浙江省绍兴县杨汛桥镇九年级数学竞赛练习题(2)(无答案)

O
A
B C
E
D
1．已知正实数a 、b 满足ab ＝a ＋b ，则b a ＋a
b
－ab ＝( ) A ．－2 B ．－
21 C ．2
1
D ．2 2．已知p 、q 是有理数，x ＝
2
1
5－满足x 3＋px ＋q ＝0，则p ＋q 的值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－3 D ．3
3．Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，AC ＝3，BC ＝4，分别用r 、r 1、r 2表△ABC 、 △ACD 、△BCD 内切圆的半径，则r ＋r 1＋r 2＝( ) A ．
5
12
B ．3
C ．4
D ．5 4．方程｜｜x ｜－1｜＝a 恰有3个实数根，则a 等于( ) A ．0 B ．
2
1
C ．1
D ．2 5．如图,点D 、
E 分别在△ABC 的边AC 、AB 上,BD 、CE 相交于点O,△OBE 、△OBC 、 △OCD 的面积分别为15、30、24.则AE ∶BE=( ).
A ．5∶2
B ．2∶1
C ．5∶4
D ．9∶5
6．如图，梯形ABCD 的中位线MN 与对角线AC 、BD 分别交于点P 、Q ，AB ＝2CD ．设梯形ABCD 的周长为u ，四边形PQCD 的周长为v ，则
u
v
＝＿＿＿．
7．如图，用红，蓝，黄三色将图中区域A 、B 、C 、D 着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色，满足恰好A 涂蓝色的概率为 ． 8（甲）．如图，正方形ABCD 的边长为215， E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 .
9（乙）.如图所示，点A 在半径为20的圆O 上，
以OA 为一条对角线作矩形OBAC ，设直线BC 交圆O 于D 、E 两点， 若12OC ，则线段CE 、BD 的长度差是 。

10（甲）. 如果关于x 的方程x 2
+kx +43k 2－3k +9
2= 0的两个实数根分别为1x ，2x ，那么20122
2011
1x x
的值为 ．
10（乙）．设n 为整数，且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除，则所有n 的个数为 .
11（甲）. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m 的值为 . 11（乙）．如果正数x ，y ，z 可以是一个三角形的三边长，那么称x y z （，，）
是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）
均为三角形数，且a ≤b ≤c ，则a
c
的取值范围是 . 12（甲）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ， AB 是直径，AD = DC . 分别延长BA ，CD ， 交点为E . 作BF ⊥EC ，并与EC 的延长线 交于点F . 若AE = AO ，BC = 6，则CF 的长为 .
12（乙）．已知n 是偶数，且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，） 使得22a b n =+成立，则这样的n 的个数为 ．
11．△ABC 中，有一内角为36°，过顶点A 的直线AD 将△ABC 分成2个等腰三角形，则满足上述条件的不同形状(相似的认为是同一形状)的△ABC 最多有 个．
13（甲）．已知二次函数2
32y x m x m =++++（），当13x -<<时，恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m +
+++=（）的两个实数根的倒数和小于9
10
-．求m 的取值范围．
14． ABCD 为正方形，⊙O 过正方形的顶点A 和对角线的交点P ，
分别交AB 、AD 于点F 、E ． （1）求证：AE=BF ．
（2）若⊙O 的半径为2
3
，AB=12+，求tan ∠BPF 的值．
15．已知2
2
1a b +=，对于满足条件01x ≤≤的一切实数x ，不等式
(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥恒成立．
（1）试确定抛物线y ＝(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥的开口方向以及与x 轴的交点个数．（2）求乘积ab 的最小值．
（3）当ab 取最小值时，求抛物线y ＝(1)(1)()0a x x ax bx b x bx ------≥的解析式．
16（甲）. 求所有正整数n ，使得存在正整数122012x x x ，，　，，满足122012x x x <<<，
且12
2012
122012
n x x x +++
=.
A B
C
D
F
E
P 17.设在锐角三角形∆ABC 的各边上向外作等边三角形∆ABD , ∆BCE, ∆CAF, (1) 求证:AE=BF=CD, (2) 求证:AE,BF,CD 三线交于一点P. (3)设M 为∆ABC 内的任意一点,证明:AM+BM+CM ≥AP+BP+CP
18．阅读以下材料：对于三个数a b c ，，，用{}M a b c ，，表示这三个数的平均数，用
{}min a b c ，，表示这三个数中最小的数．例如：
{}1234
12333M -++-=
=，，；{}min 1231-=-，，；{}(1)min 121
(1).
a a a a -⎧-=⎨->-⎩≤；，，
解决下列问题：（1）填空：{}min sin30cos 45tan30
=，， ；
如果{}min 222422x x +-=，，，则x 的取值范围为x ________≤≤_________． （2）①如果{}{}212min 212M x x x x +=+，，，，，求x ； ②根据①，你发现了结论“如果{}{}min M a b c a b c =，，，，， 那么 （填a b c ，，的大小关系）”．证明你发现的结论；
③运用②的结论，填空：
若{}{}2222min 2222M x y x y x y x y x y x y +++-=+++-，，，，， 则x y += ．
（3）在同一直角坐标系中作出函数1y x =+，2
(1)y x =-，2y x =-的图象（不需列表描点）．通过观察图象，填空：{
}
2
min 1(1)2x x x +--，，的最大值为 ．
x
y
O
19、已知：二次函数b ax ax y +-=42
图象，开口向上，且0<b ，与x 轴的两个交点分别
为A 、B ，且满足
5=OB
OA ，(O 为坐标原点),与y 轴的交点为C （0,t ）
，顶点的纵坐标为k ，且满足35
24
359≤-
k ， （1）求A 、B 两点的坐标。

（2）求t 的取值范围。

（3）当t 取最小值时，求出这个二次函数式。

20、（1）是否存在正整数m ，n ，使得m （m+2）=n （n+1）？
（2）设k （k ≥3）是给定的正整数，是否存在正整数m ，n ，使得m （m+k ）=n （n+1）？
21．如图2，PA 、PB 与⊙O 切于A 、B 两点，PC 是任意一条割线，且交⊙O 于点E 、C ，交AB
于点D ．求证：BD
AD
BC AC =22
22、解方程：}{2][2x x x +=)0(≥x
（注：][x 表示实数x 的整数部分，}{x 表示x 的小数部分,如13.0}13.2{,2]13.2[==）
23、对非负实数x “四舍五入”到个位的值记为,><x 即：当n 为非负整数时，如果.,2
1
21n x n x n >=<+<≤-
则 如：<0>=<0.48>=0，<0.64>=<1.493>=1，<2>=2，<3.5>=<4.12>=4，…
试解决下列问题：（1）填空：①><π= （π为圆周率）； ②如果x x 则实数,312>=-<的取值范围为 ； （2）①当><+>=+<≥x m m x m x :,,0求证为非负整数时； ②举例说明><+>>=<+<y x y x 不恒成立；
（3）求满足x x x 的所有非负实数3
4
>=
<的值； （4）设n 为常数，且为正整数，函数14
12
+<≤+-=n x n x x x y 在的自变量范围内取
值时，函数值y 为整数的个数记为k n k a 的所有整数满足>=<;的个数记为b .
求证：.2n b a ==
24.如图，设ABC ∆是直角三角形，点D 在斜边BC 上，4BD DC =，已知圆过点C 且与AC
相交于F ，与AB 相切于AB 的中点G ， 求证：AD BF ⊥。

D G
C
A
B
F
D。