南京工业大学期末高等数学A试卷A

南京工业大学期末高等

数学A试卷A

TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】

南京工业大学 高等数学A-2 试卷（A ）卷（闭）

2010--2011学年 第 二 学期 使用班级 江浦10级 学院 __ 班级 __学号 __ 姓名 __ ___

一、选择

题

（本题共4小题，每小题3分，满分12分，每小题给出四个选项，请将正确答案填在题后的括号内）

1．若),(y x f 在),(00y x 处可微，则在),(00y x 点下列结论中不一定成立的是（ C ）

)(A 连续 )(B 偏导数存在 )(C 偏导数连续 )(D 切平面存在

2. 直线

011523

1

2325=--+-=-+=-z y x z y x 与平面的位置关系是（ D ） )(A 平行但不在平面上 )(B 在平面上 )(C 垂直 )(D 斜交

3. 若曲面∑：2222a z y x =++，则2()x y z dS ∑

++⎰⎰＝（ C ）

4．设)11ln()1(n

u n n +

-=，则级数（ B ）

)(A ∑∞

=1n n u 与∑∞

=12

n n u 都收敛 )(B ∑∞

=1n n u 收敛而∑∞

=1

2

n n u 发散

)(C ∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

2

n n u 都发散 )(D ∑∞=1

n n u 发散而∑∞

=1

2

n n u 收敛

二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分，请将正确答案填在题后的横线上）

1．已知矢量,a b 的模分别为()

2

||2,||2,6a b a b a b

==⋅=⨯=及，则 2 __ 。

⒉ 已知=+=)1,1(),1ln(dz y x

z 则 ()12

dx dy - 。

3．幂级数1(1)2n

n n x n

∞

=-⋅∑的收敛域是 [)1,3- ____ 。

4．设函数⎩⎨⎧≤<+≤<--=ππx x x x f 0,10,

1)(2

，则其以π2为周期的傅里叶级数在点π=x 处收敛于 _ 。

三、计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分，写出必要的解题过程） 1．求过点)2,1,3(-且通过直线43:

521

x y z

L -+==的平面方程。 由已知点)0,3,4(),2,1,3(--B A 在平面上，直线L 的方向向量为)1,2,5(=s

则)2,4,1(-=AB ，所求平面的法向量为)22,9,8(-=⨯=s AB n

平面直线的方程为0)2(22)1(9)3(8=+----z y x 即为0592298=---z y x

2. 设

ln x z z y = ，求,z z x y ∂∂∂∂。 1,,ln ln 1x y z z

F F F y z y

==

=--; 3. 计算积分y

x

D

e dxdy ⎰⎰，其中2:,2D y x y x ==由所围成的区域。

4. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度

1μ=）。

四、计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分，写出必要的解题过程）

1．设(,)z f x xy =，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z

x y

∂∂∂。

2. 设22(,,)x y z f x y z e x y =++,

(1) 求f 在点()1,1,1P 处的梯度; (2) 求f 在点()1,1,1P 处方向导数的最大值。 3．计算曲面积分()()

⎰⎰∑

-+++=dxdy z dzdx z y dydz xz I 322912

其中∑为曲面122

++=y x z ()21≤≤z ，取下侧。

4. 将函数()21

32

f x x x =-+展开成()3x -的幂级数，并求展开式成立的区间。

五、应用题题（本题满7分）

求质点(,)M x y )受作用力j x y i x y F )2()3(-++=沿路径L 所作的功W ，其中L 是沿椭圆2244x y +=顺时针方向的一周。 六、综合题（本题满7分）

某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为

xy y x y x c -+=222),( （万元）

若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？

七、证明题（本题满6分）

设40

tan d n

n a x x π

=⎰，证明：级数∑∞

=++12)(1

n n n a a n

收敛于1。