人教版必修高一数学第三章三角恒等变换测试题及答案

高中数学必修4第三章《三角恒等变换》测试题A 卷

考试时间：100分钟，满分：150分

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.

1．计算1－°的结果等于 ( )

2．cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)等于 ( )

C ．－12

D ．－3

2

3．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α的值为 ( ) B ．－78 D ．－3

4

4．若tan α＝3，tan β＝4

3，则tan(α－β)等于 ( )

A ．－3

B ．－1

3

C ．3

5．cos 2

75°＋cos 2

15°＋cos75°·cos15°的值是( )

D ．1＋

23

6．y ＝cos 2

x －sin 2

x ＋2sin x cos x 的最小值是 ( ) B ．－ 2 C ．2

D ．－2

7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值为 ( ) B ．－1

3

D ．－233

等于 ( ) C ．2

9．把12[sin2θ＋cos(π3－2θ)]－sin π12cos(π

12＋2θ)化简，可得 ( )

A ．sin2θ

B ．－sin2θ

C ．cos2θ

D ．－cos2θ

10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)·tan α的值为 ( ) A ．±4 B ．4 C ．－4 D ．1 二、填空题（每小题6分，共计24分）. 11．(1＋tan17°)(1＋tan28°)＝________.

12．化简3tan12°－3

sin12°·4cos 2

12°－2

的结果为________． 13．若α、β为锐角，且cos α＝110，sin β＝2

5

，则α＋β＝______.

14．函数f (x )＝sin ⎝

⎛⎭⎪⎫2x －π4－22sin 2

x 的最小正周期是________．

三、解答题（共76分）.

15.（本题满分12分）已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2

α

1－tan α的值．

16.（本题满分12分）已知α、β均为锐角，且cos α＝25

，sin β＝

310

，求α－β的

值．

17.（本题满分12分）求证：1sin 210°－3

cos 210°＝32cos20°.

18.（本题满分12分）已知－π2<α<π2，－π2<β<π2

，且tan α、tan β是方程x 2

＋6x ＋7

＝0的两个根，求α＋β的值．

19.（本题满分14分）已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝1

5，求：

(1)sin x －cos x 的值；

(2)求3sin 2

x 2－2sin x 2cos x

2＋cos

2

x

2

tan x ＋

1

tan x

的值．

20.（本题满分14分）已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2

x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2＋φ(0＜φ＜

π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12. (1)求φ的值；

(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的1

2

，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )

的图象，求函数g (x )在⎣

⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．

高中数学必修4第三章《三角恒等变换》测试题A 卷参考答

案

一、

选择题

1. 【答案】B.

【解析】 1－°＝cos45°＝2

2

，故选B. 2. 【答案】B.

【解析】 cos39°cos(－9°)－sin39°sin(－9°)＝cos(39°－9°)＝cos30°＝32

. 3. 【答案】B.

【解析】 sin2α＝cos(2α－π2)＝2cos 2⎝

⎛⎭⎪⎫α－π4－1＝－78. 4. 【答案】 D

【解析】 tan(α－β)＝tan α－tan β

1＋tan αtan β

＝

3－43

1＋3×

43＝13.

5. 【答案】 A

【解析】 原式＝sin 215°＋cos 2

15°＋sin15°cos15°＝1＋12si n30°＝54.

6. 【答案】 B

【解析】y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π

4

)，∴y max ＝－ 2.

7. 【答案】B.

【解析】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π6－α ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－13. 8.【答案】C.

【解析】 3－sin70°2－cos 2

10°＝3－sin70°2－

1＋cos20°2 ＝23－cos20°

3－cos20°

＝2. 9.【答案】A.

【解析】原式＝12[cos(π2－2θ)＋cos(π3－2θ)]－sin π12cos(π12＋2θ)＝cos(5π

12

－

2θ)cos π12－sin π12sin(5π12－2θ)＝cos[(5π12－2θ)＋π12]＝cos(π

2－2θ)＝sin2θ.

10.【答案】C.

【解析】 3cos[(α＋β)＋α]＋5cos β＝0，即3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos β＝0.

3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos[(α＋β)－α]＝0，3cos(α＋β)cos α－3sin(α＋β)sin α＋5cos(α＋β)·cos α＋

5sin(α＋β)sin α＝0，8cos(α＋β)cos α＋2sin(α＋β)sin α＝0，8＋2tan(α＋β)tan α＝0，∴tan(α＋β)tan α＝－4. 二、 填空题 11. 【答案】 2

【解析】原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°，又tan(17°＋28°)＝tan17°＋tan28°

1－tan17°·tan28°＝tan45°＝1，∴tan17°＋tan28°＝1－tan17°·tan28°，代入原

式可得结果为2.

12.【答案】－43

【解析】3tan12°－3sin12°·4cos 2

12°－2＝3tan12°－32sin12°·cos24° ＝3tan12°－32cos12°

2sin12°·cos12°·2cos24°＝23sin 12°－6cos12°

sin48°

＝43sin12°·cos60°－cos12°·sin60°sin48° ＝－43sin48°sin48°

＝－4 3.

13.【答案】3π

4

【解析】∵α、β为锐角，∴sin α＝31010，cos β＝5

5，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－

sin αsin β