不可压缩流动的数值方法初步

1 1 n n 1/2 Lh [uin, u ] f j i, j i, j 2 Re G (*)i , j Dx (*)i Dy (*) j Dy (*)i , j (*)i , j 1/2 (*)i , j 1/2 y (*)i , j (*)i , j 1
(7.2.4)
u y
(7.2.5) (7.2.6)
满足
2
求解过程：通过(7.2.4)计算涡量； 通过(7.2.6)计算流函数； 通过(7.2.5)计算速度分量。 如果需要计算压力，把x方向的动量方程对x求导数，把y方向的动量方程对y求导数， 二者求和后，利用连续性方程，可以得到压力的Poisson方程，
计算二维不可压缩Navier-Stokes方程的有效算法。 基本思想：对Navier-Stokes方程进行变换，写成涡量 流函数的形式。
7.2.1 基本方程
u v 0 x y u u p 1 2u 2u u v u 2 2 x y x Re x y t v 2v 2v v v p 1 u v 2 2 x y y Re x y t
2. 如果采用迎风格式
1 n in, j i , j
t
n ui, n u n 2 2 j i ,j n x x x i, j x i , j x 2 x 2 Biblioteka Baidu
2 n 2 n n vi, n n vi, n 2 2 1 x i , j y i , j j y j y y i , j y y i , j Re (x) 2 (y ) 2 y 2 2 () () () () 其中， () , () 2 2 当 0时，一阶迎风格式； 当 1时，二阶迎风格式。

2 (*)i , j 1 2(*)i , j (*)i , j 1 y 2
(*)i , j 1/2
如果对流项采用显式处理，如：用时间方向具有二阶精度的Adams-Bashforth格式离散 D(uu )in,j1/2 1.5 D(uu )in, j 0.5 D(uu )in,j1
得到一个非常庞大、形状不规则、刚性很强的稀疏线性方程组。计算量非常大， 不易收敛。 如果对流项采用隐式处理，得到一个非线性方程组，其求解更为困难。 因此，完全耦合求解方法在实用中很少使用。 实用中，为了处理压力-速度耦合问题，需要把连续方程和动量方程在一定程度 上进行解耦。
§7.2 涡量—流函数方法
其中，D(*)i , j Dx [i (*)] Dy [ j (*)]; Dx (*)i , j (*)i 1/2, j (*)i 1/2, j x (*)i 1, j (*)i , j ;
(*)i 1/2, j Lh (*)i , j
; 2 (*)i 1, j 2(*)i , j (*)i 1, j x 2
t u x v y
1. 如果采用FTCS格式
1 n in, j i , j
1 2 Re
(7.2.4)
t
u
n i, j
in1, j in1, j
2x
v
n i, j
in, j 1 in, j 1
2y
n n n n n n 1 i 1, j 2i , j i 1, j i , j 1 2i , j i , j 1 2 Re (x) ( y ) 2
第七章 不可压缩流动的数值方法
§7.1 基本方程
§7.2 涡量-流函数方法
§7.3 SIMPLE方法
§7.1 基本方程
单一介质不可压缩流动的控制方程 v 0 v (vv) f p v t 运动黏性系数，p代表p / 。 无量纲化形式 u 0 1 u ( uu ) f p u Re t 压力场可以相差任一常数而对速度场无影响，为了确定全场压力值，应指定 流场中某一点的压力。 控制方程的特点：不包含压力的时间导数项，表现出椭圆-抛物组合型的特点。 不存在状态方程，压力不具有热力学意义；压力对速度场加以限制，使 连续性方程得到满足。压力场的波动具有无穷大的传播速度，瞬间传遍 全场，以使不可压缩条件在任何时间、任何地点满足。
(7.2.1) (7.2.2) (7.2.3)
引入涡量方程，消去方程中的压力项 涡量 vx u y (7.2.2)对y求偏导，(7.2.3)对x求偏导，推导出涡量满足的方程为
t u x v y
引入流函数 ，使连续方程自然满足 v, x
1 2 Re
目前，不可压缩流动的数值方法不如可压缩流动的数值方法成熟。 求解不可压缩Navier-Stokes方程的困难在于处理“压力-速度”耦合问题。 不可压缩Navier-Stokes方程的一种可能的求解方案： 动量方程和连续方程完全耦合求解。
1 n uin, j ui , j
t
1/2 D(uu )in,j1/2 Gpin, j 1 Duin, j 0
2 2 u u v v 2 p 2 x y x y
求解压力的Poisson方程，可以得到压力的分布。
7.2.2 差分格式
数值求解涡量满足的方程（对流-扩散方程）：