高考数学一轮复习等差数列专题训练(含答案)

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高考数学一轮复习专题：等差数列及其前n项和(教案及同步练习)

1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列．5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d . 6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列．(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列．(3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( × )(4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．6答案 B解析由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，故选B.2．(教材改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( )A ．31B ．32C ．33D ．34 答案 B解析由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎨⎧ a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32. 3．(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( )A ．100B ．99C ．98D ．97答案 C解析由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1， ∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.4．设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大.题型一等差数列基本量的运算例1 (1)在数列{a n }中，若a 1＝－2，且对任意的n ∈N *有2a n ＋1＝1＋2a n ，则数列{a n }前10项的和为( )A ．2B ．10 C.52 D.54(2)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.答案 (1)C (2)6解析 (1)由2a n ＋1＝1＋2a n 得a n ＋1－a n ＝12，所以数列{a n }是首项为－2，公差为12的等差数列，所以S 10＝10×(－2)＋10×(10－1)2×12＝52. (2)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0.又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2.∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6. 思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )A ．13B ．35C ．49D ．63(2)(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________．答案 (1)C (2)20∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝49. (2)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，则a 9＝a 1＋8d ＝－4＋8×3＝20.题型二等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．(1)证明因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)， b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52. 所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列． (2)解由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7. 设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.引申探究本例中，若将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列， ∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n . 思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( ) A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得 1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n . (2)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2.①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列；②求{a n }的通项公式．①证明由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2，即b n ＋1＝b n ＋2.又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．②解由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑n k ＝1 (a k ＋1－a k )＝∑nk ＝1(2k －1)，所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2.题型三等差数列性质的应用命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________.(2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( ) A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017 答案 (1)114 (2)A解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3.又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114.(2)由题意知，数列{S n n}为等差数列，其公差为1， ∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1.∴S 2 018＝－2 018.思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a n m －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( )A ．58B ．88C ．143D ．176(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( ) A.3727B.3828C.3929D.4030答案 (1)B (2)A解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13 ＝3×13－22×13＋1＝3727.6．等差数列的前n 项和及其最值考点分析公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现.题型有小题，也有大题，难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( )A ．45B ．60C ．75D ．90 (2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.解析 (1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 3＋a 8)2＝10×92＝45. (2)方法一设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝100，100a 1＋100×992d ＝10，解得⎩⎨⎧ a 1＝1 099100，d ＝－1150.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝－110. 方法二因为S 100－S 10＝(a 11＋a 100)×902＝－90，所以a 11＋a 100＝－2，所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝(a 11＋a 100)×1102＝－110. 答案 (1)A (2)－110典例2 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值．规范解答解 ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ， ∴d ＝－53. 方法一由a n ＝20＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝⎛⎭⎫－53 ＝130.方法二 S n ＝20n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－53 ＝－56n 2＋1256n ＝－56⎝⎛⎭⎫n －2522＋3 12524. ∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.方法三由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2016·重庆一诊)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，a 2＝5，则{a n }的前4项和为( )A ．9B ．22C ．24D ．32 答案 C解析由a n ＋1－a n ＝2，知{a n }为等差数列且公差d ＝2，∴由a 2＝5，得a 1＝3，a 3＝7，a 4＝9，∴前4项和为3＋5＋7＋9＝24，故选C.2．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.53钱C.32钱D.43钱答案 D解析设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，2a 1＋d ＝52，⎩⎨⎧ a 1＝43，d ＝－16，故选D.3．(2017·佛山调研)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n >3)，S n ＝100，则n 的值为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案 C解析由S n －S n －3＝51，得a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n (a 2＋a n －1)2＝100，解得n ＝10. 4．在等差数列{a n }中，a 9＝12a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A ．24B ．48C ．66D ．132 答案 D解析方法一由a 1＋8d ＝12(a 1＋11d )＋6，得a 1＋5d ＝12，∴a 1＝12－5d .又S 11＝11a 1＋11×102d ＝11a 1＋55d ＝11(12－5d )＋55d ＝132.方法二由a 9＝12a 12＋6，得2a 9－a 12＝12. 由等差数列的性质得，a 6＋a 12－a 12＝12，a 6＝12，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝132，故选D. 5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －57，且a 1＝5，设{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 取得最大值的序号n 的值为( )A ．7B ．8C ．7或8D ．8或9答案 C解析由题意可知数列{a n }是首项为5，公差为－57的等差数列，所以a n ＝5－57(n －1)＝40－5n 7，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以S n 取得最大值时，n ＝7或n ＝8，故选C.*6.设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n的最大值是( )A ．310B ．212C ．180D ．121 答案 D解析设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n ＝(n ＋10)2(2n －1)2＝(n ＋102n －1)2 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12 ＝14⎝⎛⎭⎫1＋212n －12≤121，故选D.7．(2015·安徽)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．答案 27解析由题意知数列{a n }是以1为首项，以12为公差的等差数列，∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.8．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝________. 答案 14解析由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14.9．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案 130解析由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.10．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案1941解析 ∵{a n }，{b n }为等差数列， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝1941. 11．在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3，可得1＋2d ＝－3，解得d ＝－2. 从而a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n ，所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35，即k 2－2k －35＝0，解得k ＝7或k ＝－5. 又k ∈N *，故k ＝7.12．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1).当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎨⎧12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.*13.已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a2n－2a n＋1＝a2n－1，也即(a n－1)2＝a2n－1，因此a n－1＝a n－1或a n－1＝－a n－1.若a n－1＝－a n－1，则a n＋a n－1＝1.而a1＝3，所以a2＝－2，这与数列{a n}的各项均为正数相矛盾，所以a n－1＝a n－1，即a n－a n－1＝1，因此数列{a n}是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解由(1)知a1＝3，d＝1，所以数列{a n}的通项公式a n＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即a n＝n＋2.第2讲等差数列及其前n 项和一、选择题1． {a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( )A ．18B ．20C ．22D ．24解析由S 10＝S 11得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20. 答案 B2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )．A ．6B ．7C ．8D ．9解析由a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝－11＋a 9＝－6，得a 9＝5，从而d ＝2，所以S n ＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，因此当S n 取得最小值时，n ＝6. 答案 A3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．7解析两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B4．在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析依题意得S 15＝15(a 1＋a 15)2＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C. 答案 C5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )．A ．8B ．7C ．6D ．5解析由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数的个数是( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个．答案 D 二、填空题7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________.解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －12×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案 38．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 69．在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．解析 (直接法)设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13，所以d ＝59，所以数列{a n }为递增数列．令a n ≤0，所以－3＋(n －1)·59≤0，所以n ≤325，又n ∈N *，前6项均为负值，所以S n 的最小值为－293. 答案－29310．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析设等差数列{a n }的项数为2n ＋1， S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(n ＋1)(a 1＋a 2n ＋1)2＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n (a 2＋a 2n )2＝na n ＋1，∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案 11 7 三、解答题11．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.12．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝S n n ＋c (n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎨⎧(a 1＋d )(a 1＋2d )＝45，a 1＋(a 1＋4d )＝18.解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c ＝n (1＋4n －3)2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c ，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n . ∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列． 13．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n .解 (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎨⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值；(2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg 10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2，① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2，③(i)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (ii)若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①、④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.综上可得a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1. 令b n ＝lg 10a 1a n，则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg 1＝0，当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg 1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为 T 7＝7(b 1＋b 7)2＝7(1＋1－3lg 2)2＝7－212lg 2.。

2023年高考数学一轮复习精讲精练第18练等差数列及其求和(解析版)

第18练等差数列及其求和学校____________ 姓名____________ 班级____________一、单选题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，若1233++m a a a a =，则m =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【详解】∵2132+a a a =，则12323++3m a a a a a == ∵2m = 故选：B ．2．2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（） A ．10秒 B ．13秒 C ．15秒 D ．19秒【答案】D 【详解】设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有()221380n n n n n +-=+=，解得19n =．故选：D.3．已知在等差数列{}n a 中，4820a a +=,712a =，则9a =（） A ．8 B ．10C ．14D ．16【答案】D 【详解】设公差为d ，则1113720612a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，解得102a d =⎧⎨=⎩，所以91816a a d =+=. 故选：D.4．5G 基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至2021年7月底，A 地区已经累计开通5G基站300个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进5G 网络建设．已知2021年8月该地区计划新建50个5G 基站，以后每个月比上一个月多建40个，预计A 地区累计开通4640个5G 基站要到（） A ．2022年10月底 B ．2022年9月底 C ．2022年8月底 D ．2022年7月底【答案】B 【详解】由题意得，2021年8月及之后该地区每个月建设的5G 基站数量为等差数列，则公差为40，假设要经过k 个月，则()1504046403002k k k -+⋅=-，解得：14k =，所以预计A 地区累计开通4640个5G 基站要到2022年9月底，故选：B ．5．在等差数列{}n a 中，234+=a a ，568a a +=，则4a =（） A ．4 B ．72C ．3D ．2【答案】C 【详解】因为()()()()235626354412a a a a a a a a a +++=+++==，所以43a =. 故选：C ．6．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，若13260S =，则2811a a a ++的值为（） A ．60 B ．120 C ．180 D ．260【答案】A 【详解】设等差数列{an }的公差为d ，因为13260S =，所以11312132602a d ⨯+=，所以1620a d +=，所以2811111171031860a a a a d a d a d a d ++=+++++=+=，故选：A.7．已知等差数列{}n a 中，1732,4,n a a a S ==为数列{}n a 的前n 项和，则10S =（） A ．115B ．110C ．110-D ．115-【答案】D 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，则由734a a =得264(22)d d +=+，解得3d =-，101(1)10910102(3)11522n n S a d -⨯=+=⨯+⨯-=-．故选：D ．8．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其中346,10S S ==，数列{}n b 满足11b =，且1n n n b a b ++=，则数列{}n b 的通项公式为（）A ．222n +B ．222n n -+C ．22nD ．222n n ++【答案】B 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为346,10S S ==，所以1132362434102a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)11n a a n d n n =+-=+-=，因为1n n n b a b ++=，所以1n n n b b a n +-==，所以211b b -=，322b b -=，433b b -=，……，11n n b b n --=-，所以1(1)123(1)2n n n b b n --=+++⋅⋅⋅+-=，因为11b =，所以2(1)2122n n n n n b --+=+=，故选：B9．在数列{}n a 中，设其前n 项和为n S ，若11a =-，21a =，()211nn n a a +-=+-，则10S 等于（） A ．25 B ．20 C ．15 D ．10【答案】B 【详解】由()211nn n a a +-=+-可知：当n 为奇数时，2n n a a +=，当n 为偶数时，22n n a a +-=，所以奇数项成常数列，偶数项成等差数列，且公差为2故()()10135792468105415152202S a a a a a a a a a a ⨯=+++++++++=-⨯+⨯+⨯=故选：B10．已知等差数列{}n a 的公差为d ，且0d ≠，且1a 、3a 、13a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和．则2143n n S a ++的最小值为（）A ．4B ．3 C．2 D ．113【答案】D 【详解】由已知可得23113a a a =，即()212112d d +=+，可得220d d -=，0d ≠，解得2d =，()()1112121n a a n d n n ∴=+-=+-=-，所以，()122n n n a a S n +==， 2221421473221n n S n n a n n +++==+++，令271n n b n +=+，则()()()2221177362112n n n n n n b b n n n n +++++--=-=++++，当1n =时，10nnb b ，即12b b >，当2n ≥时，10n n b b +->，即23b b <<，所以，数列{}n b 中，2b 最小，故2143n n S a ++的最小值为22711213+=+. 故选：D. 二、多选题11．公差为d 的等差数列{}n a 满足25a =，6830a a +=，则下面结论正确的有（） A ．d ＝2B ．21n a n =+C ．21111141n a n n ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭D ．211n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为()41n n +【答案】ABD 【详解】由题意得，268530a a a =⎧⎨+=⎩，即11521230a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =+，故A 、B 正确；得212(22)4(1)n a n n n n -=+=+，故211111()14(1)41n a n n n n ==⋅--++，故C 错误；所以数列21{}1n a -的前n 项和为 11111111(1)(1)42231414(1)nn n n n -+-++-=-=+++，故D 正确. 故选：ABD.12．已知等差数列{an }的公差为d ，前n 项和为Sn ，且91011S S S =<，则（） A ．d ＜0 B ．a 10＝0 C ．S 18＜0 D ．S 8＜S 9【答案】BC 【详解】910S S = ，101090a S S ∴=-= ，所以B 正确又1011S S < ,111110100a S S a d ∴=-=+> ,0d ∴> ,所以A 错误 1090,0,0a d a =>∴<11818118910918()9()9()902a a S a a a a a +==+=+=<，故C 正确 9989890,,a S S a S S <=+∴> ,故D 错误故选：BC 三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，1331n n a a +=+，1n =，2，3，…，则35a S =______．【答案】15##0.2【详解】因为1331n n a a +=+，所以113n n a a +-=，所以数列{}n a 是以13为公差的等差数列，所以333155315()552a a a a a S a ===+，故答案为：1514．已知等差数列{}n a 满足412a a a =+，且10a ≠，则513a a a =+______．【答案】1 【详解】因为412a a a =+，所以1113a d a a d +=++，即12a d =. 因为10a ≠，则0d ≠，所以51131146126a a d da a a a d d+===+++. 故答案为：1 四、解答题15．已知数列{}n a 为公差不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，1712a a +=，525S =. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令[]2log n n c a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，求1220c c c +++的值．【答案】(1)2n a n =+(2)61 【解析】(1)设数列{}n a 为公差为d ，1712a a +=，525S =，∵()111612545252a a d a d ⎧++=⎪⎨⨯+=⎪⎩∵13,1a d ==∵数列{}n a 的通项公式为2n a n =+ (2)2n a n =+，则13a =，20162232a <=<，当()22log log 21n n c a n ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+=，则224n ≤+<，可得1n =，当()22log log 22n n c a n ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+=，则428n ≤+<，可得26n ≤<，当()22log log 23n n c a n ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+=，则8216n ≤+<，可得614n ≤<，当()22log log 24n n c a n ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦==+=，则16232n ≤+<，可得1431n ≤<，此时1420n ≤≤.所以，1,12,263,6144,1420n n n c n n =⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤≤⎩，故1220124384761c c c +++=+⨯+⨯+⨯=16．已知数列{}n a 满足1221(2)nn n a a n -=+-≥，且15a =，2n n na b λ+=，11n n n c b b +=.(1)求实数λ，使得数列{}n b 为等差数列；(2)在（1）的条件下，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围【答案】(1)1λ=-(2)1162n T ≤<【解析】(1)若存在实数λ,使得数列{}n b 为等差数列,则1122n n n n a a λλ--++-必是与n 无关的常数又1112211122222n n n n n n n n n na a a a λλλλλ---++----+-===- 所以1λ=-,经检验,符合题意所以1λ=- (2)由（1）知数列{}n b 是等差数列,其首项为2,公差为1,则1n b n =+ 所以111(1)(2)12n c n n n n ==-++++所以111111111233412222n T n n n =-+-++-=-<+++ 又n T 递增所以11111122236n T T n =-=-=+ 所以1162n T <。

2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【含解析】

2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【原卷版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．82．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．93．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．634．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．45．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C．12，D．23，＋∞6．(多选)已知数列{a n}满足a1＝1，且对任意的n∈N*都有a n＋1＝a1＋a n＋n，则下列说法中正确的是()A．a n＝n(n＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D．数列{a n}的第50项为25507．(多选)设数列{a n}的前n项和为S n，若S2nS4n为常数，则称数列{a n}为“吉祥数列”．则下列数列{b n}为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．9．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．202011．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n n 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋1412．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．2025年高考数学一轮复习-6.4-数列求和-专项训练【解析版】1．等差数列{a n}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{a n}的前6项的和为()A．－24B．－3C．3D．8解析：A设{a n}的公差为d，根据题意得a23＝a2·a6，即(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)，解得d＝－2，所以数列{a n}的前6项和为S6＝6a1＋6×52d＝1×6＋6×52×(－2)＝－24．2．设1＋2＋22＋23＋…＋2n－1>128(n∈N*)，则n的最小值为()A．6B．7C．8D．9解析：C∵1＋2＋22＋…＋2n－1为公比为2，首项为1的等比数列的前n项和S n，∴S n＝12－1(2n－1)＝2n－1>128＝27，∴n≥8，∴n的最小值为8．故选C．3．设数列{a n}(n∈N*)的各项均为正数，前n项和为S n，log2a n＋1＝1＋log2a n，且a3＝4，则S6＝()A．128B．65C．64D．63解析：D因为log2a n＋1＝1＋log2a n，所以log2a n＋1＝log22a n，即a n＋1＝2a n，即数列{a n}是以2为公比的等比数列，又a3＝4，所以a1＝a34＝1，因此S6＝a1(1－26)1－2＝26－1＝63．故选D．4．已知数列{a n}的前n项和S n＝4n＋b(b是常数，n∈N*)，若这个数列是等比数列，则b＝()A．－1B．0C．1D．4解析：A显然数列{a n}的公比不等于1，所以S n＝a1·(q n－1)q－1＝a1q－1·q n－a1q－1＝4n＋b，所以b＝－1．5．已知等比数列{a n}，a1＝1，a4＝18，且a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1<k，则k的取值范围是()A．12，23B．12，＋∞C ．12，D ．23，＋∞解析：D设等比数列{a n }的公比为q ，q ≠0，则q 3＝a 4a 1＝18，解得q ＝12，所以a n ＝12n －1，所以a n a n ＋1＝12n －1×12n ＝122n －1，所以数列{a n a n ＋1}是首项为12，公比为14的等比数列，所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝21－14＝<23．因为a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，所以k ≥23．故k 的取值范围是23，＋D ．6．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是()A ．a n ＝n (n ＋1)2B2020项的和为20202021C2020项的和为40402021D ．数列{a n }的第50项为2550解析：AC因为a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，a 1＝1，所以a n ＋1－a n ＝1＋n ，即a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，a 1＝1也适合此式，所以a n ＝n (n ＋1)2，a 50＝1275，A 正确，D 错误；1a n ＝2n(n ＋1)＝2020项和S 2020＝－12＋12－13＋…＋12020－＝40402021，B 错误，C 正确．故选A 、C ．7．(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有()A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n解析：BC对于A ，S n ＝(1＋n )n 2，S 2n ＝n (1＋2n )，S 4n ＝2n (1＋4n )，所以S2n S 4n ＝n (1＋2n )2n (1＋4n )＝1＋2n 2(1＋4n )不为常数，故A 错误；对于B ，由并项求和法知：S 2n ＝n ，S 4n ＝2n ，S 2n S 4n ＝n 2n ＝12，故B 正确；对于C ，S n ＝2＋4n －22×n ＝2n 2，S 2n ＝8n 2，S 4n ＝32n 2，所以S 2n S 4n ＝14，故C 正确；对于D ，S n ＝2(1－2n )1－2＝2(2n －1)，S 2n ＝2(4n －1)，S 4n ＝2(16n －1)，所以S2n S 4n ＝4n －116n －1＝14n ＋1不为常数，故D 错误．故选B 、C ．8．已知数列{na n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2n ，则使得S n －na n ＋1＋50<0的最小正整数n 的值为________．解析：S n ＝1×21＋2×22＋…＋n ×2n ，则2S n ＝1×22＋2×23＋…＋n ×2n ＋1，两式相减得－S n ＝2＋22＋ (2)－n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1，故S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1．又a n ＝2n ，∴S n－na n ＋1＋50＝2＋(n －1)·2n ＋1－n ·2n ＋1＋50＝52－2n ＋1，依题意52－2n ＋1<0，故最小正整数n 的值为5．答案：59．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．解：(1)设数列{a n }的公差为d a 1＋10d ＝20，1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋4d )，化简得1＋2d ＝4，1d ＝0，因为d ≠0，所以a 1＝0，d ＝2，所以a n ＝2n －2(n ∈N *)，S n ＝n 2－n ，n ∈N *，因为S n ＋b n ＝2n 2，所以b n ＝n 2＋n (n ∈N *)．(2)由(1)知，c n n －n 2，n 为偶数，a n ，n 为奇数，n 为偶数，n －1，n 为奇数，所以T 2n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋(40＋42＋…＋42n －2)＝n (2＋2n )2＋1－16n 1－16＝n (n ＋1)＋115(16n －1)．10．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2020项和为()A ．1009B ．1010C ．2019D ．2020解析：D设{a n }的公差为da 1＋6d ＝a 1＋3d ＋7，1＋9d ＝19，1＝1，＝2，∴a n ＝2n－1，设b n ＝a n cos n π，则b 1＋b 2＝a 1cos π＋a 2cos 2π＝2，b 3＋b 4＝a 3cos 3π＋a 4cos 4π＝2，…，∴数列{a n cos n π}的前2020项的和为(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2019＋b 2020)＝2×20202＝2020．11．(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A nn 项和为B n ，则下列结论正确的是()A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋14解析：ABD由a n ＝a 2n －1＋a n －1，得a 2n －1＝a n －a n －1≥0，所以a n ≥a n －1≥32，A n ＝a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n ＋1－a n ＝a n ＋1－a 1＝a n ＋1－32，故A 正确；由a n ＝a 2n －1＋a n －1＝a n－1(a n －1＋1)，得1a n ＝1a n －1(a n －1＋1)＝1a n －1－1a n －1＋1，即1a n －1＋1＝1a n －1－1a n ，所以B n ＝1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a n ＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1＝23－1a n ＋1，故B 正确；易知A n ≠0，B n ≠0，所以A nB n ＝a n ＋1－3223－1a n ＋1＝32a n ＋1，故C 不正确；易知a n ＝a 2n －1＋a n －1<2a 2n －1，所以a n ＋1<2a 2n <23a 4n －1<…<22n －1a 2n 1＝22n－1n ＝12×32n ，所以A n B n＝32an ＋1<32×12×32n ＝32n ＋14，故D 正确．故选A 、B 、D ．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：(1)当n ≥2时，S n ＝3S n －1－2(n －1)＋2，又S n ＋1＝3S n －2n ＋2，两式相减可得S n ＋1－S n ＝3S n －3S n －1－2，即a n ＋1＝3a n －2，即有a n ＋1－1＝3(a n －1)，令n ＝1，可得a 1＋a 2＝3a 1，解得a 2＝2a 1＝4，也符合a n ＋1－1＝3(a n －1)，则数列{a n －1}是首项为1，公比为3的等比数列，则a n －1＝3n －1，故a n ＝1＋3n －1．(2)由(1)知b n ＝na n ＝n ＋n ·3n －1，则T n ＝(1＋2＋…＋n )＋(1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1)，设M n ＝1·30＋2·31＋3·32＋…＋n ·3n －1，3M n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，两式相减可得－2M n ＝1＋3＋32＋…＋3n －1－n ·3n＝1－3n 1－3－n ·3n ，化简可得M n ＝(2n －1)·3n ＋14．所以T n ＝12n (n ＋1)＋(2n －1)·3n ＋14．13．已知数列{a n }，其前n 项和为S n ，请在下列三个条件中补充一个在下面问题中，使得最终结论成立并证明你的结论．条件①：S n ＝－a n ＋t (t 为常数)；条件②：a n ＝b n b n ＋1，其中数列{b n }满足b 1＝1，(n ＋1)·b n ＋1＝nb n ；条件③：3a 2n ＝3a 2n ＋1＋a n ＋1＋a n ．数列{a n }中a 1是展开式中的常数项，且________．求证：S n <1∀n ∈N *恒成立．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．证明：二项展开式的通项为T k ＋1＝C －k＝C －k x12－3k，令12－3k ＝0，得k ＝4，得展开式的常数项为a 1＝12．可选择的条件为①或②或③：若选择①：在S n ＝－a n ＋t 中，令n ＝1，得t ＝1，所以S n ＝－a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝－a n －1＋1．两式相减得a n ＝12a n －1，故{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列，所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择②：由(n ＋1)b n ＋1＝nb n 得b n ＋1b n ＝nn ＋1，所以b n ＝b n b n －1·b n －1b n －2·…·b 2b 1b 1＝1n (n ≥2)，n ＝1时也满足，则a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S n …1－1n ＋1<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．若选择③：由题意得3a 2n ＋1－3a 2n ＝－(a n ＋1＋a n )，得a n ＋1－a n ＝－13或a n ＋1＋a n ＝0，又a 1＝12，当a n ＋1＋a n ＝0时，有S n n 为偶数，n 为奇数，所以S n <1，当a n ＋1－a n ＝－13时，有S n ＝n 2－n (n －1)6＝－16(n 2－4n )＝－16(n －2)2＋23，当n ＝2时，S n 有最大值，为23<1．所以S n <1对任意的n ∈N *恒成立．。

高考数学一轮复习等差数列多选题专项训练测试试题及答案

高考数学一轮复习等差数列多选题专项训练测试试题及答案一、等差数列多选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（）A ．80a 的n 的最大值为12解析：ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d dS n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-，对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d dS d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（） A ．a 6＞0 B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项解析：ABCD 【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．对于：7≤n ≤12时，nnS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0，但是随着n 的增大而减小，可得：nn S a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，nnS a 取得最小值．综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-解析：AC 【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =，∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩，解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-==故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（）A ．若59S S =，则必有14S =0B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项C ．若67S S >，则必有78S S >D ．若67S S >，则必有56S S > 解析：ABC 【分析】根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402a a S +==，故A 选项正确；对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题． 5．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（）A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <解析：AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误. 故选:AD. 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系. 6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，且3201911111a a e e +≤++，则（） A ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≥ B ．当数列{}n a 为等差数列时，20210S ≤ C ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T > D ．当数列{}n a 为等比数列时，20210T < 解析：AC 【分析】将3201911111a a e e +≤++变形为32019111101212a a e e -+-≤++，构造函数()1112xf x e =-+，利用函数单调性可得320190a a +≥，再结合等差数列与等比数列性质即可判断正确选项【详解】由3201911111a a e e +≤++，可得32019111101212a a e e -+-≤++，令()1112x f x e =-+， ()()1111101111x x x x x e f x f x e e e e --+=+-=+-=++++，所以()1112xf x e =-+是奇函数，且在R 上单调递减，所以320190a a +≥，所以当数列{}n a 为等差数列时，()320192*********a a S +=≥；当数列{}n a 为等比数列时，且3a ，1011a ，2019a 同号，所以3a ，1011a ，2019a 均大于零，故()2021202110110T a =>.故选：AC 【点睛】本题考查等差数列与等比数列，考查逻辑推理能力，转化与化归的数学思想，属于中档题 7．等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，151115,a S S ==，则以下正确的是（）A ．1d =-B ．413a a =C ．n S 的最大值为8SD ．使得0n S >的最大整数15n = 解析：BCD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的通项公式及前n 项和公式可得1215d a =-⎧⎨=⎩，再逐项判断即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意，1115411105112215a d a d a ⨯⨯⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，所以1215d a =-⎧⎨=⎩，故A 错误；所以1131439,129a a d a d a =+==+=-，所以413a a =，故B 正确；因为()()2211168642n n n a n d n n n S -=+=-+=--+，所以当且仅当8n =时，n S 取最大值，故C 正确；要使()28640n S n =--+>，则16n <且n N +∈，所以使得0n S >的最大整数15n =，故D 正确. 故选：BCD.8．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥解析：BC【分析】设公差d 不为零,由38a a =，解得192a d =-，然后逐项判断.【详解】设公差d 不为零, 因为38a a =，所以1127a d a d +=+，即1127a d a d +=--，解得192a d =-，11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭，故A 错误；()()()()()()221101110910,10102222n n n n n n dd na d n n n a n n S S d ----=+=-=-+=-，故B 正确；若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫=+=⨯-+=> ⎪⎝⎭，解得0d >，()()22510525222n d d d n n S n S =-=--≥，故C 正确；D 错误；故选：BC 9．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（） A ．17a B ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -解析：BD 【分析】由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确. 【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；13518351835()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题. 10．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin 2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--解析：AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件；对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC11．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足140(2)n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法错误的是（） A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n = B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列解析：ABC 【分析】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =，可得：1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，利用等差数列的通项公式可得1nS ，n S ，2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---，进而求出n a ．【详解】数列{}n a 的前n 项和为0n n S S ≠（），且满足1402n n n a S S n -+=≥（），114a =， ∴1140n n n n S S S S ---+=，化为：1114n n S S --=，∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，公差为4， ∴()14414n n n S =+-=，可得14n S n=， ∴2n ≥时，()()111144141n n n a S S n n n n -=-=-=---， ∴()1(1)41(2)41n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，对选项逐一进行分析可得，A ，B ，C 三个选项错误，D 选项正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查数列递推式，解题关键是将已知递推式变形为1114n n S S --=，进而求得其它性质，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题 12．已知数列{}2nn a n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列解析：ACD 【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】因为1112a =+，1(1)2n n a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =解析：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=，故选：BC14．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确；又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 15．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-，当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解；（3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.16．题目文件丢失！17．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列解析：ABC【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断.【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC18．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（） A ．100a =B ．911a a =C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S = 解析：ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-，故10190a a d =+=，故A 正确； ∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确；该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误；由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确，故选：ABD.【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.19．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（）A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a > 解析：ABC【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.20．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（） A ．0d C ．13n S S ≤D ．当且仅当0n S <时，26n ≥ 解析：AB【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果.【详解】因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误；因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.。

考向19等差数列及其前n项和(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(全国通用)(解析版)

考向19 等差数列及其前n 项和1.（2022年乙卷文科第13题）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若32236S S =+，则公差d = ．【答案】2【解析】因为32236S S =+，所以212233()6a a a ⨯=++，即213()36a a d -==，所以2d =. 2.（2022年北京卷第6题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.3.（2022新课标1卷第17题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11=a ，{}n n S a 是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 得通项公式；（2）证明：121112+++<na a a ．【解析】（1）111==S a ，所以111=S a ，所以{}n n S a 是首项为1，公差为13的等差数列，所以121(1)33+=+-⋅=n n S n n a ，所以23+=n n n S a ．当2n 时，112133--++=-=-n n n n n n n a S S a a ，所以1(1)(1)--=+n n n a n a ，即111-+=-n n a n a n （2n ）；累积法可得：(1)2+=n n n a （2n ），又11=a 满足该式，所以{}n a 得通项公式为(1)2+=n n n a ．（2）121111112[]1223(1)+++=+++⨯⨯+n a a a n n111112(1)2231=-+-++-+n n 12(1)21=-<+n ． 4.（2022新课标2卷第17题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-（1）证明：11a b =；（2）求集合1{|,1500}k m k b a a m =+中元素的个数．【答案】（1）见解析；（2）9．【解析】（1）设等差数列{}n a 公差为d由2233a b a b -=-，知1111224a d b a d b +-=+-，故12d b = 由2244a b b a -=-，知()1111283a d b b a d +-=-+，故()111243a d b d a d +-=-+；故1112a d b d a +-=-，整理得11a b =，得证．（2）由（1）知1122d b a ==，由1k m b a a =+知：()111121k b a m d a -=+⋅-⋅+ 即()11111212k b b m b b -=⋅⋅+-+，即122k m -=，因为1500m ，故1221000k -，解得210k故集合1{|,1500}k m k b a a m =+中元素的个数为9个．5.（2022年甲卷理科第17题，文科第18题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+. （1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值. 【答案】（1）略；（2）78- 【解析】（1）由于221nn S n a n+=+，变形为222n n S na n n =+-，记为①式，又21122(1)1(1)n n S n a n n --=-+---，记为②式， ①-②可得*1(22)(22)22,2,n n n a n a n n n ----=-∈N 即*11,2,n n a a n n --=∈N ，所以{}n a 是等差数列；（2）由题意可知2749a a a =，即2111(6)(3)(8)a a a +=++，解得112a =-，所以12(1)113n a n n =-+-⨯=-，其中1212...0a a a <<<<，130a =则n S 的最小值为121378S S ==-.6.（2021年甲卷理科第18题）已知数列}{n a 的各项为正数，记n S 为}{n a 的前n 项和，从下面①②③中选出两个条件，证明另一个条件成立．①数列}{n a 为等差数列；②数列}{n S 为等差数列；③123a a =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】见解析．【解析】一、选择条件①③已知}{n a 为等差数列，122a a =，设公差为d ，则d a a a +==1123，即12a d = 因为1212)1(a n d n n na S n =-+=，则n a S n ⋅=1)0(1>a 所以数列}{n S 为等差数列二、选择条件①②已知}{n a 为等差数列，数列}{n S 为等差数列，设公差为d 则dn a a n )1(1-+=，n da d n d n n na S n )2(212)1(121-+=-+= 若数列}{n S 为等差数列，则21da =，所以1123a d a a =+=三、选择条件②③已知数列}{n S 为等差数列，123a a =设公差为d 则d S S =-12，即d a a =-114 则21da =nd d n S S n =-+=)1(1则d n S n 2=，d dn S S a n n n -=-=-21所以}{n a 为等差数列7.（2021年全国一卷第19题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积.已知212n nS b +=. （1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）31212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-⎪+⎩≥.【解析】（1）当1n =时，11b S =，易得132b =. 当2n ≥时，1n n n b S b -=，代入212n n S b +=消去n S 得，1212n n n b b b -+=，化简得112n n b b --=， {}n b ∴是以32为首项，12为公差的等差数列. （2）易得11132a S b ===.由（1）可得22n n b +=，由212n n S b +=可得21n n S n +=+. 当2n ≥时，12111(1)n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++，显然1a 不满足该式； 31212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪∴=⎨⎪-⎪+⎩≥.8.（2021年新高考2卷第17题）记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】（1）=26n a n -；（2）min 7n =．【解析】（1）由题意知：35244,a S a a S =⎧⎨=⎩()()1111154+252,43342a d a d a d a d a d ⨯⎧=+⎪⎪∴⎨⨯⎪+⋅+=+⎪⎩即：121+20,46a d d a d =⎧⎪⎨-=+⎪⎩ 故14,2a d =-⎧⎨=⎩所以数列{}n a 的通项公式为26n a n =-．（2）由（1）知()21(4)25,2n n n S n n n +=⋅-+⋅=-又,26n n n S a a n >=-2526n n n ∴->-即2760n n -+>16n n ∴<>或+n N ∈min 7n ∴=1.等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法． 2.等差数列的判定与证明方法（1）定义法：如果一个数列{a n }从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么可以判断数列{a n }为等差数列；（2）等差中项法：如果一个数列{a n }对任意的正整数n 都满足2a n+1=a n +a n+2，那么可以判断{a n }为等差数列；（3）通项公式法：如果一个数列{a n }的通项公式满足a n =p n +q （p ，q 为常数）的形式，那么可以得出{a n }是首项为p+q ，公差为p 的等差数列;（4）前n 项和公式法:如果一个数列{a n }的前n 项和公式满足S n =An 2+Bn （A ，B 为常数）的形式，那么可以得出数列{a n }是首项为A+B ，公差为2A 的等差数列.1．等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d ＞0，则为递增数列，若公差d ＜0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.2．两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 ①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1；②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n .1．当公差d ≠0时，等差数列的通项公式是n 的一次函数；当公差d ＝0时，a n 为常数． 2．注意利用“a n －a n －1＝d ”时加上条件“n ≥2”．1．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＝2，S 4＝14，则S 6等于( )A ．32B ．39C ．42D ．45 【答案】B【解析】设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，4a 1＋4×32d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3，所以S 6＝6a 1＋5×62d ＝39.n n 13n A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】C【解析】因为d ＝a 3－a 12＝2，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝64，解得n ＝8(负值舍去)．3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( )A ．18B ．16C ．14D ．12n n 267A ．13 B ．49 C ．35 D ．63n n n －1n ＋126n n A ．S 4＜S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4＞S 1 D ．S 4＝S 1 【答案】B【解析】数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }是等差数列，设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＝－6，a 6＝6，所以4d ＝a 6－a 2＝12，即d ＝3. 所以a n ＝－6＋3(n －2)＝3n －12，所以S 1＝a 1＝－9，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－9－6－3＝－18， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－9－6－3＋0＝－18，所以S 4＜S 1，S 3＝S 4.6.在等差数列{a n }中，a 2，a 14是方程x 2＋6x ＋2＝0的两个实数根，则a 8a 2a 14＝( )A ．－32 B ．－3 C ．－6 D ．2n A ．100 B ．120 C ．390 D ．540 【答案】A【解析】设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.8.已知等差数列{a n }的公差为4，其项数为偶数，所有奇数项的和为15，所有偶数项的和为55，则这个数列的项数为( )A ．10B ．20C ．30D ．40n n 56678是( )A ．d ＜0B ．a 7＝0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值【答案】ABD【解析】S 6＝S 5＋a 6＞S 5，则a 6＞0，S 7＝S 6＋a 7＝S 6，则a 7＝0，则d ＝a 7－a 6＜0，S 8＝S 7＋a 8＜S 7，a 8＜0.则a 7＋a 8＜0，所以S 9＝S 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝S 5＋2(a 7＋a 8)＜S 5，由a 7＝0，a 6＞0知S 6，S 7是S n 中的最大值．从而ABD 均正确．10．(多选)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0n ＋n 25898值是________．【答案】16【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2a 5＋a 8＝(a 1＋d )·(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝a 21＋4d 2＋5a 1d＋a 1＋7d ＝0，S 9＝9a 1＋36d ＝27，解得a 1＝－5，d ＝2，则S 8＝8a 1＋28d ＝－40＋56＝16.12．已知数列{a n }与⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n n 均为等差数列(n ∈N ＋)，且a 1＝2，则a 20＝________．n n ＋1n n ＋2324(1)求a 1＋a 3a 2的值； (2)求证：数列{a n }为等差数列．14. 已知数列{a n }中，a 1＝14，其前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S n2S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．当n ＝1时，a 1＝14，不适合上式．所以a n＝⎩⎨⎧14，n ＝1，－12n （n ＋1），n ≥2.一、单选题 1．（2022·北京·人大附中模拟预测）如图是标准对数远视力表的一部分．最左边一列“五分记录”为标准对数视力记录，这组数据从上至下为等差数列，公差为0.1；最右边一列“小数记录”为国际标准视力记录的近似值，这组数据从上至下为等比数列，公比为1010．已知标准对数视力5.0对应的国际标准视力准确值为1.0，则标准对数视力4.8对应的国际标准视力精确到小数点后两位约为（）（参考数据：51010 1.58,10 1.26≈≈）A ．0.57B ．0.59C ．0.61D ．0.63【答案】D【解析】依题意，以标准对数视力5.0为左边数据组的等差数列的首项，其公差为-0.1，标准对数视力4.8为该数列第3项，标准对数视力5.0对应的国际标准视力值1.0为右边数据组的等比数列的首项，其公比为10110，因此，标准对数视力4.8对应的国际标准视力值为该等比数列的第3项，其大小为2105111()0.631010⨯=≈. 故选：D数之余一，五五数之余二，….若已知该筐最多装200个鸡蛋，则筐内鸡蛋总数最多有（）A ．184B ．186C ．187D ．188．（上海杨浦二模）数列n 为等差数列，1且公差，若1，3，6也是等差数列，则其公差为（） A ．1g d B ．1g2d C ．lg 23D ．1g 324．（2022·贵州·模拟预测（理））十七世纪法国数学家费马猜想形如“221n F =+（n ∈N ）”是素数，我们称n F 为“费马数”．设()2log 1n n a F =-，22log n n b a =，n *∈N ，数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，则下列不等关系一定成立的是（） A ．n n a b C ．n n S T ≤ D ．n n S T ≥【答案】D【解析】因为221nn F =+（n ∈N ），所以()222log 1log (211)2nn n n a F =-=+-=，n *∈N所以222log 2log 22nn n b a n ===，n *∈N ，当2n =时，22224,224a b ===⨯=，两本著作——《红高粱》《檀香刑》.假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读完这两本书的时间为（） A ．第23天 B ．第24天 C ．第25天 D ．第26天6．（2022·安徽省舒城中学模拟预测（理））若数列n a 为等差数列，数列n b 为等比数列，则下列不等式一定成立的是（） A ．1423b b b b +≤+B ．4132b b b b ≤--C ．3124a a a a ≥D ．3124a a a a ≤7．（2022·浙江·模拟预测）已知函数(),()f x ax b g x ax b =+=-，下列条件，能使得（m ，n ）的轨迹存在实轴和虚轴相等的双曲线的是（） A ．(0)1,()f f f m n -+成等差数列B ．(),()g m g g n 成等比数列C ．(),2()2,()f m n f m b f m n --+成等差数列D ．(),(),()g m n g m g m n -+成等比数列()()()2222amb a m n b a m n b ⎡⎤⎡⎤-=--⋅+-⎣⎦⎣⎦，整理可得()222220an an am b --=，当20an ≠，且0b ≠时，由22220an am b --≠得2212n m b b a a-=，此时是实轴和虚轴不相等的双曲线，故D 错误. 故选：C.8．（2022·广西广西·一模（文））北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为1239,,,,a a a a ⋅⋅⋅，设数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，且218a =，4690a a +=，则8S =（）A ．189B ．252C ．324D ．405【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由218a =，4690a a +=，得11182890a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：199a d =⎧⎨=⎩，所以8879893242S ⨯⨯=⨯+=. 故选：C.二、多选题9．（2022·江苏·盐城中学模拟预测）设n *∈N ，正项数列{}n x 满足11(0,1),ln 1n n n n x x x x x +∈-=，下列说法正确的有（） A ． 1x 为{}n x 中的最小项B ．2x 为{}n x 中的最大项C ．存在1(0,1)x ∈，使得123,,x x x 成等差数列D ．存在1(0,1),x n *∈∈N ，使得12,,n n n x x x ++成等差数列 1,()x f x '>1,()x f x '<(1)1ln1f =+)1x131,(0,1),1,1,n x x f x f +∈∴>==所以A 正确令()(ln ,1g x f x x x x =- 21()0,x g x x +-='-<()g x ∴)0,x ∴320x x -<x x 是最大的项，所以B 是最大的项，则不可能使得()n g x <，则，所以不存在,x x 10．（2022·山东·烟台二中模拟预测）已知无穷数列n a 满足：当为奇数时，21n a n =+；当n 为偶数时，2n a n =，则下列结论正确的为（）A ．2021和2023均为数列{}()21n a n *-∈N 中的项B ．数列{}()21n a n *-∈N 为等差数列C ．仅有有限个整数k 使得23k k a a >成立D ．记数列{}2na 的前n 项和为n S ，则1413n n S +<-恒成立选项，2n 为偶数，则}2n 是以4为首项，以)14414n -=-三、填空题11．（2022·新疆乌鲁木齐·模拟预测（理））已知n S 为单调递减的等差数列{}n a 的前n 项和，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和3612n nT n =-，则下列结论中正确的有___________．（填写序号） ①30a =；②27n S n n =-；③()2n n S n a n =+-；④4nS S ≤【答案】②④11n d a ⎛++⎝3612n n-，12．（2021·上海杨浦·一模）等差数列{}n a 满足：①10a <，22a >；②在区间(11,20)中的项恰好比区间[41,50]中的项少2项，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________.行、每一列及两个主对角线上的整数之和都相等.早在13世纪中国古代数学家杨辉就作出了⨯幻方的每一行上整数之和为______.⨯的幻方，那么5555【答案】65【解析】因为()125251232513253252+⨯++++==⨯=，因为55⨯幻方的每一行上整数之和相等，共5行，所以每行的整数之和为325655=. 故答案为：65.九个数填入如图所示3x3的正方形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数.考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上到下这8个数列，给出下列四个结论：①这8个数列有可能均为等差数列； ②这8个数列中最多有3个等比数列；③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5； ④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①②③【解析】①. 如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，则这8个数列均为等差数列，故①正确.②. 1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，等比数列有：1,2,4； 1,3,9；2,4,8；4,6，9. 由于1,2,4和2,4,8这两个等比数列不可能在网格中不可能在同一列，同一行或对角线上. 所以这8个数列中最多有3个等比数列,例如如图满足有3个等比数列.故②正确③. 若三个数,,a b c 成等差数列，则2b a c =+.根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数b 相同. 则只能是5b = 由2519283746⨯=+=+=+=+则中间一行、中间一列、两条对角线四列的数分别为1,5,92,5,83,5,74,5,6；；；时满足条件;中心数为其他数时，不满足条件.故③正确.④. 若第一行为1,2,4；第一列为1,3,9，满足第一行、第一列均为等比数列.第二行为3,5,7，第二列为258，，，则第二行，第二列为等差数列，此时有两个等差数列.故④不正确故答案为：①②③四、解答题15．（2022·上海崇明·二模）已知集合（Z 是整数集，m 是大于3的正整数）．若含有m 项的数列{}n a 满足：任意的,i j M ∈，都有i a M ∈，且当i j ≠时有i j a a ≠，当i m <时有12i i a a +-=或13i i a a +-=，则称该数列为P 数列． (1)写出所有满足5m =且11a =的P 数列；(2)若数列{}n a 为P 数列，证明：{}n a 不可能是等差数列； (3)已知含有100项的P 数列{}n a 满足5105100,,,,,(1,2,3,,20)k a a a a k =是公差为(0)d d >等差数列，求d 所有可能的值【解析】(1)由题意可得满足5m =且11a =的P 数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..(2)假设{}n a 是等差数列，公差为d ，当0d >时，由题意，2d =或3，此时1121i a a a ≥+>+(2,3,4,,)i m =，所以11a +不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列当0d <时，由题意，2d =-或3-，此时1121i a a a ≤-<-(2,3,4,,)i m =所以11a -不是等差数列{}n a 中的项，与题意不符，所以{}n a 不可能是等差数列综上所述，{}n a 不可能是等差数列 (3)由题意，N*d ∈，当6d ≥时，因为51a ≥，所以100519115a a d =+≥，与题意不符；当3d ≤时，记{}545352515,,,,(1,2,3,,20)k k k k k k M a a a a a k ----==，当{}100(1,2,3,,20)i M i ∈∈时，51004388i a ≥-⨯=，所以55()31k i a a i k d =--≥，所以k M 中的最小项314319≥-⨯=，所以1(1,2,3,20)k M k ∉=，与题意不符，当4d =时，1054a a =+，又由题意，10512342323a a x x x x =++--（*），其中N(1,2,3,4)i x i ∈=，且12345x x x x +++=，所以13242()3()4x x x x -+-=，所以13242x x x x -=⎧⎨=⎩ ，所以322225x x ++=，与N(1,2,3,4)i x i ∈=不符；当5d =时，取,541,532,522,511,5n n n k n n k a n n k n n k n n k =-⎧⎪+=-⎪⎪=+=-⎨⎪-=-⎪-=⎪⎩ ，此时的数列{}n a 满足题意，综上所述，5d =.16．（2022·上海长宁·二模）甲、乙两人同时分别入职,A B 两家公司，两家公司的基础工资标准分别为：A 公司第一年月基础工资数为3700元，以后每年月基础工资比上一年月基础工资增加300元；B 公司第一年月基础工资数为4000元，以后每年月基础工资都是上一年的月基础工资的1.05倍．(1)分别求甲、乙两人工作满10年的基础工资收入总量（精确到1元）(2)设甲、乙两人入职第n 年的月基础工资分别为n a 、n b 元，记n n n c a b =-，讨论数列{}n c 的单调性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基础工资高于乙的月基础工资，并说明理由．础工资收入总量()1024000 1.0511********.051S ⨯-=⨯=-元（2）()37003001n a n =+-，14000 1.05n n b -=⨯134003004000 1.05n n c n -=+-⨯，()1340030014000 1.05n n c n +=++-⨯，设11300200 1.050n n n c c -+-=-⨯>，即11.05 1.5n -<，解得18n ≤≤所以当18n ≤≤时，{}n c 递增，当9n ≥时，n c 递减又当0n c <，即134003004000 1.05n n -+<⨯，解得514n ≤≤，所以从第5年到第14年甲的月基础工资高于乙的月基础工资．．1．（2020全国Ⅱ理4）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）（）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块【答案】C【思路导引】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S -=-+，解方程即可得到n ，进一步得到3n S ．【解析】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n =+-⨯=，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S --，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S -=-+，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n ++++-=-+，即29729n =，解得9n =，所以32727(9927)34022n S S +⨯===，故选C ．2．（2020浙江7）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，公差110,a d d≤≠．记12122,,n n n b S b S S n ++*=-=∈N ，下列等式不可能成立的是（）A ．4262a a a =+B ．4262b b b =+C ．2428a a a =D ．2428b b b =【答案】B【解析】A ．由等差数列的性质可知4262a a a =+，成立；B ．4566b S S a =-=-，2323b S S a =-=，()6710891093b S S a a a a =-=-++=-，若4262b b b =+，则()6399639232a a a a a a a -=-⇔-=-，即660d d d =-⇔=，这与已知矛盾，故B 不成立；C ．()()()2242811137a a a a d a d a d =⇔+=++ ，整理为：1a d =，故C 成立；D ．()89141011121314125b S S a a a a a a =-=-++++=-，当2428b b b =时，即()263125a a a =⋅-，整理为()()()211155211a d a d a d +=-++，即2211225450a a d d ++=，0∆>，方程有解，故D 成立．综上可知，等式不可能成立的是B ，故选B ．3．（2019•新课标Ⅰ，理9）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知40S =，55a =，则()A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由40S =，55a =，得1146045a d a d +=⎧⎨+=⎩，∴132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n ∴=-，24n S n n =-，故选A ．4．（2018•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若3243S S S =+，12a =，则5(a = )A ．12-B ．10-C ．10D ．12【答案】B 【解析】n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3243S S S =+，12a =，∴111132433(3)422a d a a d a d ⨯⨯⨯+=++++，把12a =，代入得3d =-，524(3)10a ∴=+⨯-=-，故选B ．5．（2017•新课标Ⅰ，理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【答案】C【解析】由题知，∴1113424656482a d a d a d +++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得12a =-，4d =，故选C ． 6．（2017•新课标Ⅲ，理9）等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为( ) A ．24- B ．3- C ．3 D ．8【答案】A【解析】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．2a ，3a ，6a 成等比数列，∴2326a a a =， 2111(2)()(5)a d a d a d ∴+=++，且11a =，0d ≠，解得2d =-，{}n a ∴前6项的和为616565661(2)2422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A ． 7．（2016•新课标Ⅰ，理3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，108a =，则100(a = ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97【答案】C【解析】由题知，195959()92922a a a S a +⨯====27，∴53a =，又108a ==d d a 5355+=+，1d ∴=，10059598a a d ∴=+=，故选C8．（2017浙江）已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“465+2S S S >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵655465()()S S S S a a d ---=-=，当0d >，可得465+2S S S >；当465+2S S S >，可得0d >．所以“0d >”是“465+2S S S >” 充分必要条件，选C ．9．（2020北京8）在等差数列{n a }中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n =⋯=⋯，则数列{n T } （）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【解析】设公差为d ，a 5-a 1=4d ，即d=2，a n =2n-11，1≤n ≤5使，a n ＜0，n ≥6时，a n ＞0，所以n=4时，T n ＞0，并且取最大值；n=5时，T n ＜0；n ≥6时，T n ＜0，并且当n 越来越大时，T n 越来越小，所以T n 无最小项．故选A ．10．（2020上海7）已知等差数列{}n a 的首项10a ≠，且满足1109a a a +=，则12910a a a a ++⋯+= ．【答案】278【解析】由条件可知111298a d a d a d+=+⇒=-，()112951010194 (92727)988a d a a a a d a a a d d ++++====+．故答案为：278． 11．（2019•新课标Ⅲ，理14）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = ．【答案】4【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由10a ≠，213a a =可得，12d a =，∴1011051510()5()S a a S a a +=+ 112(29)24a d a d +=+11112(218)428a a a a +==+．12．（2019江苏8）已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和．若25890,27a a a S +==，则8S 的值是．【答案】16【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得152a d =-⎧⎨=⎩，所以818786(5)152162dS a ⨯=+=⨯-+⨯=．13．（2019北京理10）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若25310a S =-=-，，则5a = ________ ． n S 的最小值为_______．【答案】0，-10【解析】由题意得，2151351010a a d S a d =+=-⎧⎨=⋅+=-⎩，解得141a d =-⎧⎨=⎩，所以5140a a d =+=．因为{}n a 是一个递增数列，且50a =，所以n S 的最小值为4S 或5S ，()4543441102S S ⨯==-⨯+⨯=-． 14．(2018北京)设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为___．【答案】14【解析】解法一设{}n a 的公差为d ，首项为1a ，则111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得142a d =-⎧⎨=⎩，所以7767(4)2142S ⨯=⨯-+⨯=．解法二 32714a d +=，所以2d =．故432a a d =+=，故7477214S a ==⨯=．15．(2018上海)记等差数列{}n a 的前几项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S = ．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，251146536a a a d a d d +=+++=+=，∴6d =，∴3(1)663n a n n =+-⋅=-．16．（2019•新课标Ⅰ，文18）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知95S a =-．（1）若34a =，求{}n a 的通项公式；（2）若10a >，求使得nn a S ≥的n 的取值范围．【解析】（1）根据题意，等差数列{}n a 中，设其公差为d ，若95S a =-，则19955()992a a S a a +⨯===-，变形可得50a =，即140a d +=，若34a =，则5322a a d -==-，则3(3)210n a a n d n =+-=-+，（2）若nn a S ≥，则d n a d n n na )1(2)1(11-+≥-+，当1n =时，不等式成立，当2≥n 时，有12a d nd-≥，变形可得12)2(a d n -≥-，又由95S a =-，即19955()992a a S a a +⨯===-，则有50a =，即140a d +=，则有112)4)(2(a a n -≥--，又由10a >，则有10≤n ，则有102≤≤n ，综合可得：102≤≤n ，n N ∈．17．（2018•新课标Ⅱ，理（文）17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【解析】（1）等差数列{}n a 中，17a =-，315S =-， 17a ∴=-，13315a d +=-，解得17a =-，2d =，72(1)29n a n n ∴=-+-=-；（2）17a =-，2d =，29n a n =-，22211()(216)8(4)1622n n n S a a n n n n n ∴=+=-=-=--，∴当4n =时，前n 项的和n S 取得最小值为16-．18．（2016•新课标Ⅱ，文17）等差数列{}n a 中，344a a +=，576a a +=．（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[2.6]2=．【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，344a a +=，576a a +=．∴112542106a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1125a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，2355n a n ∴=+；（Ⅱ）[]n n b a =，1231b b b ∴===，452b b ==，6783b b b ===，9104b b ==．故数列{}n b 的前10项和103122332424S =⨯+⨯+⨯+⨯=．。

高考数学一轮复习等差数列选择题专项训练复习题含答案

一、等差数列选择题1．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（） A ．450a a += B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=解析：B 【分析】由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】由等差数列的求和公式可得()110101002a a S +==，1100a a ∴+=，由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B.2．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 解析：C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+ 故选：C3．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（）A ．7B ．9C ．21D ．42解析：C 【分析】利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()1212121632a a S +==，所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =，所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a ++++=++++++111111111122277321a a a a a =+++==⨯=，故选：C 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a ++++=++++++=即可求解.4．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（） A ．19 B ．20C ．21D ．22解析：B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅，所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立，所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 5．设等差数列{}n a 的公差d ≠0，前n 项和为n S ，若425S a =，则99S a =（） A ．9 B ．5C ．1D ．59解析：B 【分析】由已知条件，结合等差数列通项公式得1a d =，即可求99S a . 【详解】4123425S a a a a a =+++=，即有13424a a a a ++=，得1a d =，∴1999()452a a S d ⨯+==，99a d =，且0d ≠， ∴995S a =. 故选：B6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =.定义数列{}n b 如下：()*1m m b m m+∈N 是使不等式()*n a m m ≥∈N 成立的所有n 中的最小值，则13519 b b b b ++++=（）A ．25B ．50C ．75D ．100解析：B 【分析】先求得21n a n =-，根据n a m ≥，求得12m n +≥，进而得到21212k k b --=，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S n =，可得21n a n =-，因为n a m ≥，即21n m -≥，解得12m n +≥，当21m k =-，（*k N ∈）时，1m m b k m+=，即()()11212m m m mk m b m m +===++，即21212k k b --=，从而()13519113519502b b b b ++++=++++=.故选：B.7．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（） A ．12B ．20C ．40D ．100【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B.8．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（）A ．20B ．17C ．18D ．19解析：C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果．【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈，所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=．故选：C ．9．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（） A ．60 B ．11 C ．50 D ．55解析：D 【分析】根据题中条件，由等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，即可求出结果. 【详解】因为在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，所以()1111161111552a a S a +===.故选：D.10．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]nnn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列解析：D由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅，又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.11．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（） A ．1315B ．2335C ．1117D ．49解析：C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C12．在巴比伦晚期的《泥板文书》中，有按级递减分物的等差数列问题，其中有一个问题大意是：10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目，现知第8兄弟分得6两，则长兄可分得银子的数目为（）A ．825两 B ．845两 C ．865两 D ．885两解析：C设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，数列{}n a 是等差数列，8106100a S =⎧⎨=⎩利用等差数列的通项公式和前n 项和公式转化为关于1a 和d 的方程，即可求得长兄可分得银子的数目1a . 【详解】设10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子，由题意可得设数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和为n S ，则由题意得8106100a S =⎧⎨=⎩，即1176109101002a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得186585a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 所以长兄分得865两银子. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够读懂题意10个兄弟由大到小依次分得()1,2,,10n a n =⋅⋅⋅两银子构成公差0d <的等差数列，要熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式.13．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（） A ．161 B ．155C ．141D ．139解析：B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.14．数列{}n a 是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大212，则该数列的项数是（） A ．8 B ．4C ．12D ．16解析：A 【分析】设项数为2n ，由题意可得()21212n d -⋅=，及6S S nd -==奇偶可求解．【详解】设等差数列{}n a 的项数为2n ，末项比首项大212， ()212121;2n a a n d ∴-=-⋅=① 24S =奇，30S =偶，30246S S nd ∴-=-==奇偶②．由①②，可得32d =，4n =，即项数是8，故选：A.15．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．2解析：B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===. 故选：B.二、等差数列多选题16．在等差数列{}n a 中，公差0d ≠，前n 项和为n S ，则（）A ．4619a a a a >B ．130S >，140S <，则78a a >C ．若915S S =，则n S 中的最大值是12SD ．若2n S n n a =-+，则0a =解析：AD 【分析】对于A ，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；对于B ，根据等差数列的前n 项和公式得到70a >和780a a +<，进而可得80a <，由此可知78||||a a <，故B 不正确；对于C ，由915S S =得到，12130a a +=，然后分类讨论d 的符号可得答案；对于D ，由n S 求出n a 及1a ，根据数列{}n a 为等差数列可求得0a =. 【详解】对于A ，因为46191111(3)(5)(8)a a a a a d a d a a d -=++-+215d =，且0d ≠，所以24619150a a a a d -=>，所以4619a a a a >，故A 正确；对于B ，因为130S >，140S <，所以77713()1302a a a +=>，即70a >，787814()7()02a a a a +=+<，即780a a +<，因为70a >，所以80a <，所以7878||||0a a a a -=+<，即78||||a a <，故B 不正确；对于C ，因为915S S =，所以101114150a a a a ++++=，所以12133()0a a +=，即12130a a +=，当0d >时，等差数列{}n a 递增，则12130,0a a <>，所以n S 中的最小值是12S ，无最大值；当0d <时，等差数列{}n a 递减，则12130,0a a ><，所以n S 中的最大值是12S ，无最小值，故C 不正确；对于D ，若2n S n n a =-+，则11a S a ==，2n ≥时，221(1)(1)n n n a S S n n a n n a -=-=-+--+--22n =-，因为数列{}n a 为等差数列，所以12120a a =⨯-==，故D 正确. 故选：AD 【点睛】关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前n 项和公式是解题关键.17．题目文件丢失！18．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（） A ．2112a << B ．{}n a 是递增数列C ．2020312a << D ．2020314a << 解析：ABD 【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a << 设()()ln 2f x x x =+-，则()11122xf x x x-'=-=--，所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数，所以函数在10,2⎛⎫⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()131ln 2ln 1222f x <<<+<+，所以()112f x << ，即11(2)2n a n <<≥，所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确；由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确故选：ABD 【点睛】本题考查了数列性质的综合应用，属于难题. 19．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（） A ．－4 B ．－2C ．0D ．2解析：AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin 2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+解析：BD【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin 2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设；选项D ：1cos012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.21．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.解析：ABD【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案.【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.22．（多选题）在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2n ≥，*n N ∈，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A ．若{}n a 是等差数列，则{}2n a 是等方差数列 B ．(){}1n-是等方差数列 C ．若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A 选项，取n a n =，则()()()422444221111n n a a n n n n n n +⎡⎤⎡⎤-=+-=+-⋅++⎣⎦⎣⎦()()221221n n n =+++不是常数，则{}2n a 不是等方差数列，A 选项中的结论错误；对于B 选项，()()22111110n n +⎡⎤⎡⎤---=-=⎣⎦⎣⎦为常数，则(){}1n -是等方差数列，B 选项中的结论正确；对于C 选项，若{}n a 是等方差数列，则存在常数p R ∈，使得221n n a a p +-=，则数列{}2n a 为等差数列，所以()221kn k n a a kp +-=，则数列{}kn a （*k N ∈，k 为常数）也是等方差数列，C 选项中的结论正确；对于D 选项，若数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，则存在m R ∈，使得n a dn m =+，则()()()()2221112222n n n n n n a a a a a a d dn m d d n m d d +++-=-+=++=++，由于数列{}n a 也为等方差数列，所以，存在实数p ，使得221n n a a p +-=，则()222d n m d d p ++=对任意的n *∈N 恒成立，则()2202d m d d p ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，得0p d ==，此时，数列{}n a 为常数列，D 选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.23．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（）.A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S = 解析：ACD【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确.【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2d n n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确；因为()1191910191902a a S a +⨯===，故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.24．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（）A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -解析：BD【分析】由1718S S =得180a =，利用17180a a d d =-=-≠可知A 不正确；；根据351835S a =可知 B 正确；根据171920a a d -=-≠可知C 不正确；根据19161830S S a -==可知D 正确.【详解】因为1718S S =，所以18170S S -=，所以180a =，因为公差0d ≠，所以17180a a d d =-=-≠，故A 不正确；135********()35235022a a a S a +⨯====，故B 正确； 171920a a d -=-≠，故C 不正确；19161718191830S S a a a a -=++==，故D 正确.故选：BD.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式，考查了等差数列的下标性质，属于基础题.25．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（）A ．14S 是唯一最小值B ．15S 是最小值C ．290S =D ．15S 是最大值解析：CD【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =， ∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=， ∴129291529()2902a a S a +===，故选：CD.【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.。

高考数学一轮复习《等差数列》练习题(含答案)

高考数学一轮复习《等差数列》练习题（含答案）一、单选题1．若3与13的等差中项是4与m 的等比中项，则m =（） A ．12B ．16C ．8D ．202．在等差数列{}n a 中，49a =，且2410,,a a a 构成等比数列，则公差d 等于( ) A ．3-B ．0C ．3D ．0或33．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7614,10S a ==，则{}n a 的公差为（） A ．4B ．3C ．2D ．14．已知数列{}n a ，{}n b 均为等差数列，且125a =，175b =，22120a b +=，则3737a b +的值为（） A ．760B ．820C ．780D ．8605．在等差数列{an }中，若a 2+2a 6+a 10＝120，则a 3+a 9等于（） A ．30B ．40C ．60D ．806．在明朝程大位《算法统宗》中有首依筹算钞歌：“甲乙丙丁戊己庚，七人钱本不均平，甲乙念三七钱钞，念六一钱戊己庚，惟有丙丁钱无数，要依等第数分明，请问先生能算者，细推详算莫差争.”题意是：“现有甲､乙､丙､丁､戊､己､庚七人，他们手里钱不一样多，依次成等差数列，已知甲､乙两人共237钱，戊､己､庚三人共261钱，求各人钱数.”根据上题的已知条件，戊有（） A ．107钱B ．102钱C ．101钱D ．94钱7．已知数列{an }是首项为1a ，公差为d 的等差数列，前n 项和为Sn ，满足4325a a =+，则S 9=（） A ．35B ．40C ．45D ．50 8．正项等比数列{}n a 中，5a ，34a ，42a -成等差数列，若212a =，则17a a =（） A ．4B ．8C ．32D ．649．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，2414a a +=，且126,,a a a 成等比数列，则公差为（） A ．1B ．2C ．3D ．410．设等差数列{}n a 的公差为d ，10a >，则“50a >”是“0d >”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件11．设等差数列 {}n a 的前n 项和为n S ，若3710a a += ，则9S = （） A ．22.5B ．45C ．67.5D ．9012．在等差数列{}n a 中n S 为前n 项和，7624a a =- ，则9S =（） A ．28 B ．30C ．32D ．36二、填空题13．记n S 为等差数列{n a }的前n 项和，若24a =，420S =，则9a =_________.14．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，5S ，{}750S ∈-，，则n S 的最小值为__________．15．已知数列{}n a 中，11a =，()1121n n n n a a n a na ++⋅=+-，则通项公式n a =______. 16．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，636S S =+，则7S =_____．三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前4项和47S =． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设等比数列{}n b 满足23b a =，415b a =，数列{}n b 的通项公式．18．已知等差数列{}n a 满足首项为3331log 15log 10log 42-+的值，且3718a a +=. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+． (1)证明：{}n a 是等差数列；(2)若479,,a a a 成等比数列，求n S 的最小值．20．已知在n的展开式中，前3项的系数成等差数列，求：(1)展开式中二项式系数最大项的项； (2)展开式中系数最大的项； (3)展开式中所有有理项.21．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知535S =，且4a 是1a 与13a 的等比中项，数列{}n b 的前n 项和245n T n n =+．(1)求数列{}{}n n a b 、的通项公式； (2)若14a <，对任意*n ∈N 总有1122111444n nS b S b S b λ+++≤---恒成立，求实数λ的最小值．22．这三个条件中任选一个，补充在下面题目条件中，并解答.①25a =，()11232,n n n S S S n n *+--+=≥∈N ；②25a =，()111322,n n n n S S S a n n *+--=--≥∈N ；③()132,12n n S S n n n n *--=≥∈-N . 问题：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且___________.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)已知n b 是n a 、1n a +的等比中项，求数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T参考答案1．B2．D3．A4．B5．C7．C8．D9．C10．B11．B12．D 13．18 14．6- 15．21nn - 16．717．（1）设等差数列{}n a 首项为1a ，公差为d ．∵3427a S =⎧⎨=⎩∴()1122441472a d a d +=⎧⎪⎨⨯-+=⎪⎩解得：1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩∴等差数列{}n a 通项公式()11111222n a n n =+-⨯=+（2）设等比数列{}n b 首项为1b ，公比为q∵2341528b a b a ==⎧⎨==⎩∴13128b q b q ⋅=⎧⎨⋅=⎩ 解得：24q =即112b q =⎧⎨=⎩或112b q =-⎧⎨=-⎩ ∴等比数列{}n b 通项公式12n n b -=或()12n n b -=--18．（1）根据题意得，13331log 15log 10log 42a =-+333331533log log log log 2log 211022⎛⎫=+=+=⨯= ⎪⎝⎭，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则由3718a a +=，得112618a d a d +++=，解得2d =，所以()11221n a n n =+-⨯=-.（2）由（1）可得1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，所以1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121nn n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 19．（1）因为221nn S n a n +=+，即222n n S n na n+=+①，当2n ≥时，()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②，①-②得，()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----，即()12212211n n n a n na n a -+-=--+，即()()()1212121n n n a n a n ----=-，所以11n n a a --=，2n ≥且N*n ∈，所以{}n a 是以1为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭，所以，当12n =或13n =时，()min 78n S =-． [方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得413a a =+，716a a =+，918a a =+，又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<=.则当12n =或13n =时，()min 78n S =-． 20．（1）n展开式的通项公式为1C kn kk k nT -+=⋅3561C 2n kk n k x -=，依题意得122112C 1C 22n n ⋅⋅=+⋅，即2C 4(1)n n =-，得8n =，所以8的展开式有9项，二项式系数最大的项为5项，所以22433584135C 28T x x ==. （2）由（1）知，2456181C 2kk k k T x -+=，设展开式中系数最大的项为第1k +项，则1881188111C C 2211C C 22k k k k k k k k --++⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，即()()()()()()8!8!2!8!1!9!8!8!2!8!1!7!k k k k k k k k ⎧≥⋅⎪⋅--⋅-⎪⎨⎪⋅≥⎪⋅-+⋅-⎩，即92228k k k k -≥⎧⎨+≥-⎩，解得23k ≤≤，所以2k =或3k =，所以展开式中系数最大的项为737x 和327x . （3）由2456181C 2kk k k T x -+=(0,1,2,3,4,5,6,7,8)k =为有理项知，2456k -为整数，得0k =，6.所以展开式中所有有理项为4x 和716x. 21．（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由535S =得151035a d +=，因为4a 是1a 与13a 的等比中项，所以()()2111312a d a a d +=+．化简得172a d =-且2123a d d =，解方程组得17,0a d ==或13,2a d==．故{}n a 的通项公式为7n a =或21n a n =+（其中N n *∈）；因为245n T n n =+，所以214(1)5(1)n T n n -=-+-，(2)n ≥，所以22145[4(1)5(1)]81n n n b T T n n n n n -=-=+--+-=+，因为119b T ==，满足上式，所以()81N n b n n *=+∈；（2）因为14a <，所以21n a n =+，所以(2)n S n n =+，所以221114488141n n S b n n n n ==-+---，所以22211221111114442141(2)1n n S b S b S b n +++=+++------1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯-+111111123352121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，易见111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭随n 的增大而增大，从而11112212n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭恒成立，所以12λ≥，故λ的最小值为12.22．(1)解：选条件①时，25a =，1123n n n S S S +--+=，整理得()()113n n n n S S S S +----=，故13n n a a +-=（常数），且213a a -=，所以数列{}n a 是以2为首项，3为公差的等差数列.故()13131n a a n n =+-=-；选条件②时，25a =，()*111322,n n n n S S S a n n +--=--≥∈N ，整理得()1112n n n n n S S S S a +---=--，故112n n n a a a +-+=，故数列{}n a 是等差数列，公差213d a a =-=，故()13131n a a n n =+-=-；选条件③时，()*132,12n n S S n n n n --=≥∈-N ，且121S =，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，32为公差的等差数列，则()33121222n S n n n =+-=+，所以23122n S n n =+，则2n ≥时，131n n n a S S n -=-=-.又112311a S ===⨯-满足31n a n =-，所以31n a n =-，*n ∈N . (2)解：由（1）得：31n a n =-，由于n b 是n a 、1n a +的等比中项，所以()()213132n n n b a a n n +==-+⋅，则()()211111313233132n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，故()11111111113255831323232232n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫=⨯-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭。

高考数学一轮复习等差数列选择题专项训练练习题含答案

一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-，联立得：()212133k k a a +-+=，所以()232134k k a a +++=，故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D2．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（） A ．18 B ．19C ．20D ．21解析：B 【分析】由已知判断出数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得10a .【详解】()122n n a a n --=≥，且11a =，∴数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，通项公式为()12121n a n n =+-=-，10210119a ∴=⨯-=，故选：B.3．已知数列{}n a 满足25111,,25a a a ==且*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，则*n N ∈时，使得不等式100n n a a +≥恒成立的实数a 的最大值是（） A ．19 B ．20C ．21D ．22解析：B 【分析】由等差数列的性质可得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再由等差数列的通项公式可得1nn a ，进而可得1n a n=，再结合基本不等式即可得解. 【详解】因为*121210,n n n n a a a ++-+=∈N ，所以12211n n n a a a ++=+，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d ，由25111,25a a a ==可得25112,115a a a ==⋅，所以111121145d a d a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⋅⎪⎩，解得1111a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以()1111n n d n a a =+-=，所以1n a n=，所以不等式100n n a a +≥即100n a n+≥对任意的*n N ∈恒成立，又10020n n +≥=，当且仅当10n =时，等号成立，所以20a ≤即实数a 的最大值是20. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用.4．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知10100S =，则47a a +=（） A ．12 B ．20C ．40D ．100解析：B 【分析】由等差数列的通项公式可得47129a a a d +=+，再由1011045100S a d =+=，从而可得结果. 【详解】解：1011045100S a d =+=，12920a d ∴+=， 4712920a a a d ∴+=+=.故选：B.5．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸 D ．二丈二尺五寸解析：D 【分析】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差数列性质求得后5项和．【详解】由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，则()19959985.52a a S a +===（尺），所以59.5a =（尺），由题知1474331.5a a a a ++==（尺），所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-，则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）．故选：D ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（）A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 解析：D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120nn n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-，由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=，整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ．【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解.7．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（） A ．24 B ．36C ．48D ．64解析：B 【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（） A ．21 B ．20C ．19D ．19或20解析：B 【分析】由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+，解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上，∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 9．数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则通项公式是（） A ．32n - B ．322n - C ．3122n - D ．3122n + 解析：C 【分析】根据题中条件，求出等差数列的公差，进而可得其通项公式. 【详解】因为数列{}n a 为等差数列，11a =，34a =，则公差为31322a a d -==，因此通项公式为()33111222n a n n =+-=-. 故选：C.10．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（） A ．a 5＝4 B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝2解析：C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C11．为了参加学校的长跑比赛，省锡中高二年级小李同学制定了一个为期15天的训练计划.已知后一天的跑步距离都是在前一天的基础上增加相同距离.若小李同学前三天共跑了3600米，最后三天共跑了10800米，则这15天小李同学总共跑的路程为（）A ．34000米B ．36000米C ．38000米D ．40000米解析：B 【分析】利用等差数列性质得到21200a =，143600a =，再利用等差数列求和公式得到答案. 【详解】根据题意：小李同学每天跑步距离为等差数列，设为n a ，则123233600a a a a ++==，故21200a =，13141514310800a a a a ++==，故143600a =，则()()11521411151********n S a a a a =+⨯=+⨯=.故选：B.12．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?” 意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（） A ．3斤 B ．6斤 C ．9斤 D ．12斤解析：C 【分析】根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234a a a ++. 【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a ，粗的一端的重量为5a ，可知12a =，54a =，根据等差数列的性质可知1533263a a a a +==⇒=，中间三尺为234339a a a a ++==. 故选：C 【点睛】本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型. 13．等差数列{}n a 的公差为2，若248,,a a a 成等比数列，则9S =（） A ．72 B ．90 C ．36 D ．45解析：B 【分析】由题意结合248,,a a a 成等比数列，有2444(4)(8)a a a =-+即可得4a ，进而得到1a 、n a ，即可求9S . 【详解】由题意知：244a a =-，848a a =+，又248,,a a a 成等比数列，∴2444(4)(8)a a a =-+，解之得48a =，∴143862a a d =-=-=，则1(1)2n a a n d n =+-=，∴99(229)902S ⨯+⨯==，故选：B 【点睛】思路点睛：由其中三项成等比数列，利用等比中项性质求项，进而得到等差数列的基本量 1、由,,m k n a a a 成等比，即2k m n a a a =； 2、等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=的应用.14．等差数列{}n a 中，22a =，公差2d =，则10S =（） A ．200 B ．100C ．90D ．80解析：C 【分析】先求得1a ，然后求得10S . 【详解】依题意120a a d =-=，所以101104545290S a d =+=⨯=. 故选：C15．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（） A ．161 B ．155C ．141D ．139解析：B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B.二、等差数列多选题16．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，前n 项和为n S ，若612S S =，则下列结论中正确的有（） A ．1:17:2a d =-B ．180S =C ．当0d >时，6140a a +>D ．当0d <时，614a a >解析：ABC 【分析】因为{}n a 是等差数列，由612S S =可得9100a a +=，利用通项转化为1a 和d 即可判断选项A ；利用前n 项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B ；利用等差数列的性质961014a d a a d a =++=+即可判断选项C ；由0d <可得6140a a d +=<且60a >，140a <即可判断选项D ，进而得出正确选项.【详解】因为{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，由612S S =得：1267891011120S S a a a a a a -=+++++=，即()91030a a +=，即9100a a +=，对于选项A ：由9100a a +=得12170a d +=，可得1:17:2a d =-，故选项A 正确；对于选项B ：()()118910181818022a a a a S ++===，故选项B 正确；对于选项C ：911691014a a a a a a d d =+=++=+，若0d >，则6140a a d +=>，故选项C 正确；对于选项D ：当0d <时，6140a a d +=<，则614a a <-，因为0d <，所以60a >，140a <，所以614a a <，故选项D 不正确，故选：ABC 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由612S S =得出9100a a +=，熟记等差数列的前n 项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.17．著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a = B ．733S =C ．135********a a a a a ++++=D ．22212201920202019a a a a a +++= 解析：ABD 【分析】根据11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，计算可知,A B 正确；根据12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，累加可知C 不正确；根据2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，累加可知D 正确. 【详解】依题意可知，11a =，21a =，21n n n a a a ++=+，312112a a a =+=+=，423123a a a =+=+=，534235a a a =+=+=，645358a a a =+=+=，故A 正确； 7565813a a a =+=+=，所以712345671123581333S a a a a a a a =++++++=++++++=，故B 正确；由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，786a a a =-，，201920202018a a a =-，可得13572019a a a a a +++++=242648620202018a a a a a a a a a +-+-+-++-2020a =，故C 不正确；2121a a a =，222312312()a a a a a a a a =-=-，233423423()a a a a a a a a =-=-，244534534()a a a a a a a a =-=-，，220192019202020182019202020182019()a a a a a a a a =-=-，所以2222212342019a a a a a +++++122312342345342019202020182019a a a a a a a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+- 20192020a a =，所以22212201920202019a a a a a +++=，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了数列的递推公式，考查了累加法，属于中档题. 18．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（） A ．2 B ．5C ．3D ．4解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-，化为：112111n n a n a n n -+==+--，由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1n n a a -的最大值为3．故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（） A ．2d =-B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值解析：AC【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案.【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=，所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值.故选：AC【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题.等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定；20．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（）A ．0d 时n 的最小值为8 解析：BD【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误.【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.21．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（）A ．4B ．5C ．7D ．8解析：BD【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解.【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为： ()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-，因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n +-≥且为偶数，验证可知5,8n =满足题意.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.22．{} n a 是等差数列，公差为d ，前项和为n S ，若56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（）A ．0d D ．170S <解析：ABD【分析】结合等差数列的性质、前n 项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由67S S =，可得7670S S a -==，故B 正确；由56S S <，可得6560S S a -=>，由78S S >，可得8780S S a -=<，所以876a a a <<，故等差数列{}n a 是递减数列，即0d <，故A 正确；又()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；又因为等差数列{}n a 是单调递减数列，且80a <，所以90a <，所以()117179171702a a S a +==<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前n 项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式()12n n n a S S n --≥=，及()12n n n a a S +=，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题. 23．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（）A ．0d D ．67n S S S 与均为的最大值解析：ABD【分析】由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项.【详解】因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==， 788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确； ()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的最大值，故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.24．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <解析：BC【分析】根据等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，逐项判断，即可得答案.【详解】A 选项，若1011091002S a d ⨯=+=，则1290a d +=，那么()()2811128281029160S S a d a d a d d +=+++=+=-≠.故A 不正确； B 选项，若412S S =，则()5611128940a a a a a a ++++=+=，又因为10a >，所以前8项为正，从第9项开始为负，因为()()116168916802a a S a a +==+=，所以使0n S >的最大的n 为15.故B 正确；C 选项，若()115158151502a a S a +==>，()()116168916802a a S a a +==+<，则80a >，90a <，则{}n S 中8S 最大.故C 正确；D 选项，若78S S <，则80a >，而989S S a -=，不能判断9a 正负情况.故D 不正确. 故选：BC .【点睛】本题考查等差数列性质的应用，涉及等差数列的求和公式，属于常考题型.25．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若90a <，100a >，则下列结论正确的是（） A ．109S S >B ．170S <C ．1819S S >D ．190S > 解析：ABD【分析】先根据题意可知前9项的和最小，判断出A 正确；根据题意可知数列为递减数列，则190a >，又181919S S a =-，进而可知1516S S >，判断出C 不正确；利用等差中项的性质和求和公式可知()01179179172171722a a a S a <+⨯⨯===，()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故BD 正确. 【详解】根据题意可知数列为递增数列，90a <，100a >， ∴前9项的和最小，故A 正确； ()11791791721717022a a a S a +⨯⨯===<，故B 正确； ()1191019101921919022a a a S a +⨯⨯===>，故D 正确； 190a >，181919S S a ∴=-， 1819S S ∴<，故C 不正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查等差数列的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.。

新高考2023版高考数学一轮总复习练案35第六章第二讲等差数列及其前n项和

第二讲等差数列及其前n 项和A 组基础巩固一、单选题1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( D ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18[解析] 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－23－2＝2.所以a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.故选D.2．(2021·贵州阶段性检测)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 5＋a 7＝15，则该数列前9项和S 9＝( D )A ．18B ．27C ．36D ．45[解析] 本题考查等差数列的性质，前n 项和公式．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 7＝3a 5＝15，a 5＝5，所以S 9＝a 1＋a 92×9＝2a 52×9＝9a 5＝9×5＝45.故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝4，S 4＝22，a n ＝28，则n ＝( D ) A ．3 B ．7 C ．9D ．10[解析] 因为S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝4a 2＋2d ＝22，所以d ＝22－4a 22＝3，a 1＝a 2－d ＝4－3＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋3(n －1)＝3n －2，由3n －2＝28，解得n ＝10.4．(2022·安徽合肥模拟)记等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n .若S 10＝40，a 6＝5，则( C )A ．d ＝3B ．a 10＝12C ．S 20＝280D ．a 1＝－4[解析] 依题意，得S 10＝a 1＋a 10·102＝5(a 5＋a 6)＝40，解得a 5＝3，则d ＝a 6－a 5＝2，则a 10＝a 6＋4d ＝5＋8＝13，a 1＝a 5－4d ＝3－8＝－5，S 20＝20a 1＋190d ＝－100＋380＝280，故选C.5．一个等差数列的首项为125，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范围是( D )A ．d >875B ．d <325C ．875<d <325D ．875<d ≤325[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1，a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d >1，125＋8d ≤1，解得875<d ≤325.故选D.6．(2021·六校联盟第二次联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4＋S 5＝2，S 7＝14，则a 10＝( C )A ．18B ．16C ．14D ．12[解析] 设{a n }的公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋5a 1＋5×42d ＝2，7a 1＋7×62d ＝14，可得⎩⎪⎨⎪⎧6a 1＋13d ＝2，a 1＋3d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝2，所以a 10＝－4＋9×2＝14，选C. 二、多选题7．等差数列{a n }是递增数列，满足a 7＝3a 5，前n 项和为S n ，下列选项正确的是( AD ) A ．d >0 B ．a 1>0C ．当n ＝5时S n 最小D ．S n >0时，n 最小值为8[解析] ∵a 7＝3a 5，∴a 1＋6d ＝3a 1＋12d ， ∴a 1＝－3d ，由已知得d >0， ∴a 1<0，故A 正确，B 不正确．S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝d 2n 2－72dn ＝d2(n 2－7n )，当n ＝3或4时，S n 最小，故C 不正确．S n >0解得n >7或n <0，因此S n >0时n 最小为8，故D 正确，选A 、D.8．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有( AC )A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0[解析] 根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ，又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1＋n n －1d2＝－9nd ＋n n －1d 2＝d2×(n 2－19n )，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，∵d ≠0，∴S 20≠0，则D 不正确．三、填空题9．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ 14 . [解析] 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14. 10．已知等差数列{a n }的前n 项为S n ，若S 4＝3，S 5＝4，则a 9＝ 75.[解析] 由题知：⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋6d ＝3S 5＝5a 1＋10d ＝4，解得a 1＝35，d ＝110.∴a 9＝a 1＋8d ＝35＋8×110＝75.11．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝ 3 . [解析] 因为S 17＝a 1＋a 172×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.12．记S n 为正项等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 3·a 4＝S 7，则S n ＝ 32n 2－12n .[解析] 设等差数列的公差为d ，由题意得a 3·a 4＝S 7＝a 1＋a 72×7＝7a 4，所以a 3＝7，所以1＋2d ＝7，∴d ＝3，所以S n ＝n ＋n n －12×3＝32n 2－12n .故答案为：32n 2－12n .四、解答题13．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．[解析] (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由S 9＝－a 5得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n n －9d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10.所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }．14．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.B 组能力提升1．(2021·湖北咸宁联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 5＝10，则{a n }的公差为( C )A ．23B ．12C ．13D ．14[解析] 由题意知a 1＋a 2＝3①，S 5＝5a 1＋a 52＝10，即a 1＋a 5＝4②，②－①得3d ＝1，∴d ＝13，故选C.2．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 674＝2，S 1 348＝12，则S 2 022＝( C ) A ．22 B ．26 C ．30D ．34[解析] 由等差数列的性质知，S 674，S 1 348－S 674，S 2 022－S 1 348成等差数列，则2(S 1 348－S 674)＝S 674＋S 2 022－S 1 348，即2×(12－2)＝2＋S 2 022－12，解得S 2 022＝30.3．(2020·课标Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( C )A ．3 699块B ．3 474块C ．3 402块D ．3 339块[解析] 本题考查等差数列的性质及其前n 项和．设由内到外每环的扇面形石板的块数构成数列{a n }，由题意知a 1＝9.又因为向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，所以数列{a n }为公差为9的等差数列．解法一：设每层环数为n (n ∈N *)，则上层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a 1，a 2，…，a n ，中层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a n ＋1，a n ＋2，…，a 2n ，下层由内向外每环的扇面形石板的块数依次为a 2n ＋1，a 2n ＋2，…，a 3n .由题意知(a 2n ＋1＋a 2n ＋2＋…＋a 3n )－(a n＋1＋a n ＋2＋…＋a 2n )＝729，由等差数列的性质知a 2n ＋1－a n ＋1＝a 2n ＋2－a n ＋2＝…＝a 3n －a 2n ＝9n ，所以9n 2＝729，得n ＝9.则数列{a n }共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{a n }的前27项和，即27×9＋27×262×9＝3 402，故选C.解法二：设每层环数为n (n ∈N *)，设数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列的性质知，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝9n 2，则9n 2＝729，解得n ＝9.则数列{a n }共有9×3＝27项，故三层共有扇面形石板(不含天心石)的块数即为数列{a n }的前27项和，即27×9＋27×262×9＝3 402，故选C.4．(多选题)(2021·商洛市高考模拟)我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始，已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列选项正确的有( ABC )A．相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B．春分和秋分两个节气的晷长相同C．立冬的晷长为一丈五寸D．立春的晷长比立秋的晷长短[解析] 由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n}，其中a1＝15寸，a13＝135寸，公差为d寸，则135＝15＋12d，解得d＝10寸，同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n}，首项b1＝135，末项b13＝15，公差d＝－10(单位都为寸)．故A正确；∵春分的晷长为b7，∴b7＝b1＋6d＝135－60＝75，∵秋分的晷长为a7，∴a7＝a1＋6d＝15＋60＝75，故B正确；∵立冬的晷长为a10，∴a10＝a1＋9d＝15＋90＝105，即立冬的晷长为一丈五寸，故C正确；∵立春的晷长，立秋的晷长分别为b4，a4，∴a4＝a1＋3d＝15＋30＝45，b4＝b1＋3d＝135－30＝105，∴b4>a4，故D错误．故选A、B、C.。

新高考一轮复习人教版等差数列作业

7.2等差数列基础篇固本夯基考点一等差数列及其前n项和1.(2022届辽宁渤海大学附中月考二)在等差数列{a n}中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=()A.1B.2C.13D. 2 3答案D2.(2019课标Ⅰ理,9,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n-5B.a n=3n-10C.S n=2n2-8nD.S n=12n2-2n答案A3.(2021重庆二模,4)已知公差不为0的等差数列{a n}中,a2+a4=a6,a9=a62,则a10=()A.52B.5C.10D.40答案A4.(2022届福建南平10月联考,14)设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a2+2a4+a10=32,则S9=. 答案725.(2020课标Ⅱ文,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=.答案256.(2020新高考Ⅰ,14,5分)将数列{2n-1}与{3n-2}的公共项从小到大排列得到数列{a n},则{a n}的前n项和为.答案3n2-2n7.(2019课标Ⅲ理,14,5分)记S n为等差数列{a n}的前n项和,若a1≠0,a2=3a1,则S10S5=.答案 48.(2022届海南东方琼西中学月考,17)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 10=30,a 20=50. (1)求通项公式a n ; (2)若S n =242,求n.解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,依题意有{a 10=a 1+9d =30,a 20=a 1+19d =50,解得{a 1=12,d =2,所以a n =2n+10(n ∈N *). (2)由(1)可得S n =12n+n(n−1)2×2=n 2+11n,令n 2+11n=242,解得n=-22(舍)或n=11,故n=11. 9.(2022届广东肇庆统一检测一)在等差数列{a n }中,a 1=10,公差d>0,其前四项中删去某一项后(按原来的顺序)恰好是等比数列{b n }的前三项. (1)求d 的值;(2)设{a n }中不包含{b n }的项按从小到大的顺序构成新数列{c n },记{c n }的前n 项和为S n ,求S 100. 解析 (1)由a 1=10,公差为d,得a 2=10+d,a 3=10+2d,a 4=10+3d. ①若删去第1项,则(10+2d)2=(10+d)(10+3d),解得d=0,不符合题意; ②若删去第2项,则(10+2d)2=10×(10+3d),解得d=0或d=-52,不符合题意; ③若删去第3项,则(10+d)2=10×(10+3d),解得d=0(舍去)或d=10; ④若删去第4项,则(10+d)2=10×(10+2d),解得d=0,不符合题意. 综上可知,d=10.(2)由(1)可知,a n =10+(n-1)×10=10n,等比数列{b n }的前三项分别为10,20,40,所以数列{b n }是以10为首项,2为公比的等比数列,所以b n =10·2n-1, 所以b 7=640,b 8=1280,又a 107=1070,所以可知{a n }的前107项中有7项被删除,即c 100=a 107.设数列{a n }的前n 项和为H n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,则S 100=H 107-T 7=107×(10+1 070)2-10×(1−27)1−2=56510.10.(2021新高考Ⅱ,17,10分)记S n 为公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和,若a 3=S 5,a 2·a 4=S 4. (1)求{a n }的通项公式;(2)求使得S n >a n 成立的n 的最小值.解析 (1)a 3=S 5⇒a 1+2d=5a 1+10d ⇒4a 1+8d=0⇒a 1+2d=0⇒a 1=-2d,① a 2·a 4=S 4⇒(a 1+d)(a 1+3d)=4a 1+6d,② 将①代入②得-d 2=-2d ⇒d=0(舍)或d=2, ∴a 1=-2d=-4,∴a n =-4+(n-1)×2=2n-6. (2)由(1)知a n =2n-6, S n =na 1+n(n−1)2d=-4n+n(n-1)=n 2-5n. S n >a n ⇔n 2-5n>2n-6⇔n 2-7n+6>0⇔(n-1)(n-6)>0, 解得n<1(舍)或n>6,∴n 的最小值为7.11.(2019课标Ⅰ文,18,12分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9=-a 5. (1)若a 3=4,求{a n }的通项公式;(2)若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 解析 (1)设{a n }的公差为d.由S 9=-a 5得a 1+4d=0.由a 3=4得a 1+2d=4. 于是a 1=8,d=-2.因此{a n }的通项公式为a n =10-2n. (2)由(1)得a 1=-4d,故a n =(n-5)d,S n =n(n−9)d2.由a 1>0知d<0,故S n ≥a n 等价于n 2-11n+10≤0,解得1≤n ≤10.所以n 的取值范围是{n|1≤n ≤10,n ∈N *}.考点二等差数列的性质1.(2022届山东学情10月联考,6)已知等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n,且a4b6=13,则S7T11=()A.7 33B.13C.1433D.711答案A2.(2021广州月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S3=6,S6=3,则S12等于()A.-3B.-12C.-21D.-30答案D3.(2020浙江高中发展共同体期末)已知{a n}是公差为d的等差数列,前n项和是S n,若S9<S8<S10,则()A.d>0,S17>0B.d<0,S17<0C.d>0,S18<0D.d>0,S18>0答案D4.(2020浙江,7,4分)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且a1d≤1.记b1=S2,b n+1=S2n+2-S2n,n∈N*,下列等式不可能．．．成立的是()A.2a4=a2+a6B.2b4=b2+b6C.a42=a2a8D.b42=b2b8答案D5.(2020北京,8,4分)在等差数列{a n}中,a1=-9,a5=-1.记T n=a1a2…a n(n=1,2,…),则数列{T n}()A.有最大项,有最小项B.有最大项,无最小项C.无最大项,有最小项D.无最大项,无最小项答案B6.(2019江苏,8,5分)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是 . 答案 167.(2021广东韶关一模,14)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,a 6+a 7=1,则S 12= ,若a 7<0,则使得不等式S n <0成立的最小整数n= . 答案 6;13综合篇知能转换A 组考法一等差数列的判定1.(2021山东聊城二模,8)已知数列{a n },a n =1f(n),其中f(n)为最接近√n 的整数,若{a n }的前m 项和为20,则m=( )A.15B.30C.60D.110 答案 D2.(2022届江苏泰州中学检测,20)已知数列{a n }满足a 1=6,a n-1a n -6a n-1+9=0,n ∈N *且n ≥2. (1)求证:数列{1a n −3}为等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式; (3)设b n =a n(n+1)2,求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)证明:当n ≥2时,a n-1a n -6a n-1+9=0⇒a n =6a n−1−9a n−1,∴1a n −3-1a n−1−3=a n−13a n−1−9-1a n−1−3=a n−1−33(a n−1−3)=13.又∵1a 1−3=13,∴数列{1a n −3}是以13为首项,13为公差的等差数列. (2)由(1)得1a n −3=13+(n-1)·13=n 3,∴a n =3(n+1)n.(3)∵b n=a n(n+1)2=3n(n+1)=3(1n−1n+1),∴T n=b1+b2+…+b n=3(1−12)+(12−13)+(13−14)+…+(1n−1n+1)=3(1−1n+1)=3n n+1.3.(2022届江苏苏州调研)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-2n+1+2(n∈N*).(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=a n4n,若T n=b1+b2+b3+…+b n,求T n.解析(1)当n=1时,a1=S1=2a1-2,解得a1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1-2n,化简得a n=2a n-1+2n,即a n 2n -a n−12n−1=1,因此,数列{a n2n}是首项和公差均为1的等差数列,所以a n2n=n,a n=n·2n(n∈N*).(2)由(1)可得b n=n2n =n+12n−1-n+22n,则T n=220-321+321-422+…+n+12n−1-n+22n=2-n+22n.4.(2022届江苏百校联考一,17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n-1,其中λ为常数.(1)证明:a n+2-a n=λ;(2)若{a n}为等差数列,求S10.解析(1)证明:由a n a n+1=λS n-1可得a n+1a n+2=λS n+1-1,两式相减得a n+1(a n+2-a n)=λa n+1,因为a n+1≠0,所以a n+2-a n=λ.(2)由S1=a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1,由(1)知a3=λ+1,因为{a n}为等差数列,所以2a2=a1+a3,即2(λ-1)=1+λ+1,解得λ=4,故a n+2-a n=4,所以数列{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,可得a2n-1=4n-3=2(2n-1)-1,数列{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,可得a2n=4n-1=2·2n-1,所以a n=2n-1(n∈N*),所以S10=10×(1+19)2=100.5.(2022届广东开学考,17)已知数列{a n}中,a1=1,且满足a n+1=a n-2n,b n=a n+n2(n∈N*).(1)证明:数列{b n}是等差数列,并求数列{b n}的通项公式;(2)设S n为数列{1b n·b n+1}的前n项和,求满足S n≥512的n的最小值.解析 (1)因为b n+1-b n =a n+1+(n+1)2-(a n +n 2)=a n+1-a n +2n+1=1,b 1=a 1+12=2,所以数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列.所以b n =2+(n-1)=n+1. (2)因为1b n ·b n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,所以S n =12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=12-1n+2=n 2(n+2),由n 2(n+2)≥512解得n ≥10,所以满足S n ≥512的n 的最小值为10.6.(2021新高考Ⅰ,17,10分)已知数列{a n }满足a 1=1,a n+1={a n +1,n 为奇数,a n +2,n 为偶数.(1)记b n =a 2n ,写出b 1,b 2,并求数列{b n }的通项公式; (2)求{a n }的前20项和.解析 (1)由题意得a 2n+1=a 2n +2,a 2n+2=a 2n+1+1, 所以a 2n+2=a 2n +3,即b n+1=b n +3,且b 1=a 2=a 1+1=2, 所以数列{b n }是以2为首项,3为公差的等差数列, 所以b 1=2,b 2=5,b n =2+(n-1)×3=3n-1. (2)当n 为奇数时,a n =a n+1-1. 设数列{a n }的前n 项和为S n , 则S 20=a 1+a 2+…+a 20=(a 1+a 3+…+a 19)+(a 2+a 4+…+a 20)=[(a 2-1)+(a 4-1)+…+(a 20-1)]+(a 2+a 4+…+a 20) =2(a 2+a 4+…+a 20)-10,由(1)可知a 2+a 4+…+a 20=b 1+b 2+…+b 10=10×2+10×92×3=155, 故S 20=2×155-10=300,即{a n }的前20项和为300.7.(2021全国甲理,18,12分)已知数列{a n }的各项均为正数,记S n 为{a n }的前n 项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列;②数列{√S n}是等差数列;③a2=3a1.注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分.解析选①②作为条件,证明③.证明:设等差数列{a n}的公差为d,因为{√S n}是等差数列,所以2√S2=√S1+√S3,即2√2a1+d=√a1+√3a1+3d,两边平方,得4(2a1+d)=a1+3a1+3d+2√a1(3a1+3d),整理得4a1+d=2√a1(3a1+3d),两边平方,得16a12+8a1d+d2=4(3a12+3a1d),化简得4a12-4a1d+d2=0,即(2a1−d)2=0,所以d=2a1,则a2=a1+d=3a1.选①③作为条件,证明②.证明:设等差数列{a n}的公差为d.因为a2=3a1,即a1+d=3a1,所以d=2a1.所以等差数列{a n}的前n项和S n=na1+n(n−1)2d=na1+n(n−1)2·2a1=n2a1.又a1>0,所以√S n=n√a1.则√S n+1-√S n=(n+1)√a1-n√a1=√a1,所以数列{√S n}是公差为√a1的等差数列.选②③作为条件,证明①.证明:设等差数列{√S n}的公差为d,因为√S1=√a1,√S2=√a1+a2=√a1+3a1=2√a1,所以d=√S2-√S1=2√a1-√a1=√a1,则等差数列{√S n}的通项公式为√S n=√a1+(n-1)√a1=n√a1,所以S n=n2a1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,且当n=1时,上式也成立,所以数列{a n}的通项公式为a n=(2n-1)a1,n∈N*,则a n+1-a n=(2n+1)a1-(2n-1)a1=2a1,所以数列{a n}是公差为2a1的等差数列.8.(2022届广东阶段测,17)已知数列{a n}满足a1=1,a n+a n-1=2n(n≥2,n∈N*).(1)记b n=a2n,求数列{b n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n.解析(1)依题意得,a2+a1=4,又a1=1,故b1=a2=3.因为a2n+2+a2n+1=4n+4,a2n+1+a2n=4n+2,所以b n+1-b n =a 2n+2-a 2n =(a 2n+2+a 2n+1)-(a 2n+1+a 2n )=(4n+4)-(4n+2)=2. 因此,{b n }是首项为3,公差为2的等差数列,通项公式为b n =2n+1. (2)解法一:因为a 2n +a 2n-1=4n,所以由(1)知a 2n-1=4n-a 2n =2n-1.当n=2k(k ∈N *)时,S n =(a 1+a 3+…+a 2k-1)+(a 2+a 4+…+a 2k )=(1+3+…+2k-1)+(3+5+…+2k+1)=(1+2k−1)·k 2+(3+2k+1)·k 2=k(2k+2)=n(n+2)2. 当n=2k-1(k ∈N *)时,S n =S n+1-a n+1=(n+1)(n+3)2-(n+2)=n(n+2)−12. 因此,S n ={n(n+2)−12,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数.解法二:当n=2k(k ∈N *)时,S n =(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 2k-1+a 2k )=4+8+…+4k=(4+4k)·k 2=k(2k+2)=n(n+2)2. 当n=2k+1(k ∈N *)时,S n =a 1+(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 2k +a 2k+1)=1+6+10+…+(4k+2) =1+(6+4k+2)·k 2=k(2k+4)+1=(n−1)(n+3)2+1=n(n+2)−12,S 1=a 1=1=1×3−12也满足上式. 故S n ={n(n+2)−12,n 为奇数,n(n+2)2,n 为偶数.9.(2021全国乙理,19,12分)记S n 为数列{a n }的前n 项和,b n 为数列{S n }的前n 项积,已知2S n +1b n=2. (1)证明:数列{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.解析 (1)证明:由b n =S 1·S 2·…·S n 可得,S n ={b 1,n =1,b nb n−1,n ≥2.由2S n +1b n=2知,当n=1时,2S 1+1b 1=2,即2b 1+1b 1=2,所以b 1=S 1=32,当n ≥2时,2b n b n−1+1b n =2,即2b n =2b n-1+1,即b n -b n-1=12,故数列{b n }是首项为32,公差为12的等差数列.(2)由(1)知,b n =32+(n-1)×12=n+22,故当n ≥2时,S n =b n b n−1=n+2n+1,S 1也符合该式, 即S n =n+2n+1(n ∈N *),从而a 1=S 1=32, 当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n+2n+1-n+1n =-1n(n+1),a 1不符合该式,所以a n ={32,n =1,−1n(n+1),n ≥2. 考法二等差数列前n 项和的最值问题1.(多选)(2022届石家庄二中开学考试,11)设数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项和,a 1>0且S 6=S 9,则( ) A.d>0 B.a 8=0C.S 7或S 8为S n 的最大值D.S 5>S 6 答案 BC2.(多选)(2022届广东珠海二中10月月考,11)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知S 10=0,S 15=25,则( ) A.a 5=0B.{a n }的前n 项和中S 5最小C.nS n 的最小值为-49D.S n n的最大值为0 答案 BC3.(2022届湖南天壹名校联盟摸底,3)已知等差数列{a n }的通项公式为a n =9-2n,则其前n 项和S n 的最大值为( )A.15B.16C.17D.18 答案 B4.(2021上海松江一模)记S n 为数列{a n }的前n 项和,已知点(n,a n )在直线y=10-2x 上,若有且只有两个正整数n 满足S n ≥k,则实数k 的取值范围是( )A.(8,14]B.(14,18]C.(18,20]D.(18,814] 答案 C 5.(多选)(2022届江苏苏州调研,10)设S n 是公差为d(d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和,则下列命题正确的是( )A.若d<0,则数列{S n }有最大值B.若数列{S n }有最大项,则d<0C.若对任意的n ∈N *,S n+1>S n 恒成立,则S n >0D.若对任意的n ∈N *,均有S n >0,则S n+1>S n 恒成立答案 ABD6.(2021湖南百校联考,17)在①a n+1a n =-12,②a n+1-a n =-16,③a n+1=a n +n-8这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,若问题中的S n 存在最大值,则求出最大值;若问题中的S n 不存在最大值,请说明理由. 问题:设S n 是数列{a n }的前n 项和,且a 1=4, ,求{a n }的通项公式,并判断S n 是否存在最大值. 注:如果选择多个条件分别解答,那么按第一个解答计分.解析方案一:选①.因为a n+1a n =-12,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公比为-12的等比数列.所以a n =4×(−12)n−1=(−12)n−3, 当n 为奇数时,S n =4[1−(−12)n]1+12=83(1+12n ), 因为S n =83(1+12n )随着n 的增大而减小,所以S n 的最大值为S 1=4. 当n 为偶数时,S n =83(1−12n ),且S n =83(1−12n )<83<4.综上,S n 存在最大值,且最大值为4. 方案二:选②.因为a n+1-a n =-16,a 1=4,所以{a n }是首项为4,公差为-16的等差数列,所以a n =4+(n-1)(−16)=-16n+256,由-16n+256≥0,得n ≤25, 所以S n 存在最大值,且最大值为S 25(或S 24),因为S 25=25×4+25×242×(−16)=50,所以S n 的最大值为50.方案三:选③.因为a n+1=a n +n-8,所以a n+1-a n =n-8,所以a 2-a 1=-7,a 3-a 2=-6,……,a n -a n-1=n-9(n ≥2),则a n -a 1=a 2-a 1+a 3-a 2+…+a n -a n-1=(−7+n−9)(n−1)2=n 2−17n+162,又a 1=4,所以a n =n 2−17n+242, 当n ≥16时,a n >0恒成立,故S n 不存在最大值.7.(2018课标Ⅱ,17,12分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知a 1=-7,S 3=-15.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n ,并求S n 的最小值.解析 (1)设{a n }的公差为d,由题意得3a 1+3d=-15.由a 1=-7得d=2.所以{a n }的通项公式为a n =2n-9.(2)由(1)得S n =n 2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,S n 取得最小值,最小值为-16.8.(2022届湖南湘潭模拟,17)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,且a n+1=a n +d(n ∈N *,d 为常数),若S 3=12,a 3a 5+2a 3-5a 5-10=0.求:(1)数列{a n }的通项公式;(2)S n 的最值.解析 (1)由a n+1=a n +d(d 为常数)知数列{a n }是等差数列,且d 为公差.由S 3=a 1+a 2+a 3=3a 2=12得a 2=4, 由a 3a 5+2a 3-5a 5-10=0得(a 3-5)(a 5+2)=0,所以a 3=5或a 5=-2,由{a 2=4,a 3=5得a 1=3,d=1,此时a n =n+2. 由{a 2=4,a 5=−2得a 1=6,d=-2,此时a n =-2n+8.所以a n =n+2或a n =-2n+8.(2)当a n =n+2时,S n =n 2+5n 2,因为S n =n 2+5n 2是关于正整数n 的增函数,所以S 1=3为S n 的最小值,S n 无最大值;当a n =-2n+8时,S n =-n 2+7n=-(n −72)2+494,因为n 为正整数,所以当n=3或n=4时,S n 取最大值S 3=S 4=12,S n 无最小值.B 组1.(多选)(2022届河北大联考)若直线3x+4y+n=0(n ∈N *)与圆C:(x-2)2+y 2=a n 2(a n >0)相切,则() A.a 1=65B.数列{a n }为等差数列C.圆C 可能经过坐标原点D.数列{a n }的前10项和为23答案 BCD2.(多选)(2022届鄂东南联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,下列说法正确的是( )A.若S n =n 2-11n+1,则a n =2n-12B.若a n =-2n+11,则数列{|a n |}的前10项和为49C.若a n =-2n+11,则S n 的最大值为25D.若数列{a n }为等差数列,且a 1011<0,a 1011+a 1012>0,则当S n <0时,n 的最大值为2021 答案 CD。

2023年高考数学一轮复习提升专练(新高考地区用)6-4 求和方法(精练)(解析版)

6.4 求和方法（精练）（提升版）1．（2022·黑龙江）已知等差数列{}n a 满足a 1+a 2＝4，a 4+a 5+a 6＝27．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn b =，求数列{}n a b 的前n 项和S n ．【答案】（1）21n a n =-；（2）21223n +-．【解析】（1）由题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，则112431227a d a d +=⎧⎨+=⎩∴112a d =⎧⎨=⎩，∴12(1)21n a n n =+-=-．（2）2nn b =，∴2n n aa b =，∵1124n n n n a a a a b b ---==，又112a b b ==，∴数列{}n a b 为等比数列，且首项为2，公比为4，∴()2121422143n n nS +--==-．2．（2021·四川攀枝花市）在公差不为零的等差数列{}n a 中，11a =，且125,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设12na nb ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】（1）21n a n =-；（2）21[1()]34n n S =-. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得2125a a a =⋅，则2111()(4)a d a a d +=⋅+，将11a =代入并化简得220d d -=，解得2d =或0d =(舍去).所以1(1)221n a n n =+-⨯=-.（2）由（1）知2111()()22n a n n b -==，所以2111()2n n b ++=，题组一公式法求和所以21(21)111()24n n n n b b +--+==，即数列{}n b 是首项为12，公比为14的等比数列. 所以11[1()]2124[1()]13414n n n S -==--. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知各项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，426S =，且1a ，3a ，36S a +成等比数列. (1)求n a ； (2)若1n n b S n=+，求{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)31n a n =-(2)233n nT n =+ 【解析】(1)设等差数列{}n a 的公差为()0d d >，由426S =，且1a ，3a ，36S a +成等比数列可得()()12111146262335a d a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+++⎪⎩，解得12a =，3d =，所以()()1123131n a a n d n n =+-=+-=-. (2)由31n a n =-可得()()()13131222n n n a a n n n n S n n n ++++=+=+=，所以()22113131n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以211111111322311n T n n n n ⎛⎫=-+-++-+- ⎪-+⎝⎭21213133n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭. 1．（2022·江苏江苏·一模）已知数列{}n a ，11a =，且()111n n a a n n +=-+，*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记数列{}2n a 的前n 项和为n S ，求证：421n nS n <+. 【答案】(1)1n a n=(2)证明见解析题组二裂项相消求和【解析】(1)解：因为()111n n a a n n +=-+，所有1111(1)1n n a a n n n n+-=-=-++，当2n ≥时，211121a a -=-，321132a a -=-，……，1111n n a a n n --=--，相加得1111n a a n -=-，所以1n a n =，当1n =时，11a =也符合上式，所以数列{}n a 的通项公式1n a n=； (2)证明：由（1）得221na n =，所以222111111111142222n a n n n n n n =<==-⎛⎫⎛⎫--+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以222111111111111111121122222222n S n n n =++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+--+-+-+， 1141121122nn n =-=+-+．所以421n nS n <+． 2．（2022·浙江台州·二模）在数列{}n a 中，12a =，且对任意的正整数n ，都有()1210n n na n a +++=. (1)证明数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设()132(2)n nn n n b a a ++-=，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)证明见解析，()112 n n n a n -=-⋅(2)()()1111212n n n S n ++-=++⋅ 【解析】(1)解：（1）由()1210n n na n a +++=，得121n n a a n n +=-⨯+.又因为12a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2-为公比的等比数列. 故()122n n a n-=⨯-，即()112 n n n a n -=-⋅. (2)由()112n n n a n -=-⋅，故()()()()()()()()1111322322*********nn n n n n n n n n n n b n n n n +-+++-+==-⋅⨯+⋅-⋅⨯-+⋅ ()()11111212n n n n n ++⎡⎤=-+⎢⎥⋅+⋅⎣⎦，故123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+()()1223341111111111122222322232212n n n n n +-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-+++-⋅⋅⋅+-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()1111212n n n ++-=++⋅． 3．（2022·广东·广州市第四中学高三阶段练习）已知数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列24n n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：364n T <．【答案】(1)12n n a n +=⋅(2)证明见解析【解析】(1)因为数列{}n a 满足112(1)0,4n n n a na a ++-==，所以121n n a a n n +=+，所以141a=，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公比为2的等比数列，则有11422n n n a n -+=⨯=，12n n a n +=⋅.(2)()()132441111222162322+++⎛⎫===- ⎪+⋅⋅++⎝⎭n n n n n n a a n n n n n n ，所以1111111311132324232212⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭n T n n n n ，因为n *∈N ，所以364n T <. 4．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高三阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a a S +=，且0n a >． (1)证明：数列{}n a 为等差数列；(2)若122nn n n n a b a a ++⋅⋅=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析；(2)1212n n +-+. 【解析】(1)当1n =时，由()11112a a a +=，得11a =或10a =，∵0n a >，∵11a =，由()12n n n a a S +=，得22n n n S a a =+①当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+②由-①②，得()()22112n n n n n a a a a a --=+-+，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=， ∵0n a >，∵1n n a a -+≠0，∵11n n a a --=， ∵数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列； (2)由（1）得()111n a n n =+-⨯=， ()()11222221221n n n nn n n n a n b a a n n n n +++⋅⋅==-++⋅=++，∵213211112222222221324321222n n n n n T n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11231,2a a a a =+=，数列{}n b 满足()241n bn n a S =+．(1)证明：数列{}n b 为等差数列； (2)记n T 为数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，证明：11156n T ≤<．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11231,2a a a a =+=，故22q q +=，解得2q =或1q =-（舍），故12n n a -=，21nn S =-，因为()241n b n n a S =+121222n n n ++=⨯=，故21n b n =+，又()123212n n b b n n +-=+-+=，故数列{}n b 是公差为2的等差数列. (2)因为()()111111212322123n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，故n T ()1111111111235572123232332369n n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又()119696x y x x x==≥++是单调增函数，且16y <，又当1n =时，115n T =，故11156n T ≤<，即证. 6．（2022·安徽安庆·二模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()213n n S n a =+-，n ∈+N . (1)求{}n a 的通项公式；(2)若()()231nn n b n a =+-，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)()()612n a n n =++，n ∈+N (2)()6312nn -+-+ 【解析】(1)解：1n =时，1143a a =-，解得11a =.当2N n n +≥∈，时，2113n n S n a --=-，故()22111n n n n n a S S n a n a --=-=+-，所以12n n a na n -=+，故()()1321122113261215412n n n n n a a a a n n a a a a a a n n n n ----=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=++++.1a 符合上式故{}n a 的通项公式为()()612n a n n =++，N n +∈.(2)解：结合（1）得()()()112316112n n n n b n a n n ⎛⎫=+-=-+ ⎪++⎝⎭，所以()1211111166********n n n T b b b n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+++++-+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()6312nn =-+-+.1．（2022·广东·模拟预测）在∵121(1)2n a a a n n +++=+，∵21n n a S =-，∵()221210n n n a a n a --=->这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知数列{}n a 的前n 和为n S ，若11a =，且，求数列{}2nn a 的前n 项和n T ．【答案】选∵，1(1)22n n T n +=-⋅+；选∵，21(2)3n n T ⎡⎤=--⎣⎦；选∵，1(1)22n n T n +=-⋅+. 【解析】选∵：当n ≥2时，因为121(1)2n a a a n n +++=+，题组三错位相减求和所以()121112n a a a n n -+++=-，上面两式相减得(2)n a n n =．当n ＝1时，11212a =⨯=，满足上式，所以n a n =．因为212222n n T n =⨯+⨯++⨯，所以231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯，上面两式相减，得：212222n n n T n +-=+++-⨯，所以1(1)22n n T n +=-⋅+．选∵：当2n 时，因为21n n a S =-，所以1121n n a S --=-，上面两式相减得12n n n a a a --=，即1n n a a -=-，经检验，21a a =-，所以{}n a 是公比为－1的等比数列，111(1)(1)n n n a --=⨯-=-．因为12(1)(2)n n n --=--，所以221(2)2(2)(2)(2)1(2)1(2)3n n n n T ⎡⎤---⎣⎦⎡⎤⎡⎤=--+-++-=-=--⎣⎦⎣⎦--．选∵：由22121n n a a n --=-，得：22222212232123,25,,3n n n n a a n a a n a a -----=--=--=，由累加法得：()()2222121311,2n nn n a n a n --+-==-=．又0n a >，所以n a n =．因为212222n n T n =⨯+⨯++⨯，所以231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯，上面两式相减得212222n n n T n +-=+++-⨯，所以1(1)22n n T n +=-⋅+．2．（2022·广东肇庆·二模）已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a +=+. (1)证明：数列{}1n a -是等比数列； (2)求数列{}n na 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析(2)24222n n n n +-++【解析】(1)证明：由121n n a a +=+，得1221n n a a +-=-，又1112a -=-，所以10n a -≠，故11112n na a +-=-，故{}1n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列；(2)解：由（1）得112n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，得112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以12n n na n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设12n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n P ，则211112222nn P n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵ 2311111122222n n P n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵由∵-∵，得231111111222222n n n P n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111221*********nn n n n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，则()1222n n P n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故2242123222n n n n n n n n n T n P P ++-+=++++-=-=+. 3．（2022·广东韶关·一模）在∵112,2n n n a a a +=+=；∵22n n S a =-；∵122n n S +=-这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并做出解答.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，__________，数列{}n b 是等差数列，12461,21o b b b =++=.(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】(1)选∵：()*2n n a n =∈N ，21n b n =-；选∵：()*2n n a n =∈N ，21n b n =-；选∵：()*2n n a n =∈N ，21n b n =- (2)()12326n n +-⨯+【解析】(1)解：若选∵：由12n n n a a +=+，则12nn n a a +-=，可得1222111232212,22,,,2n n n n n a a a a a a a a ------=-=-=-=将上述1n -个式子相加，整理的22112222n n n a a ---=++++()12212221n n --==--又因为12a =，所以()*2n n a n =∈N .若选∵：22n n S a =-，当1n =时，12a =，当2n ≥时，()()112222n n n n n a S S a a --=-=--- 所以12nn a a -=，所以2n n a =. 综上，()*2n n a n =∈N若选∵：122n n S +=-，当1n =时，12a =，当2n ≥时，由122n n S +=-可得122n n S -=-，所以12nn n n a S S -=-=，所以2n n a =.经检验当1n =时2n n a =也成立，所以2n n a =()*n N ∈；设等差数列{}n b 的公差为d ，由题有12461,21b b b b =++=，即1113521d d b d b b +++=++，解得2d = 从而21n b n =-(2)解：由（1）可得()212nn c n =-⨯，令n c 的前n 项和是n T ，则()123123252212n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，()23412123252212n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯，两式相减得()()123112222222212n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯，()211821221212n n n T n ++--=⨯+--⨯-，整理得()21123262326n n n n T n n +++=⨯-⨯+=-⨯+；4．（2022·广东·模拟预测）已知数列{}n a 满足112a =，121n n a a +=+． (1)证明：数列{}1n a -是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n T ．【答案】(1)证明见解析(2)24222n n n n n T +-+=+【解析】(1)证明：由121n n a a +=+，得1221n n a a +-=-，又1112a -=-，所以10n a -≠，故11112n n a a +-=-，故{}1n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列．(2)由（1）得112n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-，得112nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以12n n na n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设12n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n P ，则211112222nn P n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵2311111122222n n P n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵由∵-∵，得23111112211111111222222212nn n n n P n n ++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-111122n n n +⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1222nn P n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，故2242123222n n n n n n n n n T n P P ++-+=+++⋅⋅⋅+-=-=+．5．（2022·广东佛山·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，22a =，且对任意*N n ∈，都有2132n n n a a a ++=-． (1)求证：{}1n n a a +-是等比数列，并求{}n a 的通项公式； (2)求使得不等式1212154m m a a a ++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数m ．【答案】(1)证明见解析；12n na (2)6m =【解析】(1)由2132n n n a a a ++=-，得()2112n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是等比数列.所以()1112122n n n n a a a a --+-=-⨯=从而()()()()11232211n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+-+ 230231122222112n n n n n a -----=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=所以，12n na ．(2)设1212m mm S a a a =++⋅⋅⋅+ 即221123112222m m m m m S ---=+++⋅⋅⋅++，所以，32231221222m m m m mS ---=+++⋅⋅⋅++，于是，32111111224122222m m m m m m mS ----+=+++⋅⋅⋅++-=-．因为112m m m m m S S S ++=+>，且6154S =，所以，使1212154m m a a a ++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数6m =． 1．（2022·甘肃·一模）已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +=．数列{}n b 满足11b =，22b =，212n n n b b b +++=，*n ∈N ．(1)求数列{}n a 及{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n n a b +的前n 项和n T ．【答案】(1)1*1(),2n n a n N -=∈，*,n b n n N =∈；(2)1*1(1)2(),.22n n n T n N -+=-+∈π 【解析】(1)由12n n a a +=得112n n a a +=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，12为公比的等比数列，故1*1(),2n n a n N -=∈，由212n n n b b b +++=可知数列{}n b 是等差数列，首项11b =，公差211d b b =-=，所以*,n b n n N =∈.(2)11221212()()n n n n n T a b a b a b a a a b b b =++++++=+++++++02211111()()()()1232222n n -=+++++++++111()(1)1(1)22().122212nn n n n n --++=+=-+-即1*1(1)2(),.22n n n T n N -+=-+∈π2．（2022·江苏南京·高三开学考试）设数列{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，若125,,a a a 成等比数列 (1)求数列{}n a 的通项公式；题组四分组求和(2)设21131n a n n b a+=+-()*N n ∈，求数列{}n b 的前n 项和为n S .【答案】(1)21n a n =-；(2)3(91)448n n n S n =+-+. 【解析】(1)解：设数列{an }是公差为d （d ≠0）的等差数列，a 1=1 若a 1，a 2，a 5成等比数列，可得a 1a 5=a 22，即有21(14)(1)d d ⨯+=+，解得2d =或d =0（舍去）则12(1)21n a n n =+-=-. (2)解：21131n a n n b a +=+-()2121211113341211n n n n n --⎛⎫=+=-+ ⎪+⎝⎭+- 可得前n 项和()211111111327342231n n S n n -⎛⎫=-+-++-++++ ⎪+⎝⎭()()3191131914119448nn n n n -⎛⎫=-+=+- ⎪+-+⎝⎭.3．（2022·全国·高三专题练习）已知正项等比数列{}n a ，满足241a a =，5a 是112a 与35a 的等差中项.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()444(2)11n n n n n a a a b n +++=+--⋅-，求数列{}n b 的前n 项和n S .【答案】(1)32n n a -=(2)当n 为偶数时，111212n n nS +=-+-；当n 为奇数时，111221nn n S +-=--. 【解析】(1{}n a 是正项等比数列，故22431a a a ==，所以31a =，又5132125a a a =+，设公比为q （q >0），即233322125a a q a q =+，即221225q q=+，解得：2q ，则数列{}n a 的通项公式为3332n n n a a q --==(2)()()()()()()411141422(1)(1)(1)2221212211n n n nn n n n n n n n n a b n n a a n +++++++=+-⋅=+-⋅=+-⋅------111(1)2121n nn n +=-+-⋅-- 则()22311111111231212121212121nn n n S n +⎡⎤=-+-++-+-+-++-⎣⎦------当n 为偶数时，111212n n nS +=-+-；当n 为奇数时，1111111212221nn n n n S +++-=--=---. 4．（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且5251025,31S a a a =++=. (1)求数列{}n a 的通项公式以及前n 项和n S ；(2)若22,1,n a n n n n b n a a+⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，求数列{}n b 的前2n －1项和21n T -.【答案】(1)2n S n =；(2)41221153(41)n n n S n +=--+-. 【解析】(1)依题意，53525S a ==，则35a =，故25103332731a a a a d a d a d ++=-++++=，解得d ＝2，∵1321a a d =-=，故21n a n =-，21212n n S n n +-=⋅=. (2)依题意，得211111(21)(23)42123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，故212,111,42123n n n b n n n -⎧⎪=⎨⎛⎫- ⎪⎪-+⎝⎭⎩为奇数为偶数，故154321111111111222437471144541n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭154311111112224377114541n n n -⎛⎫=++++-+-++- ⎪--⎝⎭()4412121112211164341153(41)n n n n n +---⎛⎫=+-=+ ⎪---⎝⎭5．（2022·河南·模拟预测（理））在等比数列{}n a 中，748a a =，且214a ，35a -，412a -成等差数列.(1)求{}n a 的通项公式； (2)若22111log n n n b n a a -=+，证明：数列{}n b 的前n 项和43n T <. 【答案】(1)12n n a +=(2)证明见解析【解析】(1)设数列{}n a 的公比为q ，由748a a =，得3448a q a =，所以2q.因为214a ，35a -，412a -成等差数列，所以()324125124a a a -=+-，即11118108122a a a -=+-，解得14a =.因此11422n n n a -+=⨯=.(2)因为()22211111111log 1214n n n n n b n a a n n n n -⎛⎫=+=+=-+ ⎪++⎝⎭，所以21111111112231444n n T n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-++++ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭1111111441111113414n n n n ⎛⎫⨯- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+=-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭-. 因为1111n -<+，1111343n ⎛⎫⨯-< ⎪⎝⎭，所以43n T <.6．（2022·云南·一模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42310nn n a S --+=.(1)求数列{}3nn a -的通项公式；(2)记23log 3n nn n n b a a =-+-，求数列{}21n b -的前n 项和n T .【答案】(1)32n n n a -=-(2)n T 2122233n n +=+-【解析】(1)∵42310n n n a S --+=，∵2431nn n S a =-+.∵1112431n n n S a +++=-+.∵数列{}n a 的前n 项和为n S ，∵()111112222431431n nn n n n n n n S S S S a a a +++++-=-==-+-+-.∵()11323n n n n a a ++-=-.所以数列{}3n n a -是首项为13a -，公比为2的等比数列.∵()11332n n n a a --=-⨯.当1n =时，由42310nn n a S --+=和11S a =得111142314220a S a a --+=--=，解方程得11a =.∵()111332222n n n n n a a ---=-⨯=-⨯=-.∵数列{}3nn a -的通项公式为32n n n a -=-.(2)由（1）知：32n n n a -=-.∵223log 32log 22n n n n nn n n b a a n =-+-=-+=-.∵2121212n n b n --=--. ∵[]()352113(21)2222n n T n -=+++--++++()22212(121)212n n n -+-=--2122233n n +=+-. 7．（2022·天津三中三模）已知在各项均不相等的等差数列{}n a 中，11a =，且1a 、2a 、5a 成等比数列，数列{}n b 中，()122log 1b a =+，1142n n n b b ++=+，N n *∈.(1)求{}n a 的通项公式及其前n 项和n S ；(2)求证：{}2nn b +是等比数列，并求{}n b 的通项公式；(3)设1,2,N 232,21,N 422k k kn kk k a n k k b c n k k b **+⎧=∈⎪+⎪=⎨⨯⎪=-∈⎪-+⎩求数列{}n c 的前2n 项的和2n T . 【答案】(1)21n a n =-，2n S n =(2)证明见解析，42nnn b =-(3)()2132156599421n n nn n T +-+=-+⋅- 【解析】(1)解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，由已知可得2215a a a =，即()2114d d +=+，解得2d =，故()1121n a a n d n =+-=-，()122n n n a a S n +==. (2)证明：因为()122log 12b a =+=，1142n n n b b ++=+，则()12124242n n n n n n b b b ++++=+=+，因为124b +=，故数列{}2nn b +是以4为首项和公比的等比数列，因此，12444n n n n b -+=⨯=，因此，42n nn b =-.(3)解：设数列{}n c 的前2n 项和中，奇数项的和记为A ，偶数项的和记为B .当()2N n k k *=∈，214n kk c -=，则23135214444nn A -=++++， 231113232144444nn n n A +--=++++，上式-下式得1231111131222211218414444444414n n n n n n A -++⎛⎫- ⎪--⎛⎫⎝⎭=++++-=+- ⎪⎝⎭-15651234n n ++=-⋅，故565994nn A +=-⋅. 当()21N n k k *=-∈时，()1113232432244222k kn k k k k k c +++⨯⨯==-⋅+--+ ()()()()1111132323112212121222121k k k k k k k k-++++⨯⨯⎛⎫===- ⎪------⎝⎭，所以，223131111112212121212121n n B +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1132131122121nn n ++-⎛⎫=-= ⎪--⎝⎭，因此，()2132156599421n n nn n T +-+=-+⋅-. 1．（2021·全国·高三专题练习（理））已知数列{}n a 的通项公式为(1)sin 2n n a n n π=+⋅(n ∈+N )，其前n 项和为n S ，则8S =_______.【答案】36-【解析】4342414(43)(43)(42)sin 2k k k k k k c a a a a k k π----=+++=--⋅ (42)(41)4(42)(41)sin(41)4sin 4(41)sin 222k k k k k k k k k πππ--+--⋅+-⋅++⋅(43)(42)1(42)(41)0(41)4(1)4(41)0k k k k k k k k =--⨯+--⨯+-⨯-++⨯166k =-+，∵81216(12)6236S c c =+=-⨯++⨯=-.故答案为：36-2．（2020·河南郑州·三模）设数列{an }的前n 项和为Sn ，已知13a =对任意的正整数n 满足()()11cos 2213,n n n n n n S S n a a a π++-=+-+则19a =______．【答案】3.17-【解析】由()()11cos 2213,n n n n n n S S n a a a π++-=+-+得()()11cos 2213n n n n n a a n a a π++--=-.又因为13a =,故0n a ≠.故()()1cos 211213n n n n a a π+--=--. 故()21cos 113a a π--=-,3211cos 033a a -=-⨯…，191811cos16353a a π-=-⨯. 累加可得1911113573529 (6333333)a a -⨯-=-+-+-==-. 故191117633a =-+=-,故193.17a -= 故答案为：3.17-题组五周期数列题组六倒序相加法1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，若数列{}n a 满足121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的前20项和为（）A ．100B ．105C ．110D ．115【答案】D【解析】因为函数()y f x =满足()(1)1f x f x +-=，121(0)(1)n n a f f f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵，121(1)(0)n n n a f f f f f n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+++⋯⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∵，由∵+∵可得21n a n =+，12n n a +∴=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列，其前20项和为20120121152+⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.故选：D. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知22()(),1f x x x =∈+R 若等比数列{}n a 满足120201,a a =则122020()()()f a f a f a +++=（）A ．20192B ．1010C ．2019D ．2020【答案】D 【解析】22()(),1f x x x =∈+R 22222122()11122211f x f x x x x x x ⎛⎫∴+=+ ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭=+=++等比数列{}n a 满足120201,a a =120202019220201...1,a a a a a a ∴====()()()()()()120202019202012...2f a f a f a f a f a f a ∴+=+==+=即122020()()()f a f a f a +++=2020故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）设函数()221xf x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++的值为（） A ．9 B ．11C ．92D ．112【答案】B【解析】()221x f x =+，()()()22222212121221x x x x x x f x f x --⋅∴+-=+=+++++()2122222211221x x x x x +⋅=+==+++，设()()()()()54045S f f f f f =-+-+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++，则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，两式相加得()()2115511222S f f ⎡⎤=⨯+-=⨯=⎣⎦，因此，11S =.故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导数，()f x "是()'f x 的导数，若方程()0f x "=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数()3211533212g x x x x =-+-，则122018(201920192019g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019【答案】C【解析】函数()3211533212g x x x x =-+-，函数的导数()2'3g x x x =-+，()'21g x x =-，由()0'0g x =得0210x -=，解得012x =，而112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故函数()g x 关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，()()12g x g x ∴+-=，故设122018...201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则201820171...201920192019g g g m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相加得220182m ⨯=，则2018m =，故选C.5．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S an bn =+，（,a b 均为常数），且72a π=.设函数2()sin 22cos2xf x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为（） A ．132πB ．7πC ．7D ．13【答案】D【解析】因为2()sin 22cossin 2cos 12xf x x x x =+=++，由2n S an bn =+，得()()()2211122n n n S S an bn a n b n an a b n a -=-=+----=-+≥，又11a S a b ==+也满足上式，所以2n a an a b =-+，则12n n a a a --=为常数，所以数列{}n a 为等差数列；所以11372a a a π+==，()()111131131313sin 2cos 1sin 2cos 1y f a f a a a a y a =+=++++++()()1111sin 2cos 1sin 22cos 12a a a a ππ=+++-+-+=.则数列{}n y 的前13项和为()()()1213...f a f a f a +++，记()()()1213...M f a f a f a =+++，则()()()13121...M f a f a f a =+++，所以()()11321326M f a f a ⎡⎤=+=⎣⎦，因此13M =. 故选：D ．6．（2022·湖南岳阳·二模）德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行123100++++的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法.已知某数列通项21002101n n a n -=-，则12100...a a a +++=（）A ．98B ．99C ．100D ．101【答案】C【解析】由已知，数列通项21002101n n a n -=-，所以10121002(101)100210010224202221012(101)101210110122101n nn n n n n a a n n n n n -------+=+=+==------，所以91110029398012n n a a a a a a a a -+=+=+==+，所以12100...502100a a a +++=⨯=.故选：C.。

【精品一轮详解特训】2022届高考数学一轮复习 3 等差数列及其前n项和

一、选择题1．设等差数列{a n }的前 n 项和为S n ，若S 3＝9，S 5＝20，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45C ．36D ．27解析：由S 3＝9，S 5＝20，得d ＝1，a 1＝2，∴a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＝3(a 1＋7d )＝3×9＝27. 答案：D2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 8＝15－a 5，则S 9等于( ) A ．18 B ．36 C ．45 D ． 60解析：∵{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝15－a 5∴3a 5＝15，即a 5＝5. ∴S 9＝9a 1＋a 92＝9a 5＝45.答案：C3．在等差数列{a n }中，a n ＜0，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，那么S 10等于( ) A ．－9 B ．－11 C ．－13 D ．－15解析：由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10a 1＋a 102＝5(a 3＋a 8)＝5×(－3)＝－15.答案：D4．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差为( ) A ．－2 B ．－3 C ．－4 D ．－6解析：a n ＝23＋(n －1)d ，由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧a 6＞0a 7＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧23＋5d ＞023＋6d ＜0，解得－235＜d ＜－236，又d 为整数，所以d ＝－4. 答案：C5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：依题意得S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2(2k ＋1)＋2＝24，解得k ＝5. 答案：D6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( ) A ．0 B ．3 C ．8 D ．11解析：因为{b n }是等差数列，且b 3＝－2，b 10＝12，故公差d ＝12－－210－3＝2.于是b 1＝－6，且b n ＝2n －8(n ∈N *)，即a n ＋1－a n ＝2n －8，所以a 8＝a 7＋6＝a 6＋4＋6＝a 5＋2＋4＋6＝…＝a 1＋(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝3. 答案：B 二、填空题7．在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________. 解析：依题意得a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝(a 2＋a 8)＋(a 4＋a 6)＝2(a 3＋a 7)＝74. 答案：748．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. 解析：设{a n }的公差为d ，由S 9＝S 4及a 1＝1，得9×1＋9×82d ＝4×1＋4×32d ，所以d ＝－16.又a k ＋a 4＝0，所以[1＋(k －1)×(－16)]＋[1＋(4－1)×(－16)]＝0.即k ＝10. 答案：109．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 2＋a 5＝13，则a 5＋a 6＋a 7＝________. 解析：由a 1＋a 6＝a 2＋a 5得a 6＝11. 则a 5＋a 6＋a 7＝3a 6＝33. 答案：33 三、解答题10．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 2＋a 4＝14，S 7＝70. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2S n ＋48n，则数列{b n }的最小项是第几项？并求出该项的值．解：(1)设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝147a 1＋21d ＝70，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋3d ＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3..所以a n ＝3n －2.(2)S n ＝n2[1＋(3n －2)]＝3n 2－n2所以b n ＝3n 2－n ＋48n ＝3n ＋48n－1≥23n ·48n－1＝23.当且仅当3n ＝48n，即n ＝4时取等号，故数列{b n }的最小项是第4项，该项的值为23.11．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5.所以a 6＝－3－5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5a 1＋5d ＝－8，解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9a 1d ＋10d 2＋1＝0. 两边同乘以8，得16a 21＋72a 1d ＋80d 2＋8＝0，化简得(4a 1＋9d )2＝d 2－8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.12．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，S n 满足关系式2S n ＝S n －1－(12)n －1＋2(n ≥2，n 为正整数)，a 1＝12.(1)令b n ＝2na n ，求证数列{b n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)在(1)的条件下，求S n 的取值范围．解：(1)由2S n ＝S n －1－(12)n －1＋2，得2S n ＋1＝S n －(12)n ＋2，两式相减得2a n ＋1＝a n ＋(12)n，上式两边同乘以2n得2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋1，即b n ＋1＝b n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝1，故数列{b n }是等差数列，且公差为1，又因为b 1＝2a 1＝1，所以b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，因此2na n ＝n ，从而a n ＝n ·(12)n .(2)由于2S n ＝S n －1－(12)n －1＋2，所以2S n －S n －1＝2－(12)n －1，即S n ＋a n ＝2－(12)n －1，S n ＝2－(12)n －1－a n ，而a n ＝n ·(12)n ，所以S n ＝2－(12)n －1－n ·(12)n ＝2－(n ＋2)·(12)n.所以S n ＋1＝2－(n ＋3)·(12)n ＋1，且S n ＋1－S n ＝n ＋12n ＋1＞0，所以S n ≥S 1＝12，又因为在S n ＝2－(n ＋2)·(12)n中，(n ＋2)·(12)n＞0，故S n ＜2，即S n 的取值范围是[12，2)。

2022版高考数学一轮复习第7章第2讲等差数列及其前n项和训练含解析

第七章第2讲[A 级基础达标]1．若lg a ，lg b ，lg c 成等差数列，则( ) A ．b ＝a ＋c2B ．b 2＝acC ．2b ＝acD ．2lg b ＝lg(a ＋c )【答案】B2．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10等于( ) A ．172B ．192C ．10D ．12 【答案】B3．(2020年郑州模拟)在等差数列{a n }中，a 2＋a 10＝0，a 6＋a 8＝－4，则a 100＝( ) A ．212 B ．188 C ．－212 D ．－188 【答案】D4．(2020年淮南月考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 20＝60，则S 40＝( )A ．110B ．150C ．210D ．280 【答案】D5．《张丘建算经》卷上第22题——“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同．已知第一天织布5尺，30天共织布390尺，则该女子织布每天增加( )A ．47 尺B ．1629 尺C ．815尺D ．1631 尺【答案】B 【解析】设该女子织布每天增加d 尺，由题意知S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629.故该女子织布每天增加1629尺．6．(2019年新课标Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________.【答案】4 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1≠0，a 2＝3a 1可得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10(a 1＋a 10)5(a 1＋a 5)＝2(2a 1＋9d )2a 1＋4d ＝2(2a 1＋18a 1)2a 1＋8a 1＝4. 7．(2019年江苏)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，则S 8的值是________．【答案】16 【解析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )(a 1＋4d )＋a 1＋7d ＝0，9a 1＋9×82d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝－5，d ＝2.所以S 8＝8a 1＋8×7d2＝8×(－5)＋56＝16.8．(2021年南宁模拟)已知三个数成等差数列，它们的和为3，平方和为359，则这三个数的积为________．【答案】59【解析】设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝5，(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＝359，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23.所以这三个数分别为13，1，53或53，1，13.故它们的积为59.9．(2019年庆阳期末)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．已知a 1＋a 3＝16，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 取何值时S n 最大？并求出这个最大值．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＋a 3＝16，S 4＝28，所以2a 1＋2d ＝16,4a 1＋4×3d2＝28，联立解得a 1＝10，d ＝－2. 所以a n ＝10－2(n －1)＝12－2n . (2)令a n ＝12－2n ≥0，解得n ≤6. 所以n ＝5或6时，S n 取得最大值．S 6＝6×(10＋0)2＝30.10．已知等差数列{a n }中，公差d ＞0，其前n 项和为S n ，且满足a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝14. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求f (n )＝n4(a n －17)(n ∈N *)的最小值．解：(1)因为等差数列{a n }中，公差d ＞0，所以⎩⎨⎧ a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝a 2＋a 3＝14⇒⎩⎨⎧a 2＝5，a 3＝9⇒d ＝4，a 1＝1⇒a n ＝4n －3. (2)因为a n ＝4n －3(n ∈N *)，所以f (n )＝14n (4n －3－17)＝n 2－5n ＝⎝⎛⎭⎫n －522－254，所以当n ＝2或3时，f (n )取得最小值－6.[B 级能力提升]11．(2020年六安月考)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 4＝1413，则S 13S 7＝( )A ．2B ．12C ．1413D ．1314【答案】A 【解析】因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 7a 4＝1413，所以S 13S 7＝132(a 1＋a 13)72(a 1＋a 7)＝13a 77a 4＝2. 12．(多选)(2020年泉州模拟)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1＋3a 5＝S 7，则以下结论一定正确的是( )A ．a 4＝0B ．S n 的最大值为S 3C ．S 1＝S 6D ．|a 3|＜|a 5|【答案】AC 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋3(a 1＋4d )＝7a 1＋21d ，解得a 1＝－3d ，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －4)d ，所以a 4＝0，故A 正确；因为S 6－S 1＝5a 4＝0，所以S 1＝S 6，故C 正确；由于d 的正负不清楚，故S 3可能为最大值或最小值，故B 不正确；因为a 3＋a 5＝2a 4＝0，所以a 3＝－a 5，即|a 3|＝|a 5|，故D 错误．13．(2020年丽水模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 014，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 014＝________.【答案】－2 014 【解析】等差数列{a n }中，a 1＝－2 014，其前n 项和为S n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，首项为S 11＝－2 014.因为S 1212－S 1010＝2，公差为22＝1，所以S 2 0142 014＝－2 014＋1×2 013＝－1．所以S 2 014＝－2 014.14．(一题两空)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝5，则公差d ＝________，a 5＝________. 【答案】2 9 【解析】因为等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝5，设公差d ，则a 3－a 1＝2d ＝4，所以d ＝2，所以a 5＝a 1＋4d ＝9.15．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c ，求非零常数c .解：(1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根．又公差d ＞0，所以a 3＜a 4. 所以a 3＝9，a 4＝13.所以⎩⎨⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13.所以⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3.(2)由(1)知a 1＝1，d ＝4，所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1． (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c.所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c.因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c. 所以2c 2＋c ＝0.所以c ＝－12或c ＝0(舍去)．经验证c ＝－12时，{b n }是等差数列，故c ＝－12.[C 级创新突破]16．《九章算术》中有这样一段叙述：“今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马．”现有如下说法：①驽马第九日走了九十三里路；②良马五日共走了一千零九十五里路；③良马和驽马相遇时，良马走了二十一日．则错误的说法个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B 【解析】根据题意，良马走的路程可以看成一个首项a 1＝193，公差d 1＝13的等差数列，记其前n 项和为S n ；驽马走的路程可以看成一个首项b 1＝97，公差为d 2＝－0.5的等差数列，记其前n 项和为T n .依次分析3个说法：对于①，b 9＝b 1＋(9－1)×d 2＝93，故①正确；对于②，S 5＝5a 1＋5×42×d 1＝5×193＋10×13＝1 095，故②正确；对于③，设第n 天两马相遇，则有S n ＋T n ≥6 000，即na 1＋n (n －1)2d 1＋nb 1＋n (n －1)2d 2≥6 000，变形可得5n 2＋227n －4 800≥0，分析可得n 的最小值为16，故两马相遇时，良马走了16日，故③错误．综上，3个说法中只有1个错误．17．(2020年宿迁模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，把满足条件a n ＋1≤S n (n ∈N *)的所有数列{a n }构成的集合记为M .(1)若数列{a n }的通项为a n ＝12n ，则{a n }是否属于M?(2)若数列{a n }是等差数列，且{a n ＋n }∈M ，求a 1的取值范围；(3)若数列{a n }的各项均为正数，且{a n }∈M ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4n a n 中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列{a n }的通项；若不存在，说明理由．解：(1)因为a n ＝12n ，所以S n ＝12×1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n .所以a n ＋1－S n ＝⎝⎛⎭⎫12n ＋1－1＋⎝⎛⎭⎫12n ＝32×⎝⎛⎭⎫12n －1≤32×12－1＝－14＜0. 所以a n ＋1＜S n ，即{a n }∈M .(2)设{a n }的公差为d ，因为{a n ＋n }∈M ，所以a n ＋1＋n ＋1≤(a 1＋1) ＋(a 2＋2)＋…＋(a n ＋n )①，当n ＝1时，a 2＋2≤a 1＋1，即d ≤－1．由①得a 1＋nd ＋n ＋1≤na 1＋n (n －1)2·d ＋n (n ＋1)2，整理得d ＋12n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－32d －12n －a 1－1≥0. 因为上述不等式对一切n ∈N * 恒成立，所以必有d ＋12≥0，解得d ≥－1．又d ≤－1，所以d ＝－1．于是(a 1＋1)n －a 1－1≥0，即(a 1＋1)(n －1)≥0，所以a 1＋1≥0，即a 1≥－1．(3)由a n ＋1≤S n 得S n ＋1＝S n ＋a n ＋1≤2S n ，即S n ＋1S n≤2，所以S n S 1＝S 2S 1×S 3S 2×…×S n S n －1≤2n －1，从而有S n ≤S 1×2n －1＝a 1×2n －1．所以a n ＋1≤S n ≤a 1×2n －1，即a n ≤a 1×2n －2(n ≥3)．又a 2≤S 1＝a 1，即a 2≤a 1；a 3≤S 2＝a 1＋a 2≤2a 1，所以a n ≤a 1×2n －2(n ∈N *)．所以4n a n ≥2n ＋2a 1(n ≥2)．假设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4n a n 中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第n 项为dn ＋b (b 为常数)，则存在m ∈N *，m ≥n ，使得dn ＋b ＝4m a m ≥2m ＋2a 1≥2n ＋2a 1，即da 1n ＋ba 1≥2n ＋2.易知n ∈N *且n ≥2时，2n ＋2＞n 2，所以da 1＋ba 1＞n 2，即n 2－da 1n －ba 1＜0.由题意得，当n ≥2时，关于n 的不等式n 2－da 1n －ba 1＜0有无穷多个正整数解，显然不成立，因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫4n a n 中不存在无穷多项依次成等差数列．。

高考数学一轮复习全套课时作业6-2等差数列

题组层级快练 6.2等差数列一、单项选择题1．(2021·河北辛集中学月考)已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于()A ．1B.53C ．2D ．32．(2017·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为()A ．1B ．2C ．4D ．83．(2021·南昌市一模)已知{a n }为等差数列，若a 2＝2a 3＋1，a 4＝2a 3＋7，则a 5＝()A ．1B ．2C ．3D ．64．(2020·西安四校联考)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 7＝3，在该数列中的任何两项之间插入一个数，使之仍为等差数列，则这个新等差数列的公差为()A ．－25B ．－45C ．－15D ．－355．(2020·安徽合肥二模)a 1＝1，a 4＝4，则a 10＝()A ．－45B ．－54C.413D.1346．(2021·合肥市一检)已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，a 5＋a 7－a 62＝0，则S 11的值为()A ．11B ．12C ．20D ．227．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12＝()A.310B.13C.18D.198．(2021·福建高三质检)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，则tanS 14＝()A ．－33B.33C ．－3D.39．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝9，S 99－S 55＝－4，则S n 取最大值时的n 为()A ．4B ．5C ．6D ．4或510．(2021·沈阳二中模拟)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 3＝()A ．17B ．29C ．23D ．3511．若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为()A ．13B ．12C ．11D ．10二、多项选择题12．已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，前n 项和为S n ，满足a 1＋5a 3＝S 8，下列选项正确的有()A ．a 10＝0B ．S 10最小C ．S 7＝S 12D ．S 20＝0三、填空题与解答题13．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝3n －12n ＋3，则a 10b 10＝________．14．(2020·沈阳市模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2019，则m ＝________．15．设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a n 2和a n 的等差中项．(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)若b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值．16．已知A n ＝{x|2n <x<2n ＋1且x ＝7m ＋1，m ，n ∈N }，则A 6中各元素的和为________．9个数构成一个首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．(2019·课标全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．6.2等差数列参考答案1．答案C解析由已知得S 3＝3a 2＝12，即a 2＝4，∴d ＝a 3－a 2＝6－4＝2.2．答案C解析设等差数列{a n }的公差为d ，1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，1＋6×52d ＝48，1＝－2，＝4，故选C.3．答案B解析设数列{a n }的公差为d ，将题中两式相减可得2d ＝6，所以d ＝3，所以a 2＝2(a 2＋3)＋1，解得a 2＝－7，所以a 5＝a 2＋(5－2)d ＝－7＋9＝2.故选B.4．答案C解析∵{a n }的公差d ＝3－57－2＝－25，∴新等差数列的公差d×12＝－15.故选C.5．答案A解析由题意，得1a 1＝1，1a 4＝14，d ＝1a 4－1a 13＝－14，由此可得1a n＝1＋(n －1)＝－n 4＋54，因此1a 10＝－54，所以a 10＝－45.故选A.6．答案D解析方法一：设等差数列的公差为d(d ＞0)，则由(a 1＋4d)＋(a 1＋6d)－(a 1＋5d)2＝0，得(a 1＋5d)(a 1＋5d －2)＝0，所以a 1＋5d ＝0或a 1＋5d ＝2，又a 1＞0，所以a 1＋5d ＞0，则a 1＋5d ＝2，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d)＝11×2＝22.故选D.方法二：因为{a n }为正项等差数列，所以由等差数列的性质，并结合a 5＋a 7－a 62＝0，得2a 6－a 62＝0，a 6＝2，则S 11＝11（a 1＋a 11）2＝11×2a 62＝11a 6＝22.故选D.7．答案A解析令S 3＝1，则S 6＝3，∴S 9＝1＋2＋3＝6.S 12＝S 9＋4＝10，∴S 6S 12＝310.故选A.8．答案D 9．答案B解析由{a n }为等差数列，设公差为d ，有S 99－S55＝a 5－a 3＝2d ＝－4，即d ＝－2，又a 1＝9，所以a n ＝－2n＋11，由a n ＝－2n ＋11<0，得n>112，所以S n 取最大值时n 为5.故选B.10．答案B解析依题意{a n }为等差数列，且d ＝－3，S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9a 5＝207，∴a 5＝23，∴a 3＝a 5－2d ＝29.故选B.11．答案A解析因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146，所以a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180.又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2，所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60.所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n·602＝390，即n ＝13.12．答案AC解析根据题意，数列{a n }是等差数列，若a 1＋5a 3＝S 8，即a 1＋5a 1＋10d ＝8a 1＋28d ，变形可得a 1＝－9d ，又由a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －10)d ，则有a 10＝0，故A 一定正确；不能确定a 1和d 的符号，不能确定S 10最小，故B 不正确；又由S n ＝na 1＋n （n －1）d 2＝－9nd ＋n （n －1）d 2＝d2×(n 2－19n)，则有S 7＝S 12，故C 一定正确；则S 20＝20a 1＋20×192d ＝－180d ＋190d ＝10d ，∵d ≠0，∴S 20≠0，则D 不正确．13．答案5641解析在等差数列中，S 19＝19a 10，T 19＝19b 10，因此a 10b 10＝S 19T 19＝3×19－12×19＋3＝5641.14．答案1010解析设公差为d ，由题知S 3＝a 5，即3a 1＋3d ＝a 1＋4d ，得d ＝2a 1，又a 1＝1，故d ＝2.于是a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，再由2m －1＝2019，得m ＝1010.15．答案(1)证明见解析(2)当n＝2或n＝3时，{a n·b n}的最大值为6解析(1)证明：由已知可得2S n＝a n2＋a n，且a n>0，当n＝1时，2a1＝a12＋a1，解得a1＝1.当n≥2时，有2S n－1＝a n－12＋a n－1，所以2a n＝2S n－2S n－1＝a n2－a n－12＋a n－a n－1，所以a n2－a n－12＝a n＋a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1)＝a n＋a n－1，因为a n＋a n－1>0，所以a n－a n－1＝1(n≥2)．故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)可知a n＝n，设c n＝a n·b n，则c n＝n(－n＋5)＝－n2＋5n＋254，因为n∈N*，所以n＝2或3，c2＝c3＝6，因此当n＝2或n＝3时，{a n·b n}取最大项，且最大项的值为6. 16．答案891解析∵A6＝{x|26<x<27且x＝7m＋1，m∈N}，∴A6的元素有9个：71，78，85，92，99，106，113，120，127，9个数构成一个首项为71，公差为7的等差数列．∴71＋78＋…＋127＝71×9＋9×82×7＝891.17．答案(1)a n＝10－2n(2){n|1≤n≤10，n∈N}解析(1)设{a n}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{a n}的通项公式为a n＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故a n＝(n－5)d，S n＝n（n－9）d2.由a1>0知d<0，故S n≥a n等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．。

2023年新高考数学一轮总复习核心考点分层训练等差数列及其前n项和带讲解

第35讲等差数列及其前n 项和学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________【基础巩固】1．（2022·浙江·杭师大附中模拟预测）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，547,29,198n n a a S -===，则n =（） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13【答案】B【分析】根据等差数列的通项的性质和前n 项和公式求解. 【详解】因为()()15422n n n n a a n a a S -++==，又547,29,198n n a a S -===，所以18198n =，所以11n =，故选：B ．2．（2022·湖北武汉·模拟预测）设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，452a a =，则74S S =（）A ．74B ．-1C ．1D ．54【答案】C【分析】利用等差中项5462a a a =+，6572a a a =+及等差数列前n 项和的性质即可求解. 【详解】解：在等差数列{}n a 中，5462a a a =+，452a a =，故60a =，又6572a a a =+，故75a a =-，则745674S S a a a S =+++=，故741S S =. 故选：C.3．（2022·福建·莆田华侨中学模拟预测）2022年4月26日下午，神州十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科学计算，运载“神十三”的“长征二号”F 遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是（） A ．10秒 B ．13秒 C ．15秒 D ．19秒【答案】D【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，结合等差数列的前n 项求和公式计算即可.【详解】设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有()221380n n n n n +-=+=，解得19n =．故选：D.4．（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若728S =，则237a a a ++的值为（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【分析】根据等差数列的求和公式，求得44a =，结合等差数列的性质，化简得到27433a a a a =++，即可求解.【详解】因为728S =，由等差数列的性质和求和公式得17747()7282a a S a +===，即44a =，则112374393(3)312a d a a a a a d =+=+==++. 故选：C.5．（2022·海南海口·二模）设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()9353m S a a a =++，则m =（）A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】C【分析】根据等差数列的前n 项和的性质及等差数列通项公式化简可得.【详解】因为()9353m S a a a =++，又959S a =，所以()53593m a a a a =++，所以3553m a a a a ++=，即352m a a a +=，设等差数列{}n a 的公差为d ，则1112(1)2(4)a d a m d a d +++-=+，所以(+1)8m d d =，又0d ≠，所以18m +=，所以7m =．故选：C.6．（2022·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ''''是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AAk k k OD DC CB BA ====．已知123,,k k k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.9【答案】D【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项. 【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D7．（2022·重庆·二模）等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，若5m a =，则m S 的最大值为（） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12【答案】C【分析】先利用等差数列的通项公式得到首项，再利用等差数列的前n 项和公式和一元二次函数求其最值. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，因为5m a =，且2d =，所以1+2(1)5a m -=，解得172a m =-，则1()(122)=22m m m a a m m S +-= 2(3)99m =--+≤，即3m m S =时取最大值为9. 故选：C.8．（2022·重庆八中模拟预测）已知等差数列{}n a 与等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且1n n S nT n =+，那么87a b 的值为（） A ．1312B ．1413C ．1514D ．1615【答案】C【分析】设等差数列{}n a 、{}n b 的公差分别为1d 、2d ,由题意利用等差数列的性质求出它们的首项、公差之间的关系,可得结论.【详解】设等差数列{}{},n n a b 的公差分别为1d 和2.d11111,12n n S S a n T n T b =∴==+,即1112a b = 2112122223S a d T b d +∴==+,即11232b d d =- ① 311312333334S a d T b d +∴==+,即21143d d b =- ①由①①解得1211,.d d b d ==11811712111771526614d d a a d b b d d d ++∴===++故选：C 9．（2022·广东·华南师大附中三模）已知数列{}n a 满足()213nn n a a ++-=，11a =，22a =，数列{}n a 的前n项和为n S ，则30S =（） A ．351 B ．353 C ．531 D ．533【答案】B【分析】根据题意讨论n 的奇偶，当n 为奇数时，可得23n n a a +-=，按等差数列理解处理，当n 为偶数时，可得23n n a a ++=，按并项求和理解出来，则30S 按奇偶分组求和分别理解处理．【详解】依题意，()213nn n a a ++-=，显然，当n 为奇数时有23n n a a +-=，即有313a a -=，533a a -=，…，21213n n a a +--=，令21n n b a -=，故13n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，故32n b n =-；当n 为偶数时有23n n a a ++=，即423a a +=，643a a +=，…，2223n n a a ++=，于是，()()3013292430S a a a a a a =+++++++()()()12152462830b b b a a a a a =+++++++++⎡⎤⎣⎦14315273330233532+=⨯++⨯=+=，故选：B ．10．（多选）（2022·河北沧州·二模）已知数列{}n a 满足()1121,(1)n n n a a a n n ++==--+，记{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．4850100a a += B ．50464a a -= C ．48600S = D ．49601S =【答案】BCD【分析】由条件可得当n 为奇数时，211n n a a a +===；当n 为偶数时，22n n a a n ++=，然后可逐一判断.【详解】因为()1121,(1)n n n a a a n n ++==--+，所以当n 为奇数时，211n n a a a +===；当n 为偶数时，22n n a a n ++=.所以485096a a +=，选项A 错误；又因为464892a a +=，所以50464a a -=，选项B 正确； ()()()481354724684648S a a a a a a a a a a ⎡⎤=+++++++++++⎣⎦()()24612241226462426002+⨯=⨯+⨯+++=+⨯=故C 正确4948496001601S S a =+=+=，选项D 正确.故选：BCD11．（多选）（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）记数列{}n a 是等差数列，下列结论中不恒成立的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则20a <C ．若12a a <，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】ACD【分析】根据等差数列通项公式及等差中项，结合基本不等式即可求解. 【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则对于A ，由数列{}n a 是等差数列及120a a +>，所以可取123101a a a ===-，，，所以230a a +>不成立，故A 正确；对于B ，由数列{}n a 是等差数列，所以13202a a a +<=，所以20a <恒成立，故B 不正确；对于C, 由数列{}n a 是等差数列，12a a <可取123321a a a =-=-=-，，，所以2a C 正确；对于D ，由数列{}n a 是等差数列，得()()221230a a a a d --=-≤，无论1a 为何值，均有()()21230a a a a --≤所以若10a <，则()()21230a a a a -->恒不成立，故D 正确. 故选：ACD.12．（2022·北京·101中学三模）已知等差数列{}n a 中2341,25a a a =-+=，则20222020a a -=_______．【答案】4【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算得到方程组，求出公差，求出答案.【详解】设公差为d ，则()11112235a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩，解得：132a d =-⎧⎨=⎩，所以2022202024a a d -==故答案为：413．（2022·山东青岛·二模）将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第n 行共有12n -个数，若12a =，且该数阵中第5行第6列的数为42，则n a =___________.a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 ……【答案】2n【分析】利用等比数列前n 项和公式确定42为数列中的第几项，可以求出公差，从而确定等差数列的通项公式.【详解】解：设公差为d ，因为该数阵第n 行共有12n -个数，则前4行共有()41121512⨯-=-个数，所以第5行第6列数为2142a =，则2114222211211a a d --===--，所以2(1)22n a n n =+-⨯=．故答案为：2n ．14．（2022·辽宁·抚顺一中模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12113S a =，则5a =______，9S =______．【答案】 0 0【分析】根据等差数列的求和公式，化简可得12d a =，代入12113S a =即可求出14a d =-，根据等差数列的通项公式和求和公式，即可求出答案.【详解】等差数列{}n a 中，12111112663330S a d a a d =+==+，所以111266330a d a d +=+，即14a d =-，所以5140a a d =+=，9590S a == 故答案为：①0；①0.15．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）2022年北京冬奥会开幕式始于24节气倒计时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分为24个节气，如图所示，相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长最长，夏至日晷长最短，周而复始.已知冬至日晷长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏至到立冬的日晷长的和为______尺【答案】60【分析】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，所以夏至到立冬的日晷长的和可以用等差数列求和公式得到.【详解】因为相邻两个节气的日晷长变化量相同，所以每个节气的日晷长构成等差数列，设冬至日晷长13.5尺为1a ，则芒种日晷长2.5尺为12a ，所以1211121a a d -==--，所以夏至日晷长为1.5尺，记夏至日晷长1.5尺为1b ，小暑为2b ，大暑为3b ，……，立冬为10b则121010(101)101.51602b b b ⋅-+++=⋅+⋅=. 故答案为：60.16．（2022·重庆八中模拟预测）在等差数列{}n a 中，261028a a a ++=，则数列{}n a 的前13项和为______．【答案】26【分析】由等差数列的通项公式得12+6a d =，再代入求和公式()13113+6S a d =可求得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为261028a a a ++=，()()()111+++5+2+98d d a a a d ∴=， 12+6a d ∴=，则()131113(131)13+13+6262S a d a d ⨯-===，故答案为：26．17．（2022·广东·模拟预测）已知{}n a 和{}n b 均为等差数列，若12456,9a b a b ==+=，则78a b +的值是__________. 【答案】6【分析】利用等差数列的性质计算即可得解. 【详解】解：因为{}n a 和{}n b 均为等差数列，所以1742852,2a a a b b b +=+=，所以()1728452a a b b a b +++=+，即781229a b ++=⨯，所以786a b +=. 故答案为：6.18．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知等差数列{n a }的前n 项和是n S ，180S >，190S <，则数列{|n a |}中值最小的项为第___项．【答案】10【分析】根据题意判断等差数列{n a }的90a >，100a <，9100a a >->，由此可判断数列{||}n a 的项的增减情况，进而确定答案.【详解】由题意得：119191019()1902a a S a +===<，①100a <，()1180990S a a =+>，①90a >，9100a a >->，①910a a >，故等差数列{n a }为递减数列，即公差为负数，因此{||}n a 的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，由于910a a >，①{|n a |}最小的项是第10项，故答案为：1019．（2022·湖北·大冶市第一中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，111a =-，29a =-，且()11222n n n S S S n +-+=+≥．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【解】(1)由题意得：由题意知()()112n n n n S S S S +----=，则()122n n a a n +-=≥又212a a -=，所以{}n a 是公差为2的等差数列，则()11213n a a n d n =+-=-； (2)由题知()()11112132112213211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪----⎝⎭则1111111111211997213211211211n T n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+++-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦12122n n =- 20．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）在“①1n n a a +>，31044a a =，4915a a +=；①765S a =，23a =；①2(3)n S n n =+”三个条件中任选一个，补充到下面的横线上，并解答．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且__________． (1)求{}n a 的通项公式； (2)若11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <．【解】(1)若选择①，因为1n n a a +>，31044a a =，4915a a +=，31049a a a a +=+，解得34a =，1011a =，设公差为d ，则有1324a a d +==，101911a a d =+=，解得12a =，1d =，所以1n a n =+．若选择①，设公差为d ，74675S a a ==，即()()117355a d a d +=+，结合213a a d =+=，解得12a =，1d =，所以1n a n =+．若选择①，当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，1(3)(1)(2)122n n n n n n n a S S n -+-+=-=-=+，当1n =时亦满足上式，所以1n a n =+． (2)证明：由（1）得11111(1)(2)12n n n b a a n n n n +===-++++，所以1111111123341222n T n n n =-+-++-=-+++，因为102n >+，（*N n ∈），所以111222n -<+，所以12n T <．【素养提升】1．（2022·浙江省江山中学模拟预测）已知sin ,sin ,sin x y z 依次组成严格递增的等差数列，则下列结论错误．．的是（）A ．tan ,tan ,tan x y z 依次可组成等差数列B ．cos ,cos ,cos x y z 依次可组成等差数列C ．cos ,cos ,cos x z y 依次可组成等差数列D ．cos ,cos ,cos z x y 依次可组成等差数列【答案】B 【分析】取,0,66x y z ππ=-==，即可判断A ；利用反证法，假设cos ,cos ,cos xy z 依次可组成等差数列，则有2cos coscos y x z =+，2sin sin sin y x z =+，两式相加，整理即可判断B ；取sin 0,sin x y z ===CD.【详解】解：对于A ，当,0,66x y z ππ=-==时，此时11sin ,sin 0,sin 22x y z =-==依次组成严格递增的等差数列，则tan tan 0,tan x y z ===依次组成等差数列，故A 正确；对于B ，假设cos ,cos ,cos x y z 依次可组成等差数列，则有2cos cos cos y x z =+，又因2sin sin sin y x z =+，两式平方相加得()422cos cos sin sin x z x z =++，则()cos 1x z -=，故2x z k π-=，所以2,Z x k z k π=+∈，所以()sin sin 2sin x k z z π=+=，与题意矛盾，所以cos ,cos ,cos x y z 依次不可能组成等差数列，故B 错误；对于C ，当sin 0,sin 33x y z =-==11cos ,cos ,cos 133x z y =-==，则cos ,cos ,cos x z y 为等差数列，故C 正确；对于D ，当sin 0,sin 33x y z =-==若11cos ,cos ,cos 133z x y =-==，则cos ,cos ,cos z x y 为等差数列，故D 正确.故选：B.2．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()552sin 2350a a +--=，()201820182sin 2370a a +--=，则下列结论正确的是（）A ．20222022S =，且52018a a >B ．20222022S =-，且52018a a <C ．20224044S =-，且52018a a >D ．20224044S =，且52018a a <【答案】C【分析】根据题意构造函数()2sin 3f x x x =-，确定函数的奇偶性及单调性，进而根据()()520182,2f a f a ++的关系即可确定答案.【详解】设函数()2sin 3f x x x =-，则()f x 为奇函数，且()2cos 30f x x '=-<，所以()f x 在R 上递减，由已知可得()()552sin 2321a a +-+=-，()()201820182sin 2321a a +-+=，有()521f a +=-，()201821f a +=，所以()()5201822f a f a +<+，且()()5201822f a f a +=-+，所以520185201822a a a a +>+⇒>，且()5201822a a +=-+，所以520184a a +=-， 120222022520182022()1011()40442a a S a a +==+=-.故选：C.3．（多选）（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）已知两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列说法正确的是（）A ．若为等差数列，则112d a =B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==D ．若*n b N ∈，则{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d【答案】ABD【分析】对于A ，利用对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案；对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案；对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案.【详解】对于A ，因为为等差数列，所以即化简得()21120d a -=，所以112d a =，故A 正确；对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++，所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++，所以120d d +=，故B 正确；对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+，所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++，化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*n b N ∈，所以11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =，所以{}n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 正确. 故选：ABD4．（多选）（2022·福建南平·三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点(),i i i A x y ，其中1,2,3,,,i n =⋅⋅⋅⋅⋅⋅且,i i x y ∈Z .记n n n a x y =+，如()11,0A 记为11a =，()21,1A -记为20a =，()30,1A -记为31,a =-⋅⋅⋅，以此类推；设数列{}n a 的前n 项和为n S .则（）A ．202242a =B ．202287S =-C ．82n a n =D ．()245312n n n n S ++=【答案】ABD【分析】由图观察可知第n 圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，则2440n n S +=，同时第n 圈的最后一个点对应坐标为(),n n ，设2022a 在第k 圈，则k 圈共有()41k k +个数，可判断前22圈共有2024个数，2024a 所在点的坐标为()22,22，向前推导，则可判断A ，B 选项；当2n =时，16a 所在点的坐标为()2,2--，即可判断C 选项；借助2440n n S +=与图可知22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S a a a++++++++=-=+++，即n 项之和，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +-，…，()1,1n +，即可求解判断D 选项. 【详解】由题，第一圈从点()1,0到点()1,1共8个点，由对称性可知81280S a a a =+++=；第二圈从点()2,1到点()2,2共16个点，由对称性可知248910240S S a a a -=+++=，即 240S =，以此类推，可得第n圈的8n 个点对应的这8n 项的和为0，即()214482n nn n SS ++⨯==，设2022a 在第k 圈，则()()888168412k k k kk ++++==+，由此可知前22圈共有2024个数，故20240S =，则()2022202420242023S S a a =-+，2024a 所在点的坐标为()22,22，则2024222244a =+=，2023a 所在点的坐标为()21,22，则2023212243a =+=，2022a 所在点的坐标为()20,22，则2022202242a =+=，故A 正确；()()20222024202420230444387S S a a =-+=-+=-，故B 正确；8a 所在点的坐标为()1,1，则8112a =+=，16a 所在点的坐标为()2,2--，则16224a =--=-，故C 错误；22222244144245454544n n n n n nn n n n n n S S S aaa++++++++=-=+++，对应点的坐标为()1,+n n ，()1,1n n +-，…，()1,1n +，所以()()()()()245111112122n n S n n n n n n n n +=+++++-++++=+++++()()2123122n n n n n ++++==，故D 正确.故选：ABD5．（2022·湖北·荆门市龙泉中学一模）在数列{}n a 中，11a =，()11nn n a a n ++-=，*N n ∈，则4a =_______；{}n a 的前2022项和为_______．【答案】 3 1023133【分析】求出数列前若干项，根据其特性，分别求和后再可解即可. 【详解】由()11nn n a a n ++-=，得()11nn n a n a +=--，又11a =，所以()21112a a =--=，()232210a a =--=，()343313a a =--=，()454411a a =--=，()565516a a =--=，()676610a a =--=，()787717a a =--=，()898811a a =--=，()91099110a a =--=，()1011101010a a =--=，()11121111111a a =--=，()1213121211a a =--=，()13141313114a a =--=，⋯；因为202250542=⨯+，所以，明显可见，规律如下： 159132021,,,,,a a a a a ，成各项为1的常数数列，其和为1506506⨯=， 2610142022,,,,,a a a a a ，成首项为2，公差为4的等差数列，其和为25065055062450625120722⨯⨯+⨯=⨯=， 3711152019,,,,,a a a a a ，成各项为0的成常数数列，其和为05050⨯=，4812162020,,,,,a a a a a ，成首项为3，公差为4的等差数列，其和为505504505345105552⨯⨯+⨯=，故202250651207205105551023133S =+++=. 故答案为：①3；①1023133.6．（2022·湖南·长郡中学模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n an =+（a 为常数），则20222021a a -=________；设函数()8sin()cos()g x x x x ππ=+-且()()()12918g a g a g a +++=，则5a =__________.【答案】 2；14【分析】根据数列前n 项和与第n 项的关系、等差数列的定义、等差数列的性质，结合辅助角公式、构造函数法，利用导数的性质进行求解即可.【详解】当*2,N n n ≥∈时，221(1)(1)21n n n a S S n an n a n n a -=-=+----=+-，当1n =时，显然成立，因为当*2,N n n ≥∈时，12n n a a --=，数列{}n a 为等差数列，且公差2d =，所以202220212a a -=.又因为111()8sin πcos π8π8π2444g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-=--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.令()8πh t t t =，因为()8π)(8π)()h t t t t t h t -=--=-=-，所以()h t 为奇函数，因为()8cos π0h t t =+>'，所以()h t 在R 上单调递增. 由题意得()()()1292220g a g a g a -+-++-=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其中129a a a <<<，则129111444a a a -<-<<-，假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1919191111110444444a a h a h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->--⇒->--⇒-+-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因为1928374651111111112,444444444a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-=-+-=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.假设1911044a a ⎛⎫⎛⎫-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，同理可得1291110444h a h a h a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，综上，19195111104424a a a a a ⎛⎫⎛⎫-+-=⇒+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：2；14。

新高考一轮复习人教版等差数列作业1

7.2 等差数列一、选择题1.(2022届广西北海模拟,10)已知递增等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4=10,且a 1,a 2,a 3+1成等比数列,则公差d=( )A.1B.2C.3D.4答案 A ∵S 4=10,∴4a 1+4×32d=10,即2a 1+3d=5①, ∵a 1,a 2,a 3+1成等比数列,∴(a 1+d)2=a 1(a 1+2d+1),即a 12+2a 1d+d 2=a 12+2a 1d+a 1,也即d 2=a 1②,联立①②解得{d =1,a 1=1或{d =-52,a 1=254(舍去). 2.(2021皖北协作体模拟,4)等差数列{a n }的公差为d,当首项a 1与d 变化时,a 2+a 10+a 21是一个定值,则下列选项中一定为定值的是( )A.a 10B.a 11C.a 12D.a 13答案 B ∵等差数列{a n }的公差为d,∴a 2+a 10+a 21=a 1+d+a 1+9d+a 1+20d=3(a 1+10d)=3a 11.∵当a 1与d 变化时,a 2+a 10+a 21是一个定值,∴3a 11是定值,即a 11是一个定值.故选B.3.(2021陕西宝鸡一模,3)在1和2两数之间插入n(n ∈N *)个数,使它们与1,2组成一个等差数列,则当n=10时,该数列的所有项的和为( )A.15B.16C.17D.18答案 D 设在1和2两数之间插入n(n ∈N *)个数,使它们与1,2组成一个等差数列{a n },a 1=1,当n=10时,可得a 12=2,所以数列的所有项的和为12(a 1+a 12)2=12×(1+2)2=18.故选D. 4.(2022届河南三市联考,4)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1+a 3+a 5=3,则S 5=( )A.5B.7C.9D.11答案 A 由等差数列{a n }的性质及a 1+a 3+a 5=3,得3a 3=3,∴a 3=1,∴S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3=5.故选A. 5.(2020呼和浩特一模,3)在等差数列{a n }中,若a 1+a 2=5,a 3+a 4=15,则a 5+a 6=( )A.10B.20C.25D.30答案 C 设{a n }的公差为d.由题意得4d=10,则a 5+a 6=a 1+4d+a 2+4d=5+20=25.故选C.6.(2021陕西宝鸡二模,5)已知{a n }是等差数列,满足3(a 1+a 5)+2(a 3+a 6+a 9)=18,则该数列的前8项和为( )A.36B.24C.16D.12答案 D 由等差数列的性质可得a 1+a 5=2a 3,a 3+a 6+a 9=3a 6,所以3×2a 3+2×3a 6=18,即a 3+a 6=3,所以S 8=8(a 1+a 8)2=8(a 3+a 6)2=12.故选D. 7. (2021河南安阳模拟,5)已知数列{a n },{b n },{c n }均为等差数列,且a 1+b 1+c 1=1,a 2+b 2+c 2=3,则a 2020+b 2020+ c 2020=( )A.4037B.4039C.4041D.4043答案 B 因为数列{a n },{b n },{c n }均为等差数列,所以数列{a n +b n +c n }也是等差数列,且首项为a 1+b 1+c 1=1,公差d=(a 2+b 2+c 2)-(a 1+b 1+c 1)=3-1=2,所以a 2020+b 2020+c 2020=1+(2020-1)×2=4039.故选B. 思路分析根据等差数列的性质得出数列{a n +b n +c n }也是等差数列,利用等差数列通项公式可求相应项.8.(2021吉林丰满月考,4)在数列{a n }中,a 1=0,a n+1-a n =2,S n 为其前n 项和,则S 10=( )A.200B.100C.90D.80答案 C 因为数列{a n }中,a 1=0,a n+1-a n =2,所以数列{a n }是以0为首项,2为公差的等差数列,则S 10=10×92×2=90. 9.(2021安徽马鞍山质监,11)在等差数列{a n }中,a 8a 7<-1,且它的前n 项和S n 有最小值,当S n <0时,n 的最大值为( )A.7B.8C.13D.14答案 C 因为等差数列{a n }的前n 项和S n 有最小值,所以d>0,又a 8a 7<-1,所以a 7<0,a 8>0,所以a 7+a 8>0, 又S 13=13(a 1+a 13)2=13a 7<0, S 14=14(a 1+a 14)2=7(a 7+a 8)>0, 所以当S n <0时,n 的最大值为13.方法总结利用等差数列的性质,可将前n 项和与项建立关系:S 2n+1=(2n+1)a n+1,S 2n =n(a n +a n+1).10.(2021宁夏吴忠一模,7)数列{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,且a 1<0,a 2020+a 2021<0,a 2020·a 2021<0,则使S n <0成立的最大正整数n 是( )A.2020B.2021C.4040D.4041答案 C 设数列{a n }的公差为d,由a 1<0,a 2020+a 2021<0,a 2020·a 2021<0,可知a 2020<0,a 2021>0,所以d>0,数列{a n }为递增数列,S 4041=4041(a 1+a 4041)2=4041a 2021>0,S 4040=2020(a 1+a 4040)=2020(a 2020+a 2021)<0,所以可知n 的最大值为4040.故选C.11.(2021山西吕梁一模,3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 5=2,S 4=28,则S n <0时,n 的最小值为( )A.10B.11C.12D.13答案 C 设等差数列{a n }的公差为d,因为a 5=2,S 4=28,故a 1+4d=2,4(a 1+a 4)2=28,即2a 1+3d=14,解得a 1=10,d=-2,故S n =n×10+12n(n-1)×(-2)=-n 2+11n=-n(n-11),n ∈N *,令S n =-n(n-11)<0,得n>11,且n ∈N *,故n 的最小值为12.故选C.12.(2022届西南名校联考,6)设等差数列{a n }的前n 项和是S n ,若a 2<-a 11<a 1,则( )A.S 11>0且S 12<0B.S 11<0且S 12<0C.S 11>0且S 12>0D.S 11<0且S 12>0答案 A 由题意知,a 1+a 11>0,a 2+a 11=a 1+a 12<0,得S 11=11(a 1+a 11)2>0,S 12=12(a 1+a 12)2<0.故选A. 13.(2022届陕西宝鸡期末,10)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公差为d.已知a 3=12,S 10>0,a 6<0,则下列选项不正确的是( )A.数列{S n a n}的最小项为第6项 B.-245<d<-4 C.a 5>0D.S n >0时,n 的最大值为5答案 D S 10=102(a 1+a 10)=5(a 5+a 6)>0,又a 6<0,所以a 5>0,故选项C 正确;由a 3=12,且a 5>0,a 6<0,a 5+a 6>0,得{a 5=12+2d >0,a 6=12+3d <0,a 5+a 6=24+5d >0,解得-245<d<-4,选项B 正确;由上分析知,当1≤n ≤5时,a n >0,当n ≥6时,a n <0,所以S 11=11a 6<0,又S 10>0,故S n >0时,n 的最大值为10,故选项D 错误;由于d<0,因此数列{a n }是递减数列,由上述分析知当1≤n ≤5时,S n a n >0,当6≤n ≤10时,S n a n <0,当n ≥11时,S n a n >0,故数列{S n a n}中最小的项为第6项,选项A 正确.故选D.14.(多选)(2021山东济宁鱼台一中月考,11)设{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,且S 7<S 8,S 8=S 9>S 10,则下列结论正确的是( )A.公差d<0B.a 9=0C.S 11>S 7D.S 8、S 9均为S n 的最大值答案ABD 由S 7<S 8得a 1+a 2+a 3+…+a 7<a 1+a 2+…+a 7+a 8,即a 8>0,又∵S 8=S 9,∴a 1+a 2+…+a 8=a 1+a 2+…+a 8+a 9,∴a 9=0,故B 中结论正确;同理由S 9>S 10得a 10<0,∴公差d=a 10-a 9<0,故A 中结论正确;对于C,若S 11>S 7,则a 8+a 9+a 10+a 11>0,可得2(a 9+a 10)>0,由结论a 9=0,a 10<0,知a 9+a 10<0,矛盾,故C 中结论错误;∵S 7<S 8,S 8=S 9>S 10,d<0,∴S 8与S 9均为S n 的最大值,故D 中结论正确.故选ABD.二、填空题15.(2022届豫南名校联考(二),15)已知S n 为数列{a n }的前n 项和,数列{S n n}是等差数列,若a 2=2a 1,S 12=468,则a 1= .答案 6解析设等差数列{S n n }的公差为d,则d=S 22-S 11=a 1+a 22-a 1=3a 12-a 1=a 12,所以S n n =a 1+(n-1)×a 12=na 12+a 12,所以S n =n 2a 12+na 12,由S 12=122a 12+12a 12=468,可得a 1=6. 16.(2021吉林顶级名校月考,14)记S n 分别为等差数列{a n }的前n 项和,若a n =21-2n,则S 10= . 答案 100解析由a n =21-2n 得a 1=19,a 10=1,所以前10项的和S 10=19+12×10=100. 17.(2021广东深圳外国语学校模拟,13)已知等差数列{a n }的前n 项和S n =225,其前三项和为6,后三项和为39,则该数列有项.答案 30解析设等差数列{a n }共有n 项(n ≥3),其前三项和为6,即a 1+a 2+a 3=6,则有3a 2=6,解得a 2=2.后三项和为39,即a n-2+a n-1+a n =39,则有3a n-1=39,解得a n-1=13.等差数列{a n }的前n 项和S n =225,即S n =(a 1+a n )×n 2=(a 2+a n -1)×n 2=15n 2=225,解得n=30.故该数列有30项. 思路分析设等差数列{a n }共有n 项(n ≥3),由等差数列的性质求出a 2、a n-1,由等差数列的前n 项和的公式可得S n =(a 1+a n )×n 2=(a 2+a n -1)×n 2=225,解方程可得n 的值. 18.(2022届四川绵阳第一次诊断,13)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,若a 1=2,S 7=35,则a 6= . 答案 7解析由等差数列性质知S 7=7(a 1+a 7)2=7a 4=35,故a 4=5.又∵a 1=2,∴公差d=1.∴a n =n+1,则a 6=7. 19.(2022届广西模拟,15)在等差数列{a n }中,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使S n 达到最大值的n 是 .答案 20解析因为a 1+a 3+a 5=3a 3=105,a 2+a 4+a 6=3a 4=99,所以a 3=35,a 4=33,从而公差d=-2,则a 1=39,S n =39n+12n(n-1)(-2)=-n 2+40n=-(n-20)2+400,所以当n=20时,S n 取最大值. 三、解答题20.(2022届吉林一调,17)已知数列{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和,a 4=-10,S 8=S 9.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)求S n .解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d,可知{a 1+8d =0,a 1+3d =-10,解得{a 1=-16,d =2.从而a n =-16+2(n-1)=2n-18(n ∈N *). (2)由(1)知,a 1=-16,d=2,则S n =-16n+n(n -1)2×2=n 2-17n(n ∈N *). 21.(2022届河南调研,18)已知数列{a n }满足a 1=4,a n+1=2a n +2n+1(n ∈N *),设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)证明:数列{a n 2n }是等差数列. (2)求S n .解析 (1)证明:由a n+1=2a n +2n+1,得a n+12n+1-a n 2n =1. 因为a 121=2,所以数列{a n 2n }是以2为首项,1为公差的等差数列. (2)由(1)得a n 2n =2+(n-1)×1=n+1,所以a n =(n+1)·2n ,所以S n =2×21+3×22+…+n×2n-1+(n+1)×2n ①,2S n =2×22+3×23+…+n×2n +(n+1)×2n+1②,①-②得-S n =2×21+22+…+2n -(n+1)×2n+1=-n ·2n+1,所以S n =n ·2n+1.22.(2022届陕西宝鸡月考,18)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =14(a n +1)2(n ∈N *). (1)求a 1,a 2;(2)求证:数列{a n }是等差数列.解析 (1)在S n =14(a n +1)2(n ∈N *)中,令n=1,可得a 1=S 1=(a 1+1)24,∴a 1=1. 令n=2,可得1+a 2=(a 2+1)24,得a 2=3或-1(舍去). (2)证明:∵a 1=1,S n =14(a n +1)2(n ∈N *),∴当n ≥2时,S n-1=14(a n-1+1)2,∴S n -S n-1=a n =14(a n +1)2-14(a n-1+1)2=(a n -a n -1)(a n +a n -1+2)4,化简得(a n +a n-1)·(a n -a n-1-2)=0. ∵a n >0,∴a n -a n-1=2(n ≥2),∴{a n }是以1为首项,2为公差的等差数列.23.(2022届哈尔滨期中,20)在数列{a n }中,a 1=4,na n+1-(n+1)a n =2n 2+2n.(1)求证:数列{a n n}是等差数列; (2)求数列{1a n}的前n 项和S n . 解析 (1)证明:na n+1-(n+1)a n =2n 2+2n 的两边同除以n(n+1),得a n+1n+1-a n n=2. 又a 11=4,所以数列{a n n }是首项为4,公差为2的等差数列. (2)由(1)得a n n =4+2(n-1),即a n n =2n+2,所以a n =2n 2+2n,故1a n =12n 2+2n =12(1n -1n+1), 所以S n =12(1-12)+(12-13)+…+(1n -1n+1)=12·(1-1n+1)=n 2(n+1). 24.(2021石景山一模,17)已知有限数列{a n }共有30项,其中前20项成公差为d 的等差数列,后11项成公比为q 的等比数列.记数列的前n 项和为S n .从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知.求:(1)d,q 的值;(2)数列{a n }中的最大项.条件①:a 2=4,S 5=30,a 21=20;条件②:S 3=0,a 20=-36,a 22=-9;条件③:S 1=48,a 21=20,a 24=160.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.解析选择条件①:a 2=4,S 5=30,a 21=20.(1)因为{a n }的前20项成等差数列,a 2=4,S 5=30,所以{a 1+d =4,5a 1+5×42d =30,解得{a 1=2,d =2.所以a 20=2+19×2=40.因为数列{a n }的后11项成公比为q 的等比数列,所以q=a 21a 20=12. 综上,d=2,q=12. (2){a n }的前20项成等差数列,d>0,所以前20项逐项递增,即前20项中的最大项为a 20=40.数列{a n }的后11项成等比数列,a 20=40,q=12,所以后11项逐项递减,即后11项中的最大项为a 20=40. 综上,数列{a n }的最大项为第20项,其值为40.选择条件②:S 3=0,a 20=-36,a 22=-9.(1)因为{a n }的前20项为等差数列,S 3=0,a 20=-36,所以{3a 1+3d =0,a 1+19d =-36,所以{a 1=2,d =-2. 因为数列{a n }的后11项成公比为q 的等比数列,a 20=-36,a 22=-9,所以q 2=a 22a 20=14,所以q=±12. 综上,d=-2,q=±12. (2){a n }的前20项成等差数列,d<0,所以前20项逐项递减,即前20项中的最大项为a 1=2.i.当q=12时,a n =-36(12)n -20(20≤n ≤30且n ∈N *). 所以当20≤n ≤30时,a n <0.所以数列{a n }的最大项为第1项,其值为2.ii.当q=-12时,a n =-36(-12)n -20(20≤n ≤30且n ∈N *).后11项中的最大项为a 21=18. 故数列{a n }的最大项为第21项,其值为18.综上,当q=12时,数列{a n }的最大项为第1项,其值为2. 当q=-12时,数列{a n }的最大项为第21项,其值为18. 选择条件③:S 1=48,a 21=20,a 24=160.(1)因为数列{a n }的后11项成公比为q 的等比数列,a 21=20,a 24=160,所以q 3=a 24a 21=8,解得q=2.所以a 20=a 21q=10. 又因为{a n }的前20项成等差数列,S 1=a 1=48,所以d=a 20-a 120-1=-2. 综上,d=-2,q=2.(2)数列{a n }的前20项成等差数列,d<0,所以前20项逐项递减,即前20项中的最大项为a 1=48.数列{a n }的后11项成等比数列,a 20=10,q=2.所以a n =10·2n-20(20≤n ≤30且n ∈N *).所以后11项逐项递增.后11项中的最大项为a 30=10240.综上,数列{a n }的最大项为第30项,其值为10240.25.(2020朝阳二模,16)已知{a n }是公差为d 的等差数列,其前n 项和为S n ,且a 5=1, .若存在正整数n,使得S n 有最小值.(1)求{a n }的通项公式;(2)求S n 的最小值.从①a 3=-1,②d=2,③d=-2这三个条件中选择符合题意的一个条件,补充在填空线上并作答. 解析选择①.(1)因为a 5=1,a 3=-1,所以d=1.所以a n =1+(n-5)×1=n -4.(2)由(1)可知a 1=-3.所以S n =n(a 1+a n )2=12n(n-7)=12(n -72)2-498. 因为n ∈N *, 所以当n=3或4时,S n 取得最小值,最小值为-6. 故存在正整数n=3或4,使得S n 有最小值,最小值为-6. 选择②.(1)因为a 5=1,d=2,所以a n =1+(n-5)×2=2n -9.(2)由(1)可知a 1=-7.所以S n =n(a 1+a n )2=n 2-8n=(n-4)2-16,所以当n=4时,S n 取得最小值,最小值为-16. 故存在正整数n=4,使得S n 有最小值,最小值为-16. (不可以选择③)。

高考数学一轮复习等差数列多选题专项训练(讲义及答案)含答案

高考数学一轮复习等差数列多选题专项训练(讲义及答案)含答案一、等差数列多选题1．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n <+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立，由12n -第增，且31222n ≤-<，所以32a <，综上可得：322a -≤<，故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（） A ．100a = B ．当9n =或10时，n S 取最大值 C ．911a a < D ．613S S =解析：AD 【分析】由1385a a S +=求出100a =，即19a d =-，由此表示出9a 、11a 、6S 、13S ，可判断C 、D 两选项；当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误. 【详解】解：1385a a S +=，111110875108,90,02da a d a a d a ⨯++=++==，故正确A. 由190a d +=，当0d >时，10a <，n S 有最小值，故B 错误.9101110,a a d d a a d d =-==+=，所以911a a =，故C 错误.61656+5415392dS a d d d ⨯==-+=-， 131131213+11778392dS a d d d ⨯==-+=-，故D 正确. 故选：AD 【点睛】考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题.3．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（） A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+解析：ABD 【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果. 【详解】)211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（） A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21解析：BC 【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对；由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ； D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）. 解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误．故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6．等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ，若10a >，717S S =，则（） A ．0d C ．13n S S ≤ D ．当且仅当0nS <时，26n ≥解析：AB 【分析】根据等差数列的性质及717S S =可分析出结果. 【详解】因为等差数列中717S S =，所以89161712135()0a a a a a a ++++=+=，又10a >，所以12130,0a a ><，所以0d <，12n S S ≤，故AB 正确，C 错误；因为125251325()2502a a S a +==<，故D 错误，故选：AB 【点睛】关键点睛：本题突破口在于由717S S =得到12130a a +=，结合10a >，进而得到12130,0a a ><，考查学生逻辑推理能力.7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（）A ．80a 的n 的最大值为12解析：ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d dS n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d dS na d n n -==-，对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误；对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值.8．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <. 解析：ABD 【分析】利用等差数列的求和公式及等差数列的性质，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】对于A ：因为正数，公差不为0，且100S =，所以公差0d <，所以1101010()02a a S +==，即1100a a +=，根据等差数列的性质可得561100a a a a +=+=，又0d <，所以50a >，60a <，故A 正确；对于B ：因为412S S =，则1240S S -=，所以561112894()0a a a a a a ++⋅⋅⋅++=+=，又10a >，所以890,0a a ><，所以115815815()15215022a a a S a +⨯===>，116891616()16()022a a a a S ++===，所以使0n S >的最大的n 为15，故B 正确；对于C ：因为115815815()15215022a a a S a +⨯===>，则80a >， 116891616()16()022a a a a S ++===，则890a a +=，即90a <，所以则{}n S 中8S 最大，故C 错误；对于D ：因为89S S <，则9980S a S =->，又10a >，所以8870a S S =->，即87S S >，故D 正确，故选：ABD 【点睛】解题的关键是先判断d 的正负，再根据等差数列的性质，对求和公式进行变形，求得项的正负，再分析和判断，考查等差数列性质的灵活应用，属中档题.9．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（）. A ．10a =0 B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =解析：ACD 【分析】由13623a a S +=得100a =，故A 正确；当0d <时，根据二次函数知识可知n S 无最小值，故B 错误；根据等差数列的性质计算可知127S S =，故C 正确；根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可得190S =，故D 正确. 【详解】因为13623a a S +=，所以111236615a a d a d ++=+，所以190a d +=，即100a =，故A 正确；当0d <时，1(1)(1)922n n n n n S na d dn d --=+=-+2(19)2dn n =-无最小值，故B 错误；因为127891*********S S a a a a a a -=++++==，所以127S S =，故C 正确；因为()1191910191902a a S a+⨯===，故D 正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n 项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题. 10．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin 2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+解析：BD 【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+=23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin2,2a π==22sin 0,a π==332sin22a π==-不符合题设；选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD. 【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.11．斐波那契数列，又称黄金分割数列、兔子数列，是数学家列昂多·斐波那契于1202年提出的数列.斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，此数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和，记该数列为(){}F n ，则(){}F n 的通项公式为（）A ．(1)1()2n n F n -+=B ．()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==C ．()1122n nF n ⎡⎤⎛⎛+-⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦ D ．()1122n n F n ⎡⎤⎛⎛⎥=+ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦解析：BC 【分析】根据数列的前几项归纳出数列的通项公式，再验证即可；【详解】解：斐波那契数列为1，1，2，3，5，8，13，21，……，显然()()11,21F F ==，()()()3122F F F =+=，()()()4233F F F =+=，，()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()11,2F n F n F n n +=+-≥且()()11,21F F ==，即B 满足条件；由()()()11,2F n F n F n n +=+-≥，所以()()()()11F n n F n n ⎤+-=--⎥⎣⎦所以数列()()1F n n ⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭为公比的等比数列，所以()()1nF n n +-=⎝⎭()11515()n F F n n -+=++，令112nn n Fb -=⎛⎫+⎪⎝⎭，则11n n b +=+，所以1n n b b +=-，所以nb ⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭的等比数列，所以1n n b -+，所以()11152n n n nF n --⎤⎤⎛⎫+⎥⎥=+=- ⎪ ⎪⎥⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦；即C 满足条件；故选：BC 【点睛】考查等比数列的性质和通项公式，数列递推公式的应用，本题运算量较大，难度较大，要求由较高的逻辑思维能力，属于中档题．12．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0解析：ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确；又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n－12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD. 【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 13．已知数列{}n a 满足()*111n na n N a +=-∈，且12a =，则（） A ．31a =-B ．201912a =C ．332S = D ． 2 01920192S =解析：ACD 【分析】先计算出数列的前几项，判断AC ，然后再寻找规律判断BD ．【详解】由题意211122a =-=，311112a =-=-，A 正确，3132122S =+-=，C 正确；41121a =-=-，∴数列{}n a 是周期数列，周期为3． 2019367331a a a ⨯===-，B 错；20193201967322S =⨯=，D 正确．故选：ACD ．【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解．14．题目文件丢失！15．题目文件丢失！16．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列解析：BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错; 选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.17．已知数列{}n a 满足：12a =，当2n ≥时，)212n a =-，则关于数列{}n a 的说法正确的是（）A ．27a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．221n a n n =+-D ．数列{}n a 为周期数列解析：ABC 【分析】由)212n a =-1=，再利用等差数列的定义求得n a ，然后逐项判断. 【详解】当2n ≥时，由)212n a =-，得)221n a +=，1=，又12a =，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，即221n a n n =+-，故C 正确；所以27a =，故A 正确；()212n a n =+-，所以{}n a 为递增数列，故正确；数列{}n a 不具有周期性，故D 错误；故选：ABC18．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>0解析：AC 【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误，所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<，所以C 正确，D 错误，故选：AC19．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换. 20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（） A ．23n S n n =-B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =解析：BC 【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=，故选：BC。

高考数学一轮复习数学等差数列多选题专项训练试题及答案

高考数学一轮复习数学等差数列多选题专项训练试题及答案一、等差数列多选题1．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S > D ．110S >解析：ABD 【分析】转化条件为670a a +=，进而可得60a >，70a <，再结合等差数列的性质及前n 项和公式逐项判断即可得解. 【详解】因为57S S =，所以750S S -=，即670a a +=，因为数列{}n a 递减，所以67a a >，则60a >，70a <，故A 正确；所以6S 最大，故B 正确；所以()113137131302a a S a+⨯==<，故C 错误；所以()111116111102a a S a+⨯==>，故D 正确.故选：ABD.2．在下列四个式子确定数列{}n a 是等差数列的条件是（）A ．n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈）；B ．2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈）；C ．()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ；D ．{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈）. 解析：AC 【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列．【详解】A 选项中n a kn b =+（k ，b 为常数，*n N ∈），数列{}n a 的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B 选项中2n n a a d +-=（d 为常数，*n N ∈），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C 选项中()*2120n n n a a a n ++-+=∈N ，对于数列{}n a 符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D 选项{}n a 的前n 项和21n S n n =++（*n N ∈），不符合2n S An Bn =+，所以{}n a 不为等差数列．故错误．故选：AC 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 3．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n =C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =-D ．数列{}n a 为递减数列解析：ABD 【分析】首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121nn n a a a +=+，11a =，所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-= 所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确.对选项B ，由A 知：112121nn n a数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确.对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.4．已知数列{}n a 的前n 项和为,n S 25,n S n n =-则下列说法正确的是（） A ．{}n a 为等差数列B ．0n a >C ．n S 最小值为214- D ．{}n a 为单调递增数列解析：AD 【分析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列的通项公式，可对A ，B ，D 进行判断，对25,n S n n =-进行配方可对C 进行判断【详解】解：当1n =时，11154a S ==-=-，当2n ≥时，2215[(1)5(1)]26n n n a S S n n n n n -=-=-----=-，当1n =时，14a =-满足上式，所以26n a n =-，由于()122n n a a n --=≥，所以数列{}n a 为首项为4-，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以{}n a 为单调递增数列，所以A ，D 正确，B 错误，由于225255()24n S n n n =-=--，而n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，n S 取最小值，且最小值为6-，所以C 错误，故选：AD 【点睛】此题考查,n n a S 的关系，考查由递推式求通项并判断等差数列，考查等差数列的单调性和前n 项和的最值问题，属于基础题5．在数列{}n a 中，若22*1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．{(1)}n -是等方差数列C ．若{}n a 是等方差数列，则{}()*,kn a k N k ∈为常数)也是等方差数列D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列解析：BCD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}n a 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确；对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，，2k a ，数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，()()()()2222222212132221k k k k k k k k aa a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加得()()()()2222222212132221k kk k k k k k aa aa aa aa kp +++++--+-+-++-=，222k k aa kp ∴-=，()221kn kn a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确；对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题. 6．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（） A ．244a a ⋅ D ．1524a a a a ⋅>⋅解析：ABC 【分析】由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．【详解】由题知，只需1220010a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；()()2222415223644a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误. 【点睛】本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d表示）后，可判断．7．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a < 解析：AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ，因为78S S >，所以8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.8．已知等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和为n S ，且12a 、8S 、9S 成等差数列，则下列四个选项中正确的有（） A ．59823a a S += B ．27S S =C ．5S 最小D ．50a =解析：BD 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据条件12a 、8S 、9S 成等差数列可求得1a 与d 的等量关系，可得出n a 、n S 的表达式，进而可判断各选项的正误. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则8118788282S a d a d ⨯=+=+，9119899362S a d a d ⨯=+=+，因为12a 、8S 、9S 成等差数列，则81922S a S =+，即11116562936a d a a d +=++，解得14a d =-，()()115n a a n d n d ∴=+-=-，()()219122n n n d n n d S na --=+=. 对于A 选项，59233412a a d d +=⨯=，()2888942d S d -⨯==-，A 选项错误；对于B 选项，()2229272d Sd -⨯==-，()2779772d Sd -⨯==-，B 选项正确；对于C 选项，()2298192224n d d S n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.若0d >，则4S 或5S 最小；若0d <，则4S 或5S 最大.C 选项错误；对于D 选项，50a =，D 选项正确. 故选：BD. 【点睛】在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a 1和d 等基本量，通过建立方程（组）获得解，另外在求解等差数列前n 项和n S 的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的单调性来求解.9．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，且满足10a >，1118S S =，则对n S 描述正确的有（） A ．14S 是唯一最小值 B ．15S 是最小值 C ．290S = D ．15S 是最大值解析：CD 【分析】根据等差数列中1118S S =可得数列的公差0d <，再根据二次函数的性质可知15S 是最大值，同时可得150a =，进而得到290S =，即可得答案；【详解】1118S S =，∴0d <，设2n S An Bn =+，则点(,)n n S 在抛物线2y Ax Bx =+上，抛物线的开口向下，对称轴为14.5x =，∴1514S S =且为n S 的最大值，1118S S =12131815070a a a a ⇒+++=⇒=，∴129291529()2902a a S a +===，故选：CD. 【点睛】本题考查利用二次函数的性质研究等差数列的前n 项和的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则（） A ．若59S >S ，则150S > B ．若59S =S ，则7S 是n S 中最大的项 C ．若67S S >，则78S S > D ．若67S S >则56S S >.解析：BC 【分析】根据等差数列的前n 项和性质判断．【详解】A 错：67895911415000S a a a a a S a S ⇒+++<>⇒+<⇒<；B 对：n S 对称轴为n =7；C 对：6770S S a >⇒<，又10a >，887700a S a d S ⇒⇒<<⇒<>；D 错：6770S S a >⇒<，但不能得出6a 是否为负，因此不一定有56S S >．故选：BC ．【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前n 项和性质，（1）n S 是关于n 的二次函数，可以利用二次函数性质得最值；（2）1n n n S S a -=+，可由n a 的正负确定n S 与1n S -的大小；（3）1()2n n n a a S +=，因此可由1n a a +的正负确定n S 的正负． 11．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 解析：ABCD 【分析】由题意可得数列{}n a 满足递推关系12211,1,(3)n n n a a a a a n --===+≥，对照四个选项可得正确答案. 【详解】对A ，写出数列的前6项为1,1,2,3,5,8，故A 正确；对B ，71123581333S =++++++=，故B 正确；对C ，由12a a =，342a a a =-，564a a a =-，……，201920202018a a a =-，可得：135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=.故1352019a a a a +++⋅⋅⋅+是斐波那契数列中的第2020项.对D ，斐波那契数列总有21n n n a a a ++=+，则2121a a a =，()222312321a a a a a a a a =-=-，()233423423a a a a a a a a =-=-，……，()220182018201920172018201920172018a a a a a a a a =-=-，220192019202020192018a a a a a =-2222123201920192020a a a a a a +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，故D 正确；故选：ABCD. 【点睛】本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，考查方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意递推关系的灵活转换.12．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（） A ．0d 时n 的最小值为8解析：BD 【分析】由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；()()()22171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -⎡⎤--⎛⎫=+=-+==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误；令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.故选：BD.13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（） A ．23n S n n =- B ．2392-=n n nSC ．36n a n =-D ．2n a n =解析：BC【分析】由已知条件列方程组，求出公差和首项，从而可求出通项公式和前n 项和公式【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=，故选：BC14．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（） A ．2 B ．5C ．3D ．4解析：BD 【分析】利用递推关系可得1211n n a a n -=+-，再利用数列的单调性即可得出答案．【详解】解：∵23n n n S a +=， ∴2n ≥时，112133n n n n n n n a S S a a --++=-=-，化为：112111n n a n a n n -+==+--，由于数列21n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭单调递减，可得：2n =时，21n -取得最大值2． ∴1nn a a -的最大值为3．故选：BD ．【点睛】本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2解析：ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n<+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立，由12n -第增，且31222n ≤-<，所以32a <，综上可得：322a -≤<，故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 16．已知数列{}n a 中，11a =，1111n n a a n n +⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈.若对于任意的[]1,2t ∈，不等式()22212na t a t a a n<--++-+恒成立，则实数a 可能为（） A ．－4 B ．－2C ．0D ．2解析：AB 【分析】由题意可得11111n n a a n n n n +-=-++，利用裂项相相消法求和求出122n a n n=-<，只需()222122t a t a a --++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，转化为()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.【详解】111n n n a a n n++-=，11111(1)1n n a a n n n n n n +∴-==-+++，则11111n n a a n n n n --=---，12111221n n a a n n n n ---=-----，，2111122a a -=-，上述式子累加可得：111n a a n n -=-，122n a n n∴=-<， ()222122t a t a a ∴--++-+≥对于任意的[]1,2t ∈恒成立，整理得()()210t a t a --+≤⎡⎤⎣⎦对于任意的[]1,2t ∈恒成立，对A ，当4a =-时，不等式()()2540t t +-≤，解集5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故A 正确；对B ，当2a =-时，不等式()()2320t t +-≤，解集3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，包含[]1,2，故B 正确；对C ，当0a =时，不等式()210t t +≤，解集1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故C 错误；对D ，当2a =时，不等式()()2120t t -+≤，解集12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，不包含[]1,2，故D 错误，故选：AB. 【点睛】本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题. 17．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >解析：BC 【分析】根据递推公式，得到11n n nn n a a a +-=-，令1n =，得到121a a =，可判断A 错，B 正确；根据求和公式，得到1n n nS a +=，求出201920202019S a =，可得C 正确，D 错. 【详解】由121n n n a n a a n +=+-可知2111n n n n na n n n a a a a ++--==+，即11n n n n n a a a +-=-，当1n =时，则121a a =，即得到121a a =，故选项B 正确；1a 无法计算，故A 错； 1221321111102110n n n n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1n n S a n +=，则201920202019S a =，故选项C 正确，选项D 错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：由递推公式求通项公式的常用方法：（1）累加法，形如()1n n a a f n +=+的数列，求通项时，常用累加法求解；（2）累乘法，形如()1n na f n a +=的数列，求通项时，常用累乘法求解；（3）构造法，形如1n n a pa q +=+（0p ≠且1p ≠，0q ≠，n ∈+N ）的数列，求通项时，常需要构造成等比数列求解；（4）已知n a 与n S 的关系求通项时，一般可根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解.18．题目文件丢失！19．题目文件丢失！20．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减 D ．数列{}n S 有最大值解析：ABD 【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD. 【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确；由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确. 故选：ABD.。

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高考数学一轮复习等差数列专题训练（含答
案）
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

查字典数学网为考生整理了等差数列专题训练，请考生认真做题。

一、填空题
1.(2019重庆高考)若2，a，b，c,9成等差数列，则c-a=________. [解析] 由题意得该等差数列的公差d==，
所以c-a=2d=.
[答案]
2.在等差数列{an}中，d=2，a15=-10，则S15=________. [解析] 由a15=a1+142=-10得a1=-38，
所以S15===-360.
[答案] -360
3.等差数列{an}前9项的和等于前4项的和，若a1=1，
ak+a4=0，则k=________.
[解析] 由S9-S4=0，即a5+a6+a7+a8+a9=0，即a7=0.
又ak+a4=0=2a7，故k=10.
[答案] 10
4.(2019福建高考改编)等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为________.
[解析] 法一：设等差数列{an}的公差为d，由题意得
解得d=2.
法二：在等差数列{an}中，a1+a5=2a3=10，a3=5.
又a4=7，公差d=7-5=2.
[答案] 2
5.如果等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，那么
a3+a4++a9=________.
[解析] 等差数列{an}中，a5+a6+a7=15，由等差数列的性质可得3a6=15，解得a6=5.
那么a3+a4++a9=7a6=35.
[答案] 35
6.《九章算术》竹九节问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.
[解析] 设自上第一节竹子容量为a1，则第9节容量为a9，且数列{an}为等差数列.
则
解之得a1=，d=，
故a5=a1+4d=.
[答案]
7.(2019辽宁高考改编)在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则该数列前11项和S11=________.
[解析] S11===88.
[答案] 88
8.(2019重庆高考)已知{an}是等差数列，a1=1，公差d0，Sn 为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=________. [解析] a1，a2，a5成等比数列，a=a1a5，
(1+d)2=1(4d+1)，d2-2d=0.
d0，d=2.
S8=81+2=64.
[答案] 64
二、解答题
9.(2019湖北高考)已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n+800?若存在，求n的最小值;若不存在，说明理由. [解] (1)设等差数列{an}的公差为d，依题意，2,2+d,2+4d成等比数列，故有(2+d)2=2(2+4d)，
化简得d2-4d=0，解得d=0或d=4.
当d=0时，an=2;
当d=4时，an=2+(n-1)4=4n-2，
从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.
(2)当an=2时，Sn=2n.显然2n60n+800，
此时不存在正整数n，使得Sn60n+800成立.
当an=4n-2时，Sn==2n2.
令2n260n+800，即n2-30n-4000，
解得n40或n-10(舍去)，
此时存在正整数n，使得Sn60n+800成立，n的最小值为41. 综上，当an=2时，不存在满足题意的n;
当an=4n-2时，存在满足题意的n，其最小值为41.
10.(2019福建高考)已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn.
(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1;
(2)若S5a1a9，求a1的取值范围.
[解] (1)因为数列{an}的公差d=1，且1，a1，a3成等比数列，所以a=1(a1+2)，
即a-a1-2=0，解得a1=-1或a1=2.
(2)因为数列{an}的公差d=1，且S5a1a9，
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。

我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。

我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。

所以5a1+10a+8a1，
唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，
其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远。

而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”。

“教授”和“助教”均原为学官称谓。

前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒。

“助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰。

唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官。

至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员。

至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了。

即a+3a1-100，解得-5
观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观察过程中指导。

我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察，观察与说话相结合，在观察中积累词汇，理解词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观察雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么样子的，有的孩子说：
乌云像大海的波浪。

有的孩子说“乌云跑得飞快。

”我加以肯定说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这就是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得怎样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观察，让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。

雨后，我又带幼儿观察晴朗的天空，朗诵自编的一首儿歌：“蓝天高，白云飘，鸟儿飞，树儿摇，太阳公公咪咪笑。

”这样抓住特征见景生情，幼儿不仅印象深刻，对雷雨前后气象变化的词语学得快，记得牢，而且会应用。

我还在观察的基础上，引导幼儿联想，让他们与以往学的词语、生活经验联系起来，在发展想象力中发展语言。

如啄木鸟的嘴是长长的，尖尖的，硬硬的，像医生用的手术刀―样，给大树开刀治病。

通过联想，幼儿能够生动形象地描述观察对象。

等差数列专题训练的全部内容就是这些，查字典数学网希望考生可以考上自己理想的大学。