离散数学第四章2

例4.2.1 设R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}，则 domR={1,2,4} ranR={2,3,4} fldR={1,2,3,4}
定义4.2.2 设R为二元关系，R的逆关系，简称R 的逆，记作R-1,其中 R-1={<x,y>|<y,x>∈R}
定义4.2.3 设F,G为二元关系，G对F的(左)复合 记作F G，其中
第四章 二元关系和函数(2/3)
4.2 关系的运算
关系的基本运算
定义4.2.1 设R是二元关系. (1) R中所有的有序对的第一元素构成的集合称为 R的定义域，记为domR. domR={x| y(<x,y>∈R)} (2) R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R 的值域，记作ranR.形式化表示为 ranR={y| x(<x,y>∈R)} (3) R的定义域和值域的并集称为R的域，记作 fldR.形式化表示为 fldR=domR∪ranR
例4.2.3 设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}，
则 R {1}={<1,2>,<1,3>}
R =
R {2,3}={<2,2>,<2,4>,<3,2>} R[{1}]={2,3}
R[ ]=
R[{3}]={2}
例4.2.4 设F={<a,{a}>,<{a},{a,{a}}>}，求 F F, F {a},F[{a}].
R2＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>} 自反的
R1两者
R3＝{<1,3>}
都不是
说明R1，R2和R3是否为A上的自反关系和反 自反关系.
定义4.3.2 设R为A上的关系，
若x y(x,y∈A∧<x,y>∈R→<y,x>∈R),
则称R为A上对称的关系.
若x y(x,y∈A∧<x,y>∈R∧<y,x>∈R→x=y)，
例4.2.5 设A={a,b,c,d} R={<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>}， 求R的各次幂，分别用矩阵和关系图表示. 解:用关系图的方法得到关系图 如下:
R0，即IA的关系矩阵是 M=
则R的关系矩阵分 M0=
则R2，R3，R4的关系矩阵分别是
M2=
=
M3=M2M=
=
M4=M3M=
一．关系的五种基本性质
定义4.3.1 设R为A上的关系，
1） 若x(x∈A→<x,x>∈R)，则称R在
A上是自反的.
（2） 若x(x∈A→<x,x> R)，则称R在
A上是反自反的.
例4.3.1 设A={1,2,3}，R1，R2，R3是A上的
关系，其中
R2是自
R1＝{<1,1>,<2,2>}
反的
R3是反
证: (1)任取<x,y>,
<x,y>∈(F G) H
t(<x,t>∈F G∧(t,y)∈H)
t( s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G)∧<t,y>∈H) t s(<x,s>∈F∧<s,t>∈G∧<t,y>∈H) s(<x,s>∈F∧ t(<s,t>∈G∧<t,y>∈H)) s(<x,s>∈F∧<s,y>∈G H)
解: F F={<{a},{a,{a}}>} F {a}={<a,{a}>} F [{a}]={{a}}
关系运算的性质
定理4.2.1 设F是任意的关系，则 (1) (F-1) -1 =F (2) domF-1=ranF，ranF-1=domF
定理4.2.2 设F，G，H是任意的关系，则 (1)(F G) H=F (G H) (2)(F G)-1=G-1 F-1
F G={<x,y>| t(<x,t>∈F∧<t,y>∈G)}
定义4.2.4 设R为二元关系，A是集合 (1) R在A上的限制记作R A，其中 R A={<x,y>|xRy∧x∈A} (2) A在R下的象记作R[A]，其中 R[A]=ran(R A)
例4.2.2 设F={<3,3>,<6,2>},G={<2,3>}，则 F-1={<3,3>,<2,6>} F G={<6,3>} G F={<2,3>}
=
因此M4=M2，即R4=R2.因此可以得到 R2=R4=R6=… R3=R5=R7=…
定理4.2.6 设A为n元集，R是A上的关系，则存
在自然数s和t,使得Rs=Rt.
证: R为A上的关系，对任何自然数k，Rk都是
A即×AA×的A子的集不2同.又n2子知集|A仅×A|=n2个，.当|P(列A×出AR)|的= 各2n次2 ，幂
<x,y>∈F (G H)
所以(F G) H=F (G H)
定理4.2.3 设R为A上的关系，则 R IA=IA R=R
定理4.2.4 设F，G，H是任意关系，则
(1) F (G∪H)=F G∪F H
(2) (G∪H) F=G F∪H F
(3) F (G∩H) F G∩F H
(4) (G∩H) F G F∩H F
怎样计算Rn 呢？
如果R是用集合表达式给出的，可以通过n-1 次右复合计算得到Rn .如果R是用关系矩阵M 给出的，则Rn 的关系矩阵是Mn，即n个矩阵 M之积.与普通矩阵乘法不同的是，其中的相 加是逻辑加，即
1+1=1,1+0=0+1=1,0+0=0 如果R是用关系图G给出的，可以直接由图 G得到Rn 的关系图G'.G'的顶点集与G相同.考 察G的每个顶点xi，如果在G中从xi 出发经过 n步长的路径到达顶点xj，则在G'中加一条从 xi 到xj 的边.当把所有这样的便都找到以后， 就得到图G'.
定理4.2.5.5 设F为关系，A，B为集合，则 (1) F (A∪B)=F A∪F B (2) F[A∪B]=F[A]∪F[B] (3) F (A∩B) F A∩F B (4) F[A∩B] F[A]∩F[B]
关系幂
定义4.2.5 设R为A上的关系，n来自自然数，则 R的n次幂定义为：
1） R0={<x,x>|x∈A}=IA （2） Rn+1=Rn R
R和0，t使R得1，RRsR=22Rn，2 t. …，
，…，必存在自然数s
该定理说明有穷集上只有有穷多个不同的二
元关系.当t足够大时Rt必与某个Rs(s<t)相等.如例
4.2.5中的R4=R2.
定理4.2.7 设R是A上的关系，m,n∈N，则 (1)Rm Rn=Rm+n (2)(Rm)n=Rmn
4.3 关系的性质