初中几何常见的基本图形及证明

初中几何基本图形及证明

说明：本资料中所有虚线为证明用的辅助线 一：与角平分线有关的基本图形 基本图形1

结论：如图，若P 点是B ∠和C ∠的平分线的交点，则P ∠和A ∠的数量关系

为：A P ∠+︒=∠2

1

90

B

基本图形2

结论：如图，若P 点是FBC ∠的平分线和ECB ∠的平分线的交点，则P ∠与

A ∠的数量关系为：A P ∠-︒=∠2

1

90

基本图形3

如图，若P 是ABC ∠的角平分线和ACB ∠的外角平分线的交点，则P ∠与A

∠的数量关系为：A P ∠=∠2

1

B

E

二：等腰直角三角形与其共斜边的直角三角形 基本图形4

如图，在等腰直角三角形ABC 中，D 点与C 点分别在AB 两侧，且BD AD ⊥，形成共斜边的两个直角三角形。结论：CD BD

AD 2=+

E

（延长DA 使BD EA =）

基本图形5

如图，在等腰直角三角形ABC 中，点D 与C 在AB 同侧，且BD AD ⊥，形成共斜边的两个直角三角形。结论：CD BD

AD 2=-

A

（截取BD AE

=）

三：线段和最短与轴对称 基本图形6 两定点一动点

如图，A ，B 为直线l 同侧两定点，P 为直线l 上一动点，A 和1A 关于l 成轴对称，连接B

A 1交直线l 于P 点。结论：P

B PA +最短

基本图形7 一定点两动点

如图P 为AOB ∠内一点，点1P 与P 关于OB 成轴对称，2P 与P 关于OA 成轴对称，连接2

1P P 交OB 于E 点，交OA 于F 点。结论：△PEF 的周长最短

O

A

基本图形8 两定点两动点

如图，A ，B 为直角坐标系中的两定点，1A 与A 关于y 轴对称，1B 与B 关于x 轴对称，连接11B A 分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点，连A ，B ，C ，D 结论：

四边形ABCD 周长最短。

基本图形9 一定点一动长

如图，P 为一定点，AB 为直线l 上的定长。结论：当P 在AB 的垂直平分线上时△PAB 的周长最短

基本图形10 两定点一动定长

如图，A ，B 为直线l 同侧的两点，DC 为直线l 上的一定长，作∥BE DC 且

DC BE =，A 与1A 关于直线l 对称，连接E A 1交直线于D

结论：BC AD +最短

基本图形11 线段差最大

如图，A ，B 分别位于直线l 的两侧，作1A 与A 点关于直线l 对称，连B A 1交直线l 于P 。结论：PB PA -最大

四：圆与垂直弦 基本图形12

如图⊙O 的弦AB 和CD 相互垂直，BD OH

⊥。结论：OH AC 2=

五、圆内接三角形与外角平分线 基本图形13

如图，CD 平分△ABC 的外角交圆于D 。结论：BD AD =

六、直角三角形与其内切圆 基本图形14

如图，设r 内Rt △ABC 内切圆的半径，其三边长分别为a ，b ，c 。

结论：)(2

1

c b a r -+=

A

七、等边三角形与圆 基本图形15

如图，等边三角形ABC 内接于⊙O ，P 为⊙O 上一点，连PB ，PC 。 结论：PA PC PB =+

如图，B ，D 位于AC 两侧，CD AD ⊥，BC AB ⊥。

结论：A ，B ，C ，D 四点共圆

A

A

基本图形17

如上图B ，D 位于AC 同侧，CD AD ⊥，BC AB ⊥。

结论：A ，B ，C ，D 四点共圆 八、相似三角形与基本图形

相似三角形基本图形主要分A 型、X 型、E 型、蝴蝶型、共角型、共边共角型等多种基本图形，这几种较为基础不作总结，主要总结综合题用到的基本图形 基本图形18

如图，P 为△ABC 的重心（重心是三条中线的交点）。 结论：

2

1

===PC PD PB PF PA PE

E

基本图形19

如图，在△ABC 中，CD 平分ACB ∠交AB 于D 点

结论：BD

AD BC AC =

射影定理

如图,在直角三角形ABC 中，BC AC ⊥，AB CD ⊥

结论：AB AD AC

•=2

AB BD BC •=2 BD AD CD •=2

A