭1111nm nn a a a a =矩阵的初等变换理论定义：（看书）结论一对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有1,11,1000000000110r n r r rn m n c c c c A A ++⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−−→ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭行变（的行最简形矩阵）应用1 高斯消元法解线性方程组增广矩阵A −−−→行变行最简形矩阵（可直接写出解）应用2 列摆行变法判定向量组的线性相关性及求最大无关组、秩和线性表示式1,1111,12100(,,,)(,,,)0000000011,,r n r r r n r n r n c c c c J J εαααε+++⎛⎫⎪⎪ ⎪−−−→=⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭行变设则12,,,n ααα 与11,,,,,r r n J J εε+ 有相同的线性相关性。

应用3 行初等变换法求逆矩阵A -1、A -1B1(,)(,)A E E A -−−−→行变1(,)(,)A B E A B -−−−→行变结论二对任一m n ⨯矩阵A ，设()R A r =，有000r m n E A A ⨯⎛⎫−−−−→ ⎪⎝⎭列行变和变（的相抵标准形）应用1 初等变换法求矩阵的秩（可作列变）应用2 标准形思路：,,000rEA P Q P Q ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中是可逆矩阵. 结论三初等变换与初等矩阵的转化关系：箭号等号关系（“左行右列”）二、矩阵的运算加法、数乘、乘法、转置关于矩阵乘法，注意：（1）矩阵乘法与数的乘法不同之处不满足交换律AB BA ≠222()2A B A AB B +≠++ 22()()A B A B A B -≠+- ()k k k AB A B ≠注意：,A B 设均为方阵，则错误！未找到引用源。

高二数学基本概念——第9章矩阵和行列式初步

第9章矩阵和行列式初步一、矩阵9.1 矩阵的概念矩阵及其相关的概念1、矩形数表叫做矩阵矩阵中的每个数叫做矩阵的元素由个数排成的行列的数表n m m n nj m i a ij ,,2,1;,,2,1mnm m n n a a a a a a a a a 212222111211称为矩阵.n m 记作mnm m n n a a a a a a a a a A212222111211nmij a )(2、矩阵叫做方程组的系数矩阵。

1321它是2行2列的矩阵，记为22A ，矩阵可简记为An mA 注意: 矩阵的符号，是“（）”，不能是“| |”.列元素。

行第称为矩阵的第其中j i a ij 一般的记为大写字母A 、B 、C 、…等。

等，或者必要时可记为n m ij n m n m a B A )(,3、矩阵叫做方程组的增广矩阵，813521它是2行3列的矩阵，32A 可记作4、1行2列的矩阵（1，-2），（3，1）叫做系数矩阵的两个行向量。

2行1列的矩阵，叫做系数矩阵的两个列向量。

31125、解二元一次方程组就是通过某些变换使系数矩阵变为对角线元素均为1，其余元素为0的矩阵101在系数矩阵变化过程中增广矩阵随之变化，最后增广矩阵的最后一列给出方程组的解。

6、当行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵。

1321是2阶方矩阵，2是行数（列数）说明：解方程组的过程就是通过某些矩阵变换，使方程组的系数矩阵变为单位矩阵的过程。

7、对角线元素为1，其余元素均为0的方矩阵，如，叫做单位矩阵。

1011010001nE E全为1称为n 阶单位矩阵（或单位阵）.注意：单位矩阵是方阵说明：通过对线性方程组的增广矩阵的变换可以得到线性方程组的解，这里所用的矩阵变换有下列三种：（1）互换矩阵的两行（2）把某一行同乘以（除以）一个非零常数（3）某行乘以一个数加到另一行通过上述三种矩阵变换，使线性方程组系数矩阵变成单位矩阵时，其增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

高三数学理科二轮复习 4-31行列式与矩阵(选修4-2)

高考专题训练三十一行列式与矩阵(选修4－2)班级________ 姓名________ 时间：45分钟分值：75分总得________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．在矩阵⎝⎛⎭⎪⎫a b 0 1对应的变换下，将直线6x －5y ＝1变成2x ＋y ＝1.则a 2＋b 2等于( )A ．3B ．6C ．9D ．18答案：D2．直线x －y ＝1在矩阵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1 －11 －1变换下变成的图形是( ) A ．直线 B ．线段 C ．点 D ．射线答案：C3．设⎝ ⎛⎭⎪⎫32 －1212 32n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1.n ∈N *，则n 的最小值为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12答案：D4．设矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－1 32 －5.B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 31 －1.CA ＝B .则矩阵C 等于( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫16 9－3 2 B.⎝⎛⎭⎪⎫16 －93 2C.⎝⎛⎭⎪⎫－16 93 2 D.⎝⎛⎭⎪⎫16 93 2 答案：D5．设矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32 x ＋1，若A －1存在，则x 的取值范围是( )A ．x ≠2且x ≠－3B ．x ≠2或x ≠－3C ．x ≠6且x ≠－1D ．x ≠6或x ≠－1答案：A6．两个数列{a n }，{b n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝a n ＋b nb n ＋1＝4a n ＋b n .其中a 1＝2，b 1＝0，则a 10等于( )A ．310＋1B ．210＋1C ．39－1D ．29－1答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·上海)行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：⎝⎛⎭⎪⎫a b c d ＝ad －bc ，则a ＝d ＝2，bc ＝－2时，取最大值为6.答案：68．若直线x －y ＝4在矩阵M ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 1－1b 对应的变换作用下，把直线变为本身直线，则a ，b 的值分别为________．答案：0 29．设A 是一个二阶矩阵，满足A ⎝ ⎛⎭⎪⎫10＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫10，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫13.则A ＝________. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫3 10 6 10．已知a ，b ，c 为实数，A ，B ，C 为二阶矩阵，通过类比得出下列结论：①“若a ＝b ，则ac ＝bc .”类比“若A ＝B ，则AC ＝BC .” ②“若ac ＝bc ，且c ≠0，则a ＝b .”类比“若AC ＝BC ，且C 为非零矩阵，则A ＝B .”③若“ab ＝0，则a ＝0或b ＝0.”类比“若AB ＝⎝⎛⎭⎪⎫0 00 0，则A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 00 0或B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 00 0.” ④“若a 2＝0，则a ＝0.”类比“若A 2＝⎝⎛⎭⎪⎫0 00 0，则A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 00 0.” 其中不正确的为________．答案：②③④三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·福建)设矩阵M ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 00b (其中a >0，b >0)． (1)若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2)若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩形M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值．解：(1)设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1. 又M ＝⎝⎛⎭⎪⎫2 00 3，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2003⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1y 1x 2y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1001. 所以2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13. 故所求的逆矩阵M －1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫120013. (2)设曲线C 上任意一点P (x ，y )，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点P ′(x ′，y ′)．则⎝ ⎛⎭⎪⎫a 00b ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ′y ′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′，by ＝y ′，又点P ′(x ′，y ′)，在曲线C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1.则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.12．(13分)(2011·扬州市四星级高中2月联考)变换T 1是逆时针旋转π2的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对应的变换矩阵是M 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1101. (1)求点P (2,1)在T 1作用下的点P ′的坐标；(2)求函数y ＝x 2的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程．解：(1)M 1＝⎝⎛⎭⎪⎫0 －11 0，M 1⎝ ⎛⎭⎪⎫21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0 －11 0⎝ ⎛⎭⎪⎫21＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，所以点P (2,1)在T 1作用下的点P ′的坐标是P ′(－1,2)．(2)M ＝M 2M 1＝⎝⎛⎭⎪⎫1 －11 0，设⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0y 0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y )，也就是⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝xx 0＝y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝yy 0＝y －x ，所以，所求曲线的方程是y －x ＝y 2.。

高中数学中的矩阵与行列式应用

高中数学中的矩阵与行列式应用矩阵和行列式是高中数学中重要的概念，也是代数学的重要分支。

在解决实际问题时，矩阵和行列式的应用非常广泛。

本文将从几个典型的应用角度出发，介绍高中数学中矩阵与行列式的应用。

一、线性方程组与矩阵线性方程组是高中数学中的重要内容。

当线性方程组的未知数个数大于等于方程组数量时，我们可以使用矩阵来表示方程组。

使用矩阵可以简化计算过程，更加直观地描述方程组。

通过求解矩阵，可以得到线性方程组的解。

例如，考虑以下线性方程组：2x + 3y = 74x + 5y = 11我们可以通过表示矩阵和向量的方式来解决这个问题：⎛2 3⎞⎛x⎞⎛7⎞⎜⎟ * ⎜⎟ = ⎜⎟⎝4 5⎠⎝y⎠⎝11⎠转化成矩阵乘法的形式：A * X = B其中，A是一个矩阵，X是未知数向量，B是已知向量。

通过运用矩阵的逆矩阵来求解，可以得到未知数向量X的值，即线性方程组的解。

二、行列式与向量的关系行列式也是高中数学中重要的概念，它在向量的运算中有着重要的应用。

行列式可以用来判断向量的线性相关性和计算向量的夹角。

对于二维向量组 {(x₁, y₁), (x₂, y₂)}，可以通过计算行列式来判断这两个向量是否线性相关。

如果行列式的值为0，则表示两个向量线性相关；如果行列式的值不为0，则表示两个向量线性无关。

对于三维向量组 {(x₁, y₁, z₁), (x₂, y₂, z₂), (x₃, y₃, z₃)}，可以通过计算行列式的值来计算向量的夹角。

设行列式的值为D，夹角为θ，则有：cosθ = D / (∥A∥ * ∥B∥)其中，∥A∥和∥B∥分别表示向量A和B的模。

通过计算行列式，可以得到向量之间的夹角。

三、矩阵的变换与几何意义在几何中，矩阵可以表示平移、旋转、缩放等几何变换。

通过对矩阵进行运算，可以对图形进行变换。

例如，平移变换可以通过矩阵相加表示：⎛x'⎞⎛x⎞⎛a⎞⎜⎟ = ⎜⎟ + ⎜⎟⎝y'⎠⎝y⎠⎝b⎠其中，(x, y)表示原始点的坐标，(x', y')表示变换后点的坐标，(a, b)表示平移的距离。

矩阵与行列式知识点

矩阵与行列式知识点矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将介绍矩阵和行列式的基本定义与性质，以及它们在实际问题中的应用。

一、矩阵的定义与性质矩阵是由一些数按照矩形排列而成的表格。

我们用$m\timesn$表示一个矩阵，其中$m$代表矩阵的行数，$n$代表矩阵的列数。

一个矩阵的元素通常用小写字母（如$a_{ij}$）表示，其中$i$表示元素所在的行数，$j$表示元素所在的列数。

矩阵的转置是指行和列互换，转置后的矩阵用$A^T$表示。

矩阵可以进行一些基本的运算，如矩阵的加法和数乘。

对于两个相同维数的矩阵$A$和$B$，它们的加法定义为$A+B$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。

对于一个矩阵$A$和一个标量$c$，它们的数乘定义为$cA$，即将矩阵$A$中的每个元素都乘以$c$得到新的矩阵。

矩阵的乘法是指两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

对于一个$m\times n$的矩阵$A$和一个$n\times p$的矩阵$B$，它们的乘积$AB$是一个$m\times p$的矩阵。

矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

二、行列式的定义与性质行列式是一个与方阵相关的标量值。

对于一个$n\times n$的方阵$A$，我们用$|A|$表示它的行列式。

行列式的计算主要依靠代数余子式和代数余子式矩阵。

对于方阵$A$的元素$a_{ij}$，它的代数余子式$M_{ij}$是去掉$a_{ij}$所在的行和列后的余下元素的行列式，即由$n-1$阶子方阵组成。

代数余子式矩阵$A^*$是由方阵$A$的每个元素的代数余子式按照一定的规则排布而成的矩阵。

行列式的计算方法有很多，包括拉普拉斯展开法、行列式按行展开法等。

其中，拉普拉斯展开法是最常用的方法，即选择方阵的任意一行或一列展开，并用代数余子式乘以对应元素后进行求和。

行列式具有很多重要的性质，如行列式的性质对换、行列式的性质正交等。

矩阵和行列式复习知识点汇总

矩阵和行列式复习知识点汇总一、矩阵的定义和运算：1.矩阵是一个按照矩形排列的数字集合。

一个m×n的矩阵有m行和n列。

2. 矩阵的元素通常用小写字母表示，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。

3.矩阵的加法：若A和B是同型矩阵，则它们的和A+B也是同型矩阵，且相加的结果为对应位置的元素之和。

4.矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个标量，则kA是一个矩阵，且每个元素都乘以k。

5. 矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则AB是一个m×p的矩阵，其中C_ij等于A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。

二、矩阵的特殊类型：1.零矩阵：所有元素都为0的矩阵。

2.对角矩阵：主对角线上元素以外的其他元素均为0的矩阵。

3.单位矩阵：主对角线上元素都为1，其他元素为0的对角矩阵。

4.转置矩阵：将矩阵A的行和列互换得到的矩阵，记作A^T。

5.逆矩阵：对于一个n阶方阵A，如果存在一个矩阵B使得AB=BA=I （其中I为单位矩阵），则称B为A的逆矩阵，记作A^(-1)。

只有非奇异矩阵才有逆矩阵。

三、行列式的定义和性质：1. 行列式是一个与方阵相关的标量值。

一个n阶方阵A的行列式通常用det(A)或，A，表示。

2. 二阶方阵A的行列式可表示为：det(A) = a11 * a22 - a12 *a213.计算三阶及以上行列式时，可利用代数余子式和拉普拉斯展开公式。

4.行列式的性质：a) 若A的其中一行（列）的元素全为0，则det(A) = 0。

b) 若A的两行（列）互换，则det(A)的符号会变化。

c) 若A的其中一行（列）的元素都乘以常数k，则det(kA) = k^n * det(A)。

d) 若A的两行（列）相等，则det(A) = 0。

e)若A的其中一行（列）的元素都乘以常数k，再加到另一行（列）上，对应行列式的值不变。

四、矩阵的行列式和逆矩阵：1. 对于一个n阶方阵A，若其行列式不为0（即det(A) ≠ 0），则A是一个非奇异矩阵，有逆矩阵A^(-1)。

高中数学复习专题-矩阵与行列式

专题八、矩阵与行列式1.矩阵：n m ⨯个实数n j m i a ij ,,2,1;,,2,1, ==排成m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n m n n a a a a a a a a a A212221211211叫做矩阵。

记作n m A ⨯，n m ⨯叫做矩阵的维数。

矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。

2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。

⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 3.线性方程组矩阵的三种变换： ①互换矩阵的两行；②把某一行同乘（除）以一个非零的数； ③某一行乘以一个数加到另一行。

变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。

4.矩阵运算：加法、减法及乘法（1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A-B ）.运算律：加法交换律：A+B=B+A ；加法结合律：（A+B ）+C=A+（B+C ）（2）矩阵与实数的积：设α为任意实数，把矩阵A 的所有元素与α相乘得到的矩阵叫做矩阵A 与实数α的乘积矩阵，记作：αA.运算律：分配律：()B A B A γγγ+=+；A A A λγλγ+=+)(；结合律：()()()A A A γλλγγλ==；（3）矩阵的乘积：设A 是k m ⨯阶矩阵，B 是n k ⨯阶矩阵，设C 为n m ⨯矩阵。

如果矩阵C 中第i 行第j 列元素ij C 是矩阵A 第i 个行向量与矩阵B 的第j 个列向量的数量积，那么C 矩阵叫做A 与B 的乘积，记作：C m ×n =A m ×k B k ×n .运算律：分配律：AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)(；结合律：()()()B A B A AB γγγ==，()()BC A C AB =；注意：矩阵的乘积不满足交换律，即BA AB ≠。

矩阵和行列式知识要点

矩阵和行列式知识要点一、矩阵（Matrix）1.定义矩阵是按照一定规则排列的数（或变量）的矩形阵列。

一般用大写字母表示，如A、B，其元素用小写字母表示并用下标表示元素的位置。

2.类型根据矩阵的元素可以分为实矩阵（元素为实数）、复矩阵（元素为复数）、数值矩阵（元素为纯数值而不是变量）等。

3.运算(1)矩阵的加法：对应元素相加。

(2)矩阵的数乘：矩阵的每个元素乘以相同的数。

(3)矩阵的乘法：矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A乘以B的结果是一个新的矩阵C，C的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列元素的乘积之和。

4.逆矩阵如果一个方阵A存在逆矩阵A-1，使得A与A-1相乘等于单位矩阵I，即A·A-1=I，那么称A为可逆矩阵或非奇异矩阵，A-1为A的逆矩阵。

5.矩阵的转置将一个矩阵的行变为同序数的列，列变为同序数的行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

二、行列式（Determinant）1.定义行列式是一个表示线性变换对坐标的拉伸或者压缩程度的标量值。

一般用竖线“，，”或者方括号“[]”表示。

2.性质(1)行列式的值等于其转置矩阵的值。

(2)行列式对换两行（列）变号。

(3)行列式中如果有两行（列）相同，则行列式的值为0。

(4)行列式其中一行（列）的元素都是两数之和，行列式的值可以分开计算。

3.行列式的计算方法(1)拉普拉斯展开法：取行（列）进行展开，将问题逐步转化为计算较小规模的子行列式。

(2)数学归纳法：将行列式的展开按照第一行（列）来进行，用递归的方法逐步减小行列式的规模。

4.逆矩阵与行列式的关系若矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1的值等于A的行列式的倒数，即A-1=1/，A。

三、矩阵和行列式的应用1.线性方程组2.线性变换矩阵可以表示线性变换，通过矩阵与向量的乘法，可以实现向量的旋转、缩放等操作。

3.特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量是矩阵在线性变换下的固有性质，通过计算矩阵的特征值和特征向量，可以得到矩阵的重要信息，如对称矩阵的主对角线元素就是其特征值。

矩阵与行列式

矩阵与行列式矩阵与行列式是线性代数中的重要概念，它们在数学和各个科学领域中具有广泛的应用。

本文将对矩阵和行列式的定义、性质以及它们之间的关系进行介绍。

1. 矩阵的定义和性质矩阵是一个由数值组成的矩形数组。

通常用大写字母表示一个矩阵，如A。

矩阵有两个维度，行和列。

一个m行n列的矩阵有m个行向量和n个列向量。

矩阵可以进行加法和数乘运算。

矩阵的加法是对应元素相加，数乘是将矩阵的每个元素与一个标量相乘。

矩阵加法和数乘满足交换律和结合律。

矩阵的乘法是一个重要的运算，需要满足两个矩阵的乘法条件。

设A为m行n列的矩阵，B为n行p列的矩阵，那么它们的乘积AB为一个m行p列的矩阵。

矩阵乘法满足结合律，但一般不满足交换律。

2. 行列式的定义和性质行列式是一个用于表示方阵性质的数值。

一个n阶方阵的行列式可以用记号det(A)表示。

行列式的计算涉及到对角线之差的乘积。

对于一个2阶方阵A，其行列式可以表示为ad-bc，其中a、b、c和d是方阵A的元素。

行列式具有一些重要的性质。

若A为一个n阶方阵，那么以下性质成立：- 若A的某一行（列）全为0，则det(A) = 0。

- 若A的某一行（列）乘以k，则det(A)乘以k。

- 若A的两行（列）交换，则det(A)取相反数。

行列式还有一些特殊性质，如一个方阵的行列式等于其转置矩阵的行列式，以及方阵可逆（存在逆矩阵）当且仅当其行列式不为0。

3. 矩阵和行列式的关系矩阵和行列式之间有一些重要的关系。

对于一个n阶方阵A，其行列式可以表示为det(A) = |A|。

行列式在计算矩阵的逆、求解线性方程组和特征值等问题中起着重要的作用。

矩阵的秩和行列式也有关系。

对于一个m行n列的矩阵A，其秩r 小于等于m和n中较小的值。

若r等于n，说明矩阵的每一列都是线性无关的。

此外，矩阵的特征值与行列式密切相关。

方阵A的特征值是满足方程det(A-λI)=0的λ值，其中I是单位矩阵。

特征值和特征向量在矩阵的对角化、稀疏矩阵和网络图等领域有广泛应用。

矩阵与行列式

矩阵与行列式矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，它们在各个领域的数学和工程问题中都扮演着重要的角色。

本文将介绍矩阵和行列式的基本概念、性质和应用，并通过具体的实例来加深理解。

一、矩阵的定义和表示矩阵可以理解为一个按照行和列排列的矩形数表，其中的元素可以是实数或复数。

一般来说，如果有m行n列的矩阵，则称其为m×n矩阵。

矩阵的元素可以用a(ij)表示，其中i表示行号，j表示列号。

矩阵可以用方括号表示，如：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23]二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法和减法：若A与B是同型矩阵，即有相同的行数m和列数n，则可以进行加法和减法运算。

具体实施时，只需要将对应位置的元素进行相加或相减即可。

2. 矩阵的标量乘法：如果A是一个矩阵，k是一个实数或复数，则A乘以k就是将A 中的每一个元素乘以k。

3. 矩阵的乘法：若A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，则A与B的乘积C是一个m×p的矩阵。

C中的元素cij等于A的第i行与B的第j列所对应元素的乘积再求和。

三、行列式的定义和性质行列式是一个与矩阵相关的数值函数，它对于判断矩阵是否可逆以及计算矩阵的逆矩阵等问题有重要作用。

1. 二阶行列式：对于一个二阶矩阵A = [a11, a12;a21, a22]，其行列式的计算公式为：|A| = a11 * a22 - a12 * a212. 三阶行列式：对于一个三阶矩阵，行列式的计算稍微复杂一些，其计算公式为： |A| = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32- a31 * a22 * a13 - a32 * a23 * a11 - a33 * a21 * a123. 行列式的性质：- 若矩阵A的两行进行交换，则行列式的值变号；- 若矩阵A的某一行的所有元素都乘以一个常数k，则行列式等于原行列式的k倍；- 若矩阵A的某一行是两个矩阵的对应行之和，则行列式等于这两个矩阵的行列式之和。

高中数学中的矩阵与行列式深入剖析

高中数学中的矩阵与行列式深入剖析矩阵和行列式是高中数学中的重要概念，它们不仅在数学中有着广泛的应用，而且在物理、工程等领域也扮演着重要的角色。

本文将深入剖析矩阵和行列式的概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和掌握这两个概念。

一、矩阵的概念与性质矩阵是由数个数按照一定的规则排列而成的矩形数表。

在高中数学中，我们主要研究的是二维矩阵，即由m行n列的数表所组成的矩阵。

矩阵中的每个数称为元素，用小写字母加上下标的形式表示，如a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵的加法和乘法是矩阵运算中的两个基本操作。

矩阵加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。

而矩阵乘法满足结合律和分配律，即(A * B) * C = A * (B * C)，A * (B + C) = A * B + A * C。

需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律，即A * B ≠ B * A。

除了加法和乘法，矩阵还有转置、逆矩阵等重要概念。

矩阵的转置是将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

转置后的矩阵用大写字母加上T表示，如A^T表示矩阵A的转置。

逆矩阵是满足矩阵乘法交换律的矩阵，即A * A^(-1) = A^(-1) * A = I，其中I表示单位矩阵。

需要注意的是，并不是所有的矩阵都有逆矩阵，只有非奇异矩阵才存在逆矩阵。

二、行列式的概念与性质行列式是一个与矩阵相关的数值。

对于一个二维矩阵A，它的行列式用竖线括起来表示，即|A|。

行列式的值是由矩阵的元素按照一定规律计算得到的。

具体计算行列式的方法有很多，如拉普拉斯展开法、三角形法则等。

这里我们以拉普拉斯展开法为例进行说明。

拉普拉斯展开法是一种递归的计算行列式的方法。

对于一个n阶矩阵A，我们可以选择其中的一行或一列展开计算。

如果选择第i行展开，那么行列式的值可以表示为D = a_i1 * A_i1 + a_i2 * A_i2 + ... + a_in * A_in，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素，A_ij表示去掉第i行第j列后所得到的(n-1)阶矩阵的行列式。

矩阵和行列式知识要点

矩阵和行列式知识要点一、矩阵的定义与基本运算：1.矩阵的定义：矩阵是一个按照矩阵元素排列形成的矩形阵列。

通常用大写字母表示，如A。

2.矩阵的元素：矩阵中的每个数称为矩阵的元素，用小写字母表示，如a。

3.矩阵的维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。

若一个矩阵有m 行n列，称为m×n阶矩阵。

4.矩阵的运算：a.矩阵的加法：如果两个矩阵A和B的维数相同，则它们可以相加，A+B的结果是一个与A和B维数相同的矩阵，即对应元素相加。

b.矩阵的数乘：如果一个矩阵A乘以一个数k，那么结果是一个与A 维数相同的矩阵，即将A的每个元素乘以k。

c.矩阵的乘法：如果两个矩阵A和B可以相乘，那么它们的乘积AB 的结果是一个新的矩阵，其行数等于A的行数，列数等于B的列数。

矩阵乘法不满足交换律。

二、行列式的定义与性质：1.行列式的定义：对于一个n×n的矩阵，将它的元素按照一定的规则排列成一个方阵，方阵元素的排列称为一个排列，用行列式表示。

行列式实际上是对矩阵的一种性质的一种数学描述。

2.行列式的计算：a.二阶行列式：二阶行列式即2×2阶矩阵的行列式。

b. 三阶行列式：三阶行列式即3×3阶矩阵的行列式。

可以利用“Sarrus法则”进行计算。

c. n阶行列式：n阶行列式可以利用定义展开、代数余子式、Laplace定理等方法进行计算。

3.行列式的性质：a.行列式的性质1：行列式与它的转置行列式相等。

b.行列式的性质2：互换行列式的两行（两列），行列式变号。

c.行列式的性质3：若行（列）中有零元素，则行列式的值为0。

d.行列式的性质4：若行（列）的其中一元素可被另一行（列）的元素表示，则行列式的值为0。

e.行列式的性质5：行列式中有两行（两列）完全相同，则行列式的值为0。

三、逆矩阵与可逆矩阵：1.逆矩阵的定义：对于一个n×n的矩阵A，如果存在一个n×n的矩阵B，使得AB=BA=I（单位矩阵），则A称为可逆矩阵，B称为A的逆矩阵，且B=A^(-1)。

高中数学中的行列式与矩阵详尽讲解

高中数学中的行列式与矩阵详尽讲解在高中数学中，行列式与矩阵是两个重要的概念。

它们既有着理论上的意义，也有着实际应用的价值。

本文将详细讲解行列式与矩阵的相关知识。

一、行列式行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来判断矩阵是否可逆。

对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)。

行列式的计算方法有很多种，其中最常用的是按照拉普拉斯展开定理进行计算。

拉普拉斯展开定理是指将一个n阶方阵的行列式展开成n个n-1阶方阵的行列式之和。

具体来说，对于一个n阶方阵A，可以选择其中的某一行或某一列，将其元素与对应的代数余子式相乘，再按照正负交错的方式相加，即可得到该行列式的值。

行列式的计算过程需要注意一些规则。

首先，行列式的值与矩阵的行列互换无关，即|A|=|A^T|。

其次，如果矩阵A的某两行（或某两列）互换位置，那么行列式的值将变为原值的相反数，即|A|=-|A'|，其中A'是A互换了两行（或两列）位置后的矩阵。

行列式在线性代数中有着广泛的应用。

例如，行列式可以用来求解线性方程组的解的个数。

当一个n阶方阵的行列式不等于0时，该方阵可逆，对应的线性方程组有唯一解；当行列式等于0时，该方阵不可逆，对应的线性方程组无解或有无穷多解。

二、矩阵矩阵是由一组数按照矩形排列而成的矩形阵列。

矩阵可以表示为m行n列的形式，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。

矩阵的元素可以是实数或复数。

矩阵的加法和数乘是两个基本的运算。

对于两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A+B，定义为将对应位置的元素相加得到的新矩阵。

对于一个矩阵A和一个数k，它们的数乘记作kA，定义为将矩阵A的每个元素乘以k得到的新矩阵。

矩阵的乘法是另一个重要的运算。

对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，定义为将矩阵A的每一行与矩阵B的每一列对应元素相乘，并将结果相加得到的新矩阵。

需要注意的是，两个矩阵相乘的前提是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

(完整版)矩阵和行列式复习知识点

|
a2(ka1+1)= a1 - a2 ≠ 0 ，∴有唯一解。
{
‒2
x = ‒1
1
= ‒1
12. 当 a≠1 时方程组的解为 = 0
1
2 =a b -a b =a (ka +1)1 2 2 1
1
2
|
|
|
|
|
|
|
三阶行列式可以按照其任意一行或列展开成该行或列元素与其对应的代数余子式的乘积之
和。
【三元线性方程组】
设三元一次方程组
{
{
1 + 1 + 1 = 1
2 + 2 + 2 = 2
3 + 3 + 3 = 3，其中 x、y、z 是未知数，通过加减消元化简为

所有可能的值中，最大的是
|
____ 。
1
2
3
⋯
9. 在 n 行 n 列矩阵
[
aij (i, j 1, 2 , n)
2
3
4
⋯
1
⋯
⋯
⋯
⋯
⋯
‒1

1
⋯
‒2

1
2
⋯
‒ 1 中，记位于第 i 行第 j 列的数为
]
。当 n 9 时， a11 a22 a33 a99 _____
（2017 上海数学）关于 x、y 的二元一次方程组
D为
．
。
2
3. （2015 上海数学）若线性方程组的增广矩阵为 0
[
c1-c2=
3
1
1
x=3
2 解为 = 5，则

高中数学矩阵与行列式

高中数学矩阵与行列式矩阵与行列式是高中数学中重要的内容，它们在代数和几何中有广泛应用。

本文将从基本定义、运算性质、逆矩阵和行列式的应用等方面来探讨矩阵与行列式的知识。

一、矩阵的基本定义矩阵是由$m$行$n$列的数表所组成，用$A=(a_{ij})_{m \timesn}$表示，其中$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行、第$j$列的元素。

根据矩阵的定义，可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵等。

二、矩阵的运算性质矩阵的运算包括加法、数乘和乘法等，下面将对这些运算性质做详细介绍。

1. 矩阵的加法设$A=(a_{ij})_{m \times n}$和$B=(b_{ij})_{m \times n}$是两个$m\times n$的矩阵，它们的和$A+B$定义为$(a_{ij}+b_{ij})_{m \times n}$，即将对应位置的元素相加得到新的矩阵。

2. 矩阵的数乘设$A=(a_{ij})_{m \times n}$是一个$m \times n$的矩阵，$k$是一个实数，那么$kA$定义为$(ka_{ij})_{m \times n}$，即将矩阵$A$中的每个元素乘以$k$得到新的矩阵。

3. 矩阵的乘法设$A=(a_{ij})_{m \times s}$和$B=(b_{ij})_{s \times n}$是两个矩阵，它们的乘积$AB$是一个$m \times n$的矩阵，定义为$(c_{ij})_{m \times n}$，其中$c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}$。

即矩阵$A$的第$i$行与矩阵$B$的第$j$列相乘并求和得到新矩阵$AB$的第$i$行第$j$列的元素。

三、逆矩阵逆矩阵是矩阵的重要概念，对于一个方阵$A$，如果存在一个方阵$B$，使得$AB=BA=I$，其中$I$是单位矩阵，则称$A$是可逆矩阵，$B$是$A$的逆矩阵，记作$A^{-1}$。

逆矩阵具有以下性质：1. 如果矩阵$A$可逆，则其逆矩阵唯一。

高考数学《矩阵与行列式》专题复习.doc

高考数学《矩阵与行列式》专题复习「矩阵元素「矩阵（鸟凶j ）- m 凶1叫维数L 线性方程组的系数矩阵、增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵「加法：满足交换律和结合律矩阵运算.减法：满足殳换律和结合律「矩阵与实数的积：满足分配律和结合律 L 乘沪、叫矩阵的乘积：Ox 店代必風“不满足交换律声子式：Mi ---- --------------代数余子式，（-D 啊行列式展开式：某行（列）的元素分别与它们的代数余子式乘积的和-1 •行、列依次对调，行列式的值不变 2•两行（或两列）对调，行列式的值变号 3•某行（或列）所有元素乘以数k,所得行列式的值等于原行列式值的k 倍4•某两行（或两列）的元素对应成比例，行列式的值为零 5•某行（或列）的所有元素乘以同一个数，加到另行（或列）的对应元素上，行列式的值不变6•某一行（或一列）的元素与另一行（或一列）的元素的代数余子式对应相乘，那么它们的乘积之和等于零8•三点共线的充分必要条件为：” “L 二元/三元一次方程组的解：DH0,方程组有唯一解；債=8「方程组无解或有无数组解1 .矩阵:肌“个实数切= 1,2,…，加=1,2,…,〃排成加行〃列的矩形数表矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。

2. 线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。

\a }x + b }y = q[a 2x-^-b 2y = c 23. 线性方程组矩阵的三种变换： ① 互换矩阵的两行；② 把某一行同乘（除）以一个非零的数； ③ 某一行乘以一个数加到另一行。

变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵,其扩充矩阵的最后-列就是方程组的解。

4•矩阵运算：加法、减法及乘法（1）矩阵的和（差）：记作：A+B （A-B ）・运算律：加法交换律：A+B 二B+A ；加法结合律：（A+B ） +C=A+ （B+C ）（2）矩阵与实数的积：设。

为任意实数，把矩阵A 的所有元素与G 相乘得到的矩阵叫做矩阵行列式・-行列式性典叫做矩阵。

数学的拼高中数学中的矩阵与行列式的综合题

数学的拼高中数学中的矩阵与行列式的综合题高中数学中的矩阵与行列式的综合题在高中数学课程中，矩阵与行列式是一个非常重要的内容。

它们不仅在数学领域中有广泛的应用，还在物理、工程等其他学科中起到重要的作用。

本文将综合讨论矩阵与行列式的相关概念和运算，并通过一些练习题来巩固对这一部分知识的理解。

1. 矩阵的基本概念与运算首先，我们来回顾一下矩阵的基本概念。

矩阵是由m行n列的数按一定的顺序排列成的矩形阵列。

一个m行n列的矩阵可以表示为：A = (aij) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)其中，aij表示矩阵中第i行第j列的元素。

矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和乘法。

下面，我们来逐个介绍。

1.1 矩阵的加法与减法定义两个相同大小的矩阵A和B：A = (aij) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)B = (bij) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)则矩阵A和B的加法与减法定义如下：A +B = (aij + bij) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)A -B = (aij - bij) (1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n)其中，aij和bij分别表示矩阵A和B中对应位置上的元素。

需要注意的是，矩阵的加法和减法要求两个矩阵的行数和列数相同。

1.2 矩阵的乘法接下来，我们来介绍矩阵的乘法。

设矩阵A为m行n列的矩阵，矩阵B为n行p列的矩阵，其乘积AB为m行p列的矩阵。

乘法的定义如下：AB = (cij) (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p)其中，cij表示矩阵乘积中第i行第j列元素的值，其计算方式为：cij = aik * bkj (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p, 1 ≤ k ≤ n)需要注意的是，矩阵的乘法要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，否则乘法无法进行。

2. 行列式的概念与性质除了矩阵，行列式也是高中数学中的重要内容。

行列式是一个标量，可以表示为一个数。

高中数学复习专题-矩阵与行列式汇编

记作n m A ⨯，n m ⨯叫做矩阵的维数。

矩形数表叫做矩阵，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素。

2.线性方程组的系数矩阵、方程组的增广矩阵、行向量、列向量、单位矩阵。

变换的目的是将线性方程阻系数矩阵变为单位矩阵，其扩充矩阵的最后一列就是方程组的解。

高中数学解矩阵与行列式2023

高中数学解矩阵与行列式2023数学是一门抽象而纯粹的学科，在高中阶段，我们将进一步学习数学的各个分支，包括代数、几何、概率等。

其中，矩阵与行列式是高中数学中的重要内容之一。

本文将详细介绍矩阵与行列式的概念、性质以及解题方法。

一、矩阵的定义与基本运算1.1 矩阵的定义矩阵是由数按矩形排列而成的数表。

我们用大写字母表示矩阵，例如A、B等。

矩阵中的数称为元素，用小写字母表示，例如a、b等。

一个m × n的矩阵有m行和n列。

例如，下面是一个3 × 2的矩阵：A = |a11, a12||a21, a22||a31, a32|1.2 矩阵的基本运算矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法和数乘。

1.2.1 矩阵的加法对于两个同型矩阵A和B，它们的和记作C = A + B，其中C的元素等于A和B对应元素之和。

1.2.2 矩阵的减法对于两个同型矩阵A和B，它们的差记作C = A - B，其中C的元素等于A和B对应元素之差。

1.2.3 矩阵的数乘对于一个矩阵A和一个标量k，它们的数乘记作B = kA，其中B的元素等于A的对应元素乘以k。

二、行列式的定义与性质2.1 行列式的定义行列式是一个与方阵相关的数。

一个n阶方阵的行列式记作Det(A)或|A|。

2.2 行列式的性质2.2.1 行列式的值对于一个2阶方阵A，它的行列式定义为|A| = a11a22 - a12a21。

对于一个3阶方阵A，它的行列式定义为|A| = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)。

2.2.2 行列式的性质- 行列式的值与矩阵的转置无关，即|A| = |A^T|。

- 将矩阵的某一行（列）乘以一个数k，行列式的值也等于原行列式乘以k。

- 互换矩阵的两行（列），行列式的值取相反数。

- 如果矩阵的某行（列）中的元素全为0，那么行列式的值等于0。