高等数学 上、下册7_1 向量及其线性运算

π 2
0，
az a cos 2 cos
2 2
2.
向量a 的坐标表示式为
a 2,0, 2 .
例 7设 向 量 a ,2 ,1 ,b 0 , 1 ,， 问 ,为 何 值
时 ， a 与 b 平 行 ？
解 由平行的充要条件，得
0 1 ， 2 1
AO 1 AC 1 a，OD BO 1 BD 1 b ，
2
2
2
2
根据三角形法则，有
AB AO OB AO BO
D
C
1a b 2
D A AD AO O D
O
A
B
1a b 2
图7 - 9
三、 向量的坐标表达式
1. 向量的坐标表达式
zR
M2
M1
Q
P
M 1M 2 a ，
y
x 图7－12
cos M 1P ax
ax
M 1M 2 a
ax2 ay2 az2
当 是 钝 角 时 ， 上 式 也 成 立 .
类似地，有
cos ay
ay
，
a
ax2 ay2 az2
cos az
az
a
ax2

第七章 向量代数与空间解析几何
第一节 第二节 第三节 第四节
向量及其线性运算 向量的乘法运算 平面与直线 曲面与曲线
向量在数学、物理、力学和工程技术中有广泛 的应用. 本章前一部分侧重学习如何用代数的方法表 示向量及怎样用代数的方法进行向量的运算.
空间解析几何这门学科，把代数方程与空间几 何图形联系起来，是数形结合的典范. 本章第二部分， 学习一些空间解析几何的基本知识.
反 ； 当 0时 ， 它 为 零 向 量 .它 的 模 为 aa.
向量的线性运算有以下性质： (1)交换律 abba；
(2)结合律abca bc ， a a ,是数；
(3)分配律 aaa
ab ab , 是数.
应的关系（图7-3）.有序数组x，y，z 称为点M的坐标，
又分别叫做横坐标，纵坐标，和竖坐标.点M可用坐标点
表示为Mx, y,z.
z
z
R
O Qy
P
x 图7－3
y
x
图7－4
3 空间两点间的距离公式 设点
M1(1,1,2),M2(1,2,0),M3(1,3,1)和M2 x2,y2,z2 是空间
称为一个卦限，依次叫第一至第八 卦限.
Ⅲz Ⅱ ⅣⅠ
O ⅧⅦ Ⅴ
Ⅵ
y
x
图7-2 动画演示
2. 空间内一点的坐标 设点M是空间一点，过点M
分别作与三条坐标轴垂直的平面，分别交 x 轴，y 轴，z
轴于P，Q，R.设点P，Q，R在三条坐标轴的坐标依次为
x，y，z，虽然点M与有序数组x，y，z 之间存在一一对
第一节 向量及其线性运算
一、 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系 在空间内取定一点 O，过点 O 作 三 条 具 有 相 同 长 度 单 位 ，且 两 两 互 相 垂 直 的 x 轴 ，y 轴 ， z 轴 ， 这 样 就 称 建 立 了 空 间 直 角 坐 标 系O xyz .点 O 称 为
坐 标 原 点 ，x 轴 ，y 轴 ，z 轴 统 称 为 坐 标 轴 ，又 分 别 叫 做 横 轴 ， 纵 轴 ， 和 竖 轴 .一 般 规 定 x 轴 ，
a
2 y

az2
三 个 等 式 平 方 相 加 ， 有 cos2 cos2 cos2 1.
如果以a 的三个方向余弦构成一个向量，
e

cos
,cos

,cos




ax
,
ay
,
az


a
a
a

那么 e是与a 方向相同的单位向量.
例 4 已 知 点 M 2 1 , 1 ,2 和 M 1 2 ,0 ,1 ， 求 向 量 M 1 M 2
的 模 和 方 向 余 弦 .
解 因为
所以
M1M2 12,10,21 1,1,1
M1M2 12 12 12 3
cos 1 , cos 1 , cos 1
3
3
3
例5已 知 向 量 a2i3jk, bi5j， 向 量 c2ab，
OM OP PA AM xi y j zk.
z R
z a
M
PO Qy
x 图7 - 10
O y
x
图7－11
设 向 量 a M1M2 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为
M1 x1, y1, z1 和M 2 x2 , y2 , z2 ，由图 7-11 可看到
y 轴，z 轴的正向要遵循右手法则，
z
即以右手握住 z 轴，当右手的四个
手指从正向
x
轴以
π 2
角度转向正向
y
y 轴 时 ， 大 拇 指 的 指 向 是 z 轴 的 正 向 . x 图7—1
任意两条坐标轴确定的平面称 为坐标面.由x轴和y轴，y轴和z轴， z轴和x轴所确定的坐标面分别叫做 xOy面，yOz面和zOx面.三个坐标面 把空间分隔成八个部分，每个部分
a b ax bx i ay by j az bz k ，
或写成
a b ax bx , ay by , az bz
a axi ay j az k 或写成
a ax ,ay ,az ，
四、 用坐标表示向量的模和方向余弦
设 向 量 a a x , a y , a z ， 由 两 点 距 离 公 式 知 ，a 的 模 为
a x2 x1 2 y 2 y1 2 z 2 z1 2
ax2 ay2 az2
向 量 a 与 三 条 坐 标 轴 x ， y， z 轴 正 向 的 夹 角 , , 称
求 ： （ 1） c；（ 2） 与 c方 向 相 同 的 单 位 向 量 .
解 （1）c 22,3,11,5,0 4,6, 2 1,5,0 3,1,2
故
c 32 12 22 14.
（2）与 c 方向相同的单位向量为
e
3, 14
1, 14
2 14
即
0, 1
2 1 解得
0, 1
2
内容小结
1. 空间直角坐标 2. 向量的线性运算 3. 向量的坐标表示 4. 向量的模和方向余弦
作业
P9 3, 4, 5, 9, 11, 14, 15
即有
1023y2702 5027y2502 解得 y2，则所求的点为M0,2,0.
二、 向量与向量的线性运算
1 向量的概念 既有大小，又有方向的量称为向量 或矢量.几何上常用的有向线段表示向量，有向线段的长 度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向， 有向线段的起点和终点分别叫做向量的起点和终点.以 点 A 为起点，点 B 为终点的向量记作 AB.向量也常用 一个字母表示，如a,b,c,i ，等.
例 6 设向量a 的方向角 π , π , 为锐角，且
42 a 2，求向量a的坐标表达式.
解 因为
cos2 π cos2 π cos2 1
4
2
解得cos 2 （是锐角，负的舍去）.所以
2
ax

a
cos

2 cos π 4

2,ay

a
cos

2 cos
a M1M 2 OM 2 OM1
x2 i y2 j z2 k x1i y1 j z1k
x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k
记 ax x2 x2，ay y2 y1，az z2 z1
则有
a ax i ay j az k ，
向量的加法，数与向量的乘法，统称为向量的线性
运算.
向量a与b的和ab，按图7-6的方法确定（称为平行
四边形法则） ， 或按图7-7的方法确定 （称为三角形法则） .
向量a与b的差，按图7-8的方法确定.
B
C
b
oa A
a
b
C a -b B
Ob A
图7-6
图7-7
图7 - 8
数 与 向 量 a的 积 a规 定 为 平 行 向 量 a 的 一 个 向 量 . 当 0时 ， 它 与 a方 向 相 同 ； 当 0时 ， 它 与 a 方 向 相
两点，从图7-4容易看到，长方体的对角线M1M2 的长的 平方等于三条棱长的平方和，由此得点M1 和M2 间的 距离公式为
M1M2 x2 x12 y2 y12 z2 z12
例1 求点Mx, y,z到三个坐标面的距离.
解 过点M作与xOy面垂直的直线，则垂足A的坐标为
Ax, y,0，且MA的长
在空间直角坐标系中，记向量i, j,k分别为与x, y,z轴
正向相同的单位向量，它们称为直角坐标系O xyz 的基
本单位向量.空间内任一向量都能用基本单位向量表示.
设点Mx, y,z是空间内一点，向量OM 称为点M的
向径.过点 M 分别作与坐标轴垂直的平面，交x, y,z轴与 P,Q, R（图7-10），根据向量做线性运算，容易证明：
其中是数.
3.用坐标表示向量平行的充要条件 前面已提到
向量b与a 平行的充要条件为，存在惟一的数使
b a 引入向量坐标以后，此条件又能写成