离散数学第四章 二元关系和函数
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4-6 二元关系与函数 离散数学 教学课件
问如何安排任务的加工次序，使截止时间D最 小？——最优调度问题
单机调度----拓扑排序
拓扑排序
构造一个包含某个给定部分序的全序的过程 。
拓扑排序算法----
1
对有限集T上给定的部分序R，产生一个全序S
Step1: (初始化)
2
3
令 k=1， T‘=T
Step2: (取下一个元素)
While T’ ≠
机器j的停止时间 Dj=max {sj(tk) | tk ∈Tj} + L(tk)
所有任务的截止时间
D=max{ Dj | j=1,2,…,m}
R={<ti,tj>|t1, tj∈T,i=j 或ti完成后tj才可开始加工} 一个可行调度是T的划分{T1,T2,…Tm},
Ti≠,由安排在机器cj上加工的所有任务组成，
多机调度
对任务集Tj,j=1,2,…,m,存在调度函数 sj: TjN，且满足下 述条件 (1)i, 0≤i<D, |{tk |tk∈T, sj(tk) ≤ i < sj(tk)+L(tk)}| ≤ 1 j=1,2,…,m 表示D之前的每个时刻 i，每台机器cj上至多只有一个任 务正在加工 (2) tk∈Ti, tj∈Tj, <tj, tj>∈R si(tk)+L(tk)≤sj(tL) i, j=1,2,…,m, i ≠ j 表示若任务tk与tj有偏序约束，则tk完成后tj才能开始加工
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
集合论在计算机科学中的应用
单机调度----拓扑排序
拓扑排序
构造一个包含某个给定部分序的全序的过程 。
拓扑排序算法----
1
对有限集T上给定的部分序R，产生一个全序S
Step1: (初始化)
2
3
令 k=1， T‘=T
Step2: (取下一个元素)
While T’ ≠
机器j的停止时间 Dj=max {sj(tk) | tk ∈Tj} + L(tk)
所有任务的截止时间
D=max{ Dj | j=1,2,…,m}
R={<ti,tj>|t1, tj∈T,i=j 或ti完成后tj才可开始加工} 一个可行调度是T的划分{T1,T2,…Tm},
Ti≠,由安排在机器cj上加工的所有任务组成，
多机调度
对任务集Tj,j=1,2,…,m,存在调度函数 sj: TjN，且满足下 述条件 (1)i, 0≤i<D, |{tk |tk∈T, sj(tk) ≤ i < sj(tk)+L(tk)}| ≤ 1 j=1,2,…,m 表示D之前的每个时刻 i，每台机器cj上至多只有一个任 务正在加工 (2) tk∈Ti, tj∈Tj, <tj, tj>∈R si(tk)+L(tk)≤sj(tL) i, j=1,2,…,m, i ≠ j 表示若任务tk与tj有偏序约束，则tk完成后tj才能开始加工
第4章 二元关系与函数
4.1 集合的笛卡儿积与二元关系 4.2 关系的运算 4.3 关系的性质 4.4 关系的闭包 4.5 等价关系和偏序关系 4.6 函数的定义和性质 4.7 函数的复合和反函数
集合论在计算机科学中的应用
二元关系的复合运算和函数的区别
二元关系和函数是离散数学中的基本概念，它们在数学领域中有着重要的地位。
在本篇文章中，我们将深入探讨二元关系的复合运算和函数的区别，希望能够让读者对这两个概念有更清晰的认识。
一、二元关系的复合运算1. 二元关系的定义在介绍二元关系的复合运算之前，我们需要先了解二元关系的基本概念。
二元关系是集合论中的一个概念，它描述了两个元素之间的某种关系。
如果集合A和B之间的关系R满足aRb，其中a∈A，b∈B，那么我们称R是从A到B的二元关系。
2. 二元关系的复合运算当我们考虑两个二元关系R和S的复合运算时，我们是在寻找一种新的关系，这个新的关系描述了R中的元素与S中的元素之间的某种关系。
具体而言，对于R中的元素a和S中的元素b，如果存在一个元素c，使得aRc且cSb成立，那么我们就称这个元素c满足R和S的复合运算，记作R∘S。
3. 复合运算的性质在二元关系的复合运算中，我们可以总结出一些性质，比如结合律、分配律等。
这些性质有助于我们更好地理解复合运算的运算规律，并在实际问题中进行应用。
二、函数的定义和特点1. 函数的定义函数是高中数学中最基本的概念之一，它描述了两个集合之间的一种特殊关系。
具体而言，如果集合A和集合B之间的关系f满足对于A中的每一个元素a，都存在一个元素b使得f(a)=b成立，那么我们就称f是从A到B的函数。
2. 函数的特点函数具有一些明显的特点，比如每一个自变量都有且只有一个对应的因变量，这是函数与普通关系的本质区别之一。
函数还有定义域、值域、单调性、奇偶性等特点，这些特点在实际问题中有着重要的作用。
三、二元关系的复合运算和函数的区别1. 从定义上来看二元关系和函数在定义上有着明显的不同。
二元关系描述了两个集合之间的某种关系，没有对应的自变量和因变量的概念；而函数则是描述了两个集合之间的特殊关系，其中包含了自变量和因变量的概念。
2. 从表示形式来看二元关系和函数的表示形式也有所不同。
在二元关系中，我们通常用有序对的形式来表示两个元素之间的关系；而在函数中，我们则使用映射的形式来表示自变量和因变量之间的对应关系。
《离散数学》课件-第四章 二元关系
则关系R的各次幂为： R0 =A ={<1,1> ， <2,2> ， <3,3> ， <4,4> ， <5,5>} R1=R
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
R2= R • R={<1,1>，<2,2>，<1,3>，<2,4>， <3,5>}
R3=R2 • R={<1,2>，<2,1>，<1,4>，<2,3>， <2,5>}
R4= R3 • R={<1,1>，<2,2>，<1,5>，<2,4>，
从关系图来看关系的n次幂
R：
1
2
3
4
5
R2：
1
2
3
4
5
R2就是从R的关系图中的任何一个结点x出发，长 为2的路径，如果路径的终点是y，则在R2 的关系 图中有一条从x到y的有向边。其他以次类推：
R3：
1
2
3
4
5
R4：
1
2
3
4
5
定理 设|A|=n，R A×A，则必有i，j∈N， 0≤i＜j≤2n2，使得Ri=Rj。
＝R5，R7＝R6•R＝R5，…，Rn＝R5 (n＞5) 故Rn{R0,R1,R2,R3,R4,R5}。
S0=IA,S1＝S,
S2＝S•S＝{<a,c>,<b,d>,<c,e>,<d,f>}， S3＝S•S•S＝S2•S＝{<a,d>,<b,e>,<c,f>}， S4＝S3•S＝{<a,e>,<b,f>}， S5＝S4•S＝{<a,f>}， S6＝S5•S＝Φ， S7＝Φ， …， 故，Sn{S0,S1,S2,S3,S4,S5,S6}
离散数学第四章-二元关系和函数
注意：(1) 若 A 是 m元集，B是 n 元集， 则 A B为 mn 元集。
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
14
4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
15
一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
26
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
27
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
28
例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y
(2) 笛卡儿积是集合，有关集合的运算都适合。
(3) 一般，A B B A 。
5
3、笛卡儿积运算对 或 满足分配律
(1) A(B C) (A B) (AC) (2) (B C) A (B A) (C A) (3) A(B C) (A B) (AC) (4) (B C) A (B A) (C A)
解： (A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
, A , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
14
4、A 上二元关系的表示法。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
15
一般：设 A {x1, x2, , xn}
1、定义：
(1) 若集合R为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ，
否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何一个子集都称作从A到B的一个二元关系。
特别地，当 A B 时，称作 A上的二元关系。
例、 A {a,b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2 R2 R3 A B
传递的。
26
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R5 既不是自反也不是反自反的，
反对称的，传递的。
27
例6、判断下图中的关系分别具有哪些性质。
解：R6 是反自反的，既不是对称
又不是反对称，不是传递的。
28
例7：设 R1, R2 为 A上的对称关系， 证明R1 R2 也是 A上的对称关系。 证明：对任意 x, y
离散数学 第四章 关系
若ai Rbj 若ai Rbj
矩阵MR 称为R的关系矩阵。
17
第四章 关系
4.1 二元关系
例：设A={1，2，3，4}，A上的关系R={<x,y>|y是x 的整数倍}，故R={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2, 4>,<3,3>,<4,4>}.
1 2 3 4
1 1 2 0 MR 3 0 4 0
2
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念
4.1.2 关系的表示
3
第四章 关系
4.1 二元关系
4.1.1 基本概念 1)定义： A×B的子集叫做A到B上的一个二元关系。 A1×A2×A3的子集叫做A1×A2×A3上的一个三元 关系。 A1×A2×…xAn的子集叫做A1×A2×… × An上的 一个n元关系。 A×A×A ×… × A的子集叫做A上的n元关系。
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
18
第四章 关系
4.1 二元关系
3.关系图表示法
关系图由结点和边组成
若A= {x1, x2, …, xm}，R是A上的关系，R的关系图是 GR=<A, R>，其中A为结点集，R为边集。如果<xi,xj> R，在图中就有一条从 xi 到 xj 的有向边；如果<xi,xi> R，在图中就有一条从 xi 到 xi 的有向边。
12
第四章 关系
4.1 二元关系 4)关系的个数： 2，A×A的子集有 2 n 个。 假设|A|=n，|A×A|=n 2n 所以 A上有 个不同的二元关系。
离散数学-第四章 关系-内容提要
{}
传递。
(5)如 果 VJ
:IT{∶ ∶ ∶ ∶ 蚕 ⒈11∶⒈ ∶ Ll ;, 翕 罐 ∶ ∶ ∶ 置 R在 A上
:I∶
:: 1∷
Vj V石
(Π
、 、 y,z)∈ R→ 〈 R∧ 〈 J,z〉 ∈ R),则 称 Π ,y,z∈ A∧ 〈 ,j〉 ∈
1亠
判别法
:
利用关系表达式判别 (1)R在 A上 白反 ㈡rA∈ R。
,
系:简 称全胛 蜮 线序 曳
柙
\宀
:'艹
° Γ ˉ叽
抖 ¨ ‰ 艹 渺 冖妒 ”
^讷
p¨ ¨
¨
i
∶
^¨
Ⅱ… ¨
=艹
)。
`呻
/
‘ :° f耷
一
^A’
工 < ′
工 < ′
Ι ⒕
,
、
\′
I纟
:
轱
/廴
跃
:
h,如 果 J≤ y∨ y※ J,贝 刂 ∈ 称
J与 j可 比。
称 y覆 盖 J。
偏序集中的特殊元素
得 ⒎ 则
:
y,z〉 ∈ S))。 ∈ R∧ 〈
有关基本运算的定理 ・ 定理 4.1 设 F是 任意的关系 ,则
(1)(Fˉ l)ˉ ^l=F。
・
(2)domFˉ ˉ ∴ =ranF,ranF~l=domF。
定理 4.2 设 F,G,Ⅳ 是任意的关系 ,则 (1)(F° G)° H=Fo(G° H), (2)(FoG)ˉ l=G^loF_ˉ
:
(2)R在 (3)R在 (4)R在 (5)R在 (1)R在 (2)R在 (3)R在 (4)R在
A上 反 自反 ⑶R∩ rA=¤ 。 A上 对称 山R=Rl。 ; A上 反对称 ㈡R∩ R~l∈ A上 传递 ㈡R。 R∈ R。
离散数学第四章课件
无对称的偶对。
表示关系矩阵的主对角线两侧各有一个1且 对称，即有一个对称的偶对。
C1
n(n＋1) 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
表示关系矩阵的主对角线两侧全为1，
C1 ＋ n(n＋ ＋…＋ 2
n(n＋1) C 2 n(n＋1) 2
于是
C0 n(n＋1) 2 ＝
2
n(n＋1) 2
四、反对称性 ⒈ 定义： 若xy(x∈A∧y∈A∧xRy∧yRx→x=y)， 称R是反对称的。 例：设A={ a , b , c , d } R={ < a , b > , < a , c > , < b , b > , <b,d>,<c,c>,<c,d>, < d , d >}
⒉自反关系的关系矩阵的特征
R的关系矩阵的主对角线上的元素均为
1 ，则该关系就不具有自反性；
主对角线上有一个元素不为1，则该关
系就不具有自反性。
⒊ 自反关系的图的特征 自反关系的关系图中，每个顶点都有 自回路，则该关系具有自反性。
二、反自反性 ⒈ 定义：若x（x∈A xRx）则该关系是 反自反的。 ⒉ 具有反自反性的关系的关系矩阵的主对角
2 t1× t2 × … ×tn
五、关系的表示法-----通常有三种表示方法
⒈ 集合表示法： 因为关系也是集合，所以也可以用集合 的表示方法
例：A={ 2, 3,4,6 ,9,12 }上的整除关系
用特征描述法表示为
R＝{ < x , y > | x∈A ∧ y∈A ∧ x|y }
用穷举法表示为
R={ < 2 , 2 > , < 2 , 4 > , < 2 , 6 > ,
离散数学(第二版)第4章二元关系和函数
第四章 二元关系和函数
定义4.2.3 设R是A到B的二元关系。 (1) 用xRy表示 <x，y>∈R，意为x，y有R关系(为使可读 性好，我们将分场合使用这两种表达方式中的某一种)。 xy 表示<x，y> R。 (2) 由<x,y>∈R的所有x组成的集合称为关系R的定义域 (domain),记作Dom R，即
显然A×B与 B×A所含元素的个数相同(A，B是有限集 合)，但A×B≠B×A。
定理4.1.1 若A，B是有穷集合，则有 |A×B|=|A|·|B|(·为数乘运算)
该定理由排列组合的知识不难证明。 定理4.1.2 对任意有限集合A1，A2，…，An，有 |A1×A2×…×An|＝|A1|·|A2|·… ·|An|(·为数乘运算)
第四章 二元关系和函数
本节主要介绍关系的基本概念以及关系的表示方法。 定义4.2.1 任何序偶的集合，确定了一个二元关系，并 称该集合为一个二元关系，记作R 。 二元关系也简称关系。 对于二元关系R，如果<x，y>∈R，也可记作xRy。 定义并不要求R中的元素<x，y> 中的x，y取自哪个个体 域。 因此，R={<2，a>，<u，狗>，<钱币，思想>}也是一 个二元关系。
若R={<x，y>|x∈A∧y∈B∧ x|y }，则称R为整除关系， 常记为|，其中x|y表示x整除y。
若A是任意集合，R是A上的二元关系，下面的关系也常 见：
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为包含
若R={<x，y>|x∈P(A)∧y∈P(A)∧x y}，则称R为真包
第四章 二元关系和函数
离散数学第4章-二元关系
4.6 等价关系与划分
• 三 性质 • 定理4.13 设R是A上的等价关系，则 （1）对任一a∈A，有a∈[a]； （2）对a, b∈A，如果aRb，则[a]=[b]; （3）对a, b∈A，如果(a, b)∉R，则[a]∩[b]=∅; （4）∪a∈A[a]=A。
4.6 等价关系与划分
• 定理4.14 集合A上的任一划分可以确定A上 的一个等价关系R。 • 定理4.15 设R1和R2是A上的等价关系， R1=R2⇔ A/R1=A/R2 。 • 定理4.16 设R1和R2是A上的等价关系，则 R1∩R2是A上的等价关系。
4 .3 关系的运算
• 一 逆运算 • 定义4.7（逆关系） 设R是从A到B的二元关系， 则从B到A的二元关系记为R-1，定义为R-1 ={(b,a)|(a,b)∈R}，称为R的逆关系。 • 定理2.1 （1）(R-1)-1=R; （2）(R1∪R2)-1= R1-1∪ R2-1; （3）(R1∩R2)-1= R1-1 ∩R2-1; （4） (A×B)-1= B×A；
4 .5 关系的闭包
•
• (1) (2) (3) • (1) (2) (3)
二 基本性质
定理4.5 设R是A上的二元关系，则 R是自反的 ⇔ r( R )=R； R是对称的 ⇔ s( R )=R； R是传递的 ⇔ t( R )=R； 定理4.6 设R1和R2是A上的二元关系，若R1⊆R2则 r(R1)⊆ r(R2)； s(R1)⊆ s(R2)； t(R1)⊆ t(R2)。
第四章 关系
4.1 二元关系 4.2 关系的性质 4 .3 关系的运算 4 .5 关系的闭包 4.6 等价关系与划分
4.1 二元关系
• 一 定义4.1（二元关系）
设A和B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到 B的二元关系。当A=B时，称R为A上的二元关系。若 (a, b)∈R，则称a与b有关系R，记为aRb。 (a, b)∉R：a与b没有关系R R=∅：空关系 R=A×B：全关系
离散数学4-关系与函数
BA = {<a,1>,<b,1>,<c,1>,<a,2>,<b,2>,<c,2>,<a,3>, <b,3>,<c,3>}
A={}, P(A)A= {<,>, <{},>}
7
笛卡儿积的性质
不适合交换律 ABBA (AB, A, B) 不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律
<x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C)
(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C)
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
10
二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集
❖关系R1 ：{m, n}到 {w, x, y, z} ，且R1 ={<m, x>，<m, z>，<n, w>}。
❖ 计算R1∘R2
a R2 m
R1
w
b
n
x
o
y
c
p
z
23
第二种方法：关系矩阵乘法
利用图示（不是关系图）方法求合成
❖关系R2：{a, b, c}到 {m, n, o, p} ，且R2={<a, p>，<a, o>，<b, m>}。
12
从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元系叫 做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上的二元关系.
A={}, P(A)A= {<,>, <{},>}
7
笛卡儿积的性质
不适合交换律 ABBA (AB, A, B) 不适合结合律 (AB)CA(BC) (A, B) 对于并或交运算满足分配律
<x,y>∈A×(B∪C) x∈A∧y∈B∪C x∈A∧(y∈B∨y∈C)
(x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C) <x,y>∈A×B∨<x,y>∈A×C <x,y>∈(A×B)∪(A×C)
所以有A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C).
10
二元关系的定义
定义 如果一个集合满足以下条件之一： （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 （2）集合是空集
❖关系R1 ：{m, n}到 {w, x, y, z} ，且R1 ={<m, x>，<m, z>，<n, w>}。
❖ 计算R1∘R2
a R2 m
R1
w
b
n
x
o
y
c
p
z
23
第二种方法：关系矩阵乘法
利用图示（不是关系图）方法求合成
❖关系R2：{a, b, c}到 {m, n, o, p} ，且R2={<a, p>，<a, o>，<b, m>}。
12
从A到B的关系与A上的关系
定义 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元系叫 做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做 A上的二元关系.
离散数学第五版第四章(耿素云、屈婉玲、张立昂编著)
4.1迪卡尔乘积与二元关系
5) 迪卡尔乘积运算对并和交运算满足分配律，即： (3)A×（BC）= (A×B)(A×C） 证明： 对于任意的<x,y> <x,y>A×（BC） xA yBC xA (yB y C) (xAyB) (xAyC) <x,y>A×B <x,y>A×C <x,y>(A×B)(A×C)
A1×A2×……×An ={<x1,x2,……,xn>|x1A1 x2A2 …… xnAn}
4.1迪卡尔乘积与二元关系
例2：设A={1,2}，求P(A)×A 解：P(A)={,{1},{2},{1,2}} P(A)×A={<,1>,<,2>, <{1},1>,<{1},2>, <{2},1>,<{2},2>, <{1,2},1>,<{1,2},2>}
4.1迪卡尔乘积与二元关系
（2）(AB)×(CD)=(A×C)(B×D) 证明：设A=、B={1}、C={2}、D={3} (AB)×(CD)={<1,2>、<1,3>} (A×C)(B×D)={<2,1>、<2,3>} 所以：等式不成立
（3）(A-B)×(C-D)=(A×C)-(B×D) 证明：设A={1}、B={1}、C={2}、D={3} (A-B)×(C-D)= (A×C)-(B×D)={<1,2>}
4.1迪卡尔乘积与二元关系
三、二元关系 2. 集合上元素的关系（定义4.6）
设A，B为集合，A×B的任何子集所定义的二元关系叫做 从A到B的二元关系，特别当A=B是则叫做A上的二元关系。 例：A={0,1}、B={1,2,3}，
离散数学第四章 关系
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定理4.3.1 若R⊆A×B，S⊆B×C，T⊆C×D， 则 (R*S)*T=R*(S*T) 这说明复合运算是可结合的。我们常删去括号 将它们写成R*S*T。 由归纳法易证, 任意n个关系的合成也是可结合 的。在R1*R2*…*Rn中, 只要不改变它们的次序, 不论在它们之间怎样加括号, 其结果是一样的.
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定义4.1.2 给定集合A和B，若有序对的第一分 量是A的元素，第二分量是B的元素，所有这些 有序对的集合，称为A和B的笛卡尔积，记为 A×B， A×B={‹x,y›|x∈A∧y∈B}
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例 设A = {a, b, c}, B = {0, 1}, 则 A × B = {‹a, 0›, ‹a, 1›, ‹b, 0›, ‹b, 1›, ‹c, 0›, ‹c, 1›} B × A = {‹0, a›, ‹0, b›, ‹0, c›, ‹1, a›, ‹1, b›, ‹1, c›} A × A = {‹a, a›, ‹a, b›, ‹a, c›, ‹b, a›, ‹b, b›, ‹b, c›, ‹c, a›, ‹c, b›, ‹c, c›} B × B = {‹0, 0›, ‹0, 1›, ‹1, 0›, ‹1, 1›} 可以看出：A × B ≠ B × A (除非A = ∅或 B = ∅或 A = B,见后面定理) 即笛卡尔积不满足交换律。
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例 设A和B分别是学校的所有学生和所有课程的集合。假 设R由所有有序对‹a,b›组成，其中a是选修课程b的学生。 S由所有有序对‹a,b›构成，其中课程b是a的必修课。什么 是关系R∪S，R∩S，R⊕S，R-S和S-R？ 解：关系R∪S由所有的有序对‹a,b›组成，其中a是一个学 生，他或者选修了课程b，或者课程b是他的必修课。 R∩S是所有有序对‹a,b›的集合，其中a是一个学生，他选 修了课程b并且课程b也是a的必修课。 R⊕S由所有有序 对‹a,b›组成，其中学生a已经选修了课程b，但课程b不是 a的必修课，或者课程b是a的必修课，但a没有选修它。 R-S是所有有序对‹a,b›的集合，其中a已经选修了课程b但 课程b不是a的必修课。S-R是所有有序对‹a,b›的集合，其 中课程b是a的必修课，但a没有选它。
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定理4.3.1 若R⊆A×B，S⊆B×C，T⊆C×D， 则 (R*S)*T=R*(S*T) 这说明复合运算是可结合的。我们常删去括号 将它们写成R*S*T。 由归纳法易证, 任意n个关系的合成也是可结合 的。在R1*R2*…*Rn中, 只要不改变它们的次序, 不论在它们之间怎样加括号, 其结果是一样的.
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定义4.1.2 给定集合A和B，若有序对的第一分 量是A的元素，第二分量是B的元素，所有这些 有序对的集合，称为A和B的笛卡尔积，记为 A×B， A×B={‹x,y›|x∈A∧y∈B}
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例 设A = {a, b, c}, B = {0, 1}, 则 A × B = {‹a, 0›, ‹a, 1›, ‹b, 0›, ‹b, 1›, ‹c, 0›, ‹c, 1›} B × A = {‹0, a›, ‹0, b›, ‹0, c›, ‹1, a›, ‹1, b›, ‹1, c›} A × A = {‹a, a›, ‹a, b›, ‹a, c›, ‹b, a›, ‹b, b›, ‹b, c›, ‹c, a›, ‹c, b›, ‹c, c›} B × B = {‹0, 0›, ‹0, 1›, ‹1, 0›, ‹1, 1›} 可以看出：A × B ≠ B × A (除非A = ∅或 B = ∅或 A = B,见后面定理) 即笛卡尔积不满足交换律。
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例 设A和B分别是学校的所有学生和所有课程的集合。假 设R由所有有序对‹a,b›组成，其中a是选修课程b的学生。 S由所有有序对‹a,b›构成，其中课程b是a的必修课。什么 是关系R∪S，R∩S，R⊕S，R-S和S-R？ 解：关系R∪S由所有的有序对‹a,b›组成，其中a是一个学 生，他或者选修了课程b，或者课程b是他的必修课。 R∩S是所有有序对‹a,b›的集合，其中a是一个学生，他选 修了课程b并且课程b也是a的必修课。 R⊕S由所有有序 对‹a,b›组成，其中学生a已经选修了课程b，但课程b不是 a的必修课，或者课程b是a的必修课，但a没有选修它。 R-S是所有有序对‹a,b›的集合，其中a已经选修了课程b但 课程b不是a的必修课。S-R是所有有序对‹a,b›的集合，其 中课程b是a的必修课，但a没有选它。
离散数学课件第四章二元关系习题
闭包的定义基于关系的传递 性，即如果关系R满足传递性， 那么对于任何元素x，如果存 在元素y和z，使得xRy和yRz， 那么一定存在一个元素z'，使 得xRz'。闭包就是由给定关系 和所有满足闭包定义的新元 素构成的关系集合。
闭包具有一些重要的性质， 这些性质决定了闭包在数学 和计算机科学中的广泛应用 。
同余关系的应用
应用1
在密码学中，同余关系可用于生成加 密密钥。例如，通过选择两个同余的 数作为密钥，可以确保加密和解密操 作的一致性。
应用2
在计算机科学中，同余关系可用于实 现数据校验。例如，通过将数据与一 个已知的校验值进行同余运算，可以 检测数据是否在传输过程中被篡改。
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反对称性
如果对于关系中的每一对 元素，如果元素x与元素y 有关系，且元素y与元素x 也有关系，但元素x与元 素y的关系不等于元素y与 元素x的关系，则称该关 系具有反对称性。
习题解析
习题1
判断给定的关系是否具有自反性、反自反性、对称性和反对称性。通过举例和推理，分析 给定的关系是否满足这些性质。
习题2
表示方法
总结词
掌握二元关系的表示方法是解题的关键。
详细描述
在数学中，我们通常使用笛卡尔积来表示二元关系。例如，如果A和B是两个集合， 那么A和B的笛卡尔积可以表示为A×B，它包含了所有形如(a, b)的元素，其中a属于 A，b属于B。
习题解析
总结词
通过解析具体习题，可以加深对二元关系定义和表示方法的理解。
有着广泛的应用。
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习题五：关系的同余
同余关系的定义与性质
定义
反身性
对称性
传递性
如果对于任意元素$x$， 都有$f(x) = g(x)$，则 称$f$和$g$是同余的。
离散数学 二元关系
第四章二元关系1举出A={1, 2, 3}上关系R的例子，使其具有下述性质：a)既是对称的，又是反对称的；b)既不是对称的，又不是反对称的；c)是传递的。
2举出一个集合上关系的例子，分别适合于自反，对称，传递中的两个且仅适合两个。
3如果关系R和S是自反的，对称的和传递的，证明RÇS也是自反的，对称的和传递的。
4设R1和R2是A上的二元关系，说明以下命题的真假：a)若R1和R2是自反的，则R1 o R2是自反的;b)若R1和R2是反自反的，则R1 o R2是反自反的;c)若R1和R2是对称的，则R1 o R2是对称的;d)若R1和R2是传递的，则R1 o R2是传递的。
5画出集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6}在偏序关系“整除”下的哈斯图，并讨论：a)写出{1, 2, 3, 4, 5, 6}的极大元，极小元，最大元，最小元；b)分别写出{2, 3, 6}和{2, 3, 5}的上界，下界，上确界，下确界。
6是非判断：设R和S是A上的二元关系，确定下列命题是真还是假。
如果命题为真，则证明之；如果命题为假，则给出一个反例。
（1）若R和S是传递的，则RÈS是传递的。
（2）若R和S是传递的，则RÇS是传递的。
(3)若R和S是传递的，则RoS是传递的。
(4)若R是传递的，则R-1是传递的。
(5)若R和S是自反的，则RÈS是自反的。
(6)若R和S是自反的，则RÇS是自反的。
(7)若R和S是自反的，则RoS是自反的。
(8)若R是自反的，则R-1是自反的。
(9)若R和S是对称的，则RÈS是对称的。
(10)若R和S是对称的，则RÇS是对称的。
(11)若R和S是对称的，则RoS是对称的。
(12)若R是对称的，则R-1是对称的。
(13)若R和S是反对称的，则RÈS是反对称的。
(14)若R和S是反对称的，则RÇS是反对称的。
(15)若R和S是反对称的，则RoS是反对称的。
重庆大学《离散数学》课件-第4章函数
对于任意的 ∈ , ≠ ，因此 ∈ − 。 因为 = ，故有
∈ ( − )。由的任意性可知 − () ⊆ ( − )成立
4.2 逆函数和复合函数
▪ 例：定义一函数: → 如下：
1、 的定义域不是，而是的子集
2、 不满足函数定义：值的唯一性
所以 是一种二元关系，但不是函数
一个函数的逆函数存在的话，则此函
数一定是双射函数。
▪ 定理：设: X → 是一双射函数，那么 是Y → X的双射函数。
▪ 证明： （1）首先证明 :Y → X的函数。
因为是满射的，对任意的 ∈ 必有 < , >∈ ，且 = ，因此< , >∈
等函数。
定理：设函数: X → ，则 = ∘ = ∘
定理：如果函数: → 有逆函数 −1 : → ，则 −1 ∘ = ，且
∘ −1 =
例：令:{0,1,2} →{a,b,c},其定义如下图所示，求 −1 ∘ 和 ∘ −1
设: X → ，: → 是两个函数，则复合函数 ∘ 是一个从X到的
函数，对于每一个 ∈ 有 ∘ = (())。
例：设 = 1,2,3 , = , , = , ,
= < 1, >, < 2, >, < 3, > , = < , >, < , > , 求 ∘
， = 。又因为是入射，对每一个 ∈ 必有唯一的 ∈ ，使得<
, >∈ ，因此仅有唯一的 ∈ ，使得
< , >∈ 。因此 是一个函数。
（2）证 :Y → X满射的。
= =
∈ ( − )。由的任意性可知 − () ⊆ ( − )成立
4.2 逆函数和复合函数
▪ 例：定义一函数: → 如下：
1、 的定义域不是，而是的子集
2、 不满足函数定义：值的唯一性
所以 是一种二元关系，但不是函数
一个函数的逆函数存在的话，则此函
数一定是双射函数。
▪ 定理：设: X → 是一双射函数，那么 是Y → X的双射函数。
▪ 证明： （1）首先证明 :Y → X的函数。
因为是满射的，对任意的 ∈ 必有 < , >∈ ，且 = ，因此< , >∈
等函数。
定理：设函数: X → ，则 = ∘ = ∘
定理：如果函数: → 有逆函数 −1 : → ，则 −1 ∘ = ，且
∘ −1 =
例：令:{0,1,2} →{a,b,c},其定义如下图所示，求 −1 ∘ 和 ∘ −1
设: X → ，: → 是两个函数，则复合函数 ∘ 是一个从X到的
函数，对于每一个 ∈ 有 ∘ = (())。
例：设 = 1,2,3 , = , , = , ,
= < 1, >, < 2, >, < 3, > , = < , >, < , > , 求 ∘
， = 。又因为是入射，对每一个 ∈ 必有唯一的 ∈ ，使得<
, >∈ ，因此仅有唯一的 ∈ ，使得
< , >∈ 。因此 是一个函数。
（2）证 :Y → X满射的。
= =
离散数学第四章二元关系和函数
例题
• 例题4.8:下列关系都是整数集Z上的关系,分别求出它们的 定义域和值域.
– R1={<x,y>|x,yZxy}; – R2={<x,y>|x,yZx2+y2=1};
• domR1=ranR1=Z. R={<0,1>,<0,-1>,<1,0>,<-1,0>} domR2=ramR2={0,1,-1}
IA={<0,0>,<1,1>,<2,2>}
关系实例
• 设A为实数集R的某个子集,则A上的小于等于关系定义为 LA={<x,y>|x,yA,xy}.
• 例4.4 设A={a,b},R是P(A)上的包含关系, R={<x,y>|x,yP(A),xy}, 则有 P(A)={,{a},{b},A}. R={<, >,<,{a}>,<,{b}>,<,A>, <{a},{a}>,<{a},A>,<{b},{b}>,<{b},A>,<A,A>}.
– 例如:A={a,b},B={0,1,2},则 AxB={<a,0>,<a,1>,<a,2>,<b,0>,<b,1>,<b,2>}; BxA={<0,a>,<0,b>,<1,a>,<1,b>,<2,a>,<2,b>}.
– 如果A中的元素为m个元素，B中的元素为n个元素， 则AxB和BxA中有mn个元素．
0100 1010 . 0001 0000
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y, x
x, y R
LA 为 A 上小于等于关系， 例5、 A {2,3,6} ，
1 L 解： A 2, 2 , 3,3 , 3, 2 , 6, 2 , 6,3 , 6, 6
1 1 DA 为 A 上整除关系，分别求出 L 。 ， D A A
x, y
x, y A x y
第四章 二元关系和函数 第一节 二元关系及其运算 内容： 二元关系，关系图，关系矩阵，关系的运算 重点： (1)二元关系的定义及三种表示法，
(2) 一些特殊的二元关系。
（3）二元关系的逆、复合、幂运算
了解：关系的复合运算性质，矩阵法求幂运算
一、二元关系。 1、定义： (1) 若集合 R 为空集或它的元素都是有序对， 则称 R 为二元关系。 若 x, y R ，则记作 xRy ， 否则，记作 xRy 。 (2) A B的任何子集都称作从 A 到 B 的关系， 特别，当 A B 时，称作 A 上关系。
则 A A n2 ，
A A 的子集共有 2 个，
n2
n 元集 A 上不同的关系共有 2 个。
n2
3、特殊的关系。 空关系 ，全域关系 EA ，恒等关系 I A 。 对任意集合 A ， 空关系 ， 全域关系 E A x, y | x A y A A A， 恒等关系 I A x, x | x A 。
一般：设 A {x1 , x2 ,
, xn }
1 xi Rx j M R (rij )nn ，其中 rij 0 xi Rx j
点( n 个顶点)
关系图表示
边(每个有序对对应一条有向弧)
二、逆关系，复合关系。 1、关系的逆。 (1) 定义：关系 R 的逆关系定义为
R 1
求 R S， R R，S S ， S R，
( R R) R ，( R S ) R 。
解：R S 1, 4 , 3, 2 , 4, 2
R ) R 1, 2 , 2, 2
S R 1,5 , 2,5 , 3, 2 , 3,5 S S 1,1 , 3,3 , 4,5 R R 1, 2 , 2, 2
1 L 即 A 为 A 上大于等于关系。
1 DA 2, 2 , 6, 2 , 3,3 , 6,3 , 6, 6
x, y | x, y A x是y的倍数
1 即DA 为 A 上的倍数关系。
的关系矩阵 M R1 与 R 的关系矩阵 M R ， (2) R 1 满足 M 1 M R 的转置。 R
例3、 A {a, b}，求 P ( A) 上的包含关系 R 。
解： P( A) ,{a},{b}, A ，
R , , ,{a} , ,{b} ,
,{a, b} , {a},{a} , {a}, A ,
{b},{b} , {b}, A , A, A
5、 A 上二元关系的表示法。
DA 。 例2、 A {2,3, 6,8}，求 LA ，
LA 2, 2 , 2, 3 , 2, 6 , 2,8 , 3, 3 , 解： 3, 6 , 3,8 , 6, 6 , 6,8 , 8,8
DA 2, 2 , 2, 6 , 2,8 , 3,3 , 3, 6 , 6, 6 , 8,8
(R
( R S ) R 3, 2
(2) R S 的关系矩阵 M R S 与 R, S 的关系矩阵
M R , M S 满足 M R S M S M R 。
逻辑加法：0 0 0 ，0 1 1 ，
1 0 1 ，1 1 1 。 R S 的关系图可将 R, S 的关系图连接
起来求得。
(3) 合成关系满足结合律： ( R S ) T R ( S T )。 (4) 关系 R 的 n 次幂。
定义：设 R 为 A 上关系， n N，
R 的 n 次幂规定为：
0 R x, x | x A ①
② Rn Rn1 R (n 1)
n次幂的运算满足：
R m R n R m n ，( Rm )n Rmn (m, n N )
例7、A {a, b, c, d }, R a, b , b, a , b, c , c, d 求 Ri ，i 0,1, 2,3, 4,5 。
集合表示法 有三种 矩阵表示法
图形表示法
例4、已知 A {1, 2,3, 4} ，A 上关系
R 1, 2 , 1,3 , 2,1 , 2, 2 , 3,3 , 4,3 ，
求 R 的关系矩阵 M R 和关系图。
解： 0 1 1 0 关系图：
1 1 0 0 MR 0 0 1 0 0 0 1 0
4、常用关系。 (1) 设 A R ， A 上小于等于关系：
LA DB
x, y x, y
x, y A x y x, y B x | y
B Z (2) 设 ，B 上整除关系：
(3) 幂集 P ( A)上的包含关系 R ：
R x, y | x, y P( A) x y
例1、 A {a, b} ，B {0,1, 2}
设 R1 a, 0 , b, 0 , b, 2
R2 R3 A B
R4 b,1
则 R1 , R2 , R3 , R4 都是从A 到B 的关系。
2、A 上不同关系的数目。 若 A 为 n 元集，记 A n，
R
( R1 )1 R 。
2、关系的(复合 。
(1) 定义，关系R和S的合成关系定义为：
R S
x, y
z ( xSz zRy )
例6、设 R 1, 2 , 2, 2 , 3, 4
S 1,3 , 2,5 , 3,1 , 4, 2 , 4,5