矩阵和行列式基础.ppt
计算行列式的方法总结PPT
分块矩阵的定义与性质
分块矩阵的定义
将一个大的矩阵按照某种规则分割成 若干个小矩阵，这些小矩阵称为原矩 阵的子块或分块，由这些子块组成的 矩阵称为分块矩阵。
分块矩阵的性质
分块矩阵保持原矩阵的线性性质，即 分块矩阵的加法、数乘和乘法运算满 足相应的运算法则。此外，分块矩阵 的转置、逆等运算也有相应的性质。
03
降阶法计算行列式
降阶法的原理与步骤
• 原理：降阶法是通过逐步降低行列式的阶数，将其转化为低阶行列式进行计算的方法。其基本原理是利用行列式的性质， 将某一行（列）的元素通过运算化为0，从而达到降阶的目的。
降阶法的原理与步骤
步骤 选择一行（列），将其第一个非零元素通过行（列）变换化为1；
利用行列式的性质，将所选行（列）的其他元素化为0；
降阶法的原理与步骤
01
展开所选行（列），得到降一阶 的行列式；
02
重复以上步骤，直到得到一阶行 列式并求出其值。
特殊类型行列式的降阶处理
箭型行列式
箭型行列式是指除了第一行和第一列外，其他元素具有某种 规律性的行列式。对于箭型行列式，可以通过提取公因子、 化简等方法将其转化为一般形式，再利用降阶法进行计算。
例题 2
计算一个 5 阶两三角型行列式。解析 ：观察两三角型行列式的特点，发现 可以通过将行列式的上半部分或下半 部分化为三角形，然后计算对角线元 素的乘积；得到行列式的值。
矩阵和行列式基础
a31 a32 a33
子式分别为
M 32
a11 a21
a13 a23
A32
(1)32
a11 a21
a13 a23
M 32
n 定理(行列式按行(列)展开定理) ： 行列式D等于它的任一行(列)各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
式，记作 M ij ，并E称v(al1u)aitjiMonij 为on元ly素. aij 的代数余子式， eated记w为ithAiAj s(p1)oisj Me.ijS。lides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0
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Copaay2111rxxi11ghata21222 xx02204 -201aa112nn
xAn spbo1 se
xn b2
Pty
Ltd.
程组
（1）
an1 x1 an2 x2 ann xn bn
的解可以用 n 阶行列式表示，
克莱姆法则 若线性方程组(1)的系数行列式不等
量线性变换问题的Ev深al入ua，tio才n先on后ly产. 生了行列式和矩阵 eated的并w概推ith念 动A， 了sp为 线os处 性e.理 代Sl线数id性的es问发fo题展r .提。NE供T了3强.5有C力lie的nt理P论rof工ile具5，.2.0
第一章 矩阵与行列式
第一章 矩阵与行列式
第一节 矩阵及其运算
一、矩阵的概念
人们在从事经济活动、科学研究、社会调查时, 会获得许多重要的数据资料, 将这些数据排成一个矩形的数表
111212122212n n
m m mn a a a a a a a a a L L M M M L
以便于进行储存、运算和分析, 这种矩形的数表就是矩阵.
定义1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==L L 排成m 行n 列的矩形 数表
111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
⎪⎝⎭
L L M M M L
称为m 行n 列矩阵, 简称为m n ⨯矩阵, 其中ij a 称为矩阵的位于第i 行、第j 列的元素. 通常, 我们用大写字母,,A B L 表示矩阵. 例如, 记
1112121
22212.n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
L L M M M L
其中小括号“(
)” 也可用方括号“[]”代替. 有时, 矩阵也简记为()ij m n
A a ⨯=或()ij A a =. 特别地, 当m n =时, 称A 为n 阶矩阵或n 阶方阵, 其中一阶方
阵()a 是一个数, 括号可略去.
元素全为实数的矩阵称为实矩阵, 元素全为复数的矩阵称为复矩阵. 本书主要在实数范围内讨论问题.
对于由n 个未知量、m 个方程组成的线性方程组：
1111221121122222
1122,,.n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
矩阵列运算与行列式性质.ppt
故方程組的解為 x 8 , y 7 , z 3
解：
例2：利用增廣矩陣列運算解方程組(2)
xyz2
解方程組
x2y z 3
2x 5y 2z 5
1 1 1 2 增廣矩陣為 1 2 1 3
2 5 2 5
1 0 0 a 目標： 0 1 0 b
求以下三階行列式的值：
2 18 37
3 43 31
4 20 17
(1) 0 3 4 (2) 1 11 23 (3) 9 45 24
02 5
5 53 116
5 25 29
解： (1) 將行列式依第一行展開
2 18 37
3 4 18 37 18 37
0 3 4 2 0
0
2 (15 8) 14
3. 任一行(列)可以提出公因數.
a1 kb1 c1
a1 b1 c1
a2 kb2 c2 k a2 b2 c2
a3 kb3 c3
a3 b3 c3
ka1 kb1 kc1
a1 b1 c1
a2 b2 c2 k a2 b2 c2
a3 b3 c3
a3 b3 c3
4. 兩行(列)成比例 , 其值為 0.
解：
1 1 2 1 增廣矩陣為 2 3 6 5
3 4 8 6
1 0 0 a 目標： 0 1 0 b
大学课程大一数学线性代数上册8.行列式与矩阵综合例题课件
反例
A
0 0
1 0
(A) (2A)-1 = 2A-1
(B) AA* 0
(C) (A*)-1 = |A|-1A-1
(D) [(A-1)T]-1 = [(AT)-1]T
例8 设四阶矩阵 A = (1, 2, 3, 4), B = (1, 2, 3, 4). 如果 |A| = 1, |B| = 2, 那么 |A+B| 的值为:
(A) |A+B| = |A| + |B|
(B) AB = BA
(C) |AB| = |BA|
(D) (A+B)-1 = A-1+B-1
5
例4 设 A, B 为 n 阶方阵, 则下列结论中正确的是 (
).
(A) (AB)k = AkBk (C) det(|A|B) = det(|B|A)
(B) |A-B| = |A|-|B| (D) 若 A 可逆, 则 |A-1| = |A|-1
(A) A = I,
(B) A* = A,
(C) A*X = 0 有非零解,
(D) A-I 和 A+I 不同时可逆.
(A),
(B)
反例
A
0 1
1 0
,
例10 设 A, B 都是 n 阶可逆阵, 且 (AB)2 = I, 则 ( ) 错误.
(A) B-1 = A,
线性代数-行列式PPT课件
行列式的加法规则
总结词
行列式的加法规则
详细描述
行列式的加法规则是对于任何两个同阶方阵A和B，它们的行列式之和等于它们对应元素之和的行列式。 即，如果矩阵A和B是同阶方阵，那么|A+B| = |A| + |B|。
04
行列式的应用
在几何中的应用
描述几何形状
行列式可以用来描述几何形状的面积和体积。例如，二阶行 列式可以用来计算平行四边形的面积，三阶行列式可以用来 计算立方体的体积。
利用代数余子式的性质，将行列 式表示为代数余子式的线性组合， 从而简化计算。
具体步骤
首先计算每个元素的代数余子式， 然后将代数余子式按照一定的规 则进行组合，得到行列式的值。
注意事项
在计算过程中，需要注意代数余 子式的性质，以及组合规则的正 确应用。
展开法
1 2 3
展开法
将行列式按照某一行或某一列进行展开，从而将 高阶行列式转化为低阶行列式，简化计算。
性质
02
三阶行列式具有交换律、结合律和代数余子式等性质。
应用
03
三阶行列式在解析几何、向量运算和矩阵运算中都有广泛应用。
范德蒙德行列式
定义
范德蒙德行列式表示为n(n+1)/2个n维向量的外积，其计算公式为 V=A0*A1*...*An，其中Ai表示第i个n维向量。
高等数学第十章线性代数基础
(7)对于阶梯形矩阵，若它还满足：各非零行的第一个非 零元都为1；各非零行的第一个非零元所在列的其余元均为0 ，则称该阶梯形矩阵为简化阶梯形矩阵。
(1)只有一行的矩阵
称为行矩阵。
(2)只有一列的矩阵
称为列矩阵。
第二节 矩阵的概念及运算
(3)形如
的n阶方阵称为n阶对角矩
阵，对角矩阵可记为A=diag(λ1，λ2，…，λn)。
(4)形如
的n阶方阵称为n阶单位矩
阵，n阶单位矩阵也记为E=En或I=In。
第二节 矩阵的概念及运算
(5)当一个n阶对角矩阵A的主对角线元全部相等且等于某 一数a时，称A为n阶数量矩阵。
第二节 矩阵的概念及运算
二、 矩阵的运算 定义3
设有两个m×n矩阵
1. 矩阵的加 法
将它们的对应元相加所得到的m×n矩阵，称为矩阵A与矩 阵B的和，记作A + B。
第二节 矩阵的概念及运算
由m×n个数aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)排成m 行n列矩形数表，矩形数表外用圆括号(或方括号)括起来，
即
称为m行n列矩阵。
第二节 矩阵的概念及运算
定义2
线性代数下的行列式和矩阵
线性代数下的行列式和矩阵
线性方程组一般有 m 个常数项，n 个未知数，m * n 个系数。若常数项全为 0 ，则为齐次线性方程组；若未知数全为
0 ，则称为零解。
于是我们考虑的问题是：
齐次方程组：
1.是否存在非零解，以及存在的条件
2.通解的结构与性质
3.解法
非齐次方程组：
1.是否有解，以及有解的条件是什么
2.有多少解以及对应解数量的条件是什么
3.多解的结构与性质
4.解法
行列式
二，三阶行列式
行列式的初始作用是解线性方程组！
例如：最简单的二元线性方程组
\left\{ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = b_2 \end{aligned} \right.
\Rightarrow 消元 \Rightarrow \left\{ \begin{aligned}
x_1 = \frac{b_1a_{22} - b_2a_{12}}{a_{11}a_{22} -
a_{12}a_{21}} \\ x_1 = \frac{b_2a_{21} -
b_1a_{21}}{a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}} \end{aligned} \right.
可以得出结论，答案是由方程的四个系数和常数决定的。所以记住四个系数作为行列式，指定行列式的值是上式的分母:
\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}
\end{bmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}
矩阵与行列式
第一章 矩阵与行列式
释疑解惑 1． 关于矩阵的概念：最难理解的是：矩阵它是一个“数表”，应当整体地去看它，不要与行列式实际上仅是一个用特殊形式定义的数的概念相混淆；只有这样，才不会
把用中括号或小括号所表示的矩阵如a c b d ⎛⎫ ⎪⎝⎭写成两边各划一竖线的行列式如a c b d ，或把
行列式写成矩阵等。还要注意，矩阵可有(1)m ≥行和(1)n ≥列，不一定m n =；但行列式只有n 行n 列。n 阶行列式是2
n 个数（元素）按特定法则对应的一个值，它可看成n 阶方阵 1112121
22212
n n n n nn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的所有元素保持原位置而将两边的括号换成两竖线时由行列式定义确定的一个新的对象：特定的一个数值，记作det A 、A 或n D ，即
111det n ij k k
k A A a a A ====∑
（如二阶方阵a d A b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭所对应的行列式是这样一个新的对象：a d ac bd b c =-）。也正
因为于此，必须注意二者的本质区别，如当A 为n 阶方阵时，不可把A λ与A λ等同起来，而是n A A λλ=，等等。
2． 关于矩阵的运算：矩阵的加（减）法只对同形矩阵有意义；数λ乘矩阵m n A ⨯是用数λ乘矩阵m n A ⨯中每一个元素得到的新的m n ⨯矩阵；二矩阵相乘与前述这两种线性运算有着实质上的不同，它不仅要求左矩阵的列数等于右矩阵的行数，而且积的元素有其特定的算法（即所谓行乘列），乘法的性质与前者的性质更有质的不同（如交换律与消去律不成立），对此要特别加以注意，也不要与数的乘法的性质相混淆。
矩阵与行列式
Find determinant
Find determinant −
−
二、行列式(Determinant)
Find determinant: ①
−
②
−
③
−
二、行列式(Determinant)
二、行列式(Determinant)
p×n matrix.
两个矩阵相乘 Then the product A×B is a m×n matrix.
一、矩阵(Matrix)
4.乘法的计算：
要求：左矩阵取行，右矩阵取列，对
应相乘再相加。
两个矩阵相乘
2
3 2 0
× 1
0 1 2
3
−3
1
2
=
×+×+×
×+×+×
=
课堂总结
矩阵的加减法计算(同型矩阵才可以)
矩阵的乘法计算：
1.一个数乘以一个矩阵(任意矩阵都可以)
2.两个矩阵相乘(满足条件后，左取行右取列)
计算2×2方阵的行列式(区别概念)
作业：
1.
2
1 3
2. Let A =
=
5
2 −1
0 1
3. Let A =
高等数学线性代数矩阵的性质与计算教学ppt(2)
性质4 行列式的某一行(列)中所有元素的 公因子可以提到行列式符号的外面．
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
kai1 kai2 kain k ai1 ai2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann
推论1 行列式中如果有一行(列)元素全为0，则 此行列式为零．
推论2 行列式中如果有两行(列)元素成比例， 则此行列式为零．
性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数
之和，则此行列式可拆为如下两个行列式的和：
a11
a12
a1n
ai1 bi1 ai2 bi2
ain bin
an1 a11 a12
an 2 a1n
ann a11 a12
ai1 ai2
ai n
bi1 bi2
21 3. 7
二、三阶行列式
a11 a12 a13
定义
已知3阶方阵
a21
a22
a23
,
a31 a32 a33
定义3阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31,
a12
副对角线
a21
a22
第一讲行列与矩阵
第一讲 行列式与矩阵
一、内容提要
（一）n 阶行列式的定义
∑-=⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=n
n j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛ
ΛΛΛΛΛ21212211)
(2122221
11211)1(τ
（二）行列式的性质
1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；
3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；
5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即
nm n n in in i i i i n
a a a
b a b a b a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ2
1221
111211+++=， 则
nn
n n in i n nn
n n in i n a a a b b b a a a a a a a a a a a a D Λ
ΛΛΛΛΛΛΛΛ
Λ
ΛΛΛΛΛΛΛ
Λ
21
121
1121121
121
11211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。 （三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式
（1）余子式的定义
去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M
（2）代数余子式的定义
ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(, 2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式
矩阵和行列式初步PPT教学课件
0 0 1 0 0 1
3 0 0
0 3 0 .
0 0 1
例3
若
n 阶实对称阵 A
(a )满足 ij
A2
0
,证明
A0
证: A为对称阵,故有 AT A,因此有AAT A2 0,
比较 AAT 0两端的 (i, i)元素
a i1
(a i1
a i2
a in
)
a i
2
n
a ik i 1
.
二. 证明题 (26分)
设 A，B均为 n 阶方阵，且 A2 A，B2 B，
(A B)2 A B. 证 明 ：AB BA 0. 三. 求解矩阵方程 (26分）
0 1 0 1 0 0 1 4 3 1 0 0X 0 0 1 2 0 1. 0 0 1 0 1 0 1 2 0
三. 矩阵方程及其求解方法
矩阵方程
解
AX B
X A1 B
XA B
X BA1
AXB C
X A1C B1
例8
设
B
1 0
1 1
01，C
2 0
1 2
3 1
，
0 0 1
0 0 2
且 A( E C 1B)T C T B，求 A.
解 : 由于 A( E C 1B)T C T A(C CC 1B)T
几何与线性代数(第三章 行列式与矩阵)
An1 b1 An2 b2 Ann bn
b1
1
xj
| A|
A1 j
A2 j
Anj
b2
bn
1 | A|
bk Akj
Dj D
( j 1,2,...,n)
其中D=|A|, Dj是b代替|A|中第j列所得的行列式
定理（Cramer)
当D | A | 0时，线性方程组Ax b存在唯一解， x j Dj / D ( j 1,2,..,n)
n阶矩阵的行列式运算性质
性质： A, B为 两 个n阶 矩 阵 ， 则 (1) AT A; (2) kA k n A (3) | AB || A || B |
第三节 逆矩阵
引： 数 ：a 1 1 1 a
a
a
矩 阵 ：A A1 E A1 A
一、逆矩阵的概念和性质
定义: 对An，如果存在Bn，使得AB BA E,则称A是 可逆矩阵。B为A的逆矩阵，记作A1,即A1 B
定理： A可逆|A|0, r(A)=n
问题:如何计算A的秩？？？
二、秩的计算
1）定义法 例：运用定义法
求下列矩阵的秩
A
2 1
23 ,
B
2 1
4 2
,
C
a c
b d
2）矩阵的初等变换
目标：阶梯形矩阵的秩=其非零行数 定义（矩阵的初等变换）
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角线上元素的乘积的和 - 三个次对角线上元素的乘积的和。
2021/2/11
例
1 2 4 D2 2 112(2)21(3)(2)42
3 4 2 (4)2(3)1142(2)(2)14
2021/2/11
行列式的性质
a i1 A j1 a i2A j2 a in A jn na ik A jk 0(i j) k 1 n a 1 iA 1j a 2 iA 2j a nA in j a kA ik j0(i j) k 1
2021/2/11
1 01 例1 求D 1 1 4
1 1 2
注：以元素中0最多的行或列展开
线性代数主要内容：行列式、矩阵、n维向量、线性方程组、
标准形与二次型，其中行列式与矩阵是其基本理论。
2021/2/11
行列式
历史上，最早使用行列式概念的是17世纪德国数学家 莱布尼兹，后来瑞士数学家克莱姆於1750年发表了著名的 用行列式解线性方程组的克莱姆法则，首先将行列式的 理论脱离开线性方程组的是数学家范德蒙，1772年他对 行列式做出连贯的逻辑阐述，法国数学家柯西于1841年 首先创立了现代的行列式概念和符号，包括行列式一词 的使用，但他的某些思想和方法是来自高斯的。在行列 式理论的形成与发展的过程中做出过重大贡献的还有拉 格朗日、维尔斯特拉斯、西勒维斯特和凯莱等数学家。
就是数学上二阶行列式的概念：称表达式 a11a22 a12 a21
a11 a12
a11 a12
是由数表 a21 a22 确定的二阶行列式，记为 a21 a22 ，
a11 a12
即 a11a22 a12 a21 = a21 a22 .
其中称数 aij 为行列式的元素，元素 aij 的第一个下标 i
表示这个元素所在的行数，称为行标，第二个下标 j 表示
这个元素所在的列数，称为列标。
2021/2/11
二阶行列式D的计算可用对角线法帮助记忆： 主对角线上元素的乘积 - 次对角线上元素的乘积。
a11 a12＝a a －a a
a a 21 22
11 22 2112
2021/2/11
求解二元一次方程组－－－ 用二阶行列式建立的克莱姆法则：
－2 5 －1 例2 求D 1 9 13
3 1 5
2021/2/11
克莱姆法则
a11
当 a21
a12 a22
0 时，方程组有唯一的解：
b1 a12
x1
b2 a11
a22 ＝ D1 ,
a12
D
a21 a22
a11 b1
x2
aHale Waihona Puke Baidu1 a11
b2 a12
D2 D
a21 a22
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
x2
b2a11 a11a22
a21b1 a12a21
2021/2/11
a11 a12 a13 a21 a22 a23 完全类似地，我们称由含 32 个数的数表 a31 a32 a33 确定的三阶行列式为
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33
a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
a11 a12 a13
a11 a21 a31
定义：记 D a21 a22 a23 ， DT a12 a22 a32
a31 a32 a33
a13 a23 a33
即交换 D 的第 i 行与第 i 列，称行列式 DT 为的 D
的转置行列式。
性质 1 行列式与它的转置行列式相等。
注：性质 1 表明行列式中行与列具有同等的地位，
也就是说：行列式对行成立的性质，对列也同样成
立，反之亦然。
2021/2/11
• 性质2 对调行列式的任意两行（列），所得的行列 式的绝对值不变，但符号相反。
• 推论 若行列式中有两行（列）元素完全相同，则 行列式为零。
性质3 某一行所有元素的公因子可提到行列式符号 的外面。 推论 若行列式中有两行元素对应成比例，则行列 式为零 。
性质4 若行列式某行的元素是两数之和，则行列式 可拆成两个行列式的和。
性质5 行列式某一行元素加上另一行对应元素的 k 倍，则行列式的值不变。
2021/2/11
行列式的计算
在行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去
后，由留下的元素组成的行列式叫做元素 aij 的余子 式，记作 M ij ，并称 (1)i j M ij 为元素 aij 的代数余子式， 记为 。 Aij (1)i j Mij
2021/2/11
行列式概念
• 问题：求解二元一次方程组
aa1211xx11 aa1222xx22bb12,,
(1) (2)
用消元法得 a1a122 a1a 221 0
x1
b1a22a12b2 a11a22a12a21
x2
b2a11a21b1 a11a22a12a21
2021/2/11
用一个简单符号表示运算 a11a22 a12 a21 ，
D a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in ( i 1 , 2 , , n )
D a 1 jA 1 j a 2 jA 2 j a n A n j j( j 1 ,2 , ,n )
推论 行列式某行(列)元素与另一行(列)对应元素 的代数余子式乘积之和等于0，即
a11 a12 a13
例如， D a21 a22 a23 的元素 a32 的余子式和代数余
a31 a32 a33
子式分别为
M 32
a11 a21
a13 a23
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A32
(1)32
a11 a21
a13 a23
M 32
• 定理(行列式按行(列)展开定理) ： 行列式D等于它的任一行(列)各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
2021/2/11
线性代数起源于处理线性关系问题，它是代数学的一 个分支，形成于20世纪，但历史却非常久远，部分内 容在东汉初年成书的《九章算术》里已有雏形论述， 不过直到18—19世纪期间，随着研究线性方程组和变 量线性变换问题的深入，才先后产生了行列式和矩阵 的概念，为处理线性问题提供了强有力的理论工具， 并推动了线性代数的发展。