立体几何中线面平行的经典方法 经典题(附详细解答)

D

B A 1

A F

高中立体几何证明平行的专题(基本方法)

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。 (1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；

分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四

边形

2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.

（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；

分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形

3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：

（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA

（第1题图）

4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,

,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点,

证明: //EB PAD 平面;

分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。

分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线

6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。 求证： PA ∥平面BDE

7．如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中， D 为AC 的中点. 求证：AB 1//面BDC 1；

分析：连B 1C 交BC 1于点E ，易证ED 是

△B 1AC 的中位线

8、如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，

090,BAD FAB BC

∠=∠=//=

1

2

AD ，BE //=

1

2

AF ，,G H 分别为,FA FD 的中点 （Ⅰ）证明：四边形BCHG 是平行四边形； （Ⅱ）,,,C D F E 四点是否共面？为什么？

A

B

C

D

E

F G M

D

（.3） 利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中O 为正方形ABCD 的中心，M 为BB 1的中点， 求证： D 1O//平面A 1BC 1;

分析：连D 1B 1交A 1C 1于O 1点，易证四边形OBB 1O 1 是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD 中，AB ∥CD ，AB=

2

1

DC ，为PD E 求证：AE ∥平面PBC ；

分析：取PC 的中点F ，连EF 则易证ABFE 是平行四边形

11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB=90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ; （Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小．

（I ）证法一：

因为EF//AB ，FG//BC ，EG//AC ，90ACB ∠=︒， 所以90,EGF ABC ∠=︒∆∽.EFG ∆ 由于AB=2EF ，因此，BC=2FC ， 连接AF ，由于FG//BC ，BC FG

2

1

=

在ABCD 中，M 是线段AD 的中点，则AM//BC ，且BC AM 2

1

=

因此FG//AM 且FG=AM ，所以四边形AFGM 为平行四边形，因此GM//FA 。 又FA ⊂平面ABFE ，GM ⊄平面ABFE ，所以GM//平面AB 。

(4)利用对应线段成比例

12、如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，M 、N 分别是SA 、BD 上的点，且SM AM =ND

BN

， 求证：MN ∥平面SDC

分析：过M 作ME//AD ，过N 作NF//AD 利用相似比易证MNFE 是平行四边形

13、如图正方形ABCD 与ABEF 交于AB ，M ，N 分别为AC 和BF 上的点且AM=FN 求证：MN ∥平面BEC

分析：过M 作MG//AB ，过N 作NH/AB 利用相似比易证MNHG 是平行四边形

(5)利用面面平行

14、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，PB=BC=CA ，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ；

分析: 取AF 的中点N ，连CN 、MN ，易证平面CMN//EFB

直线、平面平行的判定及其性质 经典题（附详细解答）

一、选择题

1．下列条件中,能判断两个平面平行的是( ) A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面; B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面 C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2．E ，F ，G 分别是四面体ABCD 的棱BC ，CD ，DA 的中点，则此四面体中与过E ，F ，G 的截面平行的棱的条数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3． 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）

A ．//,a b αα⊂

B ．//,//a b αα

C ．//,//a c b c

D ．//,a b ααβ= 4．若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ） A ．α内的所有直线与m 异面 B ．α内不存在与m 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与m 平行 D ．α内的直线与m 都相交 5．下列命题中，假命题的个数是（ ）

① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1 6．已知空间四边形ABCD 中，,M N 分别是,AB CD 的中点，则下列判断正确的是（ ） A ．()12

MN AC BC ≥+ B ．()12MN AC BC ≤+

C ．()12

MN AC BC =+ D ．()12

MN AC BC <+

二、填空题

7．在四面体ABCD 中，M ，N 分别是面△ACD ，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________.

8．如下图所示，四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P

分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP 的图形的序号的是

①②③④

9．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1中点，则BD 1和平面ACE 位置关系是 ．