离散数学第四章 二元关系和函数
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Hale Waihona Puke Baidu
1 L 即 A 为 A 上大于等于关系。
1 DA 2, 2 , 6, 2 , 3,3 , 6,3 , 6, 6
x, y | x, y A x是y的倍数
1 即DA 为 A 上的倍数关系。
的关系矩阵 M R1 与 R 的关系矩阵 M R ， (2) R 1 满足 M 1 M R 的转置。 R
第四章 二元关系和函数 第一节 二元关系及其运算 内容： 二元关系，关系图，关系矩阵，关系的运算 重点： (1)二元关系的定义及三种表示法，
(2) 一些特殊的二元关系。
（3）二元关系的逆、复合、幂运算
了解：关系的复合运算性质，矩阵法求幂运算
一、二元关系。 1、定义： (1) 若集合 R 为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ， 否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何子集都称作从 A 到 B 的关系， 特别，当 A B 时，称作 A 上关系。
则 A A n2 ，
A A 的子集共有 2 个，
n2
n 元集 A 上不同的关系共有 2 个。
n2
3、特殊的关系。 空关系 ，全域关系 EA ，恒等关系 I A 。 对任意集合 A ， 空关系 ， 全域关系 E A x, y | x A y A A A， 恒等关系 I A x, x | x A 。
一般：设 A {x1 , x2 ,
, xn }
1 xi Rx j M R (rij )nn ，其中 rij 0 xi Rx j
点( n 个顶点)
关系图表示
边(每个有序对对应一条有向弧)
二、逆关系，复合关系。 1、关系的逆。 (1) 定义：关系 R 的逆关系定义为
R 1
y, x
x, y R
LA 为 A 上小于等于关系， 例5、 A {2,3,6} ，
1 L 解： A 2, 2 , 3,3 , 3, 2 , 6, 2 , 6,3 , 6, 6
1 1 DA 为 A 上整除关系，分别求出 L 。 ， D A A
x, y
x, y A x y
DA 。 例2、 A {2,3, 6,8}，求 LA ，
LA 2, 2 , 2, 3 , 2, 6 , 2,8 , 3, 3 , 解： 3, 6 , 3,8 , 6, 6 , 6,8 , 8,8
DA 2, 2 , 2, 6 , 2,8 , 3,3 , 3, 6 , 6, 6 , 8,8
例1、 A {a, b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2
R2 R3 A B
R4 b,1
则 R1 , R2 , R3 , R4 都是从A 到B 的关系。
2、A 上不同关系的数目。 若 A 为 n 元集，记 A n，
例3、 A {a, b}，求 P ( A) 上的包含关系 R 。
解： P( A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
,{a, b} , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
5、 A 上二元关系的表示法。
求 R S， R R，S S ， S R，
( R R) R ，( R S ) R 。
解：R S 1, 4 , 3, 2 , 4, 2
R ) R 1, 2 , 2, 2
S R 1,5 , 2,5 , 3, 2 , 3,5 S S 1,1 , 3,3 , 4,5 R R 1, 2 , 2, 2
例7、A {a, b, c, d }, R a, b , b, a , b, c , c, d 求 Ri ，i 0,1, 2,3, 4,5 。
起来求得。
(3) 合成关系满足结合律： ( R S ) T R ( S T )。 (4) 关系 R 的 n 次幂。
定义：设 R 为 A 上关系， n N，
R 的 n 次幂规定为：
0 R x, x | x A ①
② Rn Rn1 R (n 1)
n次幂的运算满足：
R m R n R m n ，( Rm )n Rmn (m, n N )
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
例4、已知 A {1, 2,3, 4} ，A 上关系
R 1, 2 , 1,3 , 2,1 , 2, 2 , 3,3 , 4,3 ，
求 R 的关系矩阵 M R 和关系图。
解： 0 1 1 0 关系图：
1 1 0 0 MR 0 0 1 0 0 0 1 0
(R
( R S ) R 3, 2
(2) R S 的关系矩阵 M R S 与 R, S 的关系矩阵
M R , M S 满足 M R S M S M R 。
逻辑加法：0 0 0 ，0 1 1 ，
1 0 1 ，1 1 1 。 R S 的关系图可将 R, S 的关系图连接
4、常用关系。 (1) 设 A R ， A 上小于等于关系：
LA DB
x, y x, y
x, y A x y x, y B x | y
B Z (2) 设 ，B 上整除关系：
(3) 幂集 P ( A)上的包含关系 R ：
R x, y | x, y P( A) x y
R
1
的关系图只需将 R 的关系图中的有向弧
改向即得。 (3) ( R1 )1 R 。
2、关系的(复合 。
(1) 定义，关系R和S的合成关系定义为：
R S
x, y
z ( xSz zRy )
例6、设 R 1, 2 , 2, 2 , 3, 4
S 1,3 , 2,5 , 3,1 , 4, 2 , 4,5
1 L 即 A 为 A 上大于等于关系。
1 DA 2, 2 , 6, 2 , 3,3 , 6,3 , 6, 6
x, y | x, y A x是y的倍数
1 即DA 为 A 上的倍数关系。
的关系矩阵 M R1 与 R 的关系矩阵 M R ， (2) R 1 满足 M 1 M R 的转置。 R
第四章 二元关系和函数 第一节 二元关系及其运算 内容： 二元关系，关系图，关系矩阵，关系的运算 重点： (1)二元关系的定义及三种表示法，
(2) 一些特殊的二元关系。
（3）二元关系的逆、复合、幂运算
了解：关系的复合运算性质，矩阵法求幂运算
一、二元关系。 1、定义： (1) 若集合 R 为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ， 否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何子集都称作从 A 到 B 的关系， 特别，当 A B 时，称作 A 上关系。
则 A A n2 ，
A A 的子集共有 2 个，
n2
n 元集 A 上不同的关系共有 2 个。
n2
3、特殊的关系。 空关系 ，全域关系 EA ，恒等关系 I A 。 对任意集合 A ， 空关系 ， 全域关系 E A x, y | x A y A A A， 恒等关系 I A x, x | x A 。
一般：设 A {x1 , x2 ,
, xn }
1 xi Rx j M R (rij )nn ，其中 rij 0 xi Rx j
点( n 个顶点)
关系图表示
边(每个有序对对应一条有向弧)
二、逆关系，复合关系。 1、关系的逆。 (1) 定义：关系 R 的逆关系定义为
R 1
y, x
x, y R
LA 为 A 上小于等于关系， 例5、 A {2,3,6} ，
1 L 解： A 2, 2 , 3,3 , 3, 2 , 6, 2 , 6,3 , 6, 6
1 1 DA 为 A 上整除关系，分别求出 L 。 ， D A A
x, y
x, y A x y
DA 。 例2、 A {2,3, 6,8}，求 LA ，
LA 2, 2 , 2, 3 , 2, 6 , 2,8 , 3, 3 , 解： 3, 6 , 3,8 , 6, 6 , 6,8 , 8,8
DA 2, 2 , 2, 6 , 2,8 , 3,3 , 3, 6 , 6, 6 , 8,8
例1、 A {a, b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2
R2 R3 A B
R4 b,1
则 R1 , R2 , R3 , R4 都是从A 到B 的关系。
2、A 上不同关系的数目。 若 A 为 n 元集，记 A n，
例3、 A {a, b}，求 P ( A) 上的包含关系 R 。
解： P( A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
,{a, b} , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
5、 A 上二元关系的表示法。
求 R S， R R，S S ， S R，
( R R) R ，( R S ) R 。
解：R S 1, 4 , 3, 2 , 4, 2
R ) R 1, 2 , 2, 2
S R 1,5 , 2,5 , 3, 2 , 3,5 S S 1,1 , 3,3 , 4,5 R R 1, 2 , 2, 2
例7、A {a, b, c, d }, R a, b , b, a , b, c , c, d 求 Ri ，i 0,1, 2,3, 4,5 。
起来求得。
(3) 合成关系满足结合律： ( R S ) T R ( S T )。 (4) 关系 R 的 n 次幂。
定义：设 R 为 A 上关系， n N，
R 的 n 次幂规定为：
0 R x, x | x A ①
② Rn Rn1 R (n 1)
n次幂的运算满足：
R m R n R m n ，( Rm )n Rmn (m, n N )
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
例4、已知 A {1, 2,3, 4} ，A 上关系
R 1, 2 , 1,3 , 2,1 , 2, 2 , 3,3 , 4,3 ，
求 R 的关系矩阵 M R 和关系图。
解： 0 1 1 0 关系图：
1 1 0 0 MR 0 0 1 0 0 0 1 0
(R
( R S ) R 3, 2
(2) R S 的关系矩阵 M R S 与 R, S 的关系矩阵
M R , M S 满足 M R S M S M R 。
逻辑加法：0 0 0 ，0 1 1 ，
1 0 1 ，1 1 1 。 R S 的关系图可将 R, S 的关系图连接
4、常用关系。 (1) 设 A R ， A 上小于等于关系：
LA DB
x, y x, y
x, y A x y x, y B x | y
B Z (2) 设 ，B 上整除关系：
(3) 幂集 P ( A)上的包含关系 R ：
R x, y | x, y P( A) x y
R
1
的关系图只需将 R 的关系图中的有向弧
改向即得。 (3) ( R1 )1 R 。
2、关系的(复合 。
(1) 定义，关系R和S的合成关系定义为：
R S
x, y
z ( xSz zRy )
例6、设 R 1, 2 , 2, 2 , 3, 4
S 1,3 , 2,5 , 3,1 , 4, 2 , 4,5