矩阵和行列式基础.ppt
矩阵和行列式基础
Copyrigah11t
2a0102 4＝-2a01a1
Aspose －a a
Pty
Ltd.
a21 a22
11 22 21 12
求解二元一次方程组－－－ 用二阶行列式建立的克莱姆法则：
a11
当 a21
a12 a22
0 时，方程组有唯一的解：
b1 a12 Evaluation only. a11 b1
n 系C数o行py列rig式htD20≠040-，20则11方A程sp组ose(1P)t有y 唯Ltd一. 解。
n D=0,且Dj不全为零，则方程组（1）无解
n D=0且Dj＝0，则方程组（1)有无穷多组解
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标 j 表示
这个元素所在的列数，称为列标。
二阶行列式D的计算可用对角线法帮助记忆：
主对角线上元素的E乘va积lua-ti次on对o角nl线y.上元素的乘积。
eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
D ai1 Ai1 ai2EAvia2luation oaninlAy.in (i 1,2,, n)
eated DwithaA1 jsAp1oj se.aS2lij dAe2sj for .NEaTnj 3A.n5j Cl(iejnt 1P,2ro,file, n5).2.0 Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
的转置行列式。Evaluation only. eated with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
线性代数基础
0 0 0 a44
a14a23a33a41
四个结论：
(1) 对角行列式
a11 D a22 ann
(2)
a11a22 ann
a1n D a n1 a2,n 1
(1)
n( n1) 2
a1na2,n1
an1
(3)
上三角形行列式 （主对角线下侧元素都为0）
a11 0 D 0
a11a22a34a43 2 x 3
故 x 3 的系数为－1.
§1.2
代数余子式:
行列式按行(列)展开
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij的余子式，记作 M ij . 把 Aij 1 子式．
例如
i j
M ij
, n) 排成的
a21
a22
am 1 am 2
a11 a21 A am 1 a12 a22 am 1
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作
a11 a21 A am 1
a12 a22 am 1
a1 n a2 n amn
§2.3 逆矩阵
§2.4 矩阵的分块 §2.5 方阵的特征值与特征向量 补充: 几个重要的矩阵
§2.1 矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2, m 行 n 列的数表 a11 a12
, m; j 1, 2,
a1n a2 n amn
a1 n a2 n amn
1 0 4. 形如 0 0
2
0
0 0 记作 的方阵称为对角阵． A diag(1 , 2 , , n ) n
第3课 行列式
-21-
例3
× × 0 × × 0 × × 0 × × ×
× × 0 0= ⋅× × × =0 × × × × × × × × × × × ×
0 0 0 0
0 0 0
性质8 性质8
都是n阶方阵 设A，B都是 阶方阵，则 ， 都是 阶方阵，
AB = A ⋅ B
-22-
例4
是奇数阶方阵， 设A是奇数阶方阵，且 AT A = E , A = 1, 是奇数阶方阵 证明 E − A = 0
按第1列展开 按第 列展开
a11
a 23 L a 2 n a 33 a3n O M a nn ( n−1)
按第1列展开 按第 列展开
a 33 a11a 22
a 34 L a 3 n a44 a4n O M
=L
a nn ( n − 2)
= a11a 22 L a nn
-8-
由定义，可得二阶行列式与三阶行列式的计算 由定义，
互换行列式的两行（ 互换行列式的两行（列）,行列式变号。 行列式变号。
1 7 5 1 7 5 6 6 2 = − 3 5 8, 3 5 8 6 6 2
再如，证明 再如，
1 7 5 7 1 5 6 6 2 = − 6 6 2. 3 5 8 5 3 8
a b c × × × =0 a b c
a b c × × × a b c
a11 L a1k M M D= a k 1 L a kk c11 L c1k M M c n1 L cnk
p11 M p = k1 c11 M cn1
0 b11 L b1n M M bn1 L bnn
O L pkk L c1k M L cnk
0 q11 M O qn1 L qnn
第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
矩阵列运算与行列式性质.ppt
2 1 1 4
如 1
1
2
1
3 5 9 8
矩陣的列運算-1
矩陣的列運算-2
矩陣的列運算-3
矩陣的列運算-4
前面解方程組的過程中 , 各項係數所作的變化 , 事實上就是其增廣矩陣 的列與列之運算.
矩 陣 的 列 運 算 有 下 列 三種： (1) 將矩陣中的某兩列互換位置. (2) 將矩陣中的某一列乘以一個不為 0 的數. (3) 將矩陣中的某一列乘以一個數後再加到另一列.
a1 kc1 c1 a2 kc2 c2 0 a3 kc3 c3
(第二、三兩行成比例)
ka3 kb3 kc3 a2 b2 c2 0 (第一、三兩列成比例)
a3 b3 c3
三階行列式的性質-3
5. 將一行(列)的k倍加到另一行(列) , 其值不變.
a1 b1 c1 a1 b1 kc1 c1 a2 b2 c2 a2 b2 kc2 c2 a3 b3 c3 a3 b3 kc3 c3
矩陣列運算與行列式性質
一次方程組與 矩陣的列運算
2x y z 4 聯立方程組 L ： x y 2z 1
3x 5y 9z 8
2 1 1 係數矩陣：將 L 的係數依序列出來的矩陣. 如 1 1 2
3 5 9
增廣矩陣：將 L 的係數與常數項依序列出來的矩陣.
4 4 17
9 45 24 35 3 3 8 350 0 (第一、二兩行成比例)
5 25 29
5 5 29
例3：求三階行列式的值(3)
1 a a2 設a,b, c為實數 , 試證：1 b b2 (a b)(b c)(c a)
1 c c2
解：
线性代数第2章矩阵PPT课件
目录 CONTENT
• 矩阵的定义与性质 • 矩阵的逆与行列式 • 矩阵的秩与线性方程组 • 矩阵的特征值与特征向量 • 矩阵的对角化与相似变换
01
矩阵的定义与性质
矩阵的基本概念
矩阵是一个由数字组 成的矩形阵列，行数 和列数可以不同。
矩阵的维度是指行数 和列数的数量。
矩阵的元素通常用方 括号括起来，并用逗 号分隔。
矩阵的运算规则
01
02
03
加法
两个矩阵的加法是将对应 位置的元素相加。
数乘
一个数乘以一个矩阵是将 该数乘以矩阵的每个元素。
乘法
两个矩阵的乘法只有在第 一个矩阵的列数等于第二 个矩阵的行数时才能进行。
特殊类型的矩阵
对角矩阵
对角线上的元素非零，其他元素为零的矩阵。
行列式的递推公式法
递推公式法是一种常用的计算行列式 的方法，它通过递推关系式将n阶行 列式转化为低阶行列式进行计算。这 种方法在计算较大行列式时非常有效。
03
矩阵的秩与线性方程组
矩阵的秩
矩阵的秩定义
矩阵的秩是其行向量组或列向量 组的一个极大线性无关组中向量 的个数。
矩阵的秩的性质
矩阵的秩是唯一的，且满足行秩 等于列秩。矩阵的秩等于其任何 子矩阵的秩。
02
特征值和特征向量与矩阵的乘法 运算有关，即如果Ax=λx，那么 (kA)x=(kλ)x，其中k是任意常数。
03
特征值和特征向量与矩阵的转置 运算有关，即如果Ax=λx，那么 A^Tx=(λ^T)x。
特征值与特征向量的计算方法
定义法
根据特征值和特征向量的定义， 通过解方程组Ax=λx来计算特
征值和特征向量。
高等数学第十章线性代数基础
第一节 行 列 式
2. 几种特殊的n阶行列式
（1）对角行列式：只有在对角线上有非零 元素的行列式。
(2)下(上)三角行列式：主对角线以上(下)的 元素都为零的行列式。
第一节 行 列 式
三、 行列式的性质
1. n阶行列式的概念
我们已经定义了二阶、三阶行列式，又将 三阶行列式转化为二阶行列式来计算，一般地， 可用递归法来定义n阶行列式。
第一节 行 列 式
2. 三阶行列式
类似地，对于三元一次方程组
为了简单地表达它的解，我们引进三阶行列式的概念。 三阶行列式也是一个数值，它可以通过转化为二阶行 列式的计算而得到。 三阶行列式可以用来解三元一次方程组。
第一节 行 列 式
若分别记三阶行列式
如果方程组（10-1-4）中的系数行列式Δ≠0，那么方程 组有唯一解，其解可以简洁地表示为：
第一节 行 列 式
二、 n阶行列式
1. n阶行列式的概念
我们已经定义了二阶、三阶行列式，又将三阶 行列式转化为二阶行列式来计算，一般地，可用递 归法来定义n阶行列式。
第一节 行 列 式
定义1
将n2个数排列成n行n列，并在左、右两边各加 一竖线的算式，即
称为n阶行列式，它代表一个由确定的运算关系所 得到的数。
第一节 行 列 式
四、 行列式的计算
例1 计算三阶行列式
第一节 行 列 式
（1）对二阶、三阶行列式按定义展开，直接计算。 （2）对特殊的行列式，如上(下)三角行列式，其值为主对角线 元素的乘积。 （3）按照性质6，将行列式按某一行(或列)的展开式展开，把 行列式转化为低一阶的行列式，如此继续下去，直至降到三阶或二 阶行列式，然后直接计算。 （4）利用性质5，将行列式转化成三角行列式或其他易计算的 行列式，然后再计算，这是计算行列式的常用的基本方法。
线性代数7PPT课件
向量空间的性质
零向量和负向量的存在
在向量空间中，存在一个特殊的向量，称为零向量，它与任何向量进行加法运算结果仍为 该向量本身。同时，对于每个非零向量，都存在一个与其相反的向量，称为该向量的负向 量。
向量的线性组合
对于任意标量和向量，以及任意数量的标量，都可以进行线性组合，得到一个新的向量。
向量的线性无关
二次型的性质
01
实定性
如果一个二次型在某个基下的矩 阵是对称的，那么这个二次型是 实定的。
正定性
02
03
半正定性
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是正定的，那么这个二 次型是正定的。
如果一个实定的二次型在某个基 下的矩阵是半正定的，那么这个 二次型是半正定的。
二次型与矩阵的相似性的关系
二次型与矩阵的相似性
07
二次型与矩阵的相似性
二次型的定义
二次型
一个n元二次型是一个n维向量空间上的多 线性函数，其一般形式为$f(x) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中$a_{ij}$是常数。
二次型的矩阵表示
对于一个二次型$f(x) = x^T A x$，其中 $A$是一个对称矩阵。
特征值和特征向量的性质还包括：如 果λ是A的特征值，那么kλ（k≠0）也 是A的特征值；如果x是A的对应于λ的 特征向量，那么kx也是A的对应于λ的 特征向量。
特征值与特征向量的应用
在物理和工程领域中，特征值和特征向量的应用非常广泛。例如，在振动分析中，系统的固有频率和 振型可以通过求解系统的质量矩阵和刚度矩阵的特征值和特征向量得到。
02
19世纪中叶，德国数学家克罗内克等人开始系统地 研究线性代数，并为其建立了基础。
线性代数-行列式PPT课件
矩阵的秩和行列式
矩阵的秩和行列式之间也存在关系。矩阵的 秩等于其行向量或列向量生成的子空间的维 数，而行向量或列向量生成的子空间的维数 又等于该矩阵的阶数与非零特征值的个数之 和减去一，而一个矩阵的非零特征值的个数 又等于该矩阵的行列式的值。
05
特殊行列式介绍
二阶行列式
定义
二阶行列式表示为2x2的矩 阵，其计算公式为a11*a22a12*a21。
对于任何n阶方阵A，其行列式|A|和转置行列式|A^T|相等，即|A^T| = |A|。
行列式的乘法规则
总结词
行列式的乘法规则
详细描述
行列式的乘法规则是两个矩阵的行列式相乘等于它们对应元素相乘后的行列式。即，如果矩阵A和B分别是m×n 和n×p矩阵，那么它们的行列式相乘|AB| = |A||B|。
向量和向量的外积
行列式可以用来描述向量的外积，即两个向量的叉积。叉积 的结果是一个向量，其方向垂直于作为叉积运算输入的两个 向量，大小等于这两个向量的模的乘积与它们之间夹角的正 弦的乘积。
在线性方程组中的应用
解线性方程组
行列式可以用来判断线性方程组是否有 解，以及解的个数。如果一个线性方程 组的系数矩阵的行列式不为零，则该线 性方程组有唯一解；如果系数矩阵的行 列式为零，则该线性方程组可能无解、 有唯一解或有无穷多解。
线性代数-行列式ppt课件
• 引言 • 行列式的计算方法 • 行列式的性质 • 行列式的应用 • 特殊行列式介绍 • 行列式的计算技巧
01
引言
主题简介
01
行列式是线性代数中的基本概念 之一，用于描述矩阵的某些性质 和运算规则。
02
行列式在数学、物理、工程等领 域有广泛的应用，是解决实际问 题的重要工具。
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。
若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：齐次方程组：1.是否存在非零解，以及存在的条件2.通解的结构与性质3.解法非齐次方程组：1.是否有解，以及有解的条件是什么2.有多少解以及对应解数量的条件是什么3.多解的结构与性质4.解法行列式二，三阶行列式行列式的初始作用是解线性方程组！例如：最简单的二元线性方程组\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。
所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}于是有了这么一个行列式之后，我们就可以得到：D = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \ D_1 = \begin{bmatrix} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{bmatrix} \ D_2 = \begin{bmatrix}a_{21} & b_1 \\ a_{21} & b_2 \end{bmatrix} \\Rightarrow \\ x_1 = \frac{D_1}D, x_2 = \frac{D_2}D同理可以推广到三元线性方程组，定义三阶行列式。
矩阵与行列式
二、行列式(Determinant)
determinant:
n.[数]行列式；决定因素
adj.决定因素的、限定性的
m rows and n
columns, written
m×n矩阵
当m=n时，也叫作
2×2方阵、3×3方阵
行列式是一个数！
计算方阵的行列式
(只要求掌握2×2
方阵)
二、行列式(Determinant)
一、矩阵(Matrix)
4.乘法的计算：
两个矩阵相乘
要求：A is an m×p matrix and B is a
p×n matrix.
Then the product A×B is a m×n matrix.
一、矩阵(Matrix)
4.乘法的计算： 要求：A is an m×p matrix and B is a
p×n matrix.
两个矩阵相乘 Then the product A×B is a m×n matrix.
一、矩阵(Matrix)
4.乘法的计算：
要求：左矩阵取行，右矩阵取列，对
应相乘再相加。
两个矩阵相乘
2
3 2 0
× 1
0 1 2
3
−3
1
2
=
×+×+×
×+×+×
=
Find determinant
Find determinant −
−
二、行列式(Determinant)
Find determinant: ①
−
②
−
矩阵与行列式
第9章 行列式与矩阵学习目标了解n 阶行列式定义,理解行列式性质. 掌握二阶、三阶、四阶行列式的计算.理解矩阵的概念、逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件，了解矩阵秩的概念.掌握几种特殊矩阵，掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律、矩阵的初等行变换和用初等行变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.在科学研究和实际生产中，碰到的许多问题都可以直接或近似地表示成一些变量之间的线性关系，因此，线性关系的研究就显得是非常重要了. 行列式与矩阵是研究线性关系的重要工具.本章将介绍行列式与矩阵的一些基本概念、性质和运算.§9.1 行列式的概念与计算9.1.1二阶、三阶行列式用消元法解二元线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a b x a x a （9.1）当021122211≠-a a a a 时，得 211222*********a a a a a b a b x --=，211222111212112a a a a b a b a x --=为了便于记忆，我们引进二阶行列式的概念.1．二阶行列式的定义定义9.1 用22个数组成的记号22211211a a a a ，表示数值21122211a a a a -，称为二阶行列式，22211211,,,a a a a 称为行列式的元素，横排称行，竖排称列.利用二阶行列式的概念，当二元线性方程组（9.1）的系数组成的行列式0≠D 时，它的解可以用行列式表示为11211122221212121112111221222122,b a a b b a a b D D x x a a a a D D a a a a ====其中1D 和2D 是以21,b b 分别替换系数行列式D 中第一列、第二列的元素所得到的两个二阶行列式.例9.1.1 用行列式解线性方程组 ⎩⎨⎧=+=-153322121x x x x .解 因为135312=-=D ， 1651131=-=D ，713322-==D .所以 1212167,1313D D x x D D ====-. 类似地，用23个数组成的记号 333231232221131211a a a a a a a a a ，表示数值 ++312312332211a a a a a a322311332112312213322113a a a a a a a a a a a a ---称为三阶行列式，即333231232221131211a a a a a a a a a =322113312312332211a a a a a a a a a ++ 322311332112312213a a a a a a a a a ---.它是由3行3列共9个元素构成，是6项代数和.这9个元素排成3行3列，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.上式也可以用对角线法则记忆，如图9.1所示.实线上三个元素的乘积取正号，虚线上三个元素的乘积取负号.例9.1.2 计算三阶行列式312203154--.解 原式＝-⨯⨯--⨯⨯-⨯⨯+-⨯-⨯+⨯⨯421)1(02252)1()3(1403 604580203035)3(=+--++=⨯⨯-.333231232221131211aa a aa a aa a 取+号 取-号 图9.1例9.1.3 解不等式 0114011>x x .解 因为11140112-=x x x ，原不等式化为012>-x . 故不等式的解集为{11}x x x ><-或.9.1.2阶行列式1．n 阶行列式的定义定义9.２ 由2n 个数组成的一个算式nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=，称为n 阶行列式，其中ij a 称为D 的第i 行第j 列的元素),,2,1,(n j i =.当1=n 时，规定1111a a D ==.n 阶行列式简记为ij a .定义９.３ 在n 阶行列式ij a D =中去掉元素ij a 所在的第i 行和第j 列后，余下的1-n 阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M .将ij ji M +-)1(叫做元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即有ij j i ij M A +-=)1(.设1-n 阶行列式已定义，则n 阶行列式∑==+++=nj j j n n A a A a A a A a D 1111112121111 . （9.2）例如，当3=n 时，333231232221131211a a a a a a a a a 131312121111A a A a A a ++=. 例9.1.4 写出四阶行列式25171496381291312411---的元素32a 的余子式和代数余子式.解 1141361471232-=M ，11413614712)1(322332--=-=+M A .形如下列形式的行列式分别称为n 阶对角行列式和n 阶下三角行列式，由（9.2）式可知，它们的值都是主对角线上元素的乘积.nn nn a a a a a a 22112211000000=，nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=.２. 行列式的性质根据n 阶行列式的定义直接计算行列式，当行列式的阶数n 较大时，一般是很麻烦的，为了简化n 阶行列式的计算，我们有必要讨论n 阶行列式的性质.如果把n 阶行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=中的行与列按顺序互换，得到一个新的行列式nnn nn n T a a a a a a a a a D 212221212111=，T D 称为行列式D 的转置行列式.显然，D 也是T D 的转置行列式.性质9.1.1 行列式D 与它的转置行列式T D 的值相等.即TD D =.例如，二阶行列式 2112221122211211a a a a a a a a D -==，2112221122122111a a a a a a a a D T-==.显然，TD D =.对于n 阶行列式，可以用数学归纳法加以证明，这里略去.性质9.1.1说明，行列式中“行”与“列”的地位是相同的，所以凡是对行成立的性质，对列也同样成立.由性质9.1.1和n 阶下三角行列式的结论，可以得到n 阶上三角行列式的值等于它的主对角线上元素的乘积，即nn nnnna a a a a a a a a221122211211=.性质9.1.2 n 阶行列式ij a D =等于它的任意一行（或列）的各元素与其对应代数余子式的乘积之和，即11221(1,2,3,)ni i i i in in ik ik k D a A a A a A a A i n ==+++==∑，或 11221(1,2,3,)nj j j j nj nj kj kj k D a A a A a A a A j n ==+++==∑. （9.3）例9.1.5 设三阶行列式152235313-=D ，按第二行展开，并求其值.解 因为 14)151(1531)1(211221=--=-=-=+M A ， 31233)1(222222-==-=+M A ,135213)1(233223-=-=-=+M A ,所以 232322222121A a A a A a D ++=105)13(2)3(3145-=-⨯+-⨯+⨯-=.性质9.1.3 互换行列式的其中两行（或列）位置，行列式值改变符号. 例如，二阶行列式2112221122211211a a a a a a a a D -==，交换两行后得到的行列式D a a a a a a a a -=-=1122122112112221.推论 如果行列式其中有两行（或列）完全相同，那么行列式的值为零. 事实上．交换相同的两行，由性质2得，D D -=，于是0=D .性质9.1.4 行列式某一行（或列）的公因子可以提到行列式记号的外面，即nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a 212111************λλλλ=. 推论1 如果行列式中有一行（或列）的元素全为零，那么此行列式的值为零.推论2 如果行列式其中有两行（或列）元素对应成比例，那么行列式等于零. 推论3 行列式中任意一行（或列）的元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.例如，对于行列式333231232221131211a a a a a a a a a D =， 有0231322122111=++A a A a A a ,,0133312321131=++A a A a A a性质9.1.5 如果行列式的某一行（或列）元素可以写成两数之和，那么可以把行列式表示成两个行列式的和，即nn n n in i i n nn n n in in i i i i n a a a b b b a a a a a a c b c b c b a a a 21211121121221111211=+++nnn n in i i na a a c c c a a a 212111211+.例如，二阶行列式2221121122211211222121121111a b a b a a a a a b a a b a +=++.性质9.1.6 把行列式某一行（或列）的元素同乘以数k ，加到另一行（或列）对应的元素上去，行列式的值不变，即.212122111121121212111211nnn n jn j j nj in j i j i nnn n n jn j j in i i n a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a a a a a a a+++=证 设原行列式为D ，变形后得到的行列式为1D ，由性质9.1.5和性质9.1.4的推论３得，nn n n jn j j in i i n a a a a a a a a a a a a D212121112111=D D a a a a a a ka ka ka a a a nnn n jn j j jn j j n=+=+021*******11. 为了便于书写，在行列式计算过程中约定采用下列标记法：（1） 用r 代表行，c 代表列.（2） 第i 行和第j 行互换，记为j i r r ↔，第i 列和第j 列互换，记为j i c c ↔.（3） 把第j 行（或第j 列）的元素同乘以数k ，加到第i 行（或第i 列）对应的元素上去，记为i j r kr +（或i j c kc +）.（4） 行列式的第i 行（或第i 列）中所有元素都乘以k ，记为i kr （或i kc ）. 行列式的基本计算方法之一是根据行列式的特点，利用行列式的性质，把它逐步化为上（或下）三角行列式，由前面的结论可知，这时行列式的值就是主对角线上元素的乘积.这种行列式的计算方法称为“化三角形法”.例9.1.6 计算2011513415333112D ---=---.解 132111021513431541533351331121132D c c ------=↔-------41213133r r r r r r ++-+-1210111105500151------232410210111150060500162r r r r ---+----+ 34102110111151000121100812r r ---- 3410120111110001120018c c ---↔-341012011111010(4)4000112004r r ----+-=-⨯-=-.计算行列式的另一种基本方法是选择零元素最多的行（或列）展开；也可以先利用性质把某一行（或列）的元素化为仅有一个非零元素，再按这一行（或列）展开.这种方法称为降阶法.例9.1.7 计算224152105146112------=D解 2241502105146112------=D 7261001205744132524121-----+-+c c c c31314(1)(1)7520627+-=-⨯----726008413521-----+-r r7241)1()8(12----⨯--=+120=例9.1.8 证明.0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a证 设此行列式为D ，将D 化简, 把第一列乘以（－１）分别加到以后各列，有2223224221446922144692144693214469a a a a c c b b b b D c c c c c c d d d d +++-++++=+++-++++062126212621262122222=++++d d c c b b a a . 例9.1.9 计算n 阶行列式ab b b a b b b a D=解 从行列式D 的元素排列特点看，每一列n 个元素的和都相等，把第2，3，…，n 行同时加到第1行，提出公因子b n a )1(-+，然后各行减去第一行的b 倍，有ab bb a b bn a b n a b n a D)1()1()1(-+-+-+=ba b a b n a ab b b a b b n a ---+=-+=00111])1([111])1([1)]()1([---+=n b a b n a .例9.1.10 解方程0113211232113221132111321=-+-+-+-+-------xa a a a a a a x a a a a a a a x a a a a a a a xa a a a a a a a n n n nn n n n n n n n.（)01≠a解 把方程左边的行列式，第一行乘以（－１）加到其余各行上，得)())((0000000000000121112211321x a x a x a a xa x a x a x a a a a a a n n n n n ---=--------.原方程化为0)())((1211=----x a x a x a a n ． 故方程有1-n 个解112211,,--===n n a x a x a x .注 计算行列式有下列方法：(1) 二阶、三阶行列式利用定义计算；(2) 利用展开式(9.3)式计算，选择0元素较多的行（或列）进行展开； (3) 利用行列式的性质，化为三角行列式进行计算； （4）先利用行列式的性质把某行（或列）化为只有一个元素不为零，再利用展开式（9.3）式；交替使用性质、定理来计算.习题9.11.计算下列行列式：（1）3725 （2）abb a a 2（3）1100 （4）612153231--- （5）34010020********--- （6）3111131111311113（7）.3351110243152113------ （8）ba a c cb cba+++111（9）.aaaaa d a a a a a c a a a a a ba +++ （10）xyy x y x y x 00000002.写出三阶行列式4830111752---=D 中元素3222,a a 的代数余子式，并求其值. 3.已知四阶行列式D 中，第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次为5，3，-7，4，求D .4.设行列式51214132014221---=D ，分别按D 的第二行和第四列展开，并计算其值.5.解下列方程：（1）0913151313221642222=-----x x （2）0011101101110=x x x x6.计算n 阶行列式xa a a a x a a a a x aaa a x D=.7.计算1n +阶行列式nn n n n b a a a a b a a a a b a a a a D +++= 21221211211111.9.2 矩阵及其初等变换矩阵是一个重要的数学工具，是进行网络设计、电路分析等强有力的数学工具，也是利用计算机进行数据处理和分析的数学基础.它不仅在经济模型中有着很实际的应用，而且目前国际认可的最优化的科技应用软件----MATLAB 就是以矩阵作为基本的数据结构，从矩阵的数据分析、处理发展起来的被广泛应用的软件包. 本节主要介绍矩阵的概念、运算及应用广泛的初等变换.9.2.1矩阵的概念在许多问题中，我们会遇到一些变量要用另外一些变量线性表示. 设变量m y y y ,,21能用变量n x x x ,,21线性表示，即nmn m m m nn n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++= 22112222121212121111 （9.4） 其中ij a 为常数（1,2,,,1,2,,i m j n ==），这种从变量n x x x ,,21到变量m y y y ,,21的变换叫做线性变换.这种变换取决于变量n x x x ,,21的系数，这些系数按它们在变换中原 来的顺序构成一个矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211.又如，在物资调运中，某物资有两个产地上海、南京，三个销售地广州、深圳、厦门，调运方案见下表.⎪⎪⎭⎫⎝⎛233226202517. 下面给出矩阵的定义定义9.4 由n m ⨯个数ij a （n j m i ,2,1,2,1==）排成一个m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a212222111211或⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211称为m 行n 列矩阵，简称为n m ⨯矩阵，其中ij a 叫做矩阵的第i 行第j 列的元素.i 称为元素ij a 的行标，j 称为元素ij a 的列标.通常用大写字母 ,,,C B A 或 )(ij a 表示矩阵，例如上述矩阵可以记作A 或n m ⨯A ，有时也记做n m ij a ⨯=)(A .几种特殊的矩阵：①方阵：矩阵A 的行数与列数相等，即n m =时，矩阵A 称为n 阶方阵，记作n A ,左上角到右下角的连线称为主对角线，主对角线上的元素nn a a a ,,,2211 称为主对角线元素.②行矩阵：只有一行的矩阵()n a a a 11211=A 称为行矩阵.③列矩阵：只有一列的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12111m a a a A 称为列矩阵.④零矩阵：所以元素全为零的矩阵称为零矩阵.记作n m ⨯O 或O .⑤对角矩阵：除主对角线外，其他元素全为零的方阵称为对角矩阵.为了方便，采用如下记号 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn a a a2211A . ⑥单位矩阵：主对角线上的元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵，记作n E 或E . ⑦三角矩阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a 22211211A 为上三角矩阵. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n a a a a a a21222111A 为下三角矩阵.⑧对称矩阵： 满足条件ji ij a a =),,2,1,(n j i =的方阵n n ij a ⨯)(称为对称矩阵. ⑨数量矩阵： 主对角线上元素都是非零常数a ，其余元素全都是零的n 阶矩阵，称为n阶数量矩阵.⑩负矩阵： 在矩阵()ij m n a ⨯=A 中的各个元素的前面都添加上符号（即取相反数）得到的矩阵，称为A 的负矩阵，记为-A ,即()ij m n a ⨯-=-A .注 矩阵与行列式是有本质区别的.行列式是一个算式，而矩阵是一个数表，它的行数和列数可以不同.对于n 阶方阵A ，有时也要计算它的行列式（记为det A 或A ）,但方阵A 和方阵行列式A 是不同的概念.9.2.2矩阵的运算1.矩阵的相等 如果两个矩阵B A ,行数和列数分别相同，且它们对应位置上的元素也相等，即ij ij b a =，m i ,,2,1( = ；),,2,1n j =，则称矩阵ΒA ,相等，记作B A =.2.矩阵的加（减）法 设n m ij n m ij b a ⨯⨯==)(,)(B A 是两个n m ⨯矩阵，规定：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++=+=+⨯mn mn m m m m n n n n nm ij ij b a b a ba b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111)(B A 称矩阵B A +为A 与B 的和.如果n m ij n m ij b a ⨯⨯==)(,)(B A ，由矩阵加法运算和负矩阵的概念，我们规定： n m ij ij n m ij n m ij b a b a ⨯⨯⨯-=-+=-+=-)()()()(B A B A ，称矩阵B A -为A 与B 的差.3.矩阵的数乘 设k 是任意一个实数，A 是一个n m ⨯矩阵，k 与A 的乘积为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==⨯mn m m n n nm ij ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka k 212222111211)(A .矩阵的加（减）法与矩阵的数乘叫做矩阵的线性运算.设O C B A ,,,都是n m ⨯矩阵，不难验证，矩阵的线性运算满足下列运算规律： 交换律 A B B A +=+；结合律 C B A C B A ++=++)()(； 分配律 B A B A k k k +=+)(；A A A l k l k +=+)( ),(R l k ∈；数乘矩阵的结合律 A A )()(kl l k =.例9.2.1 设251320⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A ，342025-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求B A 32-.解 B A 32-=2251320⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3432025-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭41091213226604640615215--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例9.2.2 设矩阵X ，满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛102421=+X 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5212133，求X . 解 由题可得 =X 23123125-⎛⎫⎪⎝⎭⎪⎪⎭⎫⎝⎛-102421， 即有 =X 28521614-⎛⎫⎪⎝⎭，所以 54121372⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭X . 例9.2.3 已知网络双端口参数矩阵B A ,满足⎩⎨⎧=-=+DB A CB A 2222，其中71021510-⎛⎫= ⎪--⎝⎭C ，52651514--⎛⎫= ⎪---⎝⎭D .求参数矩阵B A ,.解 由⎩⎨⎧=-=+DB AC B A 2222可得D)(C 41B D),(C 41A -=+=.所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+=651223141556251051210741D)(C 41A .⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=125231321141556251051210741D)(C 41B . 4.矩阵的乘法例9.2.4 设有两家连锁超市出售三种奶粉，某日销售量（单位：包）见下表9-2-1，每种奶粉的单价和利润见下表9-2-2.求各超市出售奶粉的总收入和总利润. 表9-2-1解 各个超市奶粉的总收入=奶粉Ⅰ数量×单价+奶粉Ⅱ数量×单价+奶粉Ⅲ数量×单价. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=420212315,6571085B A ，C 为各超市出售奶粉的总收入和总利润，则 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯=552857137146253720612515741028352010128155C .矩阵C 中第一行第一列的元素等于矩阵A 第一行元素与矩阵B 的第一列对应元素乘积之和.同样，矩阵C 中第i 行第j 列的元素等于矩阵A 第i 行元素与矩阵B 的第j 列对应元素乘积之和.定义9.5 设A 是一个s m ⨯矩阵，B 是一个n s ⨯矩阵，则由元素sj is j i j i ij b a b a b a c +++= 2211 m i ,,2,1( =；),,2,1n j =构成的n m ⨯矩阵()nm ijc ⨯=C ，称为矩阵A 与矩阵B 的乘积，记作AB C =.例9.2.5 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=530412A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10789B ，求AB . 解 AB =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--530412⎪⎪⎭⎫⎝⎛--10789⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯+-⨯-⨯+⨯⨯+-⨯--⨯+⨯-⨯-+-⨯-⨯-+⨯=105)8(3)7(593100)8(4)7(09410)1()8(2)7()1(92 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=26832362625 例9.2.6 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1236A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3162B ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1151C ,求AB 和AC .解 =AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3162⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=93279 =BA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3162⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000 =AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1236⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---1151⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=93279注 ① 矩阵乘法一般不满足交换律，因此，矩阵相乘时必须注意顺序，AB 叫做（用）A .左乘B ，BA 叫做（用）A 右乘B ，一般AB ≠BA .② 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.③ 矩阵乘法不满足消去律.即当乘积矩阵AC AB =且O A ≠时，不能消去矩阵A ，得到C B =.④ 同阶方阵A 与B 的乘积的行列式，等于矩阵A 的行列式与矩阵B 的行列式的乘积.即B A AB ⋅=.（方阵A 的行列式记作A ）⑤ 若A 是一个n 阶方阵，则Am m个A AA A=称为A 的m 次幂. 不难验证，矩阵乘法满足下列运算规律：结合律 A(BC)(AB)C =；分配律 AC AB C)A(B +=+，BC AC B)C (A +=+；数乘矩阵的结合律 (AB)B)A(A)B (k k k ==.５.矩阵的转置定义9.６ 将n m ⨯型矩阵n m ij a ⨯=)(A 的行与列互换得到的m n ⨯型矩阵，称为矩阵A 的转置矩阵，记为T A .即如果⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211A ， 则 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn n nm m a a a a a a a a a 212221212111TA容易验证，转置矩阵具有下列性质： （1）A )(A TT =；（2）k k =TT(A)A ；（3）TTTB A B)(A +=+； （4）T T TA B (AB)=.例9.2.7 若113201-⎛⎫= ⎪⎝⎭A， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=201231C求AC 、CA 以及TA 、TC .解 利用矩阵乘法，有131132120102-⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭AC ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯+-⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯-+-⨯=2110320120)1(2231)1(31032)1()1(1 .8283⎪⎪⎭⎫⎝⎛--= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+-⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+-⨯-⨯+⨯-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=123002)1(022********)1(22112133)1(03)1()1(231)1(102311201231CA⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=204724015.由转置矩阵的定义，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=130121T A ， ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=213021TC .9.2.3矩阵的初等变换在解线性方程组时，经常对方程实施下列三种变换：(1)交换方程组中某两个方程的位置； (2)用一个非零常数k 乘以某一个方程；（3）将某一个方程的k 倍（0≠k ）加到另一个方程上去. 显然，这三类变换并不会改变方程组的解，我们称这三种方程的运算为方程组的初等变换.把这三类初等变换转移到矩阵上，就是矩阵的初等变换.定义9.7 对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等行变换： （1）对换矩阵两行的位置；（2）用一个非零的数k 遍乘矩阵的某一行元素； （3）将矩阵某一行的k 倍数加到另一行上.并称（1）为对换变换，称（2）为倍乘变换，称（3）为倍加变换.在定义中，若把对矩阵施行的三种“行”变换，改为“列”变换，我们就能得到对矩阵的三种列变换，并将其称为矩阵的初等列变换.矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换.为了方便，引入记号：行初等变换表示为：①j i r r ↔ ②(0)i kr k ≠ ③j i r kr +. 列初等变换表示为：①j i c c ↔ ②(0)i kc k ≠ ③j i c kc +.定义9.8 如果矩阵A 经过若干次初等变换后变为B ，则称A 与B 是等价的，记作B A ≅. 显然，等价是同型矩阵间的一种关系，具有反身性、对称性、传递性.定理9.1 任意矩阵n m ij a ⨯=)(A 都可通过初等变换化为等价标准形，即⎪⎪⎭⎫⎝⎛=≅O O K E D A r .例9.2.8 将矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101211015321A 化为等价标准形.解 11232123512351011024621010369r r r r +-+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭A23212312123123510110123012301230000r r r r r r +-+--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.定义9.9 对单位矩阵E 进行一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵.初等矩阵有三种：（1）对矩阵E 交换两行（或列）所得的初等矩阵；j i ij ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101101)( E（2）对矩阵E 的第i 行（或列）乘以常数k ，得到的初等矩阵；i kk i ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=11))(( E （3）对矩阵E 的第j 行（或列）乘以常数l 加到第i 行（或列）上，得到的初等矩阵；j i l l ij ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11011))(( E容易验证：对于矩阵E ，左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵E 作一次初等变换.定理9.2 对n m ⨯矩阵A 的行（或列）作一次初等变换所得到的矩阵B ，等于用一个相应的m 阶（或n 阶）初等矩阵左（或右）乘A .例9.2.9 以矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110211103A 为例验证定理9.2解 （1）交换矩阵A 的第二、三行，得到的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111101031A .初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010100001)23(E 左乘矩阵A ，得到的矩阵为=2A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001301112011⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-211110103.显然，有21A E (23)A A ==.（2）将矩阵A 的第2行乘以常数3加到第一行上，得到的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110211736B ；初等矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010031E(12(3))左乘矩阵A ，得到的矩阵为=C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010031⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅110211103⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=110211736.显然有C E(12(3))A B ==.（3）由读者验证，将矩阵A 的第2行乘以常数3 等于初等矩阵左乘))3(2(E 矩阵A .习题 9.21.一空调商店销售三种功率的空调：1P 、1.5P 、2P.商店有两个分店，六月份第一分店售出以上型号的空调数量分别为48台、56台和20台；六月份第二分店售出了以上型号的空调数量分别为32台、38台和14台.（1）用一个矩阵A 表示这一信息；（2）若在五月份，第一分店售出了以上型号的空调数量分别为42台、46台和15台；第二分店出售了以上型号的空调数量分别为34台、40台和12台.用与A 相同类型的矩阵M 表示这一信息.（3）求M A +,并说明其实际意义. 2.计算（1）()43214321-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- (2) ()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--43214321（3）2sin cos cos sin ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛θθθθ (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111073251110 (5)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---311423035410312 (6)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---105024603530304012 3.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=211201A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=131021B ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=240101C ，求TB)C A (+2.4.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=113421201A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=303112B ，求B A E )2(T-．5.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3011A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1201B ，验证 ：TT T A B AB =)(.6.如果两个矩阵A 与B ，满足BA AB =，则称矩阵A 与B 可交换.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1011A ，求所有与矩阵A 可交换的矩阵.7.如果方阵A ，满足A A =T，则称矩阵A 是对称矩阵.求证：TAA 及A A T都是对称矩阵.8.将下列矩阵化成其等价标准形：（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----422133211 （2）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4123241123009.3 矩阵的秩与逆矩阵9.3.1矩阵的秩矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念,它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系,而且在讨论线性方程组解的情况中也有重要应用.１.矩阵的k 阶子式定义9.10 设A 是n m ⨯矩阵,在A 中位于任意选定的k 行k 列交点上的2k 个元素,按原来次序组成的k 阶行列式,称为矩阵A 的一个k 阶子式,其中{}n m k ,m in ≤.例如，矩阵 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100142321A ,取A 的第一、二行，第一、三列的相交元素，排成行列式1231为A 的一个二阶子式.由子式的定义知:子式的行、列是以原行列式的行、列中任取的，所以可以组成92323=C C 个二阶子式.对一般情况，共有k C C kn k m 个阶子式.注 k 阶子式是行列式.非零子式就是行列式的值不等于零的子式.２.矩阵的秩定义9.11 如果矩阵A 中存在一个r 阶非零子式,而任一r +1阶子式（如果存在的话）的值全为零,即矩阵A 的非零子式的最高阶数是r ，则称r 为A 的秩，记作)(A r =r .例9.3.1 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=81131433111221A 的秩.解 因为A 的一个二阶子式053121≠-=-所以 A 的非零子式的最高阶数至少是2,即()2≥A r .A 的所有三阶子式：个43433=C C.0811143311220,81314311121,081314311121,0113331221=---=--=--=-- 即所有的三阶子式均为零,故()2=A r不难得到，矩阵的秩具有下列性质 （1）)()(Tr r A A =； （2）},min{)(0n m r ≤≤Α.若},min{)(n m r =A ，则称矩阵A 为满秩矩阵.并规定零矩阵O 的秩为零,即0)(=O r .若矩阵A 为n 阶方阵，当0≠A 时，有n r =)(A ，称A 为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，必须从一阶子式开始计算，直到某阶子式都为零时才能确定，显然非常麻烦，为此我们来研究阶梯形矩阵.3. 阶梯形矩阵定义9.12 满足下列条件的矩阵称为阶梯形矩阵. （1）矩阵若有零行（元素全部为零的行），零行全部在下方；（2）各非零行的第一个不为零的元素(称为首非零元)的列标随着行标的递增而严格增大.由定义可知,如果阶梯形矩阵A 有r 个非零行,且第一行的第一个不为零的元素是11j a ,第二行的第一个不为零的元素是22j a ,…,第r 行的一个不为零的元素是r rj a ,则有11r j j n ≤≤≤≤,其中n 是阶梯形矩阵A 的列数.其一般形式为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯000000000000002221112121 rn rj n r j n r j nm a a a a a a a a a rA , 其中，()r i a r ij ,,2,1,0 =≠， 而下方r m -行的元素全为0.注 (1)阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数r .(2)任意矩阵通过初等变换都能化为阶梯形矩阵. （3如果阶梯形矩阵的非零行的首非零元素都是1，且所有首非零元素所在的列的其余元素都是零，则称此矩阵为行简化阶梯形矩阵.由秩的定义可以证明以下重要结论，（本书略去证明）. 定理9.3 初等变换不改变矩阵的秩.由此得到求矩阵秩的有效方法：通过初等变换把矩阵化为阶梯形矩阵,其非零行的行数就是矩阵的秩.例9.3.2 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=211121112A 的秩.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=++-↔3303301212111121212111211122131212r r r r r r A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−→−+00033012132r r .所以 矩阵A 的秩为2,即2)(=A r .9.3.2逆矩阵1. 逆矩阵的概念代数方程b ax =，当0≠a 时，有解b a a b x 1-=÷=（其中111==--aa a a ）.类似地，对于矩阵方程B AX =，它的解X 是否也能表示为B A 1-？若能,这里的1-A 是矩阵吗？如何来求得1-A ？定义9.13 设A 是n 阶方阵，如果存在一个n 阶方阵B ，使E BA AB == （9.5）则称矩阵A 是可逆矩阵,简称A 可逆,并把方阵B 称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即1-=A B .例如，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121011322A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=461351341B因为 =AB ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001，=BA ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----461351341⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100010001，即A ,B 满足E BA AB ==,所以矩阵A 可逆，其逆矩阵B A=-1.在公式（9.5）中A 与B 的地位是平等的,因此也可以称B 为可逆矩阵，称A 为B 的逆矩阵，即A B=-1.注 （1）单位矩阵E 的逆矩阵就是它本身，因为E E E =.（2）任何n 阶零矩阵都不可逆.因为对任何与n 阶零矩阵同阶的方阵B ，都有O OB BO ==.（3）如果方阵A 是可逆的，那么A 的逆矩阵是唯一的.2.逆矩阵的求法对矩阵A ，何时可逆？若A 可逆，又如何求1-A 呢？ （1）利用伴随矩阵求逆矩阵定义9.14 设n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nn n a a a a a a a a a 212221212111A ，将行列式A的2n 个代数余子式ij A 排成下列n 阶矩阵，并记为*A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n nn n A A A A A A A A A 212221212111*A则矩阵*A 叫做矩阵A 的伴随矩阵.定理9.4 （求1-A 的一种方法---伴随矩阵法）n 阶方阵A 为可逆矩阵的充分必要条件是0≠A ，且当A 可逆时，*-=A AA11. 证 必要性.因为A 可逆，即有1-A ，使E AA =-1，故1||||||||11===--E A A AA ，所以0||≠A . 充分性.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211A ，且0≠A . 由矩阵乘法和行列式的性质，有=*AA ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn 2n 1nn22212n12111A A A A A A A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=||000||000||A A AE A ||=因为0||≠A ，所以E AA A =)(||1*. 于是，得 E A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛*||1. 同理可证 E A A A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛*||1. 所以有 *1||1A A A =-. 定理得证. 例9.3.3 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A 的逆矩阵.解 因为02≠=A ，所以矩阵A 可逆.24121)1(;20121)1(;40141)1(133112211111=-=-=--==--=+++A A A ；24120)1(;40220)1(;80241)1(233222222112=-=-=-==-=+++A A A ；11110)1(;2121)1(;31211)1(333332233113-=-==--=-=--=+++A A A .所以==-*1||1A A A⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2112312411212324822421.（2）利用初等行变换求逆矩阵可以证明：由方阵A 作矩阵（E A ），用矩阵的初等行变换将（E A ）化为（C E ），C 即为A 的逆阵1-A .例9.3.4 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=121112211A 的逆矩阵.解)(E A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→+-+-10113001251000121110012101011200121131212 r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−+-+-1351400012510011301101130012510001211123232 r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−++-1411431451001451411430101431451410011411431451000125100113011323351413r r r r r 所以 =-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--141143145145141143143145141. 3.逆矩阵的运算性质（1）若E AB =（或E BA =），则1-=A B ，1-=B A .事实上，由E AB =，得1||===E ||B ||A ||AB ，故0||≠A ，于是A 可逆，在等式E AB =两边同时左乘1-A ，即得1-=A B ，同理易得1-=B A .这一结论说明，如果要验证B 是A 的逆矩阵，只要验证一个等式E AB =或E BA =即可，不必再按定义验证两个等式.（2）A A =--11)(.（3）若A 可逆，则TA 也可逆，且T T)()(11--=A A .事实上，由于A 可逆，则E AA=-1，所以E E AA ==-T T )(1，即E A A =-T T )(1，由逆矩阵的运算性质（1），得TT )()(11--=A A .（4）若B A,均可逆，则AB 也可逆，且111)(---=A B AB .例9.3.5 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=3512B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130231C 求满足AXB =C 的矩阵X .解 若1-A ，1-B 存在，则在C AXB =的两边同时左称乘1-A ，右乘1-B ，得1111----=CB A AXBB A ，即11--=CB A X .由例9.3.3知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-211231241121A ，又求得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-25131B .从而11--=CB A X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=21123124112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛130231⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2513⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=5113373⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2513.92223561126⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---= 例9.3.6 已知321,,x x x 到321,,y y y 的线性变换为⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+=2133212321242xx y x x x y x x y 试求以321,,y y y 到321,,x x x 的线性变换.解 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=012411210A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x x x X ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321y y y Y ，则所给线性变换的矩阵形式为AX Y =.若1-A 存在，则两边左乘1-A ，得到Y A X 1-=， 由例9.3.3可知1-A 存在，于是Y A X 1-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21123124112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321y y y ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-+-=3213213212123242y y y y y y y y y从而，得到从321,,y y y 到321,,x x x 的线性变换为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+-=+-=+-=3213321232112123242yy y x y y y x yy y x习题 9.31.根据矩阵秩的定义求下列矩阵的秩.(1) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡343322321 (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---135243121 2.求下列矩阵的秩.(1)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-121123322111 (2)⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----121023*********1 (3)⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11011111100222021110 (4) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-------342432226λλλ3．求下列方阵的逆矩阵：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-110210321 （2）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---111103231 4．设矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=022011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=210321B ，计算1)(-BA ． 5．解下列矩阵方程（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11220110X )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1030121213X6．已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=011213112A ，设2()2f E λλλ=--，求)(A f .7．试证：设A 是n 阶矩阵，若O A =3，则21)(A A E A E ++=--．本章小结本章主要介绍了n 阶行列式的概念、性质和计算方法，矩阵的概念、特殊矩阵、矩阵的运算、可逆矩阵的概念和逆矩阵的判别和求法、矩阵的秩.1.计算行列式的值.n 阶行列式是一个数，通过计算可以求出最终的数值.ij a 的代数余子式ij A 只与ij a 所在的位置有关，而与ij a 本身大小无关.定理9.1说明，行列式可以按任意一行（或列）展开，可以将一个较高阶的行列式化简为一些低阶的行列式的和，简化行列式计算.计算行列式方法有：（1）二阶、三阶行列式利用定义计算；（2）利用展开式（9.3）式计算，选择0元素较多的行（列）进行展开； （3）利用行列式的性质转化为三角行列式进行计算； （4）先利用行列式的性质把某行（或列）化为只有一个元素不为零，再利用展开式（9.3）式，交替使用性质、定理来计算.在行列式的计算中，首先要观察分析行列式各行（或列）元素的构造特点，然后利用行列式的性质化简行列式，同时要注意尽量避免分数运算，避免计算错误.２. 矩阵的运算.矩阵的运算主要包括：矩阵加法、矩阵的数乘、矩阵乘法、矩阵转置和矩阵的初等行变换，要求掌握这些运算方法和运算规则，记住矩阵运算必须满足的一定条件，注意矩阵运算与数的运算的不同之处.矩阵乘法的条件是：左矩阵A 的列数=右矩阵B 的行数.一般情况下，矩阵乘法不满足交换律和消去律.即=AB BA ；且当=AB AC 时，即使有≠A O 也不能得出B =C 的结论.只有当A 是可逆矩阵（即||0≠A ）时，由=⇒=AB AC B C .当矩阵,A B 满足=AB BA 时，称矩阵A B 与是可交换的.两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.矩阵经过初等行变换后，对应元素一般不相等，因此矩阵之间不能用等号连接，而是用“→”连接，表示两个矩阵之间存在某种关系.３．可逆矩阵的判别和求逆矩阵.只有方阵才有可逆矩阵的概念，只有非奇异矩阵（即矩阵的行列式不等于零）才存在逆矩阵.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件为||0≠A ，或者()r n =A .设A B 和都是n 阶矩阵，如果=AB E 成立，则B A 和都是可逆的. 求逆矩阵的方法：（1）利用伴随矩阵：1||*-=A A A .注意，伴随矩阵*A 中元素的排列顺序与一般矩阵中元素的排列顺序不同.（2）利用初等行变换：1()()-−−−−→A E E A 初等行变换用初等行变换法求逆矩阵时，不能用列变换.４.求矩阵的秩.矩阵的秩是一个非常有用的概念，它不仅与可逆矩阵的讨论有密切关系，而且在下一章线性方程组解的情况讨论中也有重要应用.求矩阵秩的方法： 用初等行变换将矩阵A 化为阶梯矩阵，则秩()A 等于阶梯形矩阵中非零行的行数.要记住矩阵的初等变换不改变矩阵的秩.综合习题9一.填空题1.一阶行列式2-的值等于_________.2.行列式344103112--中元素（4-）的代数余子式的值为___________. 3.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=161223235401A ，则A 中元素_____23=a . 4.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=413121,112101B A ，则()__________,]T T T ==+AB B [A .5.设B A,为n 阶矩阵，则等式2222)(B AB A B A +-=-成立的充分必要条件是 .6.已知矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020001A ，则____1=-A .7.设矩阵[]021-=A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=100112B ，则AB ＝ ． 8.设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--913210063，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=801962B , 则矩阵A 与B 的乘积AB 的第3行 第1列的元素的值是 ．9. 设A 为m n ⨯矩阵，B 为s t ⨯矩阵，若AB 与BA 都可进行运算，则m n s t ,,,有 关系式 .10.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131A ，则A E 2-= .11.当a 时，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a 131A 可逆. 12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1320201b a A ，当a = ，b = 时，A 是对称矩阵. 13.当λ= 时，矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----λ42045114321的秩最小. 二.单项选择题14．四阶行列式=44332211000000a b a b b a b a （ ）A.a b b b b a a a a 3214321-B. a b b b b a a a a 3214321+C.))((43432121b b a a b b a a --D.))((41413232b b a a b b a a --15.设A 为43⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，若矩阵TACB 有意义，则矩阵C 为( )型 A. 54⨯ B. 24⨯ C. 53⨯ D. 23⨯16．设C B,A,均为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，则下列结论或等式成立的是（ ） A. 2222)(B AB ΑB A ++=+ B. 若AC AB =且O A ≠则C B =C. []A B A B A(A T2T)-=- D. 若O B O,A ≠≠，则O AB ≠17. 设B A,均为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是 （ ）．。
线性代数ppt课件同济
05
向量空间及其性质
向量空间的定义与性质
向量空间的定义
向量空间是一个由向量构成的集合， 其中每个向量都可以表示为一组基向 量的线性组合。
向量空间的性质
向量空间具有一些重要的性质，例如 封闭性、加法和数量乘法封闭性、加 法和数量乘法的结合律和分配律等。
向量空间的基底与维数
向量空间的基底
一个向量空间可以由一组不相关的基向量构成，这些 基向量是线性无关的，并且可以生成整个空间。
行列式的计算方法
要点一
总结词
行列式的计算方法包括高斯消元法、拉普拉斯展开式和递 推法等。
要点二
详细描述
高斯消元法是一种常用的计算行列式的方法，它通过初等 行变换将矩阵化为阶梯形矩阵，然后求解出阶梯形矩阵的 行列式即可。拉普拉斯展开式是一种基于二阶子式和代数 余子式的展开式，它可以用来计算高阶行列式。递推法是 一种利用低阶行列式的值递推高阶行列式的方法，它适用 于计算n阶行列式。
线性代数的背景
线性代数起源于17世纪，随着科学技术的不断发展和进步，线性代数的应用领域越来越广泛。它不仅 在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，还在计算机科学、经济学、生物医学等领域发挥着重要 的作用。
线性代数的应应用，例如求解线性方程组、 计算矩阵的秩和特征值等。
现代发展
随着科学技术的发展，线性代数的应用领域越来越广泛，同时它也得到了不断的发展和完善。现代线性代数已经 形成了一套完整的理论体系，为解决实际问题提供了更加有效的工具。
02
矩阵及其运算
矩阵的定义与性质
矩阵的定义
矩阵是一个由数值组成的矩形阵列，通 常表示为二维表格。矩阵的行数和列数 可以分别为m和n。每个元素用a(i,j)表示 ，其中i表示行号，j表示列号。
线性代数ppt课件
VS
线性代数的特点
线性代数具有抽象性、实用性、广泛性等 特点，是数学中重要的分支之一。
线性代数的历史背景
线性代数的起源
线性代数起源于17世纪，主要目的 是为了解决线性方程组的问题。
线性代数的发展
随着数学的发展，线性代数逐渐成为 一门独立的数学分支，并在20世纪得 到了广泛的应用和发展。
线性代数的应用领域
转置矩阵
一个矩阵A的转置矩阵是满足$A^T_{ij}=A_{ ji}$的矩阵
行列式与高斯消元
03
法
行列式的定义及性质
总结词
行列式是线性代数中重要的工具之一，它具有特殊的性质和计算规则。
详细描述
行列式是由一组方阵中的元素按照一定规则组成的，它是一个方阵是否可逆的判断标准，同时也有一 些重要的性质和计算规则，如交换两行或两列、对角线上的元素相乘等。了解行列式的定义和性质是 学习线性代数的基础。
矩阵的运算规则
加法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相加
数乘
用一个数乘以矩阵的每一个元素
减法
两个相同大小的矩阵，对应位置的元素相减
乘法
要求两个矩阵满足乘法运算的规则，即第一 个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数
矩阵的逆与转置
逆矩阵
一个矩阵A的逆矩阵是满足$AA^{-1}=I$的矩阵，其中$I$是单位矩阵
高斯消元法的原理
总结词
高斯消元法是一种解线性方程组的直接方法 ，其原理是将方程组转化为阶梯形矩阵。
详细描述
高斯消元法的基本思想是通过一系列的行变 换将线性方程组转化为阶梯形矩阵，这样就 可以直接求解方程组。高斯消元法包括三种 基本的行变换：将两行互换、将一行乘以非 零常数、将一行加上另一行的若干倍。通过 这些行变换，我们可以将矩阵转化为阶梯形 矩阵，从而求解方程组。
矩阵与行列式基础知识-2022年学习资料
怎样求解矩阵方程？-AX=b-因此，有必要了解和学习矩阵和行列-式的相关知识，以便方便的求解矩阵方程。
矩阵的相关概念-相等矩阵-A=4与B=b同型，且-=b,i=1,,7n;j=1,,n-记为A=B.-特殊矩 -零矩阵：如-行矩阵、列矩阵：-6-10--12,-行矩阵、列矩阵也称为向量
对角矩阵：-C1-=diaga11,a22,am）-az称为对角元.-如A-9）=diae2--单位矩阵： =diag1,1,.,1
3.矩阵的数乘-设有一个矩阵A=a,是一个数，那么矩阵-入C11-λ412-入1n-22-M-入am-入m -称为矩阵A与数-的乘积（简称矩阵的数乘，记作入A.-矩阵的线性运算律：加法、数乘。-A+B=B+A-②+B+C=A+B+C-A十O=A-④-A+一A=O-1A=A
4.矩阵的乘法-我们]把矩阵C称为矩阵A与B的乘积，记作C=AB-1.乘法的定义：A=4mxs和B=b,x ,如果AB=C-则矩阵C中每个元素都是A的行，B的列对应元素之积的和。-即-Co=tky ti+aby = aby-i=1,2,L,m;j=1,2,L,n
方程组的矩阵和向量表示形式-aX+a12X3+八+anXn=b-·m个方程n个未知量的线性方程组：-a2x a22x2+A +aanx=b2-M-dmam2X2+anx=b-·向量形式-+X-即xa,+xC&2+∧ xnan=乃-·矩阵形式-即AX=-·若右端向量p=0则-却Ax=0为齐次线性方程组
矩阵与行列式基础知识-介绍
我们常常会碰到一些求解方程的问题：-2X2-3x4=-3x2+4x+7x4=-0-6x2-8x4-能否如一 一次方程一样求解？-ax b-X三
几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
n 2时 ，D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a1 j A1 j j1
其中A1 j (1)1 j M1 j
a21 a2, j1
M1 j
a31
a3, j1
an1 an, j1
a2, j1 a2n a3, j1 a3n
an, j1 ann
( j 1,2,..,n)
ai1 j1 ai2 j1
aik j1
ai1 j2 ai2 j2
aik j2
ai1 jk ai2 jk
aik jk
非零子式
定义（秩）：非零矩阵A的非零子式的最高阶数称为A的秩， 记为r(A)或R(A)。规定：零矩阵的秩为0
注：最高阶数，即指A存在r阶非零子式，但所有r+1阶子式 （如果存在）都等于0，则最高阶数为r。 注：r(A)=r(AT)
例：
1 4 2
A 3 5 1
2 1 6
性质2：
a11
a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ann
推论：
** * * 0 0 0 0 ** * *
性质3：
***
*** ***
k (5) A1 1
A
规定：当A可逆时，A0 E, Ak ( A1 )k k N，则当r, s Z时，有
Ar As Ars , ( Ar )s Ars
伴随矩阵
a11
A
a21
an1
a12 a22
an2
a1n
A11
a2n ann
A*
A12
A1n
A21 A22
| A|
| A|
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a11 a12 a13
a11 a21 a31
定义：记 D a21 a22 a23 ， DT a12 a22 a32
a31 a32 a33
a13 a23 a33
即交换 D 的第 i 行与第 i 列，称行列式 DT 为的 D
的转置行列式。
性质 1 行列式与它的转置行列式相等。
注：性质 1 表明行列式中行与列具有同等的地位，
a11 a12 a13
例如， D a21 a22 a23 的元素 a32 的余子式和代数余
a31 a32 a33
子式分别为
M 32
a11 a21
a13 a23
2021/2/11
A32
(1)32
a11 a21
a13 a23
M 32
• 定理(行列式按行(列)展开定理) ： 行列式D等于它的任一行(列)各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
a11
当 a21
a12 a22
0 时，方程组有唯一的解：
b1 a12
x1
b2 a11
a22 ＝ D1 ,
a12
D
a21 a22
a11 b1
x2
a21 a11
b2 a12
D2 D
a21 a22
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
b2a11 a11a22
a21b1 a12a21
2021/2/11
行列式概念
• 问题：求解二元一次方程组
aa1211xx11 aa1222xx22bb12,,
(1) (2)
用消元法得 a1a122 a1a 221 0
x1
b1a22a12b2 a11a22a12a21
x2
b2a11a21b1 a11a22a12a21
2021/2/11
用一个简单符号表示运算 a11a22 a12 a21 ，
－2 5 －1 例2 求D 1 9 13
3 1 5
2021/2/11
克莱姆法则
表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标 j 表示
这个元素所在的列数，称为列标。
2021/2/11
二阶行列式D的计算可用对角线法帮助记忆： 主对角线上元素的乘积 - 次对角线上元素的乘积。
a11 a12＝a a －a a
a a 21 22
11 22 2112
2021/2/11
求解二元一次方程组－－－ 用二阶行列式建立的克莱姆法则：
D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in ( i 1 , 2 , , n )
D a 1 jA 1 j a 2 jA 2 j a n A n j j( j 1 ,2 , ,n )
推论 行列式某行(列)元素与另一行(列)对应元素 的代数余子式乘积之和等于0，即
也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成
立，反之亦然。
2021/2/11
• 性质2 对调行列式的任意两行（列），所得的行列 式的绝对值不变，但符号相反。
• 推论 若行列式中有两行（列）元素完全相同，则 行列式为零。
性质3 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号 的外面。 推论 若行列式中有两行元素对应成比例，则行列 式为零 。
2021/2/11
线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一 个分支，形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内 容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述， 不过直到18—19世纪期间，随着研究线性方程组和变 量线性变换问题的深入，才先后产生了行列式和矩阵 的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具， 并推动了线性代数的发展。
就是数学上二阶行列式的概念：称表达式 a11a22 a12 a21
a11 a12
a11 a12
是由数表 a21 a22 确定的二阶行列式，记为 a21 a22 ，
a11 a12
即 a11a22 a12 a21 = a21 a22 .
其中称数 aij 为行列式的元素，元素 aij 的第一个下标 i
性质4 若行列式某行的元素是两数之和，则行列式 可拆成两个行列式的和。
性质5 行列式某一行元素加上另一行对应元素的 k 倍，则行列式的值不变。
2021/2/11
行列式的计算
在行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去
后，由留下的元素组成的行列式叫做元素 aij 的余子 式，记作 M ij ，并称 (1)i j M ij 为元素 aij 的代数余子式， 记为 。 Aij (1)i j Mij
注 也可以类似地给出三元一次方程组的克拉姆法则。 三阶行列式的计算也可用对角线法来定义：三个主对
角线上元素的乘积的和 - 三个次对角线上元素的乘积的和。
2021/2/11
例
1 2 4 D2 2 112(2)21(3)(2)42
3 4 2 (4)2(3)1142(2)(2)14
2021/2/11
行列式的性质
线性代数主要内容：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、
标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论。
2021/2/11
行列式
历史上，最早使用行列式概念的是17世纪德国数学家 莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於1750年发表了著名的 用行列式解线性方程组的克莱姆法则，首先将行列式的 理论脱离开线性方程组的是数学家范德蒙，1772年他对 行列式做出连贯的逻辑阐述，法国数学家柯西于1841年 首先创立了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词 的使用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列 式理论的形成与发展的过程中做出过重大贡献的还有拉 格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。
2021/2/11
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 完全类似地，我们称由含 32 个数的数表 a31 a32 a33 确定的三阶行列式为
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a i1 A j1 a i2A j2 a in A jn na ik A jk 0(i j) k 1 n a 1 iA 1j a 2 iA 2j a nA in j a kA ik j0(i j) k 1
2021/2/11
1 01 例1 求D 1 1 4
1 1 2
注：以元素中0最多的行或列展开