八年级上数学期末复习讲义

八年级上数学期末复习讲义

第一章 勾股定理

[复习要求]

(1)掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题，发展合情推理能力，体会形数结合的思想；

(2)掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，能运用它解决一些实际问题； (3)了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值． 勾股定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么，a 2 +b 2 =c 2 ，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理在西方文献中又称毕达哥拉斯定理。

我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边为弦。 格式： a=8 b=15 解：由勾股定理得 c 的平方=a 2 +b 2 =82 +152

=64+225

=289 ∵C ＞0 ∴C=17

如果三角形三边长为a 、b 、c ，c 为最长边，只要符合a 2 +b 2 =c 2 ，这个

三角形是直角三角形。（勾股定理逆定理，是直角三角形的判别条件）。

[基础训练]

1．一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（ ）．

(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m 2．以下各组数中，能组成直角三角形的是（ ）

(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)6，7，8 (D)8，9，10

3．如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角

形ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．

4．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．

A C

160m

图1－1

因而 c 2

＝ ＋ ．

化简后即为 c 2

＝ ．

5．有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？

［本章小专题］

专题一：勾股定理的应用

例1、 如图1－1，在钝角ABC 中，CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，AD BC ⊥于D ，求AD

的长。

D

C B

A

例2、 如图1－2，AC BD ⊥，垂足为O ，问22

AB CD +与22BC AD +相等吗？理由是为

什么？

O

D

C

B

A

b

c 图1－2

小专题二：勾股定理的验证

例：如图1－3，将四个全等的直角三角形拼成正方形，直角三角形的两直角边分别为

,a b ，斜边边长为c ，利用此图验证勾股定理。

b

a b

a

b

a b

a

H

G

F E

D C B

A

小专题三：判定三角形的形状

2

261690,,,b b a b c -+=是三角形的三边长，试判断三角形的形状。

专题一针对训练： 1、 如图1－4，铁路上A 、B 两站，相距25km ，C 、D 为两村庄，DA AB ⊥，CB AB ⊥，

若AD ＝15km ，CB ＝10km ，现要在铁路线上新建一个土特产品收购站E ，使DE ＝CE ，则E 站就离A 站多远？

B

A

2、

如图1－5，在ABC 中，90C ∠=

，45B ∠=

，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且DE DF ⊥。问2

2

2

,,AE BF EF 之间的关系是什么，为什么？

F

E

D

C B

A

图1－3

图1－5

专题二针对训练：

如图1－6，将两个全等的直角三角形拼成直角梯形，直角三角形的两条直角边长分别是,a b，斜边长为c，利用此图验证勾股定理。

b

a

b

a

E

D

C

B

A

专题三针对训练：

如果ABC

的三角形三边长分别为,,

a b c，且满足222506810

a b c a b c

++=++，判断ABC

的形状。

第二章实数

[复习要求]

(1)了解无理数的概念和意义；

(2)了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根；能用平方运算与立方运算求某些数的平方根与立方根；会用计算器求平方根和立方根，并能探索一些有趣的数学规律；

(3)能用有理数估计一个无理数的大致范围；

(4)了解实数的概念，会按要求对实数进行分类，了解实数的相反数和绝对值的意义，知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系，了解有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用；

(5)能对带根号的数进行化简，并能利用化简进行有关实数的简单四则运算；

(6)能运用实数的运算解决简单的实际问题．

［概念与规律］

事实上，有理数总可以用有限循环小数或无限不循环小数表示。

无限不循环小数叫无理数。

无理数：圆周率π=3.14159265……；0.585885888588885……(相邻两个5之间8的个数逐次加1)；根号a（a为非完全平方数或非立方数）。

一般的，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，读作“根号a”。

0的算术平方根是0=0

图1－6