南京工业大学高数重点必看期中考试
2023-2024学年江苏省南京市四校高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省南京市四校高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．{2，3}D ．{2}2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +1＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2+2x +1＜0 C ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1＜0D ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1≤03．在下列函数中，函数y ＝|x |表示同一函数的（ ） A ．y =(√x)2 B ．y =√x 33C ．y ={x ，x ≥0，−x ，x ＜0D ．y =x 2|x|4．下列等式成立的是（ ） A ．log 2（8﹣4）＝log 28﹣log 24 B ．log 28log 24=log 284C ．log 223＝3log 22D ．log 2（8+4）＝log 28+log 245．已知函数f(x)={2x +1，x ＜2−x 2+ax ，x ≥2，若f [f （1）]＝﹣6，则实数a 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．16．关于x 的不等式3x+a x−1≤1的解集为[−52，1)，则实数a 的值为（ ） A ．﹣6B ．−72C ．32D ．47．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，设，N ＝45×910，则N 所在的区间为（ ） A ．（1010，1011） B ．（1011，1012）C ．（1012，1013）D ．（1013，1014）8．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f （2x ﹣1）＞f （1）的实数x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．[12，1)二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题合出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在签题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②10．已知P：{xx2+3≥01−4x＞−3，那么命题P的一个必要不充分条件是（）A．0≤x＜1B．﹣1＜x＜1C．0＜x＜1D．x≥011．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则下列结论中正确的是（）A．a2＝4bB．a2﹣b2≤4C．a2+1b≥4D．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），则x1x2＞012．已知函数f(x)=|x|x+1，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在[0，+∞）上单调递增C．函数g（x）＝f（x）﹣x有两个零点D．函数f（x）的值域是（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置．13．若函数f（x）=x(2x+1)(x−a)为奇函数，则a＝．14．已知集合A＝{x|ax2+2x﹣1＝0}，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是．15．已知函数f（x）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，在区间（0，+∞）上是增函数，当x ＞0时，f（x）的图象如图所示．若x[f（x）﹣f（﹣x）]＜0，则实数x的取值范围是．16．若不等式x2﹣（2a+2）x+2a＜0（a＞0）有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为，实数a的取值范围为．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1√xA ，集合B ＝{x |1﹣a ＜x ≤2a +4}（a ＞﹣1）． （1）若a ＝0，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数a 的取值范围． 18．（12分）化简求值：（1）计算lg 25+lg 2lg 50+（lg 2）2： （2）已知a +a ﹣1＝3，求a 4−a −4a 2−a −2的值．19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=15． （1）求a 、b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．20．（12分）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围48m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使每间虎笼面积为36m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？21．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）满足下列两个条件： ①f （x ）＜0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；②f （x ）的最小值为﹣4 （1）求a ，b ，c 的值；（2）求关于x 的不等式f （x ）≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ）的解集． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+a |x ﹣1|． （1）当a ＝2时，求f （x ）的值域；（2）若存在x ∈R ，使得不等式f （x ）≤2x ﹣2成立，求a 的取值范围； （3）讨论函数f （x ）在[0，+∞）上的最小值．2023-2024学年江苏省南京市四校高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2，3，4}B ．{3，4}C ．{2，3}D ．{2}解：∵集合A ＝{x |﹣2＜x ＜4}，B ＝{2，3，4，5}，∴A ∩B ＝{2，3}． 故选：C ．2．命题“∀x ∈R ，x 2+2x +1＞0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+2x +1≤0 B ．∀x ∈R ，x 2+2x +1＜0 C ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1＜0D ．∃x ∈R ，使得x 2+2x +1≤0解：因为命题“∀x ∈R ，x 2+2x +1＞0”是全称命题， 其否定为特称命题，即为：∃x ∈R ，x 2+2x +1≤0， 故选：D ．3．在下列函数中，函数y ＝|x |表示同一函数的（ ） A ．y =(√x)2 B ．y =√x 33C ．y ={x ，x ≥0，−x ，x ＜0D ．y =x 2|x|解：对于A ，函数y =(√x)2=x ，x ≥0，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的定义域不同，不是同一函数；对于B ，函数y =√x 33=x ，x ∈R ，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的对应关系不同，不是同一函数；对于C ，函数y ={x ，x ≥0−x ，x ＜0，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D ，函数y =x 2|x|={x ，x ＞0−x ，x ＜0，与函数y ＝|x |={x ，x ≥0−x ，x ＜0的定义域不同，不是同一函数．故选：C ．4．下列等式成立的是（ ） A ．log 2（8﹣4）＝log 28﹣log 24 B ．log 28log 24=log 284C ．log 223＝3log 22D ．log 2（8+4）＝log 28+log 24解：A ．等式的左边＝log 2（8﹣4）＝log 24＝2，右边＝log 28﹣log 24＝3﹣2＝1，∴A 不成立． B ．等式的左边=log 28log 24=32，右边＝log 282=log 24＝2，∴B 不成立．C ．等式的左边＝3，右边＝3，∴C 成立．D ．等式的左边＝log 2（8+4）＝log 212，右边＝log 28+log 24＝3+2＝5，∴D 不成立． 故选：C ．5．已知函数f(x)={2x +1，x ＜2−x 2+ax ，x ≥2，若f [f （1）]＝﹣6，则实数a 的值为（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．1解：因为f （1）＝21+1＝3，所以f [f （1）]＝f （3）＝﹣32+3a ＝﹣9+3a ＝﹣6， 解得a ＝1． 故选：D ． 6．关于x 的不等式3x+a x−1≤1的解集为[−52，1)，则实数a 的值为（ ）A ．﹣6B ．−72C ．32D ．4解：由3x+a x−1≤1得，3x+a x−1−1≤0，即2x+a+1x−1≤0，因为原不等式的解集为[−52，1)，所以x =−52是方程2x +a +1＝0的根，故a ＝4． 故选：D ．7．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，设，N ＝45×910，则N 所在的区间为（ ） A ．（1010，1011） B ．（1011，1012）C ．（1012，1013）D ．（1013，1014）解：由于N ＝45•910⇒lgN ＝5lg 4+10lg 9＝10lg 2+20lg 3≈12.552， 所以N 所在的区间为（1012，1013）． 故选：C ．8．已知偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，则满足f （2x ﹣1）＞f （1）的实数x 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（1，+∞）C ．（0，1）D ．[12，1)解：因为偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，且满足f（2x﹣1）＞f（1），所以不等式等价于f（|2x﹣1|）＞f（1），即|2x﹣1|＜1，所以﹣1＜2x﹣1＜1，解得0＜x＜1，即x的取值范围是（0，1）．故选：C．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题合出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在签题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的得0分．9．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下列四个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有（）A．①②③④B．①②③C．②③D．②解：根据题意，依次分析4个图形，对于①，其定义域为{x|0≤x≤1}，不符合题意，对于②，符合题意，对于③，符合题意，对于④，集合M中有的元素在集合N中对应两个值，不符合函数定义，故选：C．10．已知P：{xx2+3≥01−4x＞−3，那么命题P的一个必要不充分条件是（）A．0≤x＜1B．﹣1＜x＜1C．0＜x＜1D．x≥0解：解不等式xx2+3≥0得x≥0，解不等式1﹣4x＞﹣3得x＜1，所以P的充要条件为0≤x＜1，故A错误；记A＝[0，1），因为A⫋（﹣1，1），A⫌（0，1）A⫋[0，+∞），所以，BD为命题P的必要不充分条件，C为命题P的充分不必要条件．故选：BD．11．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则下列结论中正确的是（）A．a2＝4bB．a2﹣b2≤4C．a2+1b≥4D．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），则x1x2＞0解：因为函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，所以Δ＝a2﹣4b＝0，即a2＝4b，故A正确；a2﹣b2＝﹣b2+4b＝﹣（b﹣2）2+4≤4，故B正确；a2+1b=4b+1b≥2√4b⋅1b=4，当且仅当4b=1b，即b=12时，等号成立，故C正确；若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}（x1＜x2），则x1x2=−b=−14a2＜0，故D错误．故选：ABC．12．已知函数f(x)=|x|x+1，则（）A．f（x）是奇函数B．f（x）在[0，+∞）上单调递增C．函数g（x）＝f（x）﹣x有两个零点D．函数f（x）的值域是（﹣∞，﹣1）∪[0，+∞）解：由题意得x≠﹣1，定义域关于原点不对称，即f（x）为非奇非偶函数，A错误；当x≥0时，f（x）=xx+1=1−1x+1的单调递增区间为（﹣1，+∞），B正确；f（x）=|x|x+1={xx+1，x≥0−xx+1，x＜0，由f（x）＝x可知x＝0，为一个零点，当x≠0时，若xx+1=x可得x＝0（舍），若−xx+1=x，解得x＝﹣2，即零点为﹣2，0，C正确；当x＞0时，f（x）=xx+1=1−1x+1∈（0，1），当x＜0时，f（x）=−xx+1=−1+1x+1∈（0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），当x＝0时，f（0）＝0，综上，f（x）的值域为[0，+∞）∪（﹣∞，﹣1），D正确．故选：BCD．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．请把答案填涂在答题卡相应位置． 13．若函数f （x ）=x(2x+1)(x−a)为奇函数，则a ＝ ．解：由函数f(x)=x(2x+1)(x−a)为奇函数可得，f （﹣x ）＝﹣f （x ）∴−x (−2x+1(−x−a)=−x(2x+1)(x−a)∴﹣x （2x +1）（x ﹣a ）＝﹣x （2x ﹣1）（x +a ） ∴﹣x （2x 2﹣2ax +x ﹣a ）＝﹣x （2x 2+2ax ﹣x ﹣a ） 即（2a ﹣1）x 2＝0 ∴2a ﹣1＝0即a =12故答案为：1214．已知集合A ＝{x |ax 2+2x ﹣1＝0}，若集合A 中只有一个元素，则实数a 的取值的集合是 ． 解：当a ＝0时，集合A ＝{12}，符合题意，当a ≠0时，集合A 中只有一个元素， 则Δ＝4+4a ＝0，解得a ＝﹣1， 故则实数a 的取值的集合是{0，﹣1}． 故答案为：{0，﹣1}．15．已知函数f （x ）是定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的奇函数，在区间（0，+∞）上是增函数，当x ＞0时，f （x ）的图象如图所示．若x [f （x ）﹣f （﹣x ）]＜0，则实数x 的取值范围是 ．解：∵函数是奇函数，∴不等式x •[f （x ）﹣f （﹣x ）]＜0等价为2x •f （x ）＜0，即xf （x ）＜0， 当x ＞0，f （x ）＜0，由图象知此时0＜x ＜3， 当x ＜0，f （x ）＞0，由奇函数的对称性知﹣3＜x ＜0， 综上不等式的解集为（﹣3，0）∪（0，3）， 故答案为：（﹣3，0）∪（0，3）．16．若不等式x 2﹣（2a +2）x +2a ＜0（a ＞0）有且只有两个整数解，则这两个整数解之和为 ，实数a 的取值范围为 ．解：不等式x 2﹣（2a +2）x +2a ＜0（a ＞0），令x 2﹣（2a +2）x +2a ＝0，则Δ＝（2a +2）2﹣4×2a ＝4a 2+4＞0，所以方程有两个不相等的实数根x 1=a +1−√a 2+1，x 2=a +1+√a 2+1， 因为a ＞0，所以0＜x 1＜1，x 2＞2，故不等式x 2﹣（2a +2）x +2a ＜0（a ＞0）的解集为(a +1−√a 2+1，a +1+√a 2+1)， 由题意可知，不等式有且只有两个整数解， 所以这两个整数解为1和2，则a +1+√a 2+1≤3，解得a ≤34，又a ＞0，所以0＜a ≤34， 故这两个整数解之和为3；实数a 的取值范围为(0，34]． 故答案为：3；(0，34]．四、解答题：本大题共6个小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1√x A ，集合B ＝{x |1﹣a ＜x ≤2a +4}（a ＞﹣1）．（1）若a ＝0，求A ∩B ，A ∪B ；（2）若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，求实数a 的取值范围． 解：（1）由题意得{3−x ≥0x ＞0，解得0＜x ≤3，故A ＝（0，3]，若a ＝0，则B ＝（1，4]，∴A ∩B ＝（1，3]，A ∪B ＝（0，4]； （2）由（1）得A ＝（0，3]，若命题“∀x ∈A ，x ∈B ”是真命题，则A ⊆B ， ∴{a ＞−11−a ≤02a +4≥3，解得a ≥1，故实数a 的取值范围是{a |a ≥1}． 18．（12分）化简求值：（1）计算lg 25+lg 2lg 50+（lg 2）2： （2）已知a +a ﹣1＝3，求a 4−a −4a 2−a −2的值．解：（1）lg 25+lg 2lg 50+（lg 2）2＝2lg 5+lg 2（lg 50+lg 2） ＝2lg 5+lg 2lg 100＝2lg 5+2lg 2＝2（lg 5+lg 2）＝2lg 10＝2． （2）∵a +a ﹣1＝3，则（a +a ﹣1）2＝a ﹣2+a ﹣2+2＝9，∴a 2+a ﹣2＝7，故a 4−a −4a 2−a −2=(a 2+a −2)(a 2−a −2)a 2−a −2=a 2+a −2=7．19．（12分）已知函数f(x)=ax+b x 2+4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=15．（1）求a 、b 的值；（2）用单调性定义证明：函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增． 解：（1）因为f （x ）是定义在（﹣2，2）上的奇函数， 所以f （﹣x ）＝﹣f （x ）在（﹣2，2）上恒成立， 即−ax+b x 2+4=−ax+b x 2+4在（﹣2，2）上恒成立，即﹣ax +b ＝﹣ax ﹣b 恒成立，则b ＝0， 所以f(x)=axx 2+4， 又因为f(1)=15，即a 12+4=15，所以a ＝1．故a ＝1，b ＝0．（2）证明：由（1）可得f(x)=xx 2+4， 任取x 1、x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，则x 2﹣x 1＞0，x 1x 2＜4，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12+4−x 2x 22+4=x 1(x 22+4)−x 2(x 12+4)(x 12+4)(x 22+4) =x 1x 22−x 12x 2+4(x 1−x 2)(x 12+4)(x 22+4)=(x 2−x 1)(x 1x 2−4)(x 12+4)(x 22+4)＜0， 即f （x 1）＜f （x 2），所以函数f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递增．20．（12分）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围48m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使每间虎笼面积为36m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？解：（1）设长为xm ，宽为ym ，x ，y 都为正数，每间虎笼面积为xym 2， 则4x +6y ＝48，即2x +3y ＝24，所以24＝2x +3y ≥2√6xy ，即12≥√6xy ，所以xy ≤24，当2x ＝3y ，即{x =6y =4时等号成立． 所以每间虎笼的长为6m ，宽为4m 时，面积S 的最大值为24m 2；（2）设长为a ，宽为b ，a ，b 都为正数，每间虎笼面积为ab ＝36m 2， 则钢筋网总长为4a +6b ≥2√24ab =2√24×36=24√6，所以钢筋网总长最小为24√6m ，当且仅当4a ＝6b ，即{a =3√6b =2√6时，等号成立． 所以当每间虎笼的长为3√6m 、宽为2√6时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小为24√6m ．21．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ，b ，c ∈R ）满足下列两个条件： ①f （x ）＜0的解集为{x |﹣1＜x ＜3}；②f （x ）的最小值为﹣4（1）求a ，b ，c 的值；（2）求关于x 的不等式f （x ）≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ）的解集．解：（1）由条件知：a ＞0，由①知：ax 2+bx +c ＝0的两根为x 1＝﹣1，x 2＝3，所以{f(−1)=a −b +c =0f(3)=9a +3b +c =0， 由②结合对称性可知：f （x ）min ＝f （1）＝a +b +c ＝﹣4，联立{a −b +c =09a +3b +c =0a +b +c =−4，解得{a =1b =−2c =−3．（2）因为f （x ）≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ），即x 2﹣2x ﹣3≥mx ﹣2m ﹣3（m ∈R ），化简得（x ﹣2）（x ﹣m ）≥0，当m ＜2时，不等式的解集为（﹣∞，m ]∪[2，+∞）；当m ＝2时，不等式的解集为R ；当m ＞2时，不等式的解集为（﹣∞，2]∪[m ，+∞）．22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+a |x ﹣1|．（1）当a ＝2时，求f （x ）的值域；（2）若存在x ∈R ，使得不等式f （x ）≤2x ﹣2成立，求a 的取值范围；（3）讨论函数f （x ）在[0，+∞）上的最小值．解：（1）当a ＝2时，f(x)=x 2+2|x −1|={x 2+2x −2，x ≥1x 2−2x +2，x ＜1， x ≥1时，f （x ）＝（x +1）2﹣3，当x ＝1时f （x ）有最小值1，x ＜1时，f （x ）＝（x ﹣1）2+1，此时f （x ）＞1， 故f （x ）的值域为[1，+∞）；（2）由f （x ）≤2x ﹣2得：（x ﹣1）2+a |x ﹣1|+1≤0（*）， 当x ＝1时，（*）显然不成立，当x ≠1时，a ≤[−(|x −1|+1|x−1|)]max ， 又|x −1|+1|x−1|≥2√|x −1|⋅1|x−1|=2，当且仅当|x −1|=1|x−1|即x ＝0或x ＝2时等号成立， 则−(|x −1|+1|x−1|)≤−2，即[−(|x −1|+1|x−1|)]max =−2， 所以a 的取值范围为（﹣∞，﹣2]．（3）由题知y =f(x)={x 2+ax −a ，x ≥1x 2−ax +a ，0≤x ＜1， 当a ＜﹣2时，−a 2＞1，a 2＜−1， 当x ≥1时，f （x ）的最小值为f(−a 2)=−a 24−a ， 当0≤x ＜1时，f （0）＝a ，−a 24−a ≤a ，即a ≤﹣8时，f(x)min =f(−a 2)=−a 24−a −a 24−a ＞a ，即﹣8＜a ＜﹣2时，f （x ）min ＝f （0）＝a ，当﹣2≤a ≤0时，−1≤a 2≤0，f （0）＝a ＜1，所以f （x ）min ＝f （0）＝a ， 当a ≥﹣2时，−a 2≤1，f （x ）＝x 2+ax ﹣a 在[1，+∞）上的最小值为f （1）＝1， 当0＜a ＜2时，0＜a 2＜1，f(a 2)=−a 24+a ＜a ，所以f(x)min =f(a 2)=−a 24+a ， 当a ≥2时，a 2≥1，f （1）＝1＜a ，所以f （x ）min ＝f （1）＝1． 综上可知：当﹣8＜a ≤0时，f(x)min =f(a 2)=−a 24+a ，当a ≤﹣8时，f(x)min =f(−a 2)=−a 24−a ，当0＜a ＜2时，f(x)min=f(a 2)=−a 24+a ， 当a ≥2时，f （x ）min ＝f （1）＝1．。
江苏高二下数学期中知识点
江苏高二下数学期中知识点江苏高二下数学期中考试知识点数学是一门需要掌握基本知识点的科目，对于江苏高二下学期的学生来说，备考期中考试需要熟悉并掌握以下数学知识点。
一. 高二上学期复习回顾在开始复习高二下学期的数学知识点之前，我们需要对高二上学期的知识进行回顾。
高二上学期的数学主要包括以下几个方面的知识：1. 函数与方程a. 二次函数与一次函数的性质和图像b. 指数函数与对数函数的性质和图像c. 幂函数与反比例函数的性质和图像d. 一元二次方程的解法和应用2. 三角函数a. 三角函数的定义和基本性质b. 三角函数的图像和性质c. 三角函数的运算和应用3. 平面向量a. 平面向量的定义和性质b. 平面向量的运算和应用4. 解析几何a. 一次函数与二次函数的解析几何表示b. 圆的解析几何表示c. 直线和平面的方程表示二. 高二下学期数学知识点了解了高二上学期的数学知识点，我们现在来看一下高二下学期的数学知识点。
高二下学期的数学知识主要包括以下几个方面：1. 排列组合与概率a. 从排列组合的角度解决问题b. 排列与组合两个概念的区别和应用c. 概率的基本定义和性质2. 三角恒等变换和三角方程a. 三角函数的恒等变换公式b. 三角方程的解法和应用技巧3. 导数与微分a. 函数的导数定义和性质b. 利用导数求函数的极值和最值c. 利用导数进行函数图像的绘制和分析4. 积分与定积分a. 定积分的基本概念和性质b. 利用定积分求曲线下面积和弧长c. 定积分在几何和物理问题中的应用5. 数列与数学归纳法a. 数列的概念和性质b. 等差数列与等比数列的求和公式和性质c. 利用数学归纳法证明数列的性质和公式三. 备考建议为了顺利备考江苏高二下学期的数学期中考试，以下是一些建议和复习方法：1. 制定合理的复习计划，按照题目分块进行复习，将重点内容放在前面复习，弱势知识点放在后面复习。
2. 多做题，通过大量的练习来加深对知识点的理解和记忆。
江苏高一高中数学期中考试带答案解析
江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.已知集合，则 .2.函数的定义域为 .3.函数恒过定点 .4.函数是定义在上的奇函数，当时，，则．5.已知幂函数(为常数)的图象经过点，则．6.已知，则这三个数从小到大排列为 .7.已知函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 .8.已知函数若，则实数．9.设集合，要使，则实数的取值范围是．10.函数的值域是．11.若关于的方程的两实根满足，则实数的取值范围是．12.已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调减函数，则不等式的解集是．13.函数在区间上的最大值为4，则实数的值为 .14.定义，若，且直线与的图象有3个交点，横坐标分别为，则的最大值为 .二、解答题1.（本小题满分14分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）.2.（本题满分14分）已知全集，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.3.(本小题满分14分)已知函数.（Ⅰ）试判断函数的单调性并加以证明；（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.4.（本小题满分16分）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品（千台），其总成本为（万元），其中固定成本为万元，并且每生产1千台的生产成本为万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入（万元）满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（Ⅰ）写出利润函数的解析式（利润=销售收入总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少千台产品时，可使盈利最多？5.（本小题满分16分）已知函数是定义在上的奇函数．当时，，且图象过点与点.（Ⅰ）求实数的值，并求函数的解析式；（Ⅱ）若关于的方程有两个不同的实数解，请写出实数的取值范围；（Ⅲ）解关于的不等式，写出解集.6.（本小题满分16分）已知函数（a为常数）.（Ⅰ）若，写出的单调增区间；（Ⅱ）若，设在区间上的最小值为，求的表达式；（Ⅲ）设，若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围.江苏高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.已知集合，则 .【答案】【解析】集合包含1,2,3这三个元素，集合包含2,4这两个元素，包含属于或属于的元素组成的集合，所以.【考点】集合的运算.2.函数的定义域为 .【答案】【解析】要是函数有意义应满足所以【考点】函数的定义域.3.函数恒过定点 .【答案】（1,1）【解析】因为函数，恒过定点（1，0），把函数向上平移一个单位可以得到函数的图像，故顶点也向上平移一个单位，所以函数恒过定点（1,1）.【考点】对数函数.4.函数是定义在上的奇函数，当时，，则．【答案】-3【解析】由已知，由题意函数为奇函数，有，所以【考点】奇函数.5.已知幂函数(为常数)的图象经过点，则．【答案】【解析】设幂函数的解析式为，根据题意得所以幂函数的解析式为.【考点】待定系数法求幂函数.6.已知，则这三个数从小到大排列为 .【答案】【解析】,故这三个数从小到大排列为.【考点】指数函数和对数函数的运算性质.7.已知函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】函数在区间上是单调减函数,应满足函数的对称轴在的右侧，即，解得.【考点】函数的单调性.8.已知函数若，则实数．【答案】【解析】若当时，有解得当时，有解得.【考点】分段函数求值.9.设集合，要使，则实数的取值范围是．【答案】【解析】如图所示，要使，应在1的右侧或1的位置上，所以.【考点】集合的运算.10.函数的值域是．【答案】【解析】设则函数可变形为，因为，函数的对称轴为，所以故函数的值域为.【考点】换元法，求函数的值域.11.若关于的方程的两实根满足，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由已知，可得，应满足且解得【考点】不等式的解集.12.已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调减函数，则不等式的解集是．【答案】【解析】由已知在区间上是单调减函数，在区间上是单调增函数，当，则，有当，则，有不等式的解集是.【考点】函数的单调性.13.函数在区间上的最大值为4，则实数的值为 .【答案】【解析】函数的对称轴为，当时，，则，当时，，则，综上的值为.【考点】函数的最值.14.定义，若，且直线与的图象有3个交点，横坐标分别为，则的最大值为 .【答案】1【解析】作出函数的图象如下图所示：由，解得，由图像可得，当直线与的图象有3个交点时，有，不妨设，则=当且仅当时，等号成立，所以的最大值为1.【考点】分段函数的应用.二、解答题1.（本小题满分14分）计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）2.【解析】（Ⅰ）对的运用；（Ⅱ）时，对，的运用.试题解析：（Ⅰ）原式= =[= 7分（Ⅱ）原式== 14分【考点】指数、对数的运算性质.2.（本题满分14分）已知全集，集合，.（Ⅰ）若，求,；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）,;（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）首先确定当时的集合，再根据集合的并集、交集、补集求出即可；（Ⅱ）由，即集合包含于，可在数轴上表示出集合，确定出即可得出.试题解析：（Ⅰ），3分5分8分（Ⅱ） 12分14分【考点】1、集合的运算；2、集合的关系.3.(本小题满分14分)已知函数.（Ⅰ）试判断函数的单调性并加以证明；（Ⅱ）对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）函数是R上的增函数；（Ⅱ）当【解析】（Ⅰ）根据函数单调性的定义，在定义域范围内，任给，若有则函数是增函数，若有，则函数是减函数，用作差法求，可证出（Ⅱ）求出函数，在R上的值域，若不等式恒成立，只需试题解析：（Ⅰ）函数的定义域为R，函数在R上是增函数 1分设是R内任意两个值，且则6分，又由即是R上的增函数。
高数下册期中复习
高数下册期中复习第八章 空间解析几何与向量代数说明：本章内容期中考试中一般只会出小题，不做为重点，但因为很多知识点在后面的章节中会反复用到，所以将所有知识点罗列如下，其中红色部分公式很重要，要会用，从已知推未知 （一） 向量及其线性运算 1、 线性运算：加减法、数乘；2、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；3、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a =ρ，),,(z y x b b b b =ρ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±ρρ, ),,(z y x a a a a λλλλ=ρ；4、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222zy x r ++=ρ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ρρρ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j uρρρ=，其中ϕ为向量a ρ与u ρ的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a ρρρρ=⋅1）2a a a ρρρ=⋅2）⇔⊥b a ρρ0=⋅b a ρρ z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅ρρ2、 向量积：b a c ρρρ⨯=大小：θsin b a ρρ，方向：c b a ρρρ,,符合右手规则1）0ρρρ=⨯a a2）b a ρρ//⇔0ρρρ=⨯b azy x zy x b b b a a a kj i b a ρρρρρ=⨯运算律：反交换律 b a a b ρρρρ⨯-=⨯（三） 曲面及其方程 1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面：yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f***要会反推，根据已知的曲面知道它是那个平面先后绕哪个轴旋转3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==0),(z y x F 的柱面4、 二次曲面（下面几种曲线最好记下来，期中考试要考的话应该是一个小题，2，3分左右）1） 椭圆锥面：22222z b y a x =+ 2） 椭球面：1222222=++c z b y a x旋转椭球面：1222222=++c z a y a x3） 单叶双曲面：1222222=-+c zb y a x4） 双叶双曲面：1222222=--cz b y a x5） 椭圆抛物面：z by a x =+22226） 双曲抛物面（马鞍面）：z bya x =-22227） 椭圆柱面：12222=+b y a x8） 双曲柱面：12222=-bya x9） 抛物柱面：ay x =2本章从这里往后是下册书的重要基础知识，空间曲线、直线、平面，线面关系，必考，但分不多，出小题，一般单独不出大题，会结合后面的知识出大题（四） 空间曲线及其方程（1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===bt z t a y t a x sin cos3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n =ρ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax截距式方程：1=++czb y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n =ρ，),,(2222C B A n =ρ， 222222212121212121cos CB AC B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A ⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000CB A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s =ρ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nty y mt x x 0004、 两直线的夹角：),,(1111p n m s =ρ，),,(2222p n m s =ρ，222222212121212121cos pn m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin pn m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pCn B m A ==期中考试考试的重点（1）——第九章 第九章 多元函数微分法及其应用 （一） 基本概念1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
高等数学试卷A-1期中试卷解答(14级)
南京工业大学 高等数学A-1期中 试题解答2014 - 2015 学年第1学期 使用班级 江浦2014级本科生一、填空题（本题共4小题，每小题2分，满分8分，请将正确答案填在题后的横线上） 1、极限1sin 3lim(2sin)x x x x x→∞+= 2_ . 2、作直线运动的质点的运动规律为233t t S -=，则它速度开始增加的时刻=t 1_ . 3、设常数0k >，函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点的个数为__2___ . 4、函数 ()y f x =在点x 处可导，且()2f x '=,则当0 x ∆→时，无穷小dy 与x ∆的比较结果是__ 同阶但不等价的无穷小量_.二、求下列函数或数列的极限（每题7分，共28分）（1）200221sin cos lim sin ()cos ]22x x x x xxx →→+-=2220021sin cos sin sin lim 2lim 4()cos ]2x x x x xx x xx x x →→+-+=== （2）tan sin sin tan sin 00(1)lim 1[ln(1)]2x x x x x x x e e x x x -→→-=+-0tan sin tan (1cos )2lim2lim [ln(1)][ln(1)]x x x x x x x x x x x x →→--==+-+- 222122lim21[()]2x x x x x x ο→==--+-（3） 2111lim (sin cos )lim [cos (12sin )]x xx x x x x x→∞→∞+=+211lim (cos )(12sin )x x x e x x→∞=+= 注：0211lim (cos )1,lim(12sin )x x x x e e x x→∞→∞==+=.本题也可利用对数转化求2121ln(sin cos )ln(sin cos )lim lim xx x x xx x x ee→∞++→∞=.（4）1lim(1)n n n n→∞++. 11(123)n n n n n n nn nn n n n=≤++++≤=ln 11limlim 1,lim lim 1x xxxnx nn x ee n →+∞→+∞→∞→∞===∴==由夹逼准则知原极限1lim(1)1n n n n→∞+=.三、求下列函数的导数或微分（每题6分，共24分）（1）设2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩，求dy dx ，22d ydx . 解：2222[ln(1)]12,1[arctan ]1tdy t t t dx t t '++==='+2221()(2)22(1)d y d d y d t t dt dx dx dx dxdx====+.（2）设tan 1xxy e=+，求dy . 解：22(1)sec tan (1)x xx e x x e dy dx e =+-⋅+.（3）2cos2y x x =，求()100y .解：利用Leibnize 公式：()()()()1001009998212221001001002(cos 2)(cos 2)()(cos 2)()2[cos 2100sin 22475cos 2]y x x C x x C x x x x x x x '''=⋅+⋅+⋅=+-注：.本题利用()(cos 2)2cos(2)2n n n x x π=+. （4）求由方程1sin 02x y y -+=所确定的隐函数的二阶导数22d ydx.解：方程1sin 02x y y -+=两边分别对x 求导，得 11cos 02y y y ''-+⋅=，解得2322(sin )4sin ,2cos (2cos )(2cos )y y yy y y y y '-⋅'''===----.四、解答下列各题（1）（8分）求函数23()x x y x x x -=-的间断点及其类型. 解：函数在0x =及1x =处无定义，故其间断点为0x =及1x =; 0x =处：230001lim ()lim lim ,()(1)x x x x x f x x x x x x +++→→→-===∞-+所以0x =是无穷间断点（第二类） 1x =处：2311111lim ()lim lim ,()(1)2x x x x x f x x x x x x →→→-===-+所以1x =是可去间断点（第一类） （2）（12分）问a 为何值时，函数1sin ,0()0,0ax x f x xx ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩在(),-∞+∞上 （i ）连续； （ii ）可导； （iii ）一阶导数连续.解：本题只需考查函数在0x =处的性质即可（i ）由题意0lim ()(0)x f x f →=，即01lim sin 0a x x x+→=，此时0a >.（ii ）100()(0)1(0)limlim sin 0a x x f x f f x x x -→→-'==-,该极限存在，此时1a >,(0)0f '=. （iii ）当1a >时，1211sin cos ,0()0,0a a ax x x f x x xx --⎧->⎪'=⎨⎪≤⎩欲使0lim ()(0)x f x f →''=，即12011lim (sin cos )0a a x ax x x x+--→-=，此时2a >. （3）（10分）设数列{}n x 满足12x π=，1sin n n x x +=，1,2,3,...n =，（i ）试证明此数列极限存在，并求出lim n n x →∞； （ii ）试求211lim()n x n n nx x +→∞.（i ）证明：由归纳假设知，01,1,2,3,...n x n <≤=，又1sin ,n n n x x x +=≤由单调有界准则可知此数列极限存在；令lim ,n n a x →∞=则由1sin n n x x +=，得sin ,a a =故lim 0n n x a →∞==；（ii ）解：220sin ln()111sin cos 11lim limlim1360sin sin lim()lim()lim()x x x n n xx x x x x x n n x x xxn n x nn x x x e e e e x x x →→→---+→∞→∞→======.（4）（10分）以下两题任选其一（仅做一题）（i ）设()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，(0)0f =，(1)(2)0f f +=，证明：至少 存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=。
《高数上期中复习》课件
其他
简单的向量与矩阵
了解向量和矩阵的基本概念和运算规则，掌握向量 与矩阵的应用。
常见的微积分公式整理
总结整理常用的微积分公式和定理，方便复习和应 用。
总结
1
此次复习的收获
回顾本次复习过程中所学的知识，总结自身的学习进步和提升。
2
下一步的备考建议
提出合理的备考建议，并为接下来的学习和考试做好准备。
不定积分的概念与性质
理解不定积分的定义、性质和 基本积分公式，能够计算一元 函数的不定积分。
多元积分学
二重积分的概念与性质
掌握二重积分的定义、性质和 计算方法，了解重积分的几何 意义。
二重积分的计算Байду номын сангаас法及应 用
学习使用直角坐标系和极坐标 系计算二重积分，并应用到曲 面面积、质量等问题。
三重积分的概念与性质
《高数上期中复习》PPT 课件
为了帮助大家更好地复习高数上的知识，这份PPT课件将提供全面的复习内容 和备考指导，让你在期中考试中取得优异的成绩。
导言
高数上期中考试概述
了解本次期中考试的题型、考点和难度等，为备考提供清晰的目标和方向。
备考指导
提供有效的备考建议，包括学习计划、解题技巧和复习重点等，帮助你高效备考。
微积分基础
函数定义及性质
学习函数的基本概念、定义和 性质，掌握函数图像和性态分 析的方法。
一元函数的导数与微分
了解一元函数的导数概念、求 导规则和微分近似计算方法。
一元函数的性质及应用
掌握一元函数的极值、最值、 曲线图、函数的应用等内容。
多元微积分
二元函数的导数及应用
学习二元函数的偏导数、导数 性质和应用，如切平面、梯度 等。
2020年南京多校联考期中考试试题(数学)【答案】
人 ，从这 9 人中选 4 人 ，其中使用血清的人数为 X ，则随机变量 X 的可能值为 0 ，1 ，2 ，3．
因为 P(X = 0) = C30C64 = 5 ，P(X = 1) = C31C63 = 10 ，
C4 9
42
C4 9
21
P(X
=
2)
=
C32C62 C4
9
=
5 14
，P(X
=
3)
=
C33C61 C4
2020 年南京多校联考期中考试试题 数学参考答案
2020.11.05
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9
10 11 12
答案 B D B D C C B A AB AC BCD BCD
题号
13
14
15
16
答案
±m
367209
86
108
17．【解析】
(1)
因为
f
(x)
=
4 3
×1+c2os2x
-
由 M 是侧棱 PC 的中点 ，得 MN ∥ BC．
因为 BC ∥ AD ，所以 MN ∥ AD ，即 M ，N ，A ，D 四点共面． ………………………8 分
因为 PA ⊥ 底面 ABCD ，AD ⊂ 平面 ABCD ，所以 PA ⊥ AD．
又在正方形 ABCD 中 ，有 AD ⊥ AB ，
而 AB ⊂ 平面 PAB ，PA ⊂ 平面 PAB ，且 AB ∩ PA = A ，所以 AD ⊥ 平面 PAB．
又
a1
=
1
>
0
，所以
an
>
0
，且
an＋1 an
高等数学A,B上册期中试卷
共6页 第1页东 南 大 学 考 试 卷课程名称 高等数学A 、B （期中） 考试学期 10-11-2得分适用专业工科类考试形式 闭卷考试时间长度 120分钟一.填空题（每个空格4分，本题满分24分） 1．0limx x→-=；2．已知()3sin (12),0e ,0x x x x f x a x ⎧⎪+>=⎨⎪≤⎩在0x =处连续,则a = ；3．设()arctan e xf x =,则微分d ()f x =_____________ __； 4．设2010()cos f x xx =，则(2010)(0)f =_________ ______；5．设()y y x =是由方程21eyy x =-所确定的隐函数，则(0)y '= ；6．曲线332216x y +=在点(4,4)处的切线方程为 ____. 二.单项选择题（每小题4分，本题满分12分）7．当0x →时，sin x ax -与2ln(1)x bx -是等价无穷小，则 [ ](A) 11,6a b ==-(B) 11,6a b == (C) 11,6a b =-=- (D) 11,6a b =-= 8．函数1arctan21()sin2x x f x x ππ-=的间断点 [ ] （A ）都是可去间断点 （B ）都是跳跃间断点（C ）都是无穷间断点（D ）分别是可去间断点、跳跃间断点与无穷间断点 9．设()f x 在x a =的邻域内有定义，则()f x 在x a =可导的一个充分条件是 [ ]共6页 第1页(A) 1lim ()h h f a f a h →+∞⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭存在 (B ) 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在 (C) 0()()lim2h f a h f a h h →+--存在 (D ) 0()()lim h f a f a h h→--存在三.计算题（每小题8分，本题满分32分）10．求极限 10lim 1e xx x +→⎛⎫+ ⎪⎝⎭11.求极限 22212lim 12n n n n n n n n n →∞+++⎛⎫+++⎪+++⎝⎭共6页 第1页12．设函数()y y x =由参数方程32arctan 3x t t t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩所确定，试求d d y x 、22d d y x .13. 写出函数()ln f x x x =在1x =处的带有Lagrange 余项的3阶Taylor 公式.共6页 第1页四(14).（13分）设a 和b 都是实常数,0b <，定义()sin ,0()0,0a b x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，回答下列问题，并说明理由。
《高数》(上)期中考试复习提纲
《高等数学》期中考试前复习2011.11.1一、函数与极限（一）函数1、函数的定义 （1）映射的定义若,X Y 是两个非空的集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作:(),,()f f f X Y y f x x X D y R f X Y→↔=∈≡∈≡⊂ ()()()f f y f x x D D y f D f D =∈≡∈≡ 简表之 (){()}f R f X f x x X ==∈其中D —映射f 的定义域，)(D f —映射f 的值域，f —映射的对应法则；x —元素y（在映射f 下）的一个原像，y —元素x （在映射f 下）的像，两者关系：()y f x =值得提醒的是，10 ,fx X x y ∀∈−−→是唯一的；而,f y R y x ∀∈−−→未必唯一；20 ?,f f R Y R Y ⊂= （2）函数的定义设数集,D R ⊂，则称映射:f D R →为定义在D 上的函数，通常简记为 (),,(){(),}f y f x x D R f D y y f x x D=∈↔===∈ 式中x —自变量，y —因变量，D —定义域可见，从实数集（或其子集）X 到实数集Y 的映射通常称为定义在X 上的函数 2、函数的表示（1）公式法；（2）图像法；（3）表格法3、函数的形式（1）显式函数 )(x f y =；（2）隐式函数 0),(=y x F ；（3）参数式函数 )(),(t y y t x x ==4、函数的特性 （1）有界性若M x f ≤)(，或M x f m ≤≤)(，则函数具有界性 （2）单调性若↑↑)(,x f x ，则函数)(x f 为单调增函数； 若↓↑)(,x f x ，则函数)(x f 为单调减函数。
注：单调性与区域有关（3）奇偶性若)()(x f x f =-—偶函数； 若)()(x f x f -=-—奇函数 （4）周期性若 )()(x f T x f =+，则函数)(x f 具周期性，周期T 为一最小的正数 注：a) 若)(x f 为周期函数，则()(),f x nT f x n Z +=∈；b) 若,sin x y ω= 则周期ωπ2=T ；c) 奇函数对坐标原点O 对称，其曲线通过坐标原点；偶函数对y 轴对称； d ）奇函数或偶函数，当且仅当函数()y f x =在(,)l l -+或[,]l l -+内（或上） 有定义时才有意义。
南京工业大学高等数学(下)期中试卷
南京工业大学高等数学（下）期中考试试卷班级___________ 学号___ ______姓名_______________成绩 ____（请考生注意：本试卷共 4 页）大题 一 二 三 四 五 六得分一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)1、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,),(222y x y x y x y x y x f 在（0，0）点（）。
（A ）极限不存在 （B ）不连续 （C ）可微分（D ）均存在)0,0(),0,0(y x f f2、椭球面163222=++z y x 上点)3,2,1(--处的切平面与平面1=z 的夹角为（ ）。
（A ）4π（B ）223arccos （C ） 227arccos （D ）167arccos3、z x y x (,)000=和z x y y (,)000=是函数z z x y =(,)在点(,)x y 00处取得极大值或极小值的（ ）。
（A ）必要条件但非充分条件 （B ）充分条件但非必要条件（C ）充要条件 （D ）既非必要条件也非充分条件 4、曲线积分ds y x c⎰+)(22，其中c 是圆心在原点、半径为a 的圆周，则积分为（ ）。
（A ）22a π （B ）3a π （C ） 32a π（D ）π5、曲线积分,422⎰++-=c y x xdy ydx I 其中c 是椭圆1422=+y x ，并取正向，则I 为（ ）。
（A ）π （B ）π2 （C ）π2- （D ）0二、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题分5小题, 每小题3分, 共15分)1、设函数zy x u 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛=，则)1,1,1(du = ____________________________.2、曲面3=++xy z e z在点)0,1,2(M 处的切平面方程是______________________. 3、交换积分次序⎰⎰--=1112______________________________),(x x dy y x f dx4、设则I =_______________.5、设),(y x F 为可微函数，则曲线积分)(),(xdy ydx y x F AB+⎰与路径无关的充要条件是______________________________.三、解答下列各题(本大题共5小题，总计44分) 1、(本小题10分)求函数222222cz b y a x u ++=在点),,(z y x P 处沿此点的向径},,{z y x r = 的方向导数；在什么条件下，此方向导数等于u grad ？2、(本小题10分)(1)设),,ln (2y x y x f z -=f 具有二阶连续偏导数，求,x z ∂∂yx z∂∂∂2。
数学2期中试卷A解答(2018级)
3、(本题 8 分)解：特征方程 r 2 4r 3 0的根为： r1 1, r2 3.
对应齐次方程通解为
yC C1ex C2e3x .
设特解为 yp Axex ，代入方程得
故所求通解为
yp
x 2
ex
.
y
yC
yp
C1ex
C2e3x
1 2
xex
.
4、(本题 7 分)解：
2
原式 3 tetdt 1
et (t 1) 1 3
e 3 ( 3 1) .
x sin2 ( x2 )
4、(本题
7
分)解：原式
lim
x0
x
2
(
x
2 sin
x)
5分 10 分
4分 8分 10 分
3分 5分 8分 10 分
3分
南京工业大学
第1页 共3页
x (x2 )2
lim
f (x)(x)dx
b
(x)dF
(x)
F
(x)(x)b
b
F ( x)( x)dx
a
a
aa
3分
b
F(b)(b) a F(x)(x)dx
7分
F(b)(b) F( )(b) (a) ( a，b (积分第一中值定理))
(b)(F(b) F()) (a)F()
南京工业大学 数学 2 试卷（期中）(参考答案)
2018--2019 学年 第 二 学期 使用班级 海外电子机械 18 级 （注：每步实际得分=该题满分×该步分段分/10）
南京工业大学高数期中试卷
南京工业大学 高等数学A-1期中考试试题（闭）所在院（系） 班级 学号 姓名 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分一．填空（每空2分，计14分）1、已知221)1(x x x x f +=+，则=-)1(xx f2、=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→24244...2211lim n n nn n n 3、已知3ln sin +=xxy ，则=dy 4、曲线53523++-=x x x y 的拐点为5、曲线x bx x a y ++=2ln 在2,121==x x 处取得极值，则=a ，=b6、曲线x x y +=3在1=x 处的曲率半径=R二．选择题（每题3分，计15分）1、⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤=2,sin 0,cos )(00πx x x x x x x f 当当 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上连续，则0x （ ） A 等于21B 等于4πC 等于21D 不存在2、下列结论正确的是（ ）A 无穷多个无穷小之和仍为无穷小B 无穷多个无穷小之积仍为无穷小C 无穷多个无穷大之和仍为无穷大D 无穷小与有界量之积为无穷小 3、设函数)2008)...(2)(1()(---=x x x x x f ，则=')1(f （ ）A !2008-B !2008C !2007-D !20074、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小值，则（ ）A 极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值B 极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值C 极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值D 极大值必大于极小值 5、若在),(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ，则函数)(x f 在此区间内（ ）A 单调减少，曲线是凹的B 单调减少，曲线是凸的C 单调增加，曲线是凹的D 单调增加，曲线是凸的三、计算下列极限（每题5分，计20分）1、⎪⎭⎫ ⎝⎛--→111lim 0x x e x2、xx x x x 20sin sin tan lim -→3、()111sinlim -∞→-n n n n nn 4、xx x tan 01lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→五、计算下列导数或微分（每题5分，计20分）1、x x y 3arcsin 912-=，求y '。
高数上期期中考试和答案
高数上期期中考试和答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 极限的定义是：函数f(x)当x趋近于a时的极限为L，如果对于任意的正数ε，都存在一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-L|<ε，则称f(x)在x=a处的极限为L。
根据极限的定义，下列函数中，极限不存在的是（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = sin(x)C. f(x) = 1/xD. f(x) = 1/x^2答案：C2. 函数f(x) = x^3 - 3x + 2在x=1处的导数为（）。
A. 0B. 3C. -6D. 6答案：B3. 曲线y=x^2+2x-3在点(1,0)处的切线斜率为（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B4. 函数f(x) = e^x的不定积分为（）。
A. e^x + CB. e^x - CC. 1/e^x + CD. 1/e^x - C答案：A5. 以下哪个函数是偶函数（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = sin(x)D. f(x) = cos(x)答案：D6. 以下哪个函数是周期函数（）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = e^xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题5分，共20分）7. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为______。
答案：1/38. 函数f(x) = 2x在区间[1,2]上的定积分为______。
答案：29. 函数f(x) = x^3的不定积分为______。
答案：1/4 * x^4 + C10. 函数f(x) = 1/x的不定积分为______。
答案：ln|x| + C三、计算题（每题10分，共40分）11. 计算极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
答案：-112. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx。
大一高数下册期中知识点
大一高数下册期中知识点大一高等数学是大学数学的基础课程之一，下册主要包含了微分学和积分学的内容。
下面将对下册的期中考试涉及的知识点进行整理和总结。
一、微分学1. 函数的极限与连续- 函数的极限定义及性质- 无穷大与无穷小量- 函数的连续定义及其性质- 初等函数的连续性2. 导数与微分- 导数的定义及其性质- 导数基本公式与运算法则- 高阶导数与高阶微分- 隐函数与参数方程的导数- 反函数与逆函数的导数3. 微分中值定理- 罗尔中值定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理- 极值与最值的判定4. 函数的图形与曲线的凸性- 函数的单调性与绝对值函数- 函数的凸性与凹性- 曲线的拐点与渐近线二、积分学1. 不定积分- 不定积分的概念与性质- 基本积分表- 代换法与分部积分法- 三角函数的积分2. 定积分- 定积分的概念与性质- 牛顿—莱布尼茨公式- 计算定积分的方法（分割求和法、叠加法、定积分的性质）- 定积分在几何学与物理学中的应用3. 积分学的应用- 长度、曲线、平面图形的面积和体积的计算- 常微分方程的初等解法- 物理问题与积分的应用：质心、转动惯量、功与能量、压力与弹力以上就是大一高数下册期中考试涉及的主要知识点。
在备考期中考试时，同学们可以重点复习这些内容，理解并掌握每个知识点的概念、性质和应用方法，进行大量的练习题和习题课。
只有通过不断地巩固和实践，才能真正掌握这些知识，并顺利应对期中考试的挑战。
希望这篇文章对你的学习有所帮助，祝你期中考试顺利！。
江苏高一高中数学期中考试带答案解析
江苏高一高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.设集合，，则____________．2.函数的定义域是____________．3.已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式是____________．4.若方程的解集为，方程的解集为，且，则的值为____________．5.已知函数是偶函数，则实数的值为____________．6.函数的单调递增区间是____________．7.已知函数，则的值为________．8.，，，则、、的大小顺序是________（用大于号连接）．9.函数（且）的图象必经过的定点坐标为____________．10.已知函数，，，若，则的值为____________．11.已知函数是定义在上的奇函数，且单调递减，若，则实数的取值范围为____________．12.函数的图象的大致形状是____________（填正确的序号）．13.若函数是上的增函数，则实数的取值范围为____________．14.若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中：①；②；③；④，能称为“理想函数”的有____________（写出所有满足要求的函数的序号）．二、解答题1.记函数的定义域为集合，函数的值域为集合．（1）求；（2）设集合，若，求实数的取值范围．2.求下列各式的值：（1）（2）（其中…）3.设函数，其中为常数，且．（1）求的值；（2）若，求的取值范围．4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中表示鱼的耗氧量的单位数．（1）当一条鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是多少？（2）若鱼的游速范围是，求鱼耗氧量的单位数的取值范围．5.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，写出判断过程；（2）证明在区间是单调减函数，在区间上是单调增函数；（3）当时，试求函数的最大值或最小值．6.已知函数．（1）求在区间上的最小值；（2）在给出的直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象写出其单调减区间．（3）若关于的方程至少有三个不相等的实根，求实数的取值范围．江苏高一高中数学期中考试答案及解析一、填空题1.设集合，，则____________．【答案】【解析】根据并集的定义知，，故填.2.函数的定义域是____________．【答案】【解析】要使函数有意义则需，解得，故填.3.已知幂函数的图象过点，则这个函数的解析式是____________．【答案】【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以幂函数解析式是.4.若方程的解集为，方程的解集为，且，则的值为____________．【答案】19【解析】因为，所以解得，，解得，所以，故填19.5.已知函数是偶函数，则实数的值为____________．【答案】1【解析】因为函数是偶函数，所以，即，所以，解得，故填1.6.函数的单调递增区间是____________．【答案】【解析】因为，所以函数的单调递增区间是，故填.7.已知函数，则的值为________．【答案】【解析】根据分段函数的解析式知，，所以，故填.8.，，，则、、的大小顺序是________（用大于号连接）．【答案】【解析】因为，，，所以，故填.点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．9.函数（且）的图象必经过的定点坐标为____________．【答案】【解析】因为当，即时，，所以函数图象必过定点，故填.10.已知函数，，，若，则的值为____________．【答案】【解析】令，显然是奇函数，又，所以，根据奇函数的性质，所以，故填.11.已知函数是定义在上的奇函数，且单调递减，若，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】由原不等式可得：，又函数是奇函数，所以不等式可化为，根据函数是R上的减函数可得：，解得，故填.12.函数的图象的大致形状是____________（填正确的序号）．【答案】④【解析】当时，，当时，，所以时函数是减函数，时函数是增函数，且图象是的部分关于x轴的对称图形，故其图像如图，故填④.13.若函数是上的增函数，则实数的取值范围为____________．【答案】【解析】因为函数是上的增函数，所以是增函数，且，所以解得：，故填.点睛：本题考查分段函数的单调性，一次函数单调性，指数函数单调性，属于中档题.解题时，需要考虑两段函数都是增函数或减函数，其次考虑两段函数的分界点，如果是增函数，则左侧函数的最大值要小于等于右侧函数的最小值，反之，左侧函数的最小值要大于等于右侧函数的最大值.14.若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中：①；②；③；④，能称为“理想函数”的有____________（写出所有满足要求的函数的序号）．【答案】③【解析】满足①对于定义域上的任意,恒有的函数为奇函数；满足②对于定义域上的任意,当时,恒有的函数在定义域上为增函数，所以既是奇函数又是增函数的函数为“理想函数”；因为为奇函数，在，上为减函数，故（1）不是“理想函数”；因为不是减函数，所以（2）不是“理想函数”；由函数的图象，得（3）是“理想函数”；故填（3）．【考点】1．函数的奇偶性；2．函数的单调性；3．函数的图象．二、解答题1.记函数的定义域为集合，函数的值域为集合．（1）求；（2）设集合，若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）分别求出函数的定义域和的值域，求其交集即可；（2）根据子集的概念，结合数轴即可得出端点的大小关系，求解即可.试题解析：（1）要使函数有意义则，解得，所以，因为，所以，故；（2）因为，所以.2.求下列各式的值：（1）（2）（其中…）【答案】⑴3；⑵【解析】（1）根据对数的运算法则运算即可；（2）根据实数指数幂的运算法则运算.试题解析：（1）；（2）.3.设函数，其中为常数，且．（1）求的值；（2）若，求的取值范围．【答案】⑴；⑵【解析】（1）根据函数解析式，代入条件即可解出；（2）利用指数函数的增减性可解出不等式，注意转化为同底的指数.试题解析：（1）因为，且，所以，解得；（2）由（1）知，转化为，所以，解得：，故取值范围.4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数，单位是，其中表示鱼的耗氧量的单位数．（1）当一条鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是多少？（2）若鱼的游速范围是，求鱼耗氧量的单位数的取值范围．【答案】⑴；⑵【解析】（1）代入，直接计算得结果；（2）由可得鱼耗氧量的单位数的取值范围．试题解析：（1）（2）5.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，写出判断过程；（2）证明在区间是单调减函数，在区间上是单调增函数；（3）当时，试求函数的最大值或最小值．【答案】⑴奇函数；⑵证明见解析；⑶，最大值不存在【解析】（1）利用函数奇偶性定义判断与的关系，在定义域关于原点对称的前提下，相等为偶函数，相反为奇函数；（2）利用函数单调性定义的方法证明，关键是作差后判断正负；（3）利用（2）中单调性的结论，可知其有最小值无最大值.试题解析：（1）定义域关于原点对称，，所以是奇函数.（2）证：，当时，，当时，，所以在区间是单调减函数，在区间上是单调增函数.（3）在，∴，最大值不存在点睛：本题主要考查函数的奇偶性的判定，函数单调性的定义法证明，同时考查了单调性的应用，属于中档题.解题时，一定要注意判断奇偶性时，先分析函数的定义域是否关于原点对称，单调性定义法证明时，作差后一定要变形到位，一般为几个因式相乘的形式，然后判断差的正负作出结论.6.已知函数．（1）求在区间上的最小值；（2）在给出的直角坐标系中，作出函数的图象，并根据图象写出其单调减区间．（3）若关于的方程至少有三个不相等的实根，求实数的取值范围．【答案】⑴；（2）详见解析；（3）【解析】（1）配方后分类讨论，即可求出函数在区间上的最小值；（2）根据解析式，作出函数的图象，然后写出单调减区间；（3）作出的图象，再作出，观察图象的交点个数，得出的取值范围.试题解析：（1）对称轴为，时，.（2），（3），作图，观察图象知：.点睛：本题涉及分段函数，二次函数，指数函数，以及函数零点，方程，图像等概念和知识，综合性较强，属于难题。
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2. 求极限（每题５分）
(1). lim (
n
1 n6 n
1 xa
2
2
n 6 2n
n
2
n6 n2
)
sin x (2). lim ( ) (a n ) x a sin a 1 x sin x 1 (3) lim x2 x 0 e 1
x xx (4). lim x 1 1 x ln x
d2y x ln 1 t 2 6. (7分) ,求 . 2 dx y arctan t
2
7.(7分)证明：当x 0, e 1 (1 x) ln( 1 x)
x
8.(7分) 设f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)上可导， f (a) f (b) 0, 证明 (a, b), 使f ( ) f ( ) 0. (为一实数）
(7)．已知 lim
x 0
1 f ( x) sin 2 x 1 2，则 lim f ( x) 。 3x x 0 e 1
x (8) 方程f ( x) ln x k 0(k 0)有 个实根. e
(9) 函数y = x － sinx 在 [0 ，2π] 上的单调
cos x cos 2 x (1)若f ( x) x2 k 则k
期中考试试卷 1.选择与填空（每题３分）
2006.11
x0
在x 0连续， x0
(2)
f ( x) x( x 1)( x 2)( x 100), f (0)
.
2 x 0, b(1 x ) (3). f ( x) ax 在x 0处可导，则 x 0. e （A) a 1, b 1. ( B). a 2, b 1.
3.(8分)设f ( x)
1 1 e
x x 1
, 讨论间断点及类型.
1 x 1
2
1 1 2 4.(8分)设 y arctan 1 x ln 2 4
1 x2 1
y
,
求 y. 5.(8分)设函数y f ( x)由方程 x y
x
d y ( x 0, y 0)所确定, 求 . 2 dx
（C ) 求f ( x) ( x e )
2 3 x (10)
.
xc x (5) lim ( ) 4(c 0), c x x c
(6). 设函数y y( x)由方程e y xy e所确定，则y(0)
9. (8分) 在一个底圆半径为R, 高为H的圆锥体内作一正圆柱体 （圆柱体的一个底面与圆锥体底面重合），求该圆柱体的 最大体积
.